12球称重问题逻辑推理

12个球称重找次品首先，把12个小球分成三等份，每份四只。

拿出其中两份放到天平两侧称（第一次）情况一：天平是平衡的。

那么那八个拿上去称的小球都是正常的，特殊的在四个里面。

把剩下四个小球拿出三个放到一边，另一边放三个正常的小球（第二次）如天平平衡，特殊的是剩下那个。

如果不平衡，在天平上面的那三个里。

而且知道是重了还是轻了。

剩下三个中拿两个来称，因为已经知道重轻，所以就可以知道特殊的了。

（第三次）情况二：天平倾斜。

特殊的小球在天平的那八个里面。

把重的一侧四个球记为A1A2A3A4，轻的记为B1B2B3B4。

剩下的确定为四个正常的记为C。

把A1B2B3B4放到一边，B1和三个正常的C小球放一边。

（第二次）情况一：天平平衡了。

特殊小球在A2A3A4里面，而且知道特殊小球比较重。

把A2A3称一下，就知道三个里面哪个是特殊的了。

（第三次）情况二：天平依然是A1的那边比较重。

特殊的小球在A1和B1之间。

随便拿一个和正常的称，就知道哪个特殊了。

（第三次）情况三：天平反过来，B1那边比较重了。

特殊小球在B2B3B4中间，而且知道特殊小球比较轻。

把B2B3称一下，就知道哪个是特殊的了。

（第三次）参考答案2：此称法称三次就保证找出那个坏球，并知道它比标准球重还是轻。

将十二个球编号为1-12。

第一次，先将1-4号放在左边，5-8号放在右边。

1.如果右重则坏球在1-8号。

第二次将2-4号拿掉，将6-8号从右边移到左边，把9-11号放在右边。

就是说，把1,6,7,8放在左边，5,9,10,11放在右边。

1.如果右重则坏球在没有被触动的1,5号。

如果是1号，则它比标准球轻；如果是5号，则它比标准球重。

第三次将1号放在左边，2号放在右边。

1.如果右重则1号是坏球且比标准球轻；2.如果平衡则5号是坏球且比标准球重；3.这次不可能左重。

2.如果平衡则坏球在被拿掉的2-4号，且比标准球轻。

第三次将2号放在左边，3号放在右边。

1.如果右重则2号是坏球且比标准球轻；2.如果平衡则4号是坏球且比标准球轻；3.如果左重则3号是坏球且比标准球轻。

满意回答 1)猎人带狼先过河的对面，然后猎人把狼放下自己回来； 2)猎人再带儿子 A 过河，将儿子 A 放下，把狼带回来； 3)爸爸带儿子 B 过河，将儿子 B 放下，自己回来； 4)爸爸带妈妈过河，上岸后，妈妈自己回来； 5)猎人再带狼过河，猎人和狼都上岸，爸爸回来； 6)爸爸和妈妈再过河，妈妈自己回来； 7)妈妈带女儿 A 过河，妈妈和女儿 A 都上岸，猎人带狼回来； 8)猎人再带狼过河就可以了。 这是第二个，仔细看哈，有点不同的地方！ 1)猎人带狼先过河的对面，然后猎人把狼放下自己回来； 2)猎人再带男孩 A 过河，将男孩 A 放下，把狼带回来； 3)爸爸带女孩 A 过河，将女孩 A 放下，自己回来； 4）爸爸带女孩 B 过河，将女孩 B 放下，自己回来； 5)爸爸带妈妈过河，上岸后，妈妈自己回来； 6）妈妈带男孩 B 过河，将男孩放下后，自己回来； 7)妈妈跟猎人过河，上岸后，猎人在回去； 8)最后猎人再带狼过河就可以了。
④三鬼三人过河,船只能一次运 2 人,规则是两岸的鬼不能比人多,怎么才能安全 去对岸呢? 1、两个鬼过去，一个鬼回来 2、两个鬼过去，一个鬼回来 3、两个人过去，一人一鬼回来 4、两个人过去，一个鬼回来 5、两个鬼过去，一个鬼回来 6、两个鬼过去，完
⑤有三个食人族的父亲 带着三个孩子准备过河(孩子一旦离开自己的父亲就会 被别的大人吃掉，小孩不会吃小孩),三个大人都会划船，但只有一个小孩会划船。 船只有一艘,每次只能载两人,问怎么过河？ 设：父亲 A 和他的孩子 a ；父亲 B 和他的孩子 b ；父亲 C 和他的孩子 c 。小 孩 c 会划船 第一步：A 和 a 过河，把 a 留在对岸，A 划船回来 第二步：B 和 b 过河，B 不下船，b 下船，B 把船划回来 第三步：C 和 c 过河，C 不下船，c 下船，C 把船划回来

⼩球称重，⾯试逻辑题总结有12个⼩球，有⼀个质量和其它⼗⼀个不⼀样，不知道是重还是轻。

⽤⼀个天秤称三次，把这个质量不同的球给区别出来将12个⼩球编号 1~C1 对⽐ 1234 & 56781.1 1234 = 5678，则坏球在9ABC中，第⼆次称 1239 & 56AB1.1.1 1239 = 56AB，则坏球是C1.1.2 1239 > 56AB，则坏球在9AB中，且 9 > AB 第三次称 A & B1.1.2.1 A = B，坏球是9， 9偏重1.1.2.2 A > B，坏球是B， B偏轻1.1.2.3 A < B，坏球是A， A偏轻1.1.3 1239 < 56AB，则坏球在9AB中，且 9 < AB 第三次称 A & B1.1.3.1 A = B，坏球是9， 9偏轻1.1.3.2 A > B，坏球是A， A偏重1.1.3.3 A < B，坏球是B， B偏重1.2 1234 > 5678, 则坏球在1~8中，且要么1234中有偏重的坏球，要么5678中有偏轻的坏球，称 2345 & ABC11.2.1 2345 = ABC1，则坏球在678中，第三次称 6 & 71.2.1.1 6 = 7，则坏球是8，8偏轻1.2.1.2 6 > 7，则坏球是7， 7偏轻1.2.1.3 6 < 7, 则坏球是6， 6偏轻1.2.2 2345 > ABC1，则坏球在234中，因为如果234是正常，说明 5 > 1，显然1.2 1234 > 5678 不成⽴，第三次称 2 & 31.2.2.1 2 = 3, 4是坏球，4偏重1.2.2.2 2 > 3, 2是坏球，2偏重1.2.2.3 2 < 3, 3是坏球，3偏重1.2.3 2345 < ABC1，说明坏球在51中，因为如果51正常，说明 234 < ABC ,显然 1.2 1234 > 5678不成⽴，克制 5 < 1，第三次称1& A1.2.3.1 1 = A，坏球是5，5偏轻1.2.3.2 1 > A，坏球是1，1偏重1.2.3.3 1 < A，此情况不存在1.3 1234 < 5678，判断⽅法同1.2。

解题方法的反思
在解决这道数学题的过程中，我发现 数形结合的方法非常有效，可以将抽 象的数学问题转化为直观的几何图形 问题，从而更容易找到解决问题的关 键点。同时，我也意识到了在解题过 程中要仔细阅读题目，理解问题的要 求，并注意每个细节对结果的影响。
对数学解题的反思
01
数学解题的要点
在解决数学问题时，首先要仔细阅读题目，理解问题的要求，然后采用
概率法答案解析
概率法
概率法答案
概率法解析
通过概率计算和统计分析，求解出未 知数的值。
通过概率法，我们可以得出12个球中 有一个是次品，次品球的重量与正品 球重量之差为0.5克。
首先，我们假设正品球和次品球被选 中的概率是相等的，然后我们计算出 正品球和次品球被选中的概率。接着 ，我们根据天平的平衡原理，计算出 正品球和次品球的重量差。最后，我 们通过统计分析，得出次品球的重量 差为0.5克。
例如，对于12个球的问题，我们可以设11个球的重量为x，未 知的球重量为y，然后根据题目条件建立等式或不等式，如 “(11x+y)/12=x”，解这个方程可以得到y的值，即未知球的 重量。
几何法
几何法是一种通过几何图形和空间关系来解决问题的方法 。在解决12个球的问题时，我们可以将问题转化为几何问 题，利用几何图形的性质和空间关系来求解。
几何法解题步骤
01
02
பைடு நூலகம்03
分析图形
根据题意，画出相关图形， 并标注已知条件。
寻找关系
利用几何性质和已知条件， 找出图形之间的关系。
计算结果
通过几何计算，得出最终 结果。
概率法解题步骤
确定事件
根据题意，确定所求事件及其相 关事件。

种天气会出现，今天是不确定的，今天只是知道明天各种天气的发生 概率，并且知道所有各种天气出现的概率总和为 1。我们来看看事件 集合中发生某事件的信息大小和该事件发生的概率之间的关系。 某事 件发生的概率越小，该事件发生后给我们的“震撼”越大。比如“明 天发生、不发生地震”这一事件集合中，明天不发生地震的概率远大 于发生地震的概率，所以真的明天发生了地震，那我们所获得的信息 量就比没有发生地震要大的多。此外，信息具有可加性，“今天地震 了又下雨” 给我们的信息应该是今天发生了地震和今天下雨两个事件 的信息的和， 而两个事件同时发生的概率又是这两个事件各自发生概 率的乘积，基于此，香农将某一“发生概率为 P”的事件的出现带来 的信息量定义为 1/P 的对数，即 log r 1/P。基数 r 的不同，使得信息 量可以有不同的单位，基数 r=2，单位就是比特。比如抛一枚硬币结 果是“国徽向上”的信息量是 log 21 (1 2) =1 比特。 好，我们仅用这一点信息理论，就可以解决上面提出来的那个称 球问题了。我们的想法是，如果确定 12 个球当中的坏球需要的信息 量是 A，而从每次天平的称量结果可以至少获得的信息量是 B，那不 小于 A/B 的整数就应该是所需的最小的称量次数了。在称以前，十二 只球的任何一个都可能是坏球，而且概率一样，都是 1/12，所以称 量最终确定了是哪一只后，我们得到了表征“坏球是 12 个球中的哪 一个”的 log 21 (1 12) = log 212 比特信息。另外，表明“好”球、“坏” 球是以球的轻重为标准的，所以，如我们从前面策略树上看到的，最 终的结果不仅是我们找到了坏球，而且知道了坏球比好球是轻了，还
下面开始， 叙述更加繁琐， 如果大家对推导、 证明过程没有兴趣， 可以只阅读每节最后归纳的结论。 为了叙述的方便，我们将表述“坏球出现在 N 个球的前面 X 个球 中，那一定是重了，如果出现在剩下的(N-X)个球中，那一定是轻了” 想象成一次称量（X；N-X）的结果（我们在球数少的一侧加上标准重 量的球），我们称这次想象的称量为第一次称量，即我们的第一次称 量得到了坏球是轻是重的“分布”，这样，我们要研究的就是后续的 第二次、第三次……的称量操作方法。 第二次称量的称法是这样的：我们尽可能将 X 个球均分成 3 组， 这样各组之间的球数差不会超过 1 个。如果这 3 组中包含了坏球，那 坏球一定是重了，故我们记为重组 1、重组 2、重组 3。同样，余下 的 N-X 个球，也这样分成 3 组，分别记为轻组 1、轻组 2、轻组 3， 如果这 3 组中包含了坏球，那坏球一定是轻了。我们分别取重组、轻 组各 1 组，合成新的三部分，由于原来轻重各自组的球数差不会超过 1 个，这样适当的取组安排可以使得三部分的球数差也不会超过 1。 我们的目的是将要进行称量的球最为均匀地分成三部分（如果 N 是 3 的正整数幂，那三部分的球数都相等）。比如，如果：重组 1 球数≥ 重组 2 球数≥重组 3 球数，轻组 1 球数≥轻组 2 球数≥轻组 3 球数， 我们组合的三部分就可以是（重组 1、轻组 3）、 （重组 2、轻组 2）、 （重组 3、轻组 1）。我们对这三部分的球进行三种操作：1、“留” （指这部分球留在前一次 “想象” 称量时所在天平的盘中） 。 2、“换” （指这部分球前一次“想象”称量在左盘的，现在要换到右盘；原来

左重则6号轻了，右重则5号轻了，平衡则7号轻了。
三。右重。说明有问题的是1－8号。
＊＊把1，5－7放在左边，8－11放在右边。
有三种结果：
1.平衡。说明2－4中有一个球轻了。
＊＊把2号放在左边，3号放在右边。
左重则3号轻了，右重则1号轻了，平衡则4号轻了。
2.右重。说明1号轻了，或者8号重了。
2),简化描述称量的左右(放法)-----把某号球放左边设为1,右边设为-1,不放上去设为0.用行向量i表示某次称量所有球的左右状态.
3),描述称量结果:
由1),2)已经可以确定一个称量式
∑各球的重量*放法=天平称量结果.--------(1)式
如果我们用向量j,i分别表示球的重量状态和球的左右放法情况(j为行向量,i为列向量),对于(1)式,可以改写为
9号球，且重 －左、左、右 9号球，且轻 －右、右、左
10号球，且重－右、左、平 10号球，且轻－左、右、平
11号球，且重－左、右、左 11号球，且轻－右、左、平
12号球，且重－右、左、左 12号球，且轻－左、右、右
三·问题延伸
1，13个球称3次的问题：
从上面的解答中被除去的3个向量为(0,0,0)(1,1,1)(-1,-1,-1).而要能判断第13个球，必须加入1对对偶向量，如果加入的是(1,1,1)(-1,-1,-1),则
左边2，9，10，12：右边3，4，8，11；
左边1，4，11，12：右边3，6，7，9 。
*********** ********** ************ **********
1号球，且重 －平、平、左 1号球，且轻 －平、平、右
2号球，且重 －平、左、平 2号球，且轻 －平、右、平

第一种。
把球编为①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑾⑿。（13个时编号为⒀） 第一次称：先把①②③④与⑤⑥⑦⑧放天平两边， ㈠如相等，说明特别球在剩下4个球中。 把①⑨与⑩⑾作第二次称量， ⒈如相等，说明⑿特别，把①与⑿作第三次称量即可判断是⑿是重还是轻 ⒉如①⑨＜⑩⑾说明要么是⑩⑾中有一个重的，要么⑨是轻的。 把⑩与⑾作第三次称量，如相等说明⑨轻，不等可找出谁是重球。 ⒊如①⑨＞⑩⑾说明要么是⑩⑾中有一个轻的，要么⑨是重的。 把⑩与⑾作第三次称量，如相等说明⑨重，不等可找出谁是轻球。 ㈡如左边＜右边，说明左边有轻的或右边有重的 把①②⑤与③④⑥做第二次称量 ⒈如相等，说明⑦⑧中有一个重，把①与⑦作第三次称量即可判断是⑦与⑧中谁是重球 ⒉如①②⑤＜③④⑥说明要么是①②中有一个轻的，要么⑥是重的。 把①与②作第三次称量，如相等说明⑥重，不等可找出谁是轻球。 ⒊如①②⑤＞③④⑥说明要么是⑤是重的，要么③④中有一个是轻的。 把③与④作第三次称量，如相等说明⑤重，不等可找出谁是轻球。 ㈢如左边＞右边，参照㈡相反进行。 当13个球时，第㈠步以后如下进行。 把①⑨与⑩⑾作第二次称量， ⒈如相等，说明⑿⒀特别，把①与⑿作第三次称量即可判断是⑿还是⒀特别，但判断不了轻重了。 ⒉不等的情况参见第㈠步的⒉⒊
第二种。
把12个球分3组，每组4个，第一次称，将其中2组放天平两端 ㈠如相等，说明特别球在剩下4个球中。 把前8中取2个和后4中的2 个秤，这样可以排除2个，再从2个不确定的球中取1个和前8中的1个秤，则得哪一个是特殊球。
（二），若不等，重新编号，将重的一边编号为1-4，轻的编号为5-8。剩下的4个编号为9-12.第二次称，将1，2，5，6和7，9，10，11放在天平两端，（1），若相等，则说明要么3，4中有一个重的，要么8是轻的，将3，4称量，可得。（2），若1...<7...则说明5，6中有一个轻的，将2个称量可得。（3），若1...>7...说明要么1，2中有一个重的要么7是轻的，将1，2称量可第一次称，将其中2组放天平两端 ㈠如相等，说明特别球在剩下4个球中。 把前8中取2个和后4中的2 个秤，这样可以排除2个，再从2个不确定的球中取1个和前8中的1个秤，则得哪一个是特殊球。

8
取9、a和b、1进行第二次称重， 9、a比b、1轻说明有问题的球在9、 a、b三个球中；将b拿下，9换边，再放上好球2进行第三次称重
•第二次称重不平说明问题球在9ab中，但是不 知道是球9a轻还是球b重
9 a
第二次称重不平 9a比b1轻
b
1
9
1
2
a 2 a 9 1
第三次称重
2 a 9 1
6
说明b没有问题，9a中有 一个轻，球9轻
21
目录
12球问题 12球问题分析 12球问题解答 12球问题解答验证 总结
1
12球问题
12球是个非常著名的智力问题，据说能在2小时内解答出来的 人智商相当高 问题： 有12个球，大小外观相同，其中有一个问题球，重量和其 它球不一致，未知轻重；只有一个天平，只允许称三次；找 出问题球，并判断轻重
2
目录
20
问题的答案并不是最重要的，寻找答案的过程更有意义
仔细分析整个问题的解答过程，有几点值得玩味： 将12个球编号标识出来，是个不容易觉察出来要点 排除法和交换法结合 9abc球称重时，拿掉一个球，进行交换 1~8号球第二次称重时，拿掉3个球，交换3个球，是这个 解答的核心 场景标识利于结果验证 如果你专注于解答，即使想出办法，也仅仅证明你的智商足够 ；如果能更多地思考科学解决问题的方法，你才能更进一步， 才有可能完成更高更复杂的研究。
9 a b 4
第三次称重
1
2
1 1 2 2
22
问题球2轻
23
问题球是1轻
24
问题球3轻
17
目录
前言 12球问题分析 12球问题解答 12球问题解答验证 总结
18

趣味逻辑推理题
称 球 问 题
甲 丁
12个球中有1个球是次品，请用天平称3次找出那个次品球。

（注意：是次品球，次品球的轻重不知道，是要分析判断的。

）
这个问题的关键是不知道这个次品球比其他好球是轻还是重，这要通过分析判断才能确定，我在《趣味逻辑推理第133题》里已做了推理，为了更直观地说明这个方法，本文再用示意图来表述如下：
先把这12个球按顺序编号：
第一次称：
有两种结果：
（或者＜）
（说明次品球在9－12号球四个球中） （说明次品球在1－8号球八个球中）
―――――――――――――――――――――――――――――――――――― 第二次称：
—————————————————————————————
第三次称：。

12个球和一个天平，现知道只有一个和其它的重量不同，问怎样称才能用三次就找到那个球脑力练习12个球编号1-12第一次左边1，2，3，4右边 5，6，7，8第二次左边1，5，9，10右边 3，4，6，11第三次左边2，6，8，9右边3，5，10，12分组方法有很多种。

分组原则：1、任意两个球不能在称重区同一侧同时出现3次（比如1，2同在左3次，或同在左两次，右一次等等，这样都不行，这样分不清1，2的好坏）2、任意两个球不能在称重区同一侧同时出现2次，并在储备区（指没有上托盘）同时出现一次3、任意两个球不能在称重区同一侧同时出现1次，并在储备区（指没有上托盘）同时出现两次4、任意两个球不能在储备区（指没有上托盘）同时出现两次或以上。

左边对右边，情况可能为3种，大，平，小下面说的如大大平，表明第一次大，第二次大，第三次平。

1重出现大大平，1轻出现小小平2重出现大平大，2轻出现小平小3重出现大小小，3轻出现小大大4重出现大小平，4轻出现小大平5重出现小大小，5轻出现大小大6重出现小小大，6轻出现大大小7重出现小平平，7轻出现大平平8重出现小平大，8轻出现大平小9重出现平大大，9轻出现平小小10重出现平大小，10轻出现平小大11重出现平小平，11轻出现平大平12重出现平平小，12轻出现平平大最佳答案12个球分成3组，每组4个第一步，拿两组出来称。

4：4如果平衡的话，不标准的就在另外的那组4个。

第二步从那组中，拿出2个球，和两个标准的球上天平称，如果平衡，就在剩下的2个球。

第三步，那两个球拿出一个和标准的称。

平衡的话，不标准的就是剩下的那个，不平衡的话，就是上秤的这个。

回到第二步，如果不平衡，不标准的球就是在上秤的这两个里面，重复第三步。

从两个球里找，不标准的。

现在讨论4：4不平衡的情况，剩下的一组那4个都是标准的，一会要用这些标准的球参考。

第一步，4：4不平衡第二步，从较重的那组拿出3个球，放到一边。

再把较轻的一组拿出3个放到较重的那组。

前面用猜数字游戏说明了二分的思想，这里再看一个常见的思维题：12个小球，其中有一个是坏球。

有一架天平。

需要你用最少的称次数来确定哪个小球是坏的并且它到底是轻还是重。

这个问题是一道流传已久的智力题。

网络上也有很多讲解，还有泛化到N个球的情况下的严格证明。

也有零星的一些地方提到从信息论的角度来看待最优解法。

本来我一直认为这道题目除了试错之外没有其它高妙的思路了，只能一个个方法试，并尽量从结果中寻找信息，然后看看哪种方案最少。

然而，实际上它的确有其它的思路，一个更本质的思路，而且根本用不着信息论这么拗口的知识。

我们先回顾一下猜数字游戏。

为了保证任何情况下以最少次数猜中，我们的策略是每次都排除恰好一半的可能性。

类比到称球问题上：∙坏球可能是12个球中的任意一个，这就是12种可能性。

∙而其中每种可能性下坏球可能轻也可能重。

于是“坏球是哪个球，是轻是重”这个问题的答案就有12×2=24种可能性。

现在我们用天平来称球，就等同于对这24种可能性发问，由于天平的输出结果有三种“平衡、左倾、右倾”，这就相当于我们的问题有三个答案，即可以将所有的可能性切成三份，根据猜数字游戏的启发，我们应当尽量让这三个分支概率均等，即平均切分所有的可能性为三等份。

如此一来的话一次称量就可以将答案的可能性缩减为原来的1/3，三次就能缩减为1/27。

而总共才有24种可能性，所以理论上是完全可以3次称出来的。

如何称的指导原则有了，构造一个称的策略就不是什么太困难的事情了。

首先不妨解释一下为什么最直观的称法不是最优的——6、6称：在6、6称的时候，天平平衡的可能性是0。

刚才说了，最优策略应该使得天平三种状态的概率均等，这样才能三等分答案的所有可能性。

为了更清楚的看待这个问题，我们不妨假设有6个球，来考虑一下3、3称和2、2称的区别：在未称之前，一共有12种可能性：1轻、1重、2轻、2重、…、6轻、6重。

3、3称：现在将1、2、3号放在左边，4、5、6放在右边3、3称了之后，不失一般性假设天平左倾，那么小球的可能性就变成了原来的一半（6种）：1重、2重、3重、4轻、5轻、6轻。

序古老的智力题详述:有12个球特征相同,其中只有一个重量异常,要求用一部没有砝码的天平称三次,将那个重量异常的球找出来。

以下会给4个解答，一个比一个牛，一个比一个震撼！第一篇先给个被号称网上最牛的解答，一种新的完全的数学解法（线代+信息论），该文解法创于2005年，一次与友人聊天建议发表到QQ346546618的个人空间（2006年7月），后被网友转载到各大网站并被收入到百度文库。

第二篇会给个EXCEL进阶解法，网友们可以用此法加上分块矩阵的方法继续找出9球称4次找2异常球的具体解法或更复杂的称球问题。

第三篇会给出2个很漂亮完美的非常特别的解，其称量结果的三进制和异常球序号及和轻重状态具有简洁的一一对应关系。

第一篇（学好数理化走遍天下都不怕）原文：网上的最多的方法是逻辑法,还有少数画成图的所谓策略树和基于此的程序算法.这里我提出一种新的完全的数学解法:一·首先提出称量的数学模型:把一次称量看成一个一次代数式,同样问题就可以描述成简单的矩阵方程求解问题.怎么把一次称量表示成一个代数式呢?1),简化描述小球的重量(状态)----正常球重量设为0,设异常球比正常球重为1或轻为-1,异常球未知轻重时用x代表(只取1或-1).用列向量j表示所有球的重量状态.2),简化描述称量的左右(放法)-----把某号球放左边设为1,右边设为-1,不放上去设为0.用行向量i表示某次称量所有球的左右状态.3),描述称量结果:由1),2)已经可以确定一个称量式∑各球的重量*放法=天平称量结果.--------(1)式如果我们用向量j,i分别表示球的重量状态和球的左右放法情况(j为行向量,i为列向量),对于(1)式,可以改写为j*i=a(常数a为单次称量结果) -------------(2)式例如有1-6号共6个小球,其中4号为较重球,拿3号5号放左边,1号4号放右边进行称量,式子为:(-1)*0+0*0+1*0+(-1)*1+1*0+0*0=-1,从-1的意义可以知道它表示结果的左边较轻;同样可以得到0表示平衡,1表示左边较重.4),方程用来描述称量过程,还需附加一个重要的条件:代表放左边的1和右边的-1个数相等,也就是∑各球的放法=0-------------------------(3)式这样就解决了称量的数学表达问题.对于12个小球的3次称量,分别用12维行向量j1,j2,j3表示,由j1j2j3便构成了3×12的称量矩阵J；对于某一可能情况i,对应的3次称量结果组成的3维列向量b,得J*i=b二·称球问题的数学建模问题的等价：设J为3×12的矩阵，满足每行各项之和为0。

12球称重问题逻辑推理题目：有12个外观一样的球，有且仅有一个是坏球，但是不知道坏球是比好球轻还是重，利用天平最多称重三次找出这个坏球，并指出是比好球轻还是重。

推理：将12球分成ABC三组，每组4个，随机选两组进行称重A and B，此时有三种情况1. A=B，则坏球在C组中。

此时C1C2 and C3A1，有三种情况1.1 C1C2> C3A1 则C1C2重或C3轻，此时C1 and C2，有三种情况1.1.1 C1>C2，则C1是坏球，且坏球重于好球1.1.2 C1<C2，则C2是坏球，且坏球轻于好球1.1.3 C1=C2，则C3是坏球，且坏球轻于好球1.2 C1C2<C3A1 则C1C2轻或C3重，此时C1 and C2，有三种情况1.2.1 C1>C2，则C2是坏球，且坏球轻于好球1.2.2 C1<C2，则C1是坏球，且坏球轻于好球1.2.3 C1=C2，则C3是坏球，且坏球重于好球1.3 C1C2=C3A1 则C4是坏球，此时C4 and A1，就可知道坏球轻重2 A>B，则A重或B轻。

此时A1A2B1B2 and A3B3C1C2，有三种情况2.1 左>右，则A1A2重或B3轻，此时A1 and A2，可知道结果。

有三种情况2.1.1 A1>A2，则A1是坏球，且坏球重于好球2.1.2 A1<A2，则A2是坏球，且坏球重于好球2.1.3 A1=A2，则B3是坏球，且坏球轻于好球2.2 左<右，则B1B2轻或A3重，此时B1 and B2，可知道结果。

有三种情况2.2.1 B1>B2，则B2是坏球，且坏球轻于好球2.2.2 B1<B2，则B1是坏球，且坏球轻于好球2.2.3 B1=B2，则A3是坏球，且坏球重于好球2.3 左=右，则A4重或B4轻，此时A1 and A4，可知道结果。

3 A<B，则A轻或B重。

十二个球问题的思路整理问题：有12个球，形状和外观完全一致，有是11个是标准球，1个球是坏球（或轻或重），给你一架天平，最多称重3次，找出坏球并告知轻重。

一 简化版及解决问题○1：4个球，其中有1个坏球，可用除这4个球意外的标准球，用天平2称区分出坏球并告知轻重。

方法○1：4个球编号○a ○b ○c ○d 辅助标准球○e 。

步骤2实际解决了一个子问题○1：3个球○a ○b ○c ，或者○a ○b 有一个重或者○c 轻的情况下一称可找出坏球的解决方法，记为子方法○1，轻重交换的情况是它的对偶方法也记为子方法○1。

下面不再啰嗦。

○a ○b —○c ○e 步骤1平左重右重○d 是坏球，与○e 比较一次可知轻重。

○a —○b 步骤2与左重对偶（重换轻）平左重右重○c 是轻的坏球 ○a 是重的坏球 ○b 是重的坏球二 原问题的解决方法○2：12个球编号○a ○b ○c ○d ○e ○f ○g ○h ○i ○j ○k ○l 。

步骤2的解释：当步骤1不平，丢弃○c ○d ○e ，左右交换一个球（○b 和○f ），然后补充好球○l 到左侧。

这样如果天平变平衡，说明○c ○d ○e 中有坏球，并且由步骤1知道：○c ○d 中有重的坏球或者○e 是轻的坏球，用子方法○1；如果天平平衡不改变（还是左重），说明交换的○b 和○f 都是好球，得知：○a 是重的坏球，或者○g ○h 之一是轻的坏球，用用子方法○1的对偶；天平平衡改变了（变右重），说明交换的○b 和○f 中有坏球，或者○b 是重的坏球或者○f 是轻的坏球，任意拿一个好球比较下就可以区分。

三 一次性解法逻辑性分析起来确实有点烧脑。

实际上，称三次，每次天平可能有三种状态，于是可以排列出3*3*3=27种状态，而12个球轻重异常状态只有12*2=24种，于是合理组合，是可以根据三次天平的状态直接找出哪个球异常的。

下面给出这种组合：○l —○b 步骤3○a ○b ○c ○d —○e ○f ○g ○h 步骤1平左重右重○i ○j ○k ○l 符合方法○1 ○a ○f ○l —○b ○g ○h 步骤2与左重对偶（交换符号）平左重右重○c ○d ○e 符合子方法○1 ○a ○g ○h 符合子方法○1的对偶 平右重○f 是重的坏球 ○b 是重的坏球。

称球问题12个球和一个天平，现知道只有一个和其它的重量不同，问怎样称才能用三次就找到那个球？（注意此题并未说明那个球的重量是轻是重，所以需要仔细考虑)参考答案1：首先，把12个小球分成三等份，每份四只。

拿出其中两份放到天平两侧称（第一次）情况一：天平是平衡的。

那么那八个拿上去称的小球都是正常的，特殊的在四个里面。

把剩下四个小球拿出三个放到一边，另一边放三个正常的小球（第二次）如天平平衡，特殊的是剩下那个。

如果不平衡，在天平上面的那三个里。

而且知道是重了还是轻了。

剩下三个中拿两个来称，因为已经知道重轻，所以就可以知道特殊的了。

（第三次）情况二：天平倾斜。

特殊的小球在天平的那八个里面。

把重的一侧四个球记为A1A2A3A4，轻的记为B1B2B3B4。

剩下的确定为四个正常的记为C。

把A1B2B3B4放到一边，B1和三个正常的C 小球放一边。

（第二次）情况一：天平平衡了。

特殊小球在A2A3A4里面，而且知道特殊小球比较重。

把A2A3称一下，就知道三个里面哪个是特殊的了。

（第三次）情况二：天平依然是A1的那边比较重。

特殊的小球在A1和B1之间。

随便拿一个和正常的称，就知道哪个特殊了。

（第三次）情况三：天平反过来，B1那边比较重了。

特殊小球在B2B3B4中间，而且知道特殊小球比较轻。

把B2B3称一下，就知道哪个是特殊的了。

（第三次）参考答案2：此称法称三次就保证找出那个坏球，并知道它比标准球重还是轻。

将十二个球编号为1-12。

第一次，先将1-4号放在左边，5-8号放在右边。

1.如果右重则坏球在1-8号。

第二次将2-4号拿掉，将6-8号从右边移到左边，把9-11号放在右边。

就是说，把1,6,7,8放在左边，5,9,10,11放在右边。

1.如果右重则坏球在没有被触动的1,5号。

如果是1号，则它比标准球轻；如果是5号，则它比标准球重。

第三次将1号放在左边，2号放在右边。

1.如果右重则1号是坏球且比标准球轻；2.如果平衡则5号是坏球且比标准球重；3.这次不可能左重。

12球称重问题逻辑推理一、题目内容有12个球，其中11个球质量相同，另一个球质量不同（可能轻也可能重）。

使用一个没有砝码的天平，最多称3次，找出这个质量不同的球，并确定它是比其他球轻还是重。

二、解题思路（一）第一次称重将12个球平均分成三组，每组4个球，标记为A组、B组、C组。

把A组和B组放在天平两端进行称重。

1. 情况一：A组 = B组- 说明质量不同的球在C组中。

A组和B组的8个球都是标准球。

- 第二次称重：从C组中任意取3个球（标记为C1、C2、C3），再从A组或B 组中取3个标准球，放在天平两端称重。

- 情况一：如果这两组球相等，那么C组剩下的那个球（C4）就是质量不同的球。

- 第三次称重：将C4与一个标准球称重，就可以确定C4是比标准球轻还是重。

- 情况二：如果C1、C2、C3这组球比标准球重（或轻）。

- 第三次称重：从C1、C2、C3中任意取两个球（比如C1和C2）放在天平两端。

- 如果C1 = C2，那么C3就是质量不同的球，且根据第二次称重可知它比标准球重（或轻）。

- 如果C1 > C2（或C1 < C2），且第二次称重时C1、C2、C3比标准球重，那么C1就是质量不同的球且重（如果第二次称重时C1、C2、C3比标准球轻，那么C2就是质量不同的球且轻）。

2. 情况二：A组≠B组- 说明质量不同的球在A组或者B组中，C组的4个球是标准球。

假设A组重（B组重的情况同理）。

- 第二次称重：把A组中的3个球（标记为A1、A2、A3）和B组中的1个球（B1）放在天平左边，把A组剩下的1个球（A4）和3个标准球（来自C组）放在天平右边。

- 情况一：左边 = 右边- 说明质量不同的球在B组剩下的3个球（B2、B3、B4）中，而且这个球比标准球轻。

- 第三次称重：从B2、B3、B4中任意取两个球（比如B2和B3）放在天平两端。

- 如果B2 = B3，那么B4就是质量不同的球且轻。

- 如果B2 > B3，那么B3就是质量不同的球且轻（如果B2 < B3，那么B2就是质量不同的球且轻）。

关于12个⼩球称重的问题，终于得出了以下答案⼯作后发觉脑⼦如果不⽤是要⽣锈的，所以以这道题来练练脑袋。

在某⼈的帮助下，我得出了以下答案，希望有什么补充的⼤家提出来。

问题：12个⼩球，其中有⼀个重量和其他的不同（以下称为坏球，其余11球称为好球），使⽤⽆砝码的天平称量3次，如何确定出那个⼩球有问题。

解答：⾸先将12个⼩球分为3组，分别是A1 A2 A3 A4, B1 B2 B3 B4以及C1 C2 C3 C4。

情况⼀：A1 A2 A3 A4与B1 B2 B3 B4进⾏称量，此时若天枰平衡，坏球肯定是C1 C2 C3 C4中的⼀个。

任意拿好球A1 A2与C1 C2称量。

1.若天枰达到平衡，则坏球必在C3 C4中，之后再次选⼀好球与C3或C4称量，此时若称量C3时天枰平衡，则坏球必是C4；若称量C3时天枰倾斜，则C3即是坏球。

2.若天秤倾斜，则坏球必在C1 C2中，之后的⽅法不再复述，与上⾯相同。

情况⼆：A1 A2 A3 A4与B1 B2 B3 B4进⾏称量，此时若天枰倾斜，进移动⼩球，从⽽进⾏第⼆次测量。

此处可知C1 C2 C3 C4必是好球。

拿出⼩球A1 A2 A3,使A4 B1 B2 B3与B4 C1 C2 C3进⾏第⼆次称量。

这种情况下我们可得出以下⼏种情况。

第⼆次称量时天枰达到平衡：第⼆次称量时天枰达到平衡, 此时若B球中的任意⼀球是坏球，则会造成天秤的不平衡，所以B的四球肯定是好球，继续推得A4是好球，此时坏球必是拿出的A1 A2 A3中的⼀个。

第三次称量⽤A1与A2，此时若天枰平衡，A3必是坏球；此时若天枰倾斜⼜可分为两种情况，若第⼀次称量时天枰左重右轻，可知坏球肯定⽐好球重，那么第三次称量天秤倾斜时，则哪边重哪边是坏球。

反之若第⼀次称量时天秤左轻右重，可知坏球肯定⽐好球轻，那么第三次称量天枰倾斜时，哪边轻哪边就是坏球。

第⼆次称量时天秤倾斜⽅向不变（此时A1 A2 A3肯定是好球）即第⼀次称量左边⽐右边重，第⼆次称量仍然左边⽐右边重。