第六章 刚体运动

O2 r2
于是可得
r1 r1 2 1 , 2 1 r2 r2
即
1 1 r2 2 2 r1
例6-2 一半径为R=0.2m的圆轮绕定轴O的转动方程 为 j t 2 4t ，单位为弧度。求t=1s时，轮缘上任一点M的 速度和加速度（如图）。如在此轮缘上绕一柔软而不可伸长 的绳子并在绳端悬一物体A，求当t=1s时，物体A的速度和加 速度。 a M v an 解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为
O
R
dj 2t 4 dt
求当t=1s时，则为
2 2 rad / s 2rad / s
2 2 2
d 2j 2 2 dt
A
因此轮缘上任一点M的速度和加速度为
v R 0.4m / s a R 0.4m / s an R 0.8m / s
方向如图所示。
M点的全加速度及其偏角为
2 a a2 an (0.4) 2 (0.8) 2 0.894 m / s 2
arctg 2 arctg0.5 2634
如图。
a M a an R O
现在求物体A的速度和加速度。因为
s A sM
•角速度与转速之间的关系：

dj dj 大小： dt dt 方向：逆时针为正

2n n 60 30

角加速度

d d 2j j 2 dt dt
d 0 dt

匀速转动
j j0 t
0 t

匀变速转动
d cont dt
上式两边求一阶及二阶导数，则得
A
vA vM

质量分立的体系：
I miri2
质量连续分布的刚体：
m
d 2rc dt 2

F外
2)刚体的转动满足质点系角动量定理
角动量定理： dL dt M外
3）刚体的内力做功为零。
内力做功决定于相对位移，刚体各质点的 相对位移为零。
4）刚体的动能定理： Ek (t ) Ek (t0 ) A外
§6.2 作用在刚体上的力系
一、力系
1、定义：同时作用在一个刚体的一组力称为力系。
②作用在刚体上的力沿着力的作用线滑移时，
对刚体的作用效果不变。
2、力的平移定理：
作用在刚体上某点的一个力等效于作用于刚体上 另一点的一个与它相等的力及一个附加力偶。附 加力偶的力偶矩等于原力对新作用点的力矩。
O
F3
F2
P
F1
F1 = F2 = F3 F2、F3构成零力系
F1与力系（F1、F2、F3） 等效，F1、F3构成力偶。
例 轻杆两两连接的4质点体系自由度6
z m1
m2
xO
m3 y m4
r1 ( x1, y1, z1 ), r2 ( x2, y2, z2 ), r3 ( x3, y3, z3 ), r4 ( x4, y4 , z4 )
l12 ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2 l23 ( x3 x2 )2 ( y3 y2 )2 (z3 z2 )2 l31 ( x1 x3 )2 ( y1 y3 )2 (z1 z3 )2 l41 ( x4 x1 )2 ( y4 y1 )2 (z4 z1 )2 l42 ( x4 x2 )2 ( y4 y2 )2 (z4 z2 )2 l43 ( x4 x3 )2 ( y4 y3 )2 (z4 z3 )2

τ
vC = v0 = 1.5m/s
α
ω0
ϕ N = = 2 .86 ( 转） 2π
17
内的行程； ②重物B在3s内的行程；
ϕ = ω 0t +
1 α t 2 = 18 rad 2
s = r ϕ = 0 .3 × 18 = 5 .4 m
时的速度； ③重物B在ｔ＝3s时的速度；
aC 1 α= = = 2 rad/s 2 R 0.5 vC 1 .5 ω0 = = = 3 rad/s R 0 .5
5
加速度： 加速度：
刚体平动的特点： 刚体平动的特点： 平动刚体在任一瞬时各点的运动轨迹、速度、 平动刚体在任一瞬时各点的运动轨迹、速度、加速度都 一样。 一样。 结论：平动刚体的运动可以简化为一个点的运动，研究刚体 结论：平动刚体的运动可以简化为一个点的运动， 的平动可归结为研究点的运动。 的平动可归结为研究点的运动。
ϕ = f(t)
8
四、定轴转动的角速度和角加速度 1. 角速度： 角速度：
∆ ϕ dϕ & = =ϕ 定义 : ω = lim ∆t → 0 ∆ t dt ( 代数量 )
角位移
单位： 单位： rad/s 工程中常用转速： 工程中常用转速： n ： 转/分(r/ min)（rpm) n与ω 的关系为： 与 的关系为：
ds ∆s v= = lim dt ∆t → 0 ∆t
∆ϕ ⋅ R v = lim = ωR ∆t → 0 ∆t
R
v = ωR
O
12
二、角加速度α 与 an 、aτ 的关系
dv d dω aτ = = (ωR ) = R = Rα dt dt dt
ϕ
α
(ωR)2 an = = = Rω 2 R ρ v2

0 为最高位置时的角度。
§6-2 刚体绕定轴的转动
刚体在运动时，其上有两点保持不动，则这种运 动称为刚体绕定轴的转动，简称刚体的转动。
通过这两个固定点的一条不动的直线，称为刚体 的转轴或轴线，简称轴。
f (t)
转动方程
flash
转角对时间的变化率：
d
dt
d
dt
d 2
dt 2
瞬时角速度 瞬时角加速度
刚体绕定轴转动时， 刚体内任一点均作圆心在 轴线上的圆周运动。
若点到转轴的距离为R，则： s R 是点的运动方程。
切向加速度： 法向加速度： 全加速度
R
R2 2 R24 R 2 4
R R 2
2
由：
a R 2 4
tan
a an
R R 2
2
可知
（1）每一瞬时，转动刚体内各点的速度与加速度的 大小均与这些点到轴线的距离成正比。
和 同号为加速，异号时为减速。
flash
两种特殊情况：
1)匀速转动，为常量
0 t
0 是t=0 时的转角。
和转速n（r.p.m）之间的关系为：
2)匀变速转动，即 是常量
0 t
0
0t
1 2
t 2
0 和 0 是t=0时的角速度和转角
例：杆AC以匀速V0沿水平导槽向右运动， 通过滑块A使杆OB绕O轴转动。已知O 轴与导槽相距h。求杆OB的角速度和角 加速度。
解：已知角加速度求运动规律，积分问题：
d d d dt d dt
d d
k
d kd
0
0
积分得：
02
k 2
d
dt
d
t
dt