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多元统计分析第三章聚类分析

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《多元统计分析》课件_第三章_聚类分析

《多元统计分析》课件_第三章_聚类分析

§3.1 聚类分析的思想
• 3.1.2 聚类的目的
• 在一些社会、经济问题中，我们面临的往往是比较 复杂的研究对象，如果能把相似的样品（或指标） 归成类，处理起来就大为方便，聚类分析的目的就 是把相似的研究对象归成类。
• 【例3.1】若我们需要将下列11户城镇居民按户主 个人的收入进行分类，对每户作了如下的统计，结 果列于表3.1。在表中，“标准工资收入” 、“职 工奖金” 、“职工津贴” 、“性别” 、“就业 身份”等称为指标，每户称为样品。若对户主进行 分类，还可以采用其他指标，如“子女个数” 、 “政治面貌” 等，指标如何选择取决于聚类的目 的。
(2) 相关系数。这是大家最熟悉的统计量，它 是将数据标准化后的夹角余弦。
有时指标之间也可用距离来描述它们的接近程度。 实际上距离和相似系数之间可以互相转化，
§ 3.3 类和类的特征
目的是聚类，那么什么叫类呢？由于客观事物的千 差万别，在不同的问题中类的含义是不尽相同的。 给类下一个严格的定义，决非易事。 下面给出类的适用于不同的场合几个定义。
§3.1 聚类分析的思想
§3.1 聚类分析的思想
• 例3.1中的8个指标，前6个是定量的，后2个是定性 的。如果分得更细一些，指标的类型有三种尺度
• 间隔尺度。变量用连续的量来表示。 • 有序尺度。指标用有序的等级来表示，有次序关系
，但没有数量表示。 • 名义尺度。指标用一些类来表示，这些类之间没有
§3.4 系统聚类法
不同的距离定义方式用到系统聚类程序中，得到 不同的系统聚类法。我们现在通过一个简单的例 子，来说明各种系统聚类法。
【例3.4】 为了研究辽宁等5省份2000年城镇居民 消费支出的分布规律，根据调查资料作类型划分。 指标名称及原始数据见表3.5。资料来源[10]

应用多元分析第三聚类分析

应用多元分析第三聚类分析
90.5
25
9
0
表6.3.7
G6
G7
G5
G6
0
G7
31.5
0
G5
90.5
17
0
表6.3.8
第40页/共74页
0
0
图6.3.8 类平均法树形图
G6
G8
G6
0
G8
51.17
0
表6.3.9
第41页/共74页
五、重心法
类与类之间的距离定义为它们的重心(均值)之间的欧氏距离。设GK和GL的重心分别为 ，则GK与GL之间的平方距离为这种系统聚类法称为重心法(centroid hierarchical method)，如图6.3.9所示。它的递推公式为
第20页/共74页
一开始每个样品各自作为一类
第21页/共74页
§6.3 系统聚类法
一、最短距离法 二、最长距离法三、中间距离法四、类平均法五、重心法六、离差平方和法（Ward方法） 七、系统聚类法的统一八、类的个数
第22页/共74页
一、最短距离法
定义类与类之间的距离为两类最近样品间的距离，即
第11页/共74页
3.马氏距离
第i个样品与第j个样品间的马氏距离为 其中xi=(xi1,xi2,⋯ ,xip)′，xj=(xj1,xj2,⋯ ,xjp)′，S为样本协方差矩阵。使用马氏距离的好处是考虑到了各变量之间的相关性，并且与各变量的单位无关。但马氏距离有一个很大的缺陷，就是马氏距离公式中的S难以确定。没有关于不同类的先验知识，S就无法计算。因此，在实际聚类分析中，马氏距离不是理想的距离。
第10页/共74页
2.兰氏距离
当xji＞0，j=1,2,⋯,n，i=1,2,⋯,p时，可以定义第i个样品与第j个样品间的兰氏距离为这个距离与各变量的单位无关。由于它对大的异常值不敏感，故适用于高度偏斜的数据。明氏距离和兰氏距离都没有考虑变量间的相关性，因此这两种距离更适合各变量之间互不相关的情形。

多元统计分析实验报告3-聚类分析剖析

多元统计分析实验报告3-聚类分析剖析

2015——2016学年第一学期实验报告课程名称：多元统计分析实验项目：聚类分析实验类别：综合性□√设计性□验证性□专业班级：13统计班姓名：张淑娟学号：*********** 实验地点：总理楼60801实验时间：2015年11月25日星期三指导教师：*绩：一、实验数据、参考资料与实验目的实验数据来源于文件《聚类分析.rar》内的chapter 12，主要参考书为《spss统计分析从入门到精通.pdf》。

实验目的：1、掌握聚类分析的基本方法，主要有快速聚类、分层聚类、系统聚类和分层聚类等方法；2、至少应用所给数据进行两种及两种以上的聚类分析，并对其进行比较。

具体数据由自己选择。

二、SPSS操作方法或程序类平均法聚类操作方法：1、打开分析→分类→系统聚类，打开系统聚类分析对话框，将聚类指标选入变量栏中，将表示地区的变量选入注标个案栏。

2、点击绘制，选中谱系图，点击继续返回主对话框;3、再点击方法按钮，在聚类方法下拉菜单中选择组间连接法选项，返回主对话框，点击确定。

最短距离法聚类操作方法：1、2、同类平均法1、2；3、再点击方法按钮，在聚类方法下拉菜单中选择最短距离法选项，返回主对话框，点击确定。

最长距离法聚类操作方法：1、2、同类平均法1、2；3、再点击方法按钮，在聚类方法下拉菜单中选择最长距离法选项，返回主对话框，点击确定。

三、程序运行结果（不能截图，需要导出）指标的相关系数：相关性编号食品衣着燃料住房生活用品文化支出组别编号Pearson 相关性 1 -.720**-.387*-.136 -.743**-.710**-.687**.439*显著性（双侧）.000 .042 .490 .000 .000 .000 .032 N 28 28 28 28 28 28 28 24食品Pearson 相关性-.720** 1 .518**.517**.778**.707**.613**-.680**显著性（双侧）.000 .005 .005 .000 .000 .001 .000 N 28 28 28 28 28 28 28 24衣着Pearson 相关性-.387*.518** 1 .133 .579**.752**.181 -.593**显著性（双侧）.042 .005 .501 .001 .000 .357 .002 N 28 28 28 28 28 28 28 24燃料Pearson 相关性-.136 .517**.133 1 .133 .210 .456*-.641**显著性（双侧）.490 .005 .501 .500 .283 .015 .001 N 28 28 28 28 28 28 28 24住房Pearson 相关性-.743**.778**.579**.133 1 .843**.353 -.636**显著性（双侧）.000 .000 .001 .500 .000 .065 .001 N 28 28 28 28 28 28 28 24生活用品Pearson 相关性-.710**.707**.752**.210 .843** 1 .336 -.697**显著性（双侧）.000 .000 .000 .283 .000 .081 .000 N 28 28 28 28 28 28 28 24文化支出Pearson 相关性-.687**.613**.181 .456*.353 .336 1 -.439*显著性（双侧）.000 .001 .357 .015 .065 .081 .032 N 28 28 28 28 28 28 28 24组别Pearson 相关性.439*-.680**-.593**-.641**-.636**-.697**-.439* 1 显著性（双侧）.032 .000 .002 .001 .001 .000 .032N 24 24 24 24 24 24 24 24**. 在 .01 水平（双侧）上显著相关。

多元06：聚类分析

多元06：聚类分析

两类间样品的平均距离
1 D( p, q) dij LK iGp jGq
•
•
•
• • •
4、组内平均连接法（Within-group Linkage)

两类所有样品之间的距离的平均数
1 x11• D( p, q) dij m i , jGp ,Gq x12•
x21• x22•
PG R 1 T
2
T： 总离差平方和 PG：组内离差平方和 伪F统计量 用于评价聚为G类的效果 伪t2统计量
(T PG ) (G 1) F PG (n G )
2
BKL t (WK WL ) ( N K N L 2)
数学建模课件
碎石图
主讲人：孙云龙
合并类的距离
例：小康指数
数学建模课件
主讲人：孙云龙
数学建模课件
主讲人：孙云龙
END
SUN
i
Rj
R j max( xij ) min( xij )
i i
数学建模课件
主讲人：孙云龙
至此
构成样本点间的距离表
Gq
Gp
G1
0
G2
d12
0 ┇
…
…
Gn
d1n
d2n
┇
G1 G2
┇
d 21
┇
Gn
d n1
dn2
…
0
数学建模课件
主讲人：孙云龙
§3.3 类和类的特征
一、类定义
G
：
dij T
阈值
k 1
k 1 p
(x
p
ik
x jk )
2
2

多元统计分析——基于R 语言 PPT课件-聚类分析

多元统计分析——基于R 语言 PPT课件-聚类分析
多元统计分析
——基于R语言
中国人民大学：何晓群
苏州大学：马学俊
03
聚类分析
➢学习目标：
1.了解适合用聚类分析解决的问题;
2.理解对象之间的相似性是如何测量的;
3.区别不同的距离;
4.区分不同的聚类方法及其相应的应用;
5.理解如何选择类的个数;
6.简述聚类分析的局限。
3.1 聚类分析的基本思想
3.1.1 目的
的关系越密切; 的绝对值越接近0,表示指标和指标的关系越疏远。对于间隔尺度,常用的
相似系数有夹角余弦和相关系数。
(1)夹角余弦：指标向量 1 , 2 , … , 和 1 , 2 , … , 之间的夹角余弦
ij 1 =
间隔尺度定义
σ=1
+ )个样品,它们的重心用ത , ത , ത 表示,则
1
ത = ( ത + ത )

某一类 的中心为ത ,它与新类 的距离为2 (, ) = (ത − ത )’ (ത −ത ),经证明重心法的递推
公式为:






聚类分析不仅可以用来对样品进行分类,而且可以用来对变量进行分类。对样品的分类
常称为型聚类分析,对变量的分类常称为型聚类分析。与多元分析的其他方法相比,
聚类分析的方法还是比较粗糙的,理论上也不算完善,但由于它能解决许多实际问题,所
以很受实际研究者重视,同回归分析、判别分析一起称为多元分析的三大方法。
和ഥ
间距离。
(5)离差平方和法： = σ∈ ( −ത )′ ( − ത ) ， = σ∈ ( −ത )′ ( − ത ) ,
′
+ = σ∈ ⊔ ( −)ҧ ( − ),

多元统计分析-聚类分析

多元统计分析-聚类分析

多元统计分析-聚类分析聚类分析是⼀个迭代的过程对于n个p维数据，我们最开始将他们分为n组每次迭代将距离最近的两组合并成⼀组若给出需要聚成k类，则迭代到k类是，停⽌计算初始情况的距离矩阵⼀般⽤马⽒距离或欧式距离个⼈认为考试只考 1,2⽐较有⽤的⽅法是3,4,5,8最喜欢第8种距离的计算 欧式距离 距离的⼆范数 马⽒距离 对于X1, X2均属于N(u, Σ) X1,X2的距离为 (X1 - X2) / sqrt(Σ)那么不同的聚类⽅法其实也就是不同的计算类间距离的⽅法1.最短距离法 计算两组间距离时，将两组间距离最短的元素作为两组间的距离2.最长距离法 将两组间最长的距离作为两组间的距离3.中间距离法 将G p,G q合并成为G r 计算G r与G k的距离时使⽤如下公式 D2kr = 1/2 * D2kp + 1/2 * D2kq + β * D2pq β是提前给定的超参数-0.25<=β<=04.重⼼法 每⼀组都可以看成⼀组多为空间中点的集合，计算组间距离时，可使⽤这两组点的重⼼之间的距离作为类间距离 若使⽤的是欧⽒距离 那么有如下计算公式 D2kr = n p/n r * D2kp + n q/n r * D2kq - (n p*n q / n r*n r ) * D2pq5.类平均法 两组之间的距离 = 组间每两个样本距离平⽅的平均值开根号 表达式为D2kr = n p/n r * D2kp + n q/n r * D2kq6.可变类平均法 可以反映合并的两类的距离的影响 表达式为D2kr = n p/n r *(1- β) * D2kp + n q/n r *(1- β) * D2kq + β*D2pq 0<=β<17.可变法 D2kr = (1- β)/2 * (D2kp + D2kq) + β*D2pq8.离差平⽅和法 这个⽅法⽐较实⽤ 就是计算两类距离的话，就计算，如果将他们两类合在⼀起之后的离差平⽅和 因为若两类本⾝就是⼀类，和本⾝不是⼀类，他们的离差平⽅和相差较⼤ 离差平⽅和:类中每个元素与这⼀类中的均值距离的平⽅之和 若统⼀成之前的公式就是 D2kr = (n k + n p)/(n r + n k) * D2kp + (n k + n q)/(n r + n k) -(n k)/(n r + n k) * * D2pq⼀些性质 除了中间距离法之外，其他的所有聚类⽅法都具有单调性 单调性就是指每次聚类搞掉的距离递增 空间的浓缩和扩张 D(A)>=D(B) 表⽰A矩阵中的每个元素都不⼩于B D(短) <= D(平) <= D(长) D(短，平) <= 0 D(长，平) >= 0 中间距离法⽆法判断。

多元统计分析第三章聚类分析


类平均法
类平均法的特点是定义两类之间的距 离平方为这两类元素两两之间距离的 平方的平均。其聚类方法和过程与前 两种方法相同。
离差平方和法
该方法的基本思想来自方差分析。即如 果分类正确，则同类样品的离差平方和 应当较小，而类间的离差平方和应当较 大。具体做法是：先令每个样品各自成 一类，然后每次缩小一类，计算所有可 能合并结果带来的离差平方和S，选择使 S增加最小的两类首先合并，依次类推。
设空间中的两点
P (x 1 ,x 2 , ,x p )',Q (y 1 ,y 2 , ,y p )'
s11,s22, ,spp
表示ｐ个变量ｎ次观测的样本方差，则定义 Ｐ到Ｑ 的统计距离为：
d (P ,Q ) (x 1y 1 )2 s 1 1
(x 2y 2 )2 s2 2
(x py p )2 sp p
所有样品之间的样品相关系数矩阵记为：
Cij (2) ，定义为：
r11 r12
r1 p
Cij (2) (rij )
r21 r22
r2 p
rn1 rn2
rnp
Q型聚类 R型聚类
计算公式p ：
xi x j
cosij
1 p
p
xi2
x
2 j
1 1 n
x i x j
cosij
1 n
n
j 个指标
1 ,2 , p )为第
i
一、相似系数：
这是大家最熟悉的统计量，它是将数据标准化后的夹
角的余弦。
常用 rij 表示。
p
(xik X i )(x jk X j )
rij
k1 p
p
1
( (xik X i )2 (x jk X j )2 ) 2

多元统计分析聚类分析PPT课件

(1)间隔尺度。指标度量时用数量来表示，其数值由 测量或计数、统计得到，如长度、重量、收入、支 出等。一般来说，计数得到的数量是离散数量，测 量得到的数量是连续数量。在间隔尺度中如果存在 绝对零点，又称比例尺度。
(2)顺序尺度。指标度量时没有明确的数量表示，只
有次序关系，或虽用数量表示，但相邻两数值之间的差距 并不相等，它只表示一个有序状态序列。如评价酒的味道， 分成好、中、次三等，三等有次序关系，但没有数量表示。
cij cosij
x x n
k1
ki
kj
x x n
k1
k2ik n1
2 kj
d2 ij
1Ci2j
五、距离和相似系数选择的原则
一般说来，同一批数据采用不同的亲疏测度指标，会得 到不同的分类结果。
产生不同结果的原因，主要是由于不同的亲疏测度指标 所衡量的亲疏程度的实际意义不同，也就是说，不同的亲 疏测度指标代表了不同意义上的亲疏程度。因此我们在进 行聚类分析时，应注意亲疏测度指标的选择。
4．对数变换 对数变换是将各个原始数据取对数，将原始数据的对数 值作为变换后的新值。即：
x* ij
logxi(j)
三、样品间亲疏程度的测度
研究样品或变量的亲疏程度的数量指标有
两种，一种叫相似系数，性质越接近的变量
或样品，它们的相似系数越接近于1或一l，而 彼此无关的变量或样品它们的相似系数则越接 近于0，相似的为一类，不相似的为不同类；
通常，选择亲疏测度指标时，应注意遵循的基本原则主 要有：
(1)所选择的亲疏测度指标在实际应用中应有 明确的意义。如在经济变量分析中，常用相 关系数表示经济变量之间的亲疏程度。
(2)亲疏测度指标的选择要综合考虑已对样本观测数据实施 了的变换方法和将要采用的聚类分析方法。 如在标准化变换之下，夹角余弦实际上就是相关系数； 又如若在进行聚类分析之前已经对变量的相关性作了处理， 则通常就可采用欧氏距离，而不必选用斜交空间距离。此 外，所选择的亲疏测度指标，还须和所选用的聚类分析方 法一致。 如聚类方法若选用离差平方和法，则距离只能选用欧氏距 离。

多元统计分析——聚类分析——K-均值聚类（K-中值、K-众数）

多元统计分析——聚类分析——K-均值聚类（K-中值、K-众数）注意：有的时候我们可以结合各个聚类算法的特性进⾏聚类，层次聚类的特点是⽐较直观的确定聚成⼏类合适，K-均值聚类的特点在于速度，所以这个这个时候我们可以采⽤以下的步骤进⾏聚类：⼀、K-均值聚类K-均值聚类与层次聚类都是关于距离的聚类模型，关于层次聚类的介绍详见《》。

层次聚类的局限：在层次聚类中，⼀旦个体被分⼊⼀个族群，它将不可再被归⼊另⼀个族群（单向的过程，局部最优的解法）。

故现在介绍⼀个“⾮层次”的聚类⽅法——分割法（Partition）。

最常⽤的分割法是k-均值（k-Means）法。

1、聚类算法的两种常见运⽤场景发现异常情况：如果不对数据进⾏任何形式的转换，只是经过中⼼标准化或级差标准化就进⾏快速聚类，会根据数据分布特征得到聚类结果。

这种聚类会将极端数据单独聚为⼏类。

这种⽅法适⽤于统计分析之前的异常值剔除，对异常⾏为的挖掘，⽐如监控银⾏账户是否有洗钱⾏为、监控POS机是有从事套现、监控某个终端是否是电话卡养卡客户等等。

将个案数据做划分：出于客户细分⽬的的聚类分析⼀般希望聚类结果为⼤致平均的⼏⼤类（原始数据尽量服从正态分布，这样聚类出来的簇的样本点个数⼤致接近），因此需要将数据进⾏转换，⽐如使⽤原始变量的百分位秩、Turkey正态评分、对数转换等等。

在这类分析中数据的具体数值并没有太多的意义，重要的是相对位置。

这种⽅法适⽤场景包括客户消费⾏为聚类、客户积分使⽤⾏为聚类等等。

以上两种场景的⼤致步骤如下：聚类算法不仅是建模的终点，更是重要的中间预处理过程，基于数据的预处理过程，聚类算法主要应⽤于以下领域：图像压缩：在使⽤聚类算法做图像压缩过程时，会先定义K个颜⾊数（例如128种颜⾊、256种颜⾊），颜⾊数就是聚类类别的数量；K均值聚类算法会把类似的颜⾊分别放在K个簇中，然后每个簇使⽤⼀种颜⾊来代替原始颜⾊，那么结果就是有多少个簇，就⽣成了由多少种颜⾊构成的图像，由此实现图像压缩。

(完整版)多元统计分析课后练习答案

第1章 多元正态分布1、在数据处理时，为什么通常要进行标准化处理？数据的标准化是将数据按比例缩放，使之落入一个小的特定区间。

在某些比较和评价的指标处理中经常会用到，去除数据的单位限制，将其转化为无量纲的纯数值，便于不同单位或量级的指标能够进行比较和加权。

其中最典型的就是0-1标准化和Z 标准化。

2、欧氏距离与马氏距离的优缺点是什么？欧氏距离也称欧几里得度量、欧几里得度量，是一个通常采用的距离定义，它是在m 维空间中两个点之间的真实距离。

在二维和三维空间中的欧氏距离的就是两点之间的距离。

缺点：就大部分统计问题而言，欧氏距离是不能令人满意的。

每个坐标对欧氏距离的贡献是同等的。

当坐标表示测量值时，它们往往带有大小不等的随机波动，在这种情况下，合理的方法是对坐标加权，使变化较大的坐标比变化较小的坐标有较小的权系数，这就产生了各种距离。

当各个分量为不同性质的量时，“距离”的大小与指标的单位有关。

它将样品的不同属性之间的差别等同看待，这一点有时不能满足实际要求。

没有考虑到总体变异对距离远近的影响。

马氏距离表示数据的协方差距离。

为两个服从同一分布并且其协方差矩阵为Σ的随机变量与的差异程度:如果协方差矩阵为单位矩阵,那么马氏距离就简化为欧氏距离,如果协方差矩阵为对角阵,则其也可称为正规化的欧氏距离。

优点：它不受量纲的影响，两点之间的马氏距离与原始数据的测量单位无关。

由标准化数据和中心化数据计算出的二点之间的马氏距离相同。

马氏距离还可以排除变量之间的相关性的干扰。

缺点：夸大了变化微小的变量的作用。

受协方差矩阵不稳定的影响，马氏距离并不总是能顺利计算出。

3、当变量X1和X2方向上的变差相等，且与互相独立时，采用欧氏距离与统计距离是否一致？统计距离区别于欧式距离，此距离要依赖样本的方差和协方差，能够体现各变量在变差大小上的不同，以及优势存在的相关性，还要求距离与各变量所用的单位无关。

如果各变量之间相互独立,即观测变量的协方差矩阵是对角矩阵, 则马氏距离就退化为用各个观测指标的标准差的倒数作为权数的加权欧氏距离。

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2.起源
起源于分类学，考古分类学中，人们主 要依靠专业知识和经验来实现分类，但 随着科学的发展，分工的细化，人类认 识的不断加深，就需要定性和定量分析 结合，于是数学工具逐渐被引进到分类 学当中，形成了数值分类学。再后来随 着多元分析析的引进，聚类分析又逐渐 从数值分析中分离出来从而形成一个相 对独立的分支。
变量聚类在统计学中又称为R型聚类。反映事 物特征的变量有很多，我们往往根据所研究的 问题选择部分变量对事物的某一方面进行研究
4.聚类分析内容：
系统聚类法， 序样品聚类法， 动态聚类法， 模糊聚类法， 凸轮聚类法， 聚类预报法等。
本章主要介绍常用的系统聚类法
§3.2相似性度量
一组复杂数据产生一个相当简单的类结构，必 然要求进行“相关性”或“相似性”度量。
1 至均值 1
解： 由假设可算得
1 1 1 0.9
0.9 0.9 1
从而有
dA2u (M )
(1,1)
11 1
0.2 0.19
dB2u (M )
(1, 1)
11 1
3.8 0.19
如果用欧氏距离，则有两者相等，而按马氏距离 两者相差19倍之多。由前面讨论，我们知道本例 的分布密度是
f(y 1 ,y 2 ) 21 0 .1 9 e x p0 .1 3 8 y 1 2 1 .8 y 1 y 2 y 2 2
第三章 聚类分析
§3.1聚类思想 §3.2 相似性度量 §3.3类和类的特征 §3.4系统聚类法
内容和要求：
熟练掌握聚类分析的基本分析原理 熟练掌握分析手段和技能 系统聚类法为本章重要内容
§3.1聚类分析的思想
聚类分析是应用多元统计分析原理研究分类问 题的一种统计方法，尽管它理论上还不是很完 善，但发展很快，已广泛运用到作物品种分类， 土壤分类，经济分析，地质勘测，天气预报等 各个领域。 一、定义 聚类分析定义：又称群分析，是研究分类问题 的一种方法。类指的是相似元素的集合。
Ａ，Ｂ两点的密度分别为
f( 1 , 1 )0 . 2 1 5 7 ,f( 1 ,1 )0 . 0 0 0 0 1 6 5 8
x2i x2 j
1 1
相关系数
通常所说的相关系数是指变量之 间的相关系数，用来说明任意两 样品之间由各个变量表现出的相 似关系，其计算方法可参照统计 学中的相关系数给出 。
其值介于-1与+1之间
计算公式：
Q型聚类 rij
p
(xi xi )(xj xj )
1
p
p
(xi xi )2 (xj xj )2
所有样品之间的样品相关系数矩阵记为：
Cij (2) ，定义为：
r11 r12
r1 p
Cij (2) (rij )
r21 r22
r2 p
rn1 rn2
rnp
Q型聚类 R型聚类
计算公式p ：
xi x j
cosij
1 p
p
xi2
x
2 j
1 1 n
x i x j
cosij
1 n
n
3.聚类分析的基本程序
1.根据样本的多个观测指标，具体找出一些能 够度量样品或指标之间相似程度的统计量
2.利用统计量将样品或指标进行分类。
根据分类对象不同可分为样品聚类和变量聚类。
样品聚类在统计学中又称为Q型聚类，用SPSS 的术语来说就是对事件或案例（CASE）进行聚 类。是根据被观测的对象各种特征，即反映被 观测对象特征的各变量值进行分类。
j 个指标
1 ,2 , p )为第
i
一、相似系数：
这是大家最熟悉的统计量，它是将数据标准化后的夹
角的余弦。
常用 rij 表示。
p
(xik X i )(x jk X j )
rij
k1 p
p
1
( (xik X i )2 (x jk X j )2 ) 2
k1
k1
Xi (i 1,2, ,n) 为第 i 个样品的ｐ个观测数据的均值
如：对我国30个省市自治区独立核算工业企 业经济效益进行分析，一般不是逐个省市自 治区分析，而是选取能反映企业经济效益的 代表性指标，如百元固定资产实现利税，资 金利税率，产值利税率，百元销售收入实现 利润，全员劳动生产率等等，根据这些指标 对30个省市自治区技能型分类，然后根据分 类结果对企业经济效益进行综合评价就易于 得出科学的分析。诸如此类的例子很多，需 要分类的问题很多，因此聚类分析这个有用 的数学工具越来越多的受到重视，在许多领 域都得到了广泛的应用。
当ｑ＝∞时
21
x )2 j
dij(
)
maxx
1 pi
x j
称为切比雪夫距离
当变量的观测数据值相差较悬殊时，需要先
对数据进行标准化处理，再用标准化处理后 的数据计算距离。
明考斯基（Minkowski）距离的不足之处： 与各指标的量纲有关；没有考虑指标之间 的相似性。较理想的处理是对坐标加权。 即产生“统计距离”
2、马氏（Mahalanobis）距离
d
2 ij
(
M
)
( x(i)
x( j) )'
1 ( x(i)
x( j))
其 中 x(i)表 示 矩 阵 行 向 量 的 转 置 ，
是数据矩阵的协Leabharlann 差阵。例 ：已知一个二维正态总体Ｇ的
分布为：
0 1 0.9 N2 0 0.9 1
求点 A 1 和 B 1
u 0 的距离 0
目前研究样品之间这种关系的用得最多的方法 主要有两种：
一种方法是用相似系数;
一种方法是定义空间距离。
设有ｎ个样品，每个样品测得ｐ项指标， 原始资料矩阵为：
x11 x12
x1p
X (X1,X2, ,Xn)'
x21 x22
x2p
xn1 xn2
xnp
其中 x ij(i
个样品的第
1 ,2 , ,n ;j
1
1
R型聚类
n
(xi xi )(x j xj )
rij
1
n
n
(xi xi )2 (x j xj )2
1
1
二、距离
1、明考斯基（Minkowski）距离
p
dij(q) (
x i
1
当ｑ＝１时
q1
x )q j
p
dij(q)
称为绝对距离
xx
i
j
1
当ｑ＝２时
p
dij(q) (
x i
称为欧氏距离 1
设空间中的两点
P (x 1 ,x 2 , ,x p )',Q (y 1 ,y 2 , ,y p )'
s11,s22, ,spp
表示ｐ个变量ｎ次观测的样本方差，则定义 Ｐ到Ｑ 的统计距离为：
d (P ,Q ) (x 1y 1 )2 s 1 1
(x 2y 2 )2 s2 2
(x py p )2 sp p