重庆南开中学高2017级高一下半期数学试题

2014-2015重庆南开高2017级高一（上）期末考试数学试卷（2015.1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟一、选择题（本大题10个小题，每小题5分，共50分，每小题只有一个选项符合要求）1、计算cos28cos32sin 28sin32︒︒-︒︒=（ ）A 、12-B 、12C 、3D 、－3 2、若设a=20.5，b=log 0.5e ，c=ln2，则下列结论正确的是（ ）A 、b<a<cB 、c<a<bC 、c<b<aD 、b<c<a3、在△ABC 中，已知∠A ＝4π，∠B ＝3π，边AC ＝3，则边BC 的长为（ ） A 、2 B 、3 C 、1 D 、64、函数f （x ）＝x e +4x -3的零点所在的区间是（ ）A 、（1,04-）B 、（10,4）C 、（11,42）D 、（13,24） 5、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边，“sinA>sinB”是“A>B”的什么条件（ ）A 、充分不必要B 、必要不充分C 、充要D 、既不充分也不必要6、求函数y= 12log 2sin(2)13x π⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦的单调区间( ) A 、5(,)()412k k k Z ππππ++∈ B 、5(,)()412k k k Z ππππ--∈ C 、(,)()63k k k Z ππππ++∈ D 、(,)()62k k k Z ππππ--∈ 7、已知函数f （x ）＝Acos （x ωϕ+）（A>0，0,0ωϕπ><<）为奇函数，该函数的部分图像如图所示，△EFG 是边长为2的等边三角形，则f （1）的值为（ ）A 、－32B 、－62C 、3D 、－38、定义在R 上的函数f （x ）满足f （x +2）=f （x ），当x ∈[1，3]，f （x ）=2-|x -2|，则下列结论中正确的是（ ）A 、f （sin 6π）<f （cos 6π）B 、f （sin1）﹥f （cos1）C 、f （sin 23π）<f （sin 23π） D 、f （cos2）﹥f （sin2） 9、已知关于x 的方程cos2x +（4t+2）sin x ＝2t 2+2t+1，x ∈[0，32π ]，恰好有三个不等实根，则实数t 的取值范围是（ ） A ．-1≤t ≤0 B ．-1＜t ≤0 C ．0≤t ≤1 D ．0＜t ≤110、如图所示，扇形OMN 的半径是2，∠AOB ＝23，矩形ABCD 的端点分别落在两半径及圆弧上（显然OA ＝OD ），则矩形ABCD 面积最大值是（ ）A 、3B 、3CDC 、43 D 、12第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题5个小题，每小题5分，共25分）11、计算lg4+2lg5+238＝ 12、已知函数f （x ）＝sin ,0(1)1,0x x f x x π<⎧⎨-->⎩，则1111()()66f f -+＝ 13、在△ABC 中，三个内角是A 、B 、C ，且sin 2A ≤sin 2B+sin 2C —sinBsinC ，则角A 的取值范围是14、若不存在整数x 使不等式（k x -k 2-4）（x -4）＜0成立，则实数k 的取值范围是 。

重庆南开中学高2015级高一（下）期中考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（每小题5分，10小题，共50分，每小题只有一个选项符合要求）1.在等差数列{}n a 中，若30a a a 531=++，则=3a =（ ）A 、7B 、8C 、9D 、102.已知向量a ,b 满足，|a |=2，|b |=1， a ⊥b ，则|a ＋2b | =（ ）A 、22B 、3C 、8D 、93.在△ABC 中，若a=3，b=2，A=60°，则B=（ ）A 、30°B 、45°C 、90°D 、120°4. 向量a =（2,3），b =（1,2），若b a 2+ 与b a m + 平行，则m =（ ）A 、2－B 、2C 、 21－ D 、21 5.已知9,,,121a a 四个实数成等差数列，9,,,,1321b b b 五个数成等比数列，则)(122a a b -等于（ ）A 、8B 、－8C 、±8D 、89 6.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23=S ，149=S ，则=12S （ ）A 、80B 、30C 、26D 、167.在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a ，b ，c ，若C A sin sin 2=,222,,b c a 成等差数列，则B=( )A 、 30°B 、60°C 、120°D 、150°8.等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，01＞a ，2012a ，2013a 是方程0)1()1(222=+-++-λλλx x 的两根，则满足n S ＞0的n 的最大正整数为（ ）A 、4023B 、4024C 、4025D 、40269.如图四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE=CD 。

秘密★启用前2015重庆一中高2017级高一下期期末考试数 学 试 题 卷 2015.7一、选择题：（每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.）1.10y -+=的倾斜角为（ ） A．56π B．23π C．3π D．6π 2.学校教务处要从某班级学号为160-的60名学生中用系统抽样方法抽取6名同学的作业进行检查，则被抽到的学生的学号可能是（ ）A ．5,10,15,20,25,30B ．3,13,23,33,43,53C ．1,2,3,4,5,6D ．2,4,8,16,32,483．下列命题中错误的是（ ）A ．夹在两个平行平面间的平行线段相等B ．过直线l 外一点M 有且仅有一个平面α与直线l 垂直，C ．垂直于同一条直线的两个平面平行D ．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等4.如右图，程序框图所进行的求和运算是 ( )5．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角之和为（ ）A ．090B ．0120C ．0135D ．01506．右图是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的表面积为（ ）A. 4B.64D.67．已知0,0>>y x ，且()()119x y ++=，则x y +的最小值是（ ）A ．4B ．5C ．29 D ．211 8．10111111111+224248242⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…………的值为（ ）侧视图 正视图 2 俯视图 230 35 40 45 50 55 年龄 频率0.010.02 a A ．9172+ B ．10192+ C ．111112+ D ．10172+ 9．（原创）在ABC ∆中3,2AC BC AB ===，P 为三角形ABC 内切圆圆周上一点，则PA PB ·的最大值与最小值之差为( )A ．4B ．． D ．210（原创）．已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，,P Q是面1111A B C D 上的两个不同的动点．给出以下四个结论：①若DP =则DP 在该四棱柱六个面上的投影长度之和的最大值为；②若P 在面对角线11A C 上，则在棱1DD 上存在一点M 使得1MB BP ⊥；③若,P Q 均在面对角线11A C 上，且1PQ =，则四面体BDPQ 的体积一定是定值； ④若,P Q 均在面对角线11A C 上，则四面体BDPQ 在底面1111ABCD A B C D -上的投影恒为凸四边形的充要条件是PQ ；以上各结论中，正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：（每小题5分，共计25分，把答案填在答题卡的相应位置．）11．经过点),3(),1,2(a Q P --的直线与倾斜角为︒45的直线垂直，则=a ________.12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足253,25a S ==，则10S = . 13(原创).已知,B C 是球O 的一个小圆1O 上的两点，且BC =2BOC π∠=123BO C π∠=，则三棱锥1O O BC -的体积为______. 14（原创）在星期天晚上的6:30-8:10之间，小明准备用连续的40分钟来完成数学作业，已知他选择完成数学作业的时间是随机的，则在7:00时，小明正在做数学作业的概率是______.15（原创）．已知0m ≥，满足条件4y x x y y mx m ≥⎧⎪+≤⎨⎪≤-⎩的目标函数z x my =+的最大值小于2，则m的取值范围是______.三、解答题：（本大题共6小题，共计75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．(本小题满分13分)某同学对本地[]30,55岁的爱好阅读的人群随机抽取n 人进行了一次调查，得到如下年龄统计表，其中不超过40岁的共有60人。

重庆市南开中学2 014-2015学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（每小题5分，l0小题，共50分，每小题只有一个选项符合要求）1．已知等比数列{a n}中，a2=﹣4，，则公比q=（）A．﹣2 B．C．D．22．己知向量，非零不共线，则下列各组向量中，可作为平面向量的一组基底的是（）A．，B．，C．，D．，3．等比数列{a n}中，“公比q＞1”是“数列{a n}单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．下列说法中，一定成立的是（）A．若a＞b，c＞d，则ab＞cd B．若|a|＜b，则a+b＞0C．若a＞b＞0，则a b＞b a D．若，则a＜b5．设等差数列{a n}的前n项和S n，若a1+a5+a8=a2+12，则S11=（）A．44 B．66 C．100 D．1326．某人月初0元购入一部5000元的手机，若采用分期付款的方式每月月底等额还款，分l0个月还清，月利率0.1%按复利计算，则他每月应还款（1.011.00110≈1.01）（）A．500元B．505元C．510元D．515元7．已知，则（1﹣2x）x2（1+2x）的最大值为（）A．B．C．D．8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．9 B．11 C．55 D．669．已知四边形ABCD，==（1，1），+=，则四边形ABCD的面积为（）A．1 B．C．D．210．各项均为正数的数列{a n}满足：a n+1=，若存在三个不同的首项a1，使得a3=m，则实数m的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，1）C．[，1）D．[，2]二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡Ⅱ上相应位置（只填结果，不写过程）11．已知数列2，，，，…，则是该数列中的第项．12．已知向量满足：，，则向量与的夹角为．13．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=3a n﹣2，求a n=．14．已知两个单位向量的夹角为，设向量，其中t∈R，当取最小值时，t=．15．已知在锐角△AB C中，已知∠B=，|﹣|=2，则的取值范围是．三、解答题；（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卡Ⅱ上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）16．已知向量=（1，2），=（1，﹣1）．（Ⅰ）求；（Ⅱ）设向量，若与的夹角为钝角，求实数x的取值范围．17．已知等差数列{a n}的公差d＜0，a3a5=112，a4=11．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，当n为何值时，S n取得最大值？并求此最大值．18．已知x＞0，y＞0，x+2y﹣xy=0．（Ⅰ）求xy的最小值；（Ⅱ）求x+y的最小值．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足．（Ⅰ）求{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）记，求．20．已知数列{a n}满足：a1=1，a n=，设b n=3n﹣1（a n+1）．（Ⅰ）证明：{b n}是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和．21．若函数f（x）满足：集合A={f（n）|n∈N*}中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数f（x）是等比源函数．（Ⅰ）判断下列函数：①y=x2；②；③y=log2x中，哪些是等比源函数？（不需证明）（Ⅱ）判断函数f（x）=2x+1是否为等比源函数，并证明你的结论；（Ⅲ）证明：∀d，b∈N*，函数g（x）=dx+b都是等比源函数．重庆市南开中学2014-2015学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（每小题5分，l0小题，共50分，每小题只有一个选项符合要求）1．已知等比数列{a n}中，a2=﹣4，，则公比q=（）A．﹣2 B．C．D．2考点：等比数列的性质；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：直接利用等比数列的通项公式化简求解即可．解答：解：等比数列{a n}中，a2=﹣4，，可得a2q3=a5，即﹣4q3=，解得q=﹣．故选B．点评：本题考查等比数列的通项公式的应用，等比数列的性质的应用，考查计算能力．2．己知向量，非零不共线，则下列各组向量中，可作为平面向量的一组基底的是（）A．，B．，C．，D．，考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：判断向量是否共线，推出结果即可．解答：解：=﹣（），选项B的两个向量共线，不正确；，选项C的两个向量共线，不正确；，选项D的两个向量共线，不正确；故选：A．点评：本题考查平面向量基本定理的应用，基本知识的考查．3．等比数列{a n}中，“公比q＞1”是“数列{a n}单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据等比数列递增的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若a1＜0，q＞1时，{a n}递减，∴数列{a n}单调递增不成立．若数列{a n}单调递增，当a1＜0，0＜q＜1时，满足{a n}递增，但q＞1不成立．∴“公比q＞1”是“数列{a n}单调递增”的既不充分也不必要条件．故选：D点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质是解决本题的关键，比较基础．4．下列说法中，一定成立的是（）A．若a＞b，c＞d，则ab＞cd B．若|a|＜b，则a+b＞0C．若a＞b＞0，则a b＞b a D．若，则a＜b考点：不等关系与不等式．专题：不等式．分析：通过取特殊值，判断A，C，D，通过绝对值的性值得到B一定成立．解答：解：对于A，若a=2，b=1，c=﹣4，d=﹣5，显然ab＜cd，故A不一定成立；对于B，若|a|＜b，则﹣b＜a＜b，故a+b＞0一定成立，对于C，若a=4，b=3时43=64，34=81，不成立，对于D，当a=1，b=﹣2时，不成立，故选：B．点评：本题考查了不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题5．设等差数列{a n}的前n项和S n，若a1+a5+a8=a2+12，则S11=（）A．44 B．66 C．100 D．132考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据等差数列的通项公式，可得a1+a11=12，依据等差数列的前n项和公式即可求解．解答：解：在等差数列中，∵a1+a5+a8=a2+12，∴2a1+10d=12，即a1+a11=12，则S11=（a1+a11）=66．故选：B．点评：本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和公式的计算，求出a1+a11=12是解决等差数列的关键．6．某人月初0元购入一部5000元的手机，若采用分期付款的方式每月月底等额还款，分l0个月还清，月利率0.1%按复利计算，则他每月应还款（1.011.00110≈1.01）（）A．500元B．505元C．510元D．515元考点：等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．专题：应用题；等差数列与等比数列．分析：根据条件，结合等比数列的前n项和公式建立方程关系即可得到结论解答：解：把5000元存入银行10个月，月利0.1%，按复利计算，则本利和为5000×（1+0.1）10=5000×（1.001）10=5000×1.01=5050，每月存入银行a元，月利0.1%，按复利计算，则本利和为a+a（1+0.1%）+a（1+0.1%）2+…+a（1+0.1%）9=a•=a•=10a．由题意知10a=5050，解得a=505（元）．即每月还款大约为505元，故选：B点评：本题主要考查函数的应用问题，结合等比数列的前n项和公式是解决本题的关键7．已知，则（1﹣2x）x2（1+2x）的最大值为（）A．B．C．D．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：换元t=4x2∈[0，1），恒等变形得出1﹣2x）x2（1+2x）=×（1﹣t）t利用基本不等式求解即可．解答：解：∵，∴t=4x2∈[0，1），∴（1﹣2x）x2（1+2x）=×（1﹣t）t×=（t=时等号成立），∵t=时，x=，∴当x=时，（1﹣2x）x2（1+2x）的最大值为，故选：C．点评：本题考察了换元法转为基本不等式求解最大值问题，关键是构造条件，等号是否成立，8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．9 B．11 C．55 D．66考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=1×的值，约分计算即可得解．解答：解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=1×的值，由于S=1×==66．故选：D．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，模拟执行程序框图，正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．9．已知四边形ABCD，==（1，1），+=，则四边形ABCD的面积为（）A．1 B．C．D．2考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据题意，利用向量加法的平行四边形法则得到四边形ABCD是菱形且∠BAD=135°，因此算出||=||=，即可求出四边形ABCD的面积．解答：解：因为四边形ABCD，=，所以四边形ABCD是平行四边形，因为+=，所以AC是平行四边形ABCD的角平分线，且∠BAD=135°可得四边形ABCD是菱形，||=||=，因此四边形ABCD的面积S==．故选：B．点评：本题给出四边形ABCD满足的向量等式，求四边形ABCD的面积．着重考查了向量加法的平行四边形法、向量模的公式与平行四边形面积求法等知识，属于中档题．10．各项均为正数的数列{a n}满足：a n+1=，若存在三个不同的首项a1，使得a3=m，则实数m的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，1）C．[，1）D．[，2]考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：分类讨论：当时，a2=2a1≤1，可得a3=4a1=m，解得m范围．同理当时，得a1=，解得m范围．当a1＞1时，解得a1=，解得m范围．由于存在三个不同的首项a1，使得a3=m，求其交集即可．解答：解：当时，a2=2a1≤1，∴a3=2a2=4a1=m，得，解得m≤2．当时，a2=2a1＞1，a3===m，解得a1=，∴，解得．当a1＞1时，＜1，∴a3=2a2==m，解得a1=，∴＞1，解得m＜2．∵存在三个不同的首项a1，使得a3=m，∴，解得．∴实数m的取值范围是．故选：C．点评：本题考查了分类讨论思想方法、不等式的性质、分段函数性质、集合运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡Ⅱ上相应位置（只填结果，不写过程）11．已知数列2，，，，…，则是该数列中的第12项．考点：数列的函数特性．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据条件求出数列的通项公式即可得到结论．解答：解：数列的等价条件为，，，，…，则数列的通项公式为a n=，由a n==，解得n=18，即则是该数列中的第18项，故答案为：18点评：本题主要考查数列的通项公式的求解，根据数列项的概率求出数列的通项公式是解决本题的关键．12．已知向量满足：，，则向量与的夹角为120°．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：把已知式子平方代入数据可得向量夹角的余弦值，可得向量的夹角．解答：解：∵，，∴=1，∴1+4+2×1×4×cosθ=1，解得cosθ=∴向量与的夹角θ=120°故答案为：120°点评：本题考查平面向量的夹角，属基础题．13．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=3a n﹣2，求a n=3n﹣1+1．考点：数列的概念及简单表示法．专题：探究型；转化思想．分析：题目给出了数列的首项及递推式，求解通项公式时，首先把递推式变形，变为我们熟悉的等比数列，求出新数列的通项公式后再求原数列的通项．解答：解：由a n+1=3a n一2得：a n+1﹣1=3（a n﹣1），∵a1﹣1=2﹣1=1≠0，∴数列{a n﹣1}构成以1为首项，以3为公比的等比数列，∴，∴．故答案为3n﹣1+1．点评：本题考查了给出递推式求数列通项公式的方法，对于a n+1=pa n+q型的递推式，一般能够造成{a n+x}型的等比数列，属常见题．14．已知两个单位向量的夹角为，设向量，其中t∈R，当取最小值时，t=．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得2=（t+）2+，由二次函数的最值可得．解答：解：由题意可得2==+2t+=1+2t×+t2=t2+t+1=（t+）2+，由二次函数可知当t=﹣时，2取最小值，∴当取最小值时，t=故答案为：点评：本题考查平面向量的模长公式，涉及二次函数的最值，属基础题．15．已知在锐角△ABC中，已知∠B=，|﹣|=2，则的取值范围是（0，12）．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，得到C的坐标，找出三角形为锐角三角形的A的位置，得到所求范围．解答：解：以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，因为∠B=，|﹣|=||=2，所以C（1，），设A（x，0）因为△ABC是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A＜90°，即A在如图的线段DE上（不与D，E重合），所以1＜x＜4，则=x2﹣x=（x﹣）2﹣，所以的范围为（0，12）．故答案为：（0，12）．点评：本题考查了向量的几何意义以及利用坐标法求数量积范围；属于中档题．三、解答题；（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卡Ⅱ上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）16．已知向量=（1，2），=（1，﹣1）．（Ⅰ）求；（Ⅱ）设向量，若与的夹角为钝角，求实数x的取值范围．考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：（Ⅰ）由题意可得2﹣的坐标，由模长公式可得；（Ⅱ）可得向量的坐标，由与的夹角为钝角可得＜0，解不等式排除向量反向可得．解答：解：（Ⅰ）∵=（1，2），=（1，﹣1），∴2﹣=（2，4）﹣（1，﹣1）=（1，5），∴==；（Ⅱ）可得=（x+x2，2x﹣x2），由与的夹角为钝角可得=（x+x2）﹣（2x﹣x2）＜0，解方程可得0＜x＜，若向量反向则x+x2+2x﹣x2=0，解得x=0，此时向量为，不满足题意，∴实数x的取值范围为（0，）．点评：本题考查平面向量的夹角，涉及向量的模长公式，属基础题．17．已知等差数列{a n}的公差d＜0，a3a5=112，a4=11．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，当n为何值时，S n取得最大值？并求此最大值．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据等差数列的通项公式建立方程组关系求出首项和公差即可求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）根据数列的通项公式，求出a n=23﹣3n≥0得值，即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）∵等差数列{a n}的公差d＜0，a3a5=112，a4=11．∴（a4﹣d）（a4+d）=112，即（11﹣d）（11+d）=112，则121﹣d2=112，即d2=9，d=﹣3，∵a4=a1+3d=11，∴a1=20，则数列{a n}的通项公式a n=20﹣3（n﹣1）=23﹣3n；（Ⅱ）∵a n=23﹣3n，∴由a n=23﹣3n≥0得n≤；即当1≤n≤7时，a n＞0，当n≥8时，a n＜0，∴当n=7时，S n取得最大值，求此最大值S7==77．点评：本题主要考查等差数列的通项公式以及前n项和的性质，根据方程组求出首项和公差是解决本题的关键．18．已知x＞0，y＞0，x+2y﹣xy=0．（Ⅰ）求xy的最小值；（Ⅱ）求x+y的最小值．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（I）由于x＞0，y＞0，x+2y﹣xy=0．变形利用基本不等式的性质即可得出．（II）由x+2y=xy，解得y=＞0，解得x＞2．变形x+y=x+=x﹣2++2，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：（I）∵x＞0，y＞0，x+2y﹣xy=0．∴xy=x+2y，化为xy≥8，当且仅当x=2y=4时取等号．∴xy的最小值是8；（II）由x+2y=xy，解得y=＞0，解得x＞2．∴x+y=x+=x﹣2++2≥2+2=2+2，当且仅当x=2+，y=1+时取等号．∴x+y的最小值为2+2．点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于基础题．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足．（Ⅰ）求{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）记，求．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）利用递推式与等比数列的通项公式即可得出；（II）利用“裂项求和”即可得出．解答：解：（I）∵满足，∴当n=1时，a1=2﹣（2+1）a1，解得a1=．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣，化为．∴数列是等比数列，首项为，公比为．∴=．∴．（Ⅱ）=．∴==．∴=++…+=2=3﹣．点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式与“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知数列{a n}满足：a1=1，a n=，设b n=3n﹣1（a n+1）．（Ⅰ）证明：{b n}是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和．考点：数列递推式；数列的求和．专题：证明题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由已知可得b n﹣b n﹣1=2，即可证明，（II）由于通项是一个等差数列与一个等比数列的积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的前n项和．解答：解：（Ⅰ）证明：∵a1=1，a n=，∴3a n=a n﹣1+﹣2（n≥2），∴b n﹣b n﹣1=3n﹣1a n+3n﹣1﹣3n﹣2a n﹣1﹣3n﹣2=3n﹣2（a n﹣1+﹣2﹣a n﹣1）+2•3n﹣2=3n﹣2（a n﹣1+﹣2﹣a n﹣1+2）=2．∴则{b n}是首项为2，公差为2的等差数列．（Ⅱ）∵b n=3n﹣1（a n+1）=2+（n﹣1）2，可解得：a n=，∴s n=1+（）+（﹣1）+（﹣1）+…+（）=+++…++2﹣n，①3s n=2×2+++…++6﹣3n，②∴②﹣①可得：2s n=++…+﹣+8﹣2n，∴s n=++…+﹣+4﹣n=﹣﹣n﹣．点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求通项公式及数列的求和，属于中档题．21．若函数f（x）满足：集合A={f（n）|n∈N*}中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数f（x）是等比源函数．（Ⅰ）判断下列函数：①y=x2；②；③y=log2x中，哪些是等比源函数？（不需证明）（Ⅱ）判断函数f（x）=2x+1是否为等比源函数，并证明你的结论；（Ⅲ）证明：∀d，b∈N*，函数g（x）=dx+b都是等比源函数．考点：等比数列的性质．分析：（Ⅰ）直接举例说明题目给出的三个函数都是“等比源函数”；（Ⅱ）利用反证法思想证明函数f（x）=2x+1不是等比源函数；（Ⅲ）首先证明数列{g（n）}为等差数列，然后验证g（1），g[g（1）+1]，g[2g（1）+g（1）d+1]构成等比数列，从而说明结论的正确性．解答：（Ⅰ）解：对于函数y=x2，分别取x=1，2，4，对应的函数值为1，4，16，构成等比数列，符合等比源函数定义，∴函数y=x2是等比源函数；对于函数，分别取x=1，2，4，对应的函数值为1，，构成等比数列，符合等比源函数定义，∴函数是等比源函数；对于函数y=log2x，分别取x=2，4，16，对应的函数值为1，2，4，构成等比数列，符合等比源函数定义，∴函数y=log2x是等比源函数．∴①②③都是等比源函数；（Ⅱ）解：函数f（x）=2x+1不是等比源函数．证明如下：假设存在正整数m，n，k且m＜n＜k，使得f（m），f（n），f（k）成等比数列，则（2n+1）2=（2m+1）（2k+1），整理得22n+2n+1=2m+k+2m+2k，等式两边同除以2m，得22n﹣m+2n﹣m+1=2k+2k﹣m+1．∵n﹣m≥1，k﹣m≥2，∴等式左边为偶数，等式右边为奇数，∴等式22n﹣m+2n﹣m+1=2k+2k﹣m+1不可能成立，∴假设不成立，说明函数f（x）=2x+1不是等比源函数；（Ⅲ）证明：∵∀b，n∈N*，都有g（n+1）﹣g（n）=d，∴∀d，b∈N*，数列{g（n）}都是以g（1）为首项，公差为d的等差数列．∀d，b∈N*，g（1），g（1）（1+d），g（1）（1+d）2成等比数列，∵g（1）（1+d）=g（1）+（g（1）+1﹣1）d=g[g（1）+1]，g（1）（1+d）2=g（1）+（2g（1）+g（1）d+1﹣1）d=g[2g（1）+g（1）d+1]，∴g（1），g[g（1）+1]，g[2g（1）+g（1）d+1]∈{g（n）|n∈N*}，∴∀d，b∈N*，函数g（x）=dx+b都是等比源函数．点评：本题考查了等比数列的性质，是新定义题，解答的关键是通过举例验证证明，是中档题．。