保序且保等价变换半群的变种半群的格林关系
- 格式：pdf
- 大小：208.19 KB
- 文档页数：4
仃（ ）＝７（ ） ｇ ｒ ．
取 Ｕ∈Ｅ ． 则存 在 Ａ， ＣＥＸ Ｅ，使得 Ｕ） Ａ， Ａ ＣＢ， （ ） Ｃ， （ ）＝ Ｏ（ ） ｈ （ （）， 厂 Ｂ， ／ Ｃ （ ） ＿ ＿ ｈＪ Ｂ ｇ Ｕ ｈｆ Ｏ Ａ）
任意 ）ＹＥ ， ｙＹ） Ｅ时有（ （ ） 咖 ｙ） Ｅ ．映射 称为是 Ｅ’ 保持的 ， ， Ｙ 当（ ， ∈ ， 咖 ｙ ， （ ） Ｅ 一 若对任意 ＹＹＥ ， Ｙ ， Ｙ 有（ ， Ｙ） ∈Ｅ当且仅 当 （ ｙ ， Ｙ） ＥＥ （ ） （ ） ． 定义 ４ 设映射 ：７（ 一仃（ ） ｒ） ／ ｇ ．若对每个 ＡＥ ／ 存在 曰Ｅ ／ ， Ｅ， Ｘ Ｅ 使得对 每个 Ｐ Ｅ ｒ（ 有 Ｘ ７
保序 且保 等 价 变 换 半 群 的 变 种 半 群 的格 林关 系
秦 美青
（ 菏泽学 院 数学 系 ， 山东 菏泽 ２４ １ ） ７０ ５
摘
要 ： 已有 的保等价变换半群 的基础 上 ， 在 引入 了保等价变换半群 的～类子半 群保 序且保 等价变换半群 ，
并在这类半 群中规定新的运算 ， 出一类新 的半 群 ， 得 称为保序且保等价变换半群 的变种半群 ．利用格林关系 的定义 ， 刻画 了这类半群上 的格林关 系． 关键词 ： 保序 ； 保等价关 系 ； 变种半群 ； 林关 系 格
第３ Ｏ卷 第 ２期
２１ ０ ２年 ６月
海 南 大 学 学 报 自 然 科 学 版
ＮＡＴ ＵＲＡＬ ＣＩ Ｓ ＥＮＣＥ ｏＩ ＮＡＬ ｏＦ ＩＡＩ Ｊ 瓜 ｔ ＮＡＮ Ｉ ＶＥＲＳＩ ＩＮＩ ＴＹ
Ｖ０ ． ０ Ｎｏ ２ １３ ． Ｊｎ２ ２ ｕ ． ０１
文 章 编 号 ：０ ４—１２ （ ０ ２ ０ ０ ０ ０ １０ ７ ９ ２ １ ） ２— １３— ４
收 稿 日期 ： ０ ２— ２—２ ２１ ０ ３
作者简介 ： 秦美青 （９２ ， ， １８ 一）女 山东潍坊人 ， 菏泽学院数学系助教 ， 硕士
１４ ０
海 南 大 学 学 报 自 然 科 学 版ＥＬ ）（ ， ） ；
２ ｒ∽ ＝ ＝１（ ）＝ｒ 铅 ） Ｅ ｏ）＝ ＝ ｇ Ｅ（ｇ ； ）７（ 仃（ ｒｇ ７（ 和 （ｆ Ｅ（ Ｅ（ ）＝ ｏ ）
０ Ｂ） （ ｎｏ（ ≠０， 映射 称为 一可容许 的．若 是 双 射且 和 Ｐ） 则 称为 是 Ｅ 一可 容许 的． 文 中没有说 明的概念 与 符号 ， 看文 献 ［ 参 ６—８ ． ］ 都 是 一可 容许 的 ， 映射 则
２ 主要定理及其证 明
定 理 １ 设 ｆｇＥ０ （ Ｏ 且 ｆ ， Ｘ；） ＃ｇ， 以下 条件 等价 ： 则
３ ）存在 Ｅ 一 ’ 保持的序同构 咖 厂 Ｘ －ｇ Ｘ ， ： （ ）－ （ ） 使得 ｇ＝ 且 Ｏ 和 Ｏ ） Ｅ 保持的保序单射． ， Ｉ Ｉ 是 一 证明 １ ２ 设 （，） ， ） ） 厂ｇ Ｅ 则存在 ｈ Ｅ ￡ Ｘ Ｏ 使得厂 ｜ ｇ＝ ｏ ， ｈｆ ｈｔ 因为 ｇ＝ ｏ， Ｌ ， （ ；） ０ ＝｝ ｋ ｇ＝ ＝ ｏ ｊ 。 ｇ ｏ ． ： ｈ 所 ｆ 以 丌（ 加 细 Ｉ（ ） 又 因 为厂＝ 眙 ， 以 仃（ ） 细 ７（ ， ｒｇ ， 所 ｇ加 ｒ 从而 ７（ ＝７（ ） ｒ ｒｇ ．由厂＝ｋｇ：（ ） ｈ ） ， Ｏ （ Ｏｆ 则 ０ 是 单射 ， 而 仃（： Ｉ 从 ｏ ｔ ３＝仃（ ．类 似可 证 ， Ｉ ） ０ 是单 射且 ７（ｇ 仃（ ） ｒｏ ）＝ ｇ ．这样 就 有 ７（ｆ ｒ ｏ）＝７（ ＝ ｒ
引理 １ 设 是一 个全 序集 ， Ｅ是集合 上 的非平 凡 凸等价 关 系．设 ｆＥ０ （ ）则每 个 ＰＥ７（ ， ｒ — 若对 任意 ， Ｘ， ＹＥ ≤ｙ时有 ） ） ， 映射／称 为 ≤ ， 则 ）
和每 个 ∈ （ ． 为 的凸集． 均 定义 １３ 设 ， 全序 集．映射 ＿ ｙ是
保序 的．若 ，是保 序 双射使 得 ＜Ｙ当且 仅 当 ） Ｙ ，． ＜ ） ￣ ｆ称 为序 同构 的． Ｊ １ 定义 ２３ 设 是全 序集 ， － Ａ是 的 子集 ， 对任 意 ， Ａ且 ≤） 有 ｛ ： ≤ｚ ，＿Ａ，则 称 若 ＹＥ ， ， Ｅ ≤，｝ Ｃ 集合 Ａ为 凸集． 定义 ３４ 设 Ｅ是 上 的等 价关 系 ， ， － ｌ Ｚ分 别表 示 的子集．映射 ： ｙ ， —ｚ称为 Ｅ一 持 的 ， 对 保 若
变换半 群
０ （ ＝｛ Ｘ） Ｖ戈 ＹＥＸ， ＝ 厂 ≤厂Ｙ ｝ Ｘ） ｆＥｚ （ ： ， ≤ｙ （ ；（ ） ． ）
取定 ０ Ｘ ， ０ （ ） 如下定义半群 ０ （ 上的一个新 的运算 “”， ｇ＝ Ｏ ， Ｅ ） 其中乘积ｆｇ Ｅ Ｅ ） 。 ：。 ｆｇ ｇＥ （ ， ０ ｏ 为变换 ０ｇ的合成． ， 这样 ， 在新 的运算 “” ， 。 下 得到一个新的半群 ， 称其为保序且 保等价变换半群 Ｄ （） 的变 种半 群 ， 为 ０ （ Ｏ ．本 文 中刻 画半群 ０ （ ） 记 Ｘ；） ； 的格林 关 系．
中 图分 类 号 ：Ｏ １２ ７ ５ ． 文 献 标 志 码 ：Ａ
１ 预 备 知 识
格林关系在半群理论 的形成和发展 中起着重要作用 ， 其定义参看文献 ［ ］ １ ．设 是一个集合 ， 是
集 合 上 的所 有完 全变换 做 成 的半 群．Ｅ是 集合 上 的等价 关 系 ，文献 ［ ］ ２ 引入 了保 等价 变换半 群 （ Ｘ）＝｛ ｘ Ｖ（ ，） ｆ∈ｒ ： 口ｂＥ 口 ｂ ） ） ） ＥＥ｝ 描 述 了半群 （ 上 的格 林关 系．文献 ［ ］ ） ３ 中引人 了保 等价 变换 半群 （ 的一个 子 半 群保 序且 保 等价 ）
取 Ｕ∈Ｅ ． 则存 在 Ａ， ＣＥＸ Ｅ，使得 Ｕ） Ａ， Ａ ＣＢ， （ ） Ｃ， （ ）＝ Ｏ（ ） ｈ （ （）， 厂 Ｂ， ／ Ｃ （ ） ＿ ＿ ｈＪ Ｂ ｇ Ｕ ｈｆ Ｏ Ａ）
任意 ）ＹＥ ， ｙＹ） Ｅ时有（ （ ） 咖 ｙ） Ｅ ．映射 称为是 Ｅ’ 保持的 ， ， Ｙ 当（ ， ∈ ， 咖 ｙ ， （ ） Ｅ 一 若对任意 ＹＹＥ ， Ｙ ， Ｙ 有（ ， Ｙ） ∈Ｅ当且仅 当 （ ｙ ， Ｙ） ＥＥ （ ） （ ） ． 定义 ４ 设映射 ：７（ 一仃（ ） ｒ） ／ ｇ ．若对每个 ＡＥ ／ 存在 曰Ｅ ／ ， Ｅ， Ｘ Ｅ 使得对 每个 Ｐ Ｅ ｒ（ 有 Ｘ ７
保序 且保 等 价 变 换 半 群 的 变 种 半 群 的格 林关 系
秦 美青
（ 菏泽学 院 数学 系 ， 山东 菏泽 ２４ １ ） ７０ ５
摘
要 ： 已有 的保等价变换半群 的基础 上 ， 在 引入 了保等价变换半群 的～类子半 群保 序且保 等价变换半群 ，
并在这类半 群中规定新的运算 ， 出一类新 的半 群 ， 得 称为保序且保等价变换半群 的变种半群 ．利用格林关系 的定义 ， 刻画 了这类半群上 的格林关 系． 关键词 ： 保序 ； 保等价关 系 ； 变种半群 ； 林关 系 格
第３ Ｏ卷 第 ２期
２１ ０ ２年 ６月
海 南 大 学 学 报 自 然 科 学 版
ＮＡＴ ＵＲＡＬ ＣＩ Ｓ ＥＮＣＥ ｏＩ ＮＡＬ ｏＦ ＩＡＩ Ｊ 瓜 ｔ ＮＡＮ Ｉ ＶＥＲＳＩ ＩＮＩ ＴＹ
Ｖ０ ． ０ Ｎｏ ２ １３ ． Ｊｎ２ ２ ｕ ． ０１
文 章 编 号 ：０ ４—１２ （ ０ ２ ０ ０ ０ ０ １０ ７ ９ ２ １ ） ２— １３— ４
收 稿 日期 ： ０ ２— ２—２ ２１ ０ ３
作者简介 ： 秦美青 （９２ ， ， １８ 一）女 山东潍坊人 ， 菏泽学院数学系助教 ， 硕士
１４ ０
海 南 大 学 学 报 自 然 科 学 版ＥＬ ）（ ， ） ；
２ ｒ∽ ＝ ＝１（ ）＝ｒ 铅 ） Ｅ ｏ）＝ ＝ ｇ Ｅ（ｇ ； ）７（ 仃（ ｒｇ ７（ 和 （ｆ Ｅ（ Ｅ（ ）＝ ｏ ）
０ Ｂ） （ ｎｏ（ ≠０， 映射 称为 一可容许 的．若 是 双 射且 和 Ｐ） 则 称为 是 Ｅ 一可 容许 的． 文 中没有说 明的概念 与 符号 ， 看文 献 ［ 参 ６—８ ． ］ 都 是 一可 容许 的 ， 映射 则
２ 主要定理及其证 明
定 理 １ 设 ｆｇＥ０ （ Ｏ 且 ｆ ， Ｘ；） ＃ｇ， 以下 条件 等价 ： 则
３ ）存在 Ｅ 一 ’ 保持的序同构 咖 厂 Ｘ －ｇ Ｘ ， ： （ ）－ （ ） 使得 ｇ＝ 且 Ｏ 和 Ｏ ） Ｅ 保持的保序单射． ， Ｉ Ｉ 是 一 证明 １ ２ 设 （，） ， ） ） 厂ｇ Ｅ 则存在 ｈ Ｅ ￡ Ｘ Ｏ 使得厂 ｜ ｇ＝ ｏ ， ｈｆ ｈｔ 因为 ｇ＝ ｏ， Ｌ ， （ ；） ０ ＝｝ ｋ ｇ＝ ＝ ｏ ｊ 。 ｇ ｏ ． ： ｈ 所 ｆ 以 丌（ 加 细 Ｉ（ ） 又 因 为厂＝ 眙 ， 以 仃（ ） 细 ７（ ， ｒｇ ， 所 ｇ加 ｒ 从而 ７（ ＝７（ ） ｒ ｒｇ ．由厂＝ｋｇ：（ ） ｈ ） ， Ｏ （ Ｏｆ 则 ０ 是 单射 ， 而 仃（： Ｉ 从 ｏ ｔ ３＝仃（ ．类 似可 证 ， Ｉ ） ０ 是单 射且 ７（ｇ 仃（ ） ｒｏ ）＝ ｇ ．这样 就 有 ７（ｆ ｒ ｏ）＝７（ ＝ ｒ
引理 １ 设 是一 个全 序集 ， Ｅ是集合 上 的非平 凡 凸等价 关 系．设 ｆＥ０ （ ）则每 个 ＰＥ７（ ， ｒ — 若对 任意 ， Ｘ， ＹＥ ≤ｙ时有 ） ） ， 映射／称 为 ≤ ， 则 ）
和每 个 ∈ （ ． 为 的凸集． 均 定义 １３ 设 ， 全序 集．映射 ＿ ｙ是
保序 的．若 ，是保 序 双射使 得 ＜Ｙ当且 仅 当 ） Ｙ ，． ＜ ） ￣ ｆ称 为序 同构 的． Ｊ １ 定义 ２３ 设 是全 序集 ， － Ａ是 的 子集 ， 对任 意 ， Ａ且 ≤） 有 ｛ ： ≤ｚ ，＿Ａ，则 称 若 ＹＥ ， ， Ｅ ≤，｝ Ｃ 集合 Ａ为 凸集． 定义 ３４ 设 Ｅ是 上 的等 价关 系 ， ， － ｌ Ｚ分 别表 示 的子集．映射 ： ｙ ， —ｚ称为 Ｅ一 持 的 ， 对 保 若
变换半 群
０ （ ＝｛ Ｘ） Ｖ戈 ＹＥＸ， ＝ 厂 ≤厂Ｙ ｝ Ｘ） ｆＥｚ （ ： ， ≤ｙ （ ；（ ） ． ）
取定 ０ Ｘ ， ０ （ ） 如下定义半群 ０ （ 上的一个新 的运算 “”， ｇ＝ Ｏ ， Ｅ ） 其中乘积ｆｇ Ｅ Ｅ ） 。 ：。 ｆｇ ｇＥ （ ， ０ ｏ 为变换 ０ｇ的合成． ， 这样 ， 在新 的运算 “” ， 。 下 得到一个新的半群 ， 称其为保序且 保等价变换半群 Ｄ （） 的变 种半 群 ， 为 ０ （ Ｏ ．本 文 中刻 画半群 ０ （ ） 记 Ｘ；） ； 的格林 关 系．
中 图分 类 号 ：Ｏ １２ ７ ５ ． 文 献 标 志 码 ：Ａ
１ 预 备 知 识
格林关系在半群理论 的形成和发展 中起着重要作用 ， 其定义参看文献 ［ ］ １ ．设 是一个集合 ， 是
集 合 上 的所 有完 全变换 做 成 的半 群．Ｅ是 集合 上 的等价 关 系 ，文献 ［ ］ ２ 引入 了保 等价 变换半 群 （ Ｘ）＝｛ ｘ Ｖ（ ，） ｆ∈ｒ ： 口ｂＥ 口 ｂ ） ） ） ＥＥ｝ 描 述 了半群 （ 上 的格 林关 系．文献 ［ ］ ） ３ 中引人 了保 等价 变换 半群 （ 的一个 子 半 群保 序且 保 等价 ）
