矩阵论 第一章 线性空间和线性映射

❖ 映射的乘积(复合)：若 f : S1 → S2 和 g: S 2→ S3，则映射的 乘积 g○ f 定义为： g○ f(a)=g(f(a))。
在不至混淆的情况下，简记 g○ f 为 gf
映射的例子
❖ 例子1：设集合S是数域F上所有阶方阵的集合，则
f(A)=det(A) 为S到F的映射。 ❖ 例2：设S为次数不超过n的多项式构成的集合，则求导运 算：
例 6 在 R 中满足Cauchy条件的无限序列组成的
子集合也构成 R上的线性空间。Cauchy条件是：
0,N0, 使得对于 m,nN都有
am an
例7 在 R 中满足Hilbert条件的无限序列组成的
ห้องสมุดไป่ตู้
子集合构成 R 上的线性空间。
Hilbert条件是：级数
a n 2 收敛
n 1
线性空间的基本概念及其性质
R { a 1 ,a [ 2 ,a 3 , ]|a i R ,i 1 ,2 ,3 , }
在R∞中定义加法与数乘：
[a1,a2,a3,][b1,b2,b3,] [a1 b1,a2 b2,a3 b3,] k[a1,a2,a3,][ka1,ka2,ka3,]
则 R∞ 为实数域 R上的一个线性空间。
线性空间的例子（续）
则称 1,2,,n 为 V 的一个基底；(k1,k2,,kn)T为
向量 在基底 1,2,,n 下的坐标。此时我们称
V 为一个 n 维线性空间，记为 dimV=n。
基底的例子
例1 实数域 R 上的线性空间 R3 中向量组
(1 ,0,0),(1 ,1 ,0),(1 ,1 ,1 )
与向量组
(0,1 ,1 ),(1 ,0,1 ),(1 ,1 ,0)
sinx,cosx,sin2x,cos2x,, sinnx,cosnx, n4.
都是线性相关的函数组。
线性空间的基底与维数
定义：设 V 为数域 F上的一个线性空间。如果在
V 中存在 n 个线性无关的向量 1,2,,n，使得
V 中的任意一个向量 都可以由 1,2,,n 线性
表出:
k 11 k 22 k nn
集合
❖ 集合
元素、子集、集合相等、运算（交、并、补）
❖ 例：数域是一个集合含有加法+和乘法*
含有元素0，满足对任何元素a，有 a+0=a； 含有1，满足对任何元素a，有 a*1=a； 任何元素 a 存在负元素 b，满足a+b=0； 非零元素a存在逆元素b，满足a*b=1； 对加法和乘法封闭
❖ 常用数域有：有理数域、实数域、复数域
唯一； （5）如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表出，那
么向量组（I）的秩小于等于向量组（II）的秩； （6）等价的向量组秩相同。
例1 实数域 R上的线性空间 RR 中，函数组
e1x,e2x,,enx
是一组线性无关的函数，其中 1,2,,n 为一组互不相同
的实数。
例2 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
映射
❖ 映射：集合S到集合S‘的一个映射是指一个法则(规则) f : S → S’，对S中任何元素a，都有S’中的元素a‘与之对应，记为： f(a)=a’ 或 a→a’。一般称a’为a的像，a为a’的原像。
❖ 变换：若S=S‘，则称映射为变换。
❖ 映射的相等：设有两个映射 f : S → S’和 g: S → S’，若对任 何元素 a∈S 都有 f(a)=g(a) 则称 f 与 g 相等。
第一章
线性空间和线性映射
本章知识要点
❖ 线性空间：维数、基、坐标、基变换、坐标变换； ❖ 线性空间的分解：子空间、值域(像空间)与核空间
(零空间)、秩与零度、子空间的交、和与直和； ❖ 线性变换及其矩阵表示：定义、运算、值域与核空
间、秩与零度、相似类、特征值与特征向量、不变 子空间、Jordan标准形; ❖ 欧氏空间和酉空间：内积、度量矩阵、正交、标准 正交基、正交分解与正交补、正交变换与正交矩阵、 对称变换与对称矩阵、Hermite变换与Hermite矩阵、 正规矩阵与可对角化、谱分解。 ❖ Hibert空间：平方可积空间和平方可和空间。
基本概念：线性组合；线性表示；线性相关；线性无关； 向量组的极大线性无关组；向量组的秩。
❖ 基本性质：
（1）含有零向量的向量组一定线性相关； （2）整体无关则部分无关；部分相关则整体相关； （3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量
组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关； （4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并不
上的线性空间。 例3：实数域 R 上全体次数小于或等于 n 的多项式集合 R[x]n
构成实数域 R 上的线性空间。 例4：全体正的实数 R+ 在下面的加法与数乘的定义下构成实数
域上的线性空间：对任意 k∈R, a,b∈R+
加法运a算 b： ab 数乘运k算 a： ak
线性空间的例子（续）
例5：R∞表示实数域 R 上的全体无限序列组成的的 集合。即
x1,x2,,xn
是一组线性无关的函数，其中 1,2,,n 为一组互不相同
的实数。
例3 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
1 ,c o s x ,c o s 2 x ,,c o s n x
也是线性无关的。
例4 实数域 R 上的线性空间空间 R R 中，函数组 1,cos2x,cos2x
与函数组
δ(f(t))=f’(t) 为S到S的变换。 ❖ 例3：S为平方可积函数构成的集合，则傅里叶变换：
F(f) () f(t)ejtdt
为S到S上的一个变换。
线性空间的定义
定义：设 V 是一个非空的集合，F 是一个数域，在集合 V 中定 义两种代数运算, 一种是加法运算，用 + 来表示，另一种是 数乘运算, 用 ∙ 来表示, 并且这两种运算满足下列八条运算律：
（1）加法交换律：α+β= β + α （2）加法结合律： (α+β)+ γ= α+(β+γ) （3）零元素：在 V 中存在一个元素0，使得对于任意的α∈V
都有
α+ 0 =α （4）对于V中的任意元素α都存在一个元素 β使得：α+β= 0
线性空间的例子
例1：全体实函数集合 RR构成实数域 R 上的线性空间。 例2：复数域 C上的全体 m×n 阶 矩阵构成的集合Cm×n 为 C