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34三铰拱

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3_4三铰拱

3_4三铰拱


二、三铰拱的计算 （在竖向荷载作用下的平拱） 1、支座反力 与同跨度同荷载对应简支梁比较
a1
d P1 a 2
D HA C
b1 b2
P2
MA 0
VB
1 Pa 1 1P 2 a2 l
VB VB
A
VA
y
f
l2
x
l1 l
B
HB
MB 0
VA
1 Pb 1 1P 2b2 l
y x
M
x
H
q ql 2 4 f 2 x l x x l x l 2 8f
Mo
A
V
A
N Q sin H cos
D

Ｈ
3、受力特点 （1）在竖向荷载作用下，拱有水平推力 H ; （2）由于推力 H 的存在，拱截面弯矩比相应简支梁小; （3）在竖向荷载作用下，拱内有轴力 N，且一般为压力。
q=2kN∙m y
1 0 3 4 5
P=8kN
例 1、三铰拱及所受荷载如图
0.667
2 33 41,sin 2 0555 . ,cos 2 0832 .
（注意截面6处 Q 有突变）
o
N 2 Q2 sin 2 H cos 2 11 2 3 0.555 7.5 0.832 9.015kN
绘制内力图
q y C q B l/2 x A B x
A
l/2
f
M x [解] 由式 y x H

ql 2
ql 2
先列出简支梁的弯矩方程
q M x x l x 2
拱的推力为：
注意
结构力学-三铰拱

结构力学-三铰拱


曲梁
拱
拱 (arch)
一、概述
2.拱的受力特点 拱的受力特点 拱
曲梁
P
拱比梁中的弯矩小
拱 (arch)
一、概述
3.拱的分类 拱的分类
超静定拱
静定拱
两铰拱
三铰拱 拉杆 拉杆拱
高差h 高差
超静定拱
无铰拱 斜拱
拱 (arch)
一、概述
4.拱的有关名称 拱的有关名称 顶铰 拱肋 拱趾铰 跨度 拱肋 拱趾铰 矢高
1 l l a1 b1 不再顶部,或 铰C不再顶部 或 不再顶部 FH = [Y A × − P1 ( − a1 )] f 2 2 0 b a2右边的结2 YB0 YA不是平拱 不是平拱,右边的结 l l
M c0 = [Y A0 × − P1 ( − a1 )]
YB=YB YA=YA0 XA=XB =FH
二、三铰拱的数解法 ----支反力计算 支反力计算 P1 三铰拱的竖向反 P2 C 力与其等代梁的 XB 反力相等 水平反 f FH 反力相等;水平反 A B 力与拱轴线形状0 XA Mc YA l/2 l/2 无关.荷载与跨度 无关 荷载与跨度 YB YA l 一定时， 一定时，水平推 YA0 等代梁 P1 P2 A C 力与矢高成反比. 力与矢高成反比 B 请问:有水平荷载 有水平荷载,或 请问 有水平荷载 或
32kN.m C C 32kN.m
8m B 4m 4m 2kN 2kN A 4m 4m
8m B 2kN
A 2kN
32kN.m
16kN.m
16kN.m
16kN.m
水平反力的作用：使相应水平代梁弯矩 水平反力的作用：使相应水平代梁弯矩MC0 降至为零。 降至为零。
三铰拱PPT课件

三铰拱PPT课件


F B
FS
FN FQ0sin FS cos
I
l/2
FVB
.
【例2】求图示三铰拱式屋架在竖向荷载作用下的支反力和内力。
解： (1) 计算支座反力
F H 0 , F V A F V 0 A , F V B F V 0 B
(2)计算拉杆内力：F S
M
0 C
f
(3)计算拱身内力
q
y FH
A FVA
受轴向压力FN作用。
仅在左半跨作用均布 荷载时的M图
仅在左半跨作用均布 荷载时的FQ图
仅在右半跨作用均布 荷载时的M图
仅在右半跨作用均布 荷载时的FQ图
(3) 这种在给定荷载作用下，拱处于无弯矩状态的拱轴线，是三
铰拱最合理的拱轴线（ reasonable axis of arch） 。
.
• 三铰拱的合理拱轴线计算公式：
.
三铰拱压力线的求解步骤
设三铰拱所承受荷载如图4-8a所 示，现作其压力线。 第一步，作合力多边形
• 第二步，确定各截面合力的作 用线。
• 第三步，确定压力线 多边形AHIJB是由拱各段的 合力作用线构成的，称为三 铰拱在所给荷载作用下的压 力多边形，简称压力线 。 压力线应通过A、B、C三个 铰的铰心。
第五章 三铰拱（ three-hinged arch ）
.
内容： 三铰拱的支座反力和内力，合理拱轴。
要求： 1、了解静定拱的合理拱轴线的概念； 2、理解静定拱的基本概念及基本特点； 3、掌握静定拱的反力及内力计算。
重点：静定拱反力、内力的计算。 难点：静定拱的内力计算。
.
§5-1 概述 一、实例——拱桥（Arch Bridge）
.
结构力学 三铰拱

结构力学 三铰拱


4 4 yk 2 4(16 4) 3m 求MK 16 MK 0 MK 12.5 4 10 3 20kN.m(下拉)
求MJ
yJ 3m
M
J
0
M J 7.5 4 10 3 30 30 0
3. 求FQ、FN的计算公式
拱轴任意截面D切线与水平线夹角为φ。 相应代梁中， F 设为正方向。
FP1=15kN K FHA A yk 4m
l/2
C f=4m
MC 0
FVA
4m
l l FVA FHA f FP1 0 2 4 0 MC 1 l l FHA ( FVA FP1 ) () f 2 4 f
0 上式中，M C 为代梁C截面弯矩。
M FHB () f
0 ND右 QD右 sin D H cosD 12 0.555 10.5 0.832 15.4kN
重复上述步骤，可求出各等分截面的内力，作出内力图。
三、三较拱的合理轴线
在给定荷载作用下，三铰拱任一截面弯 矩为零的轴线就线为合理拱轴。 三铰拱任一截面弯矩为 M M FH y
超静定拱
拉杆拱 静定拱
拱顶
C
拱轴线 拱高 f
B
拱趾
A
起拱线 跨度 l
f l
f
高跨比
l 通常 f l 在1-1/10之间变化，f 的值对内力有 很大影响。
工程实例
拱桥 （无铰拱）
超静定拱
世界上最古老的铸铁拱桥（英国科尔布鲁克代尔桥)
万县长江大桥：世界上跨度最大的混凝土拱桥
二、三铰拱的计算
A 12.5kN K左 Fº ＝12.5kN QK左 A 12.5kN
三铰拱

三铰拱


M
O
0 FN ( FN d FN ) 0
可得 d FN 0 合理拱轴线方程为

FN q
FN =常数
d 2 qd 0
沿s-s 写出投影方程为
2 FN sin sin d 2
圆弧线
因 d 极小
d 2
返 章
M
0
FH
合理拱轴线方程
例4-2 试求图a所示对称三铰拱在图示荷载作用下的合理拱轴 线。
解：相应简支梁（图b）的弯矩方程为
M
0

1 2
qx ( l x )
0
三铰拱的推力为
FH
0
MC f
4f l
2

ql
2
8f
合理拱轴线方程为
y
M
FH

x (l x )
北京建筑工程学院
三铰拱合理拱轴线形状的确定
三铰拱
14kN m
A
50kN
B
C
75.5kN 58.5kN
175.5 201
M图(kNm)
与三铰拱相应弯矩相比，要大 很多。
北京建筑工程学院
结构力学教研室
三铰拱
计算图（a）斜拱的支反力 时为避免解联立方程，可将反力
分解如图（b）。
由平衡条件可得 （a
F AV F
0 AV
, F BV F
0
FS F AV F1
0 0
轴力以压力为正
北京建筑工程学院
结构力学教研室
三铰拱
三铰拱的内力不但与荷载及三个铰的位置有关，而 且与拱轴线的形状有关。 由于水平推力的存在，拱的弯矩比相应简支梁的弯矩要 小。 三铰拱在竖向荷载作用下轴向受压。
3.3 三铰拱

3.3 三铰拱


0 FAy = FAy
FAH A
y
∑ Fx = 0
P1
FAH = FBH = FH
x
l1
FBy
FAy
d
c
FAH
∑ MC = 0
FAy ⋅ l1 − P ⋅ d − FH ⋅ f = 0 1
o MC M − FH ⋅ f = 0 ∴ FH = f o C
0 MC
P1
P2
f l1
c
F
0 Ay
x
0 FBy
q y A l/2 C f l/2 B x
M 0 (x ) [解] 由式 y ( x ) = 解 FH
先列出简支梁的弯矩方程: 先列出简支梁的弯矩方程
M 0 (x ) =
拱的推力为： 拱的推力为： B
q x(l − x ) 2
q A
ql 2
x
c
ql 2
0 M C ql 2 FH = = f 8f
所以拱的合理轴线方程为： 所以拱的合理轴线方程为：
0.600 0.354 0.000 1.125
6m
1.500 1.125 0.000
6m
0.375 4.500 0.375 0.000 0.600 11.700
M图 kN.m
0.003
0.472
1.000
3.331
1.060
9.015
7.749
7.500
7.433
6.796 11.235
13.300
7.5kN x2=3m FAy =11kN 3m 6m 6m
（2）内力计算 ）
以截面2为例 以截面2
（1）计算支座反力 ） 2× 6× 9 + 8× 3 0 FH = 7.5kN FAy = FAy = = 11kN 12 FBy = 9kN 2× 6× 3 + 8× 9 0 FBy = FBy = = 9kN 12 0 M C 11× 6 − 2 × 6 × 3 FH = = = 7.5kN f 4
三铰拱

三铰拱

［拱结构］
杆轴为曲线且在竖向荷载作用下能产生水平推力的结构。

拱与梁的区别——水平推力的存在。

曲梁拱［常见的三铰拱］
（1）无拉杆的三铰拱
（2）有拉杆的三铰拱
［三铰拱］
拱的两端支座处称拱趾，两拱趾间的水平距离称拱的跨度。

拱轴最高处称拱顶，拱顶至两支座联线的竖直距离称为矢高。

矢高与跨度之比称为拱的矢跨比。

［三铰拱的支座反力计算］
三铰拱的支座竖向反力等于相应简支梁两支座的竖向反力，水平推力等于相应简支梁与拱中间铰对应的截面的弯矩除以矢高。

可见，水平推力只与荷载及三个铰的位置有关，而与拱轴形状无关。

矢高愈大
愈小，反之愈小则愈大。

若则，此时三个铰位于同一直线上，为瞬变体系。

［三铰拱的内力计算］
内力符号规定：弯矩使内侧受拉为正，剪力绕顺时针转为正，轴力以拉力为正。

求指定截面的内力：
、为相应简支梁截面的弯矩与剪力。

的符号在左半拱取正，右半拱取负。

由于水平推力的存在，拱的弯矩比相应梁结构的弯矩小得多。

［三铰拱的压力线］
三铰拱的截面的内力为弯矩、剪力与轴力，三者可合成为一合力，合力在截面上存在一个作用点，所有各个截面的这些作用点联接起来便成为一条折线或曲线，称之为拱的压力线。

[三铰拱的合理拱轴]
在已知荷载作用下，如所选择的三铰拱轴线能使所有截面上的弯矩均等于零，这样的拱轴称为合理拱轴。

第三章静定结构受力分析三铰拱

第三章静定结构受力分析三铰拱


（1）求反力：Fy (2)列弯矩方程
(3)令M (x) 0 y
qL A FV B 2
M (x) Fy Ax
1 FH
(Fy Ax
1 2
12qFxHq2x)2q8q8LFfL2fH2
y
(1 2
qLx
1 2
qx2
)
4f L2
(L x)x
结论：均布荷载作用下，合理拱轴线方程为抛物线。
§3-3 三铰拱
a2
b2
F =F YA
YA0
F =F XA
XB
=FH
FYB0
M
0 c
[FYA0
l 2
l P1( 2
a1)]
FH= MC0 / f
§3-3 三铰拱
结论： ①简支梁不存在水平推力，三铰结构水平推力不为零；
②对于平拱、竖向反力与拱高无关； 平拱
③反力与拱轴线形式无关，只与三个铰的位置有关；
④水平推力与拱高成反比。
例2：求集中荷载作用下的合理拱轴线
（1）求反力：Fy A FyB 1.5P
(2)求合理拱轴线
FH
1 (1.5P 2a P a) a
2P
AD段 : M (x)
DC段 : M (x)
1.5Px FH y
1.5Px P(x a)
0
FH
y
y0
3x 4
y
(直线)
1 (0.5Px 2P
Pa)
§3-3 三铰拱
MK
M
0 K
FH y
FQK
FQ
0 K
cos FH
sin
FNK
F Q
0 K
sin FH
cos
结构力学(第二章)-三铰拱课件

结构力学(第二章)-三铰拱课件

稳定性分析对于结构的整体稳定性和安全性具有 重要意义。
03
三铰拱的设计与优化
设计原则与步骤
确定设计要求
明确三铰拱的设计目标，如承载能力、稳定性、 经济性等。
截面设计
根据计算出的内力和弯矩，设计三铰拱的截面尺 寸和形状。
结构分析
对三铰拱进行受力分析，计算出各截面的内力和 弯矩。
稳定性分析
对三铰拱进行稳定性分析，确保其在承载过程中 不会发生失稳。
3D打印技术
3D打印技术能够实现复杂结构的快速 、精确制造，为三铰拱的原型制作和 试验提供便利。
未来发展方向与趋势
跨学科融合
结构力学与材料科学、计算机科 学、人工智能等学科的交叉融合，
将推动三铰拱在理论和实践上的 创新。
绿色与可持续发展
在未来的发展中，三铰拱的设计和 建造将更加注重环保和可持续发展， 如采用可再生材料和节能技术。
智能化与自动化
随着智能化和自动化技术的发展， 三铰拱的设计、建造和监测将趋向 于智能化和自动化，提高效率和安 全性。
THANK YOU
感谢聆听
案例分析与实践
案例一
某桥梁的三铰拱设计，通过优 化设计，提高了桥梁的承载能 力和稳定性。
案例二
某工业厂房的三铰拱设计，采 用轻量化设计，降低了结构的 自重。
案例三
某大型场馆的三铰拱设计，通 过参数优化，实现了结构的优 化和美观。
04
三铰拱的施工与维护
施工工艺与要点
01
02
03
04
施工准备
确保施工场地安全，检查施工 材料质量，制定施工计划和安
100%
建筑工程
在建筑工程中，三铰拱可用于大 型工业厂房、仓库、展览馆等建 筑的屋盖结构。
3-3三铰拱(结构力学第3章)

3-3三铰拱(结构力学第3章)

证：可先考虑半圆形三铰拱的情况。作用 于圆弧上的径向均布荷载q 可以用两 个垂直方向上等值的均布荷载等效替 代。
恰好等于沿竖向和水平方向的两种 均布荷载 q 作用于微段时产生的竖 向分力和水平分力。
qRd cos 竖向分力： dFy qRd sin
水平分力： dFx
例3-9 试证圆弧线是三铰拱拱轴线法线 方向均布压力作用下的合理拱轴线。
26.8kN
0 MK MK FH yK
0 MC FH f
例3-6 绘制图示三铰拱的内力图。 4f y 2 x( l x ) 拱轴线方程： l 解：求支座反力。
0 FyA FyA 28kN , 0 FyB FyB 20kN 0 MC 20kN 8m 16kN 4m 96kN m 0 M C 96 FH 24kN f 4
3-3-3 合理拱轴线 在给定的荷载作用下，能使拱体所有截面上弯矩为零的拱轴 线称为合理拱轴线。 0 弯矩： MK MK FH yK 令：
M M 0 FH y 0 M0 y 得： FH
例3-7 求图示三铰拱的合理拱轴线。 解：相应简支梁的弯： FH f 8 f M0 4 f x l x 合理拱轴线： y 2 FH l
0 MC (推力计算公式 ) FH f
相当梁
⑴在给定荷载作用下，三铰拱的支座反力仅与三个铰的位置有 关，而与拱轴的形状无关。 ⑵在竖向荷载作用下，三铰平拱的支座竖向反力与相应简支梁 反力相同，而水平推力与拱高成反比。拱的高跨比(矢跨比) 愈大则推力愈小；反之，则推力愈大。 0 MC FH f
例3-6 绘制图示三铰拱的内力图。 4f y 2 x( l x ) 拱轴线方程： l 解：求支座反力。
结构力学之三铰拱课件

结构力学之三铰拱课件

桥梁工程
三铰拱广泛应用于桥梁工程中， 如公路桥、铁路桥和立交桥等。
100%
工业建筑
三铰拱适用于工业建筑中的大型 厂房、仓库等结构，能够承受较 大的竖向荷载和水平荷载。
80%
公共建筑
三铰拱也适用于公共建筑中，如 体育馆、会展中心等大型建筑， 能够提供大跨度和高承载能力的 结构体系。
02
三铰拱的力学分析
定位与调整
在吊装完成后，对三铰拱的位 置和角度进行调整，确保其符 合设计要求三铰拱的各个部件连接牢 固、可靠。
防腐与涂装
在施工完成后，对三铰拱进行 防锈蚀处理和涂装，提高其耐 久性和美观度。
施工安全
安全措施
在施工过程中，采取一系列安全措施，如设置安全警示标志、配 备安全带和安全帽等，确保施工人员的安全。
在基础上按照设计要求拼装三铰拱的各个部件，确保 拱体的几何尺寸和位置准确。
04
固定与调整
通过焊接或螺栓连接等方式将拱体固定在基础上，并 进行必要的调整，确保拱体的稳定性和承载能力。
05
施工监测
在施工过程中，对三铰拱的各项参数进行监测，确保 施工质量和安全。
安装技术
01
02
03
04
吊装方法
根据三铰拱的重量和尺寸，选 择合适的吊装机械和吊装方法 ，确保吊装过程中的安全和质 量。
三铰拱的特点
稳定性好
由于三铰拱具有静定结构的特点，因此其稳定性较 好，不易发生侧向失稳或扭转失稳。
承载能力强
三铰拱的承载能力较强，能够承受较大的竖向荷载 和水平荷载。
适用范围广
三铰拱适用于各种类型的建筑结构，如桥梁、厂房 、仓库等，尤其适用于需要承受较大荷载和跨度的 结构。
三铰拱的应用场景

结构力学之三铰拱概要课件

请注意，以上扩展内容仅为概要性的课件提纲，如需详细讲解，还需进一步细化和 补充具体内容。
03
三铰拱的动力学分析
动力学基础
动力学定义
动力学是研究物体运动与受力之间关系的学科，是结构力学的重 要基础。
牛顿运动定律
牛顿运动定律是动力学的基础，包括惯性定律、动量定律和作用反 作用定律，用于描述物体运动的基本规律。
体平衡，确保结构安全稳定。
02
三铰拱的静力学分析
静力学基础
静力学基本概念
静力学是研究物体在静止状态下的平 衡条件的力学分支，涉及力的平衡、 力矩的平衡等概念。
力的分解与合成
介绍如何将力分解为分力，以及如何 将分力合成为合力，以实现力的平衡 。
三铰拱的静力学模型
三铰拱的定义与构成
解释三铰拱的结构组成，包括三个铰链和构成的拱形结构。
能的同时，可以通过优化形状、比例和细节处理等方式提高三铰拱的视
觉效果。
三铰拱的施工方法
常规施工方法
常规的三铰拱施工采用搭设支架、安装模板、绑扎钢筋、浇筑混凝土等步骤进 行。在施工过程中，需要严格控制施工质量，确保各个施工环节的精度和稳定 性。
新型施工方法
随着技术的发展，一些新型施工方法如预制装配式施工、3D打印技术等也逐渐 应用于三铰拱的施工中。这些新型施工方法具有效率高、质量好等优点，但在 应用过程中也需要考虑到成本、技术成熟度等因素。
结构力学之三铰拱概要课件
目录
• 三铰拱的概述和特性 • 三铰拱的静力学分析 • 三铰拱的动力学分析 • 三铰拱的设计和施工 • 三铰拱在结构工程中的应用 • 三铰拱的发展和前景
01
三铰拱的概和特性
三铰拱的定义
定义
三铰拱是一种由三个铰链连接的 弧形结构，主要用于承受荷载并 将其传递给支座。

三铰拱


2 1.75 0.75 36º 0.600 0.800 5 12 -10.5 1.5 52´
4 3.00 0.50 26º 0.447 0.894 3 20 -18.0 2 34´ 6 3.75 0.25 14º 0.234 0.970 1 24 -22.5 1.5 2´ 8 4.00 0 0 0 1 -1 24 -24.0 0
a2 P1 C D y f
b2 P2
特点：有四个支座反力VA 、 B HB HA A VB、HA、HB，求解时需要四个方 程。拱的整体有三个方程，此外 VB VA l1 l2 C铰增加一个静力平衡方程，即： l MC=0。四个方程可解四个未知量。 (a) 为比较方便，考虑同跨度、同荷载的简支梁，竖向荷 载下，简支梁没有水平反力，只有竖向反力VA0 和VB0 。而 VA0和VB0的求解是简单的。
yk = y x=4 = 3m，
sink = 0.447 ，
cosk = 0.894 。
M k 在 k点左右两侧不同，分为 M kz 和 M ky。
0 M kz＝ M kz - Hy k = -20 - 10 3 = -50 kN m（外拉） 0 M ky＝ M ky - Hy k = 60 - 10 3 = 30 kN m（内拉） 0 Q k = Q k cos k - H sin k = -5 0.894 - 10 0 .447 = -8.94 kN 0 N k = -Q k sin k - H cos k = 5 0.447 - 10 0.894 = -6.705 kN
0 A
q=1kN/m P=4kN y A C D x 8m 4m l=16m 4m B f =4m
H=
M 58 - 4 4 = = 6kN f 4

静定结构的内力—三铰拱(建筑力学)


愈大）。
三铰拱
（2）截面内力的计算
① 截面内力的正负规定
轴力以压力为正；剪力以有使截面产生顺时针转动的趋势者为正；弯矩
以拱内侧纤维受拉者为正。
② 任意截面的内力计算
设K截面形心的坐标分别为xK、yK，K截面的法线与x轴
的夹角为φK，且左半拱的φK为正值，右半拱的φK为负值。
取三铰拱的K截面以左
部分为隔离体，得
FNE FQ0E sin E Fx cosE 134kN
三铰拱
4 三铰拱的合理拱轴线
若拱的所有截面上的弯矩都为零，这样的拱轴线为合理拱轴线。
三铰拱在竖向荷载作用下任意截面上的弯矩为
MK
M
0 K
Fx yK
由 M M 0 Fx y 0 得
M0
合理拱轴线方程为： y
Fx
M 0——代梁在该竖向荷载作用下的弯矩方程
三铰拱
C B
C
C
A
B
A
B
l
有拉杆的三铰拱
两铰拱
(c)
(a)
梁式结构在竖向荷载作用下是不会产生推力的。
C
A B
B
A
B
曲梁
三铰拱
2 三铰拱的组成
拱顶
拱轴线
f 矢高
拱趾
拱趾
l 跨度
拱顶：拱的最高点
拱趾：支座处
跨度：两支座之间的水平距离，用l表示
矢高：拱顶到两拱趾间联线的竖向距离，用f 表示 高跨比 f/l 是拱的一个重要的几何参数 工程实际中，高跨比在1／10 ~ 1之间，变化的范围很大
Fx
M
0 C
f
ql 2 f
8 ql 2 8f
合理拱轴的方程为

4.3三铰拱的压力线和合理拱轴


g
FH
x
1
在填土重量作用下，三铰拱的合理轴线是一悬链线
(3)均匀径向荷载作(推导略) 三铰拱的合理轴线，经推导表明，是一条圆弧线。
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在实际工程中，同一拱结构往往要受到不同荷载的 作用，而对应不同的荷载就有不同的合理轴线。通 常，是以主要荷载作用下的合理轴线作为拱的轴线。 这样，在一般荷载作用下，拱仍会产生不大的弯矩。
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y Ach
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g
x Bsh FH
g x qC
FH
g
y Ach g x B sh g x qC
FH
FH
g
两个常数A和B，可由边界条件求出如下：
在x=0处，y=0，得
A qC
g
在x=0处，dy =0，得B=0。
dx
因此
y
qC
g
c h
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(1)满跨竖向均布荷载
【例4-4】设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载， 试求其合理拱轴线。
q
y
C
x
f
q
解:
A l/2
B
A
x
l/2
ql/2
l
B ql/2
M 0 q x(l x) 2
FH
M
0 C
f
ql 2
8f
y M0 FH
4 f x(l x) l2
FQ D FRD sin D
FN D FRD cos D
合力FRD
D rD
MD
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可求两个竖向支座反力：
P1
A
HA VA
l1
C
f
l2 l
P2
B HB
VB
VA
Pibi l
由 X 0
VB
Pi ai l
得： H A HB H
等代梁
A
P1
a1 (推力) VA0
C
b1 a2
P2
B
b2VB0
另考虑中间铰C处弯矩为零：MC 0
以左部分为例
则： MC VAl1 P1(l1 a1) Hf 0
0.000 1.125 1.500 1.125 0.000 0.375 4.500 0.375 0.000
q=2kN .m
P=8kN
y
1 0
A
34
2
2
y2
x
5 6
6m
6m
绘制内力图
7
8
B
M2 M2 Hy2 11 3 2 31.5 7.5 3
1.5kN m
Q2 Q2 cos 2 H sin 2 11 2 3 0.832
当 f 等于零，H趋于无穷大；此时三铰共线。 几何瞬变体系。
5) 三铰拱受向内的推力，因此需给基础施加向外的推力。 所以三铰拱的基础要比简支梁的基础大，或加拉杆， 以减小对墙的推力。
静定拱
2. 内力的计算公式 <1> 弯矩计算公式
MK VAxK P1(xK a1) HyK
VA VA0
静定拱
§3.4.1 三铰拱的组成和类型
拱--杆轴线为曲线，在竖向荷载 作用下会产生水平推力的结构。
FP
三铰拱
静定拱
拱的拱趾铰
拱趾铰
跨度
斜拱
拉杆拱
静定拱
静定拱
三铰拱
超静定拱
超静定拱
两铰拱
无铰拱
静定拱
§3.4.2三铰拱的支座反力及截面内力计算
P1
C
P2
VB=VB0
A
HA
P=8kN
y
34
5
2 1
2
y2
0
6 7 8
例 1、三铰拱及其所受荷载如 f=4m 图所示拱的轴线为抛物线方程
7.5kN
x
A
x2=3m 6m
6m
3m
B
H 7.5kNy
4f l2
xl x
VB 9kN 制内力图。
计算反力并绘
VA 11kN
（2）内力计算 以截面2为例
y2
4f l2
xl
x
44 122
分析：
MK
M
0 K
HyK
显然，由于推力
H
存在， M K
M
0 K
静定拱
<2> 剪力计算公式 QK VA cosK P1 cosK H sinK
VA P1 cosK H sinK
QK0 cosK H sinK
QK0 为相应简支梁K截面处的剪力。
注：K 在左半拱为正，右半拱为负。
静定拱
a1
l2 l
VB
P2
CB
b1
上式中的分子 VAl1 P1(l1 a1)
VA0
a2
b2VB0
恰恰与简支梁截面C处的弯矩
M
0 C
相同。
H
M
0 C
f
即，推力H等于相应简支梁截面C处的弯矩
M
0 C
除以拱高
f。
静定拱
特点：
1) 由于推力的存在，三铰拱截面弯矩比简支梁弯矩小。
MC VAl1 P1(l1 a1) Hf 0
7.5 0.555 0.0025kN 0.003kN
M图
kN.m N2 Q2 sin2 H cos2 11 230.555
7.50.832 9.015kN
0.600 0.354 0.003 0.472 1.000 3.331 1.060 0.600
Q图 kN
13.300 10.958 9.015 7.749 7.500 7.433 1.421 6.796 3.325 11.235 11.665 11.700
312
3
3m
tg 2
dy dx
x3
4f l
1 2lx
x3
44 12
1
2123
0.667
（1）计算支座反力
VA
VA
2
6
9 12
8
3
11kN
VB
VB
2
6
38 12
9
9kN
H
M
C
11 6 2 6 3 7.5kN
f
4
2 3341,sin 2 0.555,cos 2 0.832
静定拱
所以推力:
H VAl1 P1(l1 a1) f
静定拱
分析两个竖向支座反力
P1 C
P2
VA
Pibi l
VB
Pi ai l
A
f
B HB
与简支梁的支座反力：
VA0
Pibi l
VB0
Pi ai l
HA VA VA0 VA
l1
VB VB0
等代梁
A
P1
分析 推力H 式：
H
VAl1 P1(l1 a1) f
（１）不管拱轴区段上是否有分布荷载，拱的各内力图在区段
上均为曲线形状； （２）在竖向集中力FP作用点两侧截面，拱的轴力和剪力有突 变，突变值分别为FP sinΨK 和FP cosΨK，弯矩图在该点转折； 在集中力偶Ｍ作用点两侧截面，弯矩有突变，突变值为Ｍ，轴 力和剪力不受影响。
<3> 轴力计算公式
NK VA P1 sinK H cosK
QK0 sinK H cosK
拱的任一截面上一般有三个内力（M, Q, N），内力计算的 基本方法仍是截面法。与直杆件不同的是拱轴为曲线时， 截面切线角度不断改变，截面上内力（Q, N）的方向也相 应改变。
静定拱
q=2kN .m
３、带拉杆的三铰拱，其支座反力可由整体的平衡条件完全求 得；水平推力由拉杆承受。可将顶铰和拉杆切开，取任一部分 求出拉杆中的轴力。
静定拱
三、 拱的内力图特征 １、拱的内力图特征
Mk Mk H y
Qk Qk cosk H sink
Nk Qk sink H cosk
由上式分析可知，当拱轴为曲线时。有：
l1
VA
等代梁 P1
A
f l2
l
C
a1
VA0
b1 a2
B HB
VA=VA0 H= MC0 / f
VB
P2
B
三铰拱的反力只 与荷载及三个铰 的位置有关，与 拱轴线形状无关 荷载与跨度一定 时，水平推力与 矢高成反比
b2 VB0
静定拱
支座反力共四个分量 需列出四个方程：
由整体平衡方程：
MA 0 和 MB 0
三铰拱C处弯矩
M
0 C
VAl1
P1 (l1
a1)
简支梁C处弯矩
2) 梁无轴力(在竖向载荷作用下) 拱的截面轴力较大，且一般为压力。
3) 推力只与三个铰和载荷位置有关，与拱轴形状无关；
即只与 f/l 有关。
静定拱
4) 当载荷和拱的跨度不变时，推力与拱高 f 成反比。 f 越大，H越小；反之， f 越小，H越大；
N图 kN
静定拱
Mk Mk H y
Qk Qk cosk H sink
Nk Qk sink H cosk
上式可作为拱内力的计算公式用，特别是在作拱的内力图时。 但须注意以下几点： １、上式要在以拱的左底铰为原点的平面直角坐标中应用，并 仅考虑了竖向荷载的作用。
２果在、取右式是半中与拱水时k为平所方为k计向负算的。K锐截角面考处虑拱，轴则切K线截与面水在平左x半坐拱标时的夹k为角正。，如