二项分布教学设计【教学课题】北师大版选修2-3第二章第四节二项分布（第1课时）【教学类型】新授课【课时】一课时【教材分析】“二项分布”是在“互斥事件”和“相互独立事件呢”以及“二项式定理”的基础上，对n次独立重复试验概率的深化研究，教材首先通过一个具体实例（4次射击中击中目标的次数）解决，即事件A在n次试验中发生次的概率的研究，得到离散型随机变量的一种重要的分布模型——二项分布，并通过“思考交流”深化对二项分布的理解与认识，通过例1阐述二项分布在解决某些随机问题中的作用。
【教学目标】1、知识与技能：理解n次独立重复试验及二项分布，并能利用二项分布的概率分布列解决相应的实际问题。
2过程与方法：通过自主探究，相互交流，从具体实例中归纳出教学概念，使学生充分体验知识的发现过程，并渗透有特殊到一般，由具体到抽象的数学思想方法，培养学生自主学习能力，数学建模能力。
3、情感、态度与价值观：通过概念的形成，培养学生的观察、抽象、归纳等能力，使学生体会数学的理性与严谨，了解数学思想，培养学生对新知识的科学态度，勇于探索和敢于创新的精神。
【教学方法】采用学生自主探究，通过两个问题的比较，引导学生由特殊到一般，通过观察、发现归纳出n次独立重复试验的概念及满足的条件；再通过4次射击问题的分析，得到二项分布的概念，利用二项分布的概率分布列解决相应的实际问题，突出重点，突破难点。
所以本节的教学方法为自主探究与启发式相结合。
【教学手段】利用多媒体辅助教学，节省了时间，增大了信息量。
对于调动积极性有很大帮助。
【教学过程设计】 一、复习引入：1、离散型随机变量及其分布列：设离散型随机变量X 的所有可能取值为,...,21a a ，随机变量X 取i a 时对应的概率为,...)2,1(=i P i ，记作：,...)2,1()(===i P a X P i i则称上式为离散型随机变量X 的分布列。
或把上式列成表格：,...2,1,0=>i P i 1...21=++P P （M ≤N ）件次品。
§4二项分布摘象问題情境代，新知无师自通［对应学生用书P28］4某篮球运动员进行了 3次投篮，假设每次投中的概率都为 -，且各次投中与否是相互独5 立的，用X 表示这3次投篮投中的次数，思考下列问题.问题1:如果将一次投篮看成做了一次试验，那么一共进行了多少次试验？每次试验有 几个可能的结果？提示：3次，每次试验只有两个相对立的结果投中(成功)，未投中(失败)•问题2: X = 0表示何意义？求其概率.问题3: X = 2呢?提示：X = 2表示3次中有2次投中，有C 3= 3种情况，每种情况发生的可能性为二项分布进行n 次试验，如果满足以下条件：(1) 每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”； (2) 每次试验“成功”的概率均为 p , “失败”的概率均为 1 — p ;(3) 各次试验是相互独立的.用X 表示这n 次试验中成功的次数，则 H X = k )=注｛(1 -p )n —k (k = 0,1,2，…，n ).若一个随机变量 X 的分布列如上所述，称 X 服从参数为n , p 的二项分布，简记为 X 〜Btn , p ).〔归纳・升华・领悟］1. P (X = k ) = C - p k (1 — p )n —k .这里n 为试验次数，p 为每次试验中成功的概率，k 为n次试验中成功的次数.2.判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三：其一是对立性，即一次试验中,提示：X = 0表示3次都没投中，只有 C 3= 1种情况,从而RX =2)=C 3-2-事件发生与否，二者必居其一；其二是重复性，即试验重复地进行了n次；其三是各次试验相互独立.氓拔举山换追上一学』：--点张［对应学生用书P28］LEA|服从二项分布的随机变量的概率计算［例1］在人寿保险事业中，很重视某一年龄段的投保人的死亡率•假如每个投保人能活到70岁的概率为0.6，试问3个投保人中：(1) 全部活到70岁的概率；(2) 有2个活到70岁的概率；(3) 有1个活到70岁的概率.［思路点拨］每人能否活到70岁是相互独立的，利用二项分布公式可求.［精解详析］设3个投保人中活到70岁的人数为X,则X〜B(3,0.6)，故RX= k) = Ck 3—k0.6 • (1 —0.6) (k= 0,1,2,3).(1) P(X= 3) = C • 0.6 3• (1 —0.6) °= 0.216 ；即全部活到70岁的概率为0.216.(2) P(X= 2) = C • 0.6 2• (1 —0.6) = 0.432.即有2个活到70岁的概率为0.432.(3) P(X= 1) = C • 0.6 • (1 —0.6) 2= 0.288.即有1个活到70岁的概率为0.288.［一点通］要判断n次试验中A发生的次数X是否服从二项分布，关键是看试验是否为独立重复试验，独立重复试验的特点为：(1) 每次试验是在相同的条件下进行的；(2) 每次试验的结果不会受其他试验的影响，即每次试验是相互独立的；(3) 基本事件的概率可知，且每次试验保持不变；(4) 每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生.1. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，出现“3个正面，1个反面”的概率是()C.5D.4解析：由题意，出现正面的次数X〜B 4, 1,3 2 1 1•••出现3个正面1个反面的概率为RX= 3) = C4x - 3x 2 = 4.答案：D2. 甲每次投资获利的概率是p= 0.8，对他进行的6次相互独立的投资，计算：(1) 有5次获利的概率；(2) 6次都获利的概率.解：用X表示甲在6次投资中获利的次数，则X服从二项分布B(6,0.8)，且(1) P(X= 5) = C O.85(1—0.8)〜0.39 ,他5次获利的概率约等于0.39.(2) P(X= 6) = C O.86~ 0.26.他6次都获利的概率约等于0.26.一一 1 一3•甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为2- 求：3，求:(1) 甲恰好击中目标2次的概率；(2) 乙至少击中目标2次的概率；(3) 乙恰好比甲多击中目标2次的概率.解：⑴甲恰好击中目标2次的概率为C3'13=|.匕丿8(2) 乙至少击中目标2次的概率为瞪界磴卜17-(3) 设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A,乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件B,乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件则A= B + B, B , B为互斥事件.= P(B) + P(B)1 1 1 1 =— 18 9 6'LES|服从二项分布的随机变量的分布列［例2］ （12分）从学校乘车到火车站的途中有三个交通岗， 假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是|,设X 为途中遇到红灯的次数•求 5⑴ 随机变量X 的分布列；（|）这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.［思路点拨］求随机变量的分布列，首先应根据题目中的条件确定离散型随机变量的取值，然后再求随机变量取各个值的概率.则 P (X = 0)=R X = 1)=X = k 0 1 2 3 P (X = k )27 12554 12536 1258 125（8分）（2）由题意知，“至少遇到一次红灯”的对立事件是“一次红灯都没有遇到”.因此有 27 98十，八RX 》1） = 1- F （X = 0） = 1- =—-.卫分）125 125 ［一点通］解决这类问题一般步骤：（1）判断所述问题是否是相互独立试验； （2）建立二项分布模型；（3）求出相应概率；（4） 写出分布列.3 1 一4.设某批电子手表正品率为 4，次品率为4，现对该批电子手表进行测试，设第X 次首［精解详析］(1)由题意X 〜B 3, 5 ,54vh，F (X = 2)=36RX = 3) = C l••• X 的分布列为13-52-5 85 23-532-5次测到正品，则 RX = 3)等于()解析：P (X = 3)是前两次未抽到正品，第三次抽到正品的概率，则 RX = 3) = £ 2x#答案：C5•某厂生产电子元件，其产品的次品率为 5%.现从一批产品中任意地连续取出 2件,写出其中次品数X 的分布列.解：由题意，得到的次品数 X 〜氏2,0.05),F (X = 0) = C 0 X 0.95 2= 0.902 5 ;RX = 1) = C 2X 0.05 X 0.95 = 0.095 ;F (X = 2) = C 2X 0.05 2= 0.002 5.因此，次品数 X 的分布列如下：X = k 0 1 2F (X = k )0.902 50.0950.002 56•射击运动员在双向飞碟比赛中，每轮比赛连续发射两枪，击中两个飞靶得 2分，击 中一个飞靶得1分，不击中飞靶得0分.某射击运动员在每轮比赛连续发射两枪时， 第一枪2 1命中率为3第二枪命中率为 石，该运动员进行2轮比赛.3 3(1) 求该运动员得4分的概率为多少？ (2) 若该运动员所得分数为 X ,求X 的分布列. 解：(1)记“运动员得4分”为事件A, 2 12 1 则 F(A = 3X 3X 3X 3= ⑵X 的可能取值为0,1,2,3,4.4F(X =0)= F(X =4) = 81,F (X = 1) = F (X = 3)=Cd 3+C O)=I 0，3 - 4X21-420A 3 - 4X2 1 -4G481.1 - 4B DX = k0 1 2 3 44 20 33 20 4 P (X = k )8181818181［方法・规律・小结〕1.各次试验互不影响，相互独立；每次试验只有两个可能的结果，且这两个结果是对 立的；两个结果在每次试验中发生的概率不变，是判断随机变量服从二项分布的三个条件.2 .二项式［(1 — P )+ p ］ n 的展开式中，第 k + 1 项 T k + 1= C n (1 — p ) n 0,可见 R X = k ) = C p k (1— p )n —k 就是二项式［(1 — p ) + p ］n 的展开式中的第k + 1项.1.若 X 〜B 6, 1，贝U P (X = 2)=(4 B .24313 C 243解析：••• X 〜B 6, 1 ,•甘=2)=3 4=炭.答案：D则事件A 在1次试验中发生的概率为()2 B.5匡7联咗沐-赛迥［对应课时跟踪训练 十二80 D.2432•在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为 6581，1 A.3 ••• X 的分布列为D.3解析：事件 A 在一次试验中发生的概率为 P,由题意得1-C 4p 0(1 — p )4=茁.所以1 - p答案：A3•某人射击一次击中目标的概率为 0.6，经过3次射击，此人至少有 2次击中目标的概率为()81 A ----- 125解析：至少有2次击中目标包含以下情况: 只有2次击中目标，此时概率为 o 2 54 * 0.6 2 X (1 — 0.6)=莎,一33273次都击中目标，此时的概率为 G X 0.6 =函,答案：A4•甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为0.4 ,乙投中的概率为0.6，而且不受其他次投篮结果的影响，设投篮的轮数为 X,若甲先投，则RX = k )等于()A. 0.6 k —1X 0.4B • 0.24 k —1 X 0. 76— k — 1k —1G. 0.4X 0.6 D . 0.76 X 0.24解析：甲每次投篮命中的概率为 0.4,不中的概率为0.6，乙每次投篮命中的概率为0.6 ,不中的概率为0.4 ,则在一轮中两人均未中的概率为0.6 X 0.4 = 0.24，至少有一人中的概率为0.76.k所以P (X = k )的概率是前k — 1轮两人均未中，第k 轮时至少有一人中，则F (X = k ) = 0.24—1X 0.76.答案：B55•设 X 〜B (2 , p )，若 P (X > 1) = 9，贝U P = ______ . 解析：••• X 〜B (2 , p ),2 3,B.54 125 C. 36 125 D.27 125•••至少有2次击中目标的概率为5427 81 + = 125 125 125'1RX= k) = c2p k(1 -P)2「k, k = 0,1,2.RXA 1) = 1 —P(X<1)=1 —R X= 0)=1 —C2p0(1 —p)22=1 —(1 —p).5 5由P(X> 1) = 9 得 1 —(1 —p)2=9结合0<p< 1,得p= 3.答案：146. 某一批花生种子，如果每一粒发芽的概率为 -,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概5率是________ .4解析：每粒种子的发芽概率为，并且4粒种子的发芽与不发芽互不影响，符合二项分5 (96)答案：625一一37. 某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为5，且各次射击的结果互不影响.该射手射击了5次，求：(1) 其中只在第一、三、五次击中目标的概率；(2) 其中恰有3次击中目标的概率.解：(1)该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也即在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又各次射击的结果互不影响，故所求其概率为F(X= 3) = C5 x 3 3x-5J 5 = 625.& （四川高考）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统 （简称系统）A 和B,系统 A,亠 1 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为jo 和p .49（1）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为丽，求P 的值；（2）设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 X ,求X 的概率分布列.1 49解：（1）设“至少有一个系统不发生故障”为事件 c,那么1 一 P （ C ）= 1 一i0p = 50，解 得 P = 5.⑵由题意，P (X = 0) = c310 3= 1000，F (X = 3) = C 3 x所以，随机变量X 的概率分布列为X 0 12 3 P1 27 243 729 1 0001 0001 0001 0003(2)该射手射击了 5次，其中恰有3次击中目标，击中次数X 〜B (5 , 5)，故所求其概率R X = 1) = C x 箱妝 1-10 = FOO0RX = 2)= c 3 x 帚2431 000，。
