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《固体物理学》习题解答黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯=（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r 344a r 344x 3333≈π=π⨯=π⨯= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 74.062r224r346x 33≈π=π⨯= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r 338r 348a r 348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
固体物理习题参考答案（部分）第一章 晶体结构1.氯化钠：复式格子，基元为Na +，Cl -金刚石：复式格子，基元为两个不等价的碳原子 氯化钠与金刚石的原胞基矢与晶胞基矢如下：原胞基矢)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(213212211j i a a i k a a k j a a +=+=+= ， 晶胞基矢 ka a j a a ia a ˆˆˆ321===2. 解：31A A O '：h:k;l;m==-11:211:11:111:1:-2:1 所以（1 1 2 1） 同样可得1331B B A A ：（1 1 2 0）； 5522A B B A ：（1 1 0 0）；654321A A A A A A ：（0 0 0 1）3.简立方： 2r=a ，Z=1,()63434r 2r a r 3333πππ===F体心立方：()πππ833r4r 342a r 3422a 3r 4a r 4a 33333=⨯=⨯=∴===F Z ，，则面心立方：()πππ622r 4r 34434442r 4a r 4a 233ar 33=⨯=⨯=∴===F Z ，，则 六角密集：2r=a, 60sin 2c a V C = a c 362=,πππ622336234260sin 34223232=⨯⨯⨯=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛a a c a r F a金刚石：()πππ163r 38r 348a r 3488Z r 8a 33333=⨯=⨯===F ，， 4. 解：'28109)31arccos(312323)ˆˆˆ()ˆˆˆ(cos )ˆˆˆ()ˆˆˆ(021*******12211=-=-=++-⋅+-=⋅=++-=+-=θθa a k j i a k j i a a a a a kj i a a kj i a a 5.解：对于（110）面：2a 2a a 2S =⋅=所包含的原子个数为2，所以面密度为22a2a22=对于（111）面：2a 2323a 22a 2S =⨯⨯= 所包含的原子个数为2，所以面密度为223a34a 232=8.证明：ABCD 是六角密堆积结构初基晶胞的菱形底面，AD=AB=a 。
第一章 晶体结构1、填空题1.1理论证明由10种对称素只能组成（ 32 ）种不同的点群即晶体的宏观对称只有32个不同类型1.2 根据晶胞基矢之间的夹角、长度关系可将晶体分为（ 7大晶系 ）对应的只有（14种布拉伐格子 ）1.3面心立方晶体在（100）方向上表面二维布拉伐格子是（ 正方格子 ）在（111）方向上表面二维布拉伐格子是( 密排结构 )1.4晶体表面二维晶格的点群表示，由于晶格周期性在Z 轴方向的限制，二维晶格的对称素只有( 6 )个，即垂直于表面的n 重转轴( 1、2、3、4、6 )，垂直于表面的镜面反演( 1 ) 个。
由( 6 )种对称素可以组成( 10 )种二维点群，按照点群对基矢的要求划分，二维格子有( 4 )个晶系，( 5 )种布拉伐格子1.5在结晶学中, 晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的（ 周期性 ）又要考虑晶体的（ 宏观对称性 ）1.6六角密积属（ 六角晶系 ）, 一个晶胞( 平行六面体 )包含（ 两个 ）原子.1.7对晶格常数为a 的SC 晶体,与正格矢R =ai +2aj +2ak 正交的倒格子晶面族的面指数为( 122 ), 其面间距为( a32π). 1.8典型离子晶体的体积为V , 最近邻两离子的距离为R , 晶体的格波数目为( 343R V π ), 长光学波的( 纵 )波会引起离子晶体宏观上的极化. 1.9金刚石晶体的结合类型是典型的( 共价结合 )晶体, 它有( 6 )支格波 1.10按照惯例，面心立方原胞的基矢为（ )(2),(2),(2321i k a a k j a a j i a a +=+=+= ），体心立方原胞基矢为（ )(2),(2),(2321i k j aa k j i a a k j i a a ++-=++-=-+= ）。
2、简答题1.10简述基本术语基元、格点、布拉菲格子。
基元：组成晶体的最小基本单元，整个晶体可以看成是基元的周期性重复排列构成。
《固体物理学》房晓勇-思考题01第⼀章晶体的结构第⼀章晶体的结构思考题1.1 为什么⾃然界中⼤多数固体以晶态形式存在？为什么⾯指数简单的晶⾯往往暴露在外表⾯？解答：在密勒指数（⾯指数）简单的晶⾯族中，⾯间距d 较⼤。
对于⼀定的晶格，单位体积内格点数⽬⼀定，因此在晶⾯间距⼤的晶⾯上，格点（原⼦）的⾯密度必然⼤。
⾯间距⼤的晶⾯，由于单位表⾯能量⼩，容易在晶体⽣长过程中显露在外表⾯，所以⾯指数简单的晶⾯往往暴露在外表⾯。
1.2 任何晶⾯族中最靠近原点的那个晶⾯必定通过⼀个或多个基⽮的末端吗？解答：根据《固体物理学》式（1-10a ）()()()()111222333cos ,cos ,110cos ,a a n h d a a n h d a a a n h d==-??=1.3 解理⾯是⾯指数低的晶⾯还是指数⾼的晶⾯？为什么？解答：晶体容易沿解理⾯劈裂，说明平⾏于解理⾯的原⼦层之间的结合⼒弱，即平⾏解理⾯的原⼦层的间距⼤. 因为⾯间距⼤的晶⾯族的指数低, 所以解理⾯是⾯指数低的晶⾯.1.4在14种布喇菲格⼦中，为什么没有底⼼四⽅、⾯⼼四⽅和底⼼⽴⽅？解答：参考陈⾦富P33页，徐⾄中1-131）图（a ）代表向c 轴俯视所观察到的体⼼四⽅的格点分布。
格点②距离由格点①组成的晶⾯的C/2处。
如C=a ，则点阵为bcc;如图所⽰，为已经伸长的bcc ，c ≠a ，它是体⼼四⽅点阵。
如图（b ）与图（a ）代表同样的点阵，只是观察的⾓度不同，图中①构成四⽅⾯⼼格点，⾯⼼格点间的距离a '=，如2a C '==，则点阵为fcc ；对于⼀般的C 值，图（b ）是沿c 轴伸长后的点阵，因此相同的点阵从（a ）是体⼼点阵，从（b ）看是⾯⼼点阵，本质上相同，都称为体⼼四⽅点阵。
2）类似的底⼼四⽅和简单四⽅是同⼀种点阵。
3）底⼼⽴⽅不再具有⽴⽅对称性。
所以不存在。
1.5许多⾦属既可以形成体⼼⽴⽅结构，也可以形成⾯⼼⽴⽅结构。
固体物理题库第一章晶体的结构(总14页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第一章晶体的结构一、填空体（每空1分）1. 晶体具有的共同性质为长程有序、自限性、各向异性。
2. 对于简立方晶体，如果晶格常数为a，它的最近邻原子间距为 a ，，原胞与晶胞的体积比 1：1 ，配位数为6 。
3. 对于体心立方晶体，如果晶格常数为a，它的最近邻原子间距为，次近邻原子间距为 a ，原胞与晶胞的体积比 1：2 ，配位数为 8 。
4. 对于面心立方晶体，如果晶格常数为a，它的最近邻原子间距为，次近邻原子间距为 a ，原胞与晶胞的体积比 1：4 ，配位数为 12 。
5. 面指数(h1h2h3)所标志的晶面把原胞基矢a1,a2,a3分割,其中最靠近原点的平面在a1,a2,a3上的截距分别为__1/h1_,_1/h2__,__1/h3_。
6. 根据组成粒子在空间排列的有序度和对称性，固体可分为晶体、准晶体和非晶体。
7. 根据晶体内晶粒排列的特点，晶体可分为单晶和多晶。
8. 常见的晶体堆积结构有简立方（结构）、体心立方（结构）、面心立方（结构）和六角密排（结构）等，例如金属钠（Na）是体心立方（结构），铜（Cu）晶体属于面心立方结构，镁（Mg）晶体属于六角密排结构。
9. 对点阵而言，考虑其宏观对称性，他们可以分为7个晶系，如果还考虑其平移对称性，则共有14种布喇菲格子。
10.晶体结构的宏观对称只可能有下列10种元素： 1 ，2 ，3 ，4 ，6 ，i ， m ，3，4，6，其中3和6不是独立对称素，由这10种对称素对应的对称操作只能组成32个点群。
11. 晶体按照其基元中原子数的多少可分为复式晶格和简单晶格，其中简单晶格基元中有 1 个原子。
12. 晶体原胞中含有 1 个格点。
13. 魏格纳-塞茨原胞中含有 1 个格点。
二、基本概念1. 原胞原胞：晶格最小的周期性单元。
《固体物理学》习题解答第一章 晶体结构1. 氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元为何？写出这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为a 。
解：氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。
氯化钠的基元为一个Na +和一个Cl －组成的正负离子对。
金刚石的基元是一个面心立方上的Ｃ原子和一个体对角线上的Ｃ原子组成的Ｃ原子对。
由于NaCl 和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为：123()2()2()2a a a ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩a j k a k i a i j相应的晶胞基矢都为：,,.a a a =⎧⎪=⎨⎪=⎩a ib jc k2. 六角密集结构可取四个原胞基矢123,,a a a 与4a ,如图所示。
试写出13O A A '、1331A A B B 、2255A B B A 、123456A A A A A A 这四个晶面所属晶面族的晶面指数()h k l m 。
解：(1)．对于13O A A '面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，12-，１。
所以，其晶面指数为()1121。
(2)．对于1331A A B B 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，12-，∞。
所以，其晶面指数为()1120。
(3)．对于2255A B B A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，1-，∞，∞。
所以，其晶面指数为()1100。
(4)．对于123456A A A A A A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：∞，∞，∞，１。
所以，其晶面指数为()0001。
3. 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球体可能占据的最大体积与总体积的比为：简立方：6π；。
证明：由于晶格常数为a ，所以：(1)．构成简立方时，最大球半径为2m aR =，每个原胞中占有一个原子，334326m a V a ππ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭36m V a π∴= (2)．构成体心立方时，体对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R =，每个晶胞中占有两个原子，334322348m V a a π⎛⎫∴=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭328m V a ∴=(3)．构成面心立方时，面对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R =，每个晶胞占有４个原子，334244346m V a a π⎛⎫∴=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭346m V a ∴=(4)．构成六角密集结构时，中间层的三个原子与底面中心的那个原子恰构成一个正四面体，其高则正好是其原胞基矢c 的长度的一半，由几何知识易知3m R =c 。
第一章 晶体的结构1.1试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。
解：我们知体心立方格子的基矢为：()()()123222a a i j k a a i j k a a i j k ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩根据倒格子基矢的定义，我们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为：()()()1232313122πΩ2πΩ2πΩb a a b a a b a a ⎧=⨯⎪⎪⎪=⨯⎨⎪⎪=⨯⎪⎩()31231Ω2a a a a =⋅⨯=23222222222222222222ij kaa a a a a a a a a a ij k a a a a a a a a a --⨯=-=++--- 2222a a j k =+ ()()()223132π2π2πΩ22a b a a j k j k a a =⨯=+=+同理()()232π2π,b i k b i j a a=+=+ ()()()1232π2π2πb j k a b i k a b i j a ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩由此可知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。
我们知面心立方格子的基矢为()()()123222a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩()()()1232313122πΩ2πΩ2πΩb a a b a a b a a ⎧=⨯⎪⎪⎪=⨯⎨⎪⎪=⨯⎪⎩()31231Ω4a a a a =⋅⨯=2300222202200222222ij ka a a a aa a a i jka aa a a a ⨯==++-222444a a a i j k =-++()()222223132π2π2πΩ24444a a a ab a a i j k i j k a a ⎛⎫=⨯=-++=-++ ⎪⎝⎭同理 ()()232π2π,b i j k b i j k a a=-+=+-()()()1232π2π2πb i j k a b i j k a b i j k a ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩由此可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子； 所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。
2.2在六角晶系中，晶面常用四个指数（hkil）来表示，如图所示，前三个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成1200的共面轴123,,a a a 上的截距为312,,a a a h k i，第四个指数表示该晶面在六重轴c 上的截距为cl。
证明：()i h k =-+并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：()()()()()()()001,133,110,323,100,010,213.证明：林鸿生1.1.4 王矜奉1.2.3如图所示，某一晶面MN 与六角形平面基矢123,,a a a 轴上的截距,,,a a a OA n OB n OC n h k i==-= 且60,120AOB COB AOC ∠=∠=∠= 有()C ()()AOB OB AOC +=面积面积面积 即111sin sin sin 222OA OB AOB OC OB COB OA OC AOC ∙∠+∙∠=∙∠ 代入,,,a a aOA n OB n OC n h k i==-=和60,120AOB COB AOC ∠=∠=∠=，有000111()sin 60()sin 60()sin120222a a a a a an n n h k i k h i-+-= 得111hk ik hi--=，两边同乘（hki ）并移项得()i h k =-+得证（2）由上可知，h ，k ，i 不是独立的，()()()()()()()001,133,110,323,100,010,213.中各i 等于 111()(00)0,i h k =-+=-+=22i =，30i =，41i =，51i =61i =，73i =即得()()()()()()()()0010001,1331323,1101100,3233213→→→→ ()()()()()()1001010,0100110,2132133.→→→1.3如将等体积的硬球堆成下列结构，求证能占据的最大体积与总体积之比为： （1）简单立方6π；（2）体心立方83π；（3）面心立方62π（4）六角密积62π；（5）金刚石163π解：设N 为一个晶胞中的刚性原子数，R 表示刚性原子的球半径，V 表示晶胞体积，立方晶格的边长为a ，则致密度为：343N R Vπα⋅=（1）在简立方的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a 2=，则简立方的致密度（即球可能占据的最大体积与总体积之比）为：6)2(3413413333πππα=⋅=⋅=R R a R（2）在体心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数3/4R a =，则体心立方的致密度为：83)3/4(3423423333πππα=⋅=⋅=R R a R （3）在面心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a 22=，则面心立方的致密度为：62)22(3423443333πππα=⋅=⋅=R R a R （4）在六角密积的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a 2=，R a c )3/64()3/62(==，则六角密积的致密度为：62)3/64(4)2(363464363462323πππα=⋅⋅=⋅⋅=RR R c a R （5）在金刚石的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a )3/8(=，则金刚石的致密度为：163)3/8(34834833333πππα=⋅=⋅=RR a R1.4设某一晶面族的面间距为d ，三个基矢123,,a a a的末端分别落在离原点距离为123,,,h d h d h d 的晶面上，试用反证法证明：123,,h h h 是互质的。
解：参考王矜奉1.2.4设该晶面的单位法向矢量为n ，由已知条件可得112233,,,a n h d a nh d a n h d ⋅=⋅⋅=假定123,,h h h 不是互质的数，则有公约数p ，且p>1；设123,,k k k 为互质的三个数，满足312123h h h p k k k === 则有112233,,,a n k pd a nk pd a n k pd ⋅=⋅⋅=今取离原点最近的晶面上的一个格点，该格点的位置矢量为112233r l a l a l a =++由于123,,l l l 必定为整数而且112233r n d l a n l a n l a n ⋅==⋅+⋅+⋅得112233d l k pd l k pd l k pd =++即1122331l k l k l k p++=因为上式左边是整数，而右边是分数，显然是不成立的。
要式成立，必须满足p=1。
而此时123,,h h h 是互质的。
1.5证明：在立方晶系中，面指数为()111h k l 和()223h k l 的两个晶面之间的夹角满足()()1212121212222222111222cos h h k k l l hk lhk lθ++=++++解：三个晶轴相互垂直且等于晶格常数a ，则晶胞基矢为123,,,a ai a a j a ak ===其倒格子基矢为123222,,b i b i b i a a aπππ=== 倒格子矢量为1232()h K hb kb lb hi k j lk aπ'=++=++代表晶面族()hkl 的法线方向。
晶面族()111h k l 的法线方向对应倒格矢11112()K h i k j l k a π=++ 晶面族()223h k l 的法线方向对应倒格矢22222()K h i k j l k aπ=++设两法线之间的夹角满足1212cos K K K K γ=111222121211122222222()()cos 2222)()()()h i k j l k h i k j l k K K a a K K h i k j l k h i k j l k h i k j l k h i k j l k a a aππγππππ++++==++++++++()()1212121212222222111222cos h h k k l l hk lhk lγ++=++++1.6有一晶格，每一晶格上有一个原子，基矢（以nm 为单位）分别为i a 31=，j a 32=，)(5.13k j i a ++=。
试求：（1） 此晶体属于什么晶系，属于哪种类型的布喇菲格子？ （2） 原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？ （3） 该晶体的倒格子基矢；（4） 密勒指数为（121 （5） 原子最密集的晶面族的密勒指数是多少？ （6） [111]与[111]晶列之间的夹角余弦为多少？解：参考徐至中1-5，中南大学1.17（1）按基矢123,,a a a 在空间作重复平移，就可得到它的布喇菲格子，因为此晶体是简单格子，因此晶体中原子位置可以认为与格点重合。
由右图可见，它是体心立方布喇菲格子，属于立方晶系。
（2）原胞体积()()27312333 1.513.510a a a i j i j k m -⎡⎤Ω=∙⨯=∙⨯++=⨯⎣⎦晶胞体积()()2733332710V a a a i j k m -=∙⨯=∙⨯=⨯因为2VΩ=，知该晶体属于立方晶系； 参考王矜奉1.2.6我们可以构造新的矢量13()2a c a i j k =-=-++1a a a23()2a c b i j k =-=-+33()2a abc i j k =+-=+-123,,a a a 对应体心立方结构. 123,,a a a 满足选作基矢的充分条件.可见基矢为, i a 31=，j a 32=，)(5.13k j i a ++= ,的晶体为体心立方结构.（3）由倒格子基矢的定义可知：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=⨯⋅⨯=-=-⋅=⨯⋅⨯=-=-⋅=⨯⋅⨯=kk a a a a a b k j k j a a a a a b k i k i a a a a a b 5.125.1392][][2)(325.13)(5.42][][2)(325.13)(5.42][][2321213321132321321πππππππππ （4）根据倒格矢的性质，可求得密勒指数为（121）晶面族的面间距为3211121122122b b b K -+⋅==ππd103030352(322==-+=k j i ππ以上是参考中南大学的，有些不妥，因为密勒指数是对晶胞基矢定义的，虽然《固体物理学》式（1-18）也适合计算相应面间距，但此时的倒格子基矢也应是对应的。
