2019-2020学年上海市金山中学高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1.x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是()A. x>3B. x<3C. x>1D. x<12.将函数y=sin2x的图象向右平移π4，所得图象的函数解析式为()．A. y=sin(2x+π4) B. y=sin(2x–π4)C. y=–cos2xD. y=cos2x3.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S33−S22=1，则数列{a n}的公差是()A. 12B. 1C. 2D. 34.已知函数，x∈[0,7π3]有三个不同的零点x1,x2,x3，且x1<x2<x3，则x1+2x2+x3的值为()A. 10π3B. 4π C. 11π3D. 不能确定二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5.−1445°是第________象限角．6.若扇形的弧长为2，半径为1，则扇形面积是_________7.若tanθ=2，则3cosθ−sinθcosθ+sinθ=________．8.已知y=f(x)是定义在[1,4)上的函数，则函数y=f(2x+1)的定义域为__________．9.数列{a n}前n项和为S n，若a n=(2n−1)sin(nπ2+2019π)，则S2019=__________．10.已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边上有一点A(3,−4)，则sin(θ+π2)= ______ ．11.已知cos(π2−α)=35,α∈(π2,π)，则sin(α+π3)=______ ．12. 综合实践课中，小明为了测量校园内一棵樟树的高度，如图，他选取了与樟树树根部C 在同一水平面的A 、B 两点(B 在A 的正西方向)，在A 点测得樟树根部C 在西偏北30°的方向上，步行40米到B 处，测得树根部C 在西偏北75°的方向上，树梢D 的仰角为30°，则这棵樟树的高度为______ 米.13. 已知等差数列{a n }中，a 1=1，a 2+a 3=8，则数列{a n }的前n 项和S n =______． 14. 在数列√1，√2，√3，2，√5…中，第9个数是______． 15. 函数f(x)=x −x 3,x ∈[0,2]的值域为______．16. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0)的部分图像如图所示，则ω=________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 已知α，β∈(0,π)，且tan(α−β)=12，tanβ=−17(1)计算tanα、tan2α的值 (2)求2α−β的值．18. 已知函数f(x)=1−2x1+2x(1)分别求出f (1)，f (a )的值．(2)判断函数f(x)的奇偶性并证明；19.已知函数f(x)=4tanxsin(π2−x)cos(x−π3)−√3；(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)求f(x)在区间[−π4,π4]上的单调性与最值．20.已知：等差数列{a n}中，a4=14，前10项和S10=185.求首项a1和a n．21.已知函数f(x)=2cos2x+√3sin2x．(1)求f(x)的最小正周期；(2)若关于x的方程f(x)−m=2在x∈[π6,π3]上有解，求实数m的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题主要考查了充分条件与必要条件的知识，考查了学生的分析能力，属基础题．根据题意进行判断它的一个必要不充分条件．解：由x>2可得x>1，但x>1不一定满足x>2，所以x>2的一个必要不充分条件是x>1．故选C．2.答案：C解析：本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于中档题．根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得结论．解：函数y=sin2x的图象向右平移π4个单位，那么所得的图象的函数解析式是y=sin2(x−π4)=sin(2x−π2)=−cos2x，故选C.3.答案：C解析：解：S3=a1+a2+a3=3a1+3d，S2=a1+a2=2a1+d，∴S33−S22=d2=1∴d=2故选：C．先用等差数列的求和公式表示出S3和S2，进而根据S33−S22=d2，求得d．本题主要考查了等差数列的性质．属基础题．4.答案：A解析：本题考查函数的零点与方程根的关系和正弦函数的对称性，属于中档题．设t=x+π6，画出y=m与y=sint在t∈[π6,5π2]上的函数图像，由正弦函数的对称性即可求解．解：令，则，设t=x+π6，则y=sint，由x∈[0,7π3]可得t∈[π6,5π2]，做出函数y=sint，t∈[π6,5π2]和函数y=m的图象，要使得函数有三个零点，则两函数图象有三个交点，则12≤m<1，由正弦函数的对称性可知，所以．故选A．5.答案：四解析：本题考查象限角及终边相同角的应用，属于基础题目．解：−1445°=−360°×4−5°，所以−1445°角的终边与−5°的终边位置相同，故−1445°是第四象限角．故答案为四．6.答案：1解析：本题考查扇形面积公式的应用，属于基础题．直接代入扇形面积公式即可．解：因为扇形的弧长为2，半径为1，所以扇形面积是12×2×1=1．故答案为1．7.答案：13解析：此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．把分子分母都除以cosθ，利用同角三角函数间的基本关系即可得到关于tanθ的关系式，把tanθ的值代入即可求出值．解：∵tanθ=2，∴3cosθ−sinθcosθ+sinθ=3−tanθtanθ+1=3−22+1=13．故答案为13．8.答案：[0,32)解析：因为函数y =f(x)的定义域为[1,4)，令1≤2x +1<4，解得0≤x <32，所以函数y =f(2x +1)的定义域为[0,32).故答案为：[0,32)．9.答案：2020解析：本题考查数列的求和，注意分析数列中的项的特点，考查等差数列的求和公式的运用，属于基础题． 求得数列的前四项，得到数列的偶数项为0，奇数项的绝对值为等差数列，计算可得所求和． 解析：解：若a n =(2n −1)sin(nπ2+2019π)， 可得a 1=sin(π2+2019π)=−1； a 2=3sin(π+2019π)=0； a 3=5sin(3π2+2019π)=5；a 4=7sin(2π+2019π)=0， …，即偶数项为0，奇数项的绝对值为等差数列，可得S 2019=(−1+5)+(−9+13)+(−17+21)+⋯+(−4033+4037) =4×505=2020． 故答案为：2020．10.答案：35解析：解：由题意可得，x =3、y =4、r =5，∴cosθ=xr =35， ∴sin(θ+π2)=cosθ=35 故答案为：35．根据任意角的三角函数的定义求得cosθ=xr 的值，再利用诱导公式化简所求表达式，计算求得结果． 本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式的应用，属于基础题．11.答案：3−4√310解析：解：cos(π2−α)=35,α∈(π2,π)，可得sinα=35，cosα=−45，sin(α+π3)=sinαcosπ3+cosαsinπ3=35×12−45×√32=3−4√310．故答案为：3−4√310．求出角的余弦函数值，然后利用两角和的正弦函数化简求解即可．本题考查两角和的正弦函数以及同角三角函数的基本关系式诱导公式的应用，考查计算能力．12.答案：20√63解析：本题考查三角形的解法，实际问题的处理方法，正弦定理的应用，是中档题．结合已知条件，利用正弦定理，通过求解三角形即可．解：根据图形知，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=75°−30°=45°，AB=40，由正弦定理得，BCsin30∘=40sin45∘，解得BC=40×12√22=20√2，在Rt△BCD中，∠BDC=30°，所以CD=BCtan30°=20√2×√33=20√63．故答案为：20√63．13.答案：n2解析：本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式，属于中档题． 利用等差数列的通项公式及其求和公式即可得出． 解：设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 1=1，a 2+a 3=8， ∴2×1+3d =8，解得d =2． 则数列{a n }的前n 项和S n =n +n(n−1)2×2=n 2．故答案为：n 2．14.答案：3解析：本题考查数列的概念以及通项，属于基础题．通过观察可知数列√1，√2，√3，2，√5…的第9个数是√9=3． 解：由数列√1，√2，√3，2，√5…，可写为√1，√2，√3，√4，√5，…， 可得1，2，3，4，5，…为等差数列，公差为1，首项为1， ∴数列的第n 项为：√n ， 则第9个数是√9=3． 故答案3．15.答案：[−6,2√39]解析：本题主要考查了函数的定义域与值域，利用导数研究闭区间上函数的最值，属于基础题． 先求出函数的导数，求出函数在闭区间内的极值点，代入解析式求值即可得出值域． 解：函数f(x)=x −x 3,x ∈[0,2]， f′(x)=1−x 2，在x ∈[0,2]内， 当x =√33时，f′(x)=0，f(x)在(0,√33)单调递增，在(√33,2)单调递减，f(0)=0−03=0，f(2)=2−23=−6，f(√33)=√33−(√33)3=2√39，故答案为[−6,2√39]． 16.答案：23解析：本题主要考查函数y =Asin (ωx +φ)的图象与性质．解：根据题意得，34T =15π8−(−3π8)=9π4， 解得T =3π，所以ω=2πT =2π3π=23， 故答案为23．17.答案：解：(1)∵tan(α−β)=12，∴tanα−tanβ1+tanαtanβ=12…(2分)而：tanβ=−17，∴tanα+171−17tanα=12，解得tanα=13…(5分) ∴tan2α=2tanα1−tan 2α=2×131−(13)2=34…(7分)(2)tan(2α−β)=tan2α−tanβ1+tan2αtanβ=34+171−34×17=1.…(9分) ∵tanα=13>0，α∈(0,π)，∴0<α<π2，0<2α<π∵tan2α=34>0∴0<2α<π2，…(11分)∵tanβ=−17<0，β∈(0,π)，∴π2<β<π，…(12分) ∴−π<2α−β<0，…(13分)∴2α−β=−3π4. …(15分)解析：(1)利用差角的正切公式，求出tanα；利用二倍角公式求出tan2α的值；(2)先求出tan(2α−β)=1，再确定−π<2α−β<0，即可求2α−β的值．本题考查两角和与差的正切函数，考查知值求角，考查学生的计算能力，属于中档题．18.答案：(1)解：∵f(x)=1−2x1+2x∴f(1)=1−21+2=−13，f(a)=1−2a2a+1；(2)证明：∵x∈R，∴函数f(x)=1−2x1+2x的定义域关于原点对称，∵f(−x)=1−2−x2−x+1=1−12x12x+1=2x−11+2x=−f(x)，∴f(x)是奇函数．解析：本题考查函数值的计算，考查函数的奇偶性的证明，属于基础题．(1)将x=1和x=a直接代入，即可求出f(1)，f(a)的值；(2)利用奇偶性的定义，进行判断并证明．19.答案：解：(1)由tan x有意义得x≠π2+kπ，，∴f(x)的定义域是，f(x)=4tanxcosxcos(x−π3)−√3=4sinxcos(x−π3)−√3=2sinxcosx+2√3sin2x−√3 =sin2x+√3(1−cos2x)−√3=sin2x−√3cos2x=2sin(2x−π3 ).∴f(x)的最小正周期T=2π2=π．(2)令−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，解得−π12+kπ≤x≤5π12+kπ，．令π2+2kπ≤2x−π3≤3π2+2kπ，解得5π12+kπ≤x≤11π12+kπ，．[−π12+kπ,5π12+kπ]∩[−π4,π4]=[−π12,π4]，[5π12+kπ,11π12+kπ]∩[−π4,π4]=[−π4,−π12]，∴f(x)在[−π12,π4]上单调递增，在[−π4,−π12]上单调递减，∴f(x)的最小值为f(−π12)=−2，又f(−π4)=−1，f(π4)=1，∴f(x)的最大值为f(π4)=1．解析：本题考查了三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．(1)根据tan x有意义得出定义域；利用三角恒等变换化简f(x)，得出f(x)的周期；(2)根据正弦函数的单调性求出f(x)的单调区间，根据单调性计算最值．20.答案：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a4=14，前10项和S10=185．∴{a1+3d=1410a1+10×92d=185，解得首项a1=5，d=3．∴a n=5+3(n−1)=3n+2．解析：设等差数列{a n}的公差为d，由于a4=14，前10项和S10=185.可得{a1+3d=1410a1+10×92d=185，解出即可．本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.答案：解：(1)化简可得f(x)=2cos2x+√3sin2x=1+cos2x+√3sin2x=1+2cos(2x−π3)∴f(x)的最小正周期T=2π2=π；(2)∵x∈[π6,π3]，∴2x−π3∈[0,π3]，∴cos(2x−π3)∈[12,1]，∴f(x)的值域为[2,3]，方程f(x)−m=2可化为f(x)=m+2，∴m+2∈[2,3]，∴m+2∈[0,1]，∴实数m的取值范围为：[0,1]解析：(1)由三角函数公式化简可得f(x)=1+2cos(2x−π3)，由周期公式可得；(2)由x∈[π6,π3]和三角函数的知识可得f(x)的值域为[2,3]，进而可得m+2∈[2,3]，可得实数m的取值范围．本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的周期性和值域，属基础题．。
2019-2020学年上海中学高一（下）期中数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.3分）已知点A（2.-1）在角α的终边上.则sinα=___ ．2.（填空题.3分）函数y=sin（πx+2）的最小正周期是___ ．3.（填空题.3分）设扇形半径为2cm.圆心角的弧度数为2.则扇形的面积为___ ．4.（填空题.3分）已知函数f（x）=sinx（x∈[0.π]）和函数g（x）= 12tanx的图象交于A.B.C三点.则△ABC的面积为___ ．5.（填空题.3分）在平面直角坐标系xOy中.角α与角β均以Ox为始边.它们的终边关于y轴对称.若sinα= 13.则cos（α-β）=___ ．6.（填空题.3分）已知sin（x- π4）= 35.则sin2x的值为 ___ ．7.（填空题.3分）设x.y∈（0.π）.且满足sin2x−cos2x+cos2xcos2y−sin2xsin2ysin(x+y)=1 .则x-y=___ ．8.（填空题.3分）我国古代数学家秦九韶在《数学九章》中记述了“三斜求积术”.用现代式子表示即为：在△ABC中.∠A.∠B.∠C所对的边长分别为a.b.c.则△ABC的面积S=√1 4[(ab)2−(a2+b2−c22)2]．根据此公式若acosB+（b+3c）cosA=0.且a2-b2-c2=2.则△ABC的面积为___ ．9.（填空题.3分）若函数f(x)=2sin(2x+π6)+a−1(a∈R)在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1.x2.则x1+x2-a的取值范围是___ ．10.（填空题.3分）已知函数f(α)=m−sinαcosα在(0，π2)上单调递减.则实数m的取值范围是___ ．11.（单选题.3分）已知cosα=k.k∈R.α∈（π2.π）.则sin（π+α）=（）A.- √1−k2B. √1−k2C.± √1−k2D.-k12.（单选题.3分）对任意的锐角α.β.下列不等关系中正确的是（）A.sin（α+β）＞sinα+sinβB.sin（α+β）＞cosα+cosβC.cos（α+β）＜sinα+sinβD.cos（α+β）＜cosα+cosβ13.（单选题.3分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A.ω.φ是常数.A＞0.ω＞0.|φ|＜π2）.为了得到f（x）的图象.则只需将g（x）=cos2x的图象（）A.向右平移π12个单位B.向右平移π6个单位C.向左平移π12个单位D.向左平移π6个单位14.（单选题.3分）若函数f（x）=sin（2x- π3）与 g（x）=cosx-sinx都在区间（a.b）（0＜a ＜b＜π）上单调递减.则b-a的最大值为（）A. π6B. π3C. π2D. 5π1215.（单选题.3分）已知α.β为锐角且α+β＞π2，x∈R，f(x)=(cosαsinβ)|x|+(cosβsinα)|x|.下列说法正确的是（）A.f（x）在定义域上为递增函数B.f（x）在定义域上为递减函数C.f（x）在（-∞.0]上为增函数.在（0.+∞）上为减函数D.f（x）在（-∞.0]上为减函数.在（0.+∞）上为增函数16.（单选题.3分）在△ABC中.a.b.c分别为角A.B.C的对边的长.若a2+b2=2020c2.则2tanA•tanBtanC(tanA+tanB)的值为（）A.1B.2018C.2019D.202017.（问答题.0分）化简：f(α)=sin(−α)cos(π+α)cos(π2−α)cos(π−α)sin(2π+α)tan(π+α)．18.（问答题.0分）已知函数f(x)=√3cos2x−sin2x．（1）用五点法作出f（x）在一个周期内的图象.并写出f（x）的值域.最小正周期.对称轴方程（只需写出答案即可）；（2）将f（x）的图象向左平移一个π4单位得到函数y=g（x）的图象.求y=g（x）的单调递增区间．19.（问答题.0分）如图.矩形ABCD中.E.F两点分别在边AB.BC上.∠DEF=90°.设∠ADE=α.∠EDF=β．（1）试用该图中提供的信息证明两角和的余弦公式；（2）若x∈(0，π4)，y∈(π4，3π4) .且sin（3π4+x）= 513.cos（π4-y）= 45.求cos（x-y）的值．20.（问答题.0分）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯.要求灯柱AB与地面垂直.灯杆BC 与灯柱AB所在的平面与道路垂直.路灯C采用锥形灯罩.射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC= 23π.∠ACD= π3.路宽AD=24米．设∠BAC=θ (π12≤θ≤π6)．（1）求灯柱AB的高h（用θ表示）；（2）此公司应该如何设置θ的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到0.01米）21.（问答题.0分）设函数f（x）=5cosθsinx-5sin（x-θ）+（4tanθ-3）sinx-5sinθ为偶函数．（1）求tanθ的值；（2）若f（x）的最小值为-6.求f（x）的最大值及此时x的取值；（3）在（2）的条件下.设函数g(x)=λf(ωx)−f(ωx+π2) .其中λ＞0.ω＞0．已知y=g（x）在x=π6处取得最小值并且点(2π3，3−3λ)是其图象的一个对称中心.试求λ+ω的最小值．2019-2020学年上海中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.3分）已知点A（2.-1）在角α的终边上.则sinα=___ ．【正确答案】：[1]- √55【解析】：根据三角函数的坐标法定义.直接计算即可．【解答】：解：设O为坐标原点.因为A（2.-1）．由已知得|OA|=√22+(−1)2=√5 .∴ sinα=−1|OA|=−√55．故答案为：−√55．【点评】：本题考查三角函数的坐标法定义.以及学生的运算能力.属于基础题．2.（填空题.3分）函数y=sin（πx+2）的最小正周期是___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：由题意利用正弦函数的周期性.得出结论．【解答】：解：函数y=sin（πx+2）的最小正周期是2ππ=2.故答案为：2．【点评】：本题主要考查正弦函数的周期性.属于基础题．3.（填空题.3分）设扇形半径为2cm.圆心角的弧度数为2.则扇形的面积为___ ．【正确答案】：[1]4cm2【解析】：由已知利用扇形的面积公式即可计算得解．【解答】：解：由已知可得：半径r为2cm.圆心角α的弧度数为2.则扇形的面积S= 12 r2α= 12×22×2 =4cm2．故答案为：4cm2．【点评】：本题主要考查了扇形的面积公式的应用.属于基础题．4.（填空题.3分）已知函数f（x）=sinx（x∈[0.π]）和函数g（x）= 12tanx的图象交于A.B.C 三点.则△ABC的面积为___ ．【正确答案】：[1] √3π4【解析】：画出两个函数的图象.求出三个点的坐标.然后求解三角形面积．【解答】：解：函数f（x）=sinx（x∈[0.π]）和函数g（x）= 12tanx的图象.可得A（0.0）.B（π.0）.令sinx= 12 tanx.解得C（π3. √32）.所以S△ABC= 12× π×√32= √3π4．故答案为：√3π4．【点评】：本题考查三角函数的图象以及三角形的面积的求法.考查转化思想以及计算能力．5.（填空题.3分）在平面直角坐标系xOy中.角α与角β均以Ox为始边.它们的终边关于y轴对称.若sinα= 13.则cos（α-β）=___ ．【正确答案】：[1]- 79【解析】：方法一：根据教的对称得到sinα=sinβ= 13.cosα=-cosβ.以及两角差的余弦公式即可求出方法二：分α在第一象限.或第二象限.根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出【解答】：解：方法一：∵角α与角β均以Ox为始边.它们的终边关于y轴对称.∴sinα=sinβ= 13.cosα=-cosβ.∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=-cos2α+sin2α=2sin2α-1= 29 -1=- 79方法二：∵sinα= 13.当α在第一象限时.cosα=2√23. ∵α.β角的终边关于y 轴对称.∴β在第二象限时.sinβ=sinα= 13.cosβ=-cosα=- 2√23. ∴cos （α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=- 2√23 × 2√23 + 13 × 13 =- 79：∵sinα= 13 .当α在第二象限时.cosα=-2√23. ∵α.β角的终边关于y 轴对称.∴β在第一象限时.sinβ=sinα= 13 .cosβ=-cosα= 2√23. ∴cos （α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=- 2√23 × 2√23 + 13 × 13 =- 79综上所述cos （α-β）=- 79 ．方法三：∵α.β角的终边关于y 轴对称. ∴α+β=π+2kπ.k∈Z .∴cos （α-β）=cos （α-（π+2kπ-α））=cos （2α-π）=-cos2α=2sin²α-1=2×（ 13 ）²-1=- 79． 故答案为：- 79 ．【点评】：本题考查了两角差的余弦公式.以及同角的三角函数的关系.需要分类讨论.属于基础题6.（填空题.3分）已知sin （x- π4 ）= 35 .则sin2x 的值为 ___ ． 【正确答案】：[1] 725【解析】：利用二倍角的正弦可求得 sin 2(x −π4) = 1−sin2x 2 = 925.从而可得sin2x 的值．【解答】：解：∵sin （x- π4 ）= 35. ∴ sin 2(x −π4) = 1−cos[2(x−π4)]2 = 1−sin2x 2 = 925. ∴1-sin2x= 1825. ∴sin2x= 725 ． 故答案为： 725 ．【点评】：本题考查二倍角的正弦.考查诱导公式的应用.考查转化思想与运算能力.属于中档题．7.（填空题.3分）设x.y∈（0.π）.且满足sin2x−cos2x+cos2xcos2y−sin2xsin2ysin(x+y)=1 .则x-y=___ ．【正确答案】：[1] π2【解析】：结合已知条件.利用和差角公式.平方关系化简可得sin（x-y）=1.进而得到答案．【解答】：解：∵x.y∈（0.π）.且-π＜x-y＜π.∴ sin2x−cos2x+cos2xcos2y−sin2xsin2ysin(x+y)=1⇒sin2x(1−sin2y)+cos2x(cos2y−1)sin(x+y)=1⇒sin2xcos2y−cos2xsin2ysin(x+y)=(sinxcosy+cosxsiny)(sinxcosy−cosxsiny)sin(x+y)=1⇒sin(x+y)sin(x−y)sin(x+y)=sin(x−y)=1⇒x−y=π2（由于-π＜x-y＜π）.故答案为：π2．【点评】：本题主要考查三角函数的化简求值.考查和差角公式以及同角三角函数基本关系的运用.考查运算能力.属于基础题．8.（填空题.3分）我国古代数学家秦九韶在《数学九章》中记述了“三斜求积术”.用现代式子表示即为：在△ABC中.∠A.∠B.∠C所对的边长分别为a.b.c.则△ABC的面积S=√1 4[(ab)2−(a2+b2−c22)2]．根据此公式若acosB+（b+3c）cosA=0.且a2-b2-c2=2.则△ABC的面积为___ ．【正确答案】：[1] √2【解析】：直接利用三角函数关系式的恒等变换和余弦定理的应用求出结果．【解答】：解：由于acosB+（b+3c）cosA=0.整理得：acosB+bcosA=-3ccosA.故是sinAcosB+cosAsinB=-3sinCcosA.即sin（A+B）=sinC=-3sinCcosA.故：cosA=−13．由余弦定理得：b2+c2-a2=2bccosA=-2.整理得bc=3.所以：S=√14[(bc)2−(b2+c2−a22)2]=√2．故答案为：√2【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换.余弦定理的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．9.（填空题.3分）若函数f(x)=2sin(2x+π6)+a−1(a∈R)在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1.x2.则x1+x2-a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] [π3，π3+1)【解析】：由题意将问题转化为y=2sin(2x+π6)与y=1-a在区间[0，π2]上有两个不同的交点的问题.作出两个函数的图象.可求解．【解答】：解：若函数f(x)=2sin(2x+π6)+a−1(a∈R)在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1.x2.即2sin(2x+π6)=1−a在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1.x2.也就是y=2sin(2x+π6)与y=1-a区间[0，π2]上有两个不同的交点.横坐标分别为x1.x2.数形结合可知. x1+x22=π6，1−a∈[1，2) .∴ x1+x2=π3，−a∈[0，1)∴ x1+x2−a∈[π3，π3+1)．故答案为：[π3，π3+1)．【点评】：本题考查三角函数的图象与性质.以及利用数形结合思想解决问题的能力.同时考查了学生的运算能力.属于中档题．10.（填空题.3分）已知函数f(α)=m−sinαcosα在(0，π2)上单调递减.则实数m的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞.1]【解析】：根据题意.任取0＜α＜β＜π2.由函数单调性的定义分析可得f（α）-f（β）=m(cosβ−cosα)−sin(α−β)cosαcosβ＞0 .据此变形可得m＜1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2.分析1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2的最小值.即可得答案．【解答】：解：根据题意.任取0＜α＜β＜π2.若函数f(α)=m−sinαcosα在(0，π2)上单调递减.则有f（α）-f（β）＞0.即f（α）-f（β）=m(cosβ−cosα)−sin(α−β)cosαcosβ＞0则有m•2sinα+β2•sinα−β2＞2sinα−β2cosα−β2可得m＜cosα−β2sinα+β2=cosα2cosβ2+sinα2sinβ2sinα2cosβ2+cosα2sinβ2=1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2.又由0＜α＜β＜π2 .则0＜α2＜β2＜π4，0＜tanα2＜tanβ2＜1从而1+tanα2tanβ2−(tanα2+tanβ2)=(1−tanα2)(1−tanβ2)＞0 .变形可得1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2＞1 .必有m≤1.即m的取值范围为（-∞.1]；故答案为（-∞.1]．【点评】：本题函数的单调性的性质.涉及三角函数的恒等变形以及和差公式的应用.属于基础题11.（单选题.3分）已知cosα=k.k∈R.α∈（π2.π）.则sin（π+α）=（）A.- √1−k2B. √1−k2C.± √1−k2D.-k【正确答案】：A【解析】：由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sinα.从而由诱导公式即可得解．【解答】：解：∵cosα=k.k∈R.α∈（π2.π）.∴sinα= √1−cos2α = √1−k2 .∴sin（π+α）=-sinα=- √1−k2．故选：A．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用.运用诱导公式化简求值.属于基本知识的考查．12.（单选题.3分）对任意的锐角α.β.下列不等关系中正确的是（）A.sin（α+β）＞sinα+sinβB.sin（α+β）＞cosα+cosβC.cos（α+β）＜sinα+sinβD.cos（α+β）＜cosα+cosβ【正确答案】：D【解析】：对于A.B中的α.β可以分别令为30°.60°验证即可.对于C中的α.β可以令他们都等于15°.验证即可.对于D我们可以用放缩法给出证明cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ＜cosα×1+cosβ×1=cosα+cosβ【解答】：解：对于AB中的α.β可以分别令为30°.60°则知道A.B均不成立对于C中的α.β可以令他们都等于15°.则知道C不成立cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ＜cosα×1+cosβ×1=cosα+cosβ故选：D．【点评】：本题考查了两角和与差的正余弦公式.同时也考查了放缩法对命题的证明.属于基础题．13.（单选题.3分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A.ω.φ是常数.A＞0.ω＞0.|φ|＜π）.为了2得到f（x）的图象.则只需将g（x）=cos2x的图象（）个单位A.向右平移π12个单位B.向右平移π6C.向左平移π个单位12个单位D.向左平移π6【正确答案】：A【解析】：由函数的图象的顶点坐标求出A.由周期求出ω.由五点法作图求出φ的值.可得f（x）的解析式.再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.得出结论．【解答】：解：利用函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A.ω.φ是常数.A＞0.ω＞0.|φ|＜π2）的图象.可得A=1. 14•2πω= π3- π12.∴ω=2．再根据五点法作图.可得2× π12+φ= π2.∴φ= π3.故f（x）=sin（2x+ π3）．将g（x）=cos2x=sin（2x+ π2）的图象向右平移π12个单位.可得y=sin（2x- π6 + π2）=sin（2x+ π3）=f（x）的图象.故选：A．【点评】：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式.由函数的图象的顶点坐标求出A.由周期求出ω.由五点法作图求出φ的值.函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.属于基础题．14.（单选题.3分）若函数f（x）=sin（2x- π3）与 g（x）=cosx-sinx都在区间（a.b）（0＜a ＜b＜π）上单调递减.则b-a的最大值为（）A. π6B. π3C. π2D. 5π12【正确答案】：B【解析】：求出函数f（x）、g（x）在（0.π）上的单调递减区间.从而求得b-a的最大值．【解答】：解：函数f（x）=sin（2x- π3）在（0. 5π12）上单调递增.在（5π12 . 11π12）上单调递减.在（11π12.π）上单调递减；函数g（x）=cosx-sinx= √2 cos（x+ π4）在（0. 3π4）上单调递减.在（3π4.π）上单调递增；∴f（x）、g（x）都在区间（5π12 . 3π4）上单调递减.∴b-a的最大值为3π4 - 5π12= π3．故选：B．【点评】：本题考查了三角函数在某一区间上的单调性问题.是中档题．15.（单选题.3分）已知α.β为锐角且α+β＞π2，x∈R，f(x)=(cosαsinβ)|x|+(cosβsinα)|x|.下列说法正确的是（）A.f（x）在定义域上为递增函数B.f（x）在定义域上为递减函数C.f（x）在（-∞.0]上为增函数.在（0.+∞）上为减函数D.f（x）在（-∞.0]上为减函数.在（0.+∞）上为增函数【正确答案】：C【解析】：先利用α.β为锐角且α+β＞π2结合三角函数的单调性得出cosαsinβ. cosβsinα的取值范围.再对x的值分类讨论.结合指数函数的单调性即可得出答案．【解答】：解：∵α.β为锐角且α+β＞π2 .∴ π2＞α＞π2-β＞0.∴cosα＜cos（π2 -β）.sinα＞sin（π2-β）.即0＜cosα＜sinβ.sinα＞cosβ＞0.∴0＜cosαsinβ＜1.0＜cosβsinα＜1．∴在（-∞.0]上. f(x)=(cosαsinβ)−x+(cosβsinα)−x为增函数.在（0.+∞）上. f(x)=(cosαsinβ)x+(cosβsinα)x为减函数．故选：C．【点评】：本题主要考查了指数函数的单调性与特殊点.考查了三角函数的性质.属于基础题．16.（单选题.3分）在△ABC中.a.b.c分别为角A.B.C的对边的长.若a2+b2=2020c2.则2tanA•tanBtanC(tanA+tanB)的值为（）A.1B.2018C.2019D.2020【正确答案】：C【解析】：直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理余弦定理的应用求出结果．【解答】：解：由于△ABC中.a.b.c分别为角A.B.C的对边的长.若a2+b2=2020c2.所以a2+b2-c2=2019c2.则：2tanA•tanBtanC(tanA+tanB)=2sinAcosAsinBcosBsinCcosC(sinAcosA+sinBcosB).= 2sinAsinBcosCsinC(sinAcosB+cosAsinB)=2sinAsinBcosCsin2C.= 2abcosCc2=a2+b2−c2c2=2019故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换.正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．17.（问答题.0分）化简：f(α)=sin(−α)cos(π+α)cos(π2−α)cos(π−α)sin(2π+α)tan(π+α)．【正确答案】：【解析】：利用诱导公式化简要求的式子.再利用同角三角函数的基本关系化简到最简形式．【解答】：解：f(α)=sin(−α)cos(π+α)cos(π2−α)cos(π−α)sin(2π+α)tan(π+α)= (−sinα)(−cosα)sinα(−cosα)sinαtanα=−cosα．【点评】：本题考查同角三角函数的基本关系.诱导公式的应用.要特别注意公式中的符号．18.（问答题.0分）已知函数f(x)=√3cos2x−sin2x．（1）用五点法作出f（x）在一个周期内的图象.并写出f（x）的值域.最小正周期.对称轴方程（只需写出答案即可）；（2）将f（x）的图象向左平移一个π4单位得到函数y=g（x）的图象.求y=g（x）的单调递增区间．【正确答案】：【解析】：（1）用五点作图法即可作出函数在一个周期上的图象.利用余弦函数的性质即可求解其值域.最小正周期.对称轴方程．（2）由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律和正弦函数的图象和性质即可求解y=g （x）的单调递增区间．【解答】：解：（1）f(x)=√3cos2x−sin2x =2cos（2x+ π6）.列表如下：2x+ π6π2π3π22πx - π12π65π122π311π12y 2 -2 2 作图：可得：f（x）的值域为[-2.2].最小正周期为π.对称轴方程为x=kπ2−π12，k∈Z．（2）将f（x）=2cos（2x+ π6）的图象向左平移一个π4单位得到函数y=g（x）=2cos（2x+ π2+ π6）=-2sin（2x+ π6）的图象.令2kπ+ π2≤2x+ π6≤2kπ+ 3π2.k∈Z.解得kπ+ π6≤x≤kπ+ 2π3.k∈Z.可得函数的单调递增区间为：[kπ+π6，kπ+2π3]，k∈Z．【点评】：本题主要考查用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的图象.y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律.考查正弦函数的性质.属于基础题．19.（问答题.0分）如图.矩形ABCD中.E.F两点分别在边AB.BC上.∠DEF=90°.设∠ADE=α.∠EDF=β．（1）试用该图中提供的信息证明两角和的余弦公式；（2）若x∈(0，π4)，y∈(π4，3π4) .且sin（3π4+x）= 513.cos（π4-y）= 45.求cos（x-y）的值．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意利用直角三角形的边角关系.即可证明cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；（2）利用三角恒等变换化简求值即可．【解答】：解：（1）由已知∠ADE=∠BEF=α.所以cos（α+β）=cos∠DFC= CFDF = BC−BFDF= ADDE• DEDF- BFEF• EFDF=cosαcosβ-sinαsinβ；（2）由已知3π4+x∈(3π4，π)，π4−y∈(−π2，0) .从而cos(3π4+x)=−√1−sin2(3π4+x)=−1213.sin(π4−y)=−√1−cos2(π4−y)=−35.所以cos(x−y)=−cos(x−y+π)=−cos[(3π4+x)+(π4−y)]= sin(3π4+x)sin(π4−y)−cos(3π4+x)cos(π4−y)=513•(−35)−(−1213)•45=3365．【点评】：本题考查了直角三角形边角关系应用问题.也考查了三角函数化简求值问题.是中档题．20.（问答题.0分）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯.要求灯柱AB与地面垂直.灯杆BC 与灯柱AB所在的平面与道路垂直.路灯C采用锥形灯罩.射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC= 23π.∠ACD= π3.路宽AD=24米．设∠BAC=θ (π12≤θ≤π6)．（1）求灯柱AB的高h（用θ表示）；（2）此公司应该如何设置θ的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到0.01米）【正确答案】：【解析】：（1）在△ACD中与在△ABC中.分别利用正弦定理即可得出；（2）△ABC中.利用正弦定理可得：BC.再利用和差公式即可得出．【解答】：解：（1）在△ACD中. ∠CDA=θ+π6.由ADsin∠ACD =ACsin∠CDA.得AC=AD•sin∠CDAsin∠ACD=16√3sin(θ+π6) .在△ABC中. ∠ACB=π3−θ .由ABsin∠ACB =ACsin∠ABC.得ℎ=AC•sin∠ACBsin∠ABC=32sin(θ+π6)sin(π3−θ)(π12≤θ≤π6)．（2）△ABC中.由BCsin∠BAC =ACsin∠ABC.得BC=AC•sin∠BACsin∠ABC=32sin(θ+π6)sinθ .∴ AB+BC=32sin(θ+π6)sin(π3−θ)+32sin(θ+π6)sinθ = 16sin2θ+8√3 .∵ π12≤θ≤π6.∴ π6≤2θ≤π3.∴当θ=π12时.AB+BC取得最小值8+8√3≈21.86．故制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小.最小值约为21.86米．【点评】：本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数求值.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．21.（问答题.0分）设函数f（x）=5cosθsinx-5sin（x-θ）+（4tanθ-3）sinx-5sinθ为偶函数．（1）求tanθ的值；（2）若f（x）的最小值为-6.求f（x）的最大值及此时x的取值；（3）在（2）的条件下.设函数g(x)=λf(ωx)−f(ωx+π2) .其中λ＞0.ω＞0．已知y=g（x）在x=π6处取得最小值并且点(2π3，3−3λ)是其图象的一个对称中心.试求λ+ω的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）利用三角函数关系式的恒等变换和函数的性质的应用求出结果．（2）利用函数的关系式的变换和三角函数的性质的应用求出结果．（3）利用分类讨论思想的应用和关系式的变换的应用求出参数的值．【解答】：解：（1）f（x）=5cosxsinθ+（4tanθ-3）sinx-5sinθ.f（x）是偶函数. ∴（4ta nθ-3）sinx=0对一切x∈R恒成立.∴ tanθ=34（2）f（x）=5sinθ（cosx-1）.其最小值为-6.此时sinθ=35，cosx=−1 .∴f（x）=3（cosx-1）.从而f（x）的最大值为0.此时x的取值为x=2kπ.k∈Z；（3）g(x)=λf(ωx)−f(ωx+π2)=3λcosωx−3λ−3cos(ωx+π2)+3=3λcosωx-3λ+3sinωx+3由g（x）在x=π6处取最小值.知g（x）的图象关于x=π6对称.有g(−π3)=g(2π3)=3−3λ故3λcos(−ωπ3)+3sin(−ωπ3)=0 .且3λcos2ωπ3+3sin2ωπ3=0 .从而λ=tanωπ3=−tan2ωπ3=tan(kπ−2ωπ3) .则ωπ3=kπ−2ωπ3.即ω=k（k∈Z）又ω＞0.则ω是正整数.∵λ＞0.ω是正整数.∴ ω=3l−2(l∈N∗)，λ=√3 .当ω=1时. g(x)=3√3cosx+3sinx+3−3√3显然.g（x）在x=π6处有最大值.而不是最小值.矛盾．当ω=4时. g(x)=3√3cos4x+3sin4x+3−3√3 .显然.g（x）在x=π6处有最大值.而不是最小值.矛盾．当ω=7时. g(x)=3√3cos7x+3sin7x+3−3√3 .显然.g（x）g（x）在x=π6处有最小值.且y=g（x）的图象关于点(2π3，3−3√3)中心对称.∴λ+ω的最小值为√3+7．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换.正弦型函数的性质的应用.分类讨论思想的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．。
2019-2020学年上海市金山中学、崇明中高一第二学期期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．2019°角是第象限角．2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为．3．已知tanθ＝2，则＝．4．函数y＝arcsin（2x﹣1）的定义域为．5．S n为数列{a n}的前n项的和，，则a n＝．6．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，为其终边上一点，则＝．7．已知，若，则sinα＝．8．如图所示，有一电视塔DC，在地面上一点A测得电视塔尖C的仰角是45°，再向塔底方向前进100米到达点B，此时测得电视塔尖C的仰角为60°，则此时电视塔的高度是米．（精确到0.1米）9．已知数列{a n}与{b n}都是等差数列，且a1＝1，b1＝4，a25+b25＝149，则数列{a n+b n}的前25项和等于．10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列的项数为．11．已知公式cos3θ＝4cos3θ﹣3cosθ，θ∈R，借助这个公式，我们可以求函数f（x）＝4x3﹣3x﹣2（x∈[0，]）的值域．则该函数的值域是．12．函数f（x）＝sin（ωx）（其中ω＞0）的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为A1，A2，A3，…，A n，…，在点列{A n}中存在四个不同的点成为某菱形的四个顶点，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{ωn}，则ω2020＝．二.选择题13．“tan x＝1”是“”成立的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要14．要得到函数y＝2sin（2x+）的图象，只需要将函数y＝2sin（2x﹣）的图象（）A．向右平移π个长度单位B．向左平移π个长度单位C．向右平移个长度单位D．向左平移个长度单位15．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S15＞0，S16＞0，则中最大项为（）A．B．C．D．16．函数f（x）＝sin x在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，x n，使得＝＝…＝，则n的最大值等于（）A．8B．9C．10D．11三.解答题17．已知，，，求：（1）tanα和tanβ的值；（2）tan（α﹣2β）的值．18．已知函数f（x）＝sin n x+cos x（x∈R）．（1）当n＝1时，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当n＝2时，求f（x）的最值并指出此时x的取值集合．19．在△ABC中，4sin B sin2（+）+cos2B＝1+．（1）求角B的度数；（2）若a＝4，S△＝5，求边b的值．20．在等差数列{a n}中，a3+a4＝﹣2，a5+a7＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和S n的最小值；（3）设，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数．21．已知函数f（x）＝cos2x+2sin x cos x+l，x∈R．（1）把f（x）表示为A sin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的形式，并写出函数f（x）的最小正周期、值域；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）定义：对下任意实数x1、x2，max{x1、x2}＝．设g（x）＝max{a sin x，a cos x}．x∈R （常数a＞0），若对于任意x1∈R，总存在x2∈R，使得g（x1）＝f（x2）恒成立，求实数a的取值范围．。
进才中学高一期中数学试卷2020.05一、填空题1．求值：πarccos sin 3⎛⎫= ⎪⎝⎭__________． 2．若π02α-<<，则点()cot ,cos αα在第__________象限． 3．已知tan 2α=-，则22cos sin cos 1ααα++=__________．4．已知某扇形的圆心角为2弧度，弧长为6，则扇形的面积为__________．5．在ABC 中，若b =π4B =，1sin 3A =，则a =__________． 6．函数()2sin cos x x f x =-的值域为__________．7．函数cos πy x =的单调减区间为__________．8．若函数()sin cos x a x f x =+的图像关于直线π4x =对称，则a 的值为__________． 9．在ABC 中，若222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-⋅，则A 的取值范围是__________．10．已知函数()221x x f x a =-+，若存在ππ,42ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()()cos sin f f ϕϕ=，则实数a 的取值范围是__________．11．若等比数列{}n a 满足1330a a +=，2410a a +=，则12n a a a ⋅最大值为__________．12．已知数列{}n a 满足：（1）10a =，（2）()*1n n a a n +>∈N ，函数()sin n n x a f x n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，[]1,n n x a a +∈满足：对任意实数[)0,1m ∈，()n f x m =总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式为__________．二、选择题13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ）A ．63B ．45C ．36．D ．2714．在ABC 中，A 、B 均为锐角且cos sin A B >，则ABC 的形状式（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形15．设函数()sin f x x =，[],x a b ∈，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则以下结论错误的是（ ） A ．b a -的最小值为2π3B ．a 不可能等于2ππ6k -，k ∈ZC ．b a -的最大值为4π3D ．b 不可能等于2ππ6k -，k ∈Z 16．将函数()π2sin 34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向下平移1个单位，得到()g x 的图像，若()()129g x g x ⋅=，其中[]12,0,4πx x ∈，则12x x 的最大值为（ ） A ．9B ．375C ．3D ．1三、解答题 17．设数列{}n a 是首项为23，公差为整数的等差数列，且第6项为正，第7项为负．（1）求数列的公差d ；（2）求前n 项和n S 的最大值．18．已知函数()22cos 2x f x x =+． （1）求函数()f x 在区间[]0,π上的单调递增区间； （2）若()115f α=，且2ππ36α-<<，求πsin 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．。
