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高中数学 第一章 1.5 定积分的概念 1.5.3 定积分的概念学案 新人教A版选修2-2

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1.5.3 定积分的概念[课时作业] [A 组 基础巩固]1．下列结论中成立的个数是( )①⎠⎜⎛01x 3d x ＝∑i ＝1ni 3n 3·1n ； ②⎠⎜⎛01x 3d x ＝lim n →∞∑i ＝1ni －13n 3·1n；③⎠⎜⎛01x 3d x ＝lim n →∞∑i ＝1ni 3n 3·1n . A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：由定积分的定义，知②③正确，①错误． 答案：C2.如图所示，⎠⎜⎛abf (x )d x ＝( )A ．S 1＋S 2＋S 3B ．S 1－S 2＋S 3C ．－S 1＋S 2－S 3D ．－S 1－S 2＋S 3解析：由定积分的几何意义知当f (x )≥0时，⎠⎜⎛abf (x )d x 表示面积S ，当f (x )≤0时，⎠⎜⎛abf (x )d x ＝－S .答案：C3．已知a ＝∑i ＝1n 1n⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2，n ∈N *，b ＝⎠⎜⎛01x 2d x ，则a ，b 的大小关系是( ) A ．a >b B ．a ＝b C ．a <bD ．不确定解析：根据定积分的概念知，a ＝∑i ＝1n1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2表示图1中n 个小矩形组成的阴影部分的面积，b ＝⎠⎜⎛01x 2d x 表示由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝0围成的图2阴影部分的面积，故a >b ，选A.答案：A4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，2x，x <0，则⎠⎜⎛－11f (x )d x 的值是( )A. ⎠⎜⎛－1x 2d x B. ⎠⎜⎛－102x d x C.⎠⎜⎛－10x 2d x ＋⎠⎜⎛012d x D. ⎠⎜⎛－12x d x ＋⎠⎜⎛01x 2d x 解析：因为f (x )在不同区间上的解析式不同，所以积分区间应该与对应的解析式一致．利用定积分的性质可得正确答案为D.答案：D5．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则⎠⎜⎛－aaf (x ) d x ＝0B ．若f (x )是连续的偶函数，则⎠⎜⎛－a af (x )d x ＝2⎠⎜⎛0a f (x )d x C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则⎠⎜⎛abf (x )d x >0D ．若f (x )在[a ，b )上连续且⎠⎜⎛abf (x )d x >0，则f (x )在[a ，b )上恒正解析：本题考查定积分的几何意义，对A ：因为f (x )是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 正确．对B ：因为f (x )是偶函数，所以图象关于y 轴对称，故图象都在x 轴下方或上方且面积相等，故B 正确．C 显然正确．D 选项中f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )>0的曲线围成的面积比f (x )<0的曲线围成的面积大．答案：D6．若⎠⎜⎛0112f (x )d x ＝1，⎠⎜⎛－103f (x )d x ＝2，则⎠⎜⎛－11f (x )d x ＝________. 解析：∵⎠⎜⎛0112f (x )d x ＝1，∴⎠⎜⎛01f (x ) d x ＝2， ∵⎠⎜⎛－103f (x )d x ＝2，∴⎠⎜⎛－10f (x )d x ＝23， ∴⎠⎜⎛－11f (x )d x ＝⎠⎜⎛－10f (x )d x ＋⎠⎜⎛01f (x )d x ＝23＋2＝83. 答案：837．曲线y ＝1x与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形面积用定积分可表示为________．解析：如图所示，阴影部分的面积可表示为⎠⎜⎛12x d x －⎠⎜⎛121x d x ＝⎠⎜⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －1x d x .答案：⎠⎜⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x 8.⎠⎜⎛aba －x x －b d x ＝________. 解析：⎠⎜⎛aba －xx －bd x表示由曲线y ＝a －xx －b 和直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴围成图形的面积．由y ＝a －x x －b ，得y 2＋⎝⎛⎭⎪⎫x －a ＋b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 22(y ≥0)，所以y ＝a －xx －b表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，0为圆心，以b －a 2为半径的上半圆．故⎠⎜⎛aba －x x －b d x 表示如图所示的半圆的面积，S 半圆＝π(b －a2)2×12＝πb －a28，所以⎠⎜⎛ab a －xx －b d x ＝πb －a28.答案：πb －a 289．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)．解析：(1)⎠⎛ππ3sin x d x .(2)⎠⎛2－4x 22d x . (3)－⎠⎜⎛49(－x 12)d x ＝⎠⎜⎛49x 12d x . 10．利用定积分的几何意义求⎠⎜⎛－22f (x )d x ＋22ππ-⎰sin x cos x d x ，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0，3x －1，x <0.解析：⎠⎜⎛－22f (x )d x ＋∫π2－π2sin x cos x d x ＝⎠⎜⎛－20(3x －1)d x ＋⎠⎜⎛02(2x －1)d x ＋22ππ-⎰sin x cos x d x .∵y ＝sin x cos x 为奇函数，∴22ππ-⎰sin x cos x d x ＝0.利用定积分的几何意义，如图，∴⎠⎜⎛－2(3x －1)d x ＝－7＋12×2＝－8， ⎠⎜⎛02(2x －1)d x ＝12×3×32－12×1×12＝2. ∴⎠⎜⎛－22f (x )d x ＋22ππ-⎰sin x cos x d x ＝2－8＋0＝－6.[B 组 能力提升]1．已知定积分⎠⎜⎛6f (x )d x ＝8，且f (x )为偶函数，则⎠⎜⎛－66f (x )d x 等于( )A ．0B ．16C ．12D ．8解析：∵被积函数f (x )为偶函数，∴在y 轴两侧的函数图象对称，从而对应的曲边梯形面积相等．∴⎠⎜⎛－66f (x )d x ＝2⎠⎜⎛06f (x )d x ＝2×8＝16. 答案：B2．若S 1＝⎠⎜⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎜⎛121xd x ，S 3＝⎠⎜⎛12e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1解析：本题考查定积分几何意义的应用问题．明确定积分中各被积函数在积分区间上所表示的图形是解题的关键．如图所示，可得S 2<S 1<S 3.答案：B3.⎠⎜⎛11－x －12d x ＝________.解析：函数y ＝1－x －12的图象是圆心为(1,0)，半径为1的圆的上半部分．由定积分的几何意义知道，所求定积分为圆面积的14，即是π4. 答案：π44．若⎠⎜⎛a b[f (x )－g (x )]d x ＝2，⎠⎜⎛a b [f (x )＋g (x )]d x ＝3，则⎠⎜⎛ab f (x )d x ＝________.解析：由已知得⎠⎜⎛a bf (x )d x －⎠⎜⎛a bg (x )d x ＝2，⎠⎜⎛a b f (x )d x ＋⎠⎜⎛ab g (x )d x ＝3，两式联立可得⎠⎜⎛abf (x )d x ＝52. 答案：525．用定积分的几何意义求下列各式的值．(1) ⎠⎜⎛－114－x 2d x ；(2) 2ππ-⎰sin x d x ；(3)522ππ⎰(1＋sin x )d x .解析：(1)由y＝4－x 2可知x 2＋y 2＝4(y ≥0)，如图所示，∴⎠⎜⎛－114－x 2d x 等于圆心角为60°的弓形面积CED 与矩形ABCD的面积之和∵S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin π3＝2π3－3，S 矩形＝AB ·BC ＝23，∴⎠⎜⎛－114－x 2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3.(2)∵函数y ＝sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是奇函数，∴22ππ-⎰sin x d x ＝0.(3)函数y ＝1＋sin x 的图象如图所示，522ππ⎰(1＋sin x )d x ＝S 矩形ABCD ＝2π.6．是否存在常数a ，使得⎠⎜⎛－1ax 5d x 的值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解析：⎠⎜⎛a x 5d x 表示直线x ＝－1，x ＝a ，y ＝0和曲线y ＝x 5所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．又f (x )＝x 5为奇函数，∴⎠⎜⎛－10x 5d x <0，且⎠⎜⎛－10x 5d x ＝－⎠⎜⎛01x 5d x ，∴要使⎠⎜⎛－1ax 5d x ＝0成立，则a ＝1，故存在a ＝1，使⎠⎜⎛－1a x 5d x ＝0.。

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1.5.3 定积分的概念

1.5.3 定积分的概念

第一章
导数及其应用
1．5.3
定积分的概念
第一章
导数及其应用
学习导航 1.了解定积分的概念． 学习 2．理解定积分的几何意义．(难点) 目标 3．掌握定积分的基本性质．(重点)
通过求曲边梯形的面积、变速直线运动的路程这两个背 学法 景和实际意义截然不同的问题，进一步体会定积分的作 指导 用及意义.
第一章
b
a
b
＝ [f(x)＋ g(x)]dx， ∴ f(x)dx＝ 12－ 6＝ 6， ∴ 3f(x)dx
a a b a b
b
＝ 3 f(x)dx＝ 3× 6＝ 18.
a
栏目 导引
b
第一章
导数及其应用
名师解题
巧用定积分的几何意义求面积
善于思考的小明发现： 半径为 a， 圆心在原点的圆， 如果固定直径 AB，把圆内的所有与轴平行的弦都压缩到 原来的 b 倍，就得到一种新的图形 ——椭圆．他受祖冲之 “割圆术”的启发，采用“化整为零，积零为整”“化曲 为直，以直代曲”的方法，正确地求出了椭圆的面积，他 求得的结果为 ________．
n
积分下限 与 _______________ 积分上限 a 与 b 分别叫做 _______________ ，区 积分区间 间 [a ， b] 叫 做 _______________ ， 函 数 f(x) 叫 做 被积函数 积分变量 ， f(x)dx 叫做 _______________ ， x 叫做 ______________ 被积式 _______________ ．
a
a
栏目 导引
第一章
导数及其应用
2．定积分的几何意义 如 果 在 区 间 [a ， b] 上 函 数 f(x) 连 续 且 恒 有 b f(x)≥0 _______________ ， 那么定积分 f(x)dx 表示由直线 x＝ a，
1.5.3定积分的概念

1.5.3定积分的概念

§1.5.3定积分的概念学案教学目标：⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；⒉借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．3．理解掌握定积分的几何意义；教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 教学过程：一．前置复习：1． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．二．新课讲授1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。

说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：（3）曲边图形面积： ；变速运动路程； 变力做功2．定积分的几何意义分析：2．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1性质2性质3性质4 说明：①推广：1212[()()()]()()()bb bbm m aaaaf x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰②推广:121()()()()kbc c baac c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰③性质解释：PCN M BAabOyxy=1yxOba三．典例分析 例1．计算定积分21(1)x dx +⎰四．课堂练习 计算下列定积分 1．5(24)x dx -⎰5(24)945x dx -=-=⎰2．11x dx -⎰11111111122x dx -=⨯⨯+⨯⨯=⎰3．课本 练习 五．回顾总结1．定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义．六．布置作业性质1 性质4AMNB AMPC CPNBS S S =+曲边梯形曲边梯形曲边梯形§1.5.3定积分的概念教案教学目标：⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；⒉借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．3．理解掌握定积分的几何意义；教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 教学过程： 一．创设情景 复习：1． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：分割→以直代曲→求和→取极限（逼近2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 二．新课讲授1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

高中数学 第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念 1.5.3 定积分的概念导学案 新人教A版选

高中数学 第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念 1.5.3 定积分的概念导学案 新人教A版选

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1。

5.3定积分的概念【学习目标】1．理解曲边梯形面积的求解思想,掌握其方法步骤；2．了解定积分的定义、性质及函数在上可积的充分条件；3．明确定积分的几何意义和物理意义； 4．无限细分和无穷累积的思维方法。

【学习重难点】重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义．难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 【使用说明与学法指导】1.课前用20分钟预习课本P45—47内容.并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学。

2。

独立思考，认真限时完成，规范书写。

课上小组合作探究,答疑解惑。

【问题导学】 1.定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆(b ax n-∆=）,在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f n ξξ==-=∆=∑∑.如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

§1.5.3定积分的概念

§1.5.3定积分的概念

1.5.3定积分的概念一：教学目标1、通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；能用定积分的定义求简单的定积分；理解掌握定积分的几何意义； 2、借助于几何直观定积分的基本思想，理解定积分的概念；二：教学重难点重点 定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义 难点 定积分的概念、定积分的几何意义三：教学目标：1．创设情景1．解决步骤：2 2．新课讲授1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ= ，作和式：11()()n nn i i i i b aS f x f n ξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()ba S f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。

说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b af n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ （3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr =⎰2．定积分的几何意义如果在区间[,]a b 上函数连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。