12.6二次根式的乘除法 课件1(北京课改版八年级上)

达标反响:
1. 化简：
（1） 49121 （2） 225
（3） 4 y
2. 计算：
（4） 3 x 3
（1） (42)(12)
（3） 102 2.82
（2） 26m2 m2
（4） a4b2 a2b4
第六页，编辑于星期五：六点 四分。
3. 如右图，在△ABC中，∠C=90°，
AC=10cm，
BC=24cm．并且AB2=BC2+AC2,
第四页，编辑于星期五：六点 四分。
例1.计算: 1 7 6
2 1 32
2
等a式 baba0,b0,也可
a b a b a 0 ,b 0 进行二次根式化简
例2. 化简：
（1） 72 52
（2） 1681
（3） 2000
例3. 化简
（4） 532 282
（1） 4a2b3
（2）
x4 x2y2
第五页，编辑于星期五：六点 四分。
求AB．
A
B
C
第七页，编辑于星期是什么?
a b a b a 0 , b 0
2.积的算术平方根的性质:
a b a b a 0 ,b 0
利用(1)(2)进行计算和化简二次根式.
第八页，编辑于星期五：六点 四分。
12.6 二次根式的乘除法〔一〕
二次根式的乘法
第一页，编辑于星期五：六点 四分。
知识回忆
1.什么是二次根式?以下式子哪些是 二次根式,哪些不是二次根式?
1 160 2 130 33 27 4 a 5 3a2 3 6 4a2
2.二次根式有哪些性质?计算以下各题:
1
1442
2
0.5
3

(2) 12 3 5;
(3)( 5 1)2;
(4)( 13 3)( 13 3);
解： (1)原式= 3 2 2 3 6 6;
(2)原式= 12 3 5 36 5 6 5 1;
(3)原式= ( 5)2 2 5 12 5 2 5 1 6 2 5; (4)原式= ( 13)2 32 13 9 4;
课堂小结：
二次根式的乘除法法则
二次根式运算的最后结果要求 化成最 简二次根式
运算律和完全平方公式、平方差公式 同样适用于二次根式的运算
（; 2）x2+2x2+4y=3x2+4y ;
2.类比合并同类项的方法，想想如何计算：
80 45 解： 80 45 4 5 3 5 5.
3. 3 能5不能再进行计算?为什么? 答：不能，因为它们都是最简二次根式，被开方数 不相同，所以不能合并.
讲授新课
典例精析
例2：计算:
(1)3 2 2 3;
成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进 行合并.
要点提醒
1.加减法的运算步骤：“一化简二判断三合并”. 2.合并的前提条件：只有被开方数相同的最简二 次根式才能进行合并.
讲授新课
典例精析
例3：计算:
(1) 48 3;
(2) 5 1; 5
(3)
4 3
3
6.
解：(1)原式= 16 3 3 16 3 3 4 3 3 5 3;
(2)原式= 6 4 2 3 2 4 2 2;
(3)原式=
22 3
3 32
43
32 2
31 3
32 3
3.
当堂检测
4.已知x+y=－4,xy=2.求 x y 的值. yx

（1）
（2）
4
9
=
16
25
=
4
；
9
16
.
25

=


（a≥0，b＞0）

探究新知
= · （a≥0，b≥0）

= （a≥0，b＞0）

二次根式的性质
等号两边
交换位置
· = （a≥0，b≥0）

=


（a≥0，b＞0）

二次根式的乘法
法则和除法法则
典例精讲
例 计算：
（1） 6 ×
巩固练习
2.计算：
1
3
（1） 14 × 7；（2）3 5×2 10；（3） 3· .
解：（1） 14 × 7= 14 × 7= 72 × 2=7 2；
（2）3 5×2 10=6 5 × 10=6 52 × 2=6 52× 2=30 2；
1
3
1
3
（3） 3· = 3 · =x 2 y
（1） 4 × 9 = 4 × 9；
（2） 16 × 25 = 16 × 25；
（3） 25 × 36 = 25 × 36.
· = （a≥0，b≥0）
探究新知
计算下列各式.
（1）
4
9
（2）
16
25
=（
=（
2
3
4
5
），
），
4
9
2
3
=（
16
25
=（
4
5
）；
）.
视察计算结果，你发现了什么规律?
（2）
1
×
2
98 =

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开为 $msqrt{a} + nsqrt{a} + msqrt{b} + nsqrt{b}$。
02
特殊形式处理
当遇到形如 $(sqrt{a} + sqrt{b})^2$ 的表达式时，可以按照完全平方
公式展开为 $a + 2sqrt{ab} + b$。
03
应用实例
对于 $(sqrt{3} + 1)(sqrt{3} - 1)$，可以按照分配律展开为 $sqrt{3}
实例二
计算$frac{sqrt{20} + sqrt{5}}{sqrt{5}}$。
解
$frac{sqrt{20} + sqrt{5}}{sqrt{5}} = frac{sqrt{5}(sqrt{4} + 1)}{sqrt{5}} = sqrt{4} + 1 = 3$。
实例三
计算$frac{sqrt{3}}{sqrt{6}}$。
05 误差分析与计算精度控制
误差来源及影响因素分析
原始数据误差
由于测量工具、方法或人 为因素导致的原始数据不 准确。
运算误差
在进行二次根式乘除法运 算过程中，由于计算规则 或方法不当而产生的误差 。
截断误差
在使用近似计算方法时， 由于省略了某些项或使用 了有限项而产生的误差。
提高计算精度方法和技巧
实例三
计算(2√5 + 3√2) × (2√5 - 3√2)。
实例四
计算√a × √b (a ≥ 0, b ≥ 0)。
03 二次根式除法运算规则
同类二次根式除法法则
法则一
被开方数相同，则直接进行系数相除 。例如：$frac{sqrt{a}}{sqrt{a}} = frac{c}{d}$（其中$a geq 0$，$c$ 和$d$是系数）。

例如、3 1必须先化成 10 ,
3
3
以免出现 3 1 3 1的错误。
3
3
－ －53 成例1立、1、的等条式件mm是－ －__53_＝_m_>__5mm_－ －__53__成。立 的 条 件
1、解：要使等式成立，m必须满足
m-3 0 m-5>0 m 5
a a a 0,b 0
bb
两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商
1.
4 9
2 3
,
2.
16 49
ห้องสมุดไป่ตู้
4 7
,
(3) 2 ＝ 2 33
4 9
2 3
4 4 99
16 49
4 7
16 49
16 49
2＝ 2
55
规律:
a a bb
a 0,b 0
两个二次根式相除，等于把被开方数相除，
作为商的被开方数
a a a 0,b 0
bb 1、a≥0、b＞0！
2、如果被开方数是带分数，应先化成假分数。
的被开方数
例1：计算 1
24
3
解：
2 3 1
2 18
1原式 24 8 2 2
3
2原式 3 1 3 18 27 3 3
2 18 2
3 48
23
43 6x2 y (6 2xy )
（3）解法1：原式 48
48
4 2
12 12
解法2：原式 4 3 2 23
(4)原式 1 6x2 y 2xy 1 3x
2 3
52
32
练习1、把下列各式分母有理化
1 1 2 1 3 1 (4) a b
3 2 3 3

1 除法中的除数
除数中不能含有二次次方根式（分母不能含有根号）。
2 分式的表达问题
如何将二次根式分式化为规定形式的分式是化简过程中的重要问题。
3 注意符号
化简过程中务必注意正负号的符号问题。
总结
1
知识点回顾
二次根式的定义、乘法和除法、化简，及注意事项。
2
实例演示
勾股定理、身高测量、网页搜索。
3
提高思维
例子
√2 × √3 = √(2×3) = √6
二次根式的除法
方法
将除数与被除数都化简成含有单个二次次方根号的形式，然后将它们相除。
例子
√ 10 ÷ √ 2 = √ (10/ 2) = √ 5
注意
除数中不能含有根式。
二次根式的化简
基本法则
可利用有理化分式法则将分母中含有二次次方根式的分式化成规定形式的分 式。
化简二次根式的方法能够锻炼我们的逻辑思维和空间思维。
例子
1 / (√6 + √3) = (√6 - √3) / (6 - 3)
实例演示
勾股定理
身高测量
勾股定理指出，对直角三角形， a²+ b²= c²。
身高测量中，常用毫米线测量 身高，可以根据身高信息判断 健康状况。
网页搜索
网页搜索是日常学习生活中必 不可少的工具，可以快速获取 丰富的信息。
注意事项
《二次根式的乘除》PPT 课件
本课程将为大家详细讲解二次根式的乘除，帮助您轻松掌握这个数学难点。数与一个含有不超过二次次方根式（或有理数）的代数式相乘或相除所得到的 式子称为二次根式。
特点
有理数和二次根式可以相加、相减、相乘、相除。
二次根式的乘法

例1二次根式北师大版八年级数学上册课件
化简：
（1） 81 64
81
64
9
8
72；
被开方数不含开得尽方 的因数或因式
（2） 25 6 25 6 5 6；
（3） 5 5 5 . 9 9 3 为什么50分解
例2 化简：
为25×2，而不 分解成5×10？
被开方数不含分母
整数要分解为含有最 大开得尽方的因数.
一：化简二次根式主要依据什么？
积的算术平方根：
a b a b（a 0,b 0）
商的算术平方根：
a
b
二：最简二次根式的条件；
1、被开方数不含 分母
a （ a 0,b﹥0 ）
b
；
2、被开方数不含 能开得尽方的因数或因式 ；
学生自学，教师巡视（4分钟）
二 次 根 式 北 师大版 八年级 数学上 册课件
二、二次根式的性质
1、二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算 术平方根.对于任意一个二次根式 a ，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2） a 表示一个数或式的算术平方根，可知 a ≥0.
二次根式的被开 方数非负
二次根式的值 非负
二次根式的 双重非负性
二 次 根 式 北 师大版 八年级 数学上 册课件
对应训练： 二次根式北师大版八年级数学上册课件
1若 解：
a 3 b 4 0 ，求a -b的值.
由题意可知a-3=0,b-4=0 解得a=3,b=4. 所以a-b+c=3=-1.
2、已知 x 62 和 y 1 互为相反数，求
x+4y的平方根．
3、已知y= x 3 3 x 8 ,求3x+2y的算术平方根.

授课日期10月24日课型新授课授课教师杨宏梅教学课题总课时： 4 第 1 课时教学目标教学重点利用二次根式的乘法运算法则进行计算和化简二次根式教学难点被开方数含字母的二次根式乘法运算及化简教学方法自主学习、问题点拨、讲练结合教学准备Ppt教学过程教师活动设计学生活动设计设计意图时间安排一、目标导学：知识要点：1.掌握二次根式乘法法则;2.能够熟练应用二次根式乘法法则进行运算3.会利用二次根式乘法法则将二次根式进行化简；涉及以前学过的知识：1.有理数的乘法法则2.二次根式的性质：aa=2二、自主学习自学学案：阅读书58页至60页的内容，然后根据自己的理解解答学案中提出的问题。

时间10分钟1、二次根式的乘法法则公式表示：_____________用语言表述为：________________2根据你对二次根式乘法法则的理解，你能自己编写一道此类计算题，并将其解答出来。

点拨：公式中注意a、b的取值例如：()()259259-⨯-=-⨯-是不成立的。

3、根据你的理解你能将下列算式进行计算吗？了解本节课的目标自学学案上的内容，根据自己的理解完成学案中提出的问题。

通过知识要点的解读，让学生能够清楚的知道本节课所要达到的目标。

通过学生自主学习的方式，理解二次根式的乘法法则5分钟10分钟（1）53⨯ （2）2731⨯ （3）3223⨯ （4）y xx 313•4、二次根式乘法法则逆向应用的法则 公式表示：________________________ 用语言表述：-______________________________5、判断下列运算是否正确，若不正确说明理由。

27272771422=⨯=⨯=⨯()()69-4-9-4-=⨯=⨯()()3535-35-22=⋅=⨯743169169=+=+=+ ()1404140)41(40412222=-=-=- m m m m 5552522222=⋅=⋅=6、下列二次根式还能不能继续化简，如果能，它们的依据是什么？ 4、8、12、16、18、24、289、27三、自学检测与巩固练习 例1：化简下列二次根式 （1）48 （2）228-17（3）54332⨯⨯ （4）325m解题过程： 34343431622=⨯=⨯=⨯=原式独立完成，之后，相互交流，纠错独立完成，之后，相互交流，纠错通过一组例题交流计算方法，找到化简二次根式的基本方法，以及注意的事项。

北师大版八年级上册二次根式 经典课件
北师大版八年级上册二次根式 经典课件
2.已知a，b为实数，且满足 a 2b 1 1 2b 1, 你能求出a及 a+b 的值吗？
【解析】依题意知：2b-1≥0，1-2b ≥0,所以b= 12,把 b= 1 2代入原式，得a=1,所以a+b=1+12 =32 .
北师大版八年级上册二次根式 经典课件
要点归纳 二次根式的混合运算，一般先将二
次根式转化为最简二次根式，再灵活运 用乘法公式等知识来简化计算.
北师大版八年级上册二次根式 经典课件
北师大版八年级上册二次根式 经典课件
二次根式的化简求值
问题：化简
1 a
b
ab ，其中a=3，b=2.你是怎么做的？
解法一：
(1)3 2 2 3;
(2) 12 3 5;
(3)( 5 1)2;
(4)( 13 3)( 13 3);
解： (1)原式= 3 2 2 3 6 6;
(2)原式= 12 3 5 36 5 6 5 1; (3)原式= ( 5)2 2 5 12 5 2 5 1 6 2 5;
如图所示，已知正方形的面积为b-3，则
正方形的边长是 b . 3
b-3
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
a2 2 500
S π
b3
表示一些正数的算术平方根;
一般地，形如 a （a≥0)的式子叫做二次根式;
a叫做被开方数.
北师大版八年级上册二次根式 经典课件
核心归纳
一般地，形如 a（a≥0)的式子叫做二次根式. 1. 表示a的算术平方根； 2. a可以是数,也可以是式； 3. 形式上含有二次根号 ；
(3) 12, (5) xy (，x,y 异号)， (7) 3 5.

例2：计算
(1) 7 6
一般地，二次根式运算的
(2)
1 32 2(3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2a 8a(a0)
结果中，被开方数中不含 能开得尽方的因数或因式
练一练：
计算：
（１） 18 8
(2)
6a3
3a 2
(a
0)
如何计算
1 2
24
8
“系数”与“系数”乘,被开方数与 被开方数相乘
32 (3) 5 45 x(－ 2 2 3 )
学习任务：
掌握二次根式乘除运算的法则，并会运用 法则进行二次根式的乘除法运算.
二次根式性质1： ab= a b (a0，b0)
二次根式性质2：
aa b = b (a0，b>0)
根据等式的对称性可得：
a b= ab(a0，b0) 二次根式乘法法则
a b=
a b (a0，b>0)
例3.计算：
(1) 72 6
1
1
(2) 1 2 (－ 6 )
(3) －5
x 6 2
6x3 (x>0)
(4) 5a3b -27b5 (a0)
随堂练习 1.计算：
(1) 1.7 x 6.8
2
3
(2) 3 15 x(－ 5 75 )
(3 )
5 35 7 x
1 17 2
(4 )
1 27m(－ 3 mx )
二次根式除法法则
例1：化简： (1) 1681
（4）132 - 52
(2) 12 (3) 150
(5) 4a2b3 (a 0,b 0)
（6） 45a （7） a3 (a 0)
化简结果为最简二次根式

a • b ab
语言叙述： 反过来： ab a b（a≥0，b≥0） 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根 指数不变
a、b必须都是非负数！
典例精析
例1：计算:
6 2 3
解：6 2 6 2 4 2
3
3
自学检测1
1. 计算:
(1) 3 5; (2) 1 27; (3) 2 3 5. 3
•
9.能准确 、有感 情的朗 读诗歌 ，领会 丰富的 内涵， 体会诗 作蕴涵 的思想 感情。
解: (1) 3 5 15;
(2) 1 27 1 27 9 3.
3
3
可先用乘法结合 律，再运用二次 根式的乘法法则
(3) 2 3 5 ( 2 3) 5 6 5 30.
或者 2 3 5 2 3 5 30
典例精析
例2：计算: 3 5 2 2
解： 3 5 2 2=（3 2）（ 5 2）=6 10.
a b
（a≥0，b＞0）
a b c d ac bd (b 0, d 0)
m a n b =（m n） a b（a 0,b 0)
当堂训练
1、计算:(1)
15 ×
2;
5
(2)3 12 ×(-2 18 );
(3)-2 2 ×(-4 8 ) (4)(- 30 )× 3 ×(-2 10 ).
2、计算:(1) 18 ÷ 2 ;
(2)
8÷
3
1 2
;
(3) 9 48 ÷ 3 31 ;
4
85
(4)
30 × 3
2
8 ÷2
3
5.
2
•
1. 中国人只要看到土地，就会想种点 什么。 而牛叉 的是， 这花花 草草庄 稼蔬菜 还就听 中国人 的话， 怎么种 怎么活 。

二次根式的乘除法北师大版八年级数 学上册 精品课 件2 二次根式的乘除法北师大版八年级数 学上册 精品课 件2
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=2.
4. （例3） 若 的值等于（ C ） A. 4 C. 2
，则x
B. ±2 D. ±4
5. 计算：
6. 计算：
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7. 计算：
重难易错
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8. 计算：
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二次根式的乘除法北师大版八年级数 学上册 精品课 件2
三级检测练
一级基础巩固练
9. 已知
，
则x3y+xy3= 10 .
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二次根式的乘除法北师大版八年级数 学上册 精品课 件2
10. 计算： .
二次根式的乘除法北师大版八年级数 学上册 精品课 件2
=
二次根式的乘除法北师大版八年级数 学上册 精品课 件2
二级能力提升练
二次根式的乘除法北师大版八年级数 学上册 精品课 件2
二次根式的乘除法北师大版八年级数 学上册 精品课 件2 二次根式的乘除法北师大版八年级数 学上册 精品课 件2

b-3
则正方形的边长是 b 3.
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
65 s 2
s
a2 2500

h 5
b3
被开方数都是非负数
开平方运算
二次根式的定义
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式，“ 次根号.a叫被开方数
a（ a≥0）
”称为二
它必须具备如下特点
二次根式
被开方数a≥0非负数； 开平方运算
4 ＝
9
4 9，
25 25 49 49
16 25 ，
（2）用计算器计算：
6 7 ＝ 6.480 ， 6 7 ＝ 6.480 ；
6 ＝ 0.9255 ，
7
6 ＝ 0.9255 ． 7
有何发现： 6 7 ，= 6 7
6 ＝
7
6 7．
4 9 ＝ 4 9， 16 25 ＝ 16 25 ，
(4) 12
(5)
(6) xy x,y异号
(3) a2 1
-m m 0
(7) a2 1 (8) 3 5
在实数范围内，负数没有平方根
做一做：
填空：（1） 4 9＝ 6 ， 4 9 ＝ 6 ；
4
＝
9
2 3，
42 9＝ 3 ；
25 5 25
＝
49
7
，
49＝
5 7
．
有何发现： 4 9 ＝ 4 9， 16 25 ＝
二次根式
知识回顾
1、什么叫做平方根？ 一般地，如果一个数的平方等于a，那么
这个数叫做a的平方根. 2、什么叫算术平方根？
一般地，如果一个正数的平方等于a， 那么这个正数叫做a的算术平方根.