重庆南开中学高2018级高一(上)期中考试数学试题及答案

重庆南开中学高2018级高一(上)期中考试数学(试题+答案)重庆南开中学高2018级高一（上）期中考试数 学 试 题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1.下列说法正确的是（ ）A. N ∈-1B.Q ∈2 C. π∉R D. Z ⊆∅2.已知全集R,U = 集合{}1,2,3,4,5A =,{|2}B x x =∈≥R ，则右图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. {1} B ．{0,1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}3.给定映射f ：()(),2,2x y x y x y →+-，在映射f 下(3,1)的原像为（ ）A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(1,1)D ．(5,5)4.“2x y +>”是“1>x 且1y >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（ ）A ．3(,)2+∞B ．(0,)+∞C ．3(0,)2D ．3(,3)211.已知集合}0,,,,0|{},032|{22≠∈≤++=>--=ac R c b a c bx ax x B x xx A ，若(]4,3=B A I ，R B A =Y ，则22c a a b +的最小值是（ ）A ．3B ．32C ．1D ．3412.设集合{|16,}A x x x N =≤≤∈，对于A 的每个非空子集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数（如：{1,2,5}的“交替和”是5214-+=，{3}的“交替和”就是3）.则集合A 的所有这些“交替和”的总和为（ ）A. 128B. 192C. 224D. 256第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.13.设2,(2015)()(5),(2015)x x f x f x x +≤⎧=⎨->⎩，则(2018)f = ．14. 计算：135342=— ．15. 函数x x x f --=12)(的值域为 ．16. 若函数122)(2---+=x a x x x f 的图象与x 轴恰有四个不同的交点，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17.（10分）已知集合3{|1}A x x=<，集合{|213}B x x =-<． （Ⅰ）分别求集合A 、B ； （Ⅱ）求()R CA B I ．18．（12分）已知函数()f x 的定义域为(0,4)，函数()1g x x =-的定义域为集合A ，集合{}21B x a x a =<<-，若A B B =I,求实数a的取值范围﹒19. （12分） 已知函数23()1x f x x +=+﹒（Ⅰ）求函数()f x 在区间[]0,2上的最值； （Ⅱ）若关于x 的方程(1)()0x f x ax +-=在区间(1,4)内有两个不等实根，求实数a 的取值范围﹒20. （12分）已知二次函数()f x 的图象过点(0,4)，对任意x 满足(3)()f x f x -=，且有最小值74﹒（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）求函数()()(23)h x f x t x =--在[]0,1上的最小值()g t ﹒21. （12分）已知函数()f x 对任意实数,x y 恒有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x <，且(1)2f =-﹒ （Ⅰ）判断()f x 的奇偶性；（Ⅱ）求()f x 在区间[]2,2-上的最大值； （Ⅲ）解关于x 的不等式2()2()()4f ax f x f ax -<+﹒22. 对于函数()y f x =与常数,a b ，若(2)()f x af x b =+恒成立，则称(,)a b 为函数)(x f 的一个“P 数对”；设函数)(x f 的定义域为R +，且(1)3f =．（Ⅰ）若(,)a b 是)(x f 的一个“P 数对”，且,9)4(,6)2(==f f 求常数,a b 的值；（Ⅱ）若(2,0)-是()f x 的一个“P 数对”，且当[1,2)x ∈时()f x =23k x --，求k 的值及()f x 在区间[1,2)n(*)N n ∈上的最大值与最小值．重庆南开中学高2018级高一（上）期中考试数 学 试 题 参 考 答 案一、选择题（每小题5分）DACBC CCBAA BB二、填空题（每小题5分）13．2015 14．2 15．(,2]-∞ 16．),6()2,0(+∞Y三、解答题（共70分）17．（Ⅰ）{|03}A x x x =<>或，{|12}B x x =-<<﹒（Ⅱ）(){|02}R C A B x x =≤<I ﹒18．{|13}A x x =<<，由A B B =I 得B A ⊆① 当B =∅时，211a a a ≥-⇒≤；②当B ≠∅时，2111122132a a a a a a a <-⇒>⎧⎪≥⇒<≤⎨⎪-≤⇒≤⎩；综上，实数a 的取值范围为(,2]-∞﹒19．（Ⅰ）令1,[1,3]x t t +=∈，则2232442[2,3]1x t t y t x t t +-+===+-∈+ 即min ()2f x =，max ()3f x =﹒（Ⅱ）由条件，230xax -+=在区间(1,4)内有两个不等实根，令2()3h x x ax =-+，则2(1)0(4)034120142h h a a a >⎧⎪>⎪⎪⇒<<⎨∆=->⎪⎪<<⎪⎩﹒20．（Ⅰ）2()34f x x x =-+﹒（Ⅱ）2()24h x x tx =-+，240()401521t g t t t t t ≤⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩﹒21．（Ⅰ）令0x y ==，得(0)0f =；令y x =-，得(0)()()0f f x f x =+-=故()f x 为R 上的奇函数﹒（Ⅱ）任取x R ∈，对任意的0h >，则()0f h <，又()()()()f x h f x f h f x +=+<，故()f x 在R 上单调递减；又(2)(1)(1)4(2)(2)4f f f f f =+=-⇒-=-=，故()f x 在区间[]2,2-上的最大值为(2)4f -=﹒ （Ⅲ）由条件， 22()2()()4(2)(2)f ax f x f ax f ax x f ax -<+⇔-<- 222(2)(1)0ax x ax ax x ⇔->-⇔-->（1）当0a =时，解集为(,1)-∞； （2）当0a ≠时，122,1x x a == ①当21a >即02a <<时，解集为2(,1)(,)a-∞+∞U ； ②当21a =即2a =时，解集为(,1)(1,)-∞+∞U ；③当21a <即2a >或0a <时，若2a >，解集为2(,)(1,)a -∞+∞U ；若0a <，解集为2(,1)a ﹒22．（Ⅰ）由题意知⎩⎨⎧=+=+)4()2()2()1(f b af f b af ，即⎩⎨⎧=+=+9663b a b a ，解得：⎩⎨⎧==31b a （Ⅱ）当[1,2)x ∈时，()|23|f x k x =--，令1x =，可得(1)13f k =-=，解得4k =，所以，[1,2)x ∈时，()4|23|f x x =--，故()f x 在[1,2)上的值域是[3,4]． 又(2,0)-是()f x 的一个“P 数对”，故(2)2()f x f x =-恒成立，当1[2,2)k k x -∈(*)N k ∈时，1[1,2)2k x-∈， ()2()4()24x x f x f f =-==…11(2)()2k k xf --=-，故k 为奇数时，()f x 在1[2,2)k k -上的取值范围是11[32,2]k k -+⨯； 当k 为偶数时，()f x 在1[2,2)k k -上的取值范围是11[2,32]k k +---⨯． 所以当1n =时，()f x 在[1,2)n 上的最大值为4，最小值为3； 当3n ≥且为奇数时，()f x 在[1,2)n 上的最大值为12n +，最小值为2n -； 当n 为偶数时，()f x 在[1,2)n 上的最大值为2n ，最小值为12n +-．。

2018-2019学年重庆市南开中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={-1，1，2}，集合B={x|x∈A且2-x∉A}，则B=（）A. {−1}B. {2}C. {−1,2}D. {1,2}2.函数y=x(3−x)+x−1的定义域为（）A. [0,3]B. [1,3]C. [3,+∞]D. (1,3]3.下列各组的两个函数为相等函数的是（）A. f(x)=x−1x+1，g(x)=(x−1)(x+1)B. f(x)=(2，g(x)=2x−5C. f(x)=1−xx+1，g(x)=1+xx+1D. f(x)=(x)4x ，g(x)=(t)24.已知函数f（12x-1）=2x-1，且f（a）=5，则a=（）A. −12B. 12C. 2D. 15.函数y=3−x2x+1的图象为（）A. B.C. D.6.已知函数f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=4-x+x，则f（-12）=（）A. −1B. 0C. 1D. 327.函数f（x）=2x-3x+1，x∈（-34，3）的值域为（）A. [−2,0)B. (−3,0)C. [−258,0) D. [−278,0)8.已知f（x）是奇函数且在R上的单调递减，若方程f（x2+1）+f（m-x）=0只有一个实数解，则实数m的值是（）A. −78B. −34C. 14D. 189.已知开口向上的二次函数f（x）对任意x∈R都满足f（3-x）=f（x），若f（x）在区间（a，2a-1）上单调递减，则实数a的取值范围为（）A. (−∞,54] B. (1,54] C. [−32,+∞) D. (−∞,2]10. 已知f （x ）是定义在（-∞，+∞）上的偶函数，若f （x ）对任意的x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2）都满足f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2＞0，则不等式f （x +1）-f （2x -1）＜0的解集为（ ）A. (0,2)B. (−2,+∞)C. (−∞,0)∪(2,+∞)D. (−∞,−2)11. 已知函数f （x ）=2x 2+（4-m ）x +4-m ，g （x ）=mx 若存在实数x ，使得f （x ）与g （x ）均不是正数，则实数m 的取值范围是（ ） A. m ≥4 B. −2≤m ≤4 C. m ≥2 D. −3≤m ≤−112. 已知函数f （x ）= x 2−x ,x <0−x 2+x ,x≥0，若关于x 的不等式[f （x ）]2+af （x ）-b 2＜0恰有一个整数解，则实数a 的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知f （x ）= −2x ，x ≥01x，x ＜0，则f （f （12））=______ 14. 函数f （x ）=x |x -2|的单调减区间为______．15. 设函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，f （-2）=0，若f （x ）在（0，+∞）单调递减，则不等式（x +1）f （x -1）＞0的解集为______．16. 已知函数f （x ）对任意的实数x ，y 都满足f （x +y ）+f （x -y ）=2f （x ）f （y ）且f （1）=12，则f （2）+f （-2）的值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知集合A ={x ||x -1|≤2}，B ={x |x−1x +3＞0}，C ={x |2m -1≤x ≤m +1}，其中m ∈R ．（1）设全集为R ，求A ∩（∁R B ）；（2）若A ∪B ∪C =R ，求实数m 的取值范围．18. （1）计算：2−1+（3-2 2）0-（94）-0.5+4( 2−π)4．（2）设a ＞0，化简：4 a −3 a 4a 4；（3）若x 12+x−12= 6，求x +x −1−1x +x −2的值．19.已知函数f（x）=ax+bx2+1是定义在[-2，2]上的奇函数，且f（12）=45．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数y=f（x）+4x2+1的值域．20.已知集合A={x|x2+（2a-2）x-3a+4=0，a∈R}，B={x|x2-3x+2=0}，C={x|x2+x-6＜0}．（1）若A∩B≠∅，求实数a的取值集合；（2）若A⊆C，求实数a的取值范围．21.定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y）对所有的正数x、y都成立，f（2）=-1且当x＞1，f（x）＜0．（1）求f（1）的值（2）判断并证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性（3）若关于x的不等式f（kx）-f（x2-kx+1）≥1在（0，+∞）上恒成立，求实数k 的取值范围22.已知a≥3，函数F（x）=min{2|x-1|，x2-2ax+4a-2}，其中min（p，q）=q,p>qp,p≤q （Ⅰ）求使得等式F（x）=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围（Ⅱ）（i）求F（x）的最小值m（a）（ii）求F（x）在[0，6]上的最大值M（a）答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合B={x|x∈A且2-x∉A}，集合A={-1，1，2}，当x=-1时，可得2-（-1）=3∉A；当x=1时，可得2-1=1∈A；当x=2时，可得2-2=0∉A；∴B={-1，2}；故选：C．根据元素与集合的关系进行判断本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：由题意得：，解得：1＜x≤3，故选：D．根据二次函数的性质得到函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．3.【答案】D【解析】解：A.的定义域为{x|x≥1}，的定义域为{x|x≤-1，或x≥1}，定义域不同，两函数不相等；B.的定义域为，g（x）=2x-5的定义域为R，定义域不同，不相等；C.，解析式不同，不相等；D.的定义域为（0，+∞），的定义域为（0，+∞），定义域和解析式都相同，相等．故选：D．通过求函数的定义域，可看出选项A，B两选项函数的定义域不同，两函数不相等，而选项C的两函数解析式不同，也不相等，只能选D．考查函数的定义，判断两函数相等的方法：看定义域和解析式是否都相同．4.【答案】B【解析】解：根据题意，函数f（x-1）=2x-1，令t=x-1，则x=2（t+1），则f（t）=4（t+1）-1=4t+3，若f（a）=5，即4a+3=5，解可得a=；故选：B．根据题意，先由换元法求出函数的解析式，结合函数的解析式可得若f（a）=5，即4a+3=5，解可得a的值，即可得答案．本题考查函数的解析式的计算，注意先求出函数的解析式，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：函数y===+；可得x，∵≠0，∴y结合反比例函数的图象，可得x时，函数图象单调性递减；故选：B．分离常数，结合反比例函数的图象可得答案；本题考查了函数图象变换，是基础题．6.【答案】A【解析】解：根据题意，当x＞0时，f（x）=4-x+x，则f（）=+=1，又由函数为奇函数，则f（-）=-f（）=-1；故选：A．根据题意，由函数的解析式可得f（）的值，又由函数的奇偶性可得f（-）=-f （），进而可得答案．本题考查函数的奇偶性的应用，涉及函数的求值，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：令；∵；∴；∴x=t2-1；∴；∴时，f（x）取最小值；t=2时，f（x）取最大值0；∴f（x）的值域为：．故选：C．可令，根据x的范围，可求出，并求出x=t2-1，原函数变成y=2（t2-1）-3t，配方即可求出该函数的最值，从而得出f（x）的值域．考查函数值域的概念及求法，换元法求函数的值域，不等式的性质，以及配方求二次函数值域的方法．8.【答案】B【解析】解：∵f（x）是奇函数，∴由f（x2+1）+f（m-x）=0，得f（x2+1）=-f（m-x）=f（x-m），又f（x）在R上的单调递减，∴x2+1=x-m，即x2-x+m+1=0．则△=（-1）2-4（m+1）=0，解得m=-．故选：B．由已知函数的奇偶性与单调性把方程f（x2+1）+f（m-x）=0只有一个实数解转化为方程x2-x+m+1=0只有一个实数解，再由判别式等于0求得m值．本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，是基础题．9.【答案】A【解析】解：由题意函数的对称轴是x=，图象开口向上，若f（x）在区间（a，2a-1）上单调递减，则只需≥2a-1，解得：a≤，故选：A．求出函数的对称轴，根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．10.【答案】C【解析】解：根据题意，f（x）是定义在（-∞，+∞）上的偶函数，则f（x+1）-f（2x-1）＜0⇒f（|x+1|）＜f（|2x-1|），若f（x）对仸意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2）都满足＞0，则函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，则f（|x+1|）＜f（|2x-1|）⇒|x+1|＜|2x-1|，变形可得：（x+1）2＜（2x-1）2，解可得：x＜0或x＞2，即不等式的解集为（-∞，0）∪（2，+∞）；故选：C．根据题意，由函数为偶函数可得f（x+1）-f（2x-1）＜0⇒f（|x+1|）＜f（|2x-1|），进而分析可得在[0，+∞）上为增函数，据此可得f（|x+1|）＜f（|2x-1|）⇒|x+1|＜|2x-1|，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数奇偶性、单调性的性质以及应用，关键是得到关于x的不等式，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：分3类讨论①m=0 时，对于仸意x．g（x）=0而f（x）=2（x+1）2+2值恒正，不满足题意．②m＜0 时，对于x＞0 时，g （x）＜0 成立，只需考虑x≥0时的情况，由于函数f（x）=2x2+（4-m）x+4-m，当-4＜m＜4时，△＜0．故-4＜m＜0，不满足，m＜-4时，由于对称轴在y轴左侧，故只需满足f（0）＜0即可，即m＞4，不满足题意．③当m＞0 时，g （x）＜0 在x＜0 时成立，，解得，m＞4，当m=4时，f（x）=2x2，g（x）=4x，存在x=0满足条件，综上所述m取值范围为m≥4．故选：A．存在实数x，f（x）与g（x）的值均不是正数，所以对m分类讨论，即m=0、m＜0、m＞0 讨论f（x）与g（x）的值的正负，求出满足题意的m的值．本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，考查分类讨论思想，转化思想，是中档题．12.【答案】C【解析】解：函数f（x）=，如图所示，①当b=0时，[f（x）]2+af（x）-b2＜0化为[f（x）]2+af（x）＜0，当a＞0时，-a＜f（x）＜0，由于关于x的不等式[f（x）]2+af（x）＜0恰有1个整数解，因此其整数解为2，又f（2）=-4+2=-2，∴-a＜-2＜0，-a≥f（3）=-6，则6≥a＞2，a≤0不必考虑．②当b≠0时，对于[f（x）]2+af（x）-b2＜0，△=a2+4b2＞0，解得：＜f（x）＜，只考虑a＞0，则＜0＜，由于f（x）=0时，不等式的解集中含有多于一个整数解（例如，0，1），舍去．综上可得：a的最大值为6．故选：C．画出函数f（x）的图象，对b，a分类讨论，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出．本题考查了一元二次不等式的解法、二次函数的图象，考查了分类讨论方法、数形结合方法与计算能力，属于中档题．13.【答案】-22【解析】解：根据题意，f（x）=，则f（）=-=-，则f（-）==-；故答案为：-根据题意，由函数的解析式计算f（）=-，再次代入函数的解析式计算可得答案．本题考查分段函数的求值，关键掌握函数的解析式，属于基础题．14.【答案】[1，2]【解析】解：当x＞2时，f（x）=x2-2x，当x≤2时，f（x）=-x2+2x，这样就得到一个分段函数f（x）=．f（x）=x2-2x的对称轴为：x=1，开口向上，x＞2时是增函数；f（x）=-x2+2x，开口向下，对称轴为x=1，则x＜1时函数是增函数，1＜x＜2时函数是减函数．即有函数的单调减区间是[1，2]．故答案为：[1，2]．根据所给的带有绝对值的函数式，讨论去掉绝对值，得到一个分段函数，利用二次函数的单调性即可得到减区间．本题考查二次函数的性质，本题解题的关键是去掉绝对值，把函数化成基本初等函数，可以通过函数的性质或者图象得到结果．15.【答案】（1，3）【解析】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）单调递减，又由f（-2）=0，则f（2）=-f（-2）=0，则在区间（0，2）上，f（x）＞0，则（2，+∞）上，f（x）＜0，又由f（x）为R上的奇函数，则在区间（-∞，-2）上，f（x）＞0，则（-2，0）上，f（x）＜0，则在区间（0，2）或（-∞，-2）上，f（x）＞0；在（2，+∞）或（-2，0）上，f（x）＜0，（x+1）f（x-1）＞0⇒或，解可得：1＜x＜3，即x的取值范围为（1，3）；故答案为：（1，3）．根据题意，分析可得在区间（0，2）或（-∞，-2）上，f（x）＞0；在（2，+∞）或（-2，0）上，f（x）＜0，又由原不等式等价于或，分析可得不等式的解集，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意将原不等式转化为关于x的不等式，属于基础题．16.【答案】-1【解析】解：对仸意的实数x，y都满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）且f（1）=，令x=y=0，可得f（0）+f（0）=2f（0）f（0），可得f（0）=0或f（0）=1，若f（0）=0，可令y=0，则f（x）+f（x）=2f（x）f（0）=0，即f（x）=0，这与f（1）=矛盾，则f（0）=0不成立，则f（0）=1，令x=y=1，可得f（2）+f（0）=2f（1）f（1），可得f（2）=2×-1=-，令x=0，y=1可得f（1）+f（-1）=2f（0）f（1），即有f（-1）=2×1×-=，令x=y=-1可得f（-2）+f（0）=2f（-1）f（-1），即有f（-2）=2×-1=-，则f（2）+f（-2）=-1．故答案为：-1．可令x=y=0，计算可得f（0）=1，再令x=y=1，求得f（2）；令x=0，y=1，求得f（-1），再令x=y=-1，求得f（-2），即可得到所求和．本题考查抽象函数的函数值的求法，注意运用赋值法，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．17.【答案】解：由集合A={x||x-1|≤2}={x|-1≤x≤3}B={x|x−1＞0}={x＜-3或x＞1}，x+3（1）那么∁R B={x|-3≤x≤1}∴A∩（∁R B）={x|-1≤x≤1}（2）由C其中m∈R．∴A∪B={x＜-3或x＞-1}，由A∪B∪C=R，即{x|2m-1≤x≤m+1}∪{x＜-3或x＞-1}=R∴ 2m−1≤−3m+1≥−12m−1≤m+1，解得：-2≤m≤-1故得实数m的取值范围是[-2，-1]．【解析】（1）求解集合A、B，根据补集，交集的定义求解A∩（∁R B）；（2）根据并集的定义A∪B∪C=R，即可实数m的取值范围．本题考查了交、并、补集及其运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．18.【答案】解：（1）原式=2+1+1-23+π-2=π+43；（2）原式=a 43⋅a−12a 23⋅a2=a−11；（3）若x12+x−12=6，则x+x-1=4，x2+x-2=14，故x+x−1−1x2+x−2−2=4−114−2=14．【解析】根据指数幂的原式性质求出代数式的值即可．本题考查了指数幂的运算，考查转化思想，是一道常规题．19.【答案】解（1）由已知得f（0）=0，即b=0，∴f（x）=axx+1，再由f（12）=45，得12a1+1=45，解得a =2，∴f（x）=2xx+1，（2）∵y=f（x）+4x+1=2xx+1+4x+1，∴y•x2-2x+y-4=0，当y=0时，x=-2；当y≠0时，一元二次方程y•x2-2x+y-4=0对x有解，所以△=（-2）2-4y（y-4）≥0，解得2-5≤y≤2+5且y≠0，综上所述：所求函数的值域为[2- 5，2+ 5]【解析】（1）根据奇函数得f （0）=0，解得b=0；根据f（）=，解得a=2；（2）利用一元二次方程有解，判别式大于等于0解得．本题考查了函数奇偶性的性质与判断．属中档题．20.【答案】解：（1）B ={1，2}若A ∩B ≠∅，则①1∈A ，a =3，此时A ={1，-5}，②2∈A ，a =-4，此时A ={2，-8}，∴实数a 的取值集合为{3，-4}；（2）C =（-3，2），设f （x ）=x 2+（2a -2）x -3a +4，若A ⊆C ，则①A =∅，（2a -2）2-4（-3a +4）＜0，∴a 2+a -3＜0，∴−1− 132＜a ＜−1+ 132， ②A ≠∅， △≥0f (−3)＞0f (−2)＞0−3＜1−a ＜2∴ a ≤−1− 132或a ≥−1+ 132a ＜199a ＞−4−1＜a ＜4， ∴−1+ 132≤a ＜4，综上可知，实数a 的取值范围为（−1− 132，4）．【解析】（1）由B={1，2}，A∩B≠∅，得1∈A 或2∈A ，得关于a 的方程，求得a ； （2）由C=（-3，2）与A ⊆C ，分类讨论A=∅与A≠∅两种情况下满足条件的不等式组，从而求出a 的取值范围．本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题，需注意不要漏掉空集，难度中档．21.【答案】解：（1）∵f （xy ）=f （x ）+f （y ），取x =1，y =1得：f （1）=f （1）+f （1）； ∴f （1）=0；（2）设x 1＞x 2＞0则f （x 1）-f （x 2）=f （x 2•x 1x 2）-f （x 2）=f （x 1x 2），∵x1＞x2＞0；∴x1x2＞1；又x＞1时，f（x）＜0；∴f(x1x2)＜0；∴f（x1）-f（x2）＜0；∴f（x1）＜f（x2）；∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；（3）∵f（2）=-1，f（xy）=f（x）+f（y）；由f（kx）-f（x2-kx+1）≥1得f（2kx）≥f（x2-kx+1）又f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴ 2kx＞0x2−kx+1＞02kx≤x2−kx+1∴k＞0k＜x+1xk≤13(x+1x)∴k＞0k＜2k≤23∴0＜k≤23．【解析】（1）由f（xy）=f（x）+f（y），取x=1，y=1得f（1）=0；（2）设x1＞x2＞0则f（x1）-f（x2）=f（x2•）-f（x2）=f （），又当x＞1，f（x）＜0，得f（x）在（0，+∞）上单调递减；（3）由f（2）=-1，f（xy）=f（x）+f（y），f（kx）-f（x2-kx+1）≥1得f（2kx）≥f（x2-kx+1），又f（x）在（0，+∞）上单调递减，得关于k的不等式组，解之得实数k的取值范围．本题主要考查抽象函数的单调性及恒成立问题，是综合性题目，单调性的证明用定义法，恒成立问题用转化思想，属难题．22.【答案】解：（Ⅰ）由a≥3，故x≤1时，x2-2ax+4a-2-2|x-1|=x2+2（a-1）（2-x）＞0；当x＞1时，x2-2ax+4a-2-2|x-1|=x2-（2+2a）x+4a=（x-2）（x-2a），则等式F（x）=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围是（2，2a）；（Ⅱ）（i）设f（x）=2|x-1|，g（x）=x2-2ax+4a-2，则f（x）min=f（1）=0，g（x）min=g（a）=-a2+4a-2．由-a2+4a-2=0，解得a1=2+2，a2=2-2（负的舍去），由F（x）的定义可得m（a）=min{f（1），g（a）}，即m（a）=0，3≤a≤2+2−a2+4a−2，a＞2+2；（ii ）当0≤x ≤2时，F （x ）≤f （x ）≤max{f （0），f （2）}=2=F （2）；当2＜x ≤6时，f （x ）≤g （x ）≤max{g （2），g （6）}=max{2，34-8a }=max{f （2），f （6）}．则M （a ）= 2,a >434−8a ,3≤a≤4．【解析】（Ⅰ）由a≥3，讨论x≤1时，x ＞1，去掉绝对值，化简x 2-2ax+4a-2-2|x-1|，判断符号，即可得到F （x ）=x 2-2ax+4a-2成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（i ）设f （x ）=2|x-1|，g （x ）=x 2-2ax+4a-2，求得f （x ）和g （x ）的最小值，再由新定义，可得F （x ）的最小值；（ii ）分别对当0≤x≤2时，当2＜x≤6时，讨论F （x ）的最大值，即可得到F （x ）在[0，6]上的最大值M （a ）．本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论的思想方法，以及二次函数的最值的求法，不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。

重庆南开中学高2021级高一〔上〕期末测试数学试题本试卷分第I卷〔选择题〕和第II卷〔非选择题〕两局部,总分值卷〔选择题共60分〕12个小题,每题5分,共60分,每题只有一个选项符合要求〕〕条件将函数y=sinx的图像上的点的横坐标扩大为原来的2倍,纵坐标不变得到图像C1,再将图像C I向右平移一个单位得到的图像C2,那么图像C2所对应的函数的解析式为〔37、A、yA、c sinsin1-x22xln x,b1B、y sin - x -2 6D、y sin 2xln x,c e lnx,那么a,b,c的大小关系为〔C、 a b cD、 b a c150分,测试时间120分钟、选择题〔本大题共1、集合A x2x 4 ,B x log2 x 0 , 那么AI B (A、1,2B、1,2C、0,1D、0,12、A、充分不必要B、必要不充分C、充要D、既不充分也不必要3、一个扇形的周长为10cm,圆心角为2弧度,那么这个扇形的面积为〔、2)cm4、5、A、25 函数A、0,1函数igA、1,2C、254D、2522xx212,5 ,那么f x的零点所在的区间为〔1,2 C、2,3 D、3,4的单调递减区间为〔c 1C、 22D、-,326、那么 f (2021) +f (2021) +f (2021)的值为(A 、01_ . ,一.六的取值范围为〔A 、 1,B 、 1,1C 、,1D 、 1,1应位置〔只填结果,不写过程〕 213、幕函数y m 2 3m 3 x m m 1在〔0,+8〕单调递减,那么实数m 的值为 14、计算：log6 2 210g 6 3 101g 2一,一 11 18、(12分)定义在R 的函数f x a x-x a 1a(1)判断f (x)的奇偶性和单调性,并说明理由；8、 0, 且cos-,那么cos 的值为〔5A 、-1109、定义在 B 、 J10C 、 7.2R 上的奇函数f 10(x)满足 f (x+4)D、 (x) 7；2 70包成立,且f (1) = 1 ,10、化简tan20° +4sin20°的结果为〔A 、1 11、如图,圆O 与x 轴的正半轴的交点为 A,点B,C 在圆O 上,点B 的坐标为 1,2,点CAOC o假设BC75 ,贝^ sin —cos — 73cos 2— — 的值为 ( 2 2 2 2A 、B 、2.55"5"5 2.5 512、函数 x 1 2 ,x log 2,x假设方程f 〔x 〕 = a 有四个不同的解X I 、 X 2、X 3、 X 4 ,、填空题: 第II 〔本大题共4个小题, 卷〔非选择题,共90分〕每题5分,共20分〕各题答案必须填写在做题卡上相C 、2x3 x 4,那么 x 3x 1x215、0,2 且cos- -,那么tan的值为.10goi x 1, 1 x k16、函数f x 1 2,假设存在实数k使函数f (x)的值域为[0,2],2x 2x 1,k x a那么实数a的取值范围为.三、解做题：(本大题共6个小题,共70分)各题解答必须答在做题卡上(必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程)317、(10 分) tan 2,tan -.2(1)求tan的值；sin — sin(2)求——2------------------------- 的值.cos 2sin19、〔12 分〕函数 f x sin2 x 2,3sin x cos x cos2R的图像关于直线x 对称,其中⑴,入为常数且0,2.(1)求函数f (x)的最小正周期；(2)解关于x的不等式：f (x-1) >f (2x+1)0(2)假设y=f (x)的图像过点一,0 ,求函数f (x)在x 0-上的值域. 6 220、(12分)函数f (x)为二次函数,假设不等式f (x) <0的解集为(-2, 1)且 f (0) =2(1)求f x的解析式；(2)假设不等式f cos 夜sin - msin对R恒成立,求实数m的取值范围.21、(12分)函数f x log2 TH奇函数.1 X(1)求实数a的值；(2)设函数g x f x 10g2mx ,是否存在非零实数m使得函数g (x)恰好有两个零点?假设存在,求出m的取值范围；假设不存在,说明理由.22、(12分)函数f x的定义域D 0,,假设f x满足对任意的一个三边长为a,b,c D 的三角形,都有f a ,fb ,f c也可以成为一个三角形的三边长,那么称 f x为保三角形函数〞.(1)判断g x sin x,x 0,是否为保三角形函数〞,并说明理由；(2)证实：函数h x lnx,x 2, 是保三角形函数〞；(3)假设f x sinx,x 0,是保三角形函数〞,求实数的最大值.重庆南开中学高2021级高一(上)期末数学试卷答案解：由A 中不等式变形得：2x &4=2,得到x&Z 即A= (—8, 2],可得.解：设扇形的半径为r,弧长为1, /. 1 2r 10,解得1=5, r=-,「•扇形的面积S 』1r 二店1 2r2应选：C. 4.1 (1)解：函数f(x) 2x-x 5,是单调增函数,并且f (2) =4+--5<0, 4 23 1f (3) =8 — 5 0, 函数f(x) 2x -x 5,那么f (x)的零点所在的区间为(2, 3). 4 4应选：C. 5.【分析】令t= - x 2+x+6>0,求得函数的定义域,根据f (x) =g (t) =1gt,此题即求函数t 在 定义域内的减区间,再利用二次函数的性质得出结论.解：令t=-x 2+x+6>0,求彳3-2<x<3,可得函数的定义域为{x|-2<x< 3}, f (x) =g (t) =1gt,此题即求函数t 在定义域内的减区间. 再利用二次函数的性质可得函数t 在定义域内的减区间为(-,3),2应选：D.1.由B 中不等式变形得: 那么 AH B= (1, 2],2.【分析】“ —3 Sin6解：“ 一〞？ sin6因此“一〞是Sin63.【分析】设扇形的半径为10g2x>0=log2l,得至ij x>1, 应选：B.反之不成立,例如21 〞 一、一. … 1 ,反之不成立,例如 2工〞的充分不必要条件.2r,弧长为1,可得1和r 的方J .即可判断出结论.6 *6应选：A.,解方程组代入扇形的面积公式解：将函数y=sinx 的图象上的点的横坐标扩大为原来的 2倍,得到y=sin-x,2 然后向右平移一个单位得到的图象C2,即y=sin1 (x-1)=sin (― x-—),3 2 2卜 应选：B.17.【分析】依题意,由对数函数与指数函数的性质可求得 a<0, b>1, - <c< 1,从而可得【解答】解：: x€ (e—1, 1), a=lnx 「•aC (-1, 0),即 a<0; 又y=(l)x 为减函数, 2 .•.b=(1)1nx >(1)1n1 =(1)0=1 ,即 b> 1; 2 2 2 又c=e1nx=xe (e- 1, 1), b>c>a. 应选 B.8. 【分析】根据同角的三角形关系求出 两角差的余弦公式计算即可. sin ( a+-j-) =4 , 再根据 cos a =C0 s a 与--), 利用解：’:长(0 , Tt), 一, 5 、• • a - C (—,—), cos(— )44 4 5,. cos a =cos 、 / 、 •, 、. 3T- — 1) =cos ( a T- ) cos —+sin ( a T —)sin 一 二一7.2 10 ,应选：C. 9. 解：f (x+4) =f (x), ・♦・函数f (x)是周期为4的周期函数, 贝U f (2021) =f (504刈=f (0), f (2021) =f (504M+1) =f (1) =1 , f (2021) =f (504M+2) =f (2), . f (x)是奇函数, , f (0) =0,当 x=-2 时,f (-2+4) =f (-2),即 f (2) =-f (2),那么 f (2) =0,即 f (2021) +f (2021) +f (2021) =f (0) +f (1) +f (2) =0+1+0=1 , 应选：B. 10.解：tan20+4sin20 4+ 始干i 口20a +工'钠 ccs20 cos20_ (sin20f - 1 色 如° ) +sin400cos20°二生迎迎qg 手mo*+乳口40" cos20 =2—呼Q° 二 cos20 11.解：.••点B 的坐标为(-1,2), • . |OB|=|OC|= . 5 , |BC|=卮・•.△OBC 是等边三角形,那么/AOB=+ -.312.【分析】作出函数f 〔X 〕,得到X 1 , X 2关于X=- 1对称,X 3X 4=1；化简条件,利用数形结合进 行求解即可.解：作函数f 〔X 〕的图象如右,;方程 f 〔X 〕=2有四个不同的解 X 1, X 2, X 3, X 4,且 X 1<X 2<X 3<X 4, . X 1, X 2 关于 X=- 1 对称,即 X 1 +X 2= - 2 , 0< X 3 < 1 < X 4 ,贝^ |log 2X 3| = |log 2x 4|, 即-log 2X 3=log 2X 4, 贝^ log 2x 3+log 2X 4=0 即 log 2X 3X 4=0 那么 X 3X 4=1 ；cos20 应选：D.老8s (y1 J5贝^ sin 5cos 万+ 6 cos 2万一 2.5 5.3 1 .一 =-sin 22 =sin a\1当 110g 2x|=1 得 x=2 或一, 21那么 1 <X404 —43< 1 ；21 八 11 一 ,故 X 3( X | X 2) —— = — 2x 3+ 一 , —叔3< 1 ；X 3 X 4 X 3 2 1 . 1那么函数y= - 2X 3+ 一,在一板3V 1上为减函数, X 3X 3__1 _ __ __ .那么故X 3=1取得最大值,为y=1,2当X 3=1时,函数值为-1 . 即函数取值范围是〔-1, 1]. 应选：B 13.解：幕函数尸J,F T 在〔0, +00〕单调递减, /. m 2- 3m+3=1, 即 m 2 - 3m+2=0, 解得m=1或m=2;当m=1时,m 2- m - 1 = - 2<0,满足题意； 当m=2时,m 2- m- 1=1 >0,不满足题意,舍去;故答案为：1. 14.解：10g 62 210g 6 , 3 101g2 =1og 66+2=3. 故答案为：3. 15.【解答】解：;院〔0, 2冗〕,1又• cos ——, 23sin 一 一 sin- 2=2五, 8s 2sin - . 1 cos 22 ,2 2.2 -T ,18.1 . 1 解：(1) f ( — x) = a-x a ~x f (x)aa• ・tan2tan-1 tan2 -2故答案为:4.216.1解：由题思,令 10g 2 (1 — x) +1=0, x=—,2令 x 2-2x+1=2,可得 x=1±",二.存在实数k 使函数f (x)的值域为[0, 2], ・•・实数a 的取值范围是[L, 1 +4].2故答案为：[1,1+"].217.3【分析】(1)由题思可得tan ( a+B =2, tan B =—,代入2tan = =tan[ a +£ - B ]=-tan( ------------ )-tan — , 计算可得;1 tan( ) tan(2)由诱导公式和弦化切可得原式 1 tan,代值计算可得.解：(1) tan( )2,tan(2tan 3 2,• .tan ( a +)B=2, tan • .tan = =tan [c +)0 —tan( ) tan1 tan( )tan21 2( 2)4；sin (—+ CL) - sin ( JT4 CL )(2)化简可得cos U +2sind_ cos sin cos 2sin1 tan 3 ------------ =一 1 2tan 10那么函数为偶函数, 当X ?0时,设0a 1<X 2, 一. 1.1 即 f (X 1)— f (X 3) = a 1 Fa 2 FaaxX 1_ X1 _ X 2 =a -x 2 工-4= (a X1 a x 2) a-^- = ((a x 1 a X2)驾一, X XX 1 X 2X 1 X ?a a 2a aa a・ a>1, 0喉 1<X 2 ・••1 W 1 a 〞,那么 a 51 a X 20, a 51 a" 1 0,那么f (X1)- f (X2)<0,那么f (X1)<f (X2),即此时函数单调递增, 同理当X00时,函数单调递减；(2) ;函数f (X )是偶函数,且在［0, +00)上为增函数,那么关于 X 的不等式：f (X-1) >f (2X +1)等价为 f (|X -1|) >f (|2X +1|), 即 X― 1|>|2X +1|,平方得 x 2 - 2x+1 >4x 2+4x+1,即 3X 2+6X <0,即 X 2+2x<0,得—2<x< 0, 即不等式的解集为(-2, 0). 19.解：(1)化简可得 f (x)= 点？2sin xcosox- (cos 2cox-sin 2⑴x) + 入=^3sin2 x —cos2 cx+入=2sin(2cox -------- ) + 入6由函数图象关于直线x 一对称可得2c£)?-— -=kTtd — , kCZ,33623解得⑴二3"k+1,结合 区(0, 2)可得W =12• .f (x) =2sin (2x — —) + 入,一, ,一, …1 2「•函数f (x)的取小正周期T=——=九；3 Vy=f (x)的图象过点(:二.,【分析】(1)化简可得f (x) =2sin (2wx-—)+入,由对称性可得6以可得最小正周期;(2)由图象过点(一,0)可得 - 1,由x60-结合三角函数的值域可得. 22• .2sin (2x- -) - 1 € [- 2, 1], 6(x)在x Q,-上的值域为[-2, 1]2(1)设出二次函数的表达式,得到关于 a, b, c 的方程,解出即可求出函数的表达(2)求出 f (cosO,问题转化为 sin2 8 4(1+m) sin 0 +1W R 包成立, 令g ( ® =sin2 8+(1+m) sin 8+1通过讨论对称轴的位置,从而求出 g ( 0)的最小值,得到关于m 的不等式,解出即可.解：(1) :函数f (x)为二次函数, • ,设 f (x) =ax 2+bx+c,• ••不等式f (x) <Q 的解集为(-2, 1)且f (Q) =-2,c 2a 1 4a 2b 2 Q, 解得：b 1 , a b 2 Qc 22f (x) =x +x - 2;(2)由(1)得：f (cos 0 =cos2 0 +cos-0 2, ,由不等式f(cos )wT2sin(—) msin 对8C R 包成立,4得：cos2 0 +cos-02<72 sin (.+^)+msin8对 0€ R 包成立, sin2 8 4(1+m) sin 8+1 泗 R 包成立, 令 g (⑥ =sin2 0 +(1+m) sin 0 +1(sinm-1)2 1 -(m-, 24；2sin (2?- - -) + 入=Q 解得 入= 1,• .f (x) =2sin (2x — —) 6x Q,- , 2x- 21.•.sin (2x - -) € [- 1, • .2sin (2x- -) € [- 1, 6T,1], 2],故函数f 2Q. 【分_ ml-.. .・二①-1 < ------ <11P — 30m< 时：2gmin (8) =1 - -—— >Q 4 解得：-3& m<l 符合题意； 一 m 1 一 一② ------- < ―1 即 m< — 3 时：22g min (9) =(1 U 〞 "U>0, 24解得：m> - 3,无解； ③m-^ >1即m > 1时：22gmin (9) =( 1 U)4 5+1 — (^^>0, 2 4 解得：m< 1,无解；综上,满足条件的m 的范围是[-3, 1].21.【分析】(1)由奇函数性质得f (x) +f (-x) =log 2sx 10g 2sx=0,由此能求出1 x 1 x1(2)当 a= — 1 时,g (x) =f (x) - 1og 2 (mx) = - 1og 2 (mx) =0,得 x=—, m不存在非零实数m 使得函数g (x)恰好有两个零点；1 x当 a=1 时,g (x) =f (x) - 1og 2 (mx) = 10g 2 ----------------------------------- =0,得 x=1,不存在非布头数 (1 x) mx函数g (x)恰好有两个零点.• . 1 - a 2x 2=1 - x 2,解得a= ±1.(2)不存在非零实数m 使得函数g (x)恰好有两个零点,理由如下: 当 a= 一 1 时,g (x) =f (x) — 10g 2 (mx) = — 10g 2 (mx), .•一 14 ax 1 ax ---- =1 , 1 x 1 x【解答】解：(1) ;函数f(x) 10g 2 s x 是奇函数,1 x f (x) +f ( — x) = 1og2 1 ax 10g 2(1 x1 ax 1 x10g21 ax1 ax)=0,a.m 使得由-log2 (mx) =0,解得mx=1, x=—,不存在非专头数m使得函数g (x)恰好有两个专点;1 x . 1 x当a=1 时,g (x) =f (x) — 10g2 (mx) =log2 -------- -- log2 (mx) =log2 -------------- ,1 x (1 x) mx, 1 x由10g2 ------------ =0,得x=1,不存在非布头数m使得函数g (x)恰好有两个布点.(1 x) mx综上,不存在非零实数m使得函数g (x)恰好有两个零点.22.【分析】欲判断函数 f (x)是不是保三角形函数〞,只须任给三角形,设它的三边长a、b、c 满足a+b>c,判断f (a)、f (b)、f (c)是否满足任意两数之和大于第三个数,即任意两边之和大于第三边即可.因此假设a<cfl b&q在各个选项中根据定义和函数对应法那么进行求解判断即可.解：(1)假设a= — , b= —, c=—,贝U f (a) =f (b) =sin —= 1 , f (c) =sin — =1,3 2 21 1那么 f (a) +f (b) = - -=1,不辆足 f (a) +f (b) >f (c) 2 2故f (x) =sinx,不是保三角形函数(2)对任意一个三角形三边长a, b, c€ [2 , +00),且a+b>c, b+c>a, c+a>b, 贝U h (a) =lna, h (b)=lnb, h (c) =lnc.由于a>2, b>2, a+b>c,所以(a - 1) (b— 1) >],所以ab m+b>c,所以lnab>lnc, 即lna+lnb>lnc.同理可证实lnb+lnolna, lnc+lna>lnb.所以lna, lnb, lnc是一个三角形的三边长.故函数h (x) =lnx (xq2, +00)).5(3)人的最大值是二.6①当入〉5-时,取a= — =b, c=-,显然这3个数属于区间(0,力,且可以作为某个三角 6 6 2形的三边长,但这3个数的正弦值工、工、1显然不能作为任何一个三角形的三边,故此时,2 2h (x) =sinx, x€ (0, N不是保三角形函数.当小〉—时,由于 a+b>c, .•.0<£<U<—,2 2 2 22综上可得,0<sin± <sin--b < 12 2再由 |a- b|< c< 5—,以及 y=cosx 在( 6a —— >cos- >cos — >0, 2 2 12sina+sinb=2sina-b cos--b >2sin — cos — =sinc, 2 222同理可得 sina+sinosinb, sinb+sinc>sina, 故sina 、sinb 、sinc 可以作为一个三角形的三边长.故当入、时,h (x) =sinx, x€ (0, M)是保三角形函数,故 人的最大值为5-,x 3x45 ②当入上—时,对于任意的三角形的三边长 65 右 a+b+c> 2 a 贝U a> 2 7r b — c> 2L ——6 即a>—,同理可得b>—, c> —, • .sina 、sinb 、since ( - , 1]. 2 由此可得 sina+sinb> 1 + l =1}sinc 即 2 2 5 、a 、b 、c€ (0,——),6• ・a 、b 、cC (—,3 sina+sinb>sinc, 同理可得 sina+sinc>sinb, sinb+sinc>sina, 故sina 、sinb 、sinc 可以作为一个三角形的三边长. 假设 a+b+c< 2 % c , 一 <九,2当"寸, 由于 a+b>c, ..0<£<2 0< sinc < sin ——b < 1 2 20< sin c <sin-~~b < 1.22可得 cos a -b =cos20,冗〕上是减函数,。

CA重庆南开中学高2018级（上）中期考试试题(18.10.26)数学理科卷参考公式：如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A B 、相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()1n kk kn n P k C P P -=-第一部分（选择题 共50分）一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分）在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

请将正确答案前的番号填在答题卡相应位置上。

1、若()2,1P -为圆()22125x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为A ．230x y +-=B ．30x y --=C ．10x y +-=D ．250x y --=2、设复数z =，那么1z 等于A 12iB 12iC ．12D ．12+3、在ABC ∆中，lgsin ,lgsin ,lgsin A B C 成等差数列，是三边,,a b c 成等比数列的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4、已知()f x 是定义在R 的奇函数，当0x <时，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么()()1108f f --+-的值为A ．2B ．3C ．3-D ．2-5、设i j , 是平面直角坐标系（坐标原点为O ）内分别与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，且42,34OA i j OB i j =+=+ ，则OAB ∆的面积等于A ．15B ．10C ．7.5D ．5 6、在直二面角l αβ--中，直线a α⊂，直线,,b a b β⊂与l 斜交，则A ．a 不能和b 垂直，a 也不能和b 平行B ．a 可能和b 垂直，也可能a ∥bC ．a 不能和b 垂直，但可能a ∥bD ．a 不能和b 平行，但可能a b ⊥7、若抛物线的顶点坐标是()1,0M ，准线l 的方程是220x y --=，则抛物线的焦点坐标为A ．62,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．62,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．42,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．42,55⎛⎫- ⎪⎝⎭8、某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品，已知经销甲商品与乙商品所获得的总利润分别为P 和Q （万元），且它们与投入资金x （万元）的关系是：),04x P Qa ==> ；若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中之一种所获得的利润总不小于5万元，则a 的最小值应为A． BC ．5D ．9、如果消息A 发生的概率为()P A ，那么消息A 所含的信息量为()()21log I A P A =。

2018-2019学年重庆市南开中学高一（上）期中数学试题一、单选题1．设集合A={–1，1，2}，集合B={x|x∈A且2–x∉A}，则B=A．{–1} B．{2}C．{–1，2} D．{1，2}【答案】C【解析】根据元素与集合的关系直接进行判断.【详解】集合B＝{x|x∈A且2﹣x∉A}，集合A＝{﹣1，1，2}，当x＝﹣1时，可得2﹣（﹣1）＝3∉A；当x＝1时，可得2﹣1＝1∈A；当x＝2时，可得2﹣2＝0∉A；∴B＝{﹣1，2}；故选：C．【点睛】本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．2．函数的定义域为A． B． C． D．【答案】D【解析】根据根号下的式子非负，分母不等于0，列出不等关系，解得函数的定义域即可．【详解】由题意得：，解得：1＜x≤3，故选：D．【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式及分式的性质，是一道基础题．3．下列各组的两个函数为相等函数的是A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】A中，f(x)＝的定义域为{x|x≥1}，g(x)＝的定义域为{x|x≥1或x≤－1}，它们的定义域不相同；B中，f(x)＝()2的定义域为，g(x)＝2x－5的定义域为R，定义域不同，不是相等函数．C中，f(x)＝与g(x)＝的对应关系不同，不相等．D中，f(x)＝＝x(x>0)与g(x)＝＝t(t>0)的定义域与对应关系都相同，它们相等,故选D.4．已知函数，且，则A． B． C．2 D．1【答案】B【解析】根据题意，先由换元法求出函数的解析式，结合函数的解析式可得若f（a）＝5，即4a+3＝5，解可得a的值，即可得答案．【详解】根据题意，函数f（x﹣1）＝2x﹣1，令t x﹣1，则x＝2（t+1），则f（t）＝4（t+1）﹣1＝4t+3，若f（a）＝5，即4a+3＝5，解可得a；故选：B．【点睛】本题考查函数的解析式的求法及函数值的运算，属于基础题．5．函数的图象为A．B．C．D．【答案】C【解析】分离常数，结合反比例函数的图象可得答案；【详解】函数y；可得x，∵0，∴y又x＝3时，y＝0结合反比例函数的图象，可得x时，函数图象单调性递减；故选：C．【点睛】本题考查了函数图象变换及函数图像的识别，是基础题．6．已知函数是R上的奇函数，当时，，则A． B．0 C．1 D．【答案】A【解析】根据题意，由函数的解析式可得f（）的值，又由函数的奇偶性可得f（）＝﹣f（），进而可得答案．【详解】根据题意，当x＞0时，f（x）＝4﹣x+x，则f（）1，又由函数为奇函数，则f（）＝﹣f（）＝﹣1；故选：A．【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，涉及函数的求值，属于基础题．7．函数，的值域为A． B． C． D．【答案】C【解析】可令，根据x的范围，可求出，并求出x＝t2﹣1，原函数变成y＝2（t2﹣1）﹣3t，配方即可求出该函数的最值，从而得出f（x）的值域．【详解】令；∵；∴；∴x＝t2﹣1；∴；∴时，f（x）取最小值；t＝2时，f（x）取最大值0,但是取不到；∴f（x）的值域为：．故选：C．【点睛】考查函数值域的概念及求法，换元法求函数的值域以及配方求二次函数值域的方法．8．已知是奇函数且在R上的单调递减，若方程只有一个实数解，则实数m的值是A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知函数的奇偶性与单调性把方程f（x2+1）+f（m﹣x）＝0只有一个实数解转化为方程x2﹣x+m+1＝0只有一个实数解，再由判别式等于0求得m值．【详解】∵f（x）是奇函数，∴由f（x2+1）+f（m﹣x）＝0，得f（x2+1）＝﹣f（m﹣x）＝f（x﹣m），又f（x）在R上的单调递减，∴x2+1＝x﹣m，即x2﹣x+m+1＝0．则△＝（﹣1）2﹣4（m+1）＝0，解得m．故选：B．【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，是基础题．9．已知开口向上的二次函数对任意都满足，若在区间上单调递减，则实数a的取值范围为A． B． C． D．【答案】B【解析】求出函数的对称轴，根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．【详解】由题意函数的对称轴是x，图象开口向上，若f（x）在区间（a，2a﹣1）上单调递减，则只需2a﹣1，解得：a，而a＜2a﹣1，解得：a＞1，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．10．已知是定义在上的偶函数，若对任意的，都满足，则不等式的解集为A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意，由函数为偶函数可得f（x+1）﹣f（2x﹣1）＜0⇒f（|x+1|）＜f （|2x﹣1|），进而分析可得在[0，+∞）上为增函数，据此可得|x+1|＜|2x﹣1|，解可得x的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，则f（x+1）﹣f（2x﹣1）＜0⇒f（|x+1|）＜f（|2x﹣1|），若f（x）对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2）都满足0，则函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，则f（|x+1|）＜f（|2x﹣1|）⇒|x+1|＜|2x﹣1|，变形可得：（x+1）2＜（2x﹣1）2，解可得：x＜0或x＞2，即不等式的解集为（﹣∞，0）∪（2，+∞）；故选：C．【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的性质以及应用，关键是得到关于x的不等式，属于基础题．11．已知函数，若存在实数x，使得与均不是正数，则实数m的取值范围是A． B． C． D．【答案】A【解析】存在实数x，f（x）与g（x）的值均不是正数，所以对m分类讨论，即m＝0、m＜0、m＞0 讨论f（x）与g（x）的值的正负，求出满足题意的m的值．【详解】分3类讨论①m＝0 时，对于任意x,g（x）＝0 而f（x）＝2（x+1）2+2值恒正，不满足题意．②m＜0 时，对于x0 时，g（x）0 成立，只需考虑x0时f（x）的情况，由于函数f（x）＝2x2+（4﹣m）x+4﹣m，对称轴为.当m＜0 时，对称轴在y轴左侧，故只需满足f（0）＜0即可，即m＞4，不满足题意．③当m＞0 时，g（x）0 在x0 时成立，只需考虑x0时f（x）的情况，若存在实数x使得f（x）不是正数，则,即m≥4.此时对称轴，所以只需，解得m≥4..综上所述m取值范围为m≥4．故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，考查分类讨论思想，转化思想，是中档题．12．已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的最大值为A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】画出函数f（x）的图象，对b，a分类讨论，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出．【详解】函数f（x），如图所示，①当b＝0时，[f（x）]2+af（x）﹣b2＜0化为[f（x）]2+af（x）＜0，当a＞0时，﹣a＜f（x）＜0，由于关于x的不等式[f（x）]2+af（x）＜0恰有1个整数解，因此其整数解为2，又f（2）＝﹣4+2＝﹣2，∴﹣a＜﹣2＜0，﹣a≥f（3）＝﹣6，则6≥a＞2，a≤0不必考虑．②当b≠0时，对于[f（x）]2+af（x）﹣b2＜0，△＝a2+4b2＞0，解得：f（x），只考虑a＞0，则0，由于f（x）＝0时，不等式的解集中含有多于一个整数解（例如，0，1），舍去．综上可得：a的最大值为6．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法、二次函数的图象，考查了分类讨论方法、数形结合方法与计算能力，属于中档题．二、填空题13．已知，则______【答案】【解析】根据题意，由函数的解析式计算f（），再次代入函数的解析式计算可得答案．【详解】根据题意，f（x），则f（），则f（）；故答案为：【点睛】本题考查分段函数的求值，关键掌握函数的解析式，属于基础题．14．函数的单调减区间为______．【答案】【解析】根据所给函数式，讨论去掉绝对值，得到一个分段函数，利用二次函数的单调性即可得到减区间．【详解】当x＞2时，f（x）＝x2﹣2x，当x≤2时，f（x）＝﹣x2+2x，故函数f（x）．f（x）＝x2﹣2x的对称轴为：x＝1，开口向上，x＞2时是增函数；f（x）＝﹣x2+2x，开口向下，对称轴为x＝1，则x＜1时函数是增函数，1＜x＜2时函数是减函数．即有函数的单调减区间是[1，2]．故答案为：[1，2]．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是去掉绝对值，把函数化成基本初等函数，再通过函数的性质或者图象得到结果．15．设函数是定义在R上的奇函数，，若在单调递减，则不等式的解集为______．【答案】【解析】根据题意，分析可得在区间（0，2）或（﹣∞，﹣2）上，f（x）＞0；在（2，+∞）或（﹣2，0）上，f（x）＜0，又由原不等式等价于或，分析可得不等式的解集，即可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）单调递减，又由f（﹣2）＝0，则f（2）＝﹣f（﹣2）＝0，则在区间（0，2）上，f（x）＞0，则（2，+∞）上，f（x）＜0，又由f（x）为R上的奇函数，则在区间（﹣∞，﹣2）上，f（x）＞0，则（﹣2，0）上，f（x）＜0，则在区间（0，2）或（﹣∞，﹣2）上，f（x）＞0；在（2，+∞）或（﹣2，0）上，f（x）＜0，（x+1）f（x﹣1）＞0⇒或，解可得：1＜x＜3，即x的取值范围为（1，3）；故答案为：（1，3）．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意将原不等式转化为关于x的不等式，属于基础题．16．已知函数对任意的实数x，y都满足且，则的值为______．【答案】【解析】可令x＝y＝0，计算可得f（0）＝1，再令x＝y＝1，求得f（2）；令x＝0，y ＝1，求得f（﹣1），再令x＝y＝﹣1，求得f（﹣2），即可得到所求和．【详解】对任意的实数x，y都满足f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y）且f（1），令x＝y＝0，可得f（0）+f（0）＝2f（0）f（0），可得f（0）＝0或f（0）＝1，若f（0）＝0，可令y＝0，则f（x）+f（x）＝2f（x）f（0）＝0，即f（x）＝0，这与f（1）矛盾，则f（0）＝0不成立，则f（0）＝1，令x＝y＝1，可得f（2）+f（0）＝2f（1）f（1），可得f（2）＝21，令x＝0，y＝1可得f（1）+f（﹣1）＝2f（0）f（1），即有f（﹣1）＝2×1，令x＝y＝﹣1可得f（﹣2）+f（0）＝2f（﹣1）f（﹣1），即有f（﹣2）＝21，则f（2）+f（﹣2）＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查抽象函数的函数值的求法，注意运用赋值法，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．三、解答题17．已知集合，，，其中．设全集为R，求；若，求实数m的取值范围．【答案】(1);(2) 实数m的取值范围是.【解析】（1）求解集合A、B，根据补集，交集的定义求解A∩（∁R B）；（2）根据并集的定义A∪B∪C＝R，即可实数m的取值范围．【详解】由集合或，（1）由条件可得，.由（1）可知或，由，即或，解得：解得实数m的取值范围是．【点睛】本题考查了交、并、补集及其运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．18．；设，化简：；若，求的值．【答案】(1);(2);(3).【解析】根据指数幂的性质求出代数式的值即可．利用根式与分数指数幂互化进行化简即可.由已知先计算，再平方计算，代入计算即可.【详解】原式；原式；若，则，，故．【点睛】本题考查了指数幂的运算及根式与分数指数幂互化，考查转化思想，是一道常规题．19．已知函数是定义在上的奇函数，且．求的解析式；求函数的值域．【答案】(1);(2) 值域为.【解析】（1）根据奇函数得f（0）＝0，解得b＝0；根据f（），解得a＝2；（2）利用一元二次方程有解，判别式大于等于0解得．【详解】由已知得，即，，再由，得，解得，，，，当时，；当时，一元二次方程对x有解，所以，解得且，综上所述：所求函数的值域为【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，考查了分式型函数求值域的方法，属中档题．20．已知集合，，．若，求实数a的取值集合；若，求实数a的取值范围．【答案】(1) 实数a的取值集合为；（2）实数a的取值范围为.【解析】（1）由B＝{1，2}，A∩B≠∅，得1∈A或2∈A，得关于a的方程，求得a；（2）由C＝（﹣3，2）与A⊆C，分类讨论A＝∅与A≠∅两种情况下满足条件的不等式组，从而求出a的取值范围．【详解】若，则，，此时，，，此时，实数a的取值集合为；，设，若，则，，，，，，，，综上可知，实数a的取值范围为．【点睛】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题，需注意不要漏掉空集，难度中档．21．定义在上的函数满足对所有的正数x、y都成立，且当，．求的值若关于x的不等式在上恒成立，求实数k的取值范围【答案】（1）；（2）见解析；（3）.【解析】（1）由f（xy）＝f（x）+f（y），取x＝1，y＝1得f（1）＝0；（2）设x1＞x2＞0则f（x1）﹣f（x2）＝f（x2•）﹣f（x2）＝f（），又当x＞1，f （x）＜0，得f（x）在（0，+∞）上单调递减；（3）由f（2）＝﹣1，f（xy）＝f（x）+f（y），f（kx）﹣f（x2﹣kx+1）≥1得f（2kx）≥f（x2﹣kx+1），又f（x）在（0，+∞）上单调递减，得到关于k的不等式组，解之得实数k的取值范围．【详解】（1）∵f（xy）＝f（x）+f（y），取x＝1，y＝1得：f（1）＝f（1）+f（1）；∴f（1）＝0；（2）设x1＞x2＞0则f（x1）﹣f（x2）＝f（x2•）﹣f（x2）＝f（），∵x1＞x2＞0；∴；又x＞1时，f（x）＜0；∴；∴f（x1）﹣f（x2）＜0；∴f（x1）＜f（x2）；∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；（3）∵f（2）＝﹣1，f（xy）＝f（x）+f（y）；由f（kx）﹣f（x2﹣kx+1）≥1得f（2kx）≥f（x2﹣kx+1）又f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴∴，∴∴0＜k．【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性及恒成立问题，考查了用定义法证明单调性及不等式恒成立问题，运用了转化思想，属于难题．22．已知，函数F（x）=min{2|x−1|，x2−2ax+4a−2}，其中min{p，q}=（Ⅰ）求使得等式F（x）=x2−2ax+4a−2成立的x的取值范围；（Ⅱ）（ⅰ）求F（x）的最小值m（a）；（ⅱ）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）.【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）（ⅰ）．（ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）分别对和两种情况讨论，进而可得使得等式成立的的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数，的最小值，再根据的定义可得的最小值；（Ⅱ）分别对和两种情况讨论的最大值，进而可得在区间上的最大值．试题解析：（Ⅰ）由于，故当时，，当时，．所以，使得等式成立的的取值范围为．（Ⅱ）（ⅰ）设函数，，则，，所以，由的定义知，即（ⅱ）当时，，当时，．所以，．【考点】函数的单调性与最值，分段函数，不等式．【思路点睛】（Ⅰ）根据的取值范围化简，即可得使得等式成立的的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数和的最小值，再根据的定义可得；（Ⅱ）根据的取值范围求出的最大值，进而可得．。

重庆南开中学高2018级高三(上)中期考试理科数学试题考试说明：试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求） 1.若复数2323z i i i =-+（其中i 为虚数单位），则z =（ ）A ．4B ．．2 D2.已知集合{}2340A x x x =+-≤，}11|{<=xx B ，那么=B A （ ） A.]1,4[- B.[]1,4- C.),1(+∞ D.)0,4[- 3.若递增的等比数列{}n a 满足1442425364=+-a a a a a a ，则=-35a a （ ） A.6 B.8 C.10 D.12 4.若R c b a ∈,,，则下列说法正确的是（ ） A.若b a >则22b a > B.若b a >则ba 11< C.若b a >则c b c a ->- D.若b a >则22bc ac > 5.已知向量)1,1(),,2(-==x ，且)//(+，则=⋅b a （ ） A.4 B.2 C.1- D.6 6.已知函数)2||,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的部分图象如图所示，将)(x f 的图象向左平移4π个单位，则得到的新函数图象的解析式为（ ） A.)32cos(π+=x y B.cos(2)6y x π=+C.)1272sin(π+=x yD.)122sin(π+=x y7.我国古代数学专著《九章算术》中有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，则需（ ）日两马相逢A.16B. 12C.9D.88.设0,0>>y x 且4=+y x ，则2122+++y y x x 的最小值是（ ） A.716 B.37 C.1023D.499.如图是2017年上半年某五省GDP 情况图，则下列叙述正确的是（ ） ①与去年同期相比，2017年上半年五个省的GDP 总量 均实现了增长；②2017年上半年山东的GDP 总量和增速均居第二； ③2016年同期浙江的GDP 总量高于河南；④2016和2017年上半年辽宁的GDP 总量均位列第五. A.①② B.①③④ C.③④ D.①②④10.正项数列{}n a 前n 项和为n S ，且2,,n n n a S a （*N n ∈）成等差数列，n T 为数列}{n b 的前n 项和，且21nn a b =，对任意*N n ∈总有)(*N K K T n ∈<，则K 的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.411.若函数⎪⎩⎪⎨⎧<+++>-=)0(21)0(ln )(2x a x x x x x a x f 的最大值为)1(-f ，则实数a 的取值范围是（ ） A.]2,0[2e B.]2,1(2e C.]2,0[3e D.]2,(3e e12.已知单位向量,,,满足：,3||,=-⊥向量)sin (cos 2222⋅+⋅=θθ （R ∈θ），则)()(-⋅-的最小值为（ ） A.23B.1C.122-D.21第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，各题答案必须填写在答题卡上相应位置）13.已知向量,a b 的夹角为45，且1,210a a b =-=，则b =14.已知函数)(x f 是定义在实数集R 上周期为2的奇函数，当]1,0(∈x 时，)1lg()(+=x x f ，则=+14lg )52018(f 15.已知ABC ∆三内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且22cos 2sin 22=+CC , 若c b a ,,成等比数列，则A sin =16.为庆祝党的十九大的胜利召开，小南同学用数字1和9构成数列}{n a ，满足：11=a ，在第k 个1和第1+k 个1之间有12-k 个9)(*N k ∈，即1,9,1,9,9,9,1,9,9,9,9,9，……，设数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2050()m S m N *=∈，则=m三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17.（本小题满分12分）设等差数列}{n a 的前n 项和为*,N n S n ∈，公差0≠d ，153=S ， 且1341,,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设142++=n a b n n ，求数列}{n b 的前n 项和.18.（本小题满分12分）甲、乙两所学校的代表队参加诗词大赛，在比赛第二阶段，两队各剩最后两个队员上场，甲队两名队员通过第二阶段比赛的概率分别是21和32，乙队两名队员通过第二阶段比赛的概率都是21，通过了第二阶段比赛的队员，才能进入第三阶段比赛（若某队两个队员都没有通过第二阶段的比赛，则该队进入第三阶段比赛的人数为0），所有参赛队员比赛互不影响，其过程、结果都是彼此独立的. （Ⅰ）求甲、乙两队进入第三阶段比赛的人数相等的概率；（Ⅱ）设X 表示进入第三阶段比赛甲、乙两队人数差的绝对值，求X 的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）已知向量)1,(cos ),43,(sin -==x x ，设n n m x f ⋅+=)(2)( （Ⅰ）若23)(=x f ，求x 的所有取值； （Ⅱ）已知锐角ABC ∆三内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若)(2c a a b +=，求)(A f 的取值范围.20.（本小题满分12分）设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，以短轴为直径的圆O 面积为π2，椭圆上的点到左焦点的最小距离是22-，O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C 和圆O 的方程；（Ⅱ）如图，B A ,为椭圆的左右顶点，N M ,分别为圆O 和椭圆C 上的点，且x MN //轴，若直线BN AN ,分别交y 轴于E D ,两点（N M ,分别位于y 轴的左、右两侧）. 求证：MD ME ⊥，并求当314||=⋅∆DEN S OD 时直线AN 的方程.21.（本小题满分12分）已知函数xx x a x f 1ln 2)(+-=. （Ⅰ）若2=a ，求)(x f 在)0,1(处的切线方程；（Ⅱ）若)(x f 对任意]1,0(∈x 均有0)(≥x f 恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求证：2111ln 1()2nk k n N k n *=+<-∈+∑.请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。

2018-2018学年重庆市沙坪坝区南开中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，2}，N={2，3，4}，则（∁U M）∩N等于（）A．{1}B．{2}C．{3，4}D．{5}2．函数f（x）=+的定义域为（）A．[﹣1，2）∪（2，+∞） B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，2）∪（2，+∞）D．（﹣1，2）∪（2，+∞）3．若函数f（x）=，则f（2）的值为（）A．2 B．3 C．4 D．54．设集合A={x|x2﹣4x+3≥0}，B={x|2x﹣3≤0}，则A∪B=（）A．（﹣∞，1]∪[3，+∞）B．[1，3]C． D．5．函数f（x）=x2﹣（2a﹣1）x﹣3在上是增函数，则实数a的范围是（）A．a≤1 B．a≥1 C．a≤2 D．a≥26．已知函数，下列判断正确的是（）A．函数f（x）是奇函数，函数g（x）是偶函数B．函数f（x）不是奇函数，函数g（x）是偶函数C．函数f（x）是奇函数，函数g（x）不是偶函数D．函数f（x）不是奇函数，函数g（x）不是偶函数7．若函数f（x）满足关系式f（x）+2f（1﹣x）=﹣，则f（2）的值为（）A．B．C．D．8．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是（）A．B．C．D．9．f（x）=是定义在（﹣∞，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（）A．[，）B．[0，]C．（0，）D．（﹣∞，]10．f（x）满足对任意的实数a，b都有f（a+b）=f（a）•f（b），且f（1）=2，则=（）A．1018 B．2018 C．2018 D．101811．奇函数f（x）在（0，+∞）内单调递增且f（2）=0，则不等式的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）∪（1，2）B．（﹣2，0）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）∪（2，+∞）12．已知函数y=x2+2x在闭区间[a，b]上的值域为[﹣1，3]，则满足题意的有序实数对（a，b）在坐标平面内所对应点组成图形为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相对应位置上．13．已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m2}．若B⊆A，则实数m=．14．求函数y=的单调递增区间．15．若关于x的不等式的解集不是空集，则实数k的取值范围是．16．定义有限数集A中的最大元素与最小元素之差为A的“长度”，如：集合A1={1，2，4}的“长度”为3，集合A2={3}的“长度”为0．已知集合U={1，2，3，4，5，6}，则U的所有非空子集的“长度”之和为．三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17．已知实数a＞0，集合，集合B={x||2x﹣1|＞5}．（1）求集合A、B；（2）若A∩B≠∅，求a的取值范围．18．已知一次函数f（x）在R上单调递增，当x∈[0，3]时，值域为[1，4]．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣1，8]时，求函数的值域．19．已知函数为奇函数．（1）若函数f（x）在区间上为单调函数，求m的取值范围；（2）若函数f（x）在区间[1，k]上的最小值为3k，求k的值．20．已知不等式x2+mx+3≤0的解集为A=[1，n]，集合B={x|x2﹣ax+a≤0}．（1）求m﹣n的值；（2）若A∪B=A，求a的取值范围．21．已知二次函数f（x）=ax2+x（a≠0）．（1）当a＜0时，若函数定义域与值域完全相同，求a的值；（2）当a＞0时，求函数g（x）=f（x）﹣2x﹣|x﹣a|的最小值h（a）．22．已知定义在R的函数f（x）满足以下条件：①对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）f（y）+f（x）+f（y）；②当x＞0时，f（x）＞0；③f（1）=1．（1）求f（2），f（0）的值；（2）若f（2x）﹣a≥af（x）﹣5对任意x恒成立，求a的取值范围；（3）求不等式的解集．2018-2018学年重庆市沙坪坝区南开中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，2}，N={2，3，4}，则（∁U M）∩N等于（）A．{1}B．{2}C．{3，4}D．{5}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出集合M的补集，再利用交集的定义求（∁U M）∩N．【解答】解：由题意∵U={1，2，3，4，5}，M={1，2}，∴C U M={3，4，5}，又集合N={2，3，4}，故（∁U M）∩N={3，4}故选：C．2．函数f（x）=+的定义域为（）A．[﹣1，2）∪（2，+∞） B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，2）∪（2，+∞）D．（﹣1，2）∪（2，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】要使函数有意义，需要被开方数大于等于0，分式的分母不等于0列出不等式组，求出解集即为定义域．【解答】解：要使函数有意义，需使；解得x≥﹣1且x≠2故函数的定义域是[﹣1，2）∪（2，+∞）故选项为A3．若函数f（x）=，则f（2）的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】函数的值．【分析】利用函数在不同的定义域内满足的函数关系式求出函数的值．【解答】解：已知函数f（x）=①当x=2时，函数f（2）=f（2+2）=f（4）②当x=4时，函数f（4）=f（4+2）=f（6）③当x=6时，函数f（6）=6﹣3=3故选：B4．设集合A={x|x2﹣4x+3≥0}，B={x|2x﹣3≤0}，则A∪B=（）A．（﹣∞，1]∪[3，+∞）B．[1，3]C． D．【考点】并集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3≥0}={x|x≤1或x≥3}，B={x|2x﹣3≤0}={x|x≤}，∴A∪B={x|x或x≥3}=（﹣∞，]∪[3，+∞）．故选：D．5．函数f（x）=x2﹣（2a﹣1）x﹣3在上是增函数，则实数a的范围是（）A．a≤1 B．a≥1 C．a≤2 D．a≥2【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】由已知得，函数图象开口向上，由题意读出对称轴，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：由题意函数的对称轴x=≤，解得：a≤2，故选：C．6．已知函数，下列判断正确的是（）A．函数f（x）是奇函数，函数g（x）是偶函数B．函数f（x）不是奇函数，函数g（x）是偶函数C．函数f（x）是奇函数，函数g（x）不是偶函数D．函数f（x）不是奇函数，函数g（x）不是偶函数【考点】函数奇偶性的判断．【分析】容易求出f（x）的定义域，从而判断出f（x）为非奇非偶函数，根据偶函数定义可判断g（x）为偶函数，从而找出正确选项．【解答】解：f（x）的定义域为{x|x≠2}，不关于原点对称；∴f（x）为非奇非偶函数；解得，﹣1≤x≤1；又；∴g（x）为偶函数．故选B．7．若函数f（x）满足关系式f（x）+2f（1﹣x）=﹣，则f（2）的值为（）A．B．C．D．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】利用赋值法求解即可．【解答】解：∵f（x）+2f（1﹣x）=﹣，令x=2，则有f（2）+2f（﹣1）=﹣…．①令x=﹣1，则有f（﹣1）+2f（2）=3…②由①②解得f（2）=，故选D．8．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用特殊值法，圆柱液面上升速度是常量，表示圆锥漏斗中液体单位时间内落下的体积相同，当时间取1.5分钟时，液面下降高度与漏斗高度的比较．【解答】解：由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取t时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的，对比四个选项的图象可得结果．故选B9．f（x）=是定义在（﹣∞，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（）A．[，）B．[0，]C．（0，）D．（﹣∞，]【考点】函数单调性的性质．【分析】由题意可得3a ﹣1＜0、﹣a ＜0、且﹣a ≤3a ﹣1+4a ，解由这几个不等式组成的不等式组，求得a 的范围．【解答】解：由题意可得，求得≤a ＜，故选：A ．10．f （x ）满足对任意的实数a ，b 都有f （a +b ）=f （a ）•f （b ），且f （1）=2，则=（ ） A ．1018B ．2018C ．2018D ．1018【考点】函数的值．【分析】在f （a +b ）=f （a ）•f （b ）中令b=1得，f （a +1）=f （a ）•f （1），变形为=f （1）=2．以此可以答案可求．【解答】解：∵f （x ）满足对任意的实数a ，b 都有f （a +b ）=f （a ）•f （b ），∴令b=1得，f （a +1）=f （a ）•f （1），∴=f （1）=2．∴=2（共有1018项），=1018×2=2018．故选：B ．11．奇函数f （x ）在（0，+∞）内单调递增且f （2）=0，则不等式的解集为（ ）A ．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）∪（1，2）B ．（﹣2，0）∪（1，2）C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）∪（2，+∞） 【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】通过当x ＞1时，f （x ）在（0，+∞）内单调递增，又f （2）=0，则f （x ）＞0=f （2），当0＜x ＜1时，f （x ）＜0，又函数f （x ）为奇函数，求出x ＜0时不等式的解集，进而求出不等式的解集即可．【解答】解：当x＞1时，f（x）在（0，+∞）内单调递增，又f（2）=0，则f（x）＞0=f（2），∴x＞2．当0＜x＜1时，f（x）＜0，解得：0＜x＜1，又函数f（x）为奇函数，则f（﹣2）=0且f（x）在（﹣∞，0）内单调递增，则当x＜0时，f（x）＜0=f（﹣2），∴x＜﹣2，综上所述，x＞2或0＜x＜1或x＜﹣2，故选：D12．已知函数y=x2+2x在闭区间[a，b]上的值域为[﹣1，3]，则满足题意的有序实数对（a，b）在坐标平面内所对应点组成图形为（）A．B．C．D．【考点】二次函数的性质；函数的值域．【分析】由二次函数的图象和性质，我们易构造出满足条件函数y=x2+2x在闭区间[a，b]上的值域为[﹣1，3]的不等式组，画出函数的图象后与答案进行比照，即可得到答案．【解答】解：∵函数y=x2+2x的图象为开口方向朝上，以x=﹣1为对称轴的抛物线当x=﹣1时，函数取最小时﹣1若y=x2+2x=3，则x=﹣3，或x=1而函数y=x2+2x在闭区间[a，b]上的值域为[﹣1，3]，则或则有序实数对（a，b）在坐标平面内所对应点组成图形为故选C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相对应位置上．13．已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m2}．若B⊆A，则实数m=1．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据题意，若B⊆A，必有m2=2m﹣1，而m2=﹣1不合题意，舍去，解可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证．【解答】解：由B⊆A，m2≠﹣1，∴m2=2m﹣1．解得m=1．验证可得符合集合元素的互异性，此时B={3，1}，A={﹣1，3，1}，B⊆A满足题意．故答案为：114．求函数y=的单调递增区间．【考点】函数的单调性及单调区间．【分析】设t=﹣x2+4x+5，先求出函数的定义域，利用复合函数单调性之间的关系即可得到函数的递增区间．【解答】解：设t=﹣x2+4x+5，由t=﹣x2+4x+5≥0，得x2﹣4x﹣5≤0，即﹣1≤x≤5，则函数t=﹣x2+4x+5的对称轴为x=2，∴当﹣1≤x≤2时，t=﹣x2+4x+5单调递增，此时y=也单调递增，∴由复合函数单调性的性质可知函数y=此时单调递增，当2≤x≤5，t=﹣x2+4x+5单调递减，此时y=单调递增，∴由复合函数单调性的性质可知函数y=此时单调递减，即函数y=的单调递增区间是[﹣1，2]．15．若关于x的不等式的解集不是空集，则实数k的取值范围是k＞2．【考点】绝对值三角不等式．【分析】求出f（x）min=2，利用关于x的不等式的解集不是空集，从而可得实数k的取值区间．【解答】解：∵f（x）=|x﹣|+|x+|≥|（x﹣）﹣（x+）|=2，∴f（x）min=2，∵关于x的不等式的解集不是空集，∴k＞2．故答案为k＞2．16．定义有限数集A中的最大元素与最小元素之差为A的“长度”，如：集合A1={1，2，4}的“长度”为3，集合A2={3}的“长度”为0．已知集合U={1，2，3，4，5，6}，则U的所有非空子集的“长度”之和为201．【考点】排列、组合的实际应用；子集与真子集．【分析】根据题意，结合集合长度的定义，对集合A的子集分6种情况讨论，每种情况下分析符合条件的子集的数目，进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，集合长度的定义，对集合A的子集分类讨论：①、长度为0的子集，共6个：即{1}、{2}、{3}、{4}、{5}、{6}，②、长度为1的子集，必须为两个元素的集合，且其元素为相邻的两个自然数，共5个：即{1，2}、{2，3}、{3，4}、{4，5}、{5，6}，③、长度为2的子集，即子集中最大最小元素差为2，其中最小、最大元素有4种情况：即1、3，2、4，3、5，4、6；每种情况有2个子集，则共有8个子集，④、长度为3的子集，即子集中最大最小元素差为3，其中最小、最大元素有3种情况：即1、4，2、5，3、6；每种情况有4个子集，则共有12个子集，⑤、长度为4的子集，即子集中最大最小元素差为4，其中最小、最大元素有2种情况：即1、5，2、6；每种情况有8个子集，则共有16个子集，⑥、长度为6的子集，即子集中最大最小元素差为5，其中最小、最大元素有1种情况：即1、6；则共有16个子集，则U的所有非空子集的“长度”之和为：6×0+5×1+8×2+12×3+16×4+16×5=201；故答案为：201．三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17．已知实数a＞0，集合，集合B={x||2x﹣1|＞5}．（1）求集合A、B；（2）若A∩B≠∅，求a的取值范围．【考点】交集及其运算；集合的表示法．【分析】（1）a＞0时化简集合A，根据绝对值的意义求出集合B；（2）根据交集与空集的定义写出a的取值范围即可．【解答】解：（1）a＞0时，集合={x|﹣1＜x＜a}，集合B={x||2x﹣1|＞5}={x|2x﹣1＞5或2x﹣1＜﹣5}={x|x＞3或x＜﹣2}；（2）当A∩B≠∅时，a＞3，∴a的取值范围是a＞3．18．已知一次函数f（x）在R上单调递增，当x∈[0，3]时，值域为[1，4]．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣1，8]时，求函数的值域．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）函数f（x）是一次函数，设f（x）=kx+b，在R上单调递增，当x ∈[0，3]时，值域为[1，4]．可求k，b．（2）函数，求出g（x），利用换元法转化为二次函数问题求值域．【解答】解：（1）由题意函数f（x）是一次函数，设f（x）=kx+b，在R上单调递增，当x∈[0，3]时，值域为[1，4]．故得，解得：b=1．k=1，∴函数f（x）的解析式为f（x）=x+1、（2）函数=2x﹣，令：t=，则x=t2﹣1．∵x∈[﹣1，8]，∴0≤t≤3．∴函数g（x）转化为h（t）=当t=时，函数h（t）取得最小值为，当t=3时，函数h（t）取得最大值为13．故得函数h（t）的值域为[]，即函数g（x）的值域为[]，19．已知函数为奇函数．（1）若函数f（x）在区间上为单调函数，求m的取值范围；（2）若函数f（x）在区间[1，k]上的最小值为3k，求k的值．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】（1）由题意和奇函数的性质得f（﹣1）=﹣f（1），代入解析式列出方程求出a，可求出f（x）并判断出f（x）的单调性，由条件和单调性列出关于m的不等式，求出m的取值范围；（2）根据函数的单调性和条件，分两种情况列出不等式组，求出k的值．【解答】解：（1）∵函数为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1），则﹣（1﹣a+4）=﹣（1+a+4），解得a=0，即=，∴f（x）在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，∵函数f（x）在区间上为单调函数，∴m≤2或，则0＜m≤2或m≥4，∴m的取值范围是（0，2]∪[4，+∞）；（2）由（1）知，f（x）在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，∵f（x）在区间[1，k]上的最小值为3k，∴或，解得k=或k=（舍去），即k的值是．20．已知不等式x2+mx+3≤0的解集为A=[1，n]，集合B={x|x2﹣ax+a≤0}．（1）求m﹣n的值；（2）若A∪B=A，求a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；一元二次不等式的解法．【分析】（1）利用韦达定理，求出m，n，即可求m﹣n的值；（2）若A∪B=A，B⊆A，分类讨论求a的取值范围．【解答】解：（1）∵不等式x2+mx+3≤0的解集为A=[1，n]，∴，∴m=﹣4，n=3，∴m﹣n=﹣7；（2）A∪B=A，∴B⊆A．①B=∅，△=a2﹣4a＜0，∴0＜a＜4；②B≠∅，设f（x）=x2﹣ax+a，则，∴4≤a≤，综上所述，0＜a≤．21．已知二次函数f（x）=ax2+x（a≠0）．（1）当a＜0时，若函数定义域与值域完全相同，求a的值；（2）当a＞0时，求函数g（x）=f（x）﹣2x﹣|x﹣a|的最小值h（a）．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）当a＜0时，求出函数定义域与值域，利用定义域与值域完全相同，求a的值；（2）当a＞0时，分类讨论求函数g（x）=f（x）﹣2x﹣|x﹣a|的最小值h（a）．【解答】解：（1）当a＜0时，定义域为[0，﹣]．=值域为[0，]，∴=，∴a=﹣4；（2）g（x）=，①0≤a≤1，，x≥a，g（x）min=g（）=a﹣，x＜a，g（x）min=g（0）=﹣a，a﹣≥﹣a，∴≤a≤1，h（a）=﹣a；a﹣＜﹣a，∴0＜a＜，h（a）=a﹣；②a＞1，＜a，x≥a，g（x）min=g（a），x＜a，g（x）min=g（0）=﹣a，函数在[0，a]上单调递增，∴h（a）=﹣a；综上所述，h（a）=．22．已知定义在R的函数f（x）满足以下条件：①对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）f（y）+f（x）+f（y）；②当x＞0时，f（x）＞0；③f（1）=1．（1）求f（2），f（0）的值；（2）若f（2x）﹣a≥af（x）﹣5对任意x恒成立，求a的取值范围；（3）求不等式的解集．【考点】抽象函数及其应用．【分析】（1）令x=y=1可得f（2）=3；令x=y=0可得f（0）=0或f（0）=﹣1，令x=1，y=0可得f（1）=f（1）f（0）+f（0）+f（1），若f（0）=﹣1，则f（1）=f（0）=﹣1与已知矛盾；（2）f（2x）﹣a≥af（x）﹣5对任意x恒成立⇒f2（x）+2f（x）﹣a≥af（x）﹣5对任意x恒成立，先探讨f（x）=t的取值范围t∈（﹣1，+∞），原不等式等价于：t2+2t﹣a≥at﹣5在t∈（﹣1，+∞）恒成立，（3）（3）f（f（x））≥⇒[1+f（x+1）]•f（f（x））≥7﹣f（x+1）⇒f（x+1）•⇒[1+f（x+1）]•f（f（x））≥7﹣f（x+1）⇒f（x+1）+f（x+1）•f（f（x））+f（f （x））≥7⇒f（x+1+f（x））≥7．再证明函数y=f（x）在R上单调递增，原不等式转化为x+1+f（x）≥3令F（x）=x+1+f（x），F（x）在R上单调递增F（x）≥F （3）⇒x≥1，【解答】解：（1）令x=y=1可得f（2）=f（1）f（1）+2f（1）=3，令x=y=0可得f（0）=f（0）f（0）+2f（0），则f（0）=0或f（0）=﹣1，令x=1，y=0可得f（1）=f（1）f（0）+f（0）+f（1），若f（0）=﹣1，则f（1）=f（0）=﹣1与已知矛盾，∴f（0）=0；（2）f（2x）﹣a≥af（x）﹣5对任意x恒成立⇒f2（x）+2f（x）﹣a≥af（x）﹣5对任意x恒成立，令f（x）=t，以下探讨f（x）=t的取值范围．令y=﹣x可得f（0）=f（﹣x）f（x）+f（x）+f（﹣x）⇒f（x）=，当x＜0时，f﹣x）＞0，则﹣1＜f（x）=＜0，∴x∈R时，f（x）=t∈（﹣1，+∞）．原不等式等价于：t2+2t﹣a≥at﹣5在t∈（﹣1，+∞）恒成立，即tt2+2t+5≥（t+1）a⇒a≤．g（t）=，当t=1时取等号．∴a≤4．（3）由（2）可得f（x）∈（﹣1+∞），f（x+1）∈（﹣1+∞），f（f（x））≥⇒[1+f（x+1）]•f（f（x））≥7﹣f（x+1）⇒f（x+1）•⇒[1+f（x+1）]•f（f（x））≥7﹣f（x+1）⇒f（x+1）+f（x+1）•f（f（x））+f（f（x））≥7⇒f（x+1+f（x））≥7．下面证明y=f（x）的单调性：任取x1，x2∈R，且x1＞x2，⇒f（x1﹣x2）＞0，f（x2）＞﹣1则f（x1）﹣f（x2）=f（x1﹣x2+x2）﹣f（x2）=f（x1﹣x2）f（x2）+f（x1﹣x2）=f（x1﹣x2）[f（x2）+1]＞0所以函数y=f（x）在R上单调递增，∵f（3）═f（1）f（2）+f（2）+f（1）=7，∴f（x+1+f（x））≥7⇒．f（x+1+f（x））≥f（3）⇒x+1+f（x）≥3令F（x）=x+1+f（x），F（x）在R上单调递增，且F（1）=3x+1+f（x）≥3⇔F（x）≥F（3）⇒x≥1，所以原不等式解集为：[1，+∞）．2018年1月18日。

重庆南开中学高2018届高三（上）期中考试理科数学一、选择题：（共12小题，每小题5分）1．若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于 A ．125 B ．125- C ．512 D ．512-2．已知全集U R =，{|21}x A y y ==+，{|ln 0}B x x =<，则()U C A B = A ．∅ B ．1|12x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ C ．{|1}x x < D ．{|01}x x <<3．设x R ∈，向量(,1)a x =，(1,2)b =-，且a b ⊥，则a b +=A B C ． D ．10 4．(1tan 20)(1tan 21)(1tan 24)(1tan 25)++++的值是A ．2B ．4C ．8D ．165．下列说法错误的是 A ．设32:()21p f x x x mx =+++是R 上的单调增函数，4:3q m ≥，则p 是q 的必要不充分条件； B ．若命题2000:,10p x R x x ∃∈-+≤，则2:,10p x R x x ⌝∀∈-+>；C ．奇函数()f x 定义域为R ，且(1)()f x f x -=-，那么(8)0f =D ．命题“若220x y +=，则0x y ==”的逆命题为“若,x y 中至少有一个不为0，则220x y +≠”。

6．已知ABC ∆中，1AB =，2BC =，则角C 的取值范围是 A ．06C π<≤ B ．02C π<< C ．62C ππ<< D ．63C ππ<≤ 7．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则()4f π的值为A B ．0 C ．1 D 8．设函数21()ln(1)1f x x x =+-+，则使()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是 A ．1(,1)3 B ．1(,)(1,)3-∞-+∞C ．11(,)33-D ．11(,)(,)33-∞-+∞ 9．已知函数()2sin()1,(0)6f x x πωω=+->在[0,]x π∈恰有3个零点，则实数ω取值范围为 A ．58,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．82,3⎡⎫⎪⎢⎭⎣ C ．5,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．5[,2)310．已知函数()sin(2014)cos(2014)63f x x x ππ=++-的最大值为A ，若存在实数12,x x ，使得对任意的实数x ，总有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为A ．1007πB ．2014πC ．21007πD 11．已知函数222()()(ln 2)f x x a x a =-+-，其中0,x a R >∈，存在0x ，使得04()5f x ≤成立，则实数a 的值为 A ．15 B ．25 C ．12 D ．112．已知函数1()x f x xe +=，关于x 的方程2()2sin ()cos 0f x f x αα+⋅+=有四个不等实根，则sin cos ααλ-≥恒成立，则实数λ的最大值为A ．75- B ．12- C ． D ．1-二、填空题：（共4小题，每小题5分）13．若211()2x a dx -=⎰，则a =________ 14．若43()5a =，33()5b =，33log 5c =，则,,a b c 的大小关系为____________（用“＜”表示） 15．在ABC ∆中，若三个内角A 、B 、C 满足：cos 2sin sin A B C =，则ABC ∆的形状为_______三角形。

重庆市沙坪坝区南开中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={–1，1，2}，集合B={x|x∈A且2–x∉A}，则B=（）A. {–1}B. {2}C. {–1，2}D. {1，2}【答案】C【解析】集合B＝{x|x∈A且2﹣x∉A}，集合A＝{﹣1，1，2}，当x＝﹣1时，可得2﹣（﹣1）＝3∉A；当x＝1时，可得2﹣1＝1∈A；当x＝2时，可得2﹣2＝0∉A；∴B＝{﹣1，2}；故选：C．2.函数的定义域为A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得：，解得：1＜x≤3，故选：D．3.下列各组的两个函数为相等函数的是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】A中，f(x)＝的定义域为{x|x≥1}，g(x)＝的定义域为{x|x≥1或x≤－1}，它们的定义域不相同；B中，f(x)＝()2的定义域为，g(x)＝2x－5的定义域为R，定义域不同，不是相等函数．C中，f(x)＝与g(x)＝的对应关系不同，不相等．D中，f(x)＝＝x(x>0)与g(x)＝＝t(t>0)的定义域与对应关系都相同，它们相等,故选D.4.已知函数，且，则A. B. C. 2 D. 1【答案】B【解析】根据题意，函数f（x﹣1）＝2x﹣1，令t x﹣1，则x＝2（t+1），则f（t）＝4（t+1）﹣1＝4t+3，若f（a）＝5，即4a+3＝5，解可得a；故选：B．5.函数的图象为A. B.C. D.【答案】C【解析】函数y ，可得x，∵0，∴y，又x＝3时，y＝0，结合反比例函数的图象，可得x时，函数图象单调性递减；故选：C．6.已知函数是R上的奇函数，当时，，则（）A. B. 0 C. 1 D.【答案】A【解析】根据题意，当x＞0时，f（x）＝4﹣x+x，则f（）1，又由函数为奇函数，则f（）＝﹣f（）＝﹣1；故选：A．7.函数，的值域为A. B. C. D.【答案】C【解析】令，∵；∴，∴x＝t2﹣1，∴，∴时，f（x）取最小值；t＝2时，f（x）取最大值0,但是取不到；∴f（x）的值域为：．故选：C．8.已知是奇函数且在R上的单调递减，若方程只有一个实数解，则实数m的值是A. B. C. D.【答案】B【解析】∵f（x）是奇函数，∴由f（x2+1）+f（m﹣x）＝0，得f（x2+1）＝﹣f（m﹣x）＝f（x﹣m），又f（x）在R上的单调递减，∴x2+1＝x﹣m，即x2﹣x+m+1＝0．则△＝（﹣1）2﹣4（m+1）＝0，解得m．故选：B．9.已知开口向上的二次函数对任意都满足，若在区间上单调递减，则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意函数的对称轴是x，图象开口向上，若f（x）在区间（a，2a﹣1）上单调递减，则只需2a﹣1，解得：a，而a＜2a﹣1，解得：a＞1，故选：B．10.已知是定义在上的偶函数，若对任意的，都满足，则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意，f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，则f（x+1）﹣f（2x﹣1）＜0⇒f（|x+1|）＜f（|2x﹣1|），若f（x）对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2）都满足0，则函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，则f（|x+1|）＜f（|2x﹣1|）⇒|x+1|＜|2x﹣1|，变形可得：（x+1）2＜（2x﹣1）2，解可得：x＜0或x＞2，即不等式的解集为（﹣∞，0）∪（2，+∞）；故选：C．11.已知函数，若存在实数x，使得与均不是正数，则实数m的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】分3类讨论①m＝0 时，对于任意x,g（x）＝0 而f（x）＝2（x+1）2+2值恒正，不满足题意．②m＜0 时，对于x0 时，g（x）0 成立，只需考虑x0时f（x）的情况，由于函数f（x）＝2x2+（4﹣m）x+4﹣m，对称轴为.当m＜0 时，对称轴在y轴左侧，故只需满足f（0）＜0即可，即m＞4，不满足题意．③当m＞0 时，g（x）0 在x0 时成立，只需考虑x0时f（x）的情况，若存在实数x使得f（x）不是正数，则,即m≥4.此时对称轴，所以只需，解得m≥4.综上所述m取值范围为m≥4．故选：A．12.已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的最大值为A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】函数f（x），如图所示，①当b＝0时，[f（x）]2+af（x）﹣b2＜0化为[f（x）]2+af（x）＜0，当a＞0时，﹣a＜f（x）＜0，由于关于x的不等式[f（x）]2+af（x）＜0恰有1个整数解，因此其整数解为2，又f（2）＝﹣4+2＝﹣2，∴﹣a＜﹣2＜0，﹣a≥f（3）＝﹣6，则6≥a＞2，a≤0不必考虑．②当b≠0时，对于[f（x）]2+af（x）﹣b2＜0，△＝a2+4b2＞0，解得：f（x），只考虑a＞0，则0，由于f（x）＝0时，不等式的解集中含有多于一个整数解（例如，0，1），舍去．综上可得：a的最大值为6．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，则______．【答案】【解析】根据题意，f（x），则f（），则f（）；故答案为：．14.函数的单调减区间为______．【答案】【解析】当x＞2时，f（x）＝x2﹣2x，当x≤2时，f（x）＝﹣x2+2x，故函数f（x）．f（x）＝x2﹣2x的对称轴为：x＝1，开口向上，x＞2时是增函数；f（x）＝﹣x2+2x，开口向下，对称轴为x＝1，则x＜1时函数是增函数，1＜x＜2时函数是减函数．即有函数的单调减区间是[1，2]．故答案为：[1，2]．15.设函数是定义在R上的奇函数，，若在单调递减，则不等式的解集为______．【答案】【解析】根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）单调递减，又由f（﹣2）＝0，则f（2）＝﹣f（﹣2）＝0，则在区间（0，2）上，f（x）＞0，则（2，+∞）上，f（x）＜0，又由f（x）为R上的奇函数，则在区间（﹣∞，﹣2）上，f（x）＞0，则（﹣2，0）上，f（x）＜0，则在区间（0，2）或（﹣∞，﹣2）上，f（x）＞0；在（2，+∞）或（﹣2，0）上，f（x）＜0，（x+1）f（x﹣1）＞0⇒或，解可得：1＜x＜3，即x的取值范围为（1，3）；故答案为：（1，3）．16.已知函数对任意的实数x，y都满足且，则的值为______．【答案】【解析】对任意的实数x，y都满足f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y）且f（1），令x＝y＝0，可得f（0）+f（0）＝2f（0）f（0），可得f（0）＝0或f（0）＝1，若f（0）＝0，可令y＝0，则f（x）+f（x）＝2f（x）f（0）＝0，即f（x）＝0，这与f（1）矛盾，则f（0）＝0不成立，则f（0）＝1，令x＝y＝1，可得f（2）+f（0）＝2f（1）f（1），可得f（2）＝21，令x＝0，y＝1可得f（1）+f（﹣1）＝2f（0）f（1），即有f（﹣1）＝2×1，令x＝y＝﹣1可得f（﹣2）+f（0）＝2f（﹣1）f（﹣1），即有f（﹣2）＝21，则f（2）+f（﹣2）＝﹣1．故答案为：﹣1．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合，，，其中．设全集为R，求；若，求实数m的取值范围．解：由集合，或，（1）由条件可得，.由（1）可知或，由，即或，，解得：，解得实数m的取值范围是．18.；设，化简：；若，求的值．解：原式；原式；若，则，，故．19.已知函数是定义在上的奇函数，且．求的解析式；求函数的值域．解：由已知得，即，，再由，得，解得，，，，当时，；当时，一元二次方程对x有解，所以，解得且，综上所述：所求函数的值域为20.已知集合，，．若，求实数a的取值集合；若，求实数a的取值范围．解：（1）根据题意得到，若，则，，此时，，，此时，实数a的取值集合为；，设，若，则，，，，，，，，综上可知，实数a的取值范围为．21.定义在上的函数满足对所有的正数x、y都成立，且当，．求的值；判断并证明函数在上的单调性；若关于x的不等式在上恒成立，求实数k的取值范围．（1）解：∵f（xy）＝f（x）+f（y），取x＝1，y＝1得：f（1）＝f（1）+f（1），∴f（1）＝0．（2）证明：设x1＞x2＞0，则f（x1）﹣f（x2）＝f（x2•）﹣f（x2）＝f（），∵x1＞x2＞0；∴；又x＞1时，f（x）＜0，∴，∴f（x1）﹣f（x2）＜0；∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．（3）∵f（2）＝﹣1，f（xy）＝f（x）+f（y）；由f（kx）﹣f（x2﹣kx+1）≥1得f（2kx）≥f（x2﹣kx+1）又f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴，∴，∴，∴0＜k．22.已知，函数F（x）=min{2|x−1|，x2−2ax+4a−2}，其中min{p，q}=（１）求使得等式F（x）=x2−2a x+4a−2成立的x的取值范围；（２）（ⅰ）求F（x）的最小值m（a）；（ⅱ）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）.解：（１）由于，故当时，，当时，．所以，使得等式成立的的取值范围为．（２）（ⅰ）设函数，，则，，所以，由的定义知，即．（ⅱ）当时，，当时，．所以，．。