当前位置：文档之家 › 人教版高一数学幂函数

人教版高一数学幂函数

  • 格式：ppt
  • 大小：529.00 KB
  • 文档页数：28

下载文档原格式

  / 28

合集下载

新人教版高一数学必修1课件2.3幂函数

新人教版高一数学必修1课件2.3幂函数
2.3 幂函数
一、基础知识讲解
观察： y x y x2 y x3
1
y x2 y x1
思考：这些函数是不是 指数函数？
思考2：这些函数的共同 特点是什么？
一、基础知识讲解
1、幂函数的定义：
一般的，函数 y = x α 叫做幂函数，其中 x 是
自变量，α 是常数。
随练：判断下列函数哪些是幂函数？
3.14
1
1
3.142 2
2 (0.38)3与(0.39)3
解：幂函数y x3在,是增函数 0.38 0.39 -0.383 0.393
小结
三、例题分析
31.251与1.221
解：y x1在(, 0)和(0, )上减函数
1.25 1.22 1.251 1.221
4 (1)0.25 与 (1)0.27
1
1 y 0.2x; √2 y x3; 3 y 3x5;
4 y x x; 5 y ( x)2
二、例题分析
例1、已知幂函数的图像过点(2, 2)，试求出此 函数的解析式。
解：由已知，可设幂函数的解析式为 f (x) x
f (x)的图像过点 2, 2
f 2 2, 即 2 2,
解得 1
3
3
解：y
1 3
x
在
,
上是减函数，
0.25 0.27
1
0.25
3
1 3
0.27
四、课堂小结 1、定义：一般地，函数 f(x)=x 叫做幂函数，其
中 x 是自变量， 是常数。
2、注意 ①幂函数的概念及其指数函数表达式的区别 ②常见幂函数及其幂函数的性质
3、幂函数 f(x)=x的性质：
五、课堂作业 课本P82 复习参考题A组 10

3.3幂函数(7大题型)高一数学(人教A版必修第一册)课件

3.3幂函数(7大题型)高一数学(人教A版必修第一册)课件



D ． p 为 偶 数 ， q为奇 数且 < 0
）
典型例题
题型四：幂函数的图象、定点问题
【对点训练8】（2023·全国·高一假期作业）已知 ( ) = (2 − 1) + 1，则函数 = ( )的图象恒过的定点
的坐标为
．
【答案】 (1,2)
【解析】令 2 − 1 = 1 ，得 = 1, = 2 ，
故选：C.
2 ；⑤
= ，其中幂函
典型例题
题型二：求函数解析式
【例2】若 = 2 − 4 + 5 − + + 1 是幂函数，则 2 ＝
【答案】
1
4
2

− 4 + 5 = 1 ，解得 ቊ = 2 ，
【解析】由题意得 ቊ
= −1
+1=0
故 = −2 ，所以 2 = 2 −2 =
典型例题
题型二：求函数解析式
1
2
【对点训练3】已知 ∈ −2, −1, − , 2 ，若幂函数 = 为偶函数，且在(0，+∞)上单调递减，则
=
．
【答案】 -2
【解析】因为函数在 0, +∞ 上单调递减，所以 < 0 ，
当 = −2 时， = −2 是偶函数，成立
当 = −1 时， = −1 是奇函数，不成立，
1
1
当 = − 时， = − 2 的定义域是 0, +∞ ，不是偶
2
函数，故不成立，
综上， = −2.
故答案为：−2
典型例题
题型三：定义域、值域问题
4
【例3】（1）函数 = 5 的定义域是

高中数学人教A版必修第一册3.3幂函数课件-

高中数学人教A版必修第一册3.3幂函数课件-

4
时，
y
4
x3
是偶函数.综上，实数
m
的值是
4，
故选 A.
C 7.在同一坐标系内，函数 y xa (a 0) 和 y ax 1 的图象可能为( ) a
A.
B.
C.
D.
解析：若 a 0 ，则 y xa 在 (0, ) 上是增函数， y ax 1 在 R 上是增函数且其图象 a
与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上，选项 C 可能，选项 B 不可能；若 a 0 ，则 y xa 在
所以 m 5 ，则 f (x) x5 .
（2）
f
(x)
x5
1 x5
， 要使函数有意义，则 x 0 ，
即定义域为 (,0) (0, ) ，其关于原点对称.
f
(x)
1 (x)5
1 x5
f
(x) ，
该幂函数为奇函数.
当 x 0 时，根据幂函数的性质可知 f (x) x5 在 (0, ) 上为减函数，
1 3
D.2
解析：因为函数 f (x) (m2 5m 7)xm1(m R) 是幂函数，所以 m2 5m 7 1 ，
解得 m 2 或 m 3 .当 m 2 时， f (x) x3 是奇函数，不符合题意，舍去；当 m 3 时，
f (x) x4 是偶函数，符合题意.故由 f (2a 1) f (a) 得， f ( 2a 1) f ( a ) ，又因为
A 5.如图，下列 3 个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是( )
A.①
y
x1
，②
y
1
x2
，③
y
1
x3
C.①
y
1
x3

3.3 幂函数 课件(共48张PPT)高一数学必修第一册(人教A版2019)

3.3 幂函数 课件(共48张PPT)高一数学必修第一册(人教A版2019)
1
(3) 在区间(0, )上,函数y x, y x2 , y x3 , y x 2单调递增, 函数y x1单调递减;
(4) 在第一象限内, 函数y x1的图象向上与y轴无限接近,向右与x轴 无限接近.
学习新知 例 证明函数f ( x) x是增函数.
证明：函数的定义域是[0, ). x1, x2 [0, ), 且x1 x2 ,
[0,+∞)递增
(-∞,0)和(0,+∞) 递减
图象
公共点
(1,1) ( R) (0,0) ( 0时)
①为偶数, y x是偶函 数. ②为—奇—数, y x是奇函 数.
3.3 幂函数
02 幂函数的图象 与性质
应用新知 1 幂函数的概念
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
本节我们利用这些知识研究一类新的函数．
学习新知
先看几个实例： (1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付
的钱数P=t元，这里P是t的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；
或
m＝0.
当
m＝2
时，f(x)＝
x
1 2
，图象过点(4,2)；
当
m＝0
时，f(x)＝
x
3 2
，图象不过点(4,2)，舍去．
综上，f(x)＝
x
1 2
.
能力提升 题型三：利用幂函数的单调性比较大小
【练习
3】已知幂函数
f(x)＝m2
2m
1
m 3
x2
的图象过点(4,2)．

高一数学人必修件第三章幂函数

高一数学人必修件第三章幂函数

分式型幂函数
要点一
函数形式
$y = x^a/b$ 或 $y = a/(x^b)$，其 中 $b neq 0$
要点二
图像特点
根据 $a$ 和 $b$ 的取值不同，图像 可能呈现出不同的形状和特点
要点三
性质
分式型幂函数的性质比较复杂，与 $a$ 和 $b$ 的取值密切相关。一般 来说，当 $b > 0$ 时，函数图像在 $x > 0$ 和 $x < 0$ 的区域内分别单 调递增或递减；当 $b < 0$ 时，函数 图像在 $x > 0$ 和 $x < 0$ 的区域内 分别单调递减或递增。此外，分式型 幂函数可能具有渐近线、拐点等特性 。
。
易错点二
混淆幂的运算性质。在运用幂的 运算性质时，需特别注意底数和 指数的变化规律，避免出现混淆
。
避免逐步推导求解。同时，多 做相关练习题，加深对知识点的
理解和记忆。
拓展延伸：多元幂函数初步了解
多元幂函数的定义
形如$z=x^ay^b$（$a,b$为常数） 的函数称为二元幂函数。类似地，可 以定义三元及更多元的幂函数。
三次幂函数
函数形式
$y = ax^3$，其中 $a neq 0$
图像特点
一个关于原点对称的曲线
性质
比例系数 $a$ 决定了曲线的形状和走向，当 $a > 0$ 时，函数在整个定义域内单调递增；当 $a < 0$ 时 ，函数在整个定义域内单调递减。此外，三次幂函数具有拐点，即函数图像从凹到凸或从凸到凹的点。
指数型幂函数与对数的关系体现在：当且仅当a>1时，函数y=a^x在定 义域内单调增加；当0<a<1时，函数y=a^x在定义域内单调减少。

人教版高一数学必修一第一章知识点梳理幂函数

人教版高一数学必修一第一章知识点梳理幂函数

人教版高一数学必修一第一章知识点梳理幂函数定义：形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为为常量的函数称为幂函数。

定义域和值域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不会等于0的所有实数。

当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x 大于0时，函数的值域似乎大于0的实数。

在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数，0才进入函数的值域性质：对于a的取值为非零数列，有必要分成情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是r，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)，当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x;0，则a可以是任意实数;排除了为0这种可能，即对于x;0和x;0的所有实数，q不能是偶数;排除了为有理数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的开集为大于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的开集为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则整数的定义域为不等于0的所有实数。

高一数学人必修一课件第二章幂函数


感谢观看
THANKS
性质
一次幂函数具有比例性质 ，即y/x=n（常数），且 增减性与n的正负有关。
二次幂函数
定义
形如y=ax^2+bx+c（a≠0 ）的函数。
图像
二次幂函数的图像是一条 抛物线，对称轴为x=b/2a，顶点坐标为(b/2a,(4ac-b^2)/4a)。
性质
二次幂函数具有对称性、 有界性和单调性等性质， 其增减性取决于a的正负和 x的取值范围。
自由落体运动的位移
自由落体运动中，物体下落的位移h与时间t的关系可以表示为h=1/2gt^2（g为 重力加速度）。这个关系式是一个幂函数，其中指数为2。
经济生活中应用举例
复利计算
在金融领域，复利是一种计算利息的方法。假设本金为P，年利率为r，经过n 年后，本金和利息的总和为A=P(1+r)^n。这个公式中的(1+r)^n部分就是一 个幂函数。
06
练习题与课堂互动环节
练习题选讲
题目一
求函数$y = x^{2}$在 区间$[1,2]$上的最大值 和最小值。
题目二
判断函数$y = x^{3}$ 在$R$上的单调性，并 证明。
题目三
已知函数$y = x^{-2}$ ，求其在点$(1,1)$处的 切线方程。
学生自主函数的奇偶性？
高一数学人必修一课
件第二章幂函数
汇报人：XX
20XX-01-22
• 幂函数基本概念与性质 • 常见幂函数类型及其特点 • 幂函数在生活中的应用举例 • 幂函数与指数、对数等其他类型
函数关系探讨 • 求解幂函数相关数学问题方法技
巧总结 • 练习题与课堂互动环节
目录
01

人教版高中数学必修一2.3《幂函数》ppt课件


奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数
R上 增函数
(, 0)减 (0, ) 增
R上 增函数
[0, ) 增
(, 0) 减 (0, ) 减
（1,1）
幂函数性质
y y x3 y x2
4
1
yx
(1)函数 y x, y x2 , y x3, y x 2
3
1
y x1在(0,+∞)上都有定义，
培养学生数形结合、分类讨论的思想，以及分析归纳的 能力，培养学生合作交流的意识.
学习重点
从具体函数归纳认识幂函数的一些性质并简单应用.
学习难点
概括幂函数的性质.
问题情境
问题1：如果张红购买了每千克1元的水果w千克，
a 那么她需要付的钱数p＝ w 元，这里p是w的函数 y x
S 问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积
S= a 2 ， 这里S是a的函数
y x2
问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积
V
aa
S
V= a3 ，这里V是a的函数
y x3
问题4：如果正方形场地面积为S，那么正方形的边 1 1
长a= S 2 ，这里a是S的函数
y x2
问题5：如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车
的速度 v = t 1 km/s. 这里v是t的函数
y y x3
4
y x2
(2,4)
yx
1
y x2 , y x3
3
1
2
y x2
1
-4
-3
-2
-1
o
(1,1)
1
2
y x1

高中数学人教版必修1课件：2.3幂函数

学习目标:
1.通过实例了解幂函数的概念. 2.结合几个常见幂函数的图象发现幂函数的性质.
难点和重点:
学会数形结合的思想概括出幂函数的性质.
以下的函数解析式具有什么共同特征？
y=x y = x2
y xa
y = x3 y x 1
1
y x2
共同特征：函数解析式是幂的情势，且指数是常数， 底数是自变量。
（1，1）
幂函数的性质：(定义域、奇偶性、单调性，因函数
式中α的不同而各异) 1. 所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图 象都过点(1，1)； 2. 当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数.
3. 当α ＞0时，幂函数在区间(0，+∞)上是增函数； 当α＜0时，幂函数在区间(0，+∞)上是减函数.
1
y x2
y x1
[0，+∞） ，0 （0，+） [0，+∞） ，0 （0，+）
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶
奇函数
在(－∞,0)上 R上是 是减函数，
单调性 增函数在(0, +∞)上 是增函数
R上是 在(0，+∞) 增函数 上是增函数
在( －∞,0) 和(0, +∞)上 是减函数
公共点
练习1.
(1) 1.30.5 ＜ 1.50.5
(2) 5.12 ＜ 5.092
1
1
(3) 0.54 ＞ 0.44
(4)
2
0.7 3
＞
2
0.8 3
2.若m
4
1 2
3
2m
1 2
,则求m的取值范围.
解:
幂函数f

人教版高中数学必修一《幂函数》课件

[0,+∞)
[0,+∞)
1 2
y=x-1 {x|x≠0} {y|y≠0} 奇 (0,+∞)减
(-∞，0)减
定义域
值域
奇偶性非奇非偶 增单调性 公共点增
理论升华
幂函数的性质
(1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定 义，并且图象都通过点(1,1);
(2) 如果α＞０，则幂函数图象过原点， 并且在区间[0,+∞)上是增函数； (3) 如果α＜０，则幂函数图象在区间(0,+∞)上是减函 数，在第一象限内，图象无限地逼近坐标轴； (4)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时， 幂函数为偶函数．
探究2：如何判断一个函数是幂函数还是指数函数？ 看看自变量x是指数还是底数
指数函数
幂函数
练一练 1.判断下列函数是否为幂函数. 1 (1) y=x4 2
1 (2) y 2 x
(3) y= 2x

(4) y x
(5) y=2x2
(6) y=x3+2

2 （2， ） 2.若幂函数y=f(x)的图像过点 2 1
幂函数
函数的完美追求 b 我们知道： N a
1.如果 a 一定，N 随 b 的变化而变化， x 我们建立了指数函数 y a ; 2.如果 a 一定， b 随 N 的变化而变化， 我们建立了对数函数： y log a x。
设想：如果b一定，N随a的变化而变化，
是不是也应该可以确定一个函数呢？
一、复习引入
我们先来看看几个具体的问题:
(1)如果张红买了每千克1元的蔬菜W千克,那么她需要支 P=W 元 p是w的函数 付 __________ y
x
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• [点评] 此题将幂函数的问题转化为指数函 数来研究，很巧妙，而且使题迎刃而解．
类型三 幂函数的定义域与值域
[例 3] 求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝
x ； 2 － 3
(2)y＝
3
x－4.
[分析] 由题目可获取以下主要信息：本例两个函数
均为幂函数，且幂指数分别为－23，－34.
解答本题可将分数指数幂化为根式，并使根式有意
变式体验 4 已知 x23>x35，求 x 的取值范围．
图4
解：函数 y＝x23 及函数 y＝x35 的定义域为 R，其中，
函数 y＝x23 的图象分布在一、二象限，且关于 y 轴对称，
y＝x35 的图象分布在一、三象限，且关于原点对称，如
图
4
所示，由图象可知，若x23
3
>x5
，则
x∈(－∞，0)∪
是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时是减函数，求实数m.
解：∵f(x)＝(m2－m－1)·x m2－2m－2是幂函数． 则m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0， 解得m＝2或m＝－1. 当m＝2时，f(x)＝x－2；当m＝－1时，f(x)＝x. 又∵当x∈(0，＋∞)时，函数是减函数， ∴f(x)＝x－2，m＝2为所求．
1.通过实例，了解幂函数的概念，结合函数的图象，了 解它们的变化情况．
2．结合函数
y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x
1的图象，
2
体验研究具体函数的过程和方法，了解它们的变化情况
和图象特征，会总结幂函数的简单性质.
新知视界 1．幂函数的概念 一般地，形如 y＝xα(α∈R)的函数叫做幂函数，
2．下列函数中，定义域为 R 的是( ) A．y＝x－2 B．y＝x12 C．y＝x2 D．y＝x－1
答案：C
3．已知幂函数 f(x)的图象经过点(2， 2)，则 f(4) ＝________.
解析：设 f(x)＝xα，则 2＝2α＝212， ∴α＝12，f(x)＝x12，∴f(4)＝412＝2.
R
[0，＋∞)
R
[0，＋ ∞)
(－∞， 0)∪
(0，＋∞)
奇偶 性
奇
偶
奇
非奇非 偶
奇
(－∞，0)
(－∞，0)
单调 性
增
减， (0，＋∞)
增
增
减， (0，＋∞)
增
减
定点
(0,0) (1,1)
(1,1)
• 思考感悟
• 幂函数的图象能过第四象限吗？
• 提示：对幂函数y＝xα而言，当x>0时，必有 y>0，故幂函数图象不过第四象限．
解得mn＝＝32－3 ，
所以 m＝－3，n＝32.
[点评] 表达式 y＝xα(x∈R)的要求比较 严格，系数为 1，底数是 x，α∈R 为常数，如 y＝x12＝x－2，y＝1＝x0 为幂函数，而如 y＝2x2， y＝(x－1)3 等都不是幂函数．
变式体验1 已知函数f(x)＝(m2－m－1) x m2 2m2
变式体验 3 求下列函数的定义域、值域：
(1)y＝
x45；(2)y＝
x ； 1 － 5
(3)y＝x－14.
解：(1)y＝5 x4，由 x4≥0，知 x∈R，y≥0，即定 义域为 R；值域为[0，＋∞)．
(2)y＝ 1 ，由分母不为 0 知，定义域为{x|x≠0}； 5 x
由分子不为 0 知，y≠0，值域为{y|y≠0}．
其中 α 为常数，x 为自变量．
2．关于幂函数 y＝x，y＝x12，y＝x2，y＝1x，y＝ x3 的图象的研究．
用描点法画出图象．
思考：这些函数有什么共同的特征？
y x, y x2, y x3,
(1) 都是函数；
1
y x 2 , y x1
(2) 指数为常数；
(3) 均是以自变量为底的幂.
• 当m＝1时，f(x)＝x3为奇函数，不符合题 意．
• 当m＝2时，f(x)＝x4为偶函数，满足题目要 求．所以m＝2.
典例导悟 类型一 幂函数的概念
1
[例 1] 已知 y＝(m2＋2m－2) xm2－1 ＋2n－3 是
幂函数，求 m，n 的值．
m2＋2m－2＝1
[解] 由题意得m2－1≠0
，
2n－3＝0
(1，＋∞)．
思悟升华 1．熟练的理解记忆以下五种幂函数的图象及性 质：①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝x－1，⑤y＝ x， 并注意由图象说性质． 2．求幂函数的定义域时，首先改写成分式或根式 形式，再由分式、根式有意义求定义域． 3．从函数的定义域、值域、单调性、奇偶性多角 度了解一般幂函数的特征．
义．
[解]
(1)解析式化为
y＝
x ＝ 2 － 3
1
，其定义域为
3 x2
{x|x∈R 且 x≠0}；值域为(0，பைடு நூலகம்∞)．
(2)解析式化为
y＝
x ＝ 3 － 4
1
，其定义域为(0，＋∞)；
4 x3
值域为(0，＋∞)．
• [点评] 当幂函数的指数为分数形式时，须 将其转化为熟悉的根式，利用根式的有关 要求求出自变量的取值范围．
1
3．幂函数y＝x，y＝x2，y＝x2
，y＝1，
x
y＝x3 的 图像 &性质：
y2.在x,同y 一 x平2 ,面y直 x角3 , Y
坐1
y x2,
y x1
y
标系内作出幂函数
的图象.
O
xx
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x12
y＝x－1
定义域 R
R
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪ (0，＋∞)
值域
答案：2
• 4．幂函数y＝x－1在[－4，－2]上的最小值 为________．
解析：∵y＝x－1 在(－∞，0)上单调递减，
∴y＝x－1 在[－4，－2]上递减，
∴y＝x－1 在[－4，－2]上的最小值是－12.
答案：－1 2
• [解析] 由幂函数的图象知，m，n均小于0， 取特殊值，令x＝2，由图象可知，2m>2n， 而y＝2x为增函数，所以0>m>n.故选择A.
(3)y＝ 1 ，由 x>0 知定义域为(0，＋∞)；值域为 4 x
(0，＋∞)．
• 类型四 比较大小
利用幂函数的增减性比较两个数的大小.
(1) 若能化为同指数，则用幂函数的单调； (2) 若能化为同底数，则用指数函数的单性； (3)当不能直接进行比较时，可在两个数
中间插入一个中间数，间接比较上述 两个数的大小.
y xa
• 自我检测
• 1．下列所给出的函数中，是幂函数的是
()
• A．y＝－x3
B．y＝x－3
• C．y＝2x3
D．y＝x3－1
• 答案：B
• 2．函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋2是幂函数， 且函数f(x)为偶函数，求m的值．
• 解：∵f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋2是幂函数， • ∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0. • ∴m＝1或m＝2.