重庆南开中学高2017级高一(上)期末考试数学试题及其答案

重庆南开中学高2016级高一(上)期末测试数学试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共50分）一、选择题（每小题5分，10小题，共50分，每小题只有一个选项符合要求）1. sin 42cos18cos42sin18+=（ ）A.21B. 23C. 22D. 23-2. 下列函数中既是奇函数，又在区间()1,1-上是增函数的为（ ）A. xxy e e -=+ B. y x = C. sin y x = D. 3y x =- 3. 设R ϕ∈，则“2πϕ=”是“()sin(),f x x x R ϕ=+∈”为偶函数的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 4. 函数3sin(2)3y x π=-的单调递减区间是（ ）A. [,],63k k k Z ππππ-+∈ B. 5[,],36k k k Z ππππ++∈ C. 5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ D. 511[,],1212k k k Z ππππ++∈ 5. 函数2()ln f x x x=-的零点所在的区间是（ ） A. (1,2) B. (2,3) C. (3,4) D. (,)e +∞ 6. 已知20.34log 4,log 3,0.3a b c -===，则c b a ,,的大小关系是（ ）A. c a b <<B. b a c <<C. a c b <<D. a b c << 7. 已知()11tan ,tan 243παβα⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πβ（ ） A. 2 B. 2 C. 1 D. 228. 若函数()2sin()f x x ωϕ=+的部分图像如下图所示，为了得到这个函数的图象，只要将2sin y x =()x R ∈的图象上的所有的点（ ）A. 纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移6π个单位长度 B. 纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π个单位长度C. 纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移12π个单位长度D. 纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移12π个单位长度 9. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且(1)f x +为奇函数.若(2)1f =，则(1)(2)(3)(2014)f f f f +++⋅⋅⋅+=（ ）A. 1B. 2014C. 0D. 2014-10. 已知,,A B C 为锐角ABC ∆的三个内角，且sin sin A A B =，则下列结论正确的是（ ）A. A C >B. A C <C. B C >D. B C <第Ⅱ卷(非选择题，共100分)二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡Ⅱ上相应位置（只填结果，不写过程）11. 设函数7()2(2),7x f x f x x ≥=+<⎪⎩，则(4)f = .12. 函数log (23)8a y x =-+的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数()f x 的图象上， 则(3)f = .13. 函数()sin sin()2f x x x π=⋅+的最小正周期是 .14. 关于x 的不等式22sin cos 2a x a x -->的解集为全体实数，则实数a 的取值范围为.15. 对于区间],[n m ，定义m n -为区间],[n m 的长度，若函数)0(12)(2>+-=a x ax x f在任意长度为2的闭区间上总存在两点21,x x ，使1)()(21≥-x f x f 成立，则实数a 的最小值为 .三、解答题：（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卡Ⅱ上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）16. （本小题满分13分）已知函数()f x =的定义域为集合A ，函数]1)21[(log )(2-=x x g 定义域为集合B ，求B A .17. （本小题满分13分）已知角α的终边过点(,1),(0)P x x -<，且cos 5x α=. （1）求tan α的值； （2）求1cos 2)sin 4απαα---的值.18. （本小题满分13分）已知函数23()log (1)f x ax x =-+，其中a R ∈.（1）若()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）当1a =时，若3()()log (1)g x f x x =--，求()g x 的值域.19. （本小题满分12分）已知函数2()2cos sin()sin cos 3f x x x x x x π=-+.（1）求函数()y f x =图象的对称中心； （2）若2()10f x m -+=在7[,]612ππ有两个相异的实根，求m 的取值范围.20. （本小题满分12分）已知函数124124)(+++⋅+=xx x x k x f . （1）当2k =时，求函数()f x 的最大值；（2）对定义域内的任意x 都有|()1|f x k -≤成立，求k 的取值范围.21. （本小题满分12分）已知关于x 的函数24()cos cos ()cos ()33nnn n f x x x x ππ=++++，其中n N *∈. （1）求(0)n f 和()2n f π；（2）求证：对任意x R ∈，2()f x 为定值；（3）对任意x R ∈，是否存在最大的正整数n ，使得函数()n y f x =为定值？若存在，求出n 的最大值；若不存在，请说明理由.重庆南开中学高2016级高一（上）期末测试数学参考答案一．选择题BCADB DCCAD二．填空题11. 27 13. π 14. (2,)+∞ 15. 1 三．解答题16. 解：由0532≥--x 可得：1-≤x 或4≥x ，故).,4[]1,(+∞--∞= A由01)21(>-x可得：0<x ，故).0,(-∞=B ∴ ].1,(--∞=B A17.解：由条件知cos 5x α==2x =-，故)1,2(--P . （1）.2121tan =--=α （2）∵ )1,2(--P ，故,55sin -=α ∴ 原式.55tan sin 2cos sin 2sin )sin 22cos 22(2sin 222-===-+=αααααααα18. 解：（1）当0=a 时，)1(log )(3+-=x x f ，显然定义域不是R ，不合题意，舍去.当0a ≠时，要使()f x 的定义域为R ，则41410>⇒⎩⎨⎧<-=∆>a a a .（2）当1=a 时，)1(log )1(log )(323--+-=x x x x g ，其定义域为),1(+∞∈x .∴ ).1(11log )(23>-+-=x x x x x g令10t x =->，则,31111122≥++=++=-+-t t t t t x x x 故231()log 11x x g x x -+=≥-，即)(x g 的值域为).,1[+∞19. 解：x x x x x x x f cos sin sin 3)cos 23sin 21(cos 2)(2++-= ).32sin(22cos 32sin )sin (cos 3cos sin 222π-=-=--=x x x x x x x（1）由)(32Z k k x ∈=-ππ得：26k x ππ=+，故)(x f 的对称中心为).)(0,62(Z k k ∈+ππ（2）由2()10f x m -+=可得：1()2m f x -=.7[,]612x ππ∈，52[0,]36x ππ-∈，故()[0,2]f x ∈.结合函数图象，当1122m -≤<时，原方程有两个相异的实根，故35m ≤<.20. 解：（1）当2=k 时，124211241224)(+++=+++⋅+=x x xx x x x x f .令,02>=xt 则.111111)(2+++=+++=tt t t t x f 由0>t 知,21≥+t t 故],31,0(111∈++tt 则].34,1()(∈x f 故.34)(max =x f（2）法一：k k k x f x xx≤++-⇔≤-1242)1(1)( )(* 当1=k 时，)(*式显然成立.当1≠k 时，12421)(++≥-⇔*xxxk k 对任意R x ∈恒成立. 而,311242≤++x x x 故,31331311k k k k k k k ≤-≤-⇒≤-⇒≥-解得41≥k ，故41≥k 且1≠k .综上，41≥k .法二：1)(11)(+≤≤-⇔≤-k x f k k x f )(**令=u ),,3[124+∞∈++xx 则.11)(uk x f -+= 当1>k 时，].32,1()(+∈k x f 要使)(**式对任意的R x ∈恒成立只需21,31 1.k k k +⎧≤+⎪⎨⎪-≤⎩解得：21-≥k . ∴1>k .当1=k 时，,1)(=x f 显然成立. 当1<k 时，).1,32[)(+∈k x f 要使)(**式对任意的R x ∈恒成立只需11,21.3k k k +≥⎧⎪+⎨≥-⎪⎩ 解得：41≥k . ∴141<≤k .综上，41≥k . 21. 解：（1）,)21(21)0(nn f -+= .)23()23()2(n n n f +-=π（2）对任意x R ∈124()cos cos()cos()33f x x x x ππ=++++11cos cos cos 022x x x x x =---= 又21cos (1cos 2)2x x =+，故.23))2(3(21)(12=+=x f x f（3）由于421cos (12cos 2cos 2)4x x x =++故41219()(32(2)(2))48f x f x f x =++=，即4=n 时，)(x f y n =为定值.当n 为奇数，且3n ≥时，由（1）得：111(0)12()1022n n n f -=+-=->,而()(02n n n f π=+=，即(0)()2n n f f π≠.故)(x f y n =不可能为定值. 当n 为偶数，且6n ≥时，由（1）得：111(0)12()1122n n n f -=+-=+>.而n 关于n 单调递减，故.13227)23(2)23(2)23()23()2(6<=≤=+-=n n n n f π即(0)()2n n f f π≠，故)(x f y n =不可能为定值.综上，存在最大的正整数4=n ，使得对任意的R x ∈，)(x f y n =为定值.。

秘密★启用前2018年重庆一中高2020级高一上期期末考试数 学 试 题 卷 2018.1注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷及草稿纸上答题无效。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 5tan()3π=( )A.2.函数()121x f x a +=-()0,1a a >≠且恒过定点( )A. ()1,1--B. ()1,1-C. ()0,21a -D. ()0,1 3.已知α是第三象限角，且cos02α>，则2α所在的象限是( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限4.已知{}|ln ,{|A x y x B y y ====，则( )A.A B ⋂=∅B. A B A ⋃=C.()R C A B R ⋃=D.A B ⊇5. 若方程20x ax a ++=的一根小于2-，另一根大于2-，则实数a 的取值范围是( )A. (4,+)∞B. ()0,4C. (,0)-∞D. (),0(4,)-∞⋃+∞ 6.若幂函数()f x 的图像过点(16,8),则2()()f x f x <的解集为( )A.(),0(1,)-∞⋃+∞B. (0,1)C. (),0-∞D. (1,)+∞7.已知函数()cos(2)(0)f x x ωω=>，若()f x 的最小正周期为π，则()f x 的一条对称轴是（ ）A ．8x π= B.4x π=C.2x π=D ．34x π=8.（原创）若角)20(παα≤≤的终边过点(sin,1cos )55P ππ-，则=α( ) A.1110π B.107π C. 25π D. 10π9.（原创）若不等式2log (21)0a ax x -+>(0,1)a a >≠且在[1,2]x ∈上恒成立，则a 的取值范围是( )A.(1,2)B.(2,)+∞C. ()()∞+⋃，21,0D.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭10.（原创）函数2||2()221x f x x x -=⋅-+的零点个数为（ ）A.1B. 2C. 3D. 411.（原创）00020tan 70)cos10-=( )A.12112.（原创）函数()23f x x =-的值域是( )A. 3⎡⎤⎣⎦B. []1,5C. [2,3+D. [3+二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.关于x 的不等式21<-x x 的解集是 ． 14.已知3sin(),(,)652ππααπ+=∈，则tan()12πα-= ．15.若函数)(x f 满足：对任意实数x ，有0)()2(=+-x f x f 且(2)()0f x f x ++=， 当[0,1]x ∈时，2()(1)f x x =--，则[2017,2018]x ∈时，()f x = ．16.⑤该函数的值域为[1,2]-.其中正确命题的编号为 ______ ．三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (10分) 已知tan()24πα+=-．（1）求tan α的值； （2）求()3cos()[sin()2cos ]2παπαπα-+--的值．18. (12分)（1）计算3log 2310059(log 5)(log 3)+⨯；（2）已知232a =+11133a a a a--++的值.19. (12分)（原创）已知1()22()x x f x a a R +-=+⋅∈.（1）若()f x 是奇函数，求a 的值，并判断()f x 的单调性（不用证明）； （2）若函数()5y f x =-在区间01（，）上有两个不同的零点，求a 的取值范围.20. (12分)（原创）已知42()4cos 4sin 2cos 2f x x x x x =+（1）求()f x 的最小正周期；（2）将()f x 的图像上的各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图像向右平移3π个单位，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在[0,]2x π∈上的单调区间和最值.21. (12分) （原创）定义域为R 的函数()f x 满足：对任意实数x y 、均有()=()()2f x y f x f y +++，且(2)2f =，又当1x >时，()0f x >.（1）求)0(f 、)1(-f 的值，并证明：当1<x 时，0)(<x f ；（2）若不等式222((2)(21)2)40f a a x a x ----++<对任意[1,3]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.22. (12分) （原创）已知2()log f x x =， （1）求函数2()()+2()16xg x f x f =的单调区间； （2）求证：[,2]x ππ∈时，2(1sin )()(1sin cos )()4sin()2()4x f x x x f x x x f x π----++>成立.命题人 王中苏审题人 李长鸿 梁波2018年重庆一中高2020级高一上期期末考试数 学 答 案 2018.1一.选择题1—12AA ABDCADCDBB 二.填空题13. ()()+∞⋃-∞-,01,, 14. 7-, 15. 2(2017)x -, 16. ②③17.（1）tan()2tan 34παα+=-⇒=，(2) ()3cos()[sin()2cos ]2παπαπα-+-- 222222sin [sin 2cos ]sin 2sin cos sin 2sin cos tan 2tan 3sin cos tan 110αααααααααααααα=--+=---===++18. （1）3log 2531005log lg5lg39(log 5)(log 3)4log 10lg3lg100+⨯+=+⨯+ 194(lg5lg 2)22=++=. (2)设13,a t =则22t =且3132112331111t a a t t t t a at --++==+-=++213-=.19.（1）因为()f x 是奇函数， 所以11()()2222(2))(22)0x x x x x x f x f x a a a -++---+=+⋅++⋅=++=，所以2a =-；()2(22)xxf x -=-在(,)-∞+∞上是单调递增函数. (2) ()5y f x =-在区间01（，）上有两个不同的零点， ⇔方程12250x x a +-+⋅-=在区间01（，）上有两个不同的根， ⇔方程22252x x a =-⋅+⋅在区间01（，）上有两个不同的根，⇔方程225a t t =-+在区间(1,2)t ∈上有两个不同的根， ⇔25(3,)8a ∈. 20. （1）42()4cos 4sin 2cos 2f x x x x x =+22(1cos2)2(1cos2)4cos 2431cos443227cos(4)32x x x x x x x x π=++-=++=-+=++所以()f x 的最小正周期为2π;(2)7()cos(2)32g x x π=-+的增区间为[0,]6π，减区间为[,]62ππ，()g x 在[0,]2x π∈上最大值为9()62g π=，最小值为()32g π=.21. （1）令0x y ==，得(0)2f =-，令1x y ==， 得(1)0f =， 令1,1x y ==-，得(1)4f -=-， 设1<x ，则0)2(,12>->-x f x ，因为22)()2()2()2(=++-=+-=x f x f x x f f 所以0)2()(<--=x f x f .(2)设12x x <，2121112111()()()(=(()()2)()f x f x f x x x f x f x x f x f x -=-+--++-）212121(11)2(1)(1)4(1)f x x f x x f f x x =-+-+=-++-+=-+因为2111,x x -+>所以21(1)0f x x -+>，所以()f x 为增函数.222222((2)(21)2)40((2)(21)2)4(1)f a a x a x f a a x a x f ----++<⇔----+<-=-222(2)(21)21a a x a x ⇔----+<-法一:上式等价于222()(4)23a a x x x x --<+-对任意[1,3]x ∈恒成立， 因为[1,3]x ∈，所以240x x -<上式等价于2222233(31)244x x x a a x x x x+--->=+--对任意[1,3]x ∈恒成立，设31[2,8]x t -=∈，223(31)27272220114101110x t x x t t t t-+=+=+≤-----（2t =时取等）， 所以20a a ->，0a <或1a >.法二：上式等价于222()(2)(21)30g x a a x a x =----+<对任意[1,3]x ∈恒成立， 设2a a m -=（41-≥m ），上式等价于2()(2)(41)30g x m x m x =--++<对任意[1,3]x ∈恒成立，①2m =时，易得上式恒成立； ②2m >时，上式等价于(1)0g <且(3)0g <即06m m >>-且，所以2m >；③2m <时，对称轴0)2(2140≤-+=m m x ，上式等价于(1)0g <即0m >，所以02m <<；综上0m >即20a a ->，0a <或1a >.22. （1）2222()()+2()log 2log 816x g x f x f x x ==+- 22222()log 2log 8(log 1)9g x x x x =+-=+-,令2log 1x =-得12x =， 由复合函数的单调性得()g x 的增区间为1(0,)2，减区间为1(,)2+∞；（2）[,2]x ππ∈时，sin 0x -≥，2sin 0x ≥，224log 4log x x+≥(4x =)，2(1sin )()(1sin cos )()4sin()()4x f x x x f x x x f x π----+++4(1sin )()sin()cos sin 1()4x f x x x x x f x π=-+++++-2224log sin sin cos cos sin 1log 4sin cos cos sin 1x x x x x x xx x x x ≥+++++-≥+++- 设cos sin t x x =+，由[,2]x ππ∈得[t ∈，且21sin cos 2t x x -=从而22113sin cos cos sin 3(1)2222t x x x x t t -+++=++=++≥ 由于上述各不等式不能同时取等号，所以原不等式成立.。

重庆市2016—2017学年年高一上学期期末数学试卷一.选择题.（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）设集合A={x|x+2=0}，集合B={x|x2﹣4=0}，则A∩B=（）A．{﹣2} B．{2} C．{﹣2，2} D．∅2．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2 3．（5分）已知α是第四象限的角，若cosα=，则tanα=（）A．B．﹣C．D．﹣4．（5分）如图，在正六边形ABCDEF中，++等于（）A．0 B．C．D．5．（5分）函数f（x）=3x+x﹣3在区间（0，1）内的零点个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0 6．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（）A．f（x）=2sin（2x+）B．f（x）=2sin（x+）C．f（x）=2sin（2x+）D．f（x）=2sin（x+）7．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（）A．y=cosx B．y=ln|x| C．y=D．y=tan2x8．（5分）设a=tan35°，b=cos55°，c=sin23°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b9．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈B．C．D．二.填空题.（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11．（5分）tan=．12．（5分）如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点M是线段OD的中点，设=，=，则=．（结果用，表示）13．（5分）（lg25﹣lg）÷100=．14．（5分）求值：=．15．（5分）设g（x）=x﹣1，已知f（x）=，若关于x的方程f（x）=m恰有三个互不相等的实根x1，x2，x3，则x12+x22+x32的取值范围是．三.解答题.（本大题共6小题，共75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）16．（13分）已知＜α＜π，tanα﹣=﹣．（Ⅰ）求tana的值；（Ⅱ）求的值．17．（13分）平面内给定三个向量=（3，2），=（﹣1，2），=（4，1）．（Ⅰ）设向量=+，且||=，求向量的坐标；（Ⅱ）若（+k）∥（2﹣），求实数k的值．18．（13分）已知函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在区间上的最大值是最小值的8倍．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）当a＞1时，解不等式log a（2a+2x）＜log a（x2+1）．19．（12分）已知函数g（x）=4sin（ωx+），h（x）=cos（ωx+π）（ω＞0）．（Ⅰ）当ω=2时，把y=g（x）的图象向右平移个单位得到函数y=p（x）的图象，求函数y=p（x）的图象的对称中心坐标；（Ⅱ）设f（x）=g（x）h（x），若f（x）的图象与直线y=2﹣的相邻两个交点之间的距离为π，求ω的值，并求函数f（x）的单调递增区间．20．（12分）已知函数f（x）=log2（4x+1）+mx．（Ⅰ）若f（x）是偶函数，求实数m的值；（Ⅱ）当m＞0时，关于x的方程f（8（log4x）2+2log2+﹣4）=1在区间上恰有两个不同的实数解，求m的范围．21．（12分）已知定义在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）函数满足：①f（4）=1；②对任意x ＞2均有f（x）＞0；③对任意x＞1，y＞1，均有f（x）+f（y）=f（xy﹣x﹣y+2）．（Ⅰ）求f（2）的值；（Ⅱ）证明：f（x）在（1，+∞）上为增函数；（Ⅲ）是否存在实数k，使得f（sin2θ﹣（k﹣4）（sinθ+cosθ）+k）＜2对任意的θ∈恒成立？若存在，求出k的范围；若不存在说明理由．重庆市2016—2017学年年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题.（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）设集合A={x|x+2=0}，集合B={x|x2﹣4=0}，则A∩B=（）A．{﹣2} B．{2} C．{﹣2，2} D．∅考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：分别求出两集合中方程的解，确定出A与B，找出A与B的公共元素即可求出交集．解答：解：由A中的方程x+2=0，解得x=﹣2，即A={﹣2}；由B中的方程x2﹣4=0，解得x=2或﹣2，即B={﹣2，2}，则A∩B={﹣2}．故选A点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：利用奇函数的性质，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案．解答：解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，故选A．点评：本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题．3．（5分）已知α是第四象限的角，若cosα=，则tanα=（）A．B．﹣C．D．﹣考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：由α为第四象限角，以及cosα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出s inα的值，即可确定出tanα的值．解答：解：∵α是第四象限的角，若cosα=，∴sinα=﹣=﹣，则tanα==﹣，故选：D．点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．4．（5分）如图，在正六边形ABCDEF中，++等于（）A．0 B．C．D．考点：向量的加法及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：利用正六边形ABCDEF的性质，对边平行且相等得到向量相等或者相反，得到所求为0向量．解答：解：因为正六边形ABCDEF中，CD∥AF，CD=AF，所以++=++=；故选A．点评：本题考查了向量相等以及向量加法的三角形法则，属于基础题．5．（5分）函数f（x）=3x+x﹣3在区间（0，1）内的零点个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：函数f（x）=3x+x﹣3在区间（0，1）上连续且单调递增，利用函数零点的判定定理求解即可．解答：解：函数f（x）=3x+x﹣3在区间（0，1）上连续且单调递增，又∵f（0）=1+0﹣3=﹣2＜0，f（1）=3+1﹣3=1＞0；∴f（0）•f（1）＜0；故函数f（x）=3x+x﹣3在区间（0，1）内有一个零点，故选C．点评：本题考查了函数零点的判定定理的应用及函数的单调性的应用，属于基础题．6．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（）A．f（x）=2sin（2x+）B．f（x）=2sin（x+）C．f（x）=2sin（2x+）D．f（x）=2sin（x+）考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据图象确定A，ω和φ的值即可求函数的解析式解答：解：由图象知函数的最大值为2，即A=2，函数的周期T=4（）=2，解得ω=1，即f（x）=2sin（x+φ），由五点对应法知+φ=π，解得φ=，故f（x）=2sin（x+），故选：B点评：本题主要考查函数解析式的求解，根据条件确定A，ω和φ的值是解决本题的关键．要要求熟练掌握五点对应法．7．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（）A．y=cosx B．y=ln|x| C．y=D．y=tan2x考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据余弦函数的单调性，对数函数的单调性，偶函数、奇函数的定义即可判断每个选项的正误．解答：解：A．y=cosx在（1，2）是减函数，所以A错误；B．显然y=ln|x|是偶函数，且在（1，2）内是增函数，所以B正确；C．显然函数是奇函数，所以该选项错误；D．tan﹣2x=﹣tan2x，所以该函数是奇函数，所以该选项错误．故选B．点评：考查余弦函数的单调性，对数函数的单调性，以及奇函数、偶函数的定义．8．（5分）设a=tan35°，b=cos55°，c=sin23°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的求值．分析：利用三角函数的诱导公式结合三角函数的单调性即可得到结论．解答：解：由诱导公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35°，由正弦函数的单调性可知sin35°＞sin23°，即b＞c，而a=tan35°=＞sin35°=b，∴a＞b＞c，故选：A点评：本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础题．9．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈B． C．D．考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：化简得出令=m，则1+sinx=2m﹣mcosx，sinx+mcosx=2m﹣1，φ）=2m﹣1得sin（x+φ）=，由≤1，解得0，利用函数性质求解f（m）=单增，解答：解：f（x）==﹣==﹣=令=m，则1+sinx=2m﹣mcosx，sinx+mcosx=2m﹣1，φ）=2m﹣1得sin（x+φ）=，由≤1，解得0，f（m）=单增，值域为点评：本题考察了函数的性质，换元法求解问题，属于难题，计算量较大．二.填空题.（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11．（5分）tan=﹣．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．解答：解：tan=tan（π﹣）=﹣tan=﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．12．（5分）如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点M是线段OD的中点，设=，=，则=．（结果用，表示）考点：向量的三角形法则．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的三角形法则、向量共线定理可得+==，即可得出．解答：解：+===．故答案为：．点评：本题考查了向量的三角形法则、向量共线定理，属于基础题．13．（5分）（lg25﹣lg）÷100=20．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数的运算法则和有理数的公式进行化简即可．解答：解：（lg25﹣lg）÷100=（lg100）×=2×10=20，故答案为：20．点评：本题主要考查有理数的化简，比较基础．14．（5分）求值：=1．考点：三角函数的恒等变换及化简求值．专题：计算题．分析：先把原式中切转化成弦，利用两角和公式和整理后，运用诱导公式和二倍角公式化简整理求得答案．解答：解：原式=sin50°•=cos40°===1故答案为：1点评：本题主要考查了三角函数的恒等变换及其化简求值，以及两角和公式，诱导公式和二倍角公式的化简求值．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．15．（5分）设g（x）=x﹣1，已知f（x）=，若关于x的方程f（x）=m恰有三个互不相等的实根x1，x2，x3，则x12+x22+x32的取值范围是（，1）．考点：根的存在性及根的个数判断；分段函数的应用．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：化简f（x）=，从而作出其图象，结合图象可得0＜m＜，从而分别讨论x1，x2，x3，再令y=x12+x22+x32=+1﹣2m，化简并利用换元法求取值范围即可．解答：解：∵g（x）=x﹣1，f（x）=，f（x）=；即f（x）=；作出其图象如下，若方程f（x）=m有三个根，则0＜m＜，且当x＞0时，方程可化为﹣x2+x﹣m=0，易知，x2+x3=1，x2x3=m；当x≤0时，方程可化为x2﹣x﹣m=0，可解得x1=；记y=x12+x22+x32=+1﹣2m=﹣m﹣+；令t=∈（1，），则y=﹣t2﹣t+，解得，y∈（，1）．故答案为：（，1）．点评：本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用，同时考查了换元法的应用及方程的根与函数的图象的交点的关系应用，属于中档题．三.解答题.（本大题共6小题，共75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）16．（13分）已知＜α＜π，tanα﹣=﹣．（Ⅰ）求tana的值；（Ⅱ）求的值．考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）设tanα=x，已知等式变形后求出方程的解确定出x的值，即可求出tana 的值；（Ⅱ）原式利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间基本关系变形，将tanα的值代入计算即可求出值．解答：解：（Ⅰ）令tanα=x，则x﹣=﹣，即2x2+3x﹣2=0，解得：x=或x=﹣2，∵＜α＜π，∴tanα＜0，则tanα=﹣2；（Ⅱ）原式==tanα+1=﹣2+1=﹣1．点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．17．（13分）平面内给定三个向量=（3，2），=（﹣1，2），=（4，1）．（Ⅰ）设向量=+，且||=，求向量的坐标；（Ⅱ）若（+k）∥（2﹣），求实数k的值．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：（Ⅰ）根据向量的坐标运算以及模长公式，求出λ的值即可；（Ⅱ）根据向量平行的坐标表示，列出方程，即可求出k的值．解答：解：（Ⅰ）∵向量=（3，2），=（﹣1，2），∴=+=（，）+（﹣，）=（λ，3λ）；又||=，∴=，解得λ=±1，∴=（1，3）或=（﹣1，﹣3）；（Ⅱ）∵+k=（3，2）+k（4，1）=（3+4k，2+k），2﹣=2（﹣1，2）﹣（3，2）=（﹣5，2）；且（+k）∥（2﹣），∴2×（3+4k）﹣（﹣5）×（2+k）=0，解得k=﹣．点评：本题考查了平面向量的坐标运算问题，也考查了向量平行与求向量模长的问题，是基础题目．18．（13分）已知函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在区间上的最大值是最小值的8倍．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）当a＞1时，解不等式log a（2a+2x）＜log a（x2+1）．考点：指数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）分类讨论当a＞1时，当0＜a＜1时，求出最大值，最小值，即可求解答案．（Ⅱ）转化log2（4+2x）＜log2（x2+1）得出得出不等式组，求解即可解答：解：f（x）max=a2，f（x）min=a﹣1，则=a2=8，解得a=2；当0＜a＜1时，f（x）=max=a﹣1，f（x）min=a2，则=a﹣3=8，解得a=；故a=2或a=（Ⅱ）当a＞1时，由前知a=2，不等式log a（2a+2x）＜log a（x2+1）即得解集为（﹣2，﹣1）∪（3，+∞）．点评：本题考察了指数函数的性质，分类讨论的思想，属于中档题，关键是分类得出方程，不等式组．19．（12分）已知函数g（x）=4sin（ωx+），h（x）=cos（ωx+π）（ω＞0）．（Ⅰ）当ω=2时，把y=g（x）的图象向右平移个单位得到函数y=p（x）的图象，求函数y=p（x）的图象的对称中心坐标；（Ⅱ）设f（x）=g（x）h（x），若f（x）的图象与直线y=2﹣的相邻两个交点之间的距离为π，求ω的值，并求函数f（x）的单调递增区间．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象；余弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由题意，先求得：p（x）=4sin（2x+），令2x+=kπ，即可求得函数y=p（x）的图象的对称中心坐标；（Ⅱ）先求得解析式f（x）=2sin（2ωx﹣）﹣，由题意T=π，可解得ω的值，令t=2x﹣是x的增函数，则需y=2sint﹣是t的增函数，由2k≤2x﹣≤2k，可解得函数f（x）的单增区间．解答：解：（Ⅰ）当ω=2时，g（x）=4sin（2x+），g（x﹣）=4sin（2x﹣+）=4sin（2x+），p（x）=4sin（2x+），令2x+=kπ，得x=﹣+，中心为（﹣+，0）（k∈Z）；（Ⅱ）f（x）=4sin（ωx+）（﹣cosωx）=﹣4cosωx=2sinωxcosωx﹣2cos2ωx=sin2ωx﹣（1+cos2ωx）=2sin（2ωx﹣）﹣由题意，T=π，∴=π，ω=1令t=2x﹣是x的增函数，则需y=2sint﹣是t的增函数故2k≤2x﹣≤2k，2k≤2x≤2kπ+，k≤x≤kπ+函数f（x）的单增区间是（k∈Z）．点评：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的图象和性质，属于基础题．20．（12分）已知函数f（x）=log2（4x+1）+mx．（Ⅰ）若f（x）是偶函数，求实数m的值；（Ⅱ）当m＞0时，关于x的方程f（8（log4x）2+2log2+﹣4）=1在区间上恰有两个不同的实数解，求m的范围．考点：对数函数的图像与性质；指数函数综合题．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）根据f（x）是偶函数，建立方程关系即可求实数m的值；（Ⅱ）利用对数函数的性质，利用换元法，转化为两个函数的交点问题即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）若f（x）是偶函数，则有f（﹣x）=f（x）恒成立，即：log2（4﹣x+1）﹣mx=log2（4x+1）+mx．于是2mx=log2（4﹣x+1）﹣log2（4x+1）=log2（）﹣log2（4x+1）=﹣2x，即是2mx=﹣2x对x∈R恒成立，故m=﹣1．（Ⅱ）当m＞0时，y=log2（4x+1），在R上单增，y=mx在R上也单增所以f（x）=log2（4x+1）+mx在R上单增，且f（0）=1，则f（8（log4x）2+2log2+﹣4）=1可化为f（8（log4x）2+2log2+﹣4）=f（0），又f（x）单增，得8（log4x）2+2log2+﹣4=0，换底得8（）2﹣2log2x+﹣4=0，即2（log2x）2﹣2log2x+﹣4=0，令t=log2x，则t∈，问题转换化为2t2﹣2t+﹣4=0在t∈，有两解，即=﹣2t2+2t+4，令y=﹣2t2+2t+4，则y=﹣2t2+2t+4=﹣2（t﹣）2+，∴当t=时，函数取得最大值，当t=0时，函数y=4，当t=时，函数取得最小值，若方程f（8（log4x）2+2log2+﹣4）=1在区间上恰有两个不同的实数解，则等价为4≤＜，解得＜m≤1，故求m的范围为＜m≤1．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及对数函数的应用，利用方程和函数之间的关系，转化为两个函数的交点问题是解决本题的关键．21．（12分）已知定义在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）函数满足：①f（4）=1；②对任意x ＞2均有f（x）＞0；③对任意x＞1，y＞1，均有f（x）+f（y）=f（xy﹣x﹣y+2）．（Ⅰ）求f（2）的值；（Ⅱ）证明：f（x）在（1，+∞）上为增函数；（Ⅲ）是否存在实数k，使得f（sin2θ﹣（k﹣4）（sinθ+cosθ）+k）＜2对任意的θ∈恒成立？若存在，求出k的范围；若不存在说明理由．考点：函数恒成立问题；抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）将条件③变形得到f（m+1）+f（n+1）=f（mn+1）对任意m，n＞0均成立，其中m=x﹣1，n=y﹣1，令m=n=1，即可解得f（2）=0；（Ⅱ）由（Ⅰ），将f（m+1）+f（n+1）=f（mn+1）变形得f（mn+1）﹣f（n+1）=f（m+1），则要证明f（x）在（1，+∞）上为增函数，只需m＞1即可．显然当m＞1即m+1＞2时f（m+1）＞0；（Ⅲ）利用条件①②将问题转化为是否存在实数k使得sin2θ﹣（k﹣4）（sinθ+cosθ）+k＜或1＜sin2θ﹣（k﹣4）（sinθ+cosθ）+k＜10对任意的θ∈恒成立．再令t=sinθ+cosθ，，则问题等价于t2﹣（k﹣4）t+k﹣1＜或1＜t2﹣（k﹣4）t+k﹣1＜10对恒成立．分情况讨论，利用二次函数的性质即可解题．解答：解：（Ⅰ）由条件③可知f（x）+f（y）=f（xy﹣x﹣y+2）=f=f，令m=x﹣1，n=y﹣1，则由x＞1，y＞1知m，n＞0，并且f（m+1）+f（n+1）=f（mn+1）对任意m，n＞0均成立．令m=n=1，即有f（2）+f（2）=f（2），故得f（2）=0．（Ⅱ）由（Ⅰ），将f（m+1）+f（n+1）=f（mn+1）变形得：f（mn+1）﹣f（n+1）=f（m+1），要证明f（x）在（1，+∞）上为增函数，只需m＞1即可．设x2=mn+1，x1=n+1，其中m，n＞0，m＞1，则x2﹣x1=n（m﹣1）＞0，故x2＞x1，则f（x2）﹣f（x1）=f（mn+1）﹣f（n+1）=f（m+1），m＞1，m+1＞2，所以f（m+1）＞0，即f（x2）﹣f（x1）＞0，所以f（x2）＞f（x1），即f（x）在（1，+∞）上为增函数；（Ⅲ）∵由f（m+1）+f（n+1）=f（mn+1）对任意m，n＞0均成立，及f（4）=1∴令m=n=3，有f（4）+f（4）=f（10），即f（10）=2．令m=9，n=，则f（9+1）+f（+1）=f（9×+1）=f（2），故f（）=f（2）﹣f（10）=﹣2，由奇偶性得f（﹣）=﹣2，则f（x）＜2的解集是．于是问题等价于是否存在实数k使得sin2θ﹣（k﹣4）（sinθ+cosθ）+k＜或1＜sin2θ﹣（k﹣4）（sinθ+cosθ）+k＜10对任意的θ∈恒成立．令t=sinθ+cosθ，，问题等价于t2﹣（k﹣4）t+k﹣1＜或1＜t2﹣（k﹣4）t+k﹣1＜10对恒成立．令g（t）=t2﹣（k﹣4）t+k﹣1，则g（t）对恒成立的必要条件是，即解得，此时无解；同理1＜g（t）＜10恒成立的必要条件是，即解得，即；当时，g（t）=t2﹣（k﹣4）t+k﹣1的对称轴．下面分两种情况讨论：（1）当时，对称轴在区间的右侧，此时g（t）=t2﹣（k﹣4）t+k﹣1在区间上单调递减，1＜g（t）＜10恒成立等价于恒成立，故当时，1＜g（t）＜10恒成立；（2）当时，对称轴在区间内，此时g（t）=t2﹣（k﹣4）t+k﹣1在区间上先单调递减后单调递增，1＜g（t）＜10恒成立还需，即，化简为k2﹣12k+24＜0，解得，从而，解得；综上所述，存在，使得f（sin2θ﹣（k﹣4）（sinθ+cosθ）+k）＜2对任意的θ∈恒成立．点评：本题考查了抽象函数的运算，单调性，以及函数恒成立问题，需要较强的分析、计算能力，属于难题．。

重庆市南开中学高一（上）期末数学模拟试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U=Z，A={0，1，2，3}，B={x|x2=2x}，则A ∩（∁U B）为（）A．{1，3}B．{0，2}C．{0，1，3}D．{2}2．（5分）函数的定义域为（）A．（﹣∞，1）B．（0，1]C．（0，1）D．（0，+∞）3．（5分）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）4．（5分）如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．B．C． D．5．（5分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．6．（5分）圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（）A．πB．2πC．πD．π7．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB的中点M，DD1的中点N，则异面直线B1M与CN所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．（5分）我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺（注：1丈等于10尺）（）A．29尺B．24尺C．26尺D．30尺9．（5分）过点（1，2），且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．x﹣2y+3=0 10．（5分）与直线x﹣y﹣4=0和圆x2+y2+2x﹣2y=0都相切的半径最小的圆的方程是（）A．（x+1）2+（y+1）2=2 B．（x+1）2+（y+1）2=4 C．（x﹣1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y+1）=411．（5分）若动点P到点F（1，1）和直线3x+y﹣4=0的距离相等，则点P的轨迹方程为（）A．3x+y﹣6=0 B．x﹣3y+2=0 C．x+3y﹣2=0 D．3x﹣y+2=0 12．（5分）若直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则点P（a，b）与圆C的位置关系是（）A．点在圆上B．点在圆内C．点在圆外D．不能确定二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知直线5x+12y+a=0与圆x2+y2﹣2x=0相切，则a 的值为．14．（5分）已知奇函数f（x），x∈（0，+∞），f（x）=lgx，则不等式f（x）＜0的解集是．15．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P﹣DCE的外接球的体积为．16．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．（12分）△ABC的边AC，AB上的高所在直线方程分别为2x ﹣3y+1=0，x+y=1，顶点A（1，2），求BC边所在的直线方程．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为等边三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．20．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF∥平面ABCD，EF=1，FB=FC，∠BFC=90°，AE=．（1）求证：AB⊥平面BCF；（2）求直线AE与平面BDE所成角的正切值．21．（12分）如图，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO 1折成直二面角．（1）证明：AC⊥BO1；（2）求二面角O﹣AC﹣O1的余弦值．22．（12分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（1）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆Q的方程；（2）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U=Z，A={0，1，2，3}，B={x|x2=2x}，则A ∩（∁U B）为（）A．{1，3}B．{0，2}C．{0，1，3}D．{2}【解答】解：∵全集U=Z，A={0，1，2，3}，B={x|x2=2x}={0，2}，∴C U B={x|x∈Z，且x≠0，且x≠2}，∴A∩C U B={1，3}．故选A．2．（5分）函数的定义域为（）A．（﹣∞，1）B．（0，1]C．（0，1）D．（0，+∞）【解答】解：函数的定义域为：{x|}，解得{x|0＜x＜1}，故选C．3．（5分）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【解答】解：因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上，故选C．4．（5分）如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．B．C． D．【解答】解：根据斜二侧画法可知，原图形为直角梯形，其中上底AD=1，高AB=2A'B'=2，下底为BC=1+，∴．故选：A．5．（5分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．【解答】解：被截去的四棱锥的三条可见棱中，在两条为长方体的两条对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D符合．故选D．6．（5分）圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（）A．πB．2πC．πD．π【解答】解：S1=π，S2=4π，∴r=1，R=2，S=6π=π（r+R）l，∴l=2，∴h=．∴V=π（1+4+2）×=π．故选D7．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB的中点M，DD1的中点N，则异面直线B1M与CN所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：由题意，在右面补一个正方体，如图：∵AB的中点M，取C1E的中点P，连接CP，可得：CP∥B1M，∴∠NCP是异面直线B1M与CN所成的角的平面角．连接NP，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为a．可得：CN=CP=．NP==．∵△NCP的三条边满足：CN2+CP2=NP2．∴∠NCP=90°．即异面直线B1M与CN所成的角是90°．故选：D．8．（5分）我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺（注：1丈等于10尺）（）A．29尺B．24尺C．26尺D．30尺【解答】解：由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边（即木棍的高）长24尺，另一条直角边长5×2=10（尺），因此葛藤长=26（尺）．故选：C．9．（5分）过点（1，2），且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．x﹣2y+3=0 【解答】解：根据题意得，当与直线OA垂直时距离最大，因直线OA的斜率为2，所以所求直线斜率为﹣，所以由点斜式方程得：y﹣2=﹣（x﹣1），化简得：x+2y﹣5=0，故选：A．10．（5分）与直线x﹣y﹣4=0和圆x2+y2+2x﹣2y=0都相切的半径最小的圆的方程是（）A．（x+1）2+（y+1）2=2 B．（x+1）2+（y+1）2=4 C．（x﹣1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y+1）=4【解答】解：由题意圆x2+y2+2x﹣2y=0的圆心为（﹣1，1），半径为，∴过圆心（﹣1，1）与直线x﹣y﹣4=0垂直的直线方程为x+y=0，所求的圆的圆心在此直线上，排除A、B，∴圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4=0的距离为=3，则所求的圆的半径为，故选C．11．（5分）若动点P到点F（1，1）和直线3x+y﹣4=0的距离相等，则点P的轨迹方程为（）A．3x+y﹣6=0 B．x﹣3y+2=0 C．x+3y﹣2=0 D．3x﹣y+2=0 【解答】解：点F（1，1）在直线3x+y﹣4=0上，则点P的轨迹是过点F（1，1）且垂直于已知直线的直线，因为直线3x+y﹣4=0的斜率为﹣3，所以所求直线的斜率为，由点斜式知点P的轨迹方程为y﹣1=（x﹣1）即x﹣3y+2=0故选B12．（5分）若直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则点P（a，b）与圆C的位置关系是（）A．点在圆上B．点在圆内C．点在圆外D．不能确定【解答】解：直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则＜1，∴a2+b2＞1，点P（a，b）在圆C外部，故选C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知直线5x+12y+a=0与圆x2+y2﹣2x=0相切，则a 的值为﹣18或8．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=1，圆心坐标为（1，0），半径R=1，∵直线和圆相切，∴圆心到直线的距离d===1，即|a+5|=13，即a+5=13或a+5=﹣13，得a=8或a=﹣18，故答案为：﹣18或814．（5分）已知奇函数f（x），x∈（0，+∞），f（x）=lgx，则不等式f（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．【解答】解：x∈（0，+∞），f（x）=lgx，不等式f（x）＜0化为lgx＜0，∴0＜x＜1．当x＜0时，∵函数f（x）是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣lg （﹣x），由f（x）＜0即﹣lg（﹣x）＜0，化为lg（﹣x）＞0，∴﹣x＞1，解得x＜﹣1．综上可得不等式f（x）＜0的解集是：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．15．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P﹣DCE的外接球的体积为．【解答】解：∵∠DAB=60°∴三棱锥P﹣DCE各边长度均为1∴三棱锥P﹣DCE为正三棱锥P点在底面DCE的投影为等边△DCE的中心，设中心为O∴OD=OE=OC=在直角△POD中：OP2=PD2﹣OD2=OP=∵外接球的球心必在OP上，设球心位置为O'，则O'P=O'D 设O'P=O'D=R则在直角△OO'D中：OO'2+OD2=O'D2（OP﹣O'P）2+OD2=O'D2（﹣R）2+（）2=R2，R=∴体积为πR3=故答案为：16．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是[4，6] ．【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB=90°，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有4≤m≤6，故答案为：[4，6]．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【解答】解：（1）由对数函数的定义知＞0．即＜0，解得：﹣1＜x＜1；故f（x）的定义域为（﹣1，1）（2）f（x）为奇函数，理由如下：f（x）定义域为（﹣1，1）关于原点对称，又∵f（﹣x）=log a=﹣log a=﹣f（x），∴f（x）为奇函数．18．（12分）△ABC的边AC，AB上的高所在直线方程分别为2x ﹣3y+1=0，x+y=1，顶点A（1，2），求BC边所在的直线方程．【解答】解：因为AC边上的高所在直线方程为2x﹣3y+1=0，所以直线AC的斜率为﹣；所以直线AC的方程为y﹣2=﹣，即3x+2y﹣7=0，同理可求得直线AB的方程为x﹣y+1=0．由，得顶点C（7，﹣7），由，得顶点B（﹣2，﹣1）．所以直线BC的斜率为﹣，所以直线BC的方程为y+1=﹣，即2x+3y+7=0．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为等边三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．【解答】（1）证明：如图所示，连接B1C交BC1于O，连接OD，因为四边形BCC1B1是平行四边形，所以点O为B1C的中点，又因为D为AC的中点，所以OD为△AB1C的中位线，所以OD∥B1A，又OD⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD，所以AB1∥平面C1BD．（2）证明：因为△ABC是等边三角形，D为AC的中点，所以BD⊥AC，又因为AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BD，根据线面垂直的判定定理得BD⊥平面A1ACC1，又因为BD⊂平面C1BD，所以平面C1BD⊥平面A1ACC1；（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3，∴S=×3×3=，∴==••6=9．20．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF∥平面ABCD，EF=1，FB=FC，∠BFC=90°，AE=．（1）求证：AB⊥平面BCF；（2）求直线AE与平面BDE所成角的正切值．【解答】（1）证明：取AB的中点M，连接EM，则AM=MB=1，∵EF∥平面ABCD，EF⊂平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴EF∥AB，即EF∥MB．∵EF=MB=1∴四边形EMBF是平行四边形．∴EM∥FB，EM=FB．在Rt△BFC中，FB2+FC2=BC2=4，又FB=FC，得FB=．∴EM=．在△AEM中，AE=，AM=1，EM=，∴AM2+EM2=3=AE2，∴AM⊥EM．∴AM⊥FB，即AB⊥FB．∵四边形ABCD是正方形，∴AB⊥BC．∵FB∩BC=B，FB⊂平面BCF，BC⊂平面BCF，∴AB⊥平面BCF．（2）连接AC，AC与BD相交于点O，则点O是AC的中点，取BC的中点H，连接OH，EO，FH，则OH∥AB，OH=AB=1．由（1）知EF∥AB，且EF=AB，∴EF∥OH，且EF=OH．∴四边形EOHF是平行四边形．∴E0∥FH，且EO=FH=1．由（1）知AB⊥平面BCF，又FH⊂平面BCF，∴FH⊥AB，∵FH⊥BC，AB∩BC=B，FH⊂平面ABCD，BC平面ABCD，∴FH⊥平面ABCD．∴E0⊥平面ABCD．∵AO⊂平面ABCD，∴EO⊥AO．∵AO⊥BD，EO∩BD=O，EO⊂平面EBD，BD平面EBD，∴AO⊥平面EBD．∴∠AEO是直线AE与平面BDE所成的角．在Rt△AOE中，tan∠AEO==．∴直线AE与平面BDE所成角的正切值为．21．（12分）如图，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO 1折成直二面角．（1）证明：AC⊥BO1；（2）求二面角O﹣AC﹣O1的余弦值．【解答】证明：（1）由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1，所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB从而AO⊥平面OBCO1，OC是AC在面OBCO1内的射影因为tan∠OOA==，tan∠O1OC==，所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，从而OC⊥BO1由三垂线定理得AC⊥BO1．解：（2）由（1）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC设OC∩O1B=E，过点E作EF⊥AC于F，连结O1F（如图），则EF是O1F在平面AOC 内的射影，由三垂线定理得O1F⊥AC所以∠O1FE是二面角O﹣AC﹣O1的平面角由题设知OA=3，OO 1=，O1C=1，所以=2，AC==，从而=，又O1E=OO1•sin30°=，所以sin∠O1FE==，cos∠O1FE==，∴二面角O﹣AC﹣O1的余弦值为．22．（12分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（1）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆Q的方程；（2）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由于圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0的圆心C（3，﹣2），半径为3，|CP|=，而弦心距d=，所以d=|CP|=，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4；（2）把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点，故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上．所以l2的斜率k PC=﹣2，∴k AB=a=，由于，故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．。

2017-2018学年重庆市七校联考高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.tan390°的值等于（）A. B. C. D.2.已知M={0，1，2}，N={x|x=2a，a∈M}，则M∪N=（）A. B. C. 1， D. 1，2，3.设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）A. P、A、C三点共线B. P、A、B三点共线C. P、B、C三点共线D. 以上均不正确4.给出下列四个式子：①=x；②a3＞a2；③（log a3）2=2log a3；④log23＞log49．其中正确的有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5.如图，已知∠AOB=2弧度，点A1、A2、A3在OA上，点B1、B2、B3在OB上，其中每一条实线段和虚线段长度均为1个单位．一个动点M从点O出发，沿着实线段和以点O为圆心的实线圆弧匀速运动，速度为1单位/秒．则动点M到达A2处所需时间为（）秒．A. 6B. 8C.D.6.下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A. B. C. D.7.设f（x）=3x+3x-8，用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈（1，3）内近似解的过程中取区间中点x0=2，那么下一个有根区间为（）A. B. C. 或 D. 不能确定8.已知函数f（x）=，若f（f（-1）=18，那么实数a的值是（）A. 0B. 1C. 2D. 39.若，则sin2α的值为（）A. B. C. D.10.已知=（，-sinθ），=（cosθ，1），且 ⊥，则θ为（）A. ∈B. ∈C. ∈D. ∈11.已知函数f（x）=A sin（wx+φ）（A＞0，w＞0，|φ|＜，x∈R）在一个周期内的图象A. 先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位B. 先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位C. 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位D. 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位12.设函数f（x）为偶函数，且当x≥0时，f（x）=（）x，又函数g（x）=|x sinπx|，则函数h（x）=f（x）-g（x）在[-，2]上的零点的个数为（）个．A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知集合M={x|log2（x-3）≤0}，N={x|y=}，则集合M∩N为______．14.函数的单调增区间为______．15.甲、乙二人从A地沿同一方向去B地，途中都使用两种不同的速度v1与v2（v1＜v2）．甲前一半的路程使用速度v1，后一半的路程使用速度v2；乙前一半的时间使用速度v1，后一半时间使用速度v2．请在如图坐标系中画出关于甲、乙二人从A地到达B 地的路程与时间的函数图象（其中横轴t表示时间，纵轴s表示路程，C是AB的中点，t1是t2的一半）．16.化简：=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（1）已知||=1，||=，若与的夹角为，求|-|．（2）已知=（-4，3），=（1，2），求（-3）•（2+）的值．18.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（-3，4）．（1）求sinα，cosα的值；（2）的值．19.已知函数f（x）=sin x（sin x+cos x）．（1）求y=f（x）的最小正周期：（2）当x∈[-，]时，求y=f（x）的最大值和最小值及相应x的值20.设函数f（x）=log a x，x（0＜a＜1）．（1）比较f（sin1）与f（cos l）的大小；（2）记函数f（x）的反函数为g（x），若a+kg（x-1）≥0在x∈[2，+∞）上恒成立，求k的最小值．21.已知函数f（x）=2x-2-x，g（x）=x（x-a）．（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（2）对于任意x1∈[-1，1]，存在x2∈[-1，1]，使函数f（x1）=g（x2），求出a的取值范围．22.已知函数f（x）（x∈D），若同时满足以下条件：①f（x）在D上单调递减或单调递增；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[a，b]（a＜b），那么称f（x）（x∈D）为闭函数．（1）写出闭函数y=x3符合条件②的一个区间[a，b]，不必说明理由（2）判断函数y=ln x+2x-10是不是闭函数？若是请找出区间[a，b]，若不是请说明理由．（3）若y=（x-k）2，x∈（k+，+∞）是闭函数，求实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：tan390°=tan30°=．故选：A．利用诱导公式化简求值即可．本题考查诱导公式的应用，三角函数求值，是基本知识的考查．2.【答案】D【解析】解：N={x|x=2a，a∈M}={0，2，4}而M={0，1，2}，∴M∪N={0，1，2，4}故选：D．先根据集合M求出集合N，集合N是0～4的偶数集，然后利用并集的定义求出集合M∪N即可．本题主要考查了并集的运算，考查了运算能力，是基础题．3.【答案】A【解析】解：如图，取AC中点D，则：；∴；∴D和P重合；∴P，A，C三点共线．故选：A．可作出图形，取AC中点D，从而可以得到，从而说明D，P重合，这便得出P，A，C三点共线．考查向量加法的平行四边形法则，以及向量的几何意义，向量的数乘运算，相等向量的概念．4.【答案】B【解析】解：=，故①正确；当a=-2时，则a3＜a2，故②不正确；（log a3）2=log a3•log a3≠2log a3，故③不正确，∵，，∴log23=log49，故④不正确．∴其中正确的有1个．故选：B．由有理指数幂及对数的运算性质求解即可．本题考查有理指数幂及根式，考查对数的运算性质，是基础题．5.【答案】B【解析】解：∵∠AOB=2弧度，∴质点M到达A2点处时经过的路程为OA1++B1B2+=1+1×2+1+2×2=8．∵速度为l单位/秒，∴质点M到达A2点处所需要的时间为8秒，故选：B．利用弧长公式L=Rα求出质点M到达A2点处时经过的路程，据所需时间等于路程除以速度，求出时间．本题考查了圆的弧长公式，考查了数形结合思想，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：对于A，函数y=-1在定义域R上是单调减函数，∴不满足题意；对于B，函数y=x2-3x在（-∞，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数，∴不满足题意；意；对于D，函数y=-|x|在（-∞，0）上是增函数，在（0，+∞）上是减函数，∴不满足题意．故选：C．根据基本初等函数的单调性，对选项中的函数进行判断即可．本题考查了判断常见的基本初等函数的单调性问题，是基础题目．7.【答案】A【解析】解：∵f（1）=31+3×1-8=-2＜0，f（3）=33+3×3-8=28＞0，f（2）=32+3×2-8=7＞0，∴f（1）f（2）＜0，∴f（x）=0的下一个有根的区间为（1，2）．故选：A．根据f（1）＜0，f（2）＞0，f（3）＞0，及函数零点的判定方法即可求出下一个有根的区间．本题考查了函数的零点，理解函数零点的判定方法是解决问题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=，f（f（-1）=18，∴f（-1）=3-（-1）+1=4，f（f（-1））=f（4）=4a+log24=18，∴4a=16，解得实数a=2．故选：C．推导出f（-1）=3-（-1）+1=4，从而f（f（-1））=f（4）=4a+log24=18，由此能求出实数a．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9.【答案】A【解析】解：∵，∴，化为，两边平方得sin2α+cos2α+2sinαcosα=，化为．故选：A．先利用两角和的正弦公式及倍角公式展开化为，两边平方后利用平方关系和倍角公式即可得出．熟练掌握两角和的正弦余弦公式及倍角公式、平方关系是解题的关键．10.【答案】A【解析】解：∵⊥，∴•=cosθ-sinθ=0，化为：tanθ=．则θ=，k∈Z．故选：A．利用向量垂直与数量积的关系、三角函数求值即可得出．本题考查了向量垂直与数量积的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：由函数f（x）=Asin（wx+φ）（A＞0，w＞0，|φ|＜，x∈R）在一个周期内的图象可得A=1，==，解得w=2．再把点（，1）代入函数的解析式可得1=sin（2×+φ），即sin（+φ）=1．再由|φ|＜，可得φ=，故函数f（x）=sin（2x+）．把函数y=cosx的图象先把各点的横坐标缩短到原来的倍，可得y=cos2x的图象，再向右平移个单位可得y=cos2（x-）=cos（2x-）=sin[-（2x-）]故选：B．由函数f（x）=Asin（wx+φ）（A＞0，w＞0，|φ|＜，x∈R）在一个周期内的图象可得A=1，求出w=2，φ=，可得函数f（x）=sin（2x+）．再由函数y=Asin （ωx+∅）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查由y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：函数h（x）=f（x）-g（x）在[-，2]上的零点的个数即函数f（x）与函数g（x）在[-，2]上的交点的个数，作函数f（x）与函数g（x）在[-，2]上的图象如下，共有5个交点，故选：C．函数h（x）=f（x）-g（x）在[-，2]上的零点的个数即函数f（x）与函数g（x）在[-，2]上的交点的个数，作图求解．本题考查了函数的零点与函数的图象的关系应用，属于基础题．13.【答案】[，4]【解析】解：根据题意，集合M={x|log2（x-3）≤0}=（3，4]，N={x|y=}=[，+∞），则M∩N=[，4]，故答案为：[，4]．根据题意，分析可得集合M、N，由交集的定义计算可得答案．本题考查集合交集的计算，关键是求出集合M、N．14.【答案】（-∞，1]【解析】解：∵函数=，根据复合函数的单调性，本题即求函数t=-x2+2x=-（x-1）2+1的增区间．利用二次函数的性质可得t=-（x-1）2+1的增区间为（-∞，1]，故答案为：（-∞，1]．由于函数=，根据复合函数的单调性，本题即求函数t=-x2+2x的增区间，再利用二次函数的性质可得t=-（x-1）2+1的增区间．本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．15.【答案】解：∵甲乙开始时都以速度v1行走，∴在起始一段时间里甲乙所走的路程随时间变化图象重合．由已知，甲一半路程使用速度v1，另一半路程使用速度v2∵v1＜v2，∴甲走一半路程所用时间t＞t1．乙前一半时间行走路程不到总路程的一半，则图象如图所示．【解析】甲一半路程使用速度v1，另一半路程使用速度v2，因为v1＜v2，所以走一半路程所用时间大于，同时，乙一半时间使用速度v，另一半时间使用速度v，在t1时间里所走的路程小于总路程是一半．本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决；根据乙在一半时间处将进行速度的转换得到正确选项是解决本题的关键．16.【答案】2【解析】解：=======2．故答案为：2．分别利用倍角公式，切化弦及两角和的正弦化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．17.【答案】解：（1）∵||=1，||=，与的夹角为，∴|-|==＜，＞==1．（2）∵ =（-4，3），=（1，2），∴=（-7，-3），=（-7，8），∴（-3）•（2+）=（-7）×（-7）+（-3）×8=25．【解析】（1）由||=1，||=，与的夹角为，|-|==，能求出结果．（2）利用向量坐标运算法则先分别求出，，再利用向量数量积公式能求出（-3）•（2+）．本题考查向量的模、向量的数量积的求法，考查向量的数量积公式、向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18.【答案】解：（1）∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（-3，4），故x=-3，y=4，r=|OP|==5，∴sinα==，cosα==-．（2）==-1+=-1-=-．【解析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα，cosα的值．（2）由条件利用诱导公式，求得的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式的应用，属于基础题．19.【答案】解：（1）f（x）=sin2x+sin x cosx=+sin2x=sin（2x-）+．∴f（x）的最小正周期T=π．（2）当x∈[-，]时，2x-∈[-，]．∴当x=-时，f（x）的最小值为；当x=时，f（x）的最大值为；【解析】（1）利用二倍角公式化简f（x）；（2）当x∈[-，]时，2x-∈[-，]．即可求解．本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及最值求法，属于基本知识的考查．20.【答案】解：（1）（1）由f（x）=log a x，x（0＜a＜1）．可得f（x）是单调递减函数，∵＜1＜，∴cos1＜sin1那么：f（sin1）＜f（cos l）；（2）由f（x）的反函数为g（x），∴g（x）=a x，（0＜a＜1）．由a+kg（x-1）≥0在x∈[2，+∞）上恒成立，即a≥-（ka x-1）在x∈[2，+∞）上恒成立，∵a x-1＞0．∴即a2-x≥-k．∴．令h（x）=是递增函数，x∈[2，+∞）上，当x=2时，可得h（x）min=1．∴1≥-k∴k≥-1．所以k的最小值为-1．【解析】（1）由f（x）=log a x，x（0＜a＜1）．可得f（x）是单调递减函数，比较sin1和cos1大小可得答案；（2）求解g（x），a+kg（x-1）≥0在x∈[2，+∞）上恒成立，分离参数，结合单调性求解即可；此题主要考查函数恒成立的问题，以及不等式的求法，是一道基础题，考查指数函数的单调性，考查的知识点比较全面；21.【答案】解：（1）函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，且f（-x）=2-x-2x=-（2x-2-x）=-f（x），所以，函数f（x）为奇函数；（2）由题意可知，函数f（x）在区间[-1，1]上的值域是函数g（x）在区间[-1，1]上的值域的子集，即f（x）min≥g（x）min，f（x）max≤g（x）max，由于函数y=2x在区间[-1，1]上是增函数，函数在区间[-1，1]上是减函数，所以，函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数，则，．二次函数g（x）=x（x-a）=x2-ax的图象开口向上，且对称轴为直线．①当时，即当a≤-2时，函数g（x）在区间[-1，1]上单调递增，则g（x）min=g（-1）=1+a，g（x）max=g（1）=1-a，所以，，解得，此时，；②当时，即当a≥2时，函数g（x）在区间[-1，1]上单调递减，则g（x）min=g（1）=1-a，g（x）max=g（-1）=1+a，所以，，解得，此时，；③当＜＜时，即当-2＜a＜0时，函数g（x）在x=处取得最小值，即，且g（-1）=1+a，g（1）=1-a，此时，1+a＜1-a，则g（x）max=g（1）=1-a，所以，，由于-2＜a＜0，此时，a不存在；④当0≤a＜1时，即当0≤a＜2时，函数g（x）在处取得最小值，即，又g（-1）=1+a，g（1）=1-a，此时，1+a≥1-a，所以，g（x）max=g（-1）=1+a，所以，，又0≤a＜2，这样的a不存在．综上所述，实数a的取值范围是 ，∪，．【解析】（1）利用定义判断函数f（x）的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，然后看f（-x）与f（x）之间的关系，最后下结论；（2）根据已知条件得到函数f（x）与g（x）在区间[-1，1]上的值域的包含关系，于是得到函数f（x）与g（x）的最值之间的关系，利用单调性可求出函数f（x）在区间[-1，1]上的最值，然后对二次函数g（x）的对称轴与区间[-1，1]之间的位置关系，从而求出函数g（x）在区间[-1，1]上的最值，最后列不等式组求出a的取值范围．本题考查函数的奇偶性与最值，考查函数基本性质的定义与应用，属于中等题．22.【答案】解：（1）由题意，令，求得，或，或；∴y=x3的一个区间[a，b]为：[-1，0]，[-1，1]，或[0，1]；（2）函数y=ln x+2x-10在（0，+∞）上单调递增，若函数y=ln x+2x-10是闭函数，则，即a，b为ln x=10-2x的两个正根，画出函数y=ln x和y=10-2x的图象，由图象知方程ln x=10-2x有且只有一个正根，∴函数y=ln x+2x-10不是闭函数；（3）若y=（x-k）2，x∈（k+，+∞）是闭函数，由y=（x-k）2，x∈（k+，+∞）为增函数，则，由，得（x-k）2=x；即a，b为x2-（2k+1）x+k2=0的两个大于k+的根，∴ ＞＞，解得：k∈（-，-），∴y=（x-k）2是x∈（k+，+∞）上的闭函数时，实数k的取值范围是（-，-）．【解析】（1）由题意令，求得x、y的值，得出函数y=x3的区间[a，b]；（2）根据函数y=lnx+2x-10的单调性得出函数y是闭函数时应满足，构造函数判断方程的根得出函数y=lnx+2x-10不是闭函数；（3）函数y=（x-k）2是x∈（k+，+∞）的闭函数时，应满足a、b是（x-k）2=x的两个大于k+的根，由此列出不等式组求出k的取值范围．本题考查了新定义的函数性质与应用问题，也考查了函数的单调性以及方程根的应用问题，是综合题．。

重庆一中2017-2018学年高一上学期期末考试题+数学+Word版含答案2018年XXX高2020级高一上学期数学期末考试试题卷注意事项：1.答题前，请务必在答题卡上填写自己的姓名和准考证号。

2.答选择题时，请使用2B铅笔将答案标号涂黑。

如需更改，先用橡皮擦干净再重新涂。

3.答非选择题时，请使用0.5毫米黑色签字笔，在答题卡规定的位置上写出答案。

4.所有题目必须在答题卡上作答，草稿纸和试题卷上的答案无效。

一、选择题1.若tan(5π/3)=a，则a的值为A。

-3B。

3C。

-(根号3)D。

(根号3)2.函数f(x)=2ax+1-1 (a>0且a≠1) 一定过定点A。

(-1,-1)B。

(-1,1)C。

(0,2a-1)D。

(0,1)3.已知角α在第三象限，且cos^2(α)>1/2，则α所在的象限是A。

第一象限B。

第二象限C。

第三象限D。

第四象限4.已知A={x|y=lnx}，B={y|x=y}，则A。

A∩B=∅B。

A∪B=RC。

(R-A)∪B=RD。

A∩B=B5.若方程x+ax+a=0的一根小于-2，另一根大于-2，则实数a的取值范围是A。

(4,+∞)B。

(0,4)C。

(-∞,0)D。

(-∞,0)∪(4,+∞)6.若幂函数f(x)的图像过点(16,8)，则f(x)<f(x^2)的解集为A。

(-∞,0)∪(1,+∞)B。

(0,1)C。

(-∞,0)D。

(1,+∞)7.已知函数f(x)=cos(2ωx) (ω>0)，若f(x)的最小正周期为π，则f(x)的一条对称轴是A。

x=π/4B。

x=π/2C。

x=3π/4D。

x=π8.XXXα(≤α≤2π)的终边过点P(sin(π/8),1-cos(π/8))，则α的值为A。

5π/11B。

7π/10C。

2π/11D。

π/29.不等式loga(ax-2x+1)>0 (a>0且a≠1) 在x∈[1,2]上恒成立，则a的取值范围是A。

一、单选题 1．（ ） 315︒=A ．B ．C ．D ．11π613π67π45π4【答案】C【分析】利用公式可求角的弧度数 315︒【详解】角对应的弧度数为 315︒3157ππ1804=故选：C2．命题“，”的否定是（ ） 0x ∀>21x ≥A ．，B ．，00x ∃>021x≥00x ∃>021x<C ．， D ．，0x ∀<21x ≥00x ∃<021x<【答案】B【分析】根据给定条件利用含有一个量词的命题的否定方法写出结论作答. 【详解】全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以命题“，”的否定是“，”0x ∀>21x ≥00x ∃>021x <故选：B3．已知集合，，则（ ） {|124}x A x =<<1|11B x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭A B =ðA ． B ．C ．D ．[)1,3(0,1]()1,2()3,3-【答案】B【分析】化简集合，然后用补集的定义即可求解 ,A B 【详解】由解得， 124x <<02x <<由可得，即，解得 111x >-1120111x x x x x ---=>---()()210x x -->12x <<故，， {|02}A x x =<<{}|12B x x =<<所以 A B =ð{|01}x x <≤故选：B4．方程的解所在的区间是（ ） ln 50x x +-=A ． B ． C ． D ． ()01，()12，()34，()23，【答案】C【分析】构造函数，利用零点存在性定理可解.【详解】记，函数在定义域上单调递增， ()ln 5f x x x =+-因为，(3)ln 3350f =+-<(4)2ln 2450f =+->所以函数在区间内有零点，即方程的解在区间内.()f x 3,4（）ln 50x x +-=3,4（）故选：C5．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）()22,12,1x x ax x f x x ⎧+≥=⎨<⎩R a A ． B ．C ．D ．(],1-∞[]1,41,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭][(),14,∞∞-⋃+【答案】C【分析】由题可得，解之即得.1122a a -≤⎧⎨+≥⎩【详解】∵在上单调递增，()()2222,1,12,12,1x x x ax x x a a x f x x x ⎧⎧+≥+-≥⎪==⎨⎨<<⎪⎩⎩R ∴，解得，1122a a -≤⎧⎨+≥⎩12a ≥故实数的取值范围是a 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭故选：C6．已知，，，则（ ） 0.32=a 0.43b =0.2log 0.3c =A ． B ． a b c >>b c a >>C ． D ．c b a >>b a c >>【答案】D【分析】比较大小，可先与常见的常数进行比较，然后根据函数的单调性进行比较大小 0,1【详解】0.20.2log 0.3log 0.21c =<=0.321a => 0.431b =>则有：,a c b c >>0.30.30.4233a =<<故有： b a c >>故选：D7．已知（ ）sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．1313-79±23【答案】A【分析】由题意可得，，由二倍角公式结合诱导公式代入化简即可求解. 22632πππαα⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭【详解】2sin 2sin 2cos 212sin 63233πππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦. 211121233=-⨯=-⨯=故选：A.8．已知函数是定义在R 上的偶函数，若对于任意不等实数，，，不等式()f x 1x [)20,x ∈+∞恒成立，则不等式的解集为（ ）()()()()12120x x f x f x --<()()21f x f x >-A ．B ．1133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭113x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或C ．D ．113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭1133x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或【答案】C【分析】由条件对于任意不等实数，，不等式恒成立可得1x [)20,x ∈+∞()()()()12120x x f x f x --<函数在上为减函数，利用函数性质化简不等式求其解. ()f x [)0,+∞【详解】∵ 函数是定义在R 上的偶函数， ()f x ∴ ，()()(||)f x f x f x =-=∴ 不等式可化为()()21f x f x >-(|2|)(|1|)f x f x >-∵ 对于任意不等实数，，不等式恒成立， 1x [)20,x ∈+∞()()()()12120x x f x f x --<∴ 函数在上为减函数，又， ()f x [)0,+∞(|2|)(|1|)f x f x >-∴ ，|2||1|x x <-∴ ，113x -<<∴不等式的解集为()()21f x f x >-113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭故选：C.二、多选题9．已知某扇形的周长为，面积为，则该扇形圆心角的弧度数可能是（ ）5cm 23cm 2A ．B ．C ．D ．433432【答案】AC【分析】设出扇形的半径和弧长，先利用扇形面积公式和周长求出半径和弧长，再利用弧长公式进行求解.【详解】设扇形的半径为，所对弧长为， r l 则有，解得或 251322r l lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩322r l ⎧=⎪⎨⎪=⎩13r l =⎧⎨=⎩故或， 43l r α==3故选：AC10．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）A ．与B ．与 ()f x x =()g x =()1f x x =+()211x g x x -=-C ．与 D ．与()xf x x =1,0()1,0x g x x >⎧=⎨-<⎩()1f t t =-()1g x x =-【答案】CD【分析】根据函数相等的两要素：定义域和对应关系相同，进行判断.【详解】对于A ，，所以对应关系不相同，不是同一函数，A 错误；()g x x ==对于B ，定义域为，定义域为，定义域不相同，不是同一函()1f x x =+R ()211x g x x -=-{}|1x x ≠数，B 错误；对于C,当时，当时， 0x >()1xf x x ==0x <()1x f x x-==-所以，是同一函数，C 正确； ()1,01,0x xf x x x >⎧==⎨-<⎩对于D ，定义域都为，对应关系相同，是同一函数，D 正确， R 故选:CD.11．函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，对于函数()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭23π24()g x ，下列说法正确的是（ ）()g xA ．是的一个周期B ．的图象关于直线对称 3π()g x ()g x 7π24x =-C ．在区间上单调递减D ．的图象关于点对称()g x ππ44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，()g x π,024⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】ABD【分析】首先得到函数，计算函数的最小正周期，即可判断A ；再采用代入的()πsin 212g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭方法，根据三角函数的性质，判断BCD. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度后得到函数()f x 23π24， ()23πππsin 2sin 224612g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦A.函数的最小正周期是，所以是的一个周期，故A 正确； 2ππ2=3π()g x B.当时，，的图象关于直线对称， 7π24x =-7πππ224122⎛⎫⨯-+=- ⎪⎝⎭()g x 7π24x =-故B 正确；C. 当，，当时，函数单调递增，当ππ44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，π5π7π2,121212x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦π5ππ2,12122x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦时，函数单调递减，故C 错误；ππ7π2,12212x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦D. ，所以函数的图象关于点对称，故D 正πsin 2sin 00π12π2424g ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎣⎦-⎭-()g x π,024⎛⎫- ⎪⎝⎭确. 故选：ABD12．已知函数，则下列结论正确的是（ ）e 1()e 1x x f x -=+A ．函数的定义域为 B ．函数的值域为 ()f x R ()f x ()11-，C ．函数是奇函数 D ．函数在上为减函数()f x ()f x R 【答案】ABC【分析】根据指数函数的性质，结合偶函数定义、单调性的性质逐一判断即可. 【详解】A ：因为，所以，所以函数的定义域为，故A 正确； e 0x >e 10x +>()f x R B ：，由 e 1()1e 12e 1x x xf x -==-++1e 0e 1101e 1x xx >⇒+>⇒<<+，2220111e 1e 1x x ⇒-<-<⇒-<-<++所以函数的值域为，故B 正确；()f x (1,1)-C ：因为， 11e 11e e ()()1e 1e 11exxx x xx f x f x ------====-+++所以函数是奇函数，所以C 正确；()f x D ：因为函数是增函数，因为，e 1x y =+e 11x y =+>所以函数是减函数， 2e 1x y =+所以函数是增函数，2e 1x y =-+故是增函数，故D 不正确， 2()1e 1xf x =-+故选：ABC.三、填空题 13．__________． ln 24elog 2+=【答案】52【分析】利用对数运算性质即可求解 【详解】ln 24215elog 22log 222+=+=故答案为：5214．已知幂函数为偶函数，则该函数的增区间为_______．()()2155m f x m m x +=-+【答案】[)0,∞+【分析】根据幂函数的定义，结合偶函数的定义求出，然后利用幂函数的性质进行求解m 【详解】因为是幂函数，()21()55m f x m m x +=-+所以或，25511m m m -+=⇒=4m =当时，，因为，所以函数是奇函数，不符合题意， 4m =5()f x x =5(())f x x f x -=--=5()f x x =当时，，因为，所以函数是偶函数，符合题意， 1m =2()f x x =2()()f x x f x -==2()f x x =故该函数的增区间为 [)0,∞+故答案为：[)0,∞+15．某班有40名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为，，，同时参加数学和化学小组的有人，同时参2615136加物理和化学小组的有人，则同时参加数学和物理小组的人数为 _______． 4【答案】4【分析】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，、，根据容斥原理可求出A B C 结果.【详解】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，、，同时参加数学和物理A B C 小组的人数为，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为，如x 0图所示：由图可知：，解得， 206341140x x x -+++++-=4x =所以同时参加数学和化学小组有人. 4故答案为：416．已知都是正实数，满足，记，设，则,x y 1221x y +=+{},max ,,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩{}max 2,2M x xy =M的最小值为_____________. 【答案】2【分析】将用表示，写出分段函数的表达式，利用函数的单调性求最小值即可求解. y x 【详解】由，因为， 222(1)x xy x y -=-,0x y >由可得，因为，所以，1221x y +=+121=-y x 0y >12x >所以当，即时，， 01y <≤1x ≥22x xy >当，即时，， 1y >112x <<22x xy <所以，因为， {}2,1max 2,212,12x x M x xy xy x ≥⎧⎪==⎨<<⎪⎩121=-y x 所以，2,121,1212x x M x x x ≥⎧⎪=⎨<<⎪-⎩当时，， 1x ≥22M x =≥当时，单调递减， 112x <<221111212121x x M x x x -+===+---所以， 1111221211M x =+>+=-⨯-所以的最小值为2， M 故答案为:2.四、解答题17．已知集合，，.{}212270A x x x =-+≤{}27B x x =<<{}211C x m x m =-<<+(1)求；,A B A B (2)若，求m 的取值范围. B C C = 【答案】(1) [)(]3,7,2,9A B A B ⋂=⋃=(2) 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】先求出集合A ，由交集和并集的定义即可得出答案； （2）由可得，讨论和，求解即可.B C C = C B ⊆C =∅C ≠∅【详解】（1），{}212270A x x x =-+≤}{=39x x ≤≤{}27B x x =<<所以. [)(]3,7,2,9A B A B ⋂=⋃=（2）因为，所以， B C C = C B ⊆若，则，解得：，C =∅211m m -≥+2m ≥若，则，解得：， C ≠∅221132122198m m m m m m m <⎧-<+⎧⎪⎪⎪-≥⇒≥⎨⎨⎪⎪+≤⎩≤⎪⎩322m ≤<所以m 的取值范围为：.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭18．在平面直角坐标系中，已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点.αx (4,3)P -(1)求的值；sin(3)2sin 22cos(2)ππααπα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭-(2)求旳值.2cos2cos sin2ααα+【答案】(1) 118(2) 78-【分析】（1）由三角函数定义求出，用诱导公式化简求值式后代入可得； cos ,sin αα(2)根据正、余弦的二倍角公式进行化简,代入角的三角函数值即可. α【详解】（1）由三角函数定义可得:，5r ==所以，. 3sin 5y r α==4cos 5x r α==-.38sin(3)2sin sin 2cos 1125542cos(2)2cos 825ππααααπαα⎛⎫+++--⎪-+⎝⎭===-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭（2）. 22222421cos 22cos 175cos sin 2cos 2sin cos 84342555ααααααα⎛⎫⨯-- ⎪-⎝⎭===-++⎛⎫⎛⎫-+⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19．已知定义在上的函数.R 1()22xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)判断函数的奇偶性；()y f x =(2)若不等式对任意恒成立，求实数m 的取值范围． 2()(1)0f x mx f x ++->x ∈R 【答案】(1)奇函数； (2) {}13m m -<<【分析】（1）利用奇偶函数的定义即可判断； （2）利用函数的单调性和奇偶性列不等式即可【详解】（1）因为， ()11()2222xxxx x f f x --⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪⎝=-⎭=-⎭⎝所以函数是定义在上的奇函数；()y f x =R （2）中，函数单调递减，单调递增，故在上单调1()22x xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭2x y =1()22xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭R 递增，故原不等式化为，2()(1)(1)f x mx f x f x +>--=-∴即恒成立， 21x mx x +>-2(1)10x m x +-+>∴，解得， 2(1)40m ∆=--<13m -<<所以实数m 的取值范围 {}13m m -<<20．已知函数．2()cos 2cos f x x x x =+(1)求函数的对称轴；()f x (2)当时，求函数的值域．π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】(1) ππ(Z);62k x k =+∈(2) []0,3【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式把函数解析式化简为，用整体代入π()2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭法求函数的对称轴； ()f x （2）根据的范围，确定的范围，进而利用正弦函数的性质求得函数的值域. x π26x +【详解】（1） ，2π()cos 2cos 2cos 212sin 216f x x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭由 ，得函数的图像的对称轴方程ππ2π(Z)62x k k +=+∈()f x ππ(Z);62k x k =+∈（2）时，有，得，π02x ≤≤ππ7π2666x ≤+≤1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭∴，得，π12sin 226x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭π02sin 2136x ⎛⎫≤++≤ ⎪⎝⎭所以当时，函数的值域为.π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x []0,321．某手机生产商计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本20万元，每生产（千）部手机，需另投入成本万元，且x ()R x ，由市场调研知，每部手机售价0.05万元，且全年内生产的手机当年210025()90051600,25x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，能全部销售完.(1)求出2023年的利润（万元）关于年产量（千）部的函数关系式；（利润销售额成()W x x =-本）(2)2023年产量为多少时，该生产商所获利润最大?最大利润是多少?【答案】(1) ()24020,025900600,25x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩(2)当(千)部时，最大利润是520万元.30x =【分析】(1)利润销售额另投入成本-固定成本，分段计算整理即可；=-(2)分别计算分段函数的最值，比较得出函数最值.【详解】（1）当，，025x <<()220.05100010204020W x x x x x x =⨯---=-+-当，， 25x ≥()9009000.0510005160020580W x x x x x x=⨯--+-=--+故， ()24020,025900600,25x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩（2）当，对称轴，，025x <<20x =()22020402020380W =-+⨯-=当，， 25x ≥()900580580520380W x x x =--+≤-=>当且仅当，即时取等； 900x x=30x =综上当(千)部时，最大利润是520万元.30x =22．设函数.()2f x x a x =--+(1)当时，求函数的值域；2a =()f x (2)记函数，若方程有三个不同的实数根，，()()()22g x x f x x a x =+++-()0a >()2g x =1x 2x ，且，求正数的取值范围；3x 123x x x <<a (3)在的条件下，若恒成立，求实数m 的取值范围．()22310x x mx ->【答案】(1)；[]4,4-(2)；13a <<(3).2m ≥-【分析】（1）代入，分、、三种情况，去掉绝对值，得到函数解析式，2a =<2x -22x -≤<2x ≥求出各段的值域，即可得出结果；（2）求出.观察可知分为和两种情况，首先解出的解析()2g x x x a a x =-+-02a <≤2a >()g x 式，然后得出函数图象，根据图象得出函数的单调性，以及关于的不等式，求解不等式即可；a（3）由（2）分为和两种讨论.因为始终是方程的两根，所以12a <≤23a <<12,x x 222x a -+=，则原不等式可转化为，即恒成立，只需求出的范围即可.结合图120x x +=()230x x m +>3m x >-3x 象，分类讨论，即可得到实数m 的取值范围．【详解】（1）当时，.2a =()22f x x x =--+当时，；<2x -()224f x x x =-++=当时，，则；22x -≤<()()222f x x x x =--+=-()44f x -≤<当时，.2x ≥()()224f x x x =--+=-所以，，即函数的值域.()44f x -≤≤()f x []4,4-（2）.()()()222g x x f x x a x x x a a x =+++-=-+-①当时：02a <≤当时，；x a <()()()222g x x a x a x x a =-+-=-+当时，；2a x ≤≤()()()2222g x x x a a x x ax a =-+-=-+当时，.2x >()()()222g x x x a a x x a =-+-=-所以.()2222,22,22,2x a x a g x x ax a a x x a x ⎧-+<⎪=-+≤≤⎨⎪->⎩作图如图1则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()g x (),0∞-()0,a (),a +∞所以应有，即，解得， ()()022g g a ⎧>⎪⎨<⎪⎩22222a a a >⎧⎨-+<⎩1a >又，所以；02a <≤12a <≤②当时：2a >当时，；2x <()()()222g x x a x a x x a =-+-=-+当时，；2x a ≤≤()()()2222g x x a x a x x ax a =-+-=-+-当时，.x a >()()()222g x x x a a x x a =-+-=-所以.()2222,222,22,x a x g x x ax a x a x a x a ⎧-+<⎪=-+-≤≤⎨⎪->⎩作图如图2则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()g x (),0∞-()0,2()2,+∞所以应有，即，解得， ()()0222g g ⎧>⎪⎨<⎪⎩22442242a a a a >⎧⎨-+-=-<⎩13a <<又，所以.2a >23a <<综上所述，正数的取值范围是.a 13a <<（3）由（2）可知，①当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 12a <≤()g x (),0∞-()0,a (),a +∞因为，所以为方程的两根，则，，，是()2422g a =-<12,x x 222x a -+=120x x +=10x <20x >3x 方程的正根，则222x a -=3x =则由可转化为恒成立，即恒成立，2310x x mx ->()230x x m +>0m >m>因为，所以，则，则，所以； 12a <≤4226a <+≤2<≤2≤-2m ≥-②当时，同理可得为方程的两根，则，，， 23a <<12,x x 222x a -+=120x x +=10x <20x >在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()g x (),0∞-()0,2()2,+∞， ()()22211g a a a a =-=--（ⅰ）当时，是方程的较小根，()2g a ≥1a ≤3x 2222x ax a -++=在上单调递3x a =()11a =-1=a ∈减，则，. (31x ⎤∈⎦)31,2x ⎡-∈-⎣则由可转化为，即恒成立，即恒成立，所以； 2310x x mx ->()230x x m +>30x m +>3m x >-2m ≥-（ⅱ）当时，即时，是方程的正根，则 ()2g a <21a <<3x 222x a -=3x =则由可转化为恒成立，即恒成立，2310x x mx ->()230x x m +>0m >m >因为，所以，则21a <<+6224a <+<+1<<1<<，所以m ≥综上所述，. 2m ≥-。

2017-2018学年重庆市部分区高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．集合S={1，3}，T={2，3}，则S∩T=（）A．B．C．D．2，【答案】A【解析】根据交集的定义运算即可．【详解】S={1，3}，T={2，3}；∴S∩T={3}．故选：A．【点睛】考查列举法表示集合的定义，以及交集的运算．2．函数y=的定义域为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由分式的分母不为0，求解对数不等式得答案．【详解】解：由l og2x≠0，得x＞0且x≠1．∴函数y=的定义域为（0，1）∪（1，+∞）．故选：C．【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．3．已知α为第二象限角，，则sin2α=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】直接利用同角三角函数的基本关系式，求出cosα，然后利用二倍角公式求解即可．【详解】解：因为α为第二象限角，，所以．所以．故选：A．【点睛】本题考查二倍角的正弦，同角三角函数间的基本关系的应用，考查计算能力．4．设=（5，θ），=（2，），且=λ，则tanθ=（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由=λ知共线，列方程求出θ的值，再计算tanθ的值．【详解】解：设=（5，θ），=（2，），由=λ，则5×2θ=0，解得θ=，∴tanθ=．故选：B．【点睛】本题考查了平面向量的共线定理及坐标表示，是基础题．5．（）A．B．C．D．【答案】A【解析】把sin57°=sin（27°+30°）利用两角和的正弦展开后进行化简即可求解．【详解】.故选：A．【点睛】本题主要考查了利用两角和的正弦公式对三角函数进行化简的应用，属于基础试题．6．设，则函数的零点位于区间（）A．（-1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）【答案】C【解析】利用判断零点所在区间的方法，验证区间端点值的正负即可.故选C.7．设a=（）5，b=ln，c=log23，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用对数函数、指数函数的单调性即可判断出大小关系．【详解】∵a=（）5∈（0，1），b=ln＜0，c=l og23＞1，∴c＞a＞b．故选：D．【点睛】本题考查了对数函数、指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．若=（2，1），=（-4，3），则在方向上的投影为（）A．B．C．1 D．【答案】D【解析】根据向量投影的定义可知，在方向上的投影为，代入即可求解.【详解】∵=（2，1），=（-4，3），则在方向上的投影为，故选：D．【点睛】本题主要考查了平面向量的投影的定义的简单应用，属于基础试题．9．函数f（x）=（m2-m-1）xm是幂函数，且函数f（x）图象不经过原点，则实数m=（）A．B．1 C．2 D．或2【答案】A【解析】由题意利用幂函数的定义和性质可得，由此求得m的值．【详解】解：∵函数f（x）=（m2-m-1）x m是幂函数，且函数f（x）图象不经过原点，∴，求得m=-1，故选：A．【点睛】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．10．要得到函数y=cos（2x+2）的图象，只要将函数y=cos2x的图象（）A．向右平移1个单位B．向左平移1个单位C．向右平移2个单位D．向左平移2个单位【答案】B【解析】由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【详解】将函数y=cos2x的图象向左平移1个单位，可得函数y=cos（2x+2）的图象，故选：B．【点睛】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．11．函数f（x）=1g（3+2x-x2）的单调递减区间是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先求出函数的定义域，再由题意利用复合函数的单调性得，本题即求t=3+2x-x2在定义域（-1，3）内的减区间，再利用二次函数的性质得出结论．【详解】由函数f（x）=1g（3+2x-x2），可得3+2x-x2＞0，求得-1＜x＜3，故函数的定义域为（-1，3），本题即求t=3+2x-x2在定义域内的减区间．由二次函数的性质可得t=3+2x-x2在定义域内的减区间为(1，3），故选：D．【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，属于中档题．12．已知函数f（x）=|lgx|，若f（x）=k有两个不等的实根α，β，则4α+β的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，将f（x）的解析式写成分段函数的形式，设α＜β，分析可得α×β=1，即α=，4α+β=+β，由基本不等式的性质分析可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）=|lgx|=，若f（x）=k有两个不等的实根α，β，设α＜β，则有lgα=-k，lgβ=k，则有α×β=1，即α=，则0＜α＜1＜β，则4α+β=+β≥4，当且仅当β=1时等号成立.又由β＞1，则4α+β＞4， 即4α+β的取值范围是（4，+∞）. 故选：C ． 【点睛】本题考查基本不等式的性质以及对数函数的性质，涉及方程的根的计算，注意β的范围，属于综合题．二、填空题13．设α为锐角，若，则=______．【答案】【解析】由已知直接利用诱导公式化简求值． 【详解】∵，∴.故答案为：． 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．14．当函数sin (02)y x x x π=≤<取得最大值时，x =___________. 【答案】65π 【解析】函数为)3s i n (2c o s 3s i n π-=-=x x x y ，当π20<≤x 时，3533πππ<-≤-x ，由三角函数图象可知，当23ππ=-x ，即65π=x 时取得最大值，所以65π=x . 15．已知函数f （x ）=（a ＞0且a≠1），是R 上的增函数，则a 的取值范围是______．【答案】[，+∞）【解析】根据分段函数的单调性，列出不等式组，求解即可．【详解】函数f（x）=（a＞0且a≠1），是R上的增函数，则，解得≤a，故答案为：[，+∞）．【点睛】考查分段函数在定义域上单调时需满足的条件，以及一次函数、指数函数的单调性．16．如图所示，=2，=2，=m，=n，若m═，则n=______．【答案】【解析】运用平面向量基本定理和三点共线的充要条件即可解出．【详解】根据题意得：又=m，=n，∴∴∵M，P，N三点共线∴又m=，∴n=．故答案为．【点睛】本题考查平面向量基本定理的简单应用．三、解答题17．已知集合A={x|-1≤x≤4}，B={x|m-3≤x≤2m+1}．（Ⅰ）若m=1，求A∩B；（Ⅱ）若A∪B=B，求实数m的取值范围．【答案】（Ⅰ）A∩B={x|-1≤x≤3}（Ⅱ）≤x≤2【解析】（Ⅰ）求出m=1时集合B，再求A∩B；（Ⅱ）根据A∪B=B知A⊆B，由此列出不等式求m的取值范围．【详解】（Ⅰ）集合A={x|-1≤x≤4}，m=1时，B={x|m-3≤x≤2m+1}={x|-2≤x≤3}，A∩B={x|-1≤x≤3}；（Ⅱ）若A∪B=B，则A⊆B；∴，解得≤m≤2，∴实数m的取值范围是≤x≤2．【点睛】本题考查了集合的运算与应用问题，是基础题．18．已知tan（π-a）=-2，α为第一象限角，求下列各式的值：（Ⅰ）cosα：（Ⅱ）sin2α+sin2α．【答案】（Ⅰ）cosα=（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由已知求得tanα，与平方关系联立求得cosα；（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．解：（Ⅰ）∵tan（π-α）=-2，∴tanα=2，联立，得或．又α为第一象限角，∴cosα=：（Ⅱ）sin2α+sin2α===．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．19．已知||=1，||=2，（-）•（2+3）=-9．（Ⅰ）求与的夹角；（Ⅱ）求|-2|的值．【答案】（Ⅰ）60°（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由||=1，||=2，（-）•（2+3）=-9．求出=1，由此能求出与的夹角．（Ⅱ）|-2|=，由此能求出结果．【详解】解：（Ⅰ）∵||=1，||=2，（-）•（2+3）=-9．∴（-）•（2+3）==2+-12=-9．解得=1，∴cos＜＞===，∴与的夹角为60°．（Ⅱ）|-2|====．本题考查向量的夹角、向量的模的求法，考查向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力,是基础题．20．为纪念重庆黑山谷晋升国家5A级景区五周年，特发行黑山谷纪念邮票，从2017年11月1日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念邮票在一周内每1张的市场价y （单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：（Ⅰ）分析上表数据，说明黑山谷纪念邮票的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的变化关系，并判断y与x满足下列哪种函数关系，①一次函数；②二次函数；③对数函数，并求出函数的解析式；（Ⅱ）利用你选取的函数，求黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市天数及最低的价格．【答案】（1）f（x）=x2﹣6x+10(x≥0)；（2）黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市为第3天，最低的价格为1元.【解析】（Ⅰ）根据y的变化趋势可知函数不单调，从而选择②，利用待定系数法求出解析式，（Ⅱ）根据二次函数的性质得出最小值及其对应的时间；【详解】（Ⅰ）由于市场价y随上市时间x的增大先减小后增大，而模型①③均为单调函数，不符合题意，故选择二次函数模型②，设f（x）=ax2+bx+c由表中数据可知，解得a=1，b=﹣6，c=10，∴f（x）=x2﹣6x+10(x≥0)，（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x2﹣6x+10=（x﹣3）2+1，当x=3时，黑山谷纪念邮票市场价最低，最低为1元，故黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市为第3天，最低的价格为1元【点睛】本题考查了函数模型的选择和应用，二次函数的性质与应用，属于中档题．21．已知函数f（x）=sinxcosx+cos2x-．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）将函数f（x）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象．若关于x的方程g（x）-k=0，在区间[0，]上有实数解，求实数k的取值范围．【答案】（Ⅰ）最小正周期为，单调递增区间为[-+kπ，+kπ]，k∈Z（Ⅱ）[，1]【解析】（Ⅰ）先化简f（x），根据三角形的函数的最小正周期的定义和函数的图象和性质即可求出，（Ⅱ）根据图象的变换可得g（x），求出g（x）的值域即可求出k的范围．【详解】（Ⅰ）f（x）=sin x cosx+cos2x-=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴函数f（x）的最小正周期为T==π，由-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，∴-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，故函数f（x）的单调递增区间为+kπ，+kπ]，k∈Z，（Ⅱ）将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到g（x）=sin（x+），∵0≤x≤,∴≤x≤，∴≤sin（x+）≤1，∴≤g（x）≤1∴关于x的方程g（x）-k=0，在区间[0，]上有实数解，即图象g（x）与y=k，有交点，∴≤k≤1，故k的取值范围为[，1]．【点睛】本题考查了三角函数图象及性质的运用能力和化简能力，平移变换的规律，数形结合法的应用．综合性强，属于中档题．22．已知函数f（x）=-x2+2mx+7．（Ⅰ）已知函数y=（x）在区间[1，3]上的最小值为4，求m的值；（Ⅱ）若不等式f（x）≤x2-6x+11在区间[1，2]上恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（Ⅰ）m=1（Ⅱ）m≤2-3【解析】（Ⅰ）利用函数的性质可求得最值；（Ⅱ）利用函数的最值可解决此问题．【详解】（Ⅰ）函数对称轴x=m，且抛物线开口向下.当m≤2时，y min=-32+6m+7=4∴m=1；当m≥2时，y min=-12+2m+7=4∴m=-1（舍）；∴m=1；（Ⅱ）∵不等式f（x）≤x2-6x+11在区间[1，2]上恒成立∴-x2+2mx+7≤x2-6x+11在区间[1，2]上恒成立即m≤x-3+∴m≤（x+-3）min令g(x)=x+-3,易知∴m≤2-3．【点睛】本题主要考查了二次函数的最值及不等式恒成立问题，对于不等式恒成立常用的处理方法为变量分离，转化为参数与函数的最值问题，属于中档题.。

重庆市南开中学高一（上）期末数学模拟试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜3}，那么P ∪Q=（）A．（﹣1，2）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（﹣1，3）2．（5分）函数f（x）=x2﹣2x+2在区间（0，4]的值域为（）A．（2，10]B．[1，10]C．（1，10]D．[2，10]3．（5分）（log29）•（log34）=（）A．B．C．2 D．44．（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A．=（0，0），=（1，2）B．=（﹣1，2），=（5，﹣2）C．=（3，5），=（6，10）D．=（2，﹣3），=（﹣2，3）5．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．[1，10]B．[1，2）∪（2，10]C．（1，10]D．（1，2）∪（2，10]6．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度7．（5分）已知函数f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），当x∈（﹣∞，1]时，函数f（x）单调递减，设a=f（﹣），b=f（﹣1），c=f （2），则a、b、c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a8．（5分）若O为△ABC所在平面内任一点，且满足（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形9．（5分）设向量=（cosx，﹣sinx），=（﹣cos（﹣x），cosx），且=t，t≠0，则sin2x值（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．010．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（﹣）D．y=2sin（2x﹣）11．（5分）已知在△ABC中，D是AB边上的一点，=λ（+），||=2，||=1，若=，=，则用，表示为（）A．+B．+C．+D．﹣12．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足条件：存在[a ，b ]⊆D ，使f （x ）在[a ，b ]上的值域是[，]，则称f （x ）为“倍缩函数”，若函数f （x ）=log 2（2x +t ）为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是（ ）A ．（0，）B ．（﹣∞，）C ．（0，]D ．（﹣∞，]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设一扇形的弧长为4cm ，面积为4cm 2，则这个扇形的圆心角的弧度数是 ．14．（5分）若tanα=﹣，则sin 2α+2sinαcosα的值为 ．15．（5分）已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，若对于x ≥0，都有f （x +2）=﹣，且当x ∈[0，2）时，f （x ）=log 2（x +1），则f （﹣2017）+f （2019）= ．16．（5分）已知函数（），若函数F （x ）=f （x ）﹣3的所有零点依次记为x 1，x 2，x 3，…，x n ，且x 1＜x 2＜x 3＜…＜x n ，则x 1+2x 2+2x 3+…+2x n ﹣1+x n = ．三、简答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合A={x |x 2﹣6x +5＜0}，C={x |3a ﹣2＜x ＜4a ﹣3}，若C ⊆A ，求a 的取值范围．18．（12分）已知cosα=，cos （α﹣β）=，且0＜β＜α＜， （1）求tan2α的值；（2）求β．19．（12分）已知（x∈R，a∈R，a是常数），且（其中O为坐标原点）．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）若时，f（x）的最大值为4，求a的值．20．（12分）若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：=+．（1）求△ABM与△ABC的面积之比．（2）若N为AB中点，AM与CN交于点O，设=x+y，求x，y的值．21．（12分）某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y（单位：万元）随年产值x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%．（1）若某企业产值100万元，核定可得9万元奖金，试分析函数y=lgx+kx+5（k为常数）是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因（已知lg2≈0.3，lg5≈0.7）；（2）若采用函数f（x）=作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．22．（12分）已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）确定y=g（x），y=f（x）的解析式；（2）若h（x）=f（x）+a在（﹣1，1）上有零点，求a的取值范围；（3）若对任意的t∈（﹣4，4），不等式f（6t﹣3）+f（t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜3}，那么P ∪Q=（）A．（﹣1，2）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（﹣1，3）【解答】解：集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜3}，那么P∪Q={x|﹣1＜x＜3}=（﹣1，3）．故选：D．2．（5分）函数f（x）=x2﹣2x+2在区间（0，4]的值域为（）A．（2，10]B．[1，10]C．（1，10]D．[2，10]【解答】解：函数f（x）=x2﹣2x+2的图象是开口朝上，且以直线x=1为对称轴的抛物线，故函数f（x）=x2﹣2x+2在区间（0，1]为减函数，在[1，4]上为增函数，故当x=1时，函数f（x）取最小值1；当x=4时，函数f（x）取最大值10；故函数f（x）=x2﹣2x+2在区间（0，4]的值域为[1，10]，故选：B．3．（5分）（log29）•（log34）=（）A．B．C．2 D．4【解答】解：（log29）•（log34）===4．故选D．4．（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A．=（0，0），=（1，2）B．=（﹣1，2），=（5，﹣2）C．=（3，5），=（6，10）D．=（2，﹣3），=（﹣2，3）【解答】解：根据，选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能．选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C不能．选项D：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能．故选：B．5．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．[1，10]B．[1，2）∪（2，10]C．（1，10]D．（1，2）∪（2，10]【解答】解：函数f（x）=有意义，可得，即为，则1＜x≤10，且x≠2，故选：D．6．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）的图象，故选：D．7．（5分）已知函数f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），当x∈（﹣∞，1]时，函数f（x）单调递减，设a=f（﹣），b=f（﹣1），c=f （2），则a、b、c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a【解答】解：由f（1﹣x）=f（1+x），得函数关于x=1对称，则c=f（2）=f（1+1）=f（1﹣1）=f（0），∵当x∈（﹣∞，1]时，函数f（x）单调递减，且﹣1＜﹣＜0，∴f（﹣1）＞f（﹣）＞f（0），即c＜a＜b，故选：A8．（5分）若O为△ABC所在平面内任一点，且满足（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形【解答】解：因为（﹣）•（+﹣2）=0，即•（+）=0；又因为﹣=，所以（﹣）•（+）=0，即||=||，所以△ABC是等腰三角形．故选：A．9．（5分）设向量=（cosx，﹣sinx），=（﹣cos（﹣x），cosx），且=t，t≠0，则sin2x值（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．0【解答】解：∵=t，t≠0，∴sinx•﹣cosxcosx=0，化为：tanx=±1．则sin2x====±1．故选：C．10．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（﹣）D．y=2sin（2x﹣）【解答】解：由已知可得函数y=Asin（ωx+ϕ）的图象经过（﹣，2）点和（﹣，2）则A=2，T=π即ω=2则函数的解析式可化为y=2sin（2x+ϕ），将（﹣，2）代入得﹣+ϕ=+2kπ，k∈Z，即φ=+2kπ，k∈Z，当k=0时，φ=此时故选A11．（5分）已知在△ABC中，D是AB边上的一点，=λ（+），||=2，||=1，若=，=，则用，表示为（）A．+B．+C．+D．﹣【解答】解：∵=λ（+），∴为∠ACB角平分线方向，根据角平分线定理可知：=，∴=．∴===．故选：A．12．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，则称f （x）为“倍缩函数”，若函数f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是（）A．（0，）B．（﹣∞，） C．（0，]D．（﹣∞，]【解答】解：∵函数f（x）=f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，且满足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，∴f（x）在[a，b]上是增函数；∴，即，∴a，b是方程2x﹣+t=0的两个根，设m==，则m＞0，此时方程为m2﹣m+t=0即方程有两个不等的实根，且两根都大于0；∴，解得：0＜t＜，∴满足条件t的范围是（0，），故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设一扇形的弧长为4cm，面积为4cm2，则这个扇形的圆心角的弧度数是2．【解答】解：因为扇形的弧长l为4，面积S为4，所以扇形的半径r为：r=4，r=2，则扇形的圆心角α的弧度数为=2．故答案为：2．14．（5分）若tanα=﹣，则sin2α+2sinαcosα的值为．【解答】解：∵tanα=﹣，∴sin2α+2sinαcosα===．故答案为：．15．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若对于x ≥0，都有f（x+2）=﹣，且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（﹣2017）+f（2019）=0．【解答】解：对于x≥0，都有f（x+2）=﹣，∴f（x+4）=﹣=﹣=f（x），即当x≥0时，函数f（x）是周期为4的周期函数，∵当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），∴f（﹣2017）=f（2017）=f（504×4+1）=f（1）=log22=1，f（2019）=f（504×4+3）=f（3）=f（2+1）=﹣=﹣1，则f（﹣2017）+f（2019）=﹣1+1=0，故答案为：0．16．（5分）已知函数（），若函数F（x）=f（x）﹣3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，x n，且x1＜x2＜x3＜…＜x n，则x1+2x2+2x3+…+2x n﹣1+x n=445π．【解答】解：令2x+=+kπ得x=+，k∈Z，即f（x）的对称轴方程为x=+，k∈Z．∵f（x）的最小正周期为T=π，，∴f（x）在（0，）上有30条对称轴，∴x1+x2=2×，x2+x3=2×，x3+x4=2×，…，x n﹣1+x n=2×，将以上各式相加得：x1+2x2+2x3+…+2x n﹣1+x n=2×（+++…+）=2××30=445π．故答案为：445π．三、简答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合A={x|x2﹣6x+5＜0}，C={x|3a﹣2＜x＜4a ﹣3}，若C⊆A，求a的取值范围．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣6x+5＜0}={x|1＜x＜5}，C={x|3a﹣2＜x＜4a﹣3}，C⊆A，∴当C=∅时，3a﹣2≥4a﹣3，解得a≤1；当C≠∅时，a＞1，∴．解得1＜a≤2．综上所述：a的取值范围是（﹣∞，2]．18．（12分）已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求β．【解答】解：（1）由0＜β＜α＜，cosα=，可得sinα=，∴tan=，则tan2α==﹣；（2）由cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，得sin（α﹣β）==，可得，cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=∴．19．（12分）已知（x∈R，a∈R，a是常数），且（其中O为坐标原点）．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）若时，f（x）的最大值为4，求a的值．【解答】解：（1）∵已知（x∈R，a ∈R，a是常数），且（其中O为坐标原点），∴f（x）=1+cos2x+sin2x+a=2sin（2x+）+a+1，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数f（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（2）当时，2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣=时，f（x）取得最大值为a+3=4，∴a=1．20．（12分）若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：=+．（1）求△ABM与△ABC的面积之比．（2）若N为AB中点，AM与CN交于点O，设=x+y，求x，y的值．【解答】解（1）由，可知M、B、C三点共线．如图令==，∴，即面积之比为1：4．（2）由，，由O、M、A三点共线及O、N、C三点共线21．（12分）某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y（单位：万元）随年产值x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%．（1）若某企业产值100万元，核定可得9万元奖金，试分析函数y=lgx+kx+5（k为常数）是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因（已知lg2≈0.3，lg5≈0.7）；（2）若采用函数f（x）=作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．【解答】解：（1）对于函数模型y=lgx+kx+5 （k 为常数），x=100时，y=9，代入解得k=，所以y=lgx++5．当x∈[50，500]时，y=lgx++5是增函数，但x=50时，f（50）=lg50+6＞7.5，即奖金不超过年产值的15%不成立，故该函数模型不符合要求；（2）对于函数模型f（x）==15﹣a为正整数，函数在[50，500]递增；f（x）min=f（50）≥7，解得a≤344；要使f（x）≤0.15x对x∈[50，500]恒成立，即a≥﹣0.15x2+13.8x 对x∈[50，500]恒成立，所以a≥315．综上所述，315≤a≤344，所以满足条件的最小的正整数a的值为315．22．（12分）已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）确定y=g（x），y=f（x）的解析式；（2）若h（x）=f（x）+a在（﹣1，1）上有零点，求a的取值范围；（3）若对任意的t∈（﹣4，4），不等式f（6t﹣3）+f（t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．【解答】（本小题12分）（1）设g（x）=a x（a＞0且a≠1），∵g（3）=8，∴a3=8，解得a=2．∴g（x）=2x．…（1分）∴，∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，∴=0，∴n=1，∴又f（﹣1）=f（1），∴=，解得m=2 ∴．…（3分）（2）由（1）知，易知f（x）在R上为减函数，…（4分）又h（x）=f（x）+a在（﹣1，1）上有零点，从而h（﹣1）h（1）＜0，即，…（6分）∴（a+）（a﹣）＜0，∴﹣＜a＜，∴a的取值范围为（﹣，）；…（8分）（3）由（1）知，又f（x）是奇函数，∴f（6t﹣3）+f（t2﹣k）＜0，∴f（6t﹣3）＜﹣f（t2﹣k）=f（k﹣t2），∵f（x）在R上为减函数，由上式得6t﹣3＞k﹣t2，…（10分）即对一切t∈（﹣4，4），有t2+6t﹣3＞k恒成立，令m（t）=t2+6t﹣3，t∈（﹣4，4），易知m（t）＞﹣12，…（11分）∴k＜﹣12，即实数k的取值范围是（﹣∞，﹣12）．…（12分）。

重庆市2017—2018学年高一数学上学期期末考试试卷（三）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（5*12=60分）1．已知3∈{1，a，a﹣2}，则实数a的值为（）A．3 B．5 C．3或5 D．无解2．若集合，则∁R A=（）A．（，+∞）B．（﹣∞，0]∪（，+∞）C．（﹣∞，0]∪[，+∞）D．[，+∞）3．已知函数：①y=2x；②y=log2x；③y=x﹣1；④y=．则下列函数图象（在第一象限部分）从左到右依次与函数序号的正确对应顺序是（）A．②①③④B．②③①④C．④①③②D．④③①②4．已知函数f（x）=，则f（2）=（）A．32 B．16 C．D．5．已知两直线l1：x+my+3=0，l2：（m﹣1）x+2my+2m=0，若l1∥l2，则m的值为（）A．0 B．﹣1或 C．3 D．0或36．计算log3+lg25+lg4+7+（﹣9.8）0值为（）A．6 B．8 C．D．7．设函数f（x）=log a x（a＞0且a≠1），若f（x1x2…x2017）=8，则f（x12）+f（x22）+…+f（x20172）的值等于（）A．2log a8 B．16 C．8 D．48．已知圆锥的表面积为6，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（）A．B．C．D．9．给出下列结论：①=±2；②y=x2+1，x∈[﹣1，2]，y的值域是[2，5]；③幂函数图象一定不过第四象限；④函数f（x）=a x+1﹣2（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，﹣1）；⑤若lna＜1成立，则a的取值范围是（﹣∞，e）．其中正确的序号是（）A．①②B．③④C．①④D．③④⑤10．已知偶函数f（x）在（0，+∞）上递减，已知a=0.2，b=log0.2，c= 0.2，则f（a），f（b），f（c）大小为（）A．f（a）＞f（b）＞f（c） B．f（a）＞f（c）＞f（b）C．f（b）＞f（a）＞f （c）D．f（c）＞f（a）＞f（b）11．设两条直线的方程分别为x+y+a=0和x+y+b=0，已知a、b是关于x的方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线间距离的最大值为（）A．B．C．D．12．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程f i （x）（i=1，2，3，4），关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为f1（x）=2x﹣1，f2（x）=x3，f3（x）=x，f4（x）=log2（x+1），有以下结论：①当x＞1时，甲走在最前面；②当x＞1时，乙走在最前面；③当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确的序号为（）A．①②B．①②③④C．②③④⑤D．③④⑤二、填空题（5*4=20分）13．设集合M={（x，y）|y=x2}，N={（x，y）|y=2x}，则集合M∩N的子集的个数为个．14．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0，则直线AB的一般方程是．15．已知直线l：5x+12y=60，则直线上的点与原点的距离的最小值等于．16．某几何体的正视图与俯视图如图所示，若俯视图中的多边形为正六边形，则该几何体的侧视图的面积为．三、解答题（共70分）17．已知函数f（x）=+lg（3﹣x）的定义域为集合A，集合B={x|1﹣m＜x ＜3m﹣1}．（1）求集合A，（2）若A∩B=B，求实数m的取值范围．18．如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（1）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标；（2）在△ACD中，求CD边上的高线所在直线方程．19．已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）为二次函数，且满足f（2）=1，f（x）在x轴上的两个交点为（1，0）、（3，0）．（1）求函数f（x）在R上的解析式；（2）作出f（x）的图象，并根据图象写出f（x）的单调区间．20．已知函数f（x）=，（1）求函数f（x）的零点；（2）g（x）=f（x）﹣a 若函数g（x）有四个零点，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，记g（x）得四个零点从左到右分别为x1，x2，x3，x4，求x1+x2+x3x4值．21．如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=2，AB=4．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（II）求证：AC⊥平面BCE；（Ⅲ）求二面角F﹣BC﹣D平面角的余弦值．22．如图，已知长方形ABCD中，AB=2AD，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（1）求证：AD⊥BM；（2）若点E是线段DB上的中点，四棱锥D﹣ABCM的体积为V，求三棱锥E﹣ADM的体积．参考答案一、单项选择题1．B2．B．3．D．4．C．5．A．6．D．7．B8．A．9．B．10．B．11．B．12．C．二、填空题13．答案为：8．14．答案为：3x﹣y=0．15．答案为：．16．答案为：三、解答题17．解：（1）由题意，，∴﹣2＜x＜3，∴A={x|﹣2＜x＜3}；（2）若A∩B=B，则B⊆A，①B=∅，1﹣m，∴m≤；②B≠∅，，∴，综上所述，m．18．解：（1）=（1，5），设D（x，y），则=（x﹣2，y﹣3）=（1，5），故，解得：，故D（3，8）；（2）k CD==5，故CD的高线的斜率是﹣，故所求直线的方程是：y﹣4=﹣（x+1），即x+5y﹣19=0．19．解：（1）x＞0时，f（x）在x轴上的两个交点为（1，0）、（3，0），设f（x）=a（x﹣1）（x﹣3），将（2，1）代入f（x）求出a=﹣1，故x＞0时，f（x）=﹣x2+4x﹣3，而f（x）为定义在R上的奇函数，故x=0时，f（x）=0，x＜0时，f（x）=x2+4x+3，故f（x）=；（2）由f（x）的解析式得函数图象，如图所示：结合图象得：增区间（﹣2，0），（0，2）；减区间（﹣∞，﹣2），（2，+∞）．20．解：（1）函数f（x）=，当x＞0时，由|lnx|=0解得x=1，当x≤0时，由x2+4x+1=0解得x=﹣2+或x=﹣2﹣，可得函数的零点为1，﹣2+或﹣2﹣；（2）g（x）=f（x）﹣a 若函数g（x）有四个零点，即为f（x）=a有四个不等实根，画出函数y=f（x）的图象，由图象可得当0＜a≤1时，f（x）的图象和直线y=a有四个交点，故函数g（x）有四个零点时a的取值范围是0＜a≤1；（3）由y=x2+4x+1的对称轴为x=﹣2，可得x1+x2=﹣4，由|lnx3|=|lnx4|=a，即﹣lnx3=lnx4，即为lnx3+lnx4=0则x3x4=1，故x1+x2+x3x4=﹣3．21．解：（I）因为四边形ABEF为矩形，所以AF∥BE，BE⊂平面BCE，AF⊄平面BCE，所以AF∥平面BCE．（II）过C作CM⊥AB，垂足为M，因为AD⊥DC所以四边形ADCM为矩形．所以AM=MB=2，又因为AD=2，AB=4所以AC=2，CM=2，BC=2所以AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC；因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC，又因为BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BE∩BC=B所以AC⊥平面BCE．（III）∵FA⊥面ABCD，AC⊥BC，∴∠FCA为二面角F﹣BC﹣D平面角的平面角，在Rt△AFC中，cos∠ACF=二面角F﹣BC﹣D平面角的余弦值为22．（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=2AD，M为DC的中点，∴AM=BM，则BM⊥AM，∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM，∴BM⊥平面ADM，∵AD⊂平面ADM，∴AD⊥BM；（2）解：当E为DB的中点时，∵，∴===．。