重庆南开中学高2018级高一(上)期中考试数学(试题+答案)

重庆南开中学高2021级高一〔上〕期末测试数学试题本试卷分第I卷〔选择题〕和第II卷〔非选择题〕两局部,总分值卷〔选择题共60分〕12个小题,每题5分,共60分,每题只有一个选项符合要求〕〕条件将函数y=sinx的图像上的点的横坐标扩大为原来的2倍,纵坐标不变得到图像C1,再将图像C I向右平移一个单位得到的图像C2,那么图像C2所对应的函数的解析式为〔37、A、yA、c sinsin1-x22xln x,b1B、y sin - x -2 6D、y sin 2xln x,c e lnx,那么a,b,c的大小关系为〔C、 a b cD、 b a c150分,测试时间120分钟、选择题〔本大题共1、集合A x2x 4 ,B x log2 x 0 , 那么AI B (A、1,2B、1,2C、0,1D、0,12、A、充分不必要B、必要不充分C、充要D、既不充分也不必要3、一个扇形的周长为10cm,圆心角为2弧度,那么这个扇形的面积为〔、2)cm4、5、A、25 函数A、0,1函数igA、1,2C、254D、2522xx212,5 ,那么f x的零点所在的区间为〔1,2 C、2,3 D、3,4的单调递减区间为〔c 1C、 22D、-,326、那么 f (2021) +f (2021) +f (2021)的值为(A 、01_ . ,一.六的取值范围为〔A 、 1,B 、 1,1C 、,1D 、 1,1应位置〔只填结果,不写过程〕 213、幕函数y m 2 3m 3 x m m 1在〔0,+8〕单调递减,那么实数m 的值为 14、计算：log6 2 210g 6 3 101g 2一,一 11 18、(12分)定义在R 的函数f x a x-x a 1a(1)判断f (x)的奇偶性和单调性,并说明理由；8、 0, 且cos-,那么cos 的值为〔5A 、-1109、定义在 B 、 J10C 、 7.2R 上的奇函数f 10(x)满足 f (x+4)D、 (x) 7；2 70包成立,且f (1) = 1 ,10、化简tan20° +4sin20°的结果为〔A 、1 11、如图,圆O 与x 轴的正半轴的交点为 A,点B,C 在圆O 上,点B 的坐标为 1,2,点CAOC o假设BC75 ,贝^ sin —cos — 73cos 2— — 的值为 ( 2 2 2 2A 、B 、2.55"5"5 2.5 512、函数 x 1 2 ,x log 2,x假设方程f 〔x 〕 = a 有四个不同的解X I 、 X 2、X 3、 X 4 ,、填空题: 第II 〔本大题共4个小题, 卷〔非选择题,共90分〕每题5分,共20分〕各题答案必须填写在做题卡上相C 、2x3 x 4,那么 x 3x 1x215、0,2 且cos- -,那么tan的值为.10goi x 1, 1 x k16、函数f x 1 2,假设存在实数k使函数f (x)的值域为[0,2],2x 2x 1,k x a那么实数a的取值范围为.三、解做题：(本大题共6个小题,共70分)各题解答必须答在做题卡上(必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程)317、(10 分) tan 2,tan -.2(1)求tan的值；sin — sin(2)求——2------------------------- 的值.cos 2sin19、〔12 分〕函数 f x sin2 x 2,3sin x cos x cos2R的图像关于直线x 对称,其中⑴,入为常数且0,2.(1)求函数f (x)的最小正周期；(2)解关于x的不等式：f (x-1) >f (2x+1)0(2)假设y=f (x)的图像过点一,0 ,求函数f (x)在x 0-上的值域. 6 220、(12分)函数f (x)为二次函数,假设不等式f (x) <0的解集为(-2, 1)且 f (0) =2(1)求f x的解析式；(2)假设不等式f cos 夜sin - msin对R恒成立,求实数m的取值范围.21、(12分)函数f x log2 TH奇函数.1 X(1)求实数a的值；(2)设函数g x f x 10g2mx ,是否存在非零实数m使得函数g (x)恰好有两个零点?假设存在,求出m的取值范围；假设不存在,说明理由.22、(12分)函数f x的定义域D 0,,假设f x满足对任意的一个三边长为a,b,c D 的三角形,都有f a ,fb ,f c也可以成为一个三角形的三边长,那么称 f x为保三角形函数〞.(1)判断g x sin x,x 0,是否为保三角形函数〞,并说明理由；(2)证实：函数h x lnx,x 2, 是保三角形函数〞；(3)假设f x sinx,x 0,是保三角形函数〞,求实数的最大值.重庆南开中学高2021级高一(上)期末数学试卷答案解：由A 中不等式变形得：2x &4=2,得到x&Z 即A= (—8, 2],可得.解：设扇形的半径为r,弧长为1, /. 1 2r 10,解得1=5, r=-,「•扇形的面积S 』1r 二店1 2r2应选：C. 4.1 (1)解：函数f(x) 2x-x 5,是单调增函数,并且f (2) =4+--5<0, 4 23 1f (3) =8 — 5 0, 函数f(x) 2x -x 5,那么f (x)的零点所在的区间为(2, 3). 4 4应选：C. 5.【分析】令t= - x 2+x+6>0,求得函数的定义域,根据f (x) =g (t) =1gt,此题即求函数t 在 定义域内的减区间,再利用二次函数的性质得出结论.解：令t=-x 2+x+6>0,求彳3-2<x<3,可得函数的定义域为{x|-2<x< 3}, f (x) =g (t) =1gt,此题即求函数t 在定义域内的减区间. 再利用二次函数的性质可得函数t 在定义域内的减区间为(-,3),2应选：D.1.由B 中不等式变形得: 那么 AH B= (1, 2],2.【分析】“ —3 Sin6解：“ 一〞？ sin6因此“一〞是Sin63.【分析】设扇形的半径为10g2x>0=log2l,得至ij x>1, 应选：B.反之不成立,例如21 〞 一、一. … 1 ,反之不成立,例如 2工〞的充分不必要条件.2r,弧长为1,可得1和r 的方J .即可判断出结论.6 *6应选：A.,解方程组代入扇形的面积公式解：将函数y=sinx 的图象上的点的横坐标扩大为原来的 2倍,得到y=sin-x,2 然后向右平移一个单位得到的图象C2,即y=sin1 (x-1)=sin (― x-—),3 2 2卜 应选：B.17.【分析】依题意,由对数函数与指数函数的性质可求得 a<0, b>1, - <c< 1,从而可得【解答】解：: x€ (e—1, 1), a=lnx 「•aC (-1, 0),即 a<0; 又y=(l)x 为减函数, 2 .•.b=(1)1nx >(1)1n1 =(1)0=1 ,即 b> 1; 2 2 2 又c=e1nx=xe (e- 1, 1), b>c>a. 应选 B.8. 【分析】根据同角的三角形关系求出 两角差的余弦公式计算即可. sin ( a+-j-) =4 , 再根据 cos a =C0 s a 与--), 利用解：’:长(0 , Tt), 一, 5 、• • a - C (—,—), cos(— )44 4 5,. cos a =cos 、 / 、 •, 、. 3T- — 1) =cos ( a T- ) cos —+sin ( a T —)sin 一 二一7.2 10 ,应选：C. 9. 解：f (x+4) =f (x), ・♦・函数f (x)是周期为4的周期函数, 贝U f (2021) =f (504刈=f (0), f (2021) =f (504M+1) =f (1) =1 , f (2021) =f (504M+2) =f (2), . f (x)是奇函数, , f (0) =0,当 x=-2 时,f (-2+4) =f (-2),即 f (2) =-f (2),那么 f (2) =0,即 f (2021) +f (2021) +f (2021) =f (0) +f (1) +f (2) =0+1+0=1 , 应选：B. 10.解：tan20+4sin20 4+ 始干i 口20a +工'钠 ccs20 cos20_ (sin20f - 1 色 如° ) +sin400cos20°二生迎迎qg 手mo*+乳口40" cos20 =2—呼Q° 二 cos20 11.解：.••点B 的坐标为(-1,2), • . |OB|=|OC|= . 5 , |BC|=卮・•.△OBC 是等边三角形,那么/AOB=+ -.312.【分析】作出函数f 〔X 〕,得到X 1 , X 2关于X=- 1对称,X 3X 4=1；化简条件,利用数形结合进 行求解即可.解：作函数f 〔X 〕的图象如右,;方程 f 〔X 〕=2有四个不同的解 X 1, X 2, X 3, X 4,且 X 1<X 2<X 3<X 4, . X 1, X 2 关于 X=- 1 对称,即 X 1 +X 2= - 2 , 0< X 3 < 1 < X 4 ,贝^ |log 2X 3| = |log 2x 4|, 即-log 2X 3=log 2X 4, 贝^ log 2x 3+log 2X 4=0 即 log 2X 3X 4=0 那么 X 3X 4=1 ；cos20 应选：D.老8s (y1 J5贝^ sin 5cos 万+ 6 cos 2万一 2.5 5.3 1 .一 =-sin 22 =sin a\1当 110g 2x|=1 得 x=2 或一, 21那么 1 <X404 —43< 1 ；21 八 11 一 ,故 X 3( X | X 2) —— = — 2x 3+ 一 , —叔3< 1 ；X 3 X 4 X 3 2 1 . 1那么函数y= - 2X 3+ 一,在一板3V 1上为减函数, X 3X 3__1 _ __ __ .那么故X 3=1取得最大值,为y=1,2当X 3=1时,函数值为-1 . 即函数取值范围是〔-1, 1]. 应选：B 13.解：幕函数尸J,F T 在〔0, +00〕单调递减, /. m 2- 3m+3=1, 即 m 2 - 3m+2=0, 解得m=1或m=2;当m=1时,m 2- m - 1 = - 2<0,满足题意； 当m=2时,m 2- m- 1=1 >0,不满足题意,舍去;故答案为：1. 14.解：10g 62 210g 6 , 3 101g2 =1og 66+2=3. 故答案为：3. 15.【解答】解：;院〔0, 2冗〕,1又• cos ——, 23sin 一 一 sin- 2=2五, 8s 2sin - . 1 cos 22 ,2 2.2 -T ,18.1 . 1 解：(1) f ( — x) = a-x a ~x f (x)aa• ・tan2tan-1 tan2 -2故答案为:4.216.1解：由题思,令 10g 2 (1 — x) +1=0, x=—,2令 x 2-2x+1=2,可得 x=1±",二.存在实数k 使函数f (x)的值域为[0, 2], ・•・实数a 的取值范围是[L, 1 +4].2故答案为：[1,1+"].217.3【分析】(1)由题思可得tan ( a+B =2, tan B =—,代入2tan = =tan[ a +£ - B ]=-tan( ------------ )-tan — , 计算可得;1 tan( ) tan(2)由诱导公式和弦化切可得原式 1 tan,代值计算可得.解：(1) tan( )2,tan(2tan 3 2,• .tan ( a +)B=2, tan • .tan = =tan [c +)0 —tan( ) tan1 tan( )tan21 2( 2)4；sin (—+ CL) - sin ( JT4 CL )(2)化简可得cos U +2sind_ cos sin cos 2sin1 tan 3 ------------ =一 1 2tan 10那么函数为偶函数, 当X ?0时,设0a 1<X 2, 一. 1.1 即 f (X 1)— f (X 3) = a 1 Fa 2 FaaxX 1_ X1 _ X 2 =a -x 2 工-4= (a X1 a x 2) a-^- = ((a x 1 a X2)驾一, X XX 1 X 2X 1 X ?a a 2a aa a・ a>1, 0喉 1<X 2 ・••1 W 1 a 〞,那么 a 51 a X 20, a 51 a" 1 0,那么f (X1)- f (X2)<0,那么f (X1)<f (X2),即此时函数单调递增, 同理当X00时,函数单调递减；(2) ;函数f (X )是偶函数,且在［0, +00)上为增函数,那么关于 X 的不等式：f (X-1) >f (2X +1)等价为 f (|X -1|) >f (|2X +1|), 即 X― 1|>|2X +1|,平方得 x 2 - 2x+1 >4x 2+4x+1,即 3X 2+6X <0,即 X 2+2x<0,得—2<x< 0, 即不等式的解集为(-2, 0). 19.解：(1)化简可得 f (x)= 点？2sin xcosox- (cos 2cox-sin 2⑴x) + 入=^3sin2 x —cos2 cx+入=2sin(2cox -------- ) + 入6由函数图象关于直线x 一对称可得2c£)?-— -=kTtd — , kCZ,33623解得⑴二3"k+1,结合 区(0, 2)可得W =12• .f (x) =2sin (2x — —) + 入,一, ,一, …1 2「•函数f (x)的取小正周期T=——=九；3 Vy=f (x)的图象过点(:二.,【分析】(1)化简可得f (x) =2sin (2wx-—)+入,由对称性可得6以可得最小正周期;(2)由图象过点(一,0)可得 - 1,由x60-结合三角函数的值域可得. 22• .2sin (2x- -) - 1 € [- 2, 1], 6(x)在x Q,-上的值域为[-2, 1]2(1)设出二次函数的表达式,得到关于 a, b, c 的方程,解出即可求出函数的表达(2)求出 f (cosO,问题转化为 sin2 8 4(1+m) sin 0 +1W R 包成立, 令g ( ® =sin2 8+(1+m) sin 8+1通过讨论对称轴的位置,从而求出 g ( 0)的最小值,得到关于m 的不等式,解出即可.解：(1) :函数f (x)为二次函数, • ,设 f (x) =ax 2+bx+c,• ••不等式f (x) <Q 的解集为(-2, 1)且f (Q) =-2,c 2a 1 4a 2b 2 Q, 解得：b 1 , a b 2 Qc 22f (x) =x +x - 2;(2)由(1)得：f (cos 0 =cos2 0 +cos-0 2, ,由不等式f(cos )wT2sin(—) msin 对8C R 包成立,4得：cos2 0 +cos-02<72 sin (.+^)+msin8对 0€ R 包成立, sin2 8 4(1+m) sin 8+1 泗 R 包成立, 令 g (⑥ =sin2 0 +(1+m) sin 0 +1(sinm-1)2 1 -(m-, 24；2sin (2?- - -) + 入=Q 解得 入= 1,• .f (x) =2sin (2x — —) 6x Q,- , 2x- 21.•.sin (2x - -) € [- 1, • .2sin (2x- -) € [- 1, 6T,1], 2],故函数f 2Q. 【分_ ml-.. .・二①-1 < ------ <11P — 30m< 时：2gmin (8) =1 - -—— >Q 4 解得：-3& m<l 符合题意； 一 m 1 一 一② ------- < ―1 即 m< — 3 时：22g min (9) =(1 U 〞 "U>0, 24解得：m> - 3,无解； ③m-^ >1即m > 1时：22gmin (9) =( 1 U)4 5+1 — (^^>0, 2 4 解得：m< 1,无解；综上,满足条件的m 的范围是[-3, 1].21.【分析】(1)由奇函数性质得f (x) +f (-x) =log 2sx 10g 2sx=0,由此能求出1 x 1 x1(2)当 a= — 1 时,g (x) =f (x) - 1og 2 (mx) = - 1og 2 (mx) =0,得 x=—, m不存在非零实数m 使得函数g (x)恰好有两个零点；1 x当 a=1 时,g (x) =f (x) - 1og 2 (mx) = 10g 2 ----------------------------------- =0,得 x=1,不存在非布头数 (1 x) mx函数g (x)恰好有两个零点.• . 1 - a 2x 2=1 - x 2,解得a= ±1.(2)不存在非零实数m 使得函数g (x)恰好有两个零点,理由如下: 当 a= 一 1 时,g (x) =f (x) — 10g 2 (mx) = — 10g 2 (mx), .•一 14 ax 1 ax ---- =1 , 1 x 1 x【解答】解：(1) ;函数f(x) 10g 2 s x 是奇函数,1 x f (x) +f ( — x) = 1og2 1 ax 10g 2(1 x1 ax 1 x10g21 ax1 ax)=0,a.m 使得由-log2 (mx) =0,解得mx=1, x=—,不存在非专头数m使得函数g (x)恰好有两个专点;1 x . 1 x当a=1 时,g (x) =f (x) — 10g2 (mx) =log2 -------- -- log2 (mx) =log2 -------------- ,1 x (1 x) mx, 1 x由10g2 ------------ =0,得x=1,不存在非布头数m使得函数g (x)恰好有两个布点.(1 x) mx综上,不存在非零实数m使得函数g (x)恰好有两个零点.22.【分析】欲判断函数 f (x)是不是保三角形函数〞,只须任给三角形,设它的三边长a、b、c 满足a+b>c,判断f (a)、f (b)、f (c)是否满足任意两数之和大于第三个数,即任意两边之和大于第三边即可.因此假设a<cfl b&q在各个选项中根据定义和函数对应法那么进行求解判断即可.解：(1)假设a= — , b= —, c=—,贝U f (a) =f (b) =sin —= 1 , f (c) =sin — =1,3 2 21 1那么 f (a) +f (b) = - -=1,不辆足 f (a) +f (b) >f (c) 2 2故f (x) =sinx,不是保三角形函数(2)对任意一个三角形三边长a, b, c€ [2 , +00),且a+b>c, b+c>a, c+a>b, 贝U h (a) =lna, h (b)=lnb, h (c) =lnc.由于a>2, b>2, a+b>c,所以(a - 1) (b— 1) >],所以ab m+b>c,所以lnab>lnc, 即lna+lnb>lnc.同理可证实lnb+lnolna, lnc+lna>lnb.所以lna, lnb, lnc是一个三角形的三边长.故函数h (x) =lnx (xq2, +00)).5(3)人的最大值是二.6①当入〉5-时,取a= — =b, c=-,显然这3个数属于区间(0,力,且可以作为某个三角 6 6 2形的三边长,但这3个数的正弦值工、工、1显然不能作为任何一个三角形的三边,故此时,2 2h (x) =sinx, x€ (0, N不是保三角形函数.当小〉—时,由于 a+b>c, .•.0<£<U<—,2 2 2 22综上可得,0<sin± <sin--b < 12 2再由 |a- b|< c< 5—,以及 y=cosx 在( 6a —— >cos- >cos — >0, 2 2 12sina+sinb=2sina-b cos--b >2sin — cos — =sinc, 2 222同理可得 sina+sinosinb, sinb+sinc>sina, 故sina 、sinb 、sinc 可以作为一个三角形的三边长.故当入、时,h (x) =sinx, x€ (0, M)是保三角形函数,故 人的最大值为5-,x 3x45 ②当入上—时,对于任意的三角形的三边长 65 右 a+b+c> 2 a 贝U a> 2 7r b — c> 2L ——6 即a>—,同理可得b>—, c> —, • .sina 、sinb 、since ( - , 1]. 2 由此可得 sina+sinb> 1 + l =1}sinc 即 2 2 5 、a 、b 、c€ (0,——),6• ・a 、b 、cC (—,3 sina+sinb>sinc, 同理可得 sina+sinc>sinb, sinb+sinc>sina, 故sina 、sinb 、sinc 可以作为一个三角形的三边长. 假设 a+b+c< 2 % c , 一 <九,2当"寸, 由于 a+b>c, ..0<£<2 0< sinc < sin ——b < 1 2 20< sin c <sin-~~b < 1.22可得 cos a -b =cos20,冗〕上是减函数,。

CA重庆南开中学高2018级（上）中期考试试题(18.10.26)数学理科卷参考公式：如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A B 、相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()1n kk kn n P k C P P -=-第一部分（选择题 共50分）一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分）在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

请将正确答案前的番号填在答题卡相应位置上。

1、若()2,1P -为圆()22125x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为A ．230x y +-=B ．30x y --=C ．10x y +-=D ．250x y --=2、设复数z =，那么1z 等于A 12iB 12iC ．12D ．12+3、在ABC ∆中，lgsin ,lgsin ,lgsin A B C 成等差数列，是三边,,a b c 成等比数列的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4、已知()f x 是定义在R 的奇函数，当0x <时，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么()()1108f f --+-的值为A ．2B ．3C ．3-D ．2-5、设i j , 是平面直角坐标系（坐标原点为O ）内分别与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，且42,34OA i j OB i j =+=+ ，则OAB ∆的面积等于A ．15B ．10C ．7.5D ．5 6、在直二面角l αβ--中，直线a α⊂，直线,,b a b β⊂与l 斜交，则A ．a 不能和b 垂直，a 也不能和b 平行B ．a 可能和b 垂直，也可能a ∥bC ．a 不能和b 垂直，但可能a ∥bD ．a 不能和b 平行，但可能a b ⊥7、若抛物线的顶点坐标是()1,0M ，准线l 的方程是220x y --=，则抛物线的焦点坐标为A ．62,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．62,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．42,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．42,55⎛⎫- ⎪⎝⎭8、某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品，已知经销甲商品与乙商品所获得的总利润分别为P 和Q （万元），且它们与投入资金x （万元）的关系是：),04x P Qa ==> ；若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中之一种所获得的利润总不小于5万元，则a 的最小值应为A． BC ．5D ．9、如果消息A 发生的概率为()P A ，那么消息A 所含的信息量为()()21log I A P A =。

重庆南开中学高2018级高三(上)中期考试理科数学试题考试说明：试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求） 1.若复数2323z i i i =-+（其中i 为虚数单位），则z =（ ）A ．4B ．．2 D2.已知集合{}2340A x x x =+-≤，}11|{<=xx B ，那么=B A （ ） A.]1,4[- B.[]1,4- C.),1(+∞ D.)0,4[- 3.若递增的等比数列{}n a 满足1442425364=+-a a a a a a ，则=-35a a （ ） A.6 B.8 C.10 D.12 4.若R c b a ∈,,，则下列说法正确的是（ ） A.若b a >则22b a > B.若b a >则ba 11< C.若b a >则c b c a ->- D.若b a >则22bc ac > 5.已知向量)1,1(),,2(-==x ，且)//(+，则=⋅b a （ ） A.4 B.2 C.1- D.6 6.已知函数)2||,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的部分图象如图所示，将)(x f 的图象向左平移4π个单位，则得到的新函数图象的解析式为（ ） A.)32cos(π+=x y B.cos(2)6y x π=+C.)1272sin(π+=x yD.)122sin(π+=x y7.我国古代数学专著《九章算术》中有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，则需（ ）日两马相逢A.16B. 12C.9D.88.设0,0>>y x 且4=+y x ，则2122+++y y x x 的最小值是（ ） A.716 B.37 C.1023D.499.如图是2017年上半年某五省GDP 情况图，则下列叙述正确的是（ ） ①与去年同期相比，2017年上半年五个省的GDP 总量 均实现了增长；②2017年上半年山东的GDP 总量和增速均居第二； ③2016年同期浙江的GDP 总量高于河南；④2016和2017年上半年辽宁的GDP 总量均位列第五. A.①② B.①③④ C.③④ D.①②④10.正项数列{}n a 前n 项和为n S ，且2,,n n n a S a （*N n ∈）成等差数列，n T 为数列}{n b 的前n 项和，且21nn a b =，对任意*N n ∈总有)(*N K K T n ∈<，则K 的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.411.若函数⎪⎩⎪⎨⎧<+++>-=)0(21)0(ln )(2x a x x x x x a x f 的最大值为)1(-f ，则实数a 的取值范围是（ ） A.]2,0[2e B.]2,1(2e C.]2,0[3e D.]2,(3e e12.已知单位向量,,,满足：,3||,=-⊥向量)sin (cos 2222⋅+⋅=θθ （R ∈θ），则)()(-⋅-的最小值为（ ） A.23B.1C.122-D.21第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，各题答案必须填写在答题卡上相应位置）13.已知向量,a b 的夹角为45，且1,210a a b =-=，则b =14.已知函数)(x f 是定义在实数集R 上周期为2的奇函数，当]1,0(∈x 时，)1lg()(+=x x f ，则=+14lg )52018(f 15.已知ABC ∆三内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且22cos 2sin 22=+CC , 若c b a ,,成等比数列，则A sin =16.为庆祝党的十九大的胜利召开，小南同学用数字1和9构成数列}{n a ，满足：11=a ，在第k 个1和第1+k 个1之间有12-k 个9)(*N k ∈，即1,9,1,9,9,9,1,9,9,9,9,9，……，设数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2050()m S m N *=∈，则=m三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17.（本小题满分12分）设等差数列}{n a 的前n 项和为*,N n S n ∈，公差0≠d ，153=S ， 且1341,,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设142++=n a b n n ，求数列}{n b 的前n 项和.18.（本小题满分12分）甲、乙两所学校的代表队参加诗词大赛，在比赛第二阶段，两队各剩最后两个队员上场，甲队两名队员通过第二阶段比赛的概率分别是21和32，乙队两名队员通过第二阶段比赛的概率都是21，通过了第二阶段比赛的队员，才能进入第三阶段比赛（若某队两个队员都没有通过第二阶段的比赛，则该队进入第三阶段比赛的人数为0），所有参赛队员比赛互不影响，其过程、结果都是彼此独立的. （Ⅰ）求甲、乙两队进入第三阶段比赛的人数相等的概率；（Ⅱ）设X 表示进入第三阶段比赛甲、乙两队人数差的绝对值，求X 的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）已知向量)1,(cos ),43,(sin -==x x ，设n n m x f ⋅+=)(2)( （Ⅰ）若23)(=x f ，求x 的所有取值； （Ⅱ）已知锐角ABC ∆三内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若)(2c a a b +=，求)(A f 的取值范围.20.（本小题满分12分）设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，以短轴为直径的圆O 面积为π2，椭圆上的点到左焦点的最小距离是22-，O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C 和圆O 的方程；（Ⅱ）如图，B A ,为椭圆的左右顶点，N M ,分别为圆O 和椭圆C 上的点，且x MN //轴，若直线BN AN ,分别交y 轴于E D ,两点（N M ,分别位于y 轴的左、右两侧）. 求证：MD ME ⊥，并求当314||=⋅∆DEN S OD 时直线AN 的方程.21.（本小题满分12分）已知函数xx x a x f 1ln 2)(+-=. （Ⅰ）若2=a ，求)(x f 在)0,1(处的切线方程；（Ⅱ）若)(x f 对任意]1,0(∈x 均有0)(≥x f 恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求证：2111ln 1()2nk k n N k n *=+<-∈+∑.请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。

重庆市南开中学2018—2018学年度第一学期高三年级月考数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合=-==-==B A x y y B x y x A 则},1|{},1|{（ ）A ．RB ．（1，+∞）C ．]1,(-∞D ．),1[+∞2．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 （ ）A ．5B ．4C ．3D ．23．以椭圆114416922=+y x 的右焦点为圆心，且与双曲线116922=-y x 的渐近线相切的圆的方程是（ ）A ．091022=+++x y xB ．091022=+-+x y xC ．091022=--+x y xD ．091022=-++x y x4．若第一象限内的A （x ，y ）在直线2x+3y=6上，则x y 3223log log -有（ ）A ．最大值23B ．最大值1C ．最小值23 D ．最小值15．已知命题p ，q ，r 满足“p 或q ”真，“┐p 或r ”真，则（ ） A ．“q 或r ”假 B ．“q 或r ”真 C ．“q 或r ”假 D ．“q 且r ”真 6．)7625tan(ππ+的值是（ ）A ．76tanπ B ．－76tanπ C ．76cotπ D ．76cotπ-7．在==∆ABC 则若中,21,（ ）A ．2+B ．+2C ．AC AB 3132+ D ．AC AB 3231+ 8．如果数列}{n a 满足：首项⎩⎨⎧+==+,,2,,2,111为偶数为奇数n a n a a a nn n 那么下列说法中正确的是（ ）A ．该数列的奇数项 ,,,531a a a 成等比数列，偶数项 ,,,642a a a 成等差数列B ．该数列的奇数项 ,,,531a a a 成等差数列，偶数项 ,,,642a a a 成等比数列C ．该数列的奇数项 ,,,531a a a 分别加4后构成一个公比为2的等比数列D ．该数列的偶数项 ,,,642a a a 分别加4后构成一个公比为2的等比数列9．已知椭圆12422=+y x 的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且倾角为45°的直线l 交椭圆于A ，B 两点，对以下结论：①2ABF ∆的周长为8；②38||=AB ；③椭圆上不存在相异两点关于直线l 对称；其中正确的结论有（ ）个A ．3B ．2C ．1D ．010．定义在[0，1]上的函数)(x f 满足)(21)5(,1)1()(,0)0(x f x f x f x f f ==-+=，且当=≤≤<≤)20081(),()(,102121f x f x f x x 则时 （ ）A ．21B ．161 C ．321D ．641第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11．︒⋅︒15cos 165sin12．函数)32lg(2+-=x x y 的单调递增区间为 13．不等式11log 2≥-xx 的解集为 14．设函数)(),1()1()(,)0(,1)0(,0)0(,1)(2x g y x f x x g x x x x f =--=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=且若的反函数为=-==--)4(),(11g y x g y 则 .15．设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥--10201x y x ay x ，目标函数⎩⎨⎧==+=01,3y x y x z 当时z 取最大值，则a 的取值范围是16．已知数列=-++-+-+-+-==∞→-n n n n n S aa a a a a a a a a S a lim ,11111,2121216884422则 三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（13分）平面内给定三个向量)1,4(),2,1(),2,3(=-==（1）求|223|-+（2）若)2//()(k -+，求实数k 的值18．（13分）已知函数]2,6[,cos 2)62sin()62sin()(2ππππ-∈--++=x x x x x f （1）化简函数)(x f 的解析式；（2）求函数)(x f 的最大值及相应的自变量x 的取值.19．（13分）如图，为学校现有的一三角形空地，∠A=60°，|AB|=2，|AC|=p ，（单位：米）.现要在空地上种植吊兰，为了美观，其间用一条形石料DE 将空地隔成面积相等的两部分（D 在AB 上，E 在AC 上）（1）设|AD|=x ，|AE|=y ，求用x 表示y 的函数关系式； （2）指出如何选取D 、E 的位置可以使所用石料最省.20．（13分）已知)(,,x f R b R a ∈∈为奇函数，且.424)2(ba a x f xx +-+⋅= （1）求)(x f 的反函数)(1x f -及其定义域；（2）设)()(],32,21[,1log )(12x g x f x k x x g ≤∈+=-若恒成立，求实数k 的取值范围.21．（12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，通径长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.（1）求椭圆的方程；（2）过点Q （－1，0）的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交直线x =－4于点E ，点Q 分所成比为λ，点E 分所成比为μ，求证λ+μ为定值，并计算出该定值.22．（12分）已知c c x x f ()(2+=为实常数），且)1()]([2+=x f x f f ，其图象和y 轴交于A 点；数列}{n a 为公差为)0(>d d 的等差数列，且d a =1；点列),,2,1))((,(n i a f a B i i i =（1）求函数)(x f 的表达式；（2）设i p 为直线i AB 的斜率，1+i i i B B q 为直线的斜率，求证数n n n p q b -=仍为等差数列；（3）已知m 为一给定自然数，常数a 满足dd m m a m m 2121)21()1(++<<+，求证数列n b n n a b c 2=有唯一的最大项.重庆市南开中学2018—2018学年度第一学期高三年级月考数学试题（理科）参考答案一、选择题： DCBBB DCDAC 二、填空题 11．4112．),1(+∞ 13．)0,1[- 14．－1 15．),0(+∞ 16．1 三、解答题：17．解（1）)8,1()2,8()4,2()6,9(223-=--+=-+ 65|223|=-+∴c b a（2）)2,34(),4()2,3(++=+=+k k k k k )2,7(2=- 且)2//()(k -+ 80)2(7)34(2=⇒=+-+∴k k k 18．解（1）12cos 2cos 212sin 232cos 212sin 23)(---++=x x x x x x f 1)62sin(212cos 2sin 3--=--πx x x（2）]1,1[)62sin(]65,2[62]2,6[-∈-∴-∈-∴-∈ππππππx x x则当)(3262x f x x 时即πππ==-有最大值119．解（1）由题意xpy p y x =⇒︒⨯⨯⨯=︒⨯⨯⨯60sin 2212160sin 21由)21(,,1≤≤=≤⇒≤x xpy x p y 所以（2）p xp x x p x x p x DE -+=︒-+=222222260cos 2||令2222221)(,||],4,1[,xp t p t p t p t DE t t x -='+-+=∈=由知， tp t 2+在（0，p ）单减，),(+∞p 单增当2,24,44||,42p y x t p p DE p ===+-≥≤即此时时 故D 点与B 点重合，E 为AC 中点； 当p y p x p t p DE p ===≥<≤,,,||,412即此时时，故D ，E 两点均在距离A 点p 米处当10<<p 时，p y x t p p DE ===+-≥,1,11||22即此时 故D 点为AB 中点，E 点与C 点重合20．解：（1）由.222)(,424)2(ba a x fb a a x f xx x x +-+⋅=+-+⋅=得 )(x f 是R 上的奇函数，.1,0122)0(==+-=∴a ba f 得 又)1()1(f f =- 1=∴b .11log )(,1212)(21x xx f x f xx -+=+-=∴-得 由此得.11,0112<<-∴>-+=y yyx故反函数)(1x f - 揎义域为（－1，1）（2）当)()(,]32,21[1x g x fx ≤∈-时恒成立，222)1(11,1log 11log k x x x k x x x +≤-++≤-+∴即由2221)(,1,0,01,01],32,21[,01x x h x k k x x x k x -=-≤∴>>->+∴∈>+令且 则.350,95,95)32()(2min ≤<≤∴==k k h x h 故 21．解（1）由条件得⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==122122b a ab a b ，所以方程1422=+y x （2）易知直线l 斜率存在，令),4(),,(),,(),1(:02211y E y x B y x A x k y l -+=由016480448)41(14)1(2222222>+=∆=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=k k x k x k y x x k y222122214144,418kk x x k k x x +-=+-=+ 由⎩⎨⎧-=+=+-+=---⇒=21212211)1)(1()1(),1(),1(y y x x y x y x λλλλ即由⎩⎨⎧-=-+=+--+=---⇒=)()2)(4()4(),4(),4(021011022101y y y y x x y y x y y x EB AE μμμμ即由（1）44)2(,112121++-=++-=x x x x μλ由 )4)(1(8)(52)4)(1()1)(4()4)(1(222121222121+++++-=+++++++-=+∴x x x x x x x x x x x x μλ 将222122214144,418kk x x k k x x +-=+-=+代入有 0)4)(1(413284088)4)(1(841404188222222222222=+++++---=++++-+--=+∴x x k k k k x x k k k k μλ22．解：（1）c c x c x f x f f ++=+=222)()()]([1)(1)()1()1(222222+=∴=∴++=++=+x x f c cc x c x x f（2）易得A 点为（0，1）d i d a a a a a f a f q id a a a a a f p i i i i i i i i i i i i i )12()()(,1)(221112+=-=--====-=∴+++d b b d n p q b n n n n n =-+=-=∴-1,)1( }{n b ∴也为等差数列（3）当)(,N k k m n m n ∈+=≥设时121122112************=++⋅++≤++⋅++++=++⋅++<++==+++m m m m m m k m k m m m n n a n n ab a bc cd b n b n n n nnn c ∴从第m 项开始递减当m n <时，设)1,(≥∈-=k N k k m n==+++nn b n b n n n ab a bc c 2211111)1(1)1(2112112122=+⋅-++--++-≥+⋅+-+-=+⋅++>++m mk k m k k m m m k m k m m m n n a n n d n c ∴从1到m 项递增， n c ∴有唯一最大项m c。

重庆市沙坪坝区南开中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={–1，1，2}，集合B={x|x∈A且2–x∉A}，则B=（）A. {–1}B. {2}C. {–1，2}D. {1，2}【答案】C【解析】集合B＝{x|x∈A且2﹣x∉A}，集合A＝{﹣1，1，2}，当x＝﹣1时，可得2﹣（﹣1）＝3∉A；当x＝1时，可得2﹣1＝1∈A；当x＝2时，可得2﹣2＝0∉A；∴B＝{﹣1，2}；故选：C．2.函数的定义域为A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得：，解得：1＜x≤3，故选：D．3.下列各组的两个函数为相等函数的是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】A中，f(x)＝的定义域为{x|x≥1}，g(x)＝的定义域为{x|x≥1或x≤－1}，它们的定义域不相同；B中，f(x)＝()2的定义域为，g(x)＝2x－5的定义域为R，定义域不同，不是相等函数．C中，f(x)＝与g(x)＝的对应关系不同，不相等．D中，f(x)＝＝x(x>0)与g(x)＝＝t(t>0)的定义域与对应关系都相同，它们相等,故选D.4.已知函数，且，则A. B. C. 2 D. 1【答案】B【解析】根据题意，函数f（x﹣1）＝2x﹣1，令t x﹣1，则x＝2（t+1），则f（t）＝4（t+1）﹣1＝4t+3，若f（a）＝5，即4a+3＝5，解可得a；故选：B．5.函数的图象为A. B.C. D.【答案】C【解析】函数y ，可得x，∵0，∴y，又x＝3时，y＝0，结合反比例函数的图象，可得x时，函数图象单调性递减；故选：C．6.已知函数是R上的奇函数，当时，，则（）A. B. 0 C. 1 D.【答案】A【解析】根据题意，当x＞0时，f（x）＝4﹣x+x，则f（）1，又由函数为奇函数，则f（）＝﹣f（）＝﹣1；故选：A．7.函数，的值域为A. B. C. D.【答案】C【解析】令，∵；∴，∴x＝t2﹣1，∴，∴时，f（x）取最小值；t＝2时，f（x）取最大值0,但是取不到；∴f（x）的值域为：．故选：C．8.已知是奇函数且在R上的单调递减，若方程只有一个实数解，则实数m的值是A. B. C. D.【答案】B【解析】∵f（x）是奇函数，∴由f（x2+1）+f（m﹣x）＝0，得f（x2+1）＝﹣f（m﹣x）＝f（x﹣m），又f（x）在R上的单调递减，∴x2+1＝x﹣m，即x2﹣x+m+1＝0．则△＝（﹣1）2﹣4（m+1）＝0，解得m．故选：B．9.已知开口向上的二次函数对任意都满足，若在区间上单调递减，则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意函数的对称轴是x，图象开口向上，若f（x）在区间（a，2a﹣1）上单调递减，则只需2a﹣1，解得：a，而a＜2a﹣1，解得：a＞1，故选：B．10.已知是定义在上的偶函数，若对任意的，都满足，则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意，f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，则f（x+1）﹣f（2x﹣1）＜0⇒f（|x+1|）＜f（|2x﹣1|），若f（x）对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2）都满足0，则函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，则f（|x+1|）＜f（|2x﹣1|）⇒|x+1|＜|2x﹣1|，变形可得：（x+1）2＜（2x﹣1）2，解可得：x＜0或x＞2，即不等式的解集为（﹣∞，0）∪（2，+∞）；故选：C．11.已知函数，若存在实数x，使得与均不是正数，则实数m的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】分3类讨论①m＝0 时，对于任意x,g（x）＝0 而f（x）＝2（x+1）2+2值恒正，不满足题意．②m＜0 时，对于x0 时，g（x）0 成立，只需考虑x0时f（x）的情况，由于函数f（x）＝2x2+（4﹣m）x+4﹣m，对称轴为.当m＜0 时，对称轴在y轴左侧，故只需满足f（0）＜0即可，即m＞4，不满足题意．③当m＞0 时，g（x）0 在x0 时成立，只需考虑x0时f（x）的情况，若存在实数x使得f（x）不是正数，则,即m≥4.此时对称轴，所以只需，解得m≥4.综上所述m取值范围为m≥4．故选：A．12.已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的最大值为A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】函数f（x），如图所示，①当b＝0时，[f（x）]2+af（x）﹣b2＜0化为[f（x）]2+af（x）＜0，当a＞0时，﹣a＜f（x）＜0，由于关于x的不等式[f（x）]2+af（x）＜0恰有1个整数解，因此其整数解为2，又f（2）＝﹣4+2＝﹣2，∴﹣a＜﹣2＜0，﹣a≥f（3）＝﹣6，则6≥a＞2，a≤0不必考虑．②当b≠0时，对于[f（x）]2+af（x）﹣b2＜0，△＝a2+4b2＞0，解得：f（x），只考虑a＞0，则0，由于f（x）＝0时，不等式的解集中含有多于一个整数解（例如，0，1），舍去．综上可得：a的最大值为6．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，则______．【答案】【解析】根据题意，f（x），则f（），则f（）；故答案为：．14.函数的单调减区间为______．【答案】【解析】当x＞2时，f（x）＝x2﹣2x，当x≤2时，f（x）＝﹣x2+2x，故函数f（x）．f（x）＝x2﹣2x的对称轴为：x＝1，开口向上，x＞2时是增函数；f（x）＝﹣x2+2x，开口向下，对称轴为x＝1，则x＜1时函数是增函数，1＜x＜2时函数是减函数．即有函数的单调减区间是[1，2]．故答案为：[1，2]．15.设函数是定义在R上的奇函数，，若在单调递减，则不等式的解集为______．【答案】【解析】根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）单调递减，又由f（﹣2）＝0，则f（2）＝﹣f（﹣2）＝0，则在区间（0，2）上，f（x）＞0，则（2，+∞）上，f（x）＜0，又由f（x）为R上的奇函数，则在区间（﹣∞，﹣2）上，f（x）＞0，则（﹣2，0）上，f（x）＜0，则在区间（0，2）或（﹣∞，﹣2）上，f（x）＞0；在（2，+∞）或（﹣2，0）上，f（x）＜0，（x+1）f（x﹣1）＞0⇒或，解可得：1＜x＜3，即x的取值范围为（1，3）；故答案为：（1，3）．16.已知函数对任意的实数x，y都满足且，则的值为______．【答案】【解析】对任意的实数x，y都满足f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y）且f（1），令x＝y＝0，可得f（0）+f（0）＝2f（0）f（0），可得f（0）＝0或f（0）＝1，若f（0）＝0，可令y＝0，则f（x）+f（x）＝2f（x）f（0）＝0，即f（x）＝0，这与f（1）矛盾，则f（0）＝0不成立，则f（0）＝1，令x＝y＝1，可得f（2）+f（0）＝2f（1）f（1），可得f（2）＝21，令x＝0，y＝1可得f（1）+f（﹣1）＝2f（0）f（1），即有f（﹣1）＝2×1，令x＝y＝﹣1可得f（﹣2）+f（0）＝2f（﹣1）f（﹣1），即有f（﹣2）＝21，则f（2）+f（﹣2）＝﹣1．故答案为：﹣1．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合，，，其中．设全集为R，求；若，求实数m的取值范围．解：由集合，或，（1）由条件可得，.由（1）可知或，由，即或，，解得：，解得实数m的取值范围是．18.；设，化简：；若，求的值．解：原式；原式；若，则，，故．19.已知函数是定义在上的奇函数，且．求的解析式；求函数的值域．解：由已知得，即，，再由，得，解得，，，，当时，；当时，一元二次方程对x有解，所以，解得且，综上所述：所求函数的值域为20.已知集合，，．若，求实数a的取值集合；若，求实数a的取值范围．解：（1）根据题意得到，若，则，，此时，，，此时，实数a的取值集合为；，设，若，则，，，，，，，，综上可知，实数a的取值范围为．21.定义在上的函数满足对所有的正数x、y都成立，且当，．求的值；判断并证明函数在上的单调性；若关于x的不等式在上恒成立，求实数k的取值范围．（1）解：∵f（xy）＝f（x）+f（y），取x＝1，y＝1得：f（1）＝f（1）+f（1），∴f（1）＝0．（2）证明：设x1＞x2＞0，则f（x1）﹣f（x2）＝f（x2•）﹣f（x2）＝f（），∵x1＞x2＞0；∴；又x＞1时，f（x）＜0，∴，∴f（x1）﹣f（x2）＜0；∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．（3）∵f（2）＝﹣1，f（xy）＝f（x）+f（y）；由f（kx）﹣f（x2﹣kx+1）≥1得f（2kx）≥f（x2﹣kx+1）又f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴，∴，∴，∴0＜k．22.已知，函数F（x）=min{2|x−1|，x2−2ax+4a−2}，其中min{p，q}=（１）求使得等式F（x）=x2−2a x+4a−2成立的x的取值范围；（２）（ⅰ）求F（x）的最小值m（a）；（ⅱ）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）.解：（１）由于，故当时，，当时，．所以，使得等式成立的的取值范围为．（２）（ⅰ）设函数，，则，，所以，由的定义知，即．（ⅱ）当时，，当时，．所以，．。

2017-2018学年重庆一中高三（上）期中数学试卷（文科）一.选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一个选项是正确的，把正确答案填写在括号内）1．（5分）直线x+y+1=0的倾斜角是（）A．B．C． D．2．（5分）设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣3x＞0}，则A∩（∁R B）=（）A．{﹣1}B．{0，1，2}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}3．（5分）若复数z满足z（1+i）2=1﹣i，其中i为虚数单位，则z在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（5分）已知α，β是两个不同平面，直线l⊂β，则“α∥β”是“l∥α”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）过点（1，1），且在y轴上的截距为3的直线方程是（）A．x+2y﹣3=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．x﹣2y﹣1=0 D．2x+y﹣3=06．（5分）已知直角坐标系中点A（0，1），向量，则点C的坐标为（）A．（11，8）B．（3，2） C．（﹣11，﹣6）D．（﹣3，0）7．（5分）若x，y满足约束条件，则2x﹣3y的最大值为（）A．﹣1 B．1 C．7 D．98．（5分）《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（）A．10日B．20日C．30日D．40日9．（5分）已知函数（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期是π，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后所得的函数为y=g（x），则函数y=g （x）的图象（）A．有一个对称中心B．有一条对称轴x=C．有一个对称中心D．有一条对称轴10．（5分）已知偶函数，当时，，设a=f（1），b=f（2），c=f（3），则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b11．（5分）三棱锥D﹣ABC及其正视图和侧视图如右图所示，且顶点A，B，C，D均在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．32πB．36πC．128πD．144π12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为△ABC的外心，D为BC边上的中点，C=4，，sinC+sinA﹣4sinB=0，则cosA=（）A．B．C．D．二.填空题（每小题5分，共20分，把正确答案填在横线上）13．（5分）已知向量，若，则m=．14．（5分）已知函数f（x）=x2+3x﹣2lnx，则函数f（x）的单调递减区间为．15．（5分）对任意x∈[﹣1，1]，函数f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值恒大于零，求a的取值范围．16．（5分）数列{a n}满足：，且，则数列{a n}的前n项和s n=．三．解答题（共70分，每小题要求写出解答过程）17．（12分）设数列{a n}的前n项和S n，满足S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=log2a n，求数列的前n项和T n．18．（12分）旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15000元．旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过35人时，飞机票每张收费800元；若旅行团的人数多于35人时，则予以优惠，每多1人，每个人的机票费减少10元，但旅行团的人数最多不超过60人．设旅行团的人数为x人，飞机票价格为y元，旅行社的利润为Q元．（I）写出飞机票价格元与旅行团人数x之间的函数关系式；（II）当旅行团人数x为多少时，旅行社可获得最大利润？求出最大利润．19．（12分）已知直线x=是函数f（x）=msin2x﹣cos2x的图象的一条对称轴．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC中角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）=2，且b=，求a+c的最大值．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，PD ⊥平面ABCD，PD=AD=2，点E，F分别为AB和PD的中点．（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）求点F到平面PEC的距离．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+的图象与x轴相切．（1）求a的值；（2）求证：f（x）；（3）若1，求证：（b﹣1）log b x．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，直线l的参数方程（t为参数）以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于点A，B，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．.[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若a=1，解不等式f（x）≥4﹣|x+1|；（2）若不等式f（x）≤1的解集为，求mn的最小值．2017-2018学年重庆一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一个选项是正确的，把正确答案填写在括号内）1．（5分）直线x+y+1=0的倾斜角是（）A．B．C． D．【解答】解：设直线的倾斜角为α，由题意直线的斜率为，即tanα=所以α=故选：D．2．（5分）设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣3x＞0}，则A∩（∁R B）=（）A．{﹣1}B．{0，1，2}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}【解答】解：解x2﹣3x＞0得，x＜0，或x＞3；∴B={x|x＜0，或x＞3}；∴∁R B={x|0≤x≤3}；∴A∩（∁R B）={0，1，2，3}．故选：D．3．（5分）若复数z满足z（1+i）2=1﹣i，其中i为虚数单位，则z在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z（1+i）2=1﹣i，∴=，∴z在复平面内所对应的点的坐标为（），位于第三象限．故选：C．4．（5分）已知α，β是两个不同平面，直线l⊂β，则“α∥β”是“l∥α”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵α，β是两个不同平面，直线l⊂β，则“α∥β”⇒“l∥α”，反之不成立．∴α，β是两个不同平面，直线l⊂β，则“α∥β”是“l∥α”的充分不必要条件．故选：A．5．（5分）过点（1，1），且在y轴上的截距为3的直线方程是（）A．x+2y﹣3=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．x﹣2y﹣1=0 D．2x+y﹣3=0【解答】解：设斜率为k，由点斜式可得：y﹣1=k（x﹣1），令x=0，可得y=1﹣k=3，解得k=﹣2．∴y﹣1=﹣2（x﹣1），化为：2x+y﹣3=0．故选：D．6．（5分）已知直角坐标系中点A（0，1），向量，则点C的坐标为（）A．（11，8）B．（3，2） C．（﹣11，﹣6）D．（﹣3，0）【解答】解：设C（x，y），∵直角坐标系中点A（0，1），向量，∴=（﹣11，﹣7），∴，解得x=﹣11，y=﹣6．故C（﹣11，﹣6）．故选：C．7．（5分）若x，y满足约束条件，则2x﹣3y的最大值为（）A．﹣1 B．1 C．7 D．9【解答】解：设z=2x﹣3y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：A平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点B时，直线y=截距最小，此时z最大，由得，即B（3，﹣1），此时z=2×3﹣3×（﹣1）=6+3=9，∴目标函数z=2x﹣3y最大值是9．故选：D．8．（5分）《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（）A．10日B．20日C．30日D．40日【解答】解：设此数列为等差数列{a n}，a1=5，a n=1，S n=90．∴=90，解得n=30．故选：C．9．（5分）已知函数（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期是π，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后所得的函数为y=g（x），则函数y=g （x）的图象（）A．有一个对称中心B．有一条对称轴x=C．有一个对称中心D．有一条对称轴【解答】解：∵函数（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期是=π，∴ω=2，f（x）=sin（2x﹣）．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得的图象对应函数为y=g（x）=sin（2x+﹣）=sin（2x+），令x=，求得g（x）=，故函数的图象不关于点（，0）对称，故排除A；令x=，求得g（x）=1，故函数有一条对称轴x=，故B满足条件；令x=，求得g（x）=，故函数的图象不关于点（，0）对称，故排除C．令x=，求得g（x）=，故函数的图象不关于直线x=对称，故排除D，故选：B．10．（5分）已知偶函数，当时，，设a=f（1），b=f（2），c=f（3），则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵当时，y=sinx单调递增，y=x也为增函数，∴函数，也为增函数．∵函数为偶函数，∴，即函数的对称轴为x=，即f（x）=f（π﹣x）∴f（2）=f（π﹣2），f（3）=f（π﹣3），∵0＜π﹣3＜1＜π﹣2，∴f（π﹣3）＜f（1）＜f（π﹣2），即c＜a＜b，故选：D．11．（5分）三棱锥D﹣ABC及其正视图和侧视图如右图所示，且顶点A，B，C，D均在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．32πB．36πC．128πD．144π【解答】解：由三视图可得：DC⊥平面ABC且底面△ABC为正三角形，如图所示，取AC中点F，连BF，则BF⊥AC，在Rt△BCF中，BF=2，CF=2，BC=4，在Rt△BCD中，CD=4，所以BD=4．设球心到平面ABC的距离为d，因为DC⊥平面ABC，且底面△ABC为正三角形，所以d=2，因为△ABC的外接圆的半径为2，所以由勾股定理可得R2=d2+22=8，则该三棱锥外接球的半径R=2，所以三棱锥外接球的表面积是4πR2=32π，故选：A．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为△ABC的外心，D为BC边上的中点，C=4，，sinC+sinA﹣4sinB=0，则cosA=（）A．B．C．D．【解答】解：∵D是BC的中点，∴，即=0，∴=（）=+=﹣6，又=（）•（）=（）=（b2﹣16），∴﹣6=（b2﹣16），解得b=2，∵sinC+sinA﹣4sinB=0，∴c+a﹣4b=0，∴a=4b﹣c=4，由余弦定理得cosA==．故选：C．二.填空题（每小题5分，共20分，把正确答案填在横线上）13．（5分）已知向量，若，则m=6．【解答】解：根据题意，向量，若，则•=（﹣1）×m+2×3=0，解可得：m=6；故选：6．14．（5分）已知函数f（x）=x2+3x﹣2lnx，则函数f（x）的单调递减区间为（0，）．【解答】解：函数f（x）=x2+3x﹣21nx的定义域为（0，+∞），又由f′（x）=2x+3﹣=，令f′（x）=0，解得：x=﹣2，或x=，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，∴函数f（x）的单调递减区间为（0，），故答案为：（0，）．15．（5分）对任意x∈[﹣1，1]，函数f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值恒大于零，求a的取值范围．【解答】解：任意x∈[﹣1，1]，f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值恒大于零即为a（x﹣2）+（x﹣2）2＞0对任意x∈[﹣1，1]恒成立．由于x﹣2∈[﹣3，﹣1]，即有a＜2﹣x的最小值．由2﹣x∈[1，3]，则a＜1．故a的取值范围为（﹣∞，1）．16．（5分）数列{a n}满足：，且，则数列{a n}的前n项和s n=．【解答】解：由，得，∴，即．又，，∴数列{}是以3为首项，以3为公差的等差数列，则，∴．则．故答案为：．三．解答题（共70分，每小题要求写出解答过程）17．（12分）设数列{a n}的前n项和S n，满足S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=log2a n，求数列的前n项和T n．【解答】解：（1）∵S n=2a n﹣2，∴S1=2a1﹣2，∴a1=2，又S n=2a n﹣1﹣2（n≥2），﹣1两式相减得a n=2（a n﹣a n﹣1），即a n=2a n﹣1，a n=2n；（2）b n=log2a n=n，==﹣，T n=1﹣+﹣+﹣+﹣=1﹣=．18．（12分）旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15000元．旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过35人时，飞机票每张收费800元；若旅行团的人数多于35人时，则予以优惠，每多1人，每个人的机票费减少10元，但旅行团的人数最多不超过60人．设旅行团的人数为x人，飞机票价格为y元，旅行社的利润为Q元．（I）写出飞机票价格元与旅行团人数x之间的函数关系式；（II）当旅行团人数x为多少时，旅行社可获得最大利润？求出最大利润．【解答】解：（I）依题意得，当1≤x≤35时，y=800，当35＜x≤60时，y=800﹣10（x﹣35）=﹣10x+1150，∴y=．…（4分）（II）设利润为Q，则Q=yx﹣15000=．…（6分）当1≤x≤35，且x∈N时，Q max=800×35﹣15000=13000，当35＜x≤60时，Q=﹣10x2+1150x﹣15000=﹣10（x﹣）2+，又∵x∈N，∴当x=57或x=58时，Q max=18060＞13000，答：当旅游团人数为57或58人时，旅行社可获得最大利润18060元．…（12分）19．（12分）已知直线x=是函数f（x）=msin2x﹣cos2x的图象的一条对称轴．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC中角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）=2，且b=，求a+c的最大值．【解答】解：（1）直线x=是函数f（x）=msin2x﹣cos2x的图象的一条对称轴，则：f（）=，解得：m=，进一步求得：f（x）=2sin（2x﹣）．令（k∈Z），解得：（k∈Z），所以函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）．（2）△ABC中角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）=2，则：，0＜B＜π，则：B=，且b=，∴由正弦定理得：a=2sinA，c=2sinC，a+c=2sinA+2sin（﹣A）=2，（0），所以：当A=时，a+c的最大值为2．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，PD ⊥平面ABCD，PD=AD=2，点E，F分别为AB和PD的中点．（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）求点F到平面PEC的距离．【解答】（1）证明：设PC的中点为Q，连接EQ，FQ，由题意，FQ∥DC且，AE∥CD且，故AE∥FQ且AE=FQ，所以，四边形AEQF为平行四边形所以，AF∥EQ，且EQ⊂平面PEC，AF⊄平面AEC所以，AF∥平面PEC（6分）（2）解：由（1），点F到平面PEC的距离等于点A到平面PEC的距离，设为d．由条件易求，PE=，PC=2，EQ=故，=V P﹣AEC得，所以由V A﹣PEC解得（12分）21．（12分）已知函数f（x）=lnx+的图象与x轴相切．（1）求a的值；（2）求证：f（x）；（3）若1，求证：（b﹣1）log b x．【解答】（1）解：f′（x）=﹣，设f（x）的图象与x轴相切于点（x0，0），则，即，解得a=x0=1，（2）证明：f（x）=lnx+﹣1，f（x）≤⇔lnx≤x﹣1，设h（x）=lnx﹣x+1，则h′（x）=﹣1，当0＜x＜1时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，∴h（x）≤h（1）=0，即lnx≤x﹣1，（*）∴f（x）≤；（3）证明：设g（x）=（b﹣1）log b x﹣，g′（x ）=﹣x=，由g'（x ）=0，得x 0=，由（*）式可得，当x ＞1时，lnx ＜x ﹣1，即 ＞1；以代换x 可得ln ＜﹣1，有lnx ＞，即＜x ，∴当b ＞1时，有1＜x 0＜，当1＜x ＜x 0时，g'（x ）＞0，g （x ）单调递增； 当x 0＜x ＜时，g'（x ）＜0，g （x ）单调递减，又∵g （1）=g （）=0，∴g （x ）＞0，即（b ﹣1）log b x ＞．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，直线l 的参数方程（t 为参数） 以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于点A ，B ，且|AB |=，求直线的倾斜角α的值．【解答】解：（1）由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ． ∵x 2+y 2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2﹣4x=0，即（x ﹣2）2+y 2=4． （2）将代入圆的方程得（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，化简得t 2﹣2tcosα﹣3=0．设A ，B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，则t 1+t 2=2cosα，t 1t 2=﹣3，∴|AB |==． ∴4cos 2α=2，解得cosα=±，可得直线l 的倾斜角α=或．.[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若a=1，解不等式f（x）≥4﹣|x+1|；（2）若不等式f（x）≤1的解集为，求mn的最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=|x﹣a|，当a=1，不等式为f（x）≥4﹣|x+1|⇔|x+1|+|x﹣1|≥4，去绝对值，解得：x≥2或x≤﹣2，原不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）；（2）f（x）≤1的解集为[0，2]，⇔|x﹣a|≤1⇔a﹣1≤x≤a+1，∵f（x）≤1的解集为[0，2]，∴，∴，∴mn≥2，（当且仅当即m=2，n=1时取等号），∴mn的最小值为2．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的xI ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性yxo①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

南开中学2018-2019学年上学期高一第一次月考试卷数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·福州四中]设集合{|4},11M x x a =≥=，则下列关系中正确的是（ ） A ．a M ∈B ．a M ∉C ．{}a M ∈D ．{}a M ∉2．[2018·洛阳联考]已知集合{}0,1,2A =，{}1,B m =，若B A ⊆，则实数m 的值是（ ） A ．0B ．2C ．0或2D ．0或1或23．[2018·平罗中学]已知R U =，{|12}M x x =-≤≤，{|3}N x x =≤，则()U C M N =（ ）A ．{|123}x x x <-<≤或B ．{|23}x x <≤C ．{|123}x x x ≤-≤≤或D ．{|23}x x ≤≤4．[2018·大庆实验中学]若()22f x x x =-，则()()()1f f f =（ ） A ．１B ．2C ．3D ．４ 5．[2018·官渡一中]已知()f x 的定义域为[]2,2-，则函数()()121f xg x x -=+,则()g x 的定义域为（ ）A ．1,32⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．()1,-+∞C ．()1,00,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭6．[2018·天水一中]函数[]22,0,3y x x x =-∈的值域为（ ）A ．[]0,3B ．[]1,3C ．[]1,0-D ．[]1,3-7．[2018·江南十校]若()43f x x =-，()()21g x f x -=，则()2g =（ ） A ．9B ．17C ．2D ．38．[2018·武威八中]若()()22 22xf x x f x x -⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则3()f -的值为（ ）A ．2B ．8C ．12D ．189．[2018·襄阳四中]已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，则满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是（ ）A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1233⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．1233⎛⎤ ⎥⎝⎦，D ．1233⎡⎫⎪⎢⎣⎭，10．[2018·临高二中]1y x x=-在[]1,2上的最小值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．311．[2018·滁州中学]设,,a b c 为实数，()()()2f x x a x bx c =+++，()()()211g x ax cx bx =+++． 记集合(){|0,R}S x f x x ==∈，(){|0,R}T x g x x ==∈．若S ，T 分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（ ） A ．1S =且0T = B ．1S =且1T = C ．2S =且2T =D ．2S =且3T =12．[2018·广州期末]定义在R 的函数()f x ，已知()2y f x =+是奇函数，当2x >时，()f x 单调递增，若124x x +>且()()12220x x -⋅-<，且()()12f x f x +值（ ）．A ．恒大于0B ．恒小于0C ．可正可负D ．可能为0第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·北师附中]已知集合{|1} A x x =≤，{|} B x x a =≥，且R A B =，则实数a 的取值范围__________．14．[2018·宜昌一中]方程()210x p x q --+=的解集为A ，方程()210x q x p +-+=的解集为B ，此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号已知{}2AB =-，则AB =_______________．15．[2018·青冈一中] ()21f x ax ax =+-在R 上满足()0f x <，则a 的取值范围________． 16．[2018·西城三五中]已知函数()f x 由下表给出：x 0 1234()f x0a 1a 2a 3a 4a其中()0,1,2,3,4k a k =等于在0a ，1a ，2a ，3a ，4a 中所出现的次数，则4a =_________；0123a a a a +++=__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）[2018·西城三四中]已知全集R U =，集合{}|20 A x x a =+>，{}2|230 B x x x =-->．（1）当2a =时，求集合A B ；（2）若()C U A B =∅，求实数a 的取值范围．18．（12分）[2018·汉台中学]已知函数()112f x x x=++-的定义域为A ，()21g x x =+的值域为B ．（1）求A ，B ；（2）设全集R U =，求()C U A B19．（12分）[2018·邢台二中]已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()22f x x x =+．（1）已画出函数()f x 在y 轴左侧的图像，如图所示，请补出完整函数()f x 的图像，并根据图像写出函数()f x 的增区间；（2）写出函数()f x 的解析式和值域．20．（12分）[2018·北京三九中]已知函数()1f x x x=-． （1）求函数()f x 的定义域．（2）判断函数()f x 的奇偶性并说明理由．（3）判断函数()f x 在()0,+∞上的单调性，并用定义加以证明．21．（12分）[2018·广州二中]某种商品在30天内每克的销售价格P （元）与时间t 的函数图像是如图所示的两条线段AB ，CD （不包含A ，B 两点）；该商品在30天内日销售量Q （克）与时间t （天）之间的函数关系如下表所示．第t 天 5 15 20 30销售量Q 克35252010（1）根据提供的图象，写出该商品每克销售的价格P （元）与时间的函数关系式； （2）根据表中数据写出一个反映日销售量Q 随时间t 变化的函数关系式； （3）在（2）的基础上求该商品的日销售金额的最大值，并求出对应的值． （注：日销售金额=每克的销售价格×日销售量）22．（12分）[2018·西城一六一中]已知R a ∈，函数()f x x x a =-．（1）当2a >时，求函数()y f x =在区间[]1,2上的最小值．（2）设0a ≠，函数()y f x =在(),m n 上既有最大值又有最小值，分别求出m ，n 的取值范围 （用a 表示）．数学 答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】411,a M >∴∉，故选B ． 2．【答案】C【解析】当0m =时，{}1,0B =，满足B A ⊆；当2m =时，{}1,2B =，满足B A ⊆； 所以0m =或2m =，所以实数m 的值是0或2，故选C ． 3．【答案】A【解析】由题意得C {|12}U M x x x =<->或，()C {|123}U M N x x x =<-<≤或，故选A ．4．【答案】C【解析】由()22f x x x =-，可得()1121f =-=-；所以()()()11123f f f =-=+=；()()()()13963f f f f ==-=，故选C ． 5．【答案】A【解析】212 210x x -≤-≤>⎧⎨⎩+，则132x -<≤，即定义域为1,32⎛⎤- ⎥⎝⎦，故选A ． 6．【答案】D 【解析】()22211y x x x =-=--，∴对称轴为1x =，抛物线开口向上，∵03x ≤≤，∴当1x =时，min 1y =-，∵1-距离对称轴远， ∴当3x =时，max 3y =，∴13y -≤≤，故选D ．7．【答案】D【解析】()43f x x =-，()()2143g x f x x -==-，令21t x =-，则12t x +=所以()143212t g t t +=⨯-=-，则()22213g =⨯-=，故选D ．8．【答案】D【解析】由题得()()()311()3f f f f =-==-=3311228-==，故选D ． 9．【答案】B【解析】由函数()f x 为偶函数可知，原不等式等价于()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，∵函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，∴2101213x x ⎧-><⎪⎨⎪⎩-，解得1223x <<，∴原不等式的解集为12,23⎛⎫⎪⎝⎭，选B ．10．【答案】B【解析】可证得函数1y x x=-在[]1,2上单调递增， 所以当1x =时，函数有最小值，且最小值为min 110y =-=，选B ． 11．【答案】D【解析】若0a =，则()2{|0}S x x x bx c =++=，2{|10}T x cx bx =++=，当2T =时，3S =，当1T =时，2S =，若0T =，则1S =；当0a ≠时，若3T =，则3S =，若2T =，则2S =或3，若1T =，则1S =或2． 只有D 不可能．故选D ． 12．【答案】A【解析】由()2y f x =+是奇函数，所以()y f x =图像关于点()2,0对称， 当2x >时，()f x 单调递增，所以当2x <时单调递增，由()()12220x x -⋅-<， 可得12x <，22x >，由124x x +>可知1222x x ->-，结合函数对称性可知()()120f x f x +>．故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】(],1-∞ 【解析】用数轴表示集合A ，B ，若R A B =，则1a ≤，即实数a 的取值范围是(],1-∞．故答案为(],1-∞． 14．【答案】{}2,1,1-- 【解析】由{}2AB =-，将2x =-代入得4220 4220p q q p +-+=-++⎧⎨⎩=解得22p q =-=⎧⎨⎩则方程()210x p x q --+=可以化简为2320x x ++=，11x =-，22x =- 方程()210x q x p +-+=可以化简为220x x +-=，11x =，22x =-，所以{}2,1,1A B =--15．【答案】(]4,0-【解析】当0a =时，10f x =-<（）成立；当0a ≠时，f x （）为二次函数， ∵在R 上满足0f x <（），∴二次函数的图象开口向下，且与x 轴没有交点， 即0a <，240a a ∆=+<，解得：40a -<<， 综上，a 的取值范围是40a -<≤．故答案为(]4,0-． 16．【答案】0，4【解析】（1）因为()0,1,2,3,4k a k =等于在0a ，1a ，2a ，3a ，4a 中k 所出现的次数 所以{}0,1,2,3,4k a ∈，且01234a a a a +++=，若01a =，则11a ≠． 当1232,1,0a a a ===时，满足条件，此时40a = 当1233,0,0a a a ===时，不满足条件 若02a =，则20a ≠． 当121,1a a ==时，不满足条件当2132,0a a a ===时，满足条件，此时40a = 若03a =，则311a a ==，不满足条件． 综上所述，40a =．（2）由（1）可知，40a =，且01234a a a a +++=三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）{}3x x |>；（2）(],6-∞-．【解析】由20x a +>得2a x >-，即2a A x x ⎧⎫=|>-⎨⎬⎩⎭．由2230x x -->得()()130x x +->，解得1x <-或3x >，即{}|13B x x x =<->或． （1）当2a =时，{}1A x x =|>-．{}3A B x x ∴=|>．（2）{}|13B x x x =<->或，{}C |13U B x x ∴=-≤≤．又()C u AB =∅，32a∴-≥，解得6a ≤-．∴实数a 的取值范围是(],6-∞-．18．【答案】（1）{|12}A x x =-≤<，{|1}B y y =≥（2）()C {|11}U AB x x =-≤<．【解析】（1）由()112f x x x =++-得：1020x x +≥->⎧⎨⎩，解得12x -≤<．()211g x x =+≥，{|12}A x x =-≤<，{|1}B y y =≥（2）C {|1}U B y y =<，()C {|11}U AB x x =-≤<．19．【答案】（1）()1,0-，()1,+∞；（2）见解析【解析】（1）根据偶函数图像关于y 轴对称补出完整函数图像(如图)，()f x 的递增区间是()1,0-，()1,+∞；（2）解析式为()222020x x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，值域为}{1y y |≥-．20．【答案】（1）()(),00,-∞+∞；（2）奇函数；（3）单调递增．【解析】（1）由题意得0x ≠，∴函数()f x 定义域为()(),00,-∞+∞．（2）函数的定义域关于原点对称， ∵()()()111f x x x x f x x x x ⎛⎫-=--=-+=--=- ⎪-⎝⎭，∴函数()f x 是奇函数．（3）函数()f x 在()0,+∞上为增函数．证明如下：设120x x >>， 则()()()2112121212121212121110x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫---=---=--=+> ⎪⋅⎝⎭． ∵120x x >>，∴1212120,0,10x x x x x x ->⋅>+>，∴()()120f x f x ->，∴()()12f x f x >，∴()f x 在()0,+∞上单调递增． 21．【答案】（1）20025,1002530t t P t t +<<⎧=⎨-+≤≤⎩（2）40(030)Q t t =-+<≤（3）日销售金额最大值为1125元,此时t 为25．【解析】（1）由图可知()0,20A ，()25,45B ，()25,75C ，()30,70D ， 设AB 所在的直线方程为20P kt =+，把()25,45B 代入20P kt =+得1k =． 所以:20AB l P t =+．由两点式得CD 所在的直线方程为()757075252530P t --=--．整理得，100P t =-+，2530t ≤≤，所以20025,1002530t t P t t +<<⎧=⎨-+≤≤⎩．（2）设1Q k t b =+，把两点()5,35，()15,25的坐标代入得11535 1525k b k b =+=⎧⎨⎩+，解得1140k b =-=⎧⎨⎩ 所以40Q t =-+，把点20,20（），30,10（）代入40Q t =-+也适合，即对应的四点都在同一条直线上，所以40(030)Q t t =-+<≤．（3）设日销售金额为y ，依题意得，当025t <<时，()()2040y t t =+-+， 配方整理得()210900y t =--+所以当10t =时，y 在区间()0,25上的最大值为900当2530t ≤≤时，()()10040y t t =-+-+，配方整理得()270900y t =--， 所以当25t =时，y 在区间[]25,30上的最大值为1125． 综上可知日销售金额最大值为1125元，此时t 为25． 22．【答案】（1）()min 242313a a f x a a -<≤⎧=⎨->⎩； （2）0a >时，130,22a m a n a +≤<<≤，0a <时，122a m a +≤<，02a n <≤． 【解析】（1）当2a >时，[]1,2x ∈，x a <，∴()()2f x x x a x a x x ax =⋅-=⋅-=-+，()2224a a f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∵()f x 在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调减．①322a<时，即3a >，()()min 11f x f a ==-+． ②322a≥时，即23a <≤，()()min 242f x f a ==-+， ∴()min 242313a a f x a a -<≤⎧=⎨->⎩ （2）0a ≠，()()() x x a x af x x a x x a⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩①当0a >时，()f x 的图象如图1所示，()f x 在(),a -∞上的最大值为224a af ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由()24ay y x x a ⎧⎪⎨=-⎪⎩=，计算得出122x a += 因为()f x 在(),m n 上既有最大值又有最小值，∴02a m ≤<，122a n a +<≤②当0a <时，如图2所示，()f x 在()a +∞上的最小值为224a a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由()24ay y x a x ⎧⎪⎨-=-⎪⎩=，计算得出122x a +=． 因为()f x 在(),m n 上既有最大值又有最小值，故有122a m a +≤<，02a n <<．。

2018-2019学年重庆市第一中学高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知幂函数的图像经过点，则的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由待定系数法可得f(x)的解析式，由此能求出．【详解】∵幂函数y＝f（x）＝x a的图象经过点（2，4），∴2a＝4，解得a＝2，∴y＝x2，∴＝2＝2．故选：B．【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数性质的合理运用．2．函数的图像经过定点（）A．(3, 1) B．(2, 0) C．(2, 2) D．(3, 0)【答案】A【解析】由对数函数的性质可知，当真数为1时，对数式的值为0，故令真数x-2＝1可求y,可得定点【详解】由对数函数的性质可知，当x-2＝1时，y＝1即函数恒过定点（3，1）故选：A．【点睛】本题考查了对数型函数过定点的问题．解决此类题通常是令真数为1解得定点的坐标．属于基础题．3．已知集合，则集合（）A．B．C．D．【答案】D【解析】化简集合A，根据补集的定义计算即可．【详解】集合＝{y|0<y<2}＝（0，2），则∁R A＝（﹣∞，0]，故选D.【点睛】本题考查了补集的运算与指数函数的值域问题，属于基础题．4．已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】已知函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8，求出其对称轴，要求f（x）在上具有单调性，列出不等式，从而求出k的范围；【详解】∵函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8的对称轴为：x，∵函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8在上具有单调性，根据二次函数的性质可知对称轴x，解得k≥40；∴k∈ [40，+∞），故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数的图象及其性质的应用，属于基础题．5．命题“，使”的否定是（）A．，使B．，使C．，使D．，使【答案】C【解析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断.【详解】命题“，使”的否定是“∀x，x2﹣3x+1<0”,故选C.【点睛】本题主要考查全称与特称命题的否定，属于基础题.6．在数学史上，一般认为对数的发明者是苏格兰数学家——纳皮尔（Napier，1550-1617年）。

重庆南开中学高2018级高一（上）期末考试数 学 试 题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求） 1、已知集合{}{}24,log 02x A x B x x =≤=>，则A B =（ ）A 、[]1,2B 、(]1,2C 、()0,1D 、(]0,12、“6πα=”是“1sin 2α=”的（ ）条件A 、充分不必要B 、必要不充分C 、充要D 、既不充分也不必要3、已知一个扇形的周长为10cm ，圆心角为2弧度，则这个扇形的面积为（ ）cm 2 A 、25B 、5C 、254D 、2524、已知函数()1254x f x x =+-，则()f x 的零点所在的区间为（ ） A 、()0,1B 、()1,2C 、()2,3D 、()3,45、函数()()2lg 6f x x x =-++的单调递减区间为（ ） A 、1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B 、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C 、12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D 、1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭6、将函数y ＝sin x 的图像上的点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变得到图像C 1，再将图像C 1向右平移3π个单位得到的图像C 2，则图像C 2所对应的函数的解析式为（ ） A 、1sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B 、1sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C 、sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D 、2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭7、若()ln 11ln ,1,ln ,,2x x x e a x b c e ⎛⎫-∈=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A 、c b a >>B 、b c a >>C 、a b c >>D 、b a c >>8、已知()0,απ∈且3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos α的值为（ ） A、10B、10C、10D、10-9、已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x +4）＝f （x ）恒成立，且f （1）＝1，则f （2016）+f （2017）+f （2018）的值为（ ） A 、0B 、1C 、2D 、310、化简tan20°+4sin20°的结果为（ ） A 、1B 、12CD11、如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点B ，C 在圆O 上，点B 的坐标为()1,2-，点C位于第一象限，AOC α∠=。

重庆南开中学高2024级高一（上）期中考试数学试题本试卷分第 Ⅰ 卷(选择题)和第 Ⅱ 卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第 Ⅰ 卷和第 Ⅱ 卷都答在答题卷上.第 Ⅰ 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题8个小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求，答案请涂写在机读卡上．1. 已知集合{}|5U x N x *=∈≤，{}0, 1, 2, 3A =，{}2, 3, 5B =，则()U A C B =（ ）A ．∅B ．{}1C ．{}1, 2D ．{}2, 32. 命题“21, 10x x x ∀>++>”的否定为（ ）A ．21, 10x x x ∀≤++≤B ． 21, 10x x x ∃≤++≤C ．21, 10x x x ∀>++≤D ． 21, 10x x x ∃>++≤3. 已知集合{}|11A x x =-≤≤，{}|11B y y =-≤≤，则下列图象中，能表示从集合A 到集合B 的一个函数的为（ ）ABCD4. 设a R ∈，则“2a ≥”是“24a ≥”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不必要也不充分条件5. 已知函数()22f x x ax =++在区间(),3-∞-上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）A ．3a =B ．3a ≤C ．6a ≤D ．6a ≥6. 函数()f x x =- ） A ．(], 2-∞ B ．[)2, +∞ C ．()2, +∞ D ．(, 2)-∞7. 已知集合{}1, 2, 3A =，集合{}2, 3, 4, 5B =，集合C 满足A C ≠∅且C B ⊆，则满足条件的集合C 的个数为（ ） A ．8 B ．12C ．16D ．248. 已知定义在(8, 8)-上的奇函数()f x 在[0, 8)上单调递增，则关于x 的不等式0)()2(32>+-x f x x f 的解集为（ ）A ．()0, 1B ．(2, 0)(1, 4)-C ．(2, 0)(1, )-+∞D ．(2, 0)(1, 2)-二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 已知, , a b c R ∈，若a b >，0c >，则下列关系式中恒成立的有（ ）A ．22ac bc >B ．330a b ->C ． a b >D ．2211c ca b <++ 10. 下列四组函数中是相同函数的有（ ）A ．()1, f n n n N =+∈；()1, g x x x Z =-∈B ．x x f =)(；2)(x x g =C ． ()f x=2()g t =D ． ()f x =()g x =11. 设函数()243f x x x =-+，()2g x ax =-（a R ∈），则下列说法正确的有（ ）A ．函数y =的单调递减区间为(), 2-∞ B ．若函数()()y f x g x =+为偶函数，则4a =C ．若函数y =R ，则[2, 6]a ∈D ．[]10, 3x ∀∈，[]21, 2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥，则1a ≤12. 群论是代数学中一门很重要的理论，我们熟知的一元五次及以上的方程没有根式解就可以群论的知识证明，群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G 是一个非空集合，“”是G 上的一个代数运算，若满足：①,,,a b c G ∀∈有()()a b c a b c =；②e G ∃∈，使得a G ∀∈，有e a a e a ==； ③,a G b G ∀∈∃∈，使a b b a e ==，则称G 关于“”构成一个群，则下列说法正确的有（ ） A ．{1, 1}G =-关于数的乘法构成群 B ．有理数集关于数的乘法构成群 C ．{2|}G m m Z =∈关于数的加法构成群D ．|,}G m n Z =∈关于数的加法构成群第 Ⅱ 卷(非选择题 共90分)三、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分. 各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.13. 为庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了“永远跟党走”文艺汇演活动. 已知高一（1）班参演了两个节目，20名同学合唱了歌曲《没有共产党就没有新中国》，10名同学表演了诗朗诵《党的赞歌》. 其中，两个节目都参加的有5名同学. 则这个班表演节目的共有____________人.14. 已知29,3,()2,3x x a R f x x a x ⎧->⎪∈=⎨-+≤⎪⎩，若(()5,f f =，则a =____________.15. 设函数()4324211x x x x f x x x -+-+=++，若函数()f x 在R 上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=____________.16. 设函数()22f x x x a =++，若关于x 的不等式()()0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围为____________.四、解答题：本大题6个小题，共70分. 各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）.17. （10分）设全集U R =，集合{}240A x x x a =++=，{}220B x x bx =+-=. （1）若集合A 恰有一个元素，求实数a 的值； （2）若(){}2U C A B =，(){}3U C B A =-，求A B .18. （12分）集合103x A x x ⎧-⎫=<⎨⎬+⎩⎭，{}23B x x =-<，{}2,C x m x m m R =<<-∈. （1）求A B ；（2）现有三个条件：①B C C =，②B C =∅，③条件:p x C ∈，:q x B ∈，若p 是q 的充分不必要条件. 在这三个条件中任选一个填到横线上，并解答本题. 选择多个条件作答时，按第一选择给分.已知 ，求实数m 的取值范围.19. （12分）已知定义在R 上的函数()f x 满足：22()()2f x f x x --=+. （1）求函数()f x 的表达式；（2）若函数()()()g x f x ax a R =-∈在区间[]1, 2-上最小值为1，求实数a 的值.20.（12分）2019年7月，教育部出台《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》，正式提出“五育并举”的教育方针，要求各级各类学校开足开好劳动教育课. 为此，某中学在校内开辟了种植园区，供学生劳动使用. 为保障同学们种植的作物更好地成长，学校准备采购一批优质种子. 某商家在售的优质种子，原价每千克100元，为了促销，准备对购买量大的客户执行团购优惠活动. 购买量没达到20千克时，依然按原单价执行；购买量达到或超过20千克时，超出部分每多一千克，则购买的所有产品单价每千克降低1元. 比如购买21.5千克，则所有的21.5千克均按98.5元单价执行. 另外商家规定一次性最大购买量不超过60千克.（1）求购买该种子x 千克花费的总费用y （元）关于x 的函数；（2）学校采购该种子时，幸运的获得了一张900元代金券，在购买产品总量不少于20千克时，可用来一次性抵扣900元. 那么，在购买量不超过60千克且花掉代金券的前提下，采购该批种子每千克的平均花费在什么范围？21.（12分）设二次函数()f x 满足()13f =-，且关于x 的不等式()0f x <的解集为(0, 4).（1）求函数()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程()10mf x x -+=在区间()0, 2上有解，求实数m 的取值范围．22.（12分）已知定义在(0, )+∞上的函数()f x 满足：①(3)0f =；②()()(), 0, 2x y f xy f x f y ∀>=++； ③当()0, 1x ∈时，()2f x <-. （1）求19f ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）求证：函数()f x 在()0, +∞上单调递增；（3）若实数0>a ，()194fff a f ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭在10, 2a x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，求a 的取值范围.重庆南开中学2021-2022年度（上）高2024级期中考试数学试题答案一、选择题（单选）13. 2514. 4 15. 216. ⎫+∞⎪⎪⎣⎭四、解答题17. 【答案】（1）4a = （2）{}3, 1, 2A B =--【解析】（1）()1card A = 1640a ∴∆=-= 解得：4a =（2）(){}{}22 2|20U C A B B x x bx =∴∈=+-= 42201b b ∴+-=⇒=-又(){}{}23 3|40U C B A A x x x a =-∴-∈=++= 91203a a ∴-+=⇒=即{}{}2|4301,3A x x x =++==-- {}{}2|201,2B x x x =--==-检验：(){}2U C A B = ，(){}3 U C B A =-{}3, 1, 2A B ∴=--18. 【答案】（1）{}|11AB x x =-<<（2）选①：[)1,m ∈-+∞；选②[)1,m ∈+∞；选③[)1,m ∈-+∞ 【解析】（1）()()101303x x x x -<⇔-+<+ 解得：()3,1x ∈- {}|31A x x ∴=-<<23323x x -<⇔-<-<解得：()1,5x ∈-{}|15B x x ∴=-<< {}|11A B x x ∴=-<<（2）选①：B C C = C B ∴⊆当C =∅即21m m m ≥-⇒≥时，满足题意；当C ≠∅即21m m m <-⇒<时，1125m m m ≥-⎧⇒≥-⎨-≤⎩；∴综上：[)1,m ∈-+∞.选②：当C =∅即21m m m ≥-⇒≥时，满足题意；当C ≠∅即21m m m <-⇒<时，21m -≤-或1m ≥，m ∈∅ 综上：[)1,m ∈+∞ 选③：由题：C B Ü.当C =∅即21m m m ≥-⇒≥时，满足题意；当C ≠∅即21m m m <-⇒<时，1125m m m ≥-⎧⇒≥-⎨-≤⎩； ∴综上：[)1,m ∈-+∞.19. 【答案】（1）2()2f x x =+ （2）2a =±【解析】（1）将22()()2f x f x x --=+①中x 换成x -可得：22()()2f x f x x --=+②联立①②可解得：2()2f x x =+（2）由（1）可得：2()2g x x ax =-+，易知()g x 开口向上且关于2ax =对称 1 当1,2a≤-即2a ≤-时，()g x 在区间[1,2]-上单调递增 min ()(1)312g x g a a =-=+=⇒=-满足题意2 当12,2a -<<即24a -<<时，()g x 在[1,]2a -上单调递减，在[,2]2a上单调递增2min()()2122()24a a g x g a a ==-=⇒==-或舍3 当2,2a≥即4a ≥时，()g x 在区间[1,2]-上单调递减 min 5()(2)621[4,)2g x g a a ==-=⇒=∉+∞，舍去 综上：2a =±.20. 【答案】（1）2100,020120,2060x x y x x x ≤<⎧=⎨-+≤≤⎩（2）[45,60] 【解析】（1）当020x ≤<时，100y x =；当2060x ≤≤时，2[100(20)]120y x x x x =--=-+；2100,020120,2060x x y x x x ≤<⎧∴=⎨-+≤≤⎩.（2）设购买种子每千克的平均花费为()f x ，则由题可知2060x ≤≤；此时2120900900()120()x x f x x x x-+-==-+.当30x =时，900y x x =+取得最小值60；当60x =时，900y x x=+取得最大值75； ∴当2060x ≤≤时，900y x x=+的值域为[60,75]； 故()f x 值域为[45,60]，即购买种子每千克平均花费在[45,60]元. 21. 【答案】（1）2()4f x x x =- （2）1(,)4m ∈-+∞ 【解析】（1）由题可设()(0)(4)(0)f x a x x a =--≠，又(1)331f a a =-=-⇒=， 2()4f x x x ∴=-（2）由221()10(4)14x mf x x m x x x m x x--+=⇔-=-⇔=-在(0,2)x ∈上有解，① 当1x =时，0m =，符合题意； ② 当(0,1)(1,2)x ∈时，令1t x =-，则(1,0)(0,1)t ∈-，213232t m t t t t==----，设3() 2 ( (1,0)(0,1) )h t t t t =--∈-；()h t 在(1,0)-，(0,1)上单调递增，∴()h t 值域为(,4)(0,)-∞+∞. ∴1()y h t =值域为1(,0)(0,)4-+∞综上，当1(,)4m ∈-+∞时原方程有解. 22. 【答案】（1）6)91(-=f （2）证明见解析 （3）1≥a【解析】（1）取3==y x 得，22)3(2)9(=+=f f取1==y x 得，2)1(,2)1(2)1(-=+=f f f 取919==y x ，得，,22)91()9()1(-=++=f f f 6)91(-=f .（2）任取210x x <<，令212,x x y x x ==得：()()11222x f x f x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为210x x <<，所以2)(),1,0(2121-<∈x xf x x ,所以()()112220x f x f x f x ⎛⎫-=+< ⎪⎝⎭，故函数()f x 在()0, +∞上单调递增. （3）方法一：(9)2f =，所以()92ff f ff f ++=++=所以(14f x f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 由（2）知)(x f单调递增，则14x a <，（*） 定义域0,0>->x a x，此时14a 也为正 由题，在)21,0(+∈a x 上有定义，则1,21≥≤+a a a令t =222x ax a t -+=,)21,0(+∈a x ，则]4,0(,21222a x ax a a a ∈-≤+<，所以]2,(222a a x ax a t ∈-+=，]2,(a a t ∈（*）式可化为)41(22+<-t a a t 即02322<--a at t 在]2,(a a t ∈恒成立设a at t t g 232)(2--=，只需,0)2(0)(⎪⎩⎪⎨⎧<≤a g a g 解得321>a综上，1≥a .方法二：()194f a x a f⎛⎫- ⎪⎝⎭()14f a f⎫=+⎪⎭()14fff a f ⎫∴+<+⎪⎭(★)在1(0,)2a +恒成立即可， 由题，在)21,0(+∈a x 上有定义，则12a a +≤， 1a ∴≥， 下证：当1a ≥时，(★)式在区间1(0,)2a +上均成立 ()()222111210222a a a aa a +-+--∴-==≥，,a <≤又14a x -<，且)(x f 单调递增，()14fff a f ⎫∴+<+⎪⎭ ，即1a ≥时，(★)式成立.综上，1≥a。

重庆南开中学高2018级高一（上）期中考试数 学 试 题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1、下列说法正确的是（ ）A 、1N -∈B 、QC 、R π∉D 、Z ∅⊆2、已知全集U R =，集合{}{}1,2,3,4,5,2A B x R x ==∈≥，则右图中阴影部分所表示的集合为（ ）A 、{}1B 、{}0,1C 、{}1,2D 、{}0,1,23、给定映射()():,2,2f x y x y x y →+-，在映射f 下()3,1的原像为（ ）A 、()1,3B 、()3,1C 、()1,1D 、()5,5 4、“2x y +>”是“11x y >>且”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件5、已知函数y =） A 、(,1⎤⎦-∞B 、(,2⎤⎦-∞C 、()(,22,1⎤⎦-∞--D 、)()1,22,⎡⎣+∞6、已知函数()131f x x +=+，则()f x 的解析式为（ ）A 、()32f x x =-B 、()23f x x =-C 、()32f x x =-D 、()3f x x =7、已知()1y f x =+是R 上的偶函数，且()21f =，则()0f =（ ）A 、1-B 、0C 、1D 、28、函数y ）A 、(),1-∞B 、()2,1-C 、()1,4D 、()1,+∞ 9、已知奇函数()f x 在()0,+∞上的图象如图所示，则不等式()01f x x <-的解集为（ ） A 、()()()3,10,11,3--B 、()()()3,10,13,--+∞C 、()()(),31,03,-∞--+∞D 、()()(),31,00,1-∞--10、已知函数()()()22,20f x x x g x ax a =-=+>，若对任意1x R ∈，都存在)22,x ⎡⎣∈-+∞，使得()()12f x g x >，则实数a 的取值范围是（ ）A 、3,2⎛⎫ ⎪⎝⎭+∞B 、()0,+∞C 、30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D 、3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭11、已知集合{}{}22230,0,,,,0A x x x B x ax bx c a b c R ac =-->=++≤∈≠，若(3,4A B ⎤⎦= ，A B R = ，则22b a a c +的最小值是（ ）A 、3B 、32C 、1D 、3412、设集合{}16,A x x x N =≤≤∈，对于A 的每个非空子集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数（如：{}1,2,5的“交替和”是5214-+=，{}6,3的“交替和”就是633-=，{}3的“交替和”就是3）。

2018-2019学年重庆市南开中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={−1,1，2}，集合B ={x|x ∈A 且2−x ∉A}，则B =( )A. {−1}B. {2}C. {−1,2}D. {1,2}【答案】C【解析】解：集合B ={x|x ∈A 且2−x ∉A}，集合A ={−1,1，2}， 当x =−1时，可得2−(−1)=3∉A ； 当x =1时，可得2−1=1∈A ； 当x =2时，可得2−2=0∉A ； ∴B ={−1,2}； 故选：C ．根据元素与集合的关系进行判断本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题． 2.函数y =√x(3−x)+1√x−1的定义域为( )A. [0,3]B. [1,3]C. [3,+∞]D. (1,3]【答案】D【解析】解：由题意得：{x −1>0x(3−x)≥0，解得：1<x ≤3， 故选：D ．根据二次函数的性质得到函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．3. 下列各组的两个函数为相等函数的是( )A. f(x)=√x −1√x +1，g(x)=√(x −1)(x +1)B. f(x)=(√2x −5)2，g(x)=2x −5C. f(x)=1−x x 2+1，g(x)=1+x x 2+1D. f(x)=(√x)4x，g(x)=(t √t)2 【答案】D【解析】解：A ．f(x)=√x −1√x +1的定义域为{x|x ≥1}，g(x)=√(x −1)(x +1)的定义域为{x|x ≤−1，或x ≥1}， 定义域不同，两函数不相等；B .f(x)=(√2x −5)2的定义域为[52,+∞),g(x)=2x −5的定义域为R ，定义域不同，不相等；C .f(x)=1−x x 2+1,g(x)=1+xx 2+1，解析式不同，不相等；D .f(x)=(√x)4x=x 的定义域为(0,+∞)，g(x)=(t√t )2=t 的定义域为(0,+∞)，定义域和解析式都相同，相等．故选：D ．通过求函数的定义域，可看出选项A ，B 两选项函数的定义域不同，两函数不相等，而选项C 的两函数解析式不同，也不相等，只能选D ．考查函数的定义，判断两函数相等的方法：看定义域和解析式是否都相同． 4.已知函数f(12x −1)=2x −1，且f(a)=5，则a =( )A. −12B. 12C. 2D. 1【答案】B【解析】解：根据题意，函数f(12x −1)=2x −1， 令t =12x −1，则x =2(t +1)， 则f(t)=4(t +1)−1=4t +3，若f(a)=5，即4a +3=5，解可得a =12；故选：B ．根据题意，先由换元法求出函数的解析式，结合函数的解析式可得若f(a)=5，即4a +3=5，解可得a 的值，即可得答案．本题考查函数的解析式的计算，注意先求出函数的解析式，属于基础题． 5.函数y =3−x2x+1的图象为( )A.B.C.D.【答案】B【解析】解：函数y =3−x2x+1=−12(2x+1)+722x+1=−12+74x+12；可得x ≠−12， ∵74x+12≠0，∴y ≠−12结合反比例函数的图象，可得x >−12时，函数图象单调性递减； 故选：B ．分离常数，结合反比例函数的图象可得答案； 本题考查了函数图象变换，是基础题． 6.已知函数f(x)是R 上的奇函数，当x >0时，f(x)=4−x +x ，则f(−12)=( )A. −1B. 0C. 1D. 32第2页，共5页【答案】A【解析】解：根据题意，当x >0时，f(x)=4−x +x ， 则f(12)=4−12+12=1，又由函数为奇函数， 则f(−12)=−f(12)=−1； 故选：A ．根据题意，由函数的解析式可得f(12)的值，又由函数的奇偶性可得f(−12)=−f(12)，进而可得答案． 本题考查函数的奇偶性的应用，涉及函数的求值，属于基础题． 7.函数f(x)=2x −3√x +1，x ∈(−34,3)的值域为( )A. [−2,0)B. (−3,0)C. [−258,0)D. [−278,0)【答案】C【解析】解：令√x +1=t ； ∵x ∈(−34,3)；∴t ∈(12,2)； ∴x =t 2−1；∴y =2(t 2−1)−3t =2(t −34)2−258；∴t =34时，f(x)取最小值−258；t =2时，f(x)取最大值0；∴f(x)的值域为：[−258,0)．故选：C ．可令√x +1=t ，根据x 的范围，可求出t ∈(12,2)，并求出x =t 2−1，原函数变成y =2(t 2−1)−3t ，配方即可求出该函数的最值，从而得出f(x)的值域．考查函数值域的概念及求法，换元法求函数的值域，不等式的性质，以及配方求二次函数值域的方法．8. 已知f(x)是奇函数且在R 上的单调递减，若方程f(x 2+1)+f(m −x)=0只有一个实数解，则实数m 的值是()A. −78B. −34C. 14D. 18【答案】B【解析】解：∵f(x)是奇函数，∴由f(x 2+1)+f(m −x)=0，得f(x 2+1)=−f(m −x)=f(x −m)， 又f(x)在R 上的单调递减，∴x 2+1=x −m ，即x 2−x +m +1=0． 则△=(−1)2−4(m +1)=0，解得m =−34．故选：B ．由已知函数的奇偶性与单调性把方程f(x 2+1)+f(m −x)=0只有一个实数解转化为方程x 2−x +m +1=0只有一个实数解，再由判别式等于0求得m 值．本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，是基础题．9. 已知开口向上的二次函数f(x)对任意x ∈R 都满足f(3−x)=f(x)，若f(x)在区间(a,2a −1)上单调递减，则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,54]B. (1,54]C. [−32,+∞)D. (−∞,2]【答案】A【解析】解：由题意函数的对称轴是x =32，图象开口向上， 若f(x)在区间(a,2a −1)上单调递减，则只需32≥2a −1，解得：a ≤54，故选：A ．求出函数的对称轴，根据函数的单调性得到关于a 的不等式，解出即可． 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．10. 已知f(x)是定义在(−∞,+∞)上的偶函数，若f(x)对任意的x 1，x 2∈[0,+∞)(x 1≠x 2)都满足f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，则不等式f(x +1)−f(2x −1)<0的解集为( ) A. (0,2) B. (−2,+∞) C. (−∞,0)∪(2,+∞) D. (−∞,−2)【答案】C【解析】解：根据题意，f(x)是定义在(−∞,+∞)上的偶函数， 则f(x +1)−f(2x −1)<0⇒f(|x +1|)<f(|2x −1|)， 若f(x)对任意的x 1，x 2∈[0,+∞)(x 1≠x 2)都满足f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，则函数f(x)在[0,+∞)上为增函数，则f(|x +1|)<f(|2x −1|)⇒|x +1|<|2x −1|， 变形可得：(x +1)2<(2x −1)2， 解可得：x <0或x >2，即不等式的解集为(−∞,0)∪(2,+∞)； 故选：C ．根据题意，由函数为偶函数可得f(x +1)−f(2x −1)<0⇒f(|x +1|)<f(|2x −1|)，进而分析可得在[0,+∞)上为增函数，据此可得f(|x +1|)<f(|2x −1|)⇒|x +1|<|2x −1|，解可得x 的取值范围，即可得答案． 本题考查函数奇偶性、单调性的性质以及应用，关键是得到关于x 的不等式，属于基础题．11. 已知函数f(x)=2x 2+(4−m)x +4−m ，g(x)=mx 若存在实数x ，使得f(x)与g(x)均不是正数，则实数m 的取值范围是( ) A. m ≥4 B. −2≤m ≤4 C. m ≥2 D. −3≤m ≤−1 【答案】A【解析】解：分3类讨论①m =0时，对于任意x.g(x)=0而f(x)=2(x +1)2+2值恒正，不满足题意． ②m <0时，对于x >0时，g(x)<0成立，只需考虑x ≥0时的情况，由于函数f(x)=2x 2+(4−m)x +4−m ， 当−4<m <4时，△<0.故−4<m <0，不满足，m <−4时，由于对称轴在y 轴左侧，故只需满足f(0)<0即可，即m >4，不满足题意． ③当m >0时，g(x)<0在x <0时成立， {△>0m−4>0，解得，m >4，当m =4时，f(x)=2x 2，g(x)=4x ，存在x =0满足条件， 综上所述m 取值范围为m ≥4． 故选：A ．存在实数x ，f(x)与g(x)的值均不是正数，所以对m 分类讨论，即m =0、m <0、m >0讨论f(x)与g(x)的值的正负，求出满足题意的m 的值．本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，考查分类讨论思想，转化思想，是中档题．12. 已知函数f(x)={x 2−x,x <0−x 2+x,x≥0，若关于x 的不等式[f(x)]2+af(x)−b 2<0恰有一个整数解，则实数a 的最大值为( ) A. 2 B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】解：函数f(x)={x 2−x,x <0−x 2+x,x≥0，如图所示，①当b =0时，[f(x)]2+af(x)−b 2<0化为 [f(x)]2+af(x)<0，当a >0时，−a <f(x)<0，由于关于x 的不等式[f(x)]2+af(x)<0恰有1个整数解， 因此其整数解为2，又f(2)=−4+2=−2， ∴−a <−2<0，−a ≥f(3)=−6， 则6≥a >2， a ≤0不必考虑．②当b ≠0时，对于[f(x)]2+af(x)−b 2<0， △=a 2+4b 2>0， 解得：−a−√a2+4b 22<f(x)<−a+√a 2+4b2，只考虑a >0， 则−a−√a2+4b 22<0<−a+√a 2+4b2，由于f(x)=0时，不等式的解集中含有多于一个整数解(例如，0，1)，舍去． 综上可得：a 的最大值为6． 故选：C ．画出函数f(x)的图象，对b ，a 分类讨论，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出． 本题考查了一元二次不等式的解法、二次函数的图象，考查了分类讨论方法、数形结合方法与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知f(x)={−2x ,x ≥01x ,x <0，则f(f(12))=______【答案】−√22【解析】解：根据题意，f(x)={−2x ,x ≥01x,x <0，则f(12)=−212=−√2，则f(−√2)=1−√2=−√22； 故答案为：−√22根据题意，由函数的解析式计算f(12)=−√2，再次代入函数的解析式计算可得答案． 本题考查分段函数的求值，关键掌握函数的解析式，属于基础题．14. 函数f(x)=x|x −2|的单调减区间为______． 【答案】[1,2]【解析】解：当x >2时，f(x)=x 2−2x ， 当x ≤2时，f(x)=−x 2+2x ， 这样就得到一个分段函数f(x)={−x 2+2x,x ≤2x 2−2x,x>2．f(x)=x 2−2x 的对称轴为：x =1，开口向上，x >2时是增函数； f(x)=−x 2+2x ，开口向下，对称轴为x =1，则x <1时函数是增函数，1<x <2时函数是减函数． 即有函数的单调减区间是[1,2]． 故答案为：[1,2]．根据所给的带有绝对值的函数式，讨论去掉绝对值，得到一个分段函数，利用二次函数的单调性即可得到减区间． 本题考查二次函数的性质，本题解题的关键是去掉绝对值，把函数化成基本初等函数，可以通过函数的性质或者图象得到结果．15. 设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，f(−2)=0，若f(x)在(0,+∞)单调递减，则不等式(x +1)f(x −1)>0的解集为______． 【答案】(1,3)【解析】解：根据题意，函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且在(0,+∞)单调递减， 又由f(−2)=0，则f(2)=−f(−2)=0，则在区间(0,2)上，f(x)>0，则(2,+∞)上，f(x)<0，又由f(x)为R 上的奇函数，则在区间(−∞,−2)上，f(x)>0，则(−2,0)上，f(x)<0， 则在区间(0,2)或(−∞,−2)上，f(x)>0；在(2,+∞)或(−2,0)上，f(x)<0， (x +1)f(x −1)>0⇒{f(x −1)>0x+1>0或{f(x −1)<0x+1<0，解可得：1<x <3， 即x 的取值范围为(1,3)； 故答案为：(1,3)．根据题意，分析可得在区间(0,2)或(−∞,−2)上，f(x)>0；在(2,+∞)或(−2,0)上，f(x)<0，又由原不等式等价于{f(x −1)>0x+1>0或{f(x −1)<0x+1<0，分析可得不等式的解集，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意将原不等式转化为关于x 的不等式，属于基础题．16.已知函数f(x)对任意的实数x，y都满足f(x+y)+f(x−y)=2f(x)f(y)且f(1)=12，则f(2)+f(−2)的值为______．【答案】−1【解析】解：对任意的实数x，y都满足f(x+y)+f(x−y)=2f(x)f(y)且f(1)=12，令x=y=0，可得f(0)+f(0)=2f(0)f(0)，可得f(0)=0或f(0)=1，若f(0)=0，可令y=0，则f(x)+f(x)=2f(x)f(0)=0，即f(x)=0，这与f(1)=12矛盾，则f(0)=0不成立，则f(0)=1，令x=y=1，可得f(2)+f(0)=2f(1)f(1)，可得f(2)=2×14−1=−12，令x=0，y=1可得f(1)+f(−1)=2f(0)f(1)，即有f(−1)=2×1×12−12=12，令x=y=−1可得f(−2)+f(0)=2f(−1)f(−1)，即有f(−2)=2×14−1=−12，则f(2)+f(−2)=−1．故答案为：−1．可令x=y=0，计算可得f(0)=1，再令x=y=1，求得f(2)；令x=0，y=1，求得f(−1)，再令x=y=−1，求得f(−2)，即可得到所求和．本题考查抽象函数的函数值的求法，注意运用赋值法，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合A={x||x−1|≤2}，B={x|x−1x+3>0}，C={x|2m−1≤x≤m+1}，其中m∈R．(1)设全集为R，求A∩(∁R B)；(2)若A∪B∪C=R，求实数m的取值范围．【答案】解：由集合A={x||x−1|≤2}={x|−1≤x≤3}B={x|x−1x+3>0}={x<−3或x>1}，(1)那么∁R B={x|−3≤x≤1}∴A∩(∁R B)={x|−1≤x≤1}(2)由C其中m∈R．∴A∪B={x<−3或x>−1}，由A∪B∪C=R，即{x|2m−1≤x≤m+1}∪{x<−3或x>−1}=R∴{2m−1≤−3m+1≥−12m−1≤m+1，解得：−2≤m≤−1故得实数m的取值范围是[−2,−1]．【解析】(1)求解集合A、B，根据补集，交集的定义求解A∩(∁R B)；(2)根据并集的定义A∪B∪C=R，即可实数m的取值范围．本题考查了交、并、补集及其运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．18.(1)计算：√2−1(3−2√2)0−(94)−0.5+4(√2−π)4．(2)设a>0，化简：4√a−3√√a4a4；(3)若x 12+x −12=√6，求x+x−1−1x2+x−2−2的值．【答案】解：(1)原式=√2+1+1−23+π−√2=π+43；(2)原式=a43⋅a−12a23⋅a2=a−116；(3)若x 12+x −12=√6，则x+x−1=4，x2+x−2=14，故x+x−1−1x2+x−2−2=4−114−2=14．【解析】根据指数幂的原式性质求出代数式的值即可．本题考查了指数幂的运算，考查转化思想，是一道常规题．19.已知函数f(x)=ax+bx2+1是定义在[−2,2]上的奇函数，且f(12)=45．(1)求f(x)的解析式；(2)求函数y=f(x)+4x2+1的值域．【答案】解(1)由已知得f(0)=0，即b=0，∴f(x)=axx2+1，再由f(12)=45，得12a14+1=45，解得a=2，∴f(x)=2xx2+1，(2)∵y=f(x)+4x2+1=2xx2+1+4x2+1，∴y⋅x2−2x+y−4=0，当y=0时，x=−2；当y≠0时，一元二次方程y⋅x2−2x+y−4=0对x有解，所以△=(−2)2−4y(y−4)≥0，解得2−√5≤y≤2+√5且y≠0，综上所述：所求函数的值域为[2−√5,2+√5]【解析】(1)根据奇函数得f(0)=0，解得b=0；根据f(12)=45，解得a=2；(2)利用一元二次方程有解，判别式大于等于0解得．本题考查了函数奇偶性的性质与判断.属中档题．20.已知集合A={x|x2+(2a−2)x−3a+4=0,a∈R}，B={x|x2−3x+2=0}，C={x|x2+x−6<0}．(1)若A∩B≠⌀，求实数a的取值集合；(2)若A⊆C，求实数a的取值范围．第4页，共5页【答案】解：(1)B ={1,2} 若A ∩B ≠⌀，则①1∈A ，a =3，此时A ={1,−5}， ②2∈A ，a =−4，此时A ={2,−8}， ∴实数a 的取值集合为{3,−4}； (2)C =(−3,2)，设f(x)=x 2+(2a −2)x −3a +4， 若A ⊆C ，则①A =⌀，(2a −2)2−4(−3a +4)<0， ∴a 2+a −3<0，∴−1−√132<a <−1+√132，②A ≠⌀，{△≥0f(−3)>0f(−2)>0−3<1−a <2 ∴{a ≤−1−√132或a ≥−1+√132a <199a >−4−1<a <4，∴−1+√132≤a <4，综上可知，实数a 的取值范围为(−1−√132,4)．【解析】(1)由B ={1,2}，A ∩B ≠⌀，得1∈A 或2∈A ，得关于a 的方程，求得a ；(2)由C =(−3,2)与A ⊆C ，分类讨论A =⌀与A ≠⌀两种情况下满足条件的不等式组，从而求出a 的取值范围． 本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题，需注意不要漏掉空集，难度中档．21. 定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)对所有的正数x 、y 都成立，f(2)=−1且当x >1，f(x)<0．(1)求f(1)的值(2)判断并证明函数f(x)在(0,+∞)上的单调性(3)若关于x 的不等式f(kx)−f(x 2−kx +1)≥1在(0,+∞)上恒成立，求实数k 的取值范围 【答案】解：(1)∵f(xy)=f(x)+f(y)，取x =1，y =1得：f(1)=f(1)+f(1)； ∴f(1)=0；(2)设x 1>x 2>0则f(x 1)−f(x 2)=f(x 2⋅x 1x 2)−f(x 2)=f(x 1x 2)，∵x 1>x 2>0； ∴x 1x 2>1；又x >1时，f(x)<0； ∴f(x1x 2)<0；∴f(x 1)−f(x 2)<0；∴f(x 1)<f(x 2)；∴f(x)在(0,+∞)上单调递减；(3)∵f(2)=−1，f(xy)=f(x)+f(y)；由f(kx)−f(x 2−kx +1)≥1得f(2kx)≥f(x 2−kx +1)又f(x)在(0,+∞)上单调递减，∴{2kx >0x 2−kx +1>02kx ≤x 2−kx +1∴{k >0k <x +1xk ≤13(x +1x) ∴{k >0k <2k ≤23∴0<k ≤23． 【解析】(1)由f(xy)=f(x)+f(y)，取x =1，y =1得f(1)=0；(2)设x 1>x 2>0则f(x 1)−f(x 2)=f(x 2⋅x 1x 2)−f(x 2)=f(x1x 2)，又当x >1，f(x)<0，得f(x)在(0,+∞)上单调递减； (3)由f(2)=−1，f(xy)=f(x)+f(y)，f(kx)−f(x 2−kx +1)≥1得f(2kx)≥f(x 2−kx +1)，又f(x)在(0,+∞)上单调递减，得关于k 的不等式组，解之得实数k 的取值范围．本题主要考查抽象函数的单调性及恒成立问题，是综合性题目，单调性的证明用定义法，恒成立问题用转化思想，属难题．22. 已知a ≥3，函数F(x)=min{2|x −1|,x 2−2ax +4a −2}，其中min(p,q)={q,p >q p,p≤q(Ⅰ)求使得等式F(x)=x 2−2ax +4a −2成立的x 的取值范围 (Ⅱ)(i)求F(x)的最小值m(a)(ii)求F(x)在[0,6]上的最大值M(a) 【答案】解：(Ⅰ)由a ≥3，故x ≤1时，x 2−2ax +4a −2−2|x −1|=x 2+2(a −1)(2−x)>0；当x >1时，x 2−2ax +4a −2−2|x −1|=x 2−(2+2a)x +4a =(x −2)(x −2a)， 则等式F(x)=x 2−2ax +4a −2成立的x 的取值范围是(2,2a)； (Ⅱ)(i)设f(x)=2|x −1|，g(x)=x 2−2ax +4a −2， 则f(x)min =f(1)=0，g(x)min =g(a)=−a 2+4a −2．由−a 2+4a −2=0，解得a 1=2+√2，a 2=2−√2(负的舍去)， 由F(x)的定义可得m(a)=min{f(1),g(a)}，即m(a)={0,3≤a ≤2+√2−a 2+4a −2,a >2+√2；(ii)当0≤x ≤2时，F(x)≤f(x)≤max{f(0),f(2)}=2=F(2)； 当2<x ≤6时，f(x)≤g(x)≤max{g(2),g(6)} =max{2,34−8a}=max{f(2),f(6)}． 则M(a)={2,a >434−8a,3≤a≤4．【解析】(Ⅰ)由a ≥3，讨论x ≤1时，x >1，去掉绝对值，化简x 2−2ax +4a −2−2|x −1|，判断符号，即可得到F(x)=x 2−2ax +4a −2成立的x 的取值范围； (Ⅱ)(i)设f(x)=2|x −1|，g(x)=x 2−2ax +4a −2，求得f(x)和g(x)的最小值，再由新定义，可得F(x)的最小值； (ii)分别对当0≤x ≤2时，当2<x ≤6时，讨论F(x)的最大值，即可得到F(x)在[0,6]上的最大值M(a)．本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论的思想方法，以及二次函数的最值的求法，不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。

天津南开中学2018-2019学年上学期期中考试高一数学试卷I 卷一、选择题(每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题4分，共40分．)1. 设集合{2,5}A =，集合{1,2}B =,集合{1,2,5,7}C =，则()A B C 为（ ）．A.{}1,2,5B.{}1,2,5-C.{}2,5,7D.{}7,2,5-2.下列函数中，与函数y =有相同定义域的是（ ）． A ．()ln f x x = B ．1()f x x=C. ()||f x x =D.()x f x e = 3. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）．A ．1y x =+B ．3x y -=C ．1y x= D ．||y x x =4. 函数()9lg f x x x=-的零点所在的大致区间是 （ ）A ．()6,7B ．()7,8C ．()8,9D ．()9,105. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()ln(1)f x x =+，则函数()f x 的大致图象为（ ）．A. B. C. D.6. 设3525a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2525b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2535c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）．A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<7. 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1α，则使函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值组成的集合为（ ）A. {}1,1-B.{}1,3C. 11,,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭D.{}1,3-8. 若函数()()213log 35f x x ax =-+在[)+∞-,1上单调递减，则a 的取值范围是（ ）．A ．(]6-∞-, B.[)8,6-- C ．(]68--, D ．[]68--, 9. 设函数21()ln(1||)1f x x x=+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ C.11,33⎛⎫-⎪⎝⎭D.11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10. 对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,,1.a a ba b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数()()()222f x x x x =-⊗-，x ∈R ．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )．A ．()3,21,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭B ．(]3,21,4⎛⎫-∞--- ⎪⎝⎭C ．111,,44⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．311,,44⎛⎫⎡⎫--+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭II 卷(将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效．)二、填空题：(每小题4分，共24分．) 11. 已知函数()f x =，若()3f a =，则实数a 的值为_______．12. 函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是________.13. 已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f =________.14. 已知函数()32,2()1,2x x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是_______．15. 已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的取值范围为 . 16. 已知集合{}349A x x x =∈++-≤R，()146,0,B x x t t t ⎧⎫=∈=+-∈+∞⎨⎬⎩⎭R ，则集合A B = ．三、解答题：(17、18每小题8分，19、20每小题10分，共36分．)17. 已知集合2{|320}A x x x =-+=，2{|220}B x x ax =-+=，若A B B =，求实数a 的取值范围. 18. 化简求值(1) (2) ()22lg 25lg8lg5lg 20lg 23++⋅+．19. 已知：2256x ≤，且21log 2x ≥. (1) 求x 的取值范围；(2) 求函数()22log log 24x x f x ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值和最小值以及相应的x 的取值.20. 设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--.(1) 若(0)1f ≥，求a 的取值范围； (2) 求()f x 的最小值；(3) 设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集.天津南开中学2018-2019学年上学期期中考试高一数学试卷参考答案一、选择题二、填空题11.10 12.(),2-∞- 13.14 14.()0,1 15.,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭16.[]2,5- 三、解答题17. 已知集合2{|320}A x x x =-+=，2{|220}B x x ax =-+=，若A B B =，求实数a 的取值范围.解：{}1,2A =，由B A B =，所以B A ⊆（1）B =∅，则由2160a ∆=-<，解得44a -<<；（2）B ≠∅，若0∆=，则4a =±.当4a =-时，{}1B =-，不满足B A ⊆；当4a =时，{}1B =，满足B A ⊆.若0∆>，则4a <-或4a >，且B A ⊆，应有B A =，故12,2121,a ⎧+=-⎪⎨⎪⨯=⎩无解.综上，实数a 的取值范围是(]4,4a ∈-.18. 化简求值(1) (2) ()22lg 25lg8lg5lg 20lg 23++⋅+．解：=()1113226323232⎛⎫⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭=()()222lg53lg 2lg5lg 21lg 23+⋅+⋅++=1111113323623-+++⋅ =()()22lg5lg 2lg5lg 2lg 2lg5++⋅++=236⋅= =()2lg2lg5lg2lg5+⋅++ =213+=19.已知：2256x ≤，且21log 2x ≥. （1）求x 的取值范围；（2）求函数()22log log 24x x f x ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值和最小值以及相应的x 的取值.解：（1）由2256x ≤，得8x ≤，由21log 2x ≥，得x ≥8x ≤≤. （2）由(1)8x ≤≤,得21log 32x ≤≤. ()()()22222231log log log 1log 2log 2424x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⋅=-⋅-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,∴当2log 3x =时, ()max 2f x =，此时8x =；当23log 2x =时, ()min 14f x =-，此时x =. 20.设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--.(1) 若(0)1f ≥，求a 的取值范围； (2) 求()f x 的最小值；(3) 设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集. 解：（1）若(0)1f ≥，则2||111a a a a a <⎧-≥⇒⇒≤-⎨≥⎩ （2）当x a ≥时，22()32,f x x ax a =-+22min(),02,0()2(),0,033f a a a a f x a a f a a ⎧≥≥⎧⎪⎪==⎨⎨<<⎪⎪⎩⎩ 当x a ≤时，22()2,f x x ax a =+-2min2(),02,0()(),02,0f a a a a f x f a a a a ⎧-≥-≥⎧⎪==⎨⎨<<⎪⎩⎩ 综上，22min2,0()2,03a a f x a a ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩. （3）(,)x a ∈+∞时，()1h x ≥得223210x ax a -+-≥，222412(1)128a a a ∆=--=-当a a ≤≥时，0,(,)x a ∆≤∈+∞；当22a -<<>0,得：(0x x x a⎧⎪≥⎨⎪>⎩讨论得：当[22a ∈时，解集为(,)a +∞;当(22a ∈--时，解集为(,[,)33a a a +⋃+∞;当[,22a ∈-时，解集为[)3a ++∞.。