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第四章 高阶微分方程§4.1 线性微分方程的一般理论习题4．11．设)(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上的连续函数，证明：若在区间[]b a ,上有≠)()(t y t x 常数或≠)()(t x t y 常数，则)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关．（提示：用反证法） 证明 )(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上线性相关，则存在不全为0的常数21,c c 使得0)()(21≡+t y c t x c ，[]b a t ,∈，若)0(,021≠≠c c 或得12)()(c c t y t x -≡（或21)()(c c t x t y -≡）[]b a t ,∈∀成立。
与假设矛盾，故)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关．2．证明非齐次线性方程的叠加原理：设)(1t x ，)(2t x 分别是非齐次线性方程)()()(1111t f x t a dt xd t a dt x d n n n n n =+++-- （1） )()()(2111t f x t a dtxd t a dt x d n n n nn =+++-- （2） 的解，则)()(21t x t x +是方程)()()()(21111t f t f x t a dtxd t a dt x d n n n n n +=+++-- （3） 的解．证明 因为)(1t x ，)(2t x 分别是方程（1）、（2）的解，所以)()()(1111111t f x t a dt x d t a dt x d n n n n n =+++-- ， )()()(2212112t f x t a dtx d t a dt x d n n n nn =+++-- ， 二式相加得，)()())(()()()(21211211121t f t f x x t a dt x x d t a dt x x d n n n n n +=++++++-- ，即)()(21t x t x +是方程（3）的解．3.（1）．试验证022=-x dt x d 的基本解组为tt e e -,，并求方程t x dtx d cos 22=-的通解。
常微分方程第四章测试卷(2)班级 姓名 学号 得分一、 填空题（20分）1、由定义在区间b t a ≤≤上的k 个可微k-1次的函数)(),(),(21t x t x t x n 的伏朗斯基行列式为-----------------------------。
2、若)(),(),(21t x t x t x n 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性相关的充要条件是----------------。
3、在通解结构定理中，如果)(),(),(21t x t x t x n 是方程的n 个线性相关的解，则方程的通解可表示为------------------------（其中n c c c ,,21是任意常数）。
4、设)(t x 和)(t y 是区间b t a ≤≤的连续函数，证明：如果在区间b t a ≤≤上有≠)()(t y t x 常数或≠)()(t x t y 常数，则)(t x 和)(t y 在区间b t a ≤≤上--------------（填“线性相关”或“线性无关”。
5、 设线性无关的函数)(),(),(321x y x y x y 均是二阶非齐次线性方程)()()(////x f y x q y x p y =++的解, 21,c c 为任意常数,则该齐次方程的通解是---------------.6、设βαi K +=是任一复数，这里βα,是实数，而t 是实变量,则t i Kt e e )(βα+==-----------.7、欧拉方程的形式为------------------------------------------------------------------------------------------.8、设01≠=x x 是二阶齐线性方程0)()(22=++x t q dt dxx p dtx d 的解，则它的通解为------------------------------------------.9、n 阶贝塞尔函数是--------------------------------------------------------.10、设)(,),(),(21x x t x t x n 为方程0)()()(1111=++++---x t a dt dxt a dt x d t a dt x d n n n n n n 的基本解组，而)(t x -是方程)()()()(1111t f x t a dt dxt a dtx d t a dt x d n n n n n n =++++--- 的某一解，则方程)()()()(1111t f x t a dt dxt a dtx d t a dt x d n n n n n n =++++--- 的通解可表示为----------------------------------------------------.二、计算题（60分）1、求方程tx x cos 1//=+的通解，已知对应齐线性方程的基本解组为 t t sin ,cos2、已知方程022=-x dt xd 有基本解组t te e -,.试求此方程适合初始条件0)0(,1)0(/==x x 及1)0(,0)0(/==x x 的基本解组（称为标准基本解组，即有W(0)=1）,并由此求出方程的适合初始条件/0/0)0(,)0(x x x x ==的解。
常微分方程试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪一项不是常微分方程的特点？A. 未知函数是连续的B. 未知函数是可微的C. 未知函数的导数是未知的D. 方程中包含未知函数的导数答案：A2. 常微分方程的解是指满足方程的函数，下列哪一项不是解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 可微性D. 可积性答案：D3. 一阶线性微分方程的一般形式是：A. \( y' + p(x)y = q(x) \)B. \( y' = p(x)y + q(x) \)C. \( y' - p(x)y = q(x) \)D. \( y' + p(x)y = q(x) \) 或 \( y' - p(x)y = q(x) \)答案：A4. 已知微分方程 \( y'' - y = 0 \) 的一个特解是 \( y = e^x \)，那么它的通解是：A. \( y = C_1e^x + C_2e^{-x} \)B. \( y = C_1e^x + C_2 \)C. \( y = C_1e^x + C_2e^x \)D. \( y = C_1 + C_2e^{-x} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 微分方程 \( y'' + y' + y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1e^{-x}+ C_2e^{-\frac{1}{2}x} \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
2. 微分方程 \( y'' - 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
3. 微分方程 \( y'' + 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
常微分方程知到章节测试答案智慧树2023年最新齐鲁师范学院第一章测试1.二阶微分方程的含有两个任意常数的解一定是通解。
（）参考答案:错2.满足初值条件的解称为是微分方程的特解。
（）参考答案:对3.一阶微分方程的通解表示平面上的一条曲线。
( )参考答案:错4.不是线性微分方程的方程一定是非线性微分方程。
( )参考答案:对5.函数为任意常数是方程的通解。
( )参考答案:对第二章测试1.一阶非齐次线性微分方程的任意两个解之差必为相应的齐次线性微分方程的解。
（）参考答案:对2.微分方程（）参考答案:二阶线性微分方程3.微分方程的满足的特解为（）参考答案:4.微分方程的通解为（）参考答案:5.若一阶微分方程有积分因子，则积分因子一定是唯一的。
（）参考答案:错第三章测试1.所有的微分方程都可以通过初等积分法求得其通解。
（）参考答案:错2.要求得一阶微分方程的特解，应该给定一个初值条件。
（）参考答案:对3.李普希兹条件是一阶微分方程初值问题解存在唯一的充要条件。
（）参考答案:错4.存在唯一性定理中解的存在区间是唯一的。
（）参考答案:错5.微分方程初值问题的解只要存在就一定唯一。
（）参考答案:错第四章测试1.若函数在区间上线性相关，则在上它们的伏朗斯基行列式。
（）参考答案:错2.如果方程的解在区间上线性无关，则在这个区间的任何点上都不等于零，即（）参考答案:对3.由n阶齐线性方程的n个解构成的伏朗斯基行列式或者恒等于零。
( )参考答案:对4.n阶齐线性方程可以有n+1个线性无关的解。
（）参考答案:错5.是方程的通解。
（）参考答案:对第五章测试1.如果矩阵，维列向量是可微的，则（）参考答案:对2.向量是初值问题在区间上的解。
（）参考答案:对3.设是矩阵，则。
（）参考答案:对4.如果向量函数在区间线性相关，则它们的伏朗斯基行列式，。
( )参考答案:对5.如果，在区间上是的两个基解矩阵，那么，存在一个非奇异常数矩阵，使得在区间上。
常微分方程试卷1一、填空题（每题3分，共15分）1．一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线．2．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是 ．3．方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ． 4．一个不可延展解的存在在区间一定是 区间． 5．方程21d d y xy-=的常数解是 ．二、单项选择题（每题3分，共15分）6．方程y x xy+=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ）． （A ）上半平面 （B ）xoy 平面 （C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面 7. 方程1d d +=y xy （ ）奇解．（A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个 8．)(y f 连续可微是保证方程)(d d y f xy=解存在且唯一的（ ）条件． （A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分 9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）．（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间 （C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间10．方程323d d y xy=过点(0, 0)有（ ）． (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解三、计算题（每题６分，共30分）求下列方程的通解或通积分：11. y y x yln d d = 12. x y x y x y +-=2)(1d d 13. 5d d xy y xy+= 14．0)d (d 222=-+y y x x xy15．32y y x y '+'=四、计算题（每题10分，共20分）16．求方程255x y y -='-''的通解．17．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x ty ty t x d d sin 1d d五、证明题（每题10分，共20分）18．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程)(d d x f y xy=+ 的一切解)(x y ，均有0)(lim =+∞→x y x ．19．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，求证：若)(x p 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．常微分方程试卷1答案及评分标准一、填空题（每题3分，共15分）1．22．线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零） 3．xxx e ,e 4．开5．1±=y二、单项选择题（每题3分，共15分）6．D 7．C 8．B 9．C 10．A三、计算题（每题６分，共30分）11．解 当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得 C x y y y+=⎰⎰d ln d （3分） 通积分为xC y e ln = （6分）12．解 令xu y =，则xuxu x y d d d d +=，代入原方程，得 21d d u x ux-= （3分） 分离变量，取不定积分，得C xxu u ln d 1d 2+=-⎰⎰（0≠C ） 通积分为： Cx xyln arcsin= （6分）13．解 方程两端同乘以5-y ，得x y xyy+=--45d d 令 z y =-4，则xz x y y d d d d 45=--，代入上式，得 x z xz=--d d 41 （3分）通解为41e 4+-=-x C z x原方程通解为 41e 44+-=--x C yx （6分）14．解 因为xNx y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程． （2分） 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为C y y x xy yx =-⎰⎰020d d 2 （4分）即 C y y x =-3231 （6分）15．解 原方程是克莱洛方程，通解为32C Cx y += （6分）四、计算题（每题10分，共20分）16．解 对应齐次方程的特征方程为052=-λλ，特征根为01=λ，52=λ，齐次方程的通解为 xC C y 521e += （4分） 因为0=α是特征根。
常微分方程试题及答案(共4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--常微分方程模拟试题一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．一阶微分方程的通解的图像是 2 维空间上的一族曲线．2．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是．3．方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ．4．一个不可延展解的存在在区间一定是 区间．5．方程21d d y xy -=的常数解是 ． 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．方程y x xy +=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ）． （A ）上半平面 （B ）xoy 平面 （C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面7. 方程1d d +=y xy （ ）奇解． （A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个8．)(y f 连续可微是保证方程)(d d y f xy =解存在且唯一的（ ）条件． （A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）．（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间（C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间10．方程323d d y xy =过点(0, 0)有（ B ）． (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解三、计算题（每小题６分，本题共30分）求下列方程的通解或通积分： 11. y y xy ln d d = 12. xy x y x y +-=2)(1d d 13. 5d d xy y xy += 14．0)d (d 222=-+y y x x xy15．3)(2y y x y '+'=四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．求方程255x y y -='-''的通解．17．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x ty t y t x d d sin 1d d 五、证明题（每小题10分，本题共20分）18．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程 )(d d x f y xy =+ 的一切解)(x y ，均有0)(lim =+∞→x y x ． 19．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，求证：若)(x p 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．常微分方程模拟试题参考答案一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．2 2．线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）3．x x x e ,e 4．开 5．1±=y二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．D 7．C 8．B 9．C 10．A三、计算题（每小题６分，本题共30分）11．解： 1y =为常数解 （1分）当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得 C x yy y +=⎰⎰d ln d （3分） 通积分为x C y e ln = （6分）注：1y =包含在常数解中，当0c =时就是常数解，因此常数解可以不专门列出。
常微分方程习题4.2 2、解下列方程 （1）045)4(=+''-x x x解：特征方程1122045432124-==-===+-λλλλλλ，，，有根故通解为x=t t t te c e c e c e c --+++432221(2)03332=-'+''-'''x a x a x a x解：特征方程0333223=-+-a a a λλλ有三重根a =λ故通解为x=at at at e t c te c e c 2321++ （3）04)5(=''-x x解：特征方程0435=-λλ有三重根0=λ，=4λ2，=5λ-2故通解为54232221c t c t c e c e c x t t ++++=-(4)0=+'+''x x x解：特征方程012=++λλ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i-- 故通解为t e c t ec xt t 23sin 23cos 212211--+=(5) 12+=-''t s a s解：特征方程022=-a λ有根=1λa,=2λ-a当0≠a 时，齐线性方程的通解为s=atat e c e c -+21Bt A s +=~代入原方程解得21aB A -== 故通解为s=atat e c e c -+21-)1(12-t a当a=0时,)(~212γγ+=t t s 代入原方程解得21,6121==γγ故通解为s=t c c 21+-)3(612+t t (6) 32254+=-'+''-'''t x x x x解：特征方程025423=-+-λλλ有根=1λ2,两重根=λ 1 齐线性方程的通解为x=t t t te c e c e c 3221++又因为=λ0不是特征根，故可以取特解形如Bt A x +=~代入原方程解得A=-4，B=-1 故通解为x=t t t te c e c e c 3221++-4-t (7) 322)4(-=+''-t x x x解：特征方程121201224-===+-λλλλ重根，重根有 故齐线性方程的通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321 取特解形如c Bt At x ++=2~代入原方程解得A=1，B=0,C=1 故通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321+12+t (8)t x x cos =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--取特解形如t B t A x sin cos ~+=代入原方程解得A=21,21-=B 故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--)sin (cos 21t t +-(9) t x x x 2sin 82=-'+''解：特征方程022=-+λλ有根=1λ-2,=2λ 1 故齐线性方程的通解为x=tte c e c 221-+因为+-2i 不是特征根取特解形如t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得A=56,52-=-B 故通解为x=tte c e c 221-+t t 2sin 562cos 52--（10）t e x x =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=-- =λ1是特征方程的根，故t Ate x =~代入原方程解得A=31 故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--+t te 31（11）t e s a s a s =+'+''22解：特征方程0222=++a a λλ有2重根=λ-a 当a=-1时，齐线性方程的通解为s=t t te c e c 21+,=λ1是特征方程的2重根，故t e At x 2~=代入原方程解得A=21通解为s=22121t te c e c t t ++, 当a ≠-1时，齐线性方程的通解为s=at at te c e c --+21,=λ1不是特征方程的根，故t Ae x =~代入原方程解得A=2)1(1+a故通解为s=at at te c e c --+21+te a 2)1(1+ （12）t e x x x 256=+'+''解：特征方程0562=++λλ有根=1λ-1,=2λ-5 故齐线性方程的通解为x=tte c ec 521--+=λ2不是特征方程的根，故t Ae x 2~=代入原方程解得A=211故通解为x=t te c ec 521--++te 2211 （13）t e x x x t cos 32-=+'-''解：特征方程0322=+-λλ有根=1λ-1+2i,=2λ-1-2i 故齐线性方程的通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos 21+=i ±-1 不是特征方程的根, 取特解行如t e t B t A x -+=)sin cos (~代入原方程解得A=414,415-=B 故通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos 21+=+t e t t --)sin 414cos 415( (14) t t x x 2cos sin -=+''解：特征方程012=+λ有根=1λi,=2λ- i 故齐线性方程的通解为t c t c x sin cos 21+= 对于t x x sin =+'',=1λi,是方程的解， 设)sin cos (~t B t A t x +=代入原方程解得A=21-B=0 故t t x cos 21~-=对于t x x 2cos -=+'' ，设t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得A=31 B=0 故t x 2cos 31~= 故通解为t c t c x sin cos 21+=t t cos 21-t 2cos 31+ 15）1442++=+'-''ttee x x x解：0442=+-λλ，22,1=λ，齐次方程的通解为)()(212t C C e t x t +=。
爱启航在线考研第四章常微分方程4.1答案：应选（C ）解析：原方程写成23e 0+'+=yxyy ，分离变量有23e d =e d y x y y x --，积分得232e 3e --=x y C ，其中C 为任意常数.4.2答案：应填sin e=C xy ，其中C 为任意常数.解析：原方程分离变量，有d cos d ln sin =y xx y y x，积分得1ln |ln |ln |sin |ln =+y x C ，通解为ln sin =y C x 或sin e=C x y ，其中C 为任意常数.4.3答案：应填()2112e-=x y x 解析：原方程化为d 1d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭y x x y x .积分得通解211ln ||ln ||2y C x x =-，即122ex y Cx -=.由初值(1)1=y 解出12e C =得特解.故答案为：()2112e-=x y x .4.4答案：应选（B ）解析：原方程求导得()2()'=f x f x ，即()2()'=f x f x ，积分得2()e =x f x C ，又(0)ln 2=f ，故ln 2=C ，从而2()e ln 2=x f x .故应选（B ）.4.5解：曲线()=y f x 在点(,)x y 处的切线方程为()'-=-Y y y X x ，令0=X ，得到切线在y 轴截距为'=-xy y xy ，即(1)'=-xy y x .此为一阶可分离变量的方程，于是d 11d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭y x y x ，两边积分有1ln ||ln =-y C x x ，得爱启航线考研到e =x Cx y .又()11e y -=，故1=C ，于是曲线方程为e =xx y .4.6解：22d d 11+y y y x x x x =∆=+，得2d d 1=+y y x x ，变量分离2d 1d 1=+y x y x.两边积分得1ln arctan y x C =+.可得arctan exy C =又()0y =π，则C =π.所以arctan πexy =，()πarctan141πeπe y ==.4.7解：令=yu x，即=y ux ，则y u x u ''=+，又由题给表达式可得2y u u '=，即有u x u '+2u u =-d 1d 22=-x xu u ，两边积分得1ln 1ln ln u x C -=+，即ln(1ln ln 1=-+⇒-=⇒-=y Cu x C x xy C x x.4.8答案：应填2(ln ||)=+x y y C 解析：将x 看成未知函数，原方程改写为2d 1d 222+==+x x y x y xy y x这是一个伯努利方程，令2=z x ，有d 1d -=z z y y ，得11d d 2e ed (ln ||)-⎛⎫⎰⎰==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰y y y y x z y C y y C .故答案为：2(ln ||)=+x y y C ，其中C 为任意常数.4.9答案：应填()cos +x C x解析：属于一阶非齐次线性方程，直接根据一阶非齐次线性微分方程的通解公式即可得出答案.故答案为：()cos +x C x ，其中C 为任意常数.4.10答案：应填1爱启航在线考研解析：()2d 2d 22e 4e d e4ed x x xxy x x C x x C--⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰222e (21)e (21)e x x xx C x C --⎡⎤=-+=-+⎣⎦.当0=x 时，1=-y ，则0=C .可得21=-y x ，则()11=y .故答案为1.4.11答案：应填1解析：由11()()'+=y P x y Q x 及22()()'+=y P x y Q x 得()()1212()()()αββαβ'+++=+y y P x ay y Q x .又因12αβ+y y 满足原方程，故应有()()()β+=a Q x Q x ，即1αβ+=.故答案为1.4.12解：()sin d sin d e cos e d -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰x xx x gx x x C ()cos cos e cos ed -=+⎰xxx x C又()00g =，故()()cos cos cos 0e cos ed cos ed limlime lim xxxx x x x x Cx x Cg x xxx--→→→++==⋅=⎰⎰cos 0e lim cos e 1x x x -→⋅=.4.13解：2d 1d 2y x x y =-，则2d 2d x x y y =-，即2d 2d x x yy-=-()()2d 2d 222222111e e d e e d e 224yy y y y x y y C y y C y y C --⎛⎫⎰⎰⎡⎤=-+=-+=+++ ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰.4.14解：令=tx u ，则u t x d d =，则代入到题给表达式101()d ()d xf tx t f u u x =⎰⎰，可得20()d 2()xf u u xf x x =+⎰.两边求导得()2()2()2f x f x xf x x '=++，则()2()2f x xf x x '+=-.从而11131d d 2222222()e (1)ed 33x x x x f x x C x x C x Cx ---⎛⎫⎛⎫⎰⎰=-+-+=-+ ⎪⎝ ⎝⎭=⎪⎭⎰.爱启航在线考研4.15解：将原方程改写成211cos sin y x x yy '+=-，并令1z y =，则21z y y ''=-，且原方程化为sin cos z z x x '-=-.d de (sin cos )e d x x z x x x C -⎡⎤⎰⎰=-+⎢⎥⎣⎦⎰e (sin cos )e d x x x x x C -⎡⎤=-+⎣⎦⎰()e sin ed cose d xxx x x x x C --=-+⎰⎰，其中()sin e d sin d e sin e e cos d x x x x x x x x x x ----=-=-+⎰⎰⎰，故()e sin e e sin x x x z x C C x -=-+=-，即1e sin x C x y=-为所求通解.4.16答案：应选（C ）解析：因原方程阶数为2，通解中应包含两个任意常数（可求出通解为3126++x C C x ）；特解中不含有任意常数（3*6=x y 为特解）；36+x Cx 满足原方程，为原方程的解，故选项（A ），（B ），（C ）都不对，应选（C ）.4.17解：（1）令y p '=，则d d p y x ''=，从而2d 1d pp x=+，则2d d 1p x p =+积分得p arctan 1arctan p x C =+，故()1d tan d yp x C x=+=，则两边对x 积分1d tan()d y x C x =+⎰⎰，得()1121sin()d ln cos cos()x C y x x C C x C +==-+++⎰.（2）()10xy xy C '''=⇒=，即1y xC '=，故12ln y C x C =+.4.18解：由21e x y =，得212e x y x '=，()22124e x y x ''=+；由22e x y x =，得222(12)e x y x '=+，()22364e x y x x ''=+.因爱启航在线考研()()()22222211144224e 42e 42e 0x x x y xy x y x x x x '''-+-=+-⋅+-=.()()()()222232222244264e 412e 42e 0x x x y xy x y x x x x x x '''-+-=+-++-=.故1y 与2y 都是方程的解.又因21y x y =不等于常数，故1y 与2y 线性无关.于是方程的通解为()2112212e x y C y C y C C x =+=+.4.19答案：应选（A ）解析：根据高阶线性微分方程根的形式可知，选（A ）.4.20答案：应选（B ）解析：由题意可知，-1是特征方程二重特征根，1是特征方程的特征根，故特征方程为()()2110+-=r r ，即3210+--=r r r .故三阶常系数齐次线性方程为0y y y y ''''''+--=.故选（B ）.4.21答案：应选（C ）解析：：特征方程为2220++=r r 即2(1)1+=-r ，解得特征根为1,21i r =-±.而()e sin x f x x -=，i 1i w ±=-±λ是特征根，故特解的形式为*e (cos sin )x y x a x b x -=+.4.22答案：应填()*22e xy x ax bx c dx =+++解析：特征方程为220-=r r ，特征根10r =,22r =.对21()1=+f x x ，10λ=是特征根，所以()*21y x ax bx c =++.对22()exf x =，22λ=也是特征根，故有*22e =x y dx .从而***12=+y y y 就是特解.故答案为()*22e x y x ax bx c dx =+++.4.23解：所给微分方程的特征方程为256(2)(3)0++=++=r r r r ，特征根为12=-r ,23=-r .于是，对应齐次微分方程的通解为2312)e e xx y x C C --=+.爱启航在线考研设所给非齐次方程的特解为*e xy A -=.将*()y x 代入原方程，可得1A =.由此得所给非齐次方程得特解*e xy -=.从而，所给微分方程得通解为2312()e e e xx x y x C C ---=++，其中1C ,2C 为任意常数.4.24答案：应选（C ）解析：将()()000y y '==代入3e xy py qy '''++=，得()01''=y .()()()()()22000ln 122limlimlimlim 2x x x x x x x y x y x y x y x →→→→+===='''.故选C.4.25答案：应填12e(cos sin )e xxC x C x ++解析：所给微分方程的特征方程为22201i -+=⇒=±r r r ，从而齐次通解为12e (cos sin )x C x C x +，设特解为e x A ，代入方程得e 2e 2e e 1x x x x A A A A -+=⇒=，即得特解为e x .非齐次通解为12e(cos sin )e xx C x C x ++.。
常微分方程知到章节测试答案智慧树2023年最新东北师范大学绪论单元测试1.常微分方程的发展按研究内容可分为几个历史阶段？( )参考答案:定性稳定性理论阶段。
;解析理论阶段;经典阶段;适定性理论阶段2.本课程的主要教学内容有哪些？（）参考答案:定性和稳定性理论简介等。
;初等积分法;基本定理;一阶线性微分方程组，n阶线性微分方程3.常微分方程的研究方法主要有哪些？（）参考答案:各项均正确第一章测试1.下面方程中是线性方程的有（）参考答案:2.下面方程中是齐次方程的是（）参考答案:3.方程是常数解（）参考答案:4.不是所有的方程都可以用初等积分法求解。
( )参考答案:对5.通解不一定包含微分方程的所有解。
( )参考答案:对第二章测试1.存在且连续是保证方程初值解唯一的必要条件。
( )参考答案:错2.线素场中的线素不能等于0。
( )参考答案:错3.奇解也是方程的解。
( )参考答案:对4.方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是（）参考答案:除去轴的平面5.方程任意解的存在区间是（）参考答案:第三章测试1.函数在区间的朗斯基行列式恒为零是它上线性相关的（）参考答案:必要条件2.一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（）参考答案:是其对应齐次微分方程组的解3.若的解，为其对应的齐次线性微分方程组的解，则（）的解参考答案:是4.线性齐次微分方程组的解组为基本解组的充要条件是它们的朗斯基行列式（）参考答案:错5.齐次线性微分方程的基本解组不是唯一的。
（）参考答案:对第四章测试1.阶线性齐次微分方程的所有解构成一个（）维线性空间.参考答案:2.微分方程的通解中应含的独立常数的个数为（）.参考答案:33.微分方程的特解具有形式（）.参考答案:4.若和是二阶线性齐次方程的基本解组，则它们没有共同零点。
（）参考答案:对5.只要给出阶线性微分方程的个特解，就能写出其通解.（）参考答案:错6.下列方程是二阶线性微分方程的是（）。
常微分方程第四章测试试卷(3)班级 姓名 学号 得分 一、 填空（20分）1．——————称为n 阶齐线性微分方程。
2．1x )(t 非零为二阶齐线性方程''x 1a +)(t 2'a x +x t )(≡0的解，这里()t a 1和()t a 2于区间[]b a ,上连续，则()t x 2是方程解的冲要条件是―——————。
３．常系数非齐线性方程中，若()()t m m m m e b t b t b t b t f λ++++=--1110 ， 其中λ与i b 为实常数，那么方程有形如————的特解。
４．在n 阶常系数齐线性方程中，n a a a ,2,1 为常数，则它的特征方程为——————。
５．若方程()()022=++y x q dx dyx p dxy d 中满足————条件，则方程有形如∑∞==0n n n x a y 的特解。
６．微分方程03'2'''4=++y y xy 的阶数为——。
７．设()01≠t x 是二阶齐线性方程()()0'''21=++x t a x t a x 的一个解,则方程的通解可表为________８．解线性方程的常用方法有____、_____、_____、_____ ９．若())2,1,0(n i t x i =为齐线性方程的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为__________.１０.若()),,2,1(n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组,()t x 为非齐线性方程的一个特解,则非齐线性方程的所有解可表___.二． 计算（30分）１． 求通解yy y 2'1''2+=２． 求特解x x e xe y y y -=+-'2''，()()11'1==y y３． 设二阶非齐线性方程的三个特解为x x y x x y x y cos ,sin ,321+=+== 求其通解４． 求解方程()()o y x y x xy =+++-2'12'' ()0≠x ５． 求方程2233'4'''''x xy y x y x =-+的通解 ６． 求方程0'''=--y xy y 的解、三．设可导函数()x φ满足()()1sin 2cos 0+=+⎰x tdt t x x xφφ，求()x φ 四．证明题（20分）1.若函数()()()t x t x t x n ,,,21 为n 阶齐线性方程的n 个线性相关解，则它们的伏朗斯基行列式()0=t w2．试证n 阶非齐线性方程存在且最多存在n+1个线性无关解。
常微分方程第四章测试试卷(3)参考答案 一．填空１．()()()01111=++++---x t a dt dxt a dtx d t a dt x d n n n n n n ，其中()()n i t a i ,2,1 =在区间上连续２．[][]0,,'21121=+x x w a x x w３．()t m m m m m k e B t B t B t B t B t x λ+++++=---∧122110 ４．()n n n n a a a F ++++=--λλλλ111５．()x p 和()x q 都能展成x 的幂级数，且收敛区间为R x < ６．３７．()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+=⎰-dt e x c c x x dt t a 121111８．常数变易法，比较系数法，拉普拉斯变换法，幂级数解法。
９、∑==ni i i x c x 1 其中()n i c i ,,2,1 =为任意常数１０、()t x x c x ni i i +=∑=1其中()n i c i ,,2,1 =为任意常数二． 计算１．解：方程不显含x代入方程得；解得y C P 121=+,,dydPP y P y =''='令,212yP dy dP P +=故方程的通解为２．解：特征方程 特征根对应齐线性方程的通解为 设原方程的特解为原方程的一个特解为 故原方程的通解为(),11'=y ()16/5221=-+∴e C C,11-±=∴y C P ,11-±=y C dxdy即.12211C x y C C +±=-,0122=+-r r ,121==r r .)(21x e x C C Y +=,)(2*xe b ax x y +=,]2)3([)(23*xe bx x b a ax y +++='则,]2)46()6([)(23*xe b x b a x b a ax y +++++=''代入原方程比较系数得将)(,)(,***'''y y y ,21,61-==b a ,2623*xx e x e x y -=.26)(2321x x x e x e x e x C C y -++=,1)1(=y ,1)31(21=-+∴e C C ,]6)1()([3221x e x x C C C y +-+=',31121+=+e C C ,651221+=+e C C 由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,121,61221e C e C所以原方程的特解为３．解：由解的结构知非齐两解之差为相应齐方程的解 故 x y y sin 12=- x y y cos 13=-是齐方程的两解 且线性无关 则齐通解为x C x C Y sin cos 21+= 非齐x x C x C Y ++=sin cos 21４．解：由观察可得一特解为xe y =又因为0≠x ，故方程可变为()()0/2/12''=+++-x x x y x y为二阶齐线性方程，()x p 为()x x /12+- 则由刘维尔公式()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+=⎰-dx e y c c y y dxx p 21111得 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2313c x c e y x５．解：令原方程化为.26])121(612[23x x x e x e x e x e e y -+-+-=,ln x t e x t ==或,34)1()2)(1(2t e Dy y D D y D D D =--+--,332223t e Dy y D y D =--所对应的齐方程为其特征方程为特征方程的根为所以齐次方程的通解为设特解为22bx be y t ==*代入原方程得21-=b ，即22x y -=*所给欧拉方程的通解为６解：设方程的解为∑∞==0n n n x a y则∑∞=-=01'n n n x na y.33222233t e dtdydt y d dt y d =+-,0322233=+-dtdydt y d dt y d ,03223=--r r r .3,1,0321=-==r r r .33213321x C xC C e C e C C Y t t ++=+=-.2123321x x C x C C y -++=21)1(-∞=∑-=''n n n x a n n y ,0,,=-'-'''''y y x y y y y 带入将,00=-∑∞=nn nx a1-∞=∑-n n n x na x nn n x a n n ∑∞=+++02)1)(2(,0])1()1)(2[(02≡+-++∑∞=+nn n n x a n a n n三、1.解：由题意可得：()()()()x x y x dt t t y xcos 1sin 20-+=⎰两边对x 求导得 ()()()()()()[]x x y x x y x x y sin cos '1sin 2--= 即 ()()()()x x y x x y cos '1sin -=()()()()x x yctg x x y dx dy sin 1sin cos 1+-=-= 为一阶线性方程 ()()x ctg x p -= ()()x x Q sin 1= ()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-c dx e x e y dx x ctg dxx ctg sin 1 即 ()()c x x y +=sin 12.证明：由假设，即知存在一组不全为零的常数n c c c ,,,21 使得b t a x c x c x c n n ≤≤≡+++,02211 （1）依次对t 微分此恒等式，得到()()()0'''2211≡+++t x c t x c t x c n n ()()()0''''''2211≡+++t x c t x c t x c n n,22+=+n a a n n,2,1,0=n ,313a a =,1515a a =,!)!12(112+=+k a a k ,202a a =,804a a = ,2!02kk k a a =,3,2,1=k ∑∑∞=+∞=++=0121020!)!12(!2n n n n n n x a n x a y()()()()()()01212111≡+++---t x c t x c t x c n n n n n （2）把（1）和（2）看成关于n c c c ,,,21 的齐次线性代数方程组，它的系数行列式就是()()()[]t x t x t x w n ,,,21 ，于是由线性代数理论知道，要此方程组存在非零解，则它的系数行列式必须为零，即()()b t a t w ≤≤≡0 证毕。
2 .证明:设()()()12,,,n x t x t x t 为对应的齐线性方程的一个基本解组,()x t 是非齐的一个解,则()()()()()()()12,,,,n x t x t x t x t x t x t x t +++均为非齐的解,同时也是线性无关的.事实上,假设存在常数()()()()()()()1211122111,,:0n n n i i c c c c x t x t c x t x t c x t c +++=+++++==∑使得即否则:若110n i i c +==∑,则有:()()111ni i n i ii cx t x t c+===∑∑ (2)(2)的左端为非齐线性方程的解,而右端为齐线性方程的解,所以矛盾.从而有()10ni i i c x t ==∑,又()()1,2,,i x t i n =是齐线性方程的基本解组,故有120n c c c ====,进而有10n c +=.即(1)是线性无关的.再证明最多存在n+1个线性无关解.事实上:若()x t 是t 的任一解,则由通解结构定理,存在常数()1,2,,i c i n =使得()x t =()()1ni i i c x t x t =+∑即()x t =()()()()()()()1111()1nnni i i i i n i i i c x t x t c x t c x t x t c x t +===⎛⎫++-=++ ⎪⎝⎭∑∑∑其中111nn i i c c +==-∑为常数故得证.。
