常微分方程第四章考试卷4

《常微分方程》第四、五章作业答案第四章1．证明：由题可知()t x 1，()t x 2分别是方程（1），（2）的解则：()()()()()()t f t x t a dt t x d t a dt t x d n n n n n 1111111=+++--Λ （3）()()()()()()t f t x t a dt t x d t a dt t x d n n n n n 2212112=+++--Λ （4） 那么由（3）+（4）得：()()()()()()()()()()()=++++++--t x t x t a dt t x t x d t a dt t x t x d n n n n n 211211121Λ()t f 1+()t f 2 即()t x 1+()t x 2是方程是()()=+++--x t a dtxd t a dt x d n n n n n Λ111()t f 1+()t f 2的解。

2．（1）特征方程为：42540λλ-+=特征根为12341,1,2,2λλλλ==-==- 原方程通解为：221234()t t t t x t c e c e c e c e --=+++ （2）特征方程为：5340λλ-=特征根为1230,2,2λλλ===-，其中10λ=是三重根 原方程通解为：22212345()t t x t c c t c t c e c e -=++++ （3）特征方程为： 22100λλ++=特征根为：1,213i λ=-±通解为：12()(cos3sin 3)t x t c t c t e -=+（4）原方程对应的齐线性方程的通解为：123456*()()cos ()sin t t x t c e c e c c t t c c t t -=+++++下求原方程的特解.设原方程的特解为：2()x t At Bt C =++ 代入方程有： 2243A At Bt C t -+++=- 故1,0A C B ===原方程特解为：2()1x t x =+通解为：2123456()()cos ()sin 1t t x t c e c e c c t t c c t t x -=+++++++（5）原方程对应的齐线性方程的通解为：2123*()()ttx t c e c c e -=++ 下求原方程的特解.设原方程的特解为：()t x t Ate =代入方程有：(3)131,3t t tA t e Ate e A A +-≡==原方程特解为：1()3t x t te =通解为：21231()()3ttt x t c e c c e te -=+++ （6）解：通解为：121x c t c t=+第五章1．解：矩阵A 的特征多项式为230λ-=特征值为12λλ==对应的特征向量分别为11,22⎛⎫⎛⎫+-⎝⎝故通解为121122x c c e ⎛⎫⎛⎫=+ +⎝⎝ 2．解：解： det(A E -λ)=05434212=--=----λλλλ所以，5,121=-=λλ设11-=λ对应的特征向量为1v由0110442211≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==⎪⎪⎭⎫⎝⎛----ααv v 可得取⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=211121v v 同理取所以，)(t Φ=[]=-251v e v ett⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---t t t t e e e e 552 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ΦΦ=----------t t t t t t tt t t t tt tttAt e e ee e e e e e e e e e e e et e 5555551551222231111223121112)0()(。

考研数学二（常微分方程）模拟试卷4(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．已知微分方程y’’+by’+y=0的每个解都在区间(0，+∞)上有界，则实数b 的取值范围是( )A．[0，+∞)．B．(一∞，0]．C．(一∞，4]．D．(一∞，+∞)．正确答案：A解析：方程y’’+by’+y=0的特征方程为r2+6r+1=0，特征根为(1)b2＜4时，原方程通解为(2)b2=4时，原方程通解为(3)b2＞4时，原方程通解为由以上解的形式可知，当b≥0时，每个解都在[0，+∞)上有界，故选A．知识模块：常微分方程2．具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是( )A．y’’’一y’’一y’+y=0．B．y’’’+y’’一y’一y=0．C．y’’’一6y’’+11y’一6y=0．D．y’’’一2y’’一y’+2y=0．正确答案：B解析：由y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex是所求方程的三个特解知，r=一1，一1，1为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方程的三个根，则其特征方程为(r —1)(r+1)2=0，即r3+r2一r—1=0，对应的微分方程为y’’’+y’’一y’一y=0，故选B．知识模块：常微分方程3．函数y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是( )A．y’’一y’一2y=3xex．B．y’’一y’一2y=3ex．C．y’’+y’一2y=3xex．D．y’’+y’一2y=3ex．正确答案：D解析：根据所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为λ1=1，λ2=一2．因此对应的齐次微分方程的特征方程为λ2+λ一2=0．故对应的齐次微分方程为y’’+y’一2y=0．又因为y*=xex为原微分方程的一个特解，而λ=1为特征根且为单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项形为f(x)=Cex(C为常数)．比较四个选项，应选D．知识模块：常微分方程4．设是微分方程的解，则的表达式为( )A．1B．1C．1D．1正确答案：A解析：1 知识模块：常微分方程5．微分方程xdy+2ydx=0满足初始条件y｜x=2=1的特解为( )A．xy2=4．B．xy=4．C．x2y=4．D．一xy=4．正确答案：C解析：原微分方程分离变量得，两端积分得ln｜y｜=一2ln｜x｜+lnC，x2y=C，将y｜x=2=1代入得C=4，故所求特解为x2y=4．应选C．知识模块：常微分方程6．已知y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的两个不同的特解，则方程的通解为( )A．y=Cy1(x)．B．y=Cy2(x)．C．y=C1y1(x)+C2y2(x)．D．y=C(y1(x)一y2(x))．正确答案：D解析：由于y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的两个不同的特解，则y1(x)一y2(x)为该方程的一个非零解，则y=C(y1(x)一y2(x))为该方程的解．知识模块：常微分方程7．设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y’’+P(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是( ) A．C1y1+C2y2+y3．B．C1y1+C2y2一(C1+C2)y3．C．C1y1+C2y2一(1一C1—C2)y3．D．C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3．正确答案：D解析：因为y1，y2，y3是二阶非齐次线性方程y’’+p(x)y’+g(x)y=f(x)线性无关的解，所以(y1一y3)，(y2一y3)都是齐次线性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=0的解，且(y1一y3)与(y2一y3)线性无关，因此该齐次线性方程的通解为y=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)．比较四个选项，且由线性微分方程解的结构性质可知，故选D．知识模块：常微分方程8．已知，y1=x，y2=x2，y3=ex为方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的三个特解，则该方程的通解为( )A．y=C1x+C2x2+ex．B．y=C1x2+C2ex+x．C．y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x．D．y=C1(x一x2)+C2(x2一ex)．正确答案：C解析：方程y’’+p(x)y’+g(x)y=f(x)是一个二阶线性非齐次方程，则(x一x2)和(x一ex)为其对应齐次方程的两个线性无关的特解，则原方程通解为y=C1(x 一x2)+C2(x一ex)+x，故选C．知识模块：常微分方程填空题9．微分方程y’’一2y’+2y=ex的通解为____________．正确答案：y=C1excosx+C2exsinx+ex解析：对应的特征方程为r2一2r+2=0，解得其特征根为r1,2=1±i．由于α=1不是特征根，可设原方程的特解为y*=Ae2，代入原方程解得A=1．因此所求的通解为y=C1exeosx+C2exsinx+ex．知识模块：常微分方程10．二阶常系数非齐次线性方程y’’一4y’+3y=2e2x的通解为y=______________．正确答案：y=C1ex+C2e3x－2e2x解析：特征方程为r2一4r+3=0，解得r1=1，r2=3．则对应齐次线性微分方程y’’-4y’+3y=0的通解为y=C1ex+C2e3x．设非齐次线性微分方程y’’-4y’+3y=2e2x 的特解为y*=ke2x，代入非齐次方程可得k=-2．故通解为y=C1ex+C2e3x一2e2x．知识模块：常微分方程11．微分方程满足初始条件y｜x=2=1的特解是___________．正确答案：x=y2+y解析：将x看作未知函数，则上式为x对y的一阶线性方程，又因y=1＞0，则将x=2，y=1代入，得C=1．故x=y2+y．知识模块：常微分方程12．微分方程y’+ytanx=cosx的通解y=____________．正确答案：(x+C)cosx，C是任意常数解析：直接利用一阶线性微分方程的通解公式可知知识模块：常微分方程13．已知y1=e3x一xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为y=_____________．正确答案：y=C1e3x+C2ex一xe2x，C1，C2为任意常数解析：显然y1一y3=e3x和y2－y2=ex是对应的二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关的解．且y*=一xe2x是非齐次微分方程的一个特解．由解的结构定理，该方程的通解为y=C1e3x+C2e一xe2x，其中C1，C2为任意常数．知识模块：常微分方程14．设y=ex(asinx+bcosx)(a，b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为____________.正确答案：y’’-2y’+2y=0解析：由通解的形式可知，特征方程的两个根是r1，r2=1±i，因此特征方程为(r-r1)(r—r2)=r一(r1+r2)r+r1r2=r2一2r+2=0．故，所求微分方程为y’’一2y’+2y=0．知识模块：常微分方程15．微分方程满足初始条件y(1)=1的特解是y=_____________.正确答案：xe1-x解析：此方程为一阶齐次微分方程，令y=ux，则有，所以原方程可化为解此微分方程得ln｜lnu一1｜=ln｜C1x｜，去绝对值可得lnu=C1x+1，u=eC1x+1，将u｜x=1=1代入，得C1=一1，u=e1-x，因此原方程的解为y=xe1-x．知识模块：常微分方程16．微分方程xy’’+3y’=0的通解为_______________．正确答案：解析：令p=y’，则原方程化为，其通解为p=Cx-3．因此，知识模块：常微分方程17．微分方程的通解是____________．正确答案：y=Cxe-x(x≠0)解析：原方程等价为两边积分得lny=lnx—x+C1．取C=eC1，整理得y=Cxe-x(x ≠0)．知识模块：常微分方程18．微分方程y’=1+x+y2+xy2的通解为__________．正确答案：解析：将已知微分方程变形整理得，知识模块：常微分方程19．微分方程的通解为____________．正确答案：解析：二阶齐次微分方程的特征方程为知识模块：常微分方程20．微分方程满足y｜x=1=1的特解为_____________．正确答案：解析：知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

河北专接本数学（常微分方程）模拟试卷4(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．方程xy’+3y=0的通解是( )．A．Cx—3B．CxexC．x—3+CD．x—3正确答案：A 涉及知识点：常微分方程2．xdy—ydx=0的通解是( )．A．y=B．y=CxC．y=CexD．y=Clnx正确答案：B 涉及知识点：常微分方程3．方程y”+4y’=x2一1的待定特解形式可设为( )．A．y=x(ax2+b)B．y=x(ax2+bx+c)C．y=ax2+bx+cD．y=ax2+b正确答案：B 涉及知识点：常微分方程4．微分方程y”=y的通解是( )．A．y=C1e2x+C2e—xB．y=C1ex+C2e—xC．y=C1x+C2e—xD．y=(C+x)e—x正确答案：B 涉及知识点：常微分方程5．函数y=3e2x是微分方程y”一4y=0的( )．A．通解B．特解C．是解，但既非通解也非特解D．不是解正确答案：B 涉及知识点：常微分方程6．方程y”+y=cosx的待定特解形式可设为( )．A．y=axcosxB．y=acosxC．y=acosx+bsinxD．y=x(acosx+bsinx)正确答案：D 涉及知识点：常微分方程7．若某二阶常系数齐次徽分方程的通解为y=C1e—2x+C2ex．则该微分方程为( )．A．y”+y’=0B．y”+2y’=0C．y”+y’—2y=0D．y”一y’—2y=0正确答案：C 涉及知识点：常微分方程填空题8．微分方程xy’一ylny=0的通解为__________．正确答案：y=eCx 涉及知识点：常微分方程9．微分方程y”=2y’的通解为__________．正确答案：y=C1+C2e2x 涉及知识点：常微分方程10．微分方程(y+1)2+x3=0的通解为__________．正确答案：3x4+4(y+1)3=C 涉及知识点：常微分方程11．若f(x)=∫03xf()dt+ln2，则f(x)=__________．正确答案：f(x)=e2xln2 涉及知识点：常微分方程12．方程y”+5y’+4y=3—2x的待定特解形式为__________．正确答案：y*=ax+b 涉及知识点：常微分方程13．方程2y”+y’—y=2ex的待定特解形式为__________．正确答案：y*=aex 涉及知识点：常微分方程14．方程y”—7y’+6y=sinx的待定特解形式为__________．正确答案：y*=Asinx+Bcosx 涉及知识点：常微分方程15．方程2y”+5y’=5xx一2x一1的待定特解形式为__________．正确答案：y*=x(ax2+bx+c) 涉及知识点：常微分方程16．方程y”+3y=2sinx的待定特解形式为．正确答案：y*=Asinx+Bcosx 涉及知识点：常微分方程综合题17．求微分方程的通解或特解，y｜x=π=1正确答案：涉及知识点：常微分方程18．求微分方程的通解或特解y’+ycotx=5ecosx，=一4正确答案：ysinx+5ecosx=1 涉及知识点：常微分方程19．求微分方程的通解或特解y”一2y’—y=0正确答案：涉及知识点：常微分方程20．求微分方程的通解或特解y”一4y’=0正确答案：y=C1+C2e4x 涉及知识点：常微分方程21．求微分方程的通解或特解y”—9y=0正确答案：y=C1e—3x+C2e3x 涉及知识点：常微分方程22．求微分方程的通解或特解y”=x2正确答案：涉及知识点：常微分方程23．求微分方程的通解或特解y”—2y’+y=0正确答案：y=C1ex+C2xex 涉及知识点：常微分方程24．求微分方程的通解或特解y”一e3x=sinx正确答案：y=e3x—sinx+C1x+C2 涉及知识点：常微分方程25．求微分方程的通解或特解(x3+xy2)dx+(x2y+y3)dy=0正确答案：x4+2x2y2+y=C 涉及知识点：常微分方程26．求微分方程的通解或特解(x2一1)y’+2xy一cosx=0正确答案：涉及知识点：常微分方程27．求微分方程的通解或特解正确答案：x=Cesiny一2(1+siny) 涉及知识点：常微分方程28．求微分方程的通解或特解y’+2xy=，y｜x=0=1正确答案：涉及知识点：常微分方程29．求微分方程的通解或特解y’=e2x—y，y｜x=0=0正确答案：涉及知识点：常微分方程30．已知二阶常系数线性齐次微分方程的两个特征根为0和1，求该方程的通解．正确答案：y=C1+C2ex 涉及知识点：常微分方程31．设y1=3，y2=3+x2，y3=3+x2+ex是某二阶常系数线性非齐次方程的三个解，求该微分方程的通解．正确答案：y=C1ex+C2x2+3 涉及知识点：常微分方程32．设曲线积分∫Lyf(x)dx+[2xf(x)一x2]dy在右半平面(x＞0)内与路径无关，其中f(x)在x＞0时有连续导数，且f(1)=1，求f(x)．正确答案：涉及知识点：常微分方程33．求微分方程y”一4y’+3y=0的解，使得该解所表示的曲线在点(0，2)处与直线x—y+2=0相切．正确答案：涉及知识点：常微分方程34．设函数f(x)可微且满足关系式∫0x[2f(t)一1]df=f(x)一1，求f(x)．正确答案：涉及知识点：常微分方程35．设f(x)为可微函数，可由∫0xtf(t)dt=f(x)+x2所确定，求f(x)．正确答案：涉及知识点：常微分方程。

第四章 高阶微分方程§4.1 线性微分方程的一般理论习题4．11．设)(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上的连续函数，证明：若在区间[]b a ,上有≠)()(t y t x 常数或≠)()(t x t y 常数，则)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关．（提示：用反证法） 证明 )(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上线性相关，则存在不全为0的常数21,c c 使得0)()(21≡+t y c t x c ，[]b a t ,∈，若)0(,021≠≠c c 或得12)()(c c t y t x -≡（或21)()(c c t x t y -≡）[]b a t ,∈∀成立。

与假设矛盾，故)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关．2．证明非齐次线性方程的叠加原理：设)(1t x ，)(2t x 分别是非齐次线性方程)()()(1111t f x t a dt xd t a dt x d n n n n n =+++-- （1） )()()(2111t f x t a dtxd t a dt x d n n n nn =+++-- （2） 的解，则)()(21t x t x +是方程)()()()(21111t f t f x t a dtxd t a dt x d n n n n n +=+++-- （3） 的解．证明 因为)(1t x ，)(2t x 分别是方程（1）、（2）的解，所以)()()(1111111t f x t a dt x d t a dt x d n n n n n =+++-- ， )()()(2212112t f x t a dtx d t a dt x d n n n nn =+++-- ， 二式相加得，)()())(()()()(21211211121t f t f x x t a dt x x d t a dt x x d n n n n n +=++++++-- ，即)()(21t x t x +是方程（3）的解．3.（1）．试验证022=-x dt x d 的基本解组为tt e e -,，并求方程t x dtx d cos 22=-的通解。