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第9章非线性问题的有限单元法9.1 非线性问题概述前面章节讨论的都是线性问题，但在很多实际问题中，线弹性力学中的基本方程已不能满足，需要用非线性有限单元法。
非线性问题的基本特征是变化的结构刚度，它可以分为三大类：材料非线性、几何非线性、状态非线性。
1. 材料非线性(塑性, 超弹性, 蠕变)材料非线性指的是材料的物理定律是非线性的。
它又可分为非线性弹性问题和非线性弹塑性问题两大类。
例如在结构的形状有不连续变化（如缺口、裂纹等）的部位存在应力集中，当外载荷到达一定数值时该部位首先进入塑性，这时在该部位线弹性的应力应变关系不再适用，虽然结构的其他大部分区域仍保持弹性。
2. 几何非线性(大应变, 大挠度, 应力刚化)几何非线性是有结构变形的大位移引起的。
例如钓鱼杆，在轻微的垂向载荷作用下，会产生很大的变形。
随着垂向载荷的增加，杆不断的弯曲，以至于动力臂明显减少，结构刚度增加。
3. 状态非线性(接触, 单元死活)状态非线性是一种与状态相关的非线性行为。
例如，只承受张力的电缆的松弛与张紧；轴承与轴承套的接触与脱开；冻土的冻结与融化。
这些系统的刚度随着它们状态的变化而发生显著变化。
9.2 非线性有限元问题的求解方法对于线性方程组，由于刚度方程是常数矩阵，可以直接求解，但对于非线性方程组，由于刚度方程是某个未知量的函数则不能直接求解。
以下将简要介绍借助于重复求解线性方程组以得到非线性方程组解答的一些常用方法。
1.迭代法迭代法与直接法不同，它不是求方程组的直接解，而是用某一近似值代人，逐步迭代，使近似值逐渐逼近，当达到允许的规定误差时，就取这些近似值为方程组的解。
与直接法相比，迭代法的计算程序较简单，但迭代法耗用的机时较直接法长。
它不必存贮带宽以内的零元素，因此存贮量大大减少，且计算中舍入误差的积累也较小。
以平面问题为例，迭代法的存贮量一般只需直接法的14左右。
在求解非线性方程组时，一般采用迭代法。
2. 牛顿—拉斐逊方法ANSYS程序的方程求解器计算一系列的联立线性方程来预测工程系统的响应。
非线性有限元分析1 概述在科学技术领域内，对于许多力学问题和物理问题，人们已经得到了它们所应遵循的基本方程（常微分方程或偏微分方程）和相应的定解条件（边界条件）。
但能够用解析方法求出精确解的只是少数方程性质比较简单，并且几何形状相当规则的问题。
对于大多数工程实际问题，由于方程的某些特征的非线性性质，或由于求解区域的几何形状比较复杂，则不能得到解析的答案。
这类问题的解决通常有两种途径。
一是引入简化假设，将方程和几何边界简化为能够处理的情况，从而得到问题在简化状态下的解答。
但是这种方法只是在有限的情况下是可行的，因为过多的简化可能导致误差很大甚至是错误的解答。
因此人们多年来一直在致力于寻找和发展另一种求解途径和方法——数值解法。
特别是五十多年来，随着电子计算机的飞速发展和广泛应用，数值分析方法已成为求解科学技术问题的主要工具。
已经发展的数值分析方法可以分为两大类。
一类以有限差分法为代表，主要特点是直接求解基本方程和相应定解条件的近似解。
其具体解法是将求解区域划分为网格，然后在网格的结点上用差分方程来近似微分方程，当采用较多结点时，近似解的精度可以得到改善。
但是当用于求解几何形状复杂的问题时，有限差分法的精度将降低，甚至发生困难。
另一类数值分析方法是首先建立和原问题基本方程及相应定解条件相等效的积分提法，然后再建立近似解法并求解。
如果原问题的方程具有某些特定的性质，则它的等效积分提法可以归结为某个泛函的变分，相应的近似解法实际上就是求解泛函的驻值问题。
诸如里兹法，配点法，最小二乘法，伽辽金法，力矩法等都属于这一类方法。
但此类方法也只能局限于几何形状规则的问题，原因在于它们都是在整个求解区域上假设近似函数，因此，对于几何形状复杂的问题，不可能建立合乎要求的近似函数。
1960年，发表了有限单元法的第一篇文献“The Finite Element Method in Plane Stress Analysis”，这同时也标志着有限单元法（FEM）的问世。
第9章非线性问题的有限单元法9.1 非线性问题概述前面章节讨论的都是线性问题，但在很多实际问题中，线弹性力学中的基本方程已不能满足，需要用非线性有限单元法。
非线性问题的基本特征是变化的结构刚度，它可以分为三大类：材料非线性、几何非线性、状态非线性。
1. 材料非线性(塑性, 超弹性, 蠕变)材料非线性指的是材料的物理定律是非线性的。
它又可分为非线性弹性问题和非线性弹塑性问题两大类。
例如在结构的形状有不连续变化（如缺口、裂纹等）的部位存在应力集中，当外载荷到达一定数值时该部位首先进入塑性，这时在该部位线弹性的应力应变关系不再适用，虽然结构的其他大部分区域仍保持弹性。
2. 几何非线性(大应变, 大挠度, 应力刚化)几何非线性是有结构变形的大位移引起的。
例如钓鱼杆，在轻微的垂向载荷作用下，会产生很大的变形。
随着垂向载荷的增加，杆不断的弯曲，以至于动力臂明显减少，结构刚度增加。
3. 状态非线性(接触, 单元死活)状态非线性是一种与状态相关的非线性行为。
例如，只承受张力的电缆的松弛与张紧；轴承与轴承套的接触与脱开；冻土的冻结与融化。
这些系统的刚度随着它们状态的变化而发生显著变化。
9.2 非线性有限元问题的求解方法对于线性方程组，由于刚度方程是常数矩阵，可以直接求解，但对于非线性方程组，由于刚度方程是某个未知量的函数则不能直接求解。
以下将简要介绍借助于重复求解线性方程组以得到非线性方程组解答的一些常用方法。
1.迭代法迭代法与直接法不同，它不是求方程组的直接解，而是用某一近似值代人，逐步迭代，使近似值逐渐逼近，当达到允许的规定误差时，就取这些近似值为方程组的解。
与直接法相比，迭代法的计算程序较简单，但迭代法耗用的机时较直接法长。
它不必存贮带宽以内的零元素，因此存贮量大大减少，且计算中舍入误差的积累也较小。
以平面问题为例，迭代法的存贮量一般只需直接法的14左右。
在求解非线性方程组时，一般采用迭代法。
2. 牛顿—拉斐逊方法ANSYS程序的方程求解器计算一系列的联立线性方程来预测工程系统的响应。
桥梁结构的非线性分析方法在现代工程领域中，桥梁作为重要的交通基础设施，其结构的安全性和可靠性至关重要。
为了准确评估桥梁在各种复杂荷载作用下的性能，非线性分析方法逐渐成为桥梁结构分析的重要手段。
桥梁结构的非线性行为主要源于材料的非线性、几何非线性以及边界条件的非线性等方面。
材料非线性通常包括混凝土的开裂、钢筋的屈服等；几何非线性则可能由于大变形、大位移或初始应力的影响；边界条件的非线性例如支座的滑移、基础的沉降等。
在进行桥梁结构的非线性分析时，有限元方法是一种广泛应用的技术。
通过将桥梁结构离散为有限个单元，并对每个单元建立相应的力学方程，然后组合成整体的方程组进行求解。
有限元软件如 ANSYS、ABAQUS 等为桥梁结构的非线性分析提供了强大的工具。
在材料非线性分析中，混凝土和钢筋的本构关系模型是关键。
对于混凝土，常见的本构模型有弥散裂缝模型、损伤塑性模型等。
这些模型能够模拟混凝土在受拉和受压时的开裂、破碎等行为。
钢筋的本构模型通常采用理想弹塑性模型或考虑强化阶段的模型。
几何非线性分析需要考虑结构的大变形和大位移。
在有限元分析中，可以通过更新拉格朗日法或完全拉格朗日法来处理几何非线性问题。
例如，在斜拉桥的分析中，由于索的大变形和结构的整体位移，几何非线性的影响不可忽略。
边界条件的非线性分析在桥梁结构中也十分重要。
例如，橡胶支座的非线性特性需要通过实验获取其力学参数，并在分析中进行准确模拟。
基础与土体的相互作用也可能表现出非线性，需要采用合适的模型来描述。
除了有限元方法，还有一些其他的非线性分析方法也在桥梁工程中得到应用。
例如，能量法通过计算结构在变形过程中的能量变化来评估其稳定性；增量法将荷载逐步施加，通过分析每个荷载步的结构响应来追踪非线性行为。
在实际工程中，桥梁结构的非线性分析通常是一个复杂且耗时的过程。
需要对结构的力学特性有深入的理解，合理选择分析方法和模型，准确输入材料参数和边界条件。
同时，还需要对分析结果进行仔细的评估和验证。
建筑结构的非线性分析建筑结构的非线性分析是对建筑结构进行分析时所面临的一种难题。
一方面，建筑结构本身复杂多变，在外力作用下会呈现出非线性响应；另一方面，建筑结构的分析不仅需要考虑结构的受力状态，还要考虑材料、几何、荷载等因素的影响。
因此，建筑结构的非线性分析是一项非常重要的任务，它可以帮助工程师更准确地预测结构的响应，并为结构的优化设计提供有力的支持。
建筑结构的非线性响应建筑结构的非线性响应是由于材料的非线性特性、几何的非线性特性、以及受力状态的非线性特性等因素导致的。
这些因素可以是单独的，也可以是相互作用的。
其中，材料的非线性特性是指材料的力学特性呈现出非线性的形态，例如材料在不同的荷载下呈现出不同的弹性模量和极限应变等；几何的非线性特性是指结构的形态或尺寸呈现出非线性的形态，例如结构由于荷载作用变形，导致结构的尺寸出现变化；而受力状态的非线性特性是指在不同荷载作用下，结构的刚度、强度等性质呈现出非线性的形态。
建筑结构的非线性分析方法建筑结构的非线性分析方法包括有限元法、分步分析法、极限荷载法等。
其中，有限元法是应用最为广泛的分析方法之一，它利用有限元离散化的方法来近似连续介质结构的行为和响应，可以进行非线性材料、几何和受力状态的分析，并能够准确地描述结构的弯曲、剪切、扭转、局部破坏及塑性行为等现象。
与有限元法不同的是，分步分析法是一种迭代计算方法，其基本思想是将整个分析过程分成若干个阶段，逐步引入不同的非线性因素，从而分析出每个阶段的响应结果。
而极限荷载法则是一种经验法，它忽略计算领域中不便考虑的因素，例如非线性响应的微小变化、材料的粘性和不均匀性等，而仅仅关注于结构在极限荷载下的反应，从而得出结构的破坏载荷。
建筑结构的非线性分析应用建筑结构的非线性分析应用非常广泛，可以用于结构的优化设计、结构的健康监测和结构的可靠性评估等方面。
首先，在结构的优化设计方面，非线性分析可以帮助工程师更准确地预测结构的响应，并根据所得到的结果对结构进行优化设计，从而提高结构的性能。
