重庆市南开中学2019届高三第三次教学质量检测考试数学(理科)试题

重庆市南开中学2019届高三第三次教学质量检测考试数学（理科）

试题

一、单选题

(★) 1 . （）

A．B．C．D．

(★) 2 . 设集合，，则（）A．B．C．D．

(★) 3 . 等差数列的前7项和为28，，则（）

A．6B．7C．9D．14

(★) 4 . 若双曲线的一条渐近线方程为，则（）

A．B．1C．2D．-8

(★★) 5 . 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A．42B．45C．46D．48

(★★) 6 . 重庆奉节县柑桔栽培始于汉代，历史悠久.奉节脐橙果皮中厚、脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果、中国国际农业博览会金奖等荣誉.据统计，奉节脐

橙的果实横径（单位：）服从正态分布，则果实横径在的概率为（）

附：若，则；

；

A．0.6826B．0.8413C．0.8185D．0.9544

(★★) 7 . 设，满足约束条件，则的最小值是（）

A．4B．5C．8D．9

(★) 8 . 如图，给出的是求的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是（）

A．B．C．D．

(★★) 9 . 记，则

（）

A．81B．365C．481D．728

(★★) 10 . 已知函数的最小正周期为，且是函数图象的一条对称轴，则的最大值为（）

A．1B．C．D．2

(★★★★) 11 . 已知函数，若不等式对任意上恒成立，则实数的取值范围为（）

A．B．C．D．

(★★) 12 . 如图，抛物线：，圆：，过焦点的直线从上至下依次交，于点，，，.若，为坐标原点，则（）

A．-2B．1C．4D．

二、填空题

(★) 13 . 已知向量，且，则实数__________．

(★★) 14 . 已知函数，则不等式的解集为__________．

(★★)15 . 在正三棱柱中，，，分别为，的中点，

则异面直线与所成角的余弦值为__________．

(★★) 16 . 在正项递增等比数列中，，记，

，则使得成立的最大正整数为__________．

三、解答题

(★★) 17 . 在中，角，，所对的边分别是，，，且

.

（1）求角；

（2）若，求.

(★★) 18 . 随着电子商务的兴起，网上销售为人们带来了诸多便利.商务部预计，到2020年，

网络销售占比将达到.网购的发展同时促进了快递业的发展，现有甲、乙两个快递公司，

每位打包工平均每天打包数量在范围内.为扩展业务，现招聘打包工.两公司提供的工

资方案如下：甲公司打包工每天基础工资64元，且每天每打包一件快递另赚1元；乙公司打

包工无基础工资，如果每天打包量不超过240件，则每打包一件快递可赚1.2元；如果当天打

包量超过240件，则超出的部分每件赚1.8元.

下图为随机抽取的打包工每天需要打包数量的频率分布直方图，以打包量的频率作为各打包量

发生的概率.（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）.

（1）（i）以每天打包量为自变量，写出乙公司打包工的收入函数；

（ii）若打包工小李是乙公司员工，求小李一天收入不低于324元的概率；

（2）某打包工在甲、乙两个快递公司中选择一个公司工作，如果仅从日平均收入的角度考虑，请利用所学的统计学知识为该打包工作出选择，并说明理由.

(★★) 19 . 已知，是椭圆：上两点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设为坐标原点，为椭圆上一动点，点，线段的垂直平分线交轴于点，求的最小值.

(★★) 20 . 如图，在四棱锥中，底面为菱形，顶点在底面的射影恰

好是菱形对角线的交点，且，，，，其中.

（1）当时，求证：；

（2）当与平面所成角的正弦值为时，求二面角的余弦值.

(★★) 21 . 已知函数，其中.

（1）若函数仅在处取得极值，求实数的取值范围；

（2）若函数有三个极值点，，，求证：

.

(★★) 22 . 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，

），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的极坐标方程为：

.

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）设直线与曲线相交于，两点，当到直线的距离最大时，求. (★★) 23 . 已知函数的最小值为.

（1）求；

（2）若正实数，，满足，求证：.