一类线性变换半群上的格林关系R

第 ８卷
第２ ２期
２０ ０ ８年 １ １月
科
学
技
术
与
工
程
Ｖ０ ． Ｎｏ ２ Ｎ Ｖ １８ ．２ Ｏ＂ ．
２０ ０８
１７ —８ ９ ２ ０ ）２６ ７ —３ ６ １１ １ （０ ８ ２ —０７０
Ｓ ｉｎ ｅ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒｎ ｃ ｅ ｃ ｅ ｈ ｏｏ ｙ ａ ｄ Ｅ ｇｎ ｅｉ ｇ
Ｕ｛ ） ｎ ＝｛ ｝ ０｝ ｎｉ ０ 。
６ ７ ０８
科
学
技
术
与
工
程
８卷
定理 １ 设 ， 卢∈Ｌ Ｖ Ｐ ） 则 Ｒ ≤Ｒ （ ，， ， 。 ８当且 仅 当 ｋ ｋｒ。 ｅ ｅ ａ 证明
＝ 。
（ ） １隹ｉ 时 ， 的定义可知（ ｐ ｙ＝ ｐ １当 １ ｚ ３ 由 ｗ） ｗ。
。
（ ＼ 。 Ｕ ｛ 为 的子空 间 。 ） ０｝
因为 为 Ｐ诱 导 的 商集 的横 截 面 ， 以存 在 所
用 Ｌ Ｖ 表 示 的 所有 的线 性 变换 的集 合 ， （） 则 （，在变 换 的合 成 运 算 下构 成 一 半 群 。定 义 半 群 １ ）
（ 的如 下子集 ： ） Ｌ Ｖ Ｐ Ｗ）＝｛ ∈Ｌ ）ｌ 为单 射 ， ａ （ ，， （ Ｏ ｔ Ｗ
证明 用 反 证 法 。假设 ｎ ｉ ， 存 在 ≠ ｎ 则
ｄ （） ｉ ＝∑ ｄ （ｐ ｏ） ｍ ｉ ｗ ／； ｍ Ｕ｛
ＥＷ
（） ２ 对 的任 意子 空 间 。 和 ， 若 。
， 则
∈Ｖ使 得 ∈ｗ ｌ。 因此存 在 １∈Ｖ 使 得 ＝ ， ｐＮｉ ３ ｍ ｌ ， ，
＋ ａ
” 。 。
设 ∈ｋ Ｉ 贝 ｅ ， ０
ｑ
由 的 定 义 知 ，ｙ＝口 （ ” ｘ １ １ ）＋… ＋
０（ｔ１ 。Ｖｑ ）∈ＷＰ ｔ ￣ ２。若 ∈Ｗ ／， 曰 ＝｛ ｐｎｉ ３ 设 ｍ 设 ＝
”，
从 而 ∈ｋ ｒ 故 ｋ ｅａ， ｅ
ｋｒ。 ｅａ
｝ 则 存 在 ｃ 一，， ， ｃ ∈Ｆ， 得 ＝ｃ １ 使 Ｉ ＋… ＋Ｃ ， ｒ。 Ｙ
且
又 Ｅ ｎ ， 那么 ， 为Ｐ诱导的商集的横截面 由
知 ： 这 与 隹ｉ ／ 盾 。故 ｎｉ ＝ 。进 Ｗ， ｍ３矛 Ｉ
一
步， 因为 为线 性 变换 ， 以 ０∈ｉ／， 而有 （ 所 ｍ３从
２０ 年 ８ ４日 ０８ 月 收到 山东省教育厅科技计划项 目（０ Ｐ ８ 资助 Ｊ６ １ ）
⑥
２０ Ｓｉ ｅｈＥ ｇｇ ０８ ｃ ．Ｔ ｃ． ｎｎ．
数 学
一
类线性变换半群上 的格林关 系
马军英 李 秀明
（ 山东师范大学数学科学学院 ， 济南 ２０ １ ； ５ ０ ４ 山东临沂河东农村合作银行 临沂 ２ ６０ ） ， ７０ ０
摘
要
给 出了为单射且保持横截面和等价关系的线性变换构成 的半群上的格林 关系 的刻 画。 横截面 格林关系
（ ）当 ｗ ∈ｉ／ 时 ， ２ ｍ ３ 若 ∈ｗ ｉｌ， Ｂ ｐ＼ｍ３ 设 ” ，： ｛
…
ｊ设 Ｒ ≤ ， 有 ｙ∈Ｌ Ｖｐ， ， 得 则 （ ， Ｗ） 使
＝ 卿 ＝（ ） Ｏ ０ ｙ＝ ｙ： 。
一，”｝则存在 ａ － ａ ∈Ｆ使 得 ＝ａ １ 。 ， ． ， ｌ”＋
仁设 ｋ ｅ

ｋｒ 下 面构 造 ∈Ｌ ＶＰ， ） 使 ｅａ， （ ， ，
， ＝１ … ，， 存 在 ∈Ｗ， 得 ∈ ｉ ， ｒ则 使
得 ｏ＝ 。考虑 的子空 间 ｕ｛ ， 中 ｗ∈Ｗ。 Ｌ ０｝其 若 彬岳ｉ／， 引 理 １知 叩 ｆｉ／ ＝ ， 而 ｍ 由 ３ －ｍ 从 １ ３ （ ｐ ｛ ｝ ｎｉ／＝｛ 。设 曰 ｗ ０ ） ｍ ｕ ３ ０｝ 为 ｗ ｛ 的一 组 ｐｕ ０｝ 基 ， 于任意 的 ∈ 定 义 ： 。 对 Ｂ， 若 ｗ∈ｉ ， Ｉ 则存 在 ｔ ， ∈Ｖ 使得 ｗ＝ 。 由于 ∈ （ ， Ｗ） 那 么 ， 在 ｗ ， 得 ｗ ∈Ｗｎｔ， ＶＰ， ， 存 。使 。 因此 ， ｐ
（ １ ２ ∈ （ ｌ１ ２ Ｅ 。 ， ） ｐ ， ） ｐ｝ ０Ｕ
∈ｕ 使得 ∈Ｗｎｕ ， 而 （ ， ｐ， ｐ 从 ｕ ）∈Ｐ 。因 为 ∈
Ｌ ＶＰ， ， 以（ ， ）Ｅ 。从 而 （ ， Ｗ） 所 １ ＂ ３ ｐ
ｘ Ｅ Ｗ ｎｖ ＝Ｗ ｎ ｗ ， ８ ｐ ｐ．
ａ－ ｂ ：ａ ＝ ｂ ￣ ｃｃ Ｓ ， ： ２ ， Ｓ。
对于 ｏ∈Ｓ 以 Ｒ 表 示 口所 属 的 ， 。
类 。由于
个等 价关 系 ， 是 由 Ｐ诱 导 的 商 集 的 一 个 横 截 面 。 现假设 是 满足 下 列 条件 的域 Ｆ上 的有 限维 线 性
空间：
半群 Ｓ上 的格林关 系 由 ５的主理想来 定 义 ， 于是
关键词 线性变换
中图法分类号 ０１２ ； ５．
文献标志码
Ａ
近几 年 ， 干变换 半 群 类上 的格 林关 系 已被 刻 若 画（ 参见 文献 ［ ， ］ ） 这对 研 究这 些 变 换半 群 类 １２ 等 ，
有 重要意 义 。现 给 出一 类 线 性 变 换 半 群 上 的格 林 关 系 的刻 画 。 设 为非 空集 ， Ｘ， Ｐ为 上 的 一个 等 价 关 系 。若对 任意 的 ∈ 有 Ｉ ：１ 则 称 Ａ为 由Ｐ Ｘ， ｘ ＡＡＩ ， ｐ 诱 导的商集 的横截 面 。下设 Ｐ为线性 空 间 上 的一
主理 想间 的包含序 诱导 了 一类 间的一个偏 序 ：
Ｒ。≤Ｒ６ ０ Ｓ ｂ 。 Ｓ
（ ） 任 意 的 ∈Ｖ ｖ ｛ 为 ｌ的子 空 间 且 １对 ， Ｕ ０｝ ， ｐ
弓理 １ 设 卢∈Ｌ ＶＰ ） ∈Ｗ， Ｗ盛ｉ ， ｌ （ ，， ， 若 Ｉ ｑ 则 ｔ ｎｉ ： ， ｏ ｎ 从而 （ ｕ ｛ ） Ｉ ＝｛ 。 ｐ ｅ ０｝ Ｎｉ ０｝
易见 ， （ ， Ｗ） ￡ ＶＰ， 是 （ 的一 个子 幺半群 。半 ） 群 族 ￡ ＶＰ Ｗ） 含 半群 Ｌ ） 因为 Ｌ ）＝￡ Ｖ （ ，， 包 （ ， （ （， Ｐ ， ） 其 中 Ｐ ＝｛ ，） ∈Ｖ 。 。Ｖ ， ０ （ Ｊ ｝
本文研 究 （ ，， 这 一类 线性 变换 半 群上 的 ＶＰ Ｗ） 格 林关 系 。半 群 Ｊ上 的格林关 系 如 下定义 ： ｓ