【基础练习】《基本不等式与最大(小)值》(数学北师大版必修5)
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2 2
x
x2＋1 D．2x≤
《基本不等式与最大（小）值》
基础练习
1．已知 a≥0，b≥0，且 a＋b＝2，则( )
1 1 A．ab≤ B．ab≥
C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤2
1 2．设函数 f(x)＝2x＋ －1(x<0)，则 f(x)( )
A．有最大值 B．有最小值
C．是增函数 D．是减函数
3．设 x>0，y>0，且 xy－(x＋y)＝1，则( )
A．x＋y≥2( 2＋1) B．xy≤ 2＋1
C．x＋y≤( 2＋1)2 D．xy≥2( 2＋1)
4．若 x∈R，则下列不等式成立的是( )
A．lg(x2＋1)≥lg2x B．x2＋1>2x
1 C． <1 x＋1
2 2
5．用长度为 24 米的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙
的长度为( ) cd
x＋1
2 5
C. 2
cd
x2＋3x＋1
m n
15．求函数 y＝ (x＞－1)的最小值．
A．3 米
C．6 米 D．12 米 B．4 米
6．已知 x>0，y>0，x，a，b，y 成等差数列，x，c，d，y 成等比数列，则
值是( )
A．0 B．1
C．2 D．4
7．若 a，b∈R 且 a＋b＝0，则 2a＋2b 的最小值是( ) a＋b 2 的最小
A．2
C．4 D．5 B．3
8．函数 f(x)＝ x 的最大值为( )
1 2 A. B.
2 D．1
9．已知点 P(x，y)在经过 A(3,0)、B(1,1)两点的直线上，那么 2x＋4y 的最小值为( )
A．3 B．4 2
C. 2 D．2
10．已知 x＞0，y＞0，x，a，b，y 成等差数列，x，c，d，y 成等比数列，则 a＋b 2 的
最小值是( )
A．0 B．1
C．2 D．4
11．某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x 吨，运费为 4 万元/次，一年的总存储
费用为 4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x＝________吨．
x 12．若对任意 x＞0， ≤a 恒成立，则 a 的取值范围是________．
13．函数 y＝loga(x＋3)－1(a>0 且 a≠1)的图像恒过定点 A，若点 A 在直线 mx＋ny＋1＝0
1 2 上，其中 mn>0，则 ＋ 的最小值为________．
14．已知 log2a＋log2b≥1，则 3a＋9b 的最小值为________．
x2＋7x＋10
x＋1
答案和解析 2 2 2
x 2
∴在 x＝－ 2
1 1
x f(x)＝2x＋ －1＝－－2x－ －1
2x －1－1＝－2 2－1，
2
2
≤2·6－x＋x2＝18
1.【答案】 C
a＋b a2＋b2 a＋b [解析] 由 a＋b＝2，得 ab≤( )2＝1，排除 A、B；又 ≥( )2，∴a2＋b2≥2.
故选 C．
2.【答案】 A
1 2 [解析] 令 2x＝ ，由 x<0 得 x＝－ ，
2 两侧，函数 f(x)的单调性不同，排除 C、D．
x
≤－2 x 等号在 x＝－ 2
2 时成立，排除 B．
3.【答案】 A
x＋y [解析] ∵x>0，y>0，∴xy＝x＋y＋1≤( )2，
∴(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，当且仅当 x＝y＝ 2＋1 时等号成立．
∴x＋y≥2＋2 2.故选 A．
4.【答案】 D
[解析] A 中，x≤0 时，不等式不成立；
B 中 x＝1 时，不等式不成立；
C 中 x＝0 时，不等式不成立，故选 D．
5.【答案】 A
24－4x [解析] 解法一：设隔墙的长度为 xm，则矩形的宽为 xm，长为 ＝(12－2x)m，
矩形的面积为
S＝(12－2x)x＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18，
∴当 x＝3 时，S 取最大值，故选 A．
解法二：(接解法一)S＝(12－2x)·x＝2(6－x)·x
2
当且仅当 6－x＝x 即 x＝3 时取“＝”．故选 A．
6.【答案】 D
[解析] 因为 x，a，b，y 成等差数列，所以 a＋b＝x＋y.因为 x，c，d，y 成等比数列，所 以 cd＝xy，所以 a＋b 2＝ xy xy xy
xy xy
x＋1 t2＋1
t2＋1 1 t＋
t 1 2
t
2
即 x＝ ，y＝ 时等号成立．
∴ a＋b 2 cd xy
解析： 每年购买次数为 次．
∴总费用＝ ·4＋4x≥2 6 400＝160，
cd x＋y 2 x2＋y2＋2xy x2＋y2 ＝ ＝ ＋2.因为 x>0，y>0，所以
x2＋y2 2xy ＋2≥ ＋2＝4，当且仅当 x＝y 时，等号成立．
7.【答案】： A
解析： ∵2a＞0,2b＞0，
∴2a＋2b≥2 2a·2b＝2 2a＋b＝2，
当 2a＝2b，即 a＝b＝0 时取等号．
8.【答案】： A
解析： 令 t＝ x(t≥0)，则 x＝t2，
x t ∴f(x)＝ ＝ .
当 t＝0 时，f(x)＝0；
1 1 当 t>0 时，f(x)＝ ＝ .
t t
1 1 1 ∵t＋ ≥2，∴0< ≤ ，
t＋
1 ∴f(x)的最大值为 .
9.【答案】： B
解析： 直线 AB 的方程为：x＋2y＝3.
点 P(x，y)坐标适合上述方程，
则 2x＋4y≥2 2x·4y＝2 2x＋2y＝4 2，
当且仅当 2x＝4y，
3 3
2 4
10.【答案】： D
解析： ∵a＋b＝x＋y，cd＝xy，
x＋y 2 ＝ ≥ 2 xy 2
xy ＝4.
11.【答案】： 20
400
x
400
x x
5
x2＋3x＋1 1
x
x
∴ 1 ≤ .
x
5
15.解 y＝ x＋1 2＋5 x＋1 x＋1
x＋1 4 x＋1 x＋1
1 600 当且仅当 ＝4x，
即 x＝20 时等号成立．
1 12.【答案】： a≥
x 解析： a≥ ＝
1 ，
x＋ ＋3
1 又 x＋ ≥2，
1
1 5 x＋ ＋3
1 ∴a≥ .
13.【答案】 8
14.【答案】 18
[解析] 本题考查利用均值不等式求最值的问题，解决此类问题的关键是根据条件灵活变形，
构造定值．
∵log2a＋log2b≥1
∴log2ab≥1，ab≥2.
∴a·2b≥4，∴a＋2b≥2 a·2b≥4(当且仅当 a＝2b＝2 时取“＝”)
3a＋9b＝3a＋32b≥2 3a·32b＝2 3a＋2b≥2 34＝18.
(当且仅当 a＝2b＝2 时取“＝”)
x＋1
∵x＞－1，∴x＋1＞0，∴y≥2 4 4 ＝(x＋1)＋ ＋5，
4 ＋5＝9，当且仅当 x＋1＝ 即 x＝1
时，函数取得最小值 9，故函数的最小值为 9.
