连通不可约变换半群的自同构群结构

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５０４）４１０
３１１；．２０５２广西师范大学数学科学学院，西桂林广
（．ＭａｈｍａｉｓＲｅｅｒｈＧｒｕ１ｔｅｔｓａｃｏｐ，Ｊｎｕ．ｇｃｏｌＪｎｕ，ｈｊｎｃｉｈａＮｏ１ＨｉｈＳｈｏ，ｉｈａＺｅｉｇ，３１１，ｉａａ２０５Ｃｈｎ；
１定义
定义１１１一个变换半群是一个二元对（．【］Ｑ，５，中Ｑ是一个有限集，）其Ｓ是一个有限半群，在且Ｑ上有一个作用，即是满足下列（和（）个条也ｉ）ｉ两ｉ件的一个偏映射： × Ｓ— Ｑ．Ｑ
ｃｎｃｅｏｎｅｔｄ，ｐｒｕａｉｎｇｒｕｐｅｍｔｔｏｏ
２世纪６年代以来，００状态机的理论得到迅猛发展，它不仅在计算机科学及相关语言、软件等方面有
重要应用，而且对于物理、物、物化学等领域也生生
２．ＣＯｌｇｏａｈｅａｉｓＳｃｅｅ，ＧｕａｇｘＮｏｍａＵｎｉｅｓｔｌｅｅｆＭｔｍｔｃｉｎｃｎｉｒｌｖｒｉｙ，Ｇｕｌｉｉｎ，Ｇｕａｘｉ５０４，ｎｇ，１０４
Ｃｈｎ）ｉａ
摘要：出连通变换半群导出的变换群保持连通性的充分必要条件，明不可约变换半群导出的变换群不可给证约，可约变换半群的自同构群是本原置换群，通变换半群的自同构群是正则置换群，通且不可约的变换不连连半群的自同构群是一个素数阶的循环群．
关键词：换半群变变换群自同构群不可约连通置换群
中图法分章编号：０５９６（０８０ —３８０１０ —１４２０）４０３ —３
Ａｂｔａｔｓｒｃ：Ｔｈｅｕｆｃｅｔｎｎｃｅｓｒｃｎｄｔｏｓｆｉｉｎａｄｅｃｓｏｙｏｉｉｎｏｔｔａｓｏｍａｉｎｆｈｅｒｎｆｒｔｏｇｒｕｐｎｄｃｄｙｏｉｕｅｂａｔａｓｏｍａｉｎｓｍｉｒｕｐｍａｎａｎｎｃｎｎｃｉｉｙｉｄｓｕｓｄ．Ｉｉｐｏｅｔａｔｅｒｎｆｒｔｏｅｇｏｉｔｉｉｇｏｅｔｖｔｓｉｃｓｅｔｓｒｖｄｈｔｈｔａｓｏｍａｉｎｇｒｕｎｄｃｄｂｙａｒｅｕｃｂｅｔａｓｏｍａｉｎｓｍｉｒｕｓｉｒｄｕｉｌｔｔｔｒｎｆｒｔｏｏｐｉｕｅｎｉｒｄｉｌｒｎｆｒｔｏｅｇｏｐｉｒｅｃｂｅ，ｈａｈｅａｔｍｏｐｓｇｏｐｏｎｉｒｄｕｉｌｒｎｆｒｔｏｎｓｍｉｒｕｓａｐｉｔｖｅｍｕａｉｎｇｏｐ，ｕｏｒｈｉｍｒｕｆａｒｅｃｂｅｔａｓｏｍａｉｅｇｏｐｉｒｍｉｉｅｐｒｔｔｏｒｕｔｔｔｕｏｏｐｈｓｇｏｐｏｏｅｔｄｔａｆｒｔｏｅｇｒｕｐｉｅｕｌｒｐｒｕａｉｎｈａｈｅａｔｍｒｉｍｒｕｆａｃｎｎｃｅｒｎｓｏｍａｉｎｓｍｉｏｓａｒｇａｅｍｔｔｏｇｒｕｏｐ，ａｄｔｔｔｅａｔｍｏｐｓｇｏｐｏｏｅｔｄａｄｉｒｄｕｉｌｒｎｆｒｔｏｅｇｏｐｎｈａｈｕｏｒｈｉｍｒｕｆａｃｎｎｃｅｎｒｅｃｂｅｔａｓｏｍａｉｎｓｍｉｒｕｉｙｌｒｕｐｗｉｈｐｉｒｒｓａｃｃｉｇｏｔｒｍｅｏｄｅ．ｃＫｅｒ：ｒｎｆｒｔｏｅｉｒｕｐ，ｔａｆｒｔｏｒｕａｔｍｏｐｓｇｏｐ，ｒｅｕｉｌｙｗｏｄｓｔａｓｏｍａｉｎｓｍｇｏｒｎｓｏｍａｉｎｇｏｐ，ｕｏｒｈｉｍｒｕｉｒｄｃｂｅ，
广西科学ＧｕｎｘＳｉｃｓ２０，５４：３￣３０ａｇｉｃｎｅ０８１（）３８４ｅ
连通不可约变换半群的自同构群结构＊
ＳｒｃｕｅａｏｔＣｏｅｔｄｏｒｅｃｂＡｕｏｏ — ｔｕｔｒｂｕｎｎｃｅｒＩｒｄｕｉｌｔｍｒｅ
ｐｈｓＧｒｕｆＴｒｎｆｒａｉｎＳｍｉｒｕｉｍｏｐｏａｓｏｍｔｏｅｇｏｐ
汤恒琦，忠邓培民易，
ＴＡＮＧｎｇｑＨｅ — ｉ¨。ＹＩＺｈｏｇ。ｎ。ＤＥＮＧｉｍｉＰｅ— ｎ
（．１金华第一中学数学教研组，浙江金华

自由群，外代数和泛包络代数

⾃由群，外代数和泛包络代数复习李代数感觉忽然想起了很久之前看到的别的证明，在这⾥记录⼀下。

我们知道代数中有很多『⾃由』对象，下⾯列举⼏个。

⾃由群。

⼀个集合X ，存在F X 以及映射X ι→F X 使得如下的泛性质成⽴∀群G ,映射X φ→G ∃!群同态F X ˆφ→G s.t.X ι→F X ˆφ→G =X φ→G 外代数。

⼀个线性空间V ，存在外代数⋀n V 以及映射V n π→⋀n V 使得如下的泛性质成⽴∀线性空间W ,n -交错线性函数V n φ→W .∃!线性映射n ⋀V ˆφ→W s.t.V n π→n ⋀V ˆφ→W =V n φ→W 泛包络代数。

⼀个李代数g ，存在U (g)以及映射g ι→U (g)使得如下的泛性质成⽴∀结合代数R ,李代数同态g φ→R ∃!结合代数同态U (g)ˆφ→R s.t.g ι→U (g)ˆφ→R =g φ→R 他们的交换图如下X ι→F X ↘↓G V n π→⋀n V ↘↓W g ι→U (g)↘↓R撇开泛性质不谈，这不是本⽂要讨论的重点。

我们注意到他们的构造其实有很⼤的类似之处，⾸先在于其『构造』都集合论地来⾃某个集合的商集（或商空间，但本质上也是商空间），但是他们通常都有如下关于元素形式的刻画：⾃由群。

对于⾃由群F X 的每⼀个字都可以约成唯⼀的⼀个不可约字。

外代数。

如果V 有基X ，给X 排定全序，则⋀n V 具有基{x 1∧…∧x n :x i ∈X ,x 1<…<x n }。

泛包络代数。

如果李代数g 作为线性空间具有基底X ，给X 排定全序，则U (g)具有基{x 1⊗…⊗x n :x i ∈X ,x 1≤…≤x n }。

他们的证明都⼗分繁复，下⾯，⽅便起见，这⾥采⽤我⽐较想要谈论的那种证明。

定理(⾃由群结构定理). 对于⾃由群F X 的每⼀个字都可以约成唯⼀的⼀个不可约字.证明. 将所有不可约字收集起来, 具体来说W ={x 1…x n :x i ∈X ∪X −1,n ≥0,x i ≠x −1i +1}我们要定义F_X 在其上的作⽤, 为此先定义X 在W 上中的作⽤如下x\cdot (x_1\ldots x_n)=\begin{cases} xx_1\ldots x_n& x\neqx_1^{-1}\\ x_2\ldots x_n & x=x_1^{-1}\end{cases}上述作⽤实际上是X \to \{\textrm{$W$到⾃⾝的双射}\}, 根据泛性质, 这定义了群同态F_X\to \{\textrm{$W$到⾃⾝的双射}\}, 这定义了F_X 在W 的作⽤. ⾸先, 每个字都可以被约成不可约字这是⾃然的事甚⾄是可以找到『算法『的. 为了看到是唯⼀的, 关键是两个不同不可约字不能够相等. 注意到对于不可约字w\in F_X 总有w\cdot\underbrace{\wedge}_{\textrm{$W$中的空字}}=w\in W 故若有两个不同的不可约字w_1\neq w_2, 他们在F_X 中相等, 那么W\niw_1=w_1\cdot \wedge =w_2\cdot \wedge=w_2\in W ⽭盾! 从⽽w_1和w_2中不相等. \square实际上这个命题也可以组合地证明，这个组合证明是我⾃⼰想到的，不过后来发现很多⼈已经给出过这样的证明了，下次如果有时间可以再写⼀篇介绍。

第3节半群与幺半群的同态与同构

定理1 设V1,V2是代数系统. o,∗是V1上的二元运算， o’,∗’是V2上的二元运算. 如果 f：V1V2是满同态，则 (1)若运算o满足交换律(结合律)，则运算o’也满足交换律(结合律). (2) 若运算o对运算∗满足分配律，则运算o’对运算∗’ 也满足分配律.
6/22
近世代数满同态映射保持运算的特异元素
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近世代数
商半群
定义4 设(A,∘)和(B,)是两个半群，f 是A到B的同态. 半群(A/Ef , ▪)称为商半群. 定义5 令γ:A A/Ef ，aA，γ(a)=[a]，则称γ 为A到商半群A/Ef的自然同态.
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近世代数
幺半群的同构与同态
定义6设(M1,∘, e1)和( M2,, e2)是两个幺半群，如果存在f: M1M2 ，对x, yM1有 f(e1)=e2，f(x∘y) = f(x)f(y)，则称(M1,∘, e1)与(M2,, e2)是同态，f 称为M1到M2的一个同态映射(简称同态)，f(M1)称为同态象. [注意] (1)同态分类：同半群同态. (2) 两个幺半群((M1,∘, e1)和( M2,, e2))同构定义中的条件f(e1)=e2 可以去掉，因为它可以从f(x∘y) = f(x)f(y)推出.
近世代数
半群的同构与同态
定理3(半群的Cayley定理) 任意一个半群都同构于某个变换半群。(成立吗?) 定理4 设(A,∘)是一个半群，(B,)是一个代数系。如果存在一个从A到B的满射f，使得x, y A 有 f(x∘y) = f(x) f(y), 则( B,)是一个半群. 定理5 设f是半群(S1,∘)到半群( S2,)的同态， g是半群 (S2, )到半群( S3, )的同态，则f与g的合成gf是(S1, ∘) 到( S3, )的同态.

【国家自然科学基金】_不可约_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140730

推荐指数 3 3 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
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强不可约算子强不可约广义限制表示广义限制李代数广义对角占优矩阵导长对角占优性完全圆片系统基态因式分解四元数多项式唯一性定理可解群变换群变换半群半直积内蕴挠率全纯曲线值分布理论值分布代数退化亚纯映射严格k阶carmichael数不可约算子不可约曲面不可约对角占优矩阵不可约分解不可压缩曲面 α 对角占优矩阵 α -对角占优 z-矩阵 sturm-tarski定理 p-特征标 monolithic特征标 m-矩阵 l-矩阵 k阶carmichael数 k0群 heegaard分解 h-矩阵 gauss-seidel迭代法 gauss-seidel方法 g2-结构 frobenius标准型 fca bergman空间 3-流形的融合

《群的自同构群》课件

自同构群的拓扑性质
自同构群的连续性
对于任意的自同构α∈Aut(G)，其对应的映射是连续的。
自同构群的开性和闭性
Aut(G)中的子集是开集还是闭集取决于所使用的拓扑。
自同构群的紧致性
如果群G是紧致的，则Aut(G)也是紧致的。
03
群的自同构群的构造
循环群的自同构群
总结词
循环群的自同构群是循环群本身，其元素为整数加法。
自同构群的代数性质
自同构群的指数
对于任意的自同构α∈Aut(G)，存在一个正整数n，使得α^n=ε 。这个整数n被称为α的指数。
自同构群的周期性
如果存在一个正整数n，使得对于所有的x∈G，都有α^n(x)=x ，则称α是周期性的。
自同构群的周期指数
对于周期性的自同构α，其最小正整数n被称为α的周期指数。
详细描述
对于循环群$G=langle g rangle$，其中$g$是生成元，自同构群 $text{Aut}(G)$由整数加法构成，即对于任意整数$k$，映射$g rightarrow g^k$是自同构。
交换群的自同构群
总结词
交换群的自同构群是所有可逆线性变换的集合。
详细描述
对于交换群$G$，其自同构群 $text{Aut}(G)$由所有可逆线性变换组成。这意味着对于任意元素$x in G$，存在一个可逆线性变换$T$使得 $T(x)=x'$且$T(x')=x$。
《群的自同构群》PPT课件
目录
• 群与自同构群的基本概念 • 自同构群的基本性质 • 群的自同构群的构造 • 群的自同构群的应用 • 群的自同构群的展望
01
群与自同构群的基本概念
群的定义与性质
定义

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