58高考数学总复习之概率大题58

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课时作业(五十八）第58讲随机事件的概率与古典概型基础热身1。

甲在微信群中发了6元“拼手气”红包一个,被乙、丙、丁三人抢完。

若三人均抢到整数元,且每人至少抢到1元，则乙获得“最佳手气”（即乙抢到的钱数不少于其他任何人)的概率是（）A.B.C。

D.2。

［2017·湖南长郡中学三模］小王同学有三支款式相同、颜色不同的圆珠笔，每支圆珠笔都有一个与之同颜色的笔帽,平时小王都将同颜色的圆珠笔和笔帽套在一起，但偶尔会将圆珠笔和笔帽搭配成不同色.若将圆珠笔和笔帽随机套在一起，则小王将两支圆珠笔和笔帽的颜色混搭的概率是 (）A。

B.C。

D。

3。

有下列4个说法：①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个事件，则P(A+B)=P（A)+P(B)；③若事件A,B,C彼此互斥，则P（A）+（B)+P(C)=1；④若事件A，B满足P（A)+P（B）=1，则A，B是对立事件.其中错误的有（）A.0个B.1个C。

2个D.3个4。

［2017·太原三模］若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率,先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0,1,2,3表示没有击中目标，4，5,6，7,8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为。

第58讲 随机事件的概率与古典概型思维导图 知识梳理1．事件的相关概念 2．频数、频率和概率(1)频数、频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An为事件A 出现的频率．(2)概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A )稳定在某个常数上，把这个常数记作P (A )，称为事件A 的概率．3．事件的关系与运算(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率为1. (3)不可能事件的概率为0.(4)概率的加法公式：如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．(5)对立事件的概率：若事件A 与事件B 互为对立事件，则A ∪B 为必然事件，P (A ∪B )＝1，P (A )＝1－P (B )．5．古典概型 (1)特点：①有限性：在一次试验中所有可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件． ②等可能性：每个基本事件出现的可能性是均等的．(2)计算公式：P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数题型归纳题型1 随机事件的关系【例11】把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”( )A ．是对立事件B ．是不可能事件C ．是互斥但不对立事件D ．不是互斥事件【解析】选C 显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥不对立事件，故选C.【例12】从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中： ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； ②至少有一个是奇数和两个都是奇数； ③至少有一个是奇数和两个都是偶数； ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数． 上述事件中，是对立事件的是( ) A ．① B ．②④ C ．③D ．①③【解析】选C “至少有一个是奇数”即“两个都是奇数或一奇一偶”，而从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，根据取到数的奇偶性知共有三种情况：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．故选C.【跟踪训练11】在5张 卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是( )A ．至多有一张移动卡B ．恰有一张移动卡C ．都不是移动卡D ．至少有一张移动卡【解析】选A 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.【跟踪训练12】对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A ＝{两次都击中飞机}，B ＝{两次都没击中飞机}，C ＝{恰有一次击中飞机}，D ＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________________________，互为对立事件的是________．【解析】设I 为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A ∩B ＝∅，A ∩C ＝∅，B ∩C ＝∅，B ∩D ＝∅，故A与B，A与C，B与C，B与D为互斥事件．而B∩D＝∅，B∪D＝I，故B与D互为对立事件．【答案】A与B，A与C，B与C，B与D B与D【名师指导】判断互斥、对立事件的2种方法题型2 随机事件的频率与概率【例21】(2019·北京高考)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：(1)(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．[解](1)由题知，样本中仅使用A的学生有27＋3＝30(人)，仅使用B的学生有24＋1＝25(人)，A，B 两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40(人)．估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为40100×1 000＝400.(2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2 000元”，则P(C)＝125＝0.04.(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2 000元”．假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，则由(2)知，P(E)＝0.04.答案示例1：可以认为有变化． 理由如下：P (E )比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2 000元的人数发生了变化．所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化． 理由如下：事件E 是随机事件，P (E )比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无法确定有没有变化． 【跟踪训练21】(2019·全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．【解析】x ＝10×0.97＋20×0.98＋10×10＋20＋10＝0.98.则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98. 【答案】【跟踪训练22】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．【解】(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25 ℃，由表格数据知，最高气温低于25 ℃的频率为2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25 ℃，则Y ＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；若最高气温低于20 ℃，则Y ＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100. 所以Y 的所有可能值为900,300，－100，Y 大于零当且仅当最高气温不低于20 ℃，由表格数据知，最高气温不低于20 ℃的频率为36＋25＋7＋490＝0.8，因此Y 大于零的概率的估计值为0.8. 【名师指导】题型3 互斥事件、对立事件概率公式的应用【例31】某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求：(1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． [解] (1)易知P (A )＝11 000，P (B )＝1100，P (C )＝120.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C .因为A ，B ，C 两两互斥，所以P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝1＋10＋501 000＝611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝⎛⎭⎫11 000＋1100＝9891 000. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.【跟踪训练31】某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)【解】(1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1××30＋2××20＋3×10100＝1.9(分钟)．(2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2分别表示事件“”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P (A 1)＝20100＝15，P (A 2)＝10100＝110.则P (A )＝1－P (A 1)－P (A 2)＝1－15－110＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.【跟踪训练32】A ，B ，C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：(1)试估计C (2)从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取1人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率．【解】(1)由题意，得三个班共抽20个学生，其中C 班抽8个，故抽样比k ＝20100＝15，故C 班有学生8÷15＝40人．(2)从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一个人，共有5×8＝40种情况，而且这些情况是等可能的．当甲的锻炼时间为6小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有2种情况；当甲的锻炼时间为6.5小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有3种情况；当甲的锻炼时间为7小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有3种情况；当甲的锻炼时间为7.5小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有3种情况；当甲的锻炼时间为8小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有4种情况．故该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率P ＝2＋3＋3＋3＋440＝38.【名师指导】求互斥事件的概率的方法(1)直接法(2)间接法(正难则反) 题型4 古典概型【例41】 (1)(2019·全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，右图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A.516 B.1132 C.2132D.1116(2)(2019·合肥市第一次质检测)某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球，若与第一次取出的两个小球号码相同，则中奖．按照这样的规则摸奖，中奖的概率为( )A.45B.1925C.2350D.41100[解析] (1)重卦是由从下到上排列的6个爻组成，而爻有“阳爻”和“阴爻”两种，故所有的重卦共有26＝64种．重卦中恰有3个“阳爻”的共有C 36×C 33＝20种．故所求概率P ＝2064＝516，故选A. (2)分为两个互斥事件：记“第一次取出的两球号码连号中奖”为事件A ，记“第二次取出的两球与第一次取出的未中奖的两球号码相同中奖”为事件B ，则由题意得P (A )＝4C 25＝25，P (B )＝C 25－4C 25C 25＝350，则每位顾客摸球中奖的概率为P (A )＋P (B )＝25＋350＝2350，故选C.[答案] (1)A (2)C【跟踪训练41】(2019·武汉部分学校调研)我国历法中将一年分春、夏、秋、冬四个季节，每个季节六个节气，如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨．某书画院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是( )A.16B.14C.13D.12【解析】选B 甲从春、夏、秋、冬四个季节的各6幅彩绘绘制的任务中选一个季节的6幅彩绘绘制，故甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率为14，选B.【跟踪训练42】(2019·兰州市诊断考试)某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A ，B ，C ，D ，E 中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A 或B 被选中的概率是( )A.15B.25C.35D.710【解析】选D 从5名干部中随机选取2人有C 25＝10(种)选法，其中只选中A 没选中B 有C 13＝3(种)选法，只选中B 没选中A 有C 13＝3(种)选法，A 和B 均选中有1种选法，所以所求概率P ＝3＋3＋110＝710，故选D.【跟踪训练43】(2019·武汉市调研测试)已知某口袋中装有2个红球，3个白球和1个蓝球，从中任取3个球，则其中恰有两种颜色的概率是( )A.35 B.45 C.720D.1320【解析】选D 依题意，从口袋中任取3个球，共有C 36＝20(种)不同的取法，①当取得三个球颜色相同，则有C 33＝1种取法；②当取的三个球颜色互不相同，则有C 13C 12C 11＝6种取法；综合①②得：从中任取三个球，其中恰有两种颜色的概率为1－1＋620＝1320.【名师指导】。

考点测试58 二项式定理一、基础小题1.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 4的展开式中的常数项为( )A ．－24B ．－6C ．6D ．24 答案 D解析 二项展开式的通项T r ＋1＝C r4(2x )4－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 424－r (－1)r ·x 4－2r ，令4－2r ＝0，即r ＝2，故常数项为C 2422(－1)2＝24.2．若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 的展开式中第5项是常数项，则自然数n 的值可能为( )A ．6B ．10C ．12D ．15 答案 C解析 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 的展开式的第5项为T 5＝C 4n (x )n －4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 4，故n －42－4＝0，即n ＝12. 3．若多项式x 3＋x 10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10，则a 9＝( ) A ．9 B ．10 C ．－9 D ．－10 答案 D解析 x 3＋x 10＝x 3＋10，题中a 9只是10的展开式中(x ＋1)9的系数，故a 9＝C 110(－1)1＝－10.4．(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－2 C ．2 D ．4 答案 C解析 (1＋2x )3的展开式中常数项是1，含x 的项是C 23(2x )2＝12x ；(1－3x )5的展开式中常数项是1，含x 的项是C 35(－3x )3＝－10x ，故(1＋23x )3(1－3x )5的展开式中含x 项的系数为1×(－10)＋1×12＝2.5.⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋1x (2x －1)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－20B ．－10C ．10D ．20 答案 C解析 令x ＝1，可得a ＋1＝2，所以a ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋1x (2x －1)5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x －1)5，则展开式中常数项为2C 45(－1)4＝10.6．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A ．180B ．120C ．90D ．45 答案 A解析 由于展开式中只有第六项的二项式系数最大，故第六项为中间项，共有11项，所以n ＝10，T r ＋1＝C r 10⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ·(x )10－r ＝C r 102rx 10－5r2 ，令10－5r 2＝0，得r ＝2，故常数项是C 21022＝180.7．若(x ＋1)5＝a 5(x －1)5＋…＋a 1(x －1)＋a 0，则a 0和a 1的值分别为( ) A ．32,80 B ．32,40 C ．16,20 D ．16,10 答案 A解析 由于x ＋1＝x －1＋2，因此(x ＋1)5＝5，故展开式中(x －1)的系数为a 1＝C 4524＝80.令x ＝1，得a 0＝32，故选A.8．已知⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋12x n (n ∈N *)的展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为( )A.45256 B.47256 C.49256 D.51256答案 A解析 由题意知C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝56，∴n ＝10，∴T r ＋1＝C r 10(x 2)10－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r ＝C r 10⎝ ⎛⎭⎪⎫12rx20－5r 2，令20－5r 2＝0，得r ＝8，∴常数项为C 810×⎝ ⎛⎭⎪⎫128＝45256，故选A.9.⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋33x n 的展开式中，各项系数的和与二项式系数的和之比为64，则(1－x )n 的展开式中系数最小的项的系数等于________．答案 －20解析 展开式中，各项系数的和为4n ，二项式系数的和为2n ，由题知2n＝64，所以n ＝6，(1－x )6的展开式中，第四项的系数最小，为－C 36＝－20.10．1＋3C 1n ＋9C 2n ＋…＋3n C nn ＝________. 答案 4n解析 在二项展开式(1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋…＋C n n x n 中，令x ＝3，得(1＋3)n ＝C 0n ＋C 1n 3＋C 2n 32＋…＋C n n 3n，即1＋3C 1n ＋9C 2n ＋…＋3n C n n ＝4n.11.⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的二项展开式中的常数项为________(用数字作答)．答案 －160解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6＝x －6x 3，又∵(2x －1)6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r (－1)r，令6－r ＝3，得r ＝3. ∴T 3＋1＝－C 36(2x )3＝－20×23·x 3＝－160x 3，∴⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的二项展开式中的常数项为－160.12．(x 2－x ＋1)10的展开式中x 3的系数为________． 答案 －210解析 (x 2－x ＋1)10＝10＝C 010(x 2)10－C 110(x 2)9(x －1)＋…－C 910(x 2)(x －1)9＋C 1010(x －1)10，所以x 3的系数为－C 910C 89＋C 1010(－C 710)＝－210.二、高考小题13．(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60 答案 C解析 由于(x 2＋x ＋y )5＝5，其展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r y r(r ＝0,1,2，…，5)，因此只有当r ＝2，即T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2中才能含有x 5y 2项．设(x 2＋x )3的展开式的通项为S i ＋1＝C i3(x 2)3－i·x i ＝C i 3x6－i(i ＝0,1,2,3)，令6－i ＝5，得i ＝1，则(x 2＋x )3的展开式中x 5项的系数是C 13＝3，故(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数是C 25·3＝10×3＝30.14．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 5的展开式中含x 32的项的系数为30，则a ＝( )A. 3 B ．－ 3 C ．6 D ．－6 答案 D解析 展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·(x )5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a x r ＝(－1)r C r 5a r·x 52－r (r ＝0,1,2，…，5)．令52－r ＝32，得r ＝1，所以展开式中含x 32 项的系数为(－1)C 15·a ，于是－5a ＝30，解得a ＝－6.15．在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( )A ．45B ．60C ．120D ．210 答案 C解析 在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.从而f (3,0)＝C 36＝20，f (2,1)＝C 26·C 14＝60，f (1,2)＝C 16·C 24＝36，f (0,3)＝C 34＝4，故选C.16．(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________(用数字填写答案)． 答案 10解析 T r ＋1＝C r5(2x )5－r·(x )r＝25－r C r5·x5－r2，令5－r2＝3，得r ＝4，∴T 5＝10x 3，∴x 3的系数为10.17．若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________. 答案 －2解析 T r ＋1＝a 5－r C r 5x 10－52r，令10－52r ＝5，解之得r ＝2，所以a 3C 25＝－80，a ＝－2.18．(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________. 答案 3解析 解法一：∵(1＋x )4＝x 4＋C 34x 3＋C 24x 2＋C 14x ＋C 04x 0＝x 4＋4x 3＋6x 2＋4x ＋1， ∴(a ＋x )(1＋x )4的奇数次幂项的系数为4a ＋4a ＋1＋6＋1＝32，∴a ＝3. 解法二：设(a ＋x )(1＋x )4＝b 0＋b 1x ＋b 2x 2＋b 3x 3＋b 4x 4＋b 5x 5. 令x ＝1，得16(a ＋1)＝b 0＋b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5，①令x ＝－1，得0＝b 0－b 1＋b 2－b 3＋b 4－b 5，② 由①－②，得16(a ＋1)＝2(b 1＋b 3＋b 5)， 即8(a ＋1)＝32，解得a ＝3. 三、模拟小题19．(x ＋1)(x －2)6的展开式中x 4的系数为( ) A ．－100 B ．－15 C ．35 D ．220 答案 A解析 由二项式定理可得(x －2)6展开式的通项T r ＋1＝C r 6(－2)r x6－r，∴x 3的系数为C 36(－2)3＝－160，x 4的系数为C 26(－2)2＝60，∴(x ＋1)(x －2)6的展开式中x 4的系数为－160＋60＝－100.20．⎝⎛⎭⎪⎫x 2－12x 6的展开式中，常数项是( )A ．－54 B.54 C ．－1516 D.1516答案 D解析 T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4.∴常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 46＝1516.故选D.答案 B 解析22．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x 2的系数为_________________ _______________________________________________________．答案 56解析 因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相等，即C 2n ＝C 6n ，所以n ＝8，所以展开式的通项为T k ＋1＝C k 8x 8－k⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k ＝C k 8x 8－2k ，令8－2k ＝－2，解得k ＝5，所以T 6＝C 58⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2，所以1x2的系数为C 58＝56. 23．已知(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9＋a 10x 10，则a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10的值为( )A ．－20B ．0C ．1D ．20答案 D解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝1，再令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝0，又易知a 1＝C 910×21×(－1)9＝－20，所以a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10＝20.24．1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k90k C k10＋…＋9010C 1010除以88的余数是( )A ．－1B ．1C ．－87D ．87答案 B解析 1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k90k C k10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1.∵前10项均能被88整除，∴余数是1.25．从重量分别为1,2,3,4，…，10,11克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法总数为m ，下列各式的展开式中x 9的系数为m 的选项是( )A ．(1＋x)(1＋x 2)(1＋x 3)…(1＋x 11)B ．(1＋x)(1＋2x)(1＋3x)…(1＋11x)C ．(1＋x)(1＋2x 2)(1＋3x 3)…(1＋11x 11)D ．(1＋x)(1＋x ＋x 2)(1＋x ＋x 2＋x 3)…(1＋x ＋x 2＋…＋x 11)答案 A解析 x 9是由x ，x 2，x 3，x 4，x 5，…，x 11中的指数和等于9的那些项的乘积构成，有多少个这样的乘积就有多少个这样的x 9，这与从重量分别为1,2,3,4，…，10,11克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法的意义一样，所以就是(1＋x)(1＋x 2)(1＋x 3)…(1＋x 11)的展开式中x 9的系数，选A .26．在⎝⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 201510的展开式中，含x 2项的系数为( )A ．10B ．30C ．45D ．120答案 C解析 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 201510＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋＋1x 201510＝(1＋x)10＋C 110(1＋x)91x2015＋…＋C 1010⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 201510，所以x 2项只能在(1＋x)10的展开式中，所以含x 2的项为C 210x 2，系数为C 210＝45.故选C .27．(x ＋2y)7的展开式中，系数最大的项是( )A ．68y 7B ．112x 3y 4C ．672x 2y 5D ．1344x 2y 5答案 C解析 设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r7·2r≥C r －17·2r －1，C r 7·2r ≥C r ＋17·2r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧7！r ！－！·2r≥7！－！－r ＋！·2r －1，7！r ！－！·2r≥7！＋！－r －！·2r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧2r ≥18－r，17－r ≥2r ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧r≤163，r≥133.又∵r ∈Z ，∴r ＝5，∴系数最大的项为T 6＝C 57x 2·25y 5＝672x 2y 5.故选C.28．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3x n 展开式的各项系数的绝对值之和为1024，则展开式中x 的一次项的系数为________．答案 －15解析 T r ＋1＝C rn (x )n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x r ＝(－3)r ·C r n x n －3r2 ，因为展开式的各项系数绝对值之和为C 0n ＋|(－3)1C 1n |＋(－3)2C 2n ＋|(－3)3C 3n |＋…＋|(－3)n C n n |＝1024，所以(1＋3)n＝1024，解得n ＝5，令5－3r 2＝1，解得r ＝1，所以展开式中x 的一次项的系数为(－3)1C 15＝－15.29．将⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x－43展开后，常数项是________．答案 －160解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6展开后的通项是C k 6(x )6－k ·⎝⎛⎭⎪⎫－2x k ＝(－2)k ·C k 6(x )6－2k.令6－2k ＝0，得k ＝3. 所以常数项是C 36(－2)3＝－160.30．若二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋23x n 的展开式中的常数项是80，则该展开式中的二项式系数之和等于________．答案 32解析 对于T r ＋1＝C r n (x )n －r⎝⎛⎭⎪⎪⎫23x r ＝C rn 2r x n －r 2－r3，当r ＝35n 时展开式为常数项，因此n 为5的倍数，不妨设n ＝5m ，则有r ＝3m ，则23m C 3m 5m ＝8m C 3m5m ＝80，因此m ＝1，则该展开式中的二项式系数之和等于2n ＝25＝32.本考点在近三年高考中未涉及此题型．。

考点58 随机事件的概率与古典概型1．设事件A ，B ，已知P (A )＝15，P (B )＝13，P (A ∪B )＝815，则A ，B 之间的关系一定为( )A ．两个任意事件B ．互斥事件C ．非互斥事件D ．对立事件【答案】B【解析】因为P (A )＋P (B )＝15＋13＝815＝P (A ∪B )，所以A ，B 之间的关系一定为互斥事件．2．小明从某书店购买5本不同的教辅资料，其中语文2本，数学2本，物理1本．若将这5本书随机并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( ) A.15 B ．25C ．35D ．45【答案】B【解析】语文、数学只有一科的两本书相邻，有2A 22A 22A 23＝48种摆放方法；语文、数学两科的两本书都相邻，有A 22A 22A 33＝24种摆放方法；而五本不同的书排成一排总共有A 55＝120种摆放方法．故所求概率为1－48＋24120＝25.故选B. 3．做抛掷两颗骰子的试验，用(x ，y )表示结果，其中x 表示第一颗骰子正面朝上的点数，y 表示第二颗骰子正面朝上的点数，则x ＋y ＞10的概率是( ) A.25 B ．512C ．16D ．112【答案】D【解析】(x ，y )的所有基本事件共有6×6＝36(个)，事件“x ＋y ＞10”包含(5,6)，(6,5)，(6,6)，共3个基本事件．根据古典概型的概率计算公式可知，x ＋y ＞10的概率是112.故选D.4．某校食堂使用除面值外，大小、手感完全一样的餐票，某同学口袋中有2张一元餐票，3张两元餐票，1张五元餐票，他从口袋中随机摸出2张餐票，则这2张餐票的面值之和不少于4元的概率为( ) A.715 B ．815C ．35D ．23【答案】B【解析】该同学从口袋中随机摸出2张餐票，总的基本事件数是C 26＝15，若这2张餐票的面值之和不少于4元，则这2张餐票为2张两元的或1张两元的、1张五元的或1张一元的、1张五元的，包含的基本事件数为C 23＋C 13C 11＋C 12C 11＝8，根据古典概型的概率计算公式可知，这2张餐票的面值之和不少于4元的概率为815. 5．在2,0,1,5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为( ) A.34 B ．58C ．12D ．14【答案】C【解析】由题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,5)，(1,2,5)，(0,1,5)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P ＝12.6．一袋中装有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从袋中一次性随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为( ) A.35 B ．45C ．23D ．56【答案】D【解析】从袋中一次性随机摸出2只球的所有可能情况有C 24＝6(种)，设“这2只球颜色不同”为事件N ，这2只球颜色可能为1白1红，1白1黄，1红1黄，事件N 包含的情况C 11C 11＋C 11C 12＋C 11C 12＝5(种)，故这2只球颜色不同的概率P (N )＝56.7．袋子中装有大小相同的5个小球，分别有2个红球、3个白球．现从中随机抽取2个小球，则这2个小球中既有红球也有白球的概率为( ) A.34 B ．710C.45 D ．35【答案】D【解析】设2个红球分别为a ，b,3个白球分别为A ，B ，C ，从中随机抽取2个，则有(a ，b )，(a ，A )，(a ，B )，(a ，C )，(b ，A )，(b ，B )，(b ，C )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共10个基本事件，其中既有红球也有白球的基本事件有6个，则所求概率为P ＝610＝35.8．从集合A ＝{－3，－2，－1,2}中随机选取一个数记为k ，从集合B ＝{－2,1,2}中随机选取一个数记为b ，则直线y ＝kx ＋b 不经过第四象限的概率为( ) A.112B ．16【答案】B【解析】根据题意可知，总的基本事件(k ，b )共有4×3＝12个，直线y ＝kx ＋b 不经过第四象限，则k ＞0，b ＞0，包含的基本事件有(2,1)，(2,2)，共2个，根据古典概型的概率计算公式可知直线y ＝kx ＋b 不经过第四象限的概率P ＝212＝16.故选B.9．已知向量a ＝(x ，y )，b ＝(1，－2)，从6张大小相同，分别标有号码1,2,3,4,5,6的卡片中，有放回地抽取两张，x ，y 分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足a·b ＞0的概率是( ) A.112 B ．34C ．15D ．16【答案】D【解析】设(x ，y )表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有6×6＝36个．a·b ＞0，即x －2y ＞0，满足x －2y ＞0的基本事件有(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(6,2)，共6个，所以所求概率P ＝636＝16.故选D.10．有10件产品，其中有2件次品，每次抽取1件检验，抽检后不放回，共抽2次．事件“抽到1件正品，1件次品”发生的概率是( ) A.3281 B ．512C ．12D ．1645【答案】D【解析】由题意知，这10件产品中有2件次品，8件正品，每次抽取1件，抽检后不放回，共抽2次，共有A 210＝90种情况，其中事件“抽到1件正品，1件次品”包含的情况有A 22C 18C 12＝32种情况，根据古典概型的概率计算公式知，事件“抽到1件正品，1件次品”发生的概率P ＝3290＝1645.11．如图，在A ，B 两点间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4，现从中任取三条且使每条网线通过最大信息量，则选取的三条网线由A 到B 可通过的信息总量为6的概率是( )A.14B ．13【答案】A【解析】设这6条网线从上到下分别是a ，b ，c ，d ，e ，f ，任取3条有：(a ，b ，c )，(a ，b ，d )，(a ，b ，e )，(a ，b ，f )，(a ，c ，d )，(a ，c ，e )，(a ，c ，f )，(a ，d ，e )，(a ，d ，f )，(a ，e ，f )，(b ，c ，d )，(b ，c ，e )，(b ，c ，f )，(b ，d ，e )，(b ，d ，f )，(b ，e ，f )，(c ，d ，e )，(c ，d ，f )，(c ，e ，f )，(d ，e ，f )，共20个不同的取法，选取的三条网线由A 到B 可通过的信息总量为6的取法有：(a ，b ，f )，(a ，c ，e )，(a ，d ，e )，(b ，c ，e )，(b ，d ，e )，共5个不同的取法，所以选取的三条网线由A 到B 可通过的信息总量为6的概率是14.12．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2x ＋1，若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( ) A.79 B ．13C ．59D ．23【答案】D【解析】对函数f (x )求导可得f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b 2，要满足题意需x 2＋2ax ＋b 2＝0有两个不等实根，即Δ＝4(a 2－b 2)＞0，即a ＞b .又(a ，b )的取法共有9种，其中满足a ＞b 的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种，故所求的概率P ＝69＝23.13．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当a ＞b ，b ＜c 时，称该三位自然数为“凹数”(如213,312等)．若a ，b ，c ∈{1,2,3,4}，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是( ) A.16 B ．524C ．13D ．724【答案】C【解析】由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理由1,2,4组成的三位自然数共6个；由1,3,4组成的三位自然数也是6个；由2,3,4组成的三位自然数也是6个．所以共有6＋6＋6＋6＝24(个)．当b ＝1时，有214,213,314,412,312,413，共6个“凹数”；当b ＝2时，有324,423，共2个“凹数”．所以这个三位数为“凹数”的概率P ＝6＋224＝13.14．记连续投掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角为α，则α∈⎝⎛⎭⎫0，π4的概率为( ) A.518B ．512【答案】B【解析】由题意知，向量a ＝(m ，n )共有6×6＝36(个)，其中满足向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，即n ＜m 的(m ，n )可根据n 的具体取值进行分类计数：第一类，当n ＝1时，m 有5个不同的取值；第二类，当n ＝2时，m 有4个不同的取值；第三类，当n ＝3时，m 有3个不同的取值；第四类，当n ＝4时，m 有2个不同的取值；第五类，当n ＝5时，m 有1个取值．因此满足向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角α∈⎝⎛⎭⎫0，π4的(m ，n )共有1＋2＋3＋4＋5＝15(个)，所以所求概率为1536＝512. 15．在所有的两位数10～99中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是________． 【答案】23【解析】所有两位数共有90个，其中2的倍数有45个，3的倍数有30个，6的倍数有15个，所以能被2或3整除的共有45＋30－15＝60(个)，所以所求概率是6090＝23.16．在三行三列的方阵⎝⎛⎭⎪⎪⎫a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33中有9个数a ij(i ＝1,2,3，j ＝1,2,3)，从中任取3个数，则这3个数中至少有2个数位于同行或同列的概率是( )A.37 B ．47C ．114D ．1314【答案】D【解析】从9个数中任取3个数共有C 39＝84种不同的取法．若3个数中有2个数位于同行或同列，则有C 19C 14C 14A 22＝72种不同的取法，若3个数均位于同行或同列，则有6种不同的取法．设事件M 为“这3个数中至少有2个数位于同行或同列”，则事件M 包含的取法共有72＋6＝78(种)，根据古典概型的概率计算公式得P (M )＝7884＝1314.故选D. 17．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为“出现奇数点”，事件B 为“出现2点”，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则“出现奇数点或2点”的概率为________． 【答案】23【解析】因为事件A 与事件B 是互斥事件，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝12＋16＝23.18．为了庆祝五四青年节，某书店制作了3种不同的精美卡片，每本书中随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现某人购买了5本书，则其获奖的概率为________． 【答案】5081【解析】“获奖”即每种卡片至少一张，而5＝1＋1＋3＝1＋2＋2，有3种卡片，购买5本书，基本事件总数为35，故所求概率为3C 15C 14C 33＋3C 15C 24C 2235＝5081.19．同时掷两枚质地均匀的骰子． (1)向上的点数相同的概率为________； (2)向上的点数之和小于5的概率为________． 【答案】(1)16 (2)16【解析】(1)同时掷两枚骰子共有36种情况，其中向上点数相同的有6种情况，其概率为636＝16；(2)向上点数之和小于5的有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6种情况，其概率为636＝16.20．高一年级某班有63名学生，现要选一名学生标兵，每名学生被选中是等可能的，若“选出的标兵是女生”的概率是“选出的标兵是男生”的概率的1011，则这个班的男生人数为________．【答案】33【解析】由题意可设该班的男生人数为x ，则女生人数为63－x ，因为每名学生被选中是等可能的，根据古典概型的概率计算公式知，“选出的标兵是女生”的概率是63－x 63，“选出的标兵是男生”的概率是x63，故63－x 63＝1011×x63，解得x ＝33，故这个班的男生人数为33. 21．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________． 【答案】35 1315【解析】“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为P ＝11＋10＋7＋86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝35.“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”．故他属于不超过2个小组的概率是P ＝1－86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝1315.22．从2本不同的数学书和2本不同的语文书中任意抽出2本书(每本书被抽中的机会相等)，求抽出的书是同一学科的概率．【解析】从2本不同的数学书和2本不同的语文书中任意抽出2本书共有6种不同的取法，其中抽出的书是同一学科的取法共有2种，因此所求的概率等于26＝13.23．(2018郑州质量预测)在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1,2,3,4,5.甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率； (2)若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6，则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？【解析】用(x ，y )(x 表示甲摸到的数字，y 表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25个．(1)设甲获胜的事件为A ，则事件A 包含的基本事件有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共10个．则P (A )＝1025＝25.(2)设甲获胜的事件为B ，乙获胜的事件为C .事件B 所包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共10个． 则P (B )＝1025＝25，所以P (C )＝1－P (B )＝35.因为P (B )≠P (C )，所以这样规定不公平．。

考点规范练二项分布与超几何分布1.若每次测量中出现正误差的概率都是12,则在5次测量中恰好出现2次正误差的概率是( ) A.516B.25C.58D.132,在5次测量中恰好出现2次正误差的概率为P=C 52×(12)2×(1-12)3=516. 2.已知一批产品共10件,次品率为20%,从中任取2件,则恰好取到1件次品的概率为( ) A.2845B.1145C.1745D.1645X,则X 服从超几何分布.由题意知10件产品中有2件次品, 故所求概率为P(X=1)=C 21C 81C 102=1645.3.设随机变量X~B (6,12),则P(X≤3)等于( )A.1132B.732C.2132D.764=C 60×(12)6+C 61×(12)6+C 62×(12)6+C 63×(12)6=2132. 4.(多选)在4件产品中,有一等品2件,二等品1件(一等品与二等品都是正品),次品1件,现从中任取2件,则下列说法正确的是( ) A.2件都是一等品的概率为13B.2件中有1件是次品的概率为12C.2件都是正品的概率为13D.2件中至少有1件是一等品的概率为56件都是一等品的概率为C 22C 42=16,故A 错误.2件中有1件是次品的概率为C 11C 31C 42=12,故B 正确.2件都是正品的概率为C 32C 42=12,故C 错误.2件中至少有1件是一等品的概率为C 21C 21+C 22C 42=56,故D 正确.5.高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的,如图,每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子,上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间,从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的小球,小球向下降落的过程中,首先碰到最上面的钉子,碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下,于是又碰到下一层钉子,如此继续下去,直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口放进一个小球,则其落在第③个格子的概率为( )A.1128B.7128C.21128D.35128,小球从起点到第③个格子的过程中,要向左边滚动5次,向右边滚动2次,而每次向左或向右的概率均为12,故所求的概率为C 72×(12)2×(12)5=21128. 6.在等差数列{a n }中,a 4=2,a 7=-4.如果从{a n }的前10项中随机取数,每次取出一个数后放回,连续取3次,且每次取数互不影响,那么在这3次取数中,取出的数恰好为两个非负数和一个负数的概率为 .,等差数列的通项公式为a n =10-2n(n=1,2,3,…),其中a 1,a 2,a 3,a 4为正数,a 5=0,a 6,a 7,a 8,a 9,a 10为负数,所以从中取一个数为非负数的概率为510=12,取一个数为负数的概率为12.3次取数相当于一个3重伯努利试验.故取出的数恰为两个非负数和一个负数的概率为C 32×(12)2×12=38. 7.某高校设计了一个实验学科的考核方案:考生从8道备选题中一次性随机抽取3道题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定至少正确完成其中2道题的便可提交通过.已知在8道备选题中,考生甲有6道题能正确完成,2道题不能完成;考生乙每道题能正确完成的概率都是34,且每道题正确完成与否互不影响.(1)分别写出甲、乙两名考生正确完成题数的分布列,并计算均值; (2)试从两名考生正确完成题数的均值及至少正确完成2道题的概率分析比较两名考生的实验操作能力.设甲、乙两名考生正确完成题数分别为X,Y,则X 的所有可能取值为1,2,3,Y 的所有可能取值为0,1,2,3. 由题意可知P(X=1)=C 61C 22C 83=328,P(X=2)=C 62C 21C 83=1528, P(X=3)=C 63C 20C 83=514.故X 的分布列为E(X)=1×328+2×1528+3×514=94.P(Y=0)=C 30×(34)0×(1-34)3=164, P(Y=1)=C 31×34×(1-34)2=964, P(Y=2)=C 32×(34)2×(1-34)=2764, P(Y=3)=C 33×(34)3×(1-34)0=2764. 故Y 的分布列为E(Y)=3×34=94.(2)由(1)知E(X)=E(Y),P(X≥2)=1528+514=2528,P(Y≥2)=2764+2764=2732,所以P(X≥2)>P(Y≥2).故从正确完成题数的均值考察,两人水平相当;从至少正确完成2道题的概率考察,甲的概率大.因此可以判断甲的实验操作能力较强.。

课时作业58 古典概型1．(2017·天津卷)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( C )A.45B.35C.25D.15解析：从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有以下10种情况：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)．其中含有红色彩笔的有4种情况：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，所以所求事件的概率P ＝410＝25.故选C. 2．(2019·东北四市模拟)将一枚硬币连续抛掷n 次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于1516，则n 的最小值为( A ) A ．4B ．5C ．6D ．7解析：依题意，得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≥1516，解得n ≥4. 3．(2019·广东茂名一模)在1,2,3,6这组数据中随机取出三个数字，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是( A )A.14B.13C.12D.34解析：在1,2,3,6这组数据中随机取出三个数字，基本事件总共有4个，分别为(1,2,3)，(1,2,6)，(1,3,6)，(2,3,6)．数字2是三个不同数字的平均数所包含的基本事件只有(1,2,3)，共1个．∴数字2是三个不同数字的平均数的概率P ＝14.故选A. 4．(2016·北京卷)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( B ) A.15B.25C.825D.925解析：设其他3名学生为丙、丁、戊，从中任选2人的所有情况有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共4＋3＋2＋1＝10种．其中甲被选中的情况有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4种，故甲被选中的概率为410＝25，故选B. 5．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1，点数之和大于5的概率记为p 2，点数之和为偶数的概率记为p 3，则( C )A ．p 1＜p 2＜p 3B ．p 2＜p 1＜p 3C ．p 1＜p 3＜p 2D ．p 3＜p 1＜p 2解析：随机抛掷两枚骰子，它们向上的点数之和的结果如图，则p 1＝1036，p 2＝2636，p 3＝1836， ∴p 1＜p 3＜p 2，故选C. 6．(2019·海口模拟)已知集合A ＝{x |x 2＋2x －3<0}，B ＝{x |(x ＋2)(x －3)<0}，设(a ，b )为有序实数对，其中a 是从集合A 中任取的一个整数，b 是从集合B 中任取的一个整数，则“a －b ∈(A ∪B )”的概率为( C )A.12B.23C.34D.45解析：由已知得A ＝{x |－3<x <1}，B ＝{x |－2<x <3}，因为a ，b ∈Z ，且a ∈A ，b ∈B ，所以a ∈{－2，－1,0}，b ∈(－1，0,1,2)，a －b 共有12个结果，即12个基本事件：－1，－2，－3，－4,0，－1，－2，－3,1,0，－1，－2，又A ∪B ＝(－3，3)，设事件E 为“a －b ∈(A∪B )”，则事件E 包含9个基本事件，故事件E 发生的概率P (E )＝912＝34. 7．(2019·河北七校联考)若m 是集合{1,3,5,7,9,11}中任意选取的一个元素，则椭圆x 2m＋y 22＝1的焦距为整数的概率为12. 解析：m 是集合{1,3,5,7,9,11}中任意选取的一个元素，∴基本事件总数为6，又满足椭圆x 2m ＋y 22＝1的焦距为整数的m 的取值有1,3,11，共有3个，∴椭圆x 2m ＋y 22＝1的焦距为整数的概率P ＝36＝12. 8．(2019·安徽池州模拟)小明忘记了微信登录密码的后两位，只记得最后一位是字母A ，a ，B ，b 中的一个，另一位是数字4,5,6中的一个，则小明输入一次密码能够成功登陆的概率是112. 解析：小明输入密码后两位的所有情况为(4，A )，(4，a )，(4，B )，(4，b )，(5，A )，(5，a )，(5，B )，(5，b )，(6，A )，(6，a )，(6，B )，(6，b )，共12种，而能成功登陆的密码只有一种，故小明输入一次密码能够成功登陆的概率是112. 9．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是56. 解析：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,6)，共36种情况．设事件A ＝“出现向上的点数之和小于10”，其对立事件A ＝“出现向上的点数之和大于或等于10”，A 包含的可能结果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种情况．所以由古典概型的概率公式，得P (A )＝636＝16，所以P (A )＝1－16＝56. 10．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的6个面的中心分别为E ，F ，G ，H ，I ，J ，甲从这6个点中任选2个点连成直线l 1，乙也从这6个点中任选2个点连成与直线l 1垂直的直线l 2，则l 1与l 2异面的概率是45.解析：如图所示，因为正方体6个面的中心构成一个正八面体，所以甲、乙连成的两条直线互相垂直的情况有：IJ ⊥EF ，IJ ⊥GH ，IJ ⊥GE ，IJ ⊥GF ，IJ ⊥EH ，IJ ⊥FH ，EF ⊥GH ，EF ⊥GI ，EF ⊥GJ ，EF ⊥HI ，EF ⊥HJ ，GH ⊥EI ，GH ⊥EJ ，GH ⊥FI ，GH ⊥FJ ，共15组，其中异面的有：IJ ⊥GE ，IJ ⊥GF ，IJ ⊥EH ，IJ ⊥FH ，EF ⊥GI ，EF ⊥GJ ，EF ⊥HI ，EF ⊥HJ ，GH ⊥EI ，GH ⊥EJ ，GH ⊥FI ，GH ⊥FJ ，共12组，故所得的两条直线异面的概率P ＝1215＝45.11．(2019·安徽合肥第一次教学质量检测)某班级甲、乙两个小组各有10位同学，在一次期中考试中，两个小组同学的成绩如下：甲组：94,69,73,86,74,75,86,88,97,98；乙组：75,92,82,80,95,81,83,91,79,82.(1)画出这两个小组同学成绩的茎叶图，判断哪一个小组同学的成绩差异较大，并说明理由；(2)从这两个小组成绩在90分以上的同学中，随机选取2人在全班介绍学习经验，求选出的2位同学不在同一个小组的概率．解：(1)茎叶图如图.由茎叶图中数据分布可知，甲组数据分布比较分散，乙组数据分布相对集中，所以甲组同学的成绩差异较大．(也可通过计算方差说明，s 2甲＝101.6，s 2乙＝37.4，s 2甲＞s 2乙)(2)设甲组成绩在90分以上的三位同学为A 1，A 2，A 3；乙组成绩在90分以上的三位同学为B 1，B 2，B 3.从这6位同学中选出2位同学，共有15个基本事件，列举如下：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)；(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)；(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)；(B 1，B 2)，(B 1，B 3)；(B 2，B 3)．其中，从这6位同学中选出的2位同学不在同一个小组的基本事件有9个，所以所求概率P ＝915＝35. 12．海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测. 地区A B C 数量 50 150 100(1)求这6(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解：(1)A ，B ，C 三个地区商品的总数量为50＋150＋100＝300，抽样比为6300＝150， 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2. 所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.(2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为：A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}，{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D ：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D 包含的基本事件有：{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个．所以P (D )＝415， 即这2件商品来自相同地区的概率为415.13．(2019·陕西模拟)现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说课，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为( C )A.13B.23C.12D.34解析：记两道题分别为A ，B ，所有抽取的情况为AAA ，AAB ，ABA ，ABB ，BAA ，BAB ，BBA ，BBB (其中第1个，第2个分别表示两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目)，共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为ABA ，ABB ，BAA ，BAB ，共4种．故所求事件的概率为12.故选C. 14．(2019·江西宜春高考模拟)将一个质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，若已知出现了点数5，则使不等式a －b ＋3>0成立的概率为( B )A.1112B.34C.911D.518解析：由题意知，在已知出现点数5的前提下，基本事件总数n ＝6＋6＝12，使不等式a －b ＋3＞0成立包含的基本事件有(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(3,5)，(4,5)，(6,5)，共有m ＝9个，∴出现了点数5，使不等式a －b ＋3＞0成立的概率P ＝m n ＝912＝34，故选B. 15．(2019·广东江门模拟(一模))两位教师对一篇初评为“优秀”的作文复评，若批改成绩都是两位正整数，且十位数字都是5，则两位教师批改成绩之差的绝对值不超过2的概率为0.44.解析：用(x ，y )表示两位教师的批改成绩，则(x ，y )的所有可能情况有10×10＝100种．当x ＝50时，y 可取50,51,52，共3种可能；当x ＝51时，y 可取50,51,52,53，共4种可能；当x ＝52,53,54,55,56,57时，y 的取法均有5种，共30种可能；当x ＝58时，y 可取56,57,58,59，共4种可能；当x ＝59时，y 可取57,58,59，共3种可能．综上可得两位教师批改成绩之差的绝对值不超过2的情况有44种，则由古典概型的概率公式可得所求概率P ＝44100＝0.44. 16．(2019·山西太原一模)某快递公司收取快递费用的标准如下：质量不超过1 kg 的包裹收费10元；质量超过1 kg 的包裹，除1 kg 收费10元之外，超过1 kg 的部分，每1 kg(不足1 kg ，按1 kg 计算)需再收5元．该公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：(1)某人打算将A (0.3 kg)，B (1.8 kg)，C (1.5 kg)三件礼物随机分成两个包裹寄出，求该人支付的快递费不超过30元的概率；(2)该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用．前台工作人员每人每天揽件不超过150件，工资100元，目前前台有工作人员3人，那么公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润是否更有利？解：(1)由题意，寄出方式有以下三种可能：所有3种可能中，有1种可能快递费未超过30元，根据古典概型概率计算公式，所求概率为13. (2)由题目中的天数得出频率，如下：若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司每日利润为260×5－3×100＝1 000(元)；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润为235×5－2×100＝975(元)．综上，公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利．。

高考数学复习考点知识与题型专题讲解8.5椭圆考试要求1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质．1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．(2)焦点：两个定点F1，F2.(3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|；半焦距：焦距的一半．2．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1 (a>b>0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)轴长短轴长为2b，长轴长为2a焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c对称性 对称轴：x 轴和y 轴，对称中心：原点离心率 e ＝ca (0<e <1) a ，b ，c 的关系a 2＝b 2＋c 2微思考1．在椭圆的定义中，若2a ＝|F 1F 2|或2a <|F 1F 2|，动点P 的轨迹如何？提示当2a ＝|F 1F 2|时，动点P 的轨迹是线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时动点P 的轨迹是不存在的．2．椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？ 提示由e ＝ca ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2知，当a 不变时，e 越大，b 越小，椭圆越扁平；e 越小，b 越大，椭圆越接近于圆．3．焦点弦的弦长最短是什么？提示焦点弦中通径(垂直于轴的焦点弦)最短，弦长为2b 2a.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×) (2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．(√)(3)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．(√)(4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相等．(√) 题组二教材改编2．已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)，若点P 到F 1，F 2的距离之和为10，则P 点的轨迹方程是____________． 答案x 225＋y 216＝1解析因为|PF 1|＋|PF 2|＝10>|F 1F 2|＝6，所以点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其中a ＝5，c ＝3，b ＝a 2－c 2＝4，故点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.3．若椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m ＝________.答案4或8解析当焦点在x 轴上时，10－m >m －2>0， 10－m －(m －2)＝4，∴m ＝4.当焦点在y 轴上时，m －2>10－m >0，m －2－(10－m )＝4，∴m ＝8.∴m ＝4或8.4．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________． 答案x 216＋y 28＝1解析如图，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由椭圆的定义可知，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，又△ABF 2的周长为16， 所以|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝16， 即4a ＝16，a ＝4，又e ＝c a ＝22，则c ＝22，b ＝a 2－c 2＝22，故椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.5．已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为__________________． 答案⎝⎛⎭⎫152，1或⎝⎛⎭⎫152，－1 解析设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1， 所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)． 由题意可得点P 到x 轴的距离为1， 所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x >0，所以x ＝152， 所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫152，1或⎝⎛⎭⎫152，－1.题组三易错自纠6．若方程x 2m ＋y 22m －1＝1表示椭圆，则m 满足的条件是____________________．答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m >12且m ≠1 解析由方程x 2m ＋y 22m －1＝1表示椭圆，知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，2m －1>0，m ≠2m －1，解得m >12且m ≠1.7．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1(m >0)的离心率e ＝105，则m 的值为________．答案3或253解析若a 2＝5，b 2＝m ，则c ＝5－m ，由c a ＝105，即5－m 5＝105，解得m ＝3. 若a 2＝m ，b 2＝5， 则c ＝m －5.由c a ＝105，即m －5m＝105，解得m ＝253.综上，m ＝3或253.8．已知点A (－2,0)，B (0,1)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，则椭圆C 的方程为________；若直线y＝12x 交椭圆C 于M ，N 两点，则|MN |＝________. 答案x 24＋y 2＝110解析由题意可知，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，由点A (－2,0)，B (0,1)且焦点在x 轴上，得a ＝2，b ＝1， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1；设M ()x 1，y 1，N ()x 2，y 2(x 1>0)，则⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝12x ，解得x 1＝2，y 1＝22，x 2＝－2，y 2＝－22，则|MN |＝(2＋2)2＋⎝⎛⎭⎫22＋222＝10.第1课时椭圆及其性质题型一椭圆的定义及应用例1(1)如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是()A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆 答案A解析连接QA (图略)． 由已知得|QA |＝|QP |.所以|QO |＋|QA |＝|QO |＋|QP |＝|OP |＝r .又因为点A 在圆内，所以|OA |<|OP |，根据椭圆的定义知，点Q 的轨迹是以O ，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆．(2)设点P 为椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a >2)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为________． 答案433解析由题意知，c ＝a 2－4.又∠F 1PF 2＝60°，|F 1P |＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2a 2－4，∴|F 1F 2|2＝(|F 1P |＋|PF 2|)2－2|F 1P ||PF 2|－2|F 1P |·|PF 2|cos60°＝4a 2－3|F 1P |·|PF 2|＝4a 2－16， ∴|F 1P |·|PF 2|＝163，∴12PF F S △＝12|F 1P |·|PF 2|sin60°＝12×163×32＝433.若将本例(2)中“∠F 1PF 2＝60°”改成“PF 1⊥PF 2”，求△PF 1F 2的面积．解∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4(a 2－4)＝4a 2－16， 又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|·|PF 2|＝8， ∴12PF F S △＝4.思维升华椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．跟踪训练1 (1)设P 是椭圆x 216＋y 29＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF 1|·|PF 2|＝12，则∠F 1PF 2的大小为________． 答案60°解析由椭圆x 216＋y 29＝1，可得2a ＝8，设||PF 1＝m ，||PF 2＝n ，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2a ＝8，mn ＝12，4c 2＝28＝m 2＋n 2－2mn cos ∠F 1PF 2，化简可得cos ∠F 1PF 2＝12，∴∠F 1PF 2＝60°.(2)已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点，则|P A |＋|PF |的最大值为________，最小值为________． 答案6＋26－ 2解析椭圆方程化为x 29＋y 25＝1，设F 1是椭圆的右焦点，则F 1(2,0)， ∴|AF 1|＝2，∴|P A |＋|PF |＝|P A |－|PF 1|＋6，又－|AF 1|≤|P A |－|PF 1|≤|AF 1|(当P ，A ，F 1共线时等号成立)， ∴|P A |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－ 2.题型二椭圆的标准方程例2 (1)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是()A.x 23＋y 24＝1B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 22＝1D.x 24＋y 23＝1 答案D解析由题意可知椭圆焦点在x 轴上，所以设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意可知c ＝1，e ＝c a ＝12，可得a ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，可得b 2＝3， 所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．答案y 220＋x 24＝1解析方法一(待定系数法)设所求椭圆方程为y 225－k ＋x 29－k ＝1(k <9)，将点(3，－5)的坐标代入可得(－5)225－k ＋(3)29－k＝1，解得k ＝5(k ＝21 舍去)，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.方法二(定义法)椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝(3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.思维升华 (1)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a >|F 1F 2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式． (2)椭圆的标准方程的两个应用①方程x 2a 2＋y 2b 2＝1与x 2a 2＋y 2b2＝λ(λ>0)有相同的离心率．②与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)共焦点的椭圆系方程为x 2a 2＋k ＋y 2b 2＋k＝1(a >b >0，k ＋b 2>0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．跟踪训练2 (1)(多选)已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程可以为()A.x 2100＋y 284＝1B.x 225＋y 29＝1 C.x 284＋y 2100＝1D.x 29＋y 225＝1 答案BD解析因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝10，c ＝4，解得a ＝5，b 2＝25－16＝9.所以当椭圆的焦点在x 轴上时，椭圆方程为x 225＋y 29＝1；当椭圆的焦点在y 轴上时，椭圆方程为x 29＋y 225＝1.(2)(2020·泉州模拟)已知椭圆的两个焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，M 是椭圆上一点，若MF 1⊥MF 2，|MF 1|·|MF 2|＝8，则该椭圆的方程是() A.x 27＋y 22＝1B.x 22＋y 27＝1 C.x 29＋y 24＝1D.x 24＋y 29＝1 答案C解析设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，因为MF 1⊥MF 2，|MF 1|·|MF 2|＝8，|F 1F 2|＝25， 所以m 2＋n 2＝20，mn ＝8，所以(m ＋n )2＝36，所以m ＋n ＝2a ＝6，所以a ＝3. 因为c ＝5，所以b ＝a 2－c 2＝2.所以椭圆的方程是x 29＋y 24＝1.题型三椭圆的简单几何性质命题点1离心率例3 (1)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为() A.23B.12C.13D.14 答案D解析如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1， 由∠F 1F 2P ＝120°， 可得|PB |＝3，|BF 2|＝1， 故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2， tan ∠P AB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4，所以e ＝c a ＝14.(2)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点作x 轴的垂线，交C 于A ，B 两点，直线l 过C 的左焦点和上顶点．若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，则C 的离心率的取值范围是() A.⎝⎛⎦⎤0，55 B.⎣⎡⎭⎫55，1 C.⎝⎛⎦⎤0，22 D.⎣⎡⎭⎫22，1 答案A解析由题设知，直线l ：x －c ＋yb ＝1，即bx －cy ＋bc ＝0，以AB 为直径的圆的圆心为(c ,0)，根据题意，将x ＝c 代入椭圆C 的方程，得y ＝±b 2a ，即圆的半径r ＝b 2a.又圆与直线l 有公共点，所以2bcb 2＋c 2≤b 2a ，化简得2c ≤b ，平方整理得a 2≥5c 2，所以e ＝c a ≤55.又0<e <1，所以0<e ≤55.故选A. 思维升华求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，转化为e 的关系式，常用方法如下：(1)直接求出a ，c ，利用离心率公式e ＝ca求解．(2)由a 与b 的关系求离心率，利用变形公式e ＝1－b 2a2求解． (3)构造a ，c 的齐次式．离心率e 的求解中可以不求出a ，c 的具体值，而是得出a 与c 的关系，从而求得e .命题点2与椭圆有关的最值(或范围)问题例4设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是()A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞) 答案A解析方法一设焦点在x 轴上，点M (x ，y )． 过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ，则N (x ,0)．故tan ∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN )＝3＋x |y |＋3－x|y |1－3＋x |y |·3－x |y |＝23|y |x 2＋y 2－3.又tan ∠AMB ＝tan120°＝－3， 且由x 23＋y 2m ＝1，可得x 2＝3－3y 2m ，则23|y |3－3y 2m ＋y 2－3＝23|y |⎝⎛⎭⎫1－3m y 2＝－ 3. 解得|y |＝2m 3－m.又0<|y |≤m ，即0<2m3－m ≤m ，结合0<m <3解得0<m ≤1.对于焦点在y 轴上的情况，同理亦可得m ≥9. 则m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞).故选A. 方法二当0<m <3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b ≥tan60°＝3，即3m≥3，解得0<m ≤1.当m >3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b ≥tan60°＝3，即m 3≥3，解得m ≥9. 故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． 故选A.思维升华利用椭圆的简单几何性质求值或范围的思路(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系． (2)将所求范围用a ，b ，c 表示，利用a ，b ，c 自身的范围、关系求范围．跟踪训练3 (1)(2020·济南质检)设椭圆E 的两焦点分别为F 1，F 2，以F 1为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与E 交于P ，Q 两点．若△PF 1F 2为直角三角形，则E 的离心率为() A.2－1B.5－12 C.22D.2＋1 答案A解析不妨设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，如图所示，∵△PF 1F 2为直角三角形，∴PF 1⊥F 1F 2，又|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 2|＝22c ，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2c ＋22c ＝2a ，∴椭圆E 的离心率e ＝ca ＝2－1.故选A.(2)已知点P (0,1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB →，则当m ＝________时，点B 横坐标的绝对值最大． 答案5解析设B (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，∴AP →＝(－x 1,1－y 1)，PB →＝(x 0，y 0－1)． ∵AP →＝2PB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x 1＝2x 0，1－y 1＝2(y 0－1)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2x 0，y 1＝3－2y 0，将A ，B 两点的坐标代入x 24＋y 2＝m ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 204＋y 20＝m ，(－2x 0)24＋(3－2y 0)2＝m ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋4y 20＝4m ，x 20＋(3－2y 0)2＝m ，两式相减，得y 0＝14m ＋34.∴x 20＝4m －4y 20＝－14m 2＋52m －94，m >1， ∴当m ＝－522×⎝⎛⎭⎫－14＝5时，x 20取得最大值，此时|x 0|最大． 课时精练1．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且满足短半轴长为25的椭圆方程是() A.x 225＋y 220＝1B.x 220＋y 225＝1C.x 220＋y 245＝1D.x 280＋y 285＝1 答案B解析由9x 2＋4y 2＝36可得x 24＋y 29＝1，所以所求椭圆的焦点在y 轴上，且c 2＝9－4＝5，b ＝25，a 2＝25，所以所求椭圆方程为x 220＋y 225＝1.2．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为()A.12B.33C.22D.24答案C解析依题意可知，c ＝b ， 又a ＝b 2＋c 2＝2c ，∴椭圆的离心率e ＝c a ＝22.3．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为() A.x 264－y 248＝1B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1D.x 264＋y 248＝1 答案D解析设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16>8＝|C 1C 2|，所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，所以a ＝8，c ＝4，b ＝a 2－c 2＝43，故所求动圆圆心M 的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.4．(2021·广东华附、省实、广雅、深中联考)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是()A.⎝⎛⎦⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎤0，33 C.⎣⎡⎭⎫22，1D.⎣⎡⎭⎫33，1 答案D解析设P ⎝⎛⎭⎫a2c ，m ，F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)， 由线段PF 1的中垂线过点F 2得|PF 2|＝|F 1F 2|，即⎝⎛⎭⎫a 2c －c 2＋m 2＝2c ， 得m 2＝4c 2－⎝⎛⎭⎫a 2c －c 2＝－a 4c 2＋2a 2＋3c 2≥0， 即3c 4＋2a 2c 2－a 4≥0，得3e 4＋2e 2－1≥0，解得e 2≥13，又0<e <1，故33≤e <1. 5．(多选)(2021·湖南省衡阳八中月考)对于曲线C ：x 24－k ＋y 2k －1＝1，下面四个说法正确的是()A ．曲线C 不可能是椭圆B ．“1<k <4”是“曲线C 是椭圆”的充分不必要条件C ．“曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆”是“3<k <4”的必要不充分条件D ．“曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆”是“1<k <2.5”的充要条件 答案CD解析对于A ，当1<k <4且k ≠2.5时，曲线C 是椭圆，所以A 错误；对于B ，当k ＝2.5时，4－k ＝k－1，此时曲线C 是圆，所以B 错误；对于C ，若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧4－k >0，k －1>0，k －1>4－k ，解得2.5<k <4，所以“曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆”是“3<k <4”的必要不充分条件，所以C 正确；对于D ，若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧k －1>0，4－k >0，4－k >k －1，解得1<k <2.5，所以D 正确．6．(多选)(2020·海南模拟)设椭圆x 29＋y 23＝1的右焦点为F ，直线y ＝m ()0<m <3与椭圆交于A ，B 两点，则()A ．|AF |＋|BF |为定值B ．△ABF 的周长的取值范围是[]6，12C ．当m ＝32时，△ABF 为直角三角形 D ．当m ＝1时，△ABF 的面积为 6 答案ACD解析设椭圆的左焦点为F ′，则|AF ′|＝|BF |， ∴|AF |＋|BF |＝|AF |＋|AF ′|＝6为定值，A 正确； △ABF 的周长为|AB |＋|AF |＋|BF |，因为|AF |＋|BF |为定值6，∴|AB |的取值范围是(0,6)， ∴△ABF 的周长的取值范围是(6,12)，B 错误；将y ＝32与椭圆方程联立，可解得A ⎝⎛⎭⎫－332，32，B ⎝⎛⎭⎫332，32，又∵F (6，0)，∴AF →·BF →＝⎝⎛⎭⎫6＋332⎝⎛⎭⎫6－332＋⎝⎛⎭⎫322＝0，∴AF ⊥BF ， ∴△ABF 为直角三角形，C 正确；将y ＝1与椭圆方程联立，解得A (－6，1)，B (6，1)， ∴S △ABF ＝12×26×1＝6，D 正确．7．已知椭圆C ：x 225＋y 216＝1，P 为椭圆上任意一点．点A (3，m )⎝⎛⎭⎫m >165，B (－3,0)，则|P A |＋|PB |的最小值为________． 答案36＋m 2解析如图，点P 为线段AB 与椭圆的交点时|P A |＋|PB |最小，其最小值为|AB |＝62＋m 2＝36＋m 2.8．已知椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是________________． 答案(－3,0)或(3,0)解析记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2， 由题意知a ＝5，b ＝3，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.则m ＝|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝25，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5时，等号成立， 即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25. 所以此时点P 的坐标为(－3,0)或(3,0)．9．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 为椭圆的右焦点，AB 为过原点O 的弦，则△ABF 面积的最大值为________． 答案b a 2－b 2解析如图，设E 为椭圆的左焦点，则S △ABF ＝S △AOF ＋S △BOF ＝S △AOF ＋S △AOE ＝S △AEF ≤ba 2－b 2.10．(2019·全国Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________． 答案(3，15)解析不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，|F 1M |2＝(x ＋4)2＋y 2＝64，x >0，y >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝15， 所以M 的坐标为(3，15)．11.如图所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程．解(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22. (2)由题意知A (0，b )，F 2(1,0)，设B (x ，y )，由AF 2→＝2F 2B →，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2(x －1)＝1，2y ＝－b ，解得x ＝32，y ＝－b 2. 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b2＝1. 即94a 2＋14＝1，解得a 2＝3. 所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.12．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．(1)解设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a . 在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos60°＝(m ＋n )2－3mn＝4a 2－3mn ≥4a 2－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝4a 2－3a 2＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)，∴c 2a 2≥14， 即e ≥12.又0<e <1，∴e 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，1.(2)证明由(1)知mn ＝43b 2，∴12PF F S △＝12mn sin60°＝33b 2，即△PF 1F 2的面积只与椭圆的短轴长有关．13．已知F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为()A.3－1B ．2－3C.22D.32 答案A解析∵过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，∴∠F 1MF 2＝90°，|MF 2|＝c ，∵|F 1F 2|＝2c ，∴|MF 1|＝3c ，由椭圆定义可得|MF 1|＋|MF 2|＝3c ＋c ＝2a ，∴椭圆的离心率e ＝21＋3＝3－1. 14．已知椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________．答案15解析如图，左焦点F (－2,0)，右焦点F ′(2,0)．线段PF 的中点M 在以O (0,0)为圆心，2为半径的圆上，因此|OM |＝2.在△FF ′P 中，OM 綊12PF ′，所以|PF ′|＝4.根据椭圆的定义，得|PF |＋|PF ′|＝6，所以|PF |＝2.又因为|FF ′|＝4，所以在Rt △MFF ′中，tan ∠PFF ′＝|MF ′||MF |＝|FF ′|2－|MF |2|MF |＝15， 即直线PF 的斜率是15.15．(多选)(2020·德州模拟)1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ,2c ，下列结论正确的是()A ．卫星向径的取值范围是[]a －c ，a ＋cB ．卫星在左半椭圆弧上的运行时间大于其在右半椭圆弧上的运行时间C ．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D ．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小答案ABD解析根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[]a －c ，a ＋c ，A 正确；当卫星在左半椭圆弧上运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，速度更慢，运行时间更长，B 正确； a －c a ＋c ＝1－e 1＋e ＝21＋e－1，当比值越大，则e 越小，椭圆轨道越圆，C 错误． 根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D 正确．16．(2021·商洛模拟)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .解(1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2.设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝()2＋22＋()2－22＝23，所以c ＝3，从而b ＝22－()32＝1，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)连接F 1Q ，如图所示，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a . 从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|， 有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.设|PF 1|＝m ，所以|QF 1|＝4a －2m ，|QF 2|＝2m －2a ， |PF 2|＝2a －m ，又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，所以⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，|QF 1|＝2|PF 1|， 即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋()2a －m 2＝4c 2，4a －2m ＝2m ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝64m ，a ＝2＋24m ，所以e ＝c a ＝64m 2＋24m ＝6－ 3.。

课时作业58随机事件的概率一、选择题1．一个盒子内装有红球、白球、黑球三种球，其数量分别为3,2,1，从中任取两球，则互斥而不对立的两个事件为(D)A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；红球、黑球各一个解析：红球、黑球各取一个，则一定取不到白球，故“至少有一个白球”“红球、黑球各一个”为互斥事件，又任取两球还包含“两个红球”这个事件，故不是对立事件．2．(2018·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(B)A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7解析：设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.45－0.15＝0.4.故选B.3．甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，则下列说法正确的是(A)A ．甲获胜的概率是16 B ．甲不输的概率是12 C ．乙输了的概率是23D ．乙不输的概率是12解析：“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是P ＝1－12－13＝16，故A 正确；“乙输了”等于“甲获胜”，其概率为16，故C 不正确；设事件A 为“甲不输”，则A 是“甲胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P (A )＝16＋12＝23(或设事件A 为“甲不输”，则A 是“乙获胜”的对立事件，所以P (A )＝1－13＝23)，故B 不正确；同理，“乙不输”的概率为56，故D 不正确．4．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如表：较满意”或“满意”的概率是( C )A.715B.25C.1115D.1315解析：由题意，n ＝4 500－200－2 100－1 000＝1 200，所以对网上购物“比较满意”或“满意”的人数为1 200＋2 100＝3 300，由古典概型概率公式可得对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为3 3004 500＝1115.5．同学聚会上，某同学从《爱你一万年》《十年》《父亲》《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未被选取的概率为( B )A.13B.12C.23D.56解析：分别记《爱你一万年》《十年》《父爱》《单身情歌》为A 1，A 2，A 3，A 4，从这四首歌中选出两首歌进行表演的所有可能的结果为A 1A 2，A 1A 3，A 1A 4，A 2A 3，A 2A 4，A 3A 4，共6个，其中A 1未被选取的结果有3个，所以所求概率P ＝36＝12.故选B.6．(2019·浏阳一中模拟)公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是3.141 592 6<π<3.141 592 7.为纪念祖冲之在圆周率上的成就，把3.141 592 6称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们从小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6中随机选取2位数字，整数部分3不变，那么得到的数大于3.14的概率为( A )A.2831B.1921C.2231D.1721解析：选择数字的总的方法有5×6＋1＝31(种)，其中得到的数不大于3.14的数为3.11,3.12,3.14，所以得到的数大于3.14的概率为P ＝1－331＝2831.故选A.二、填空题7．甲、乙、丙三人站成一排照相，甲排在最左边的概率是13. 解析：甲、乙、丙三人站成一排照相从左到右的站法有甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6种，其中甲排在最左边的站法为2种，所以甲排在最左边的概率是26＝13.8．掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B 发生的概率为23.解析：掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P (A )＝26＝13，P (B )＝46＝23，所以P (B )＝1－P (B )＝1－23＝13，显然A 与B 互斥，从而P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝13＋13＝23.9．一根绳子长6米，绳子上有5个节点将绳子6等分，现从5个节点中随机选一个将绳子剪断，则所得的两段绳长均不小于2米的概率为35.解析：从5个节点中随机选一个将绳子剪断，有5种剪法，所得的两段绳子长均不小于2米的剪法有3种，所以所得的两段绳子均不小于2米的概率为35.10．“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9 600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有6_912人．解析：在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为1－1450＝1825，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有9 600×1825＝6 912(人)．三、解答题11.如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的人数612181212选择L2的人数041616 4(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解：(1)共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，用频率估计概率，可得所求概率为0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得所求各频率为(3)记事件A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；记事件B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)>P(A2)，故甲应选择L1；P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P(B2)>P(B1)，故乙应选择L2.12．若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝4a －5，则实数a 的取值范围是( D )A.⎝⎛⎭⎪⎫54，2 B.⎝⎛⎭⎪⎫54，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，32 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤54，43 解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧0<P (A )<1，0<P (B )<1，P (A )＋P (B )≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<2－a <1，0<4a －5<1，3a －3≤1，解得54<a ≤43.13．若A ，B 互为对立事件，其概率分别为P (A )＝4x ，P (B )＝1y ，则x ＋y 的最小值为9.解析：由题意，x >0，y >0，4x ＋1y ＝1.则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋1y ＝5＋⎝⎛⎭⎪⎫4y x ＋x y ≥5＋24y x ·x y ＝9，当且仅当x ＝2y 时等号成立，故x ＋y 的最小值为9.14．(2019·成都诊断性检测)某部门为了解该企业在生产过程中的用水量情况，对日用水量做了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机抽取12天的日用水量的数据作为样本，得到的统计结果如下表：(单位：吨) 频数 3 6 m 频率n0.5p(1)(2)已知样本中日用水量在[80,90)内的这6个数据分别为83,85,86,87,88,89.从这6个数据中随机抽取2个，求抽取的2个数据中至少有一个大于86的概率．解：(1)∵3＋6＋m ＝12，∴m ＝3，∴n ＝312＝14，p ＝m 12＝312＝14.∴m ＝3，n ＝p ＝14.(2)从这6个数据中随机抽取2个数据的情况有：{83,85}，{83,86}，{83,87}，{83,88}，{83,89}，{85,86}，{85,87}，{85,88}，{85,89}，{86,87}，{86,88}，{86,89}，{87,88}，{87,89}，{88,89}，共15种．其中2个数据都小于或等于86的情况有{83,85}，{83,86}，{85,86}，共3种．故抽取的2个数据中至少有一个大于86的概率P ＝1－315＝45. 尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 15．(2019·山西太原一模)某快递公司收取快递费用的标准如下：质量不超过1 kg 的包裹收费10元；质量超过1 kg 的包裹，除1 kg 收费10元之外，超过1 kg 的部分，每1 kg(不足1 kg ，按1 kg 计算)需再收5元．该公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：包裹件数范围 0～100 101～200 201～300 301～400 401～500 包裹件数 (近似处理) 50 150 250 350 450 天数6630126两个包裹寄出，求该人支付的快递费不超过30元的概率；(2)该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用．前台工作人员每人每天揽件不超过150件，工资100元，目前前台有工作人员3人，那么公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润是否更有利？解：(1)由题意，寄出方式有以下三种可能：所有3种可能中，有1种可能快递费未超过30元，根据古典概型概率计算公式，所求概率为13.(2)由题目中的天数得出频率，如下：若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司每日利润为260×5－3×100＝1 000(元)；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润为235×5－2×100＝975(元)．综上，公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

考点58 随机事件的概率与古典概型1．设事件A ，B ，已知P (A )＝15，P (B )＝13，P (A ∪B )＝815，则A ，B 之间的关系一定为( )A ．两个任意事件B ．互斥事件C ．非互斥事件D ．对立事件【★答案★】B【解析】因为P (A )＋P (B )＝15＋13＝815＝P (A ∪B )，所以A ，B 之间的关系一定为互斥事件．2．小明从某书店购买5本不同的教辅资料，其中语文2本，数学2本，物理1本．若将这5本书随机并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( ) A.15 B ．25C ．35D ．45【★答案★】B【解析】语文、数学只有一科的两本书相邻，有2A 22A 22A 23＝48种摆放方法；语文、数学两科的两本书都相邻，有A 22A 22A 33＝24种摆放方法；而五本不同的书排成一排总共有A 55＝120种摆放方法．故所求概率为1－48＋24120＝25.故选B. 3．做抛掷两颗骰子的试验，用(x ，y )表示结果，其中x 表示第一颗骰子正面朝上的点数，y 表示第二颗骰子正面朝上的点数，则x ＋y ＞10的概率是( ) A.25 B ．512C ．16D ．112【★答案★】D【解析】(x ，y )的所有基本事件共有6×6＝36(个)，事件“x ＋y ＞10”包含(5,6)，(6,5)，(6,6)，共3个基本事件．根据古典概型的概率计算公式可知，x ＋y ＞10的概率是112.故选D.4．某校食堂使用除面值外，大小、手感完全一样的餐票，某同学口袋中有2张一元餐票，3张两元餐票，1张五元餐票，他从口袋中随机摸出2张餐票，则这2张餐票的面值之和不少于4元的概率为( ) A.715 B ．815C ．35D ．23【★答案★】B【解析】该同学从口袋中随机摸出2张餐票，总的基本事件数是C 26＝15，若这2张餐票的面值之和不少于4元，则这2张餐票为2张两元的或1张两元的、1张五元的或1张一元的、1张五元的，包含的基本事件数为C 23＋C 13C 11＋C 12C 11＝8，根据古典概型的概率计算公式可知，这2张餐票的面值之和不少于4元的概率为815. 5．在2,0,1,5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为( ) A.34 B ．58C ．12D ．14【★答案★】C【解析】由题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,5)，(1,2,5)，(0,1,5)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P ＝12.6．一袋中装有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从袋中一次性随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为( ) A.35 B ．45C ．23D ．56【★答案★】D【解析】从袋中一次性随机摸出2只球的所有可能情况有C 24＝6(种)，设“这2只球颜色不同”为事件N ，这2只球颜色可能为1白1红，1白1黄，1红1黄，事件N 包含的情况C 11C 11＋C 11C 12＋C 11C 12＝5(种)，故这2只球颜色不同的概率P (N )＝56.7．袋子中装有大小相同的5个小球，分别有2个红球、3个白球．现从中随机抽取2个小球，则这2个小球中既有红球也有白球的概率为( ) A.34 B ．710C.45D ．35【★答案★】D【解析】设2个红球分别为a ，b,3个白球分别为A ，B ，C ，从中随机抽取2个，则有(a ，b )，(a ，A )，(a ，B )，(a ，C )，(b ，A )，(b ，B )，(b ，C )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共10个基本事件，其中既有红球也有白球的基本事件有6个，则所求概率为P ＝610＝35.8．从集合A ＝{－3，－2，－1,2}中随机选取一个数记为k ，从集合B ＝{－2,1,2}中随机选取一个数记为b ，则直线y ＝kx ＋b 不经过第四象限的概率为( ) A.112B ．1642【★答案★】B【解析】根据题意可知，总的基本事件(k ，b )共有4×3＝12个，直线y ＝kx ＋b 不经过第四象限，则k ＞0，b ＞0，包含的基本事件有(2,1)，(2,2)，共2个，根据古典概型的概率计算公式可知直线y ＝kx ＋b 不经过第四象限的概率P ＝212＝16.故选B.9．已知向量a ＝(x ，y )，b ＝(1，－2)，从6张大小相同，分别标有号码1,2,3,4,5,6的卡片中，有放回地抽取两张，x ，y 分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足a·b ＞0的概率是( ) A.112 B ．34C ．15D ．16【★答案★】D【解析】设(x ，y )表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有6×6＝36个．a·b ＞0，即x －2y ＞0，满足x －2y ＞0的基本事件有(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(6,2)，共6个，所以所求概率P ＝636＝16.故选D.10．有10件产品，其中有2件次品，每次抽取1件检验，抽检后不放回，共抽2次．事件“抽到1件正品，1件次品”发生的概率是( ) A.3281 B ．512C ．12D ．1645【★答案★】D【解析】由题意知，这10件产品中有2件次品，8件正品，每次抽取1件，抽检后不放回，共抽2次，共有A 210＝90种情况，其中事件“抽到1件正品，1件次品”包含的情况有A 22C 18C 12＝32种情况，根据古典概型的概率计算公式知，事件“抽到1件正品，1件次品”发生的概率P ＝3290＝1645.11．如图，在A ，B 两点间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4，现从中任取三条且使每条网线通过最大信息量，则选取的三条网线由A 到B 可通过的信息总量为6的概率是( )A.14B ．1323【★答案★】A【解析】设这6条网线从上到下分别是a ，b ，c ，d ，e ，f ，任取3条有：(a ，b ，c )，(a ，b ，d )，(a ，b ，e )，(a ，b ，f )，(a ，c ，d )，(a ，c ，e )，(a ，c ，f )，(a ，d ，e )，(a ，d ，f )，(a ，e ，f )，(b ，c ，d )，(b ，c ，e )，(b ，c ，f )，(b ，d ，e )，(b ，d ，f )，(b ，e ，f )，(c ，d ，e )，(c ，d ，f )，(c ，e ，f )，(d ，e ，f )，共20个不同的取法，选取的三条网线由A 到B 可通过的信息总量为6的取法有：(a ，b ，f )，(a ，c ，e )，(a ，d ，e )，(b ，c ，e )，(b ，d ，e )，共5个不同的取法，所以选取的三条网线由A 到B 可通过的信息总量为6的概率是14.12．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2x ＋1，若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( ) A.79 B ．13C ．59D ．23【★答案★】D【解析】对函数f (x )求导可得f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b 2，要满足题意需x 2＋2ax ＋b 2＝0有两个不等实根，即Δ＝4(a 2－b 2)＞0，即a ＞b .又(a ，b )的取法共有9种，其中满足a ＞b 的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种，故所求的概率P ＝69＝23.13．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当a ＞b ，b ＜c 时，称该三位自然数为“凹数”(如213,312等)．若a ，b ，c ∈{1,2,3,4}，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是( ) A.16 B ．524C ．13D ．724【★答案★】C【解析】由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理由1,2,4组成的三位自然数共6个；由1,3,4组成的三位自然数也是6个；由2,3,4组成的三位自然数也是6个．所以共有6＋6＋6＋6＝24(个)．当b ＝1时，有214,213,314,412,312,413，共6个“凹数”；当b ＝2时，有324,423，共2个“凹数”．所以这个三位数为“凹数”的概率P ＝6＋224＝13.14．记连续投掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角为α，则α∈⎝⎛⎭⎫0，π4的概率为( ) A.518B ．512212【★答案★】B【解析】由题意知，向量a ＝(m ，n )共有6×6＝36(个)，其中满足向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，即n ＜m 的(m ，n )可根据n 的具体取值进行分类计数：第一类，当n ＝1时，m 有5个不同的取值；第二类，当n ＝2时，m 有4个不同的取值；第三类，当n ＝3时，m 有3个不同的取值；第四类，当n ＝4时，m 有2个不同的取值；第五类，当n ＝5时，m 有1个取值．因此满足向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角α∈⎝⎛⎭⎫0，π4的(m ，n )共有1＋2＋3＋4＋5＝15(个)，所以所求概率为1536＝512. 15．在所有的两位数10～99中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是________． 【★答案★】23【解析】所有两位数共有90个，其中2的倍数有45个，3的倍数有30个，6的倍数有15个，所以能被2或3整除的共有45＋30－15＝60(个)，所以所求概率是6090＝23.16．在三行三列的方阵⎝⎛⎭⎪⎪⎫a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33中有9个数a ij(i ＝1,2,3，j ＝1,2,3)，从中任取3个数，则这3个数中至少有2个数位于同行或同列的概率是( )A.37 B ．47C ．114D ．1314【★答案★】D【解析】从9个数中任取3个数共有C 39＝84种不同的取法．若3个数中有2个数位于同行或同列，则有C 19C 14C 14A 22＝72种不同的取法，若3个数均位于同行或同列，则有6种不同的取法．设事件M 为“这3个数中至少有2个数位于同行或同列”，则事件M 包含的取法共有72＋6＝78(种)，根据古典概型的概率计算公式得P (M )＝7884＝1314.故选D. 17．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为“出现奇数点”，事件B 为“出现2点”，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则“出现奇数点或2点”的概率为________． 【★答案★】23【解析】因为事件A 与事件B 是互斥事件，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝12＋16＝23.18．为了庆祝五四青年节，某书店制作了3种不同的精美卡片，每本书中随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现某人购买了5本书，则其获奖的概率为________． 【★答案★】5081【解析】“获奖”即每种卡片至少一张，而5＝1＋1＋3＝1＋2＋2，有3种卡片，购买5本书，基本事件总数为35，故所求概率为3C 15C 14C 33＋3C 15C 24C 2235＝5081.19．同时掷两枚质地均匀的骰子． (1)向上的点数相同的概率为________； (2)向上的点数之和小于5的概率为________． 【★答案★】(1)16 (2)16【解析】(1)同时掷两枚骰子共有36种情况，其中向上点数相同的有6种情况，其概率为636＝16；(2)向上点数之和小于5的有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6种情况，其概率为636＝16.20．高一年级某班有63名学生，现要选一名学生标兵，每名学生被选中是等可能的，若“选出的标兵是女生”的概率是“选出的标兵是男生”的概率的1011，则这个班的男生人数为________．【★答案★】33【解析】由题意可设该班的男生人数为x ，则女生人数为63－x ，因为每名学生被选中是等可能的，根据古典概型的概率计算公式知，“选出的标兵是女生”的概率是63－x 63，“选出的标兵是男生”的概率是x63，故63－x 63＝1011×x63，解得x ＝33，故这个班的男生人数为33. 21．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________． 【★答案★】35 1315【解析】“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为P ＝11＋10＋7＋86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝35.“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”．故他属于不超过2个小组的概率是P ＝1－86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝1315.22．从2本不同的数学书和2本不同的语文书中任意抽出2本书(每本书被抽中的机会相等)，求抽出的书是同一学科的概率．【解析】从2本不同的数学书和2本不同的语文书中任意抽出2本书共有6种不同的取法，其中抽出的书是同一学科的取法共有2种，因此所求的概率等于26＝13.23．(2018郑州质量预测)在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1,2,3,4,5.甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率； (2)若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6，则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？【解析】用(x ，y )(x 表示甲摸到的数字，y 表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25个．(1)设甲获胜的事件为A ，则事件A 包含的基本事件有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共10个．则P (A )＝1025＝25.(2)设甲获胜的事件为B ，乙获胜的事件为C .事件B 所包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共10个． 则P (B )＝1025＝25，所以P (C )＝1－P (B )＝35.因为P (B )≠P (C )，所以这样规定不公平．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

课时作业(五十八) 随机事件的概率A 级1．从1,2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是( )A．①B．②④C．③D．①③2．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.则事件“抽到的不是一等品”的概率为()A．0.7 B．0.65C．0.35 D．0.33．某城市2012年的空气质量状况如表所示：污染指数T [0,30](30,60](60,100](100,110](110,130](130,140]概率P1101613730215130时，空气质量为轻微污染．该城市2011年空气质量达到良或优的概率为( )A.35B.1180C.119D.564．掷一颗质地均匀的骰子，观察所得的点数a，设事件A＝“a为3”，事件B＝“a 为4”，事件C＝“a为奇数”，则下列结论正确的是( )A．A与B为互斥事件B．A与B为对立事件C．A与C为对立事件D．A与C为互斥事件5．掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋B发生的概率为( )A.13B.12C.23D.566．向三个相邻的军火库各投一枚炸弹．击中第一个军火库的概率是0.025，击中另两个军火库的概率各为0.1，并且只要击中一个，另两个也爆炸，则军火库爆炸的概率为________．7．从一堆苹果中任取了20个，并得到它们的质量(单位：克)数据分布表如下： 分组 [90,100)[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]频数12310318．(2013·宁波模拟)已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是17，从中取出2粒都是白子的概率是1235，现从中任意取出2粒恰好是同色的概率是________．9.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39、32、33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一名成员，他至少参加2个小组的概率是________，他至多参加2个小组的概率为________．10．某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：医生人数 0 1 234 5人及以上概率0.10.16x y 0.2z(1)(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y 、z 的值．11．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为14，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率是12，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？B 级1．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．2．(2011·陕西卷)如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择L 1的人数 6 12 18 12 12 选择L 2的人数416164(2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．答案：课时作业(五十八)A 级1．C 从1,2，…，9中任取2个数字包括一奇一偶、二奇、二偶共三种互斥事件，所以只有③中的两个事件才是对立的．2．C 事件“抽到的不是一等品”与事件A 是对立事件，由于P (A )＝0.65，所以由对立事件的概率公式得“抽到的不是一等品”的概率为P ＝1－P (A )＝1－0.65＝0.35.3．A 由题意知，0≤T ≤100时，空气质量达到良或优，故空气质量为优或良的概率为110＋16＋13＝35. 4．A 依题意得，事件A 、B 为互斥事件，A 、C 不是互斥事件，A 、C 不是对立事件． 5．C 由于事件总数为6，故P (A )＝26＝13.P (B )＝46＝23，从而P (B )＝1－P (B )＝1－23＝13，且A 与B 互斥，故P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝13＋13＝23.故选C. 6．解析： 设A 、B 、C 分别表示击中第一、二、三个军火库，易知事件A 、B 、C 彼此互斥，且P (A )＝0.025，P (B )＝P (C )＝0.1.设D 表示军火库爆炸，则P (D )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225. 所以军火库爆炸的概率为0.225. 答案： 0.2257．解析： 由表中可知这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数为：20－1－2－3＝14，故约占苹果总数的1420＝0.70，即70%.答案： 708．解析： 从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与取2粒黑子的概率的和，即为17＋1235＝1735.答案：17359．解析： 随机选一名成员，恰好参加2个组的概率P (A )＝1160＋760＋1060＝715，恰好参加3个组的概率P (B )＝860＝215，则他至少参加2个组的概率为P (A )＋P (B )＝715＋215＝35，至多参加2个组的概率为1－P (B )＝1－215＝1315.答案： 35 131510．解析： (1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，得0.1＋0.16＋x ＝0.56，∴x ＝0.3.(2)由派出医生最多4人的概率为0.96，得0.96＋z ＝1， ∴z ＝0.04.由派出医生最少3人的概率为0.44，得y ＋0.2＋z ＝0.44， ∴y ＝0.44－0.2－0.04＝0.2.11．解析： 分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A 、B 、C 、D .由于A 、B 、C 、D 为互斥事件，根据已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 14＋P B ＋P C ＋P D ＝1P B ＋P C ＝512PC ＋PD ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧P B ＝14PC ＝16PD ＝13故得到黑球、黄球、绿球的概率分别是14，16，13.B 级1．解析： (1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100，P (C )＝501 000＝120. 故事件A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120. (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C .∵A 、B 、C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝1＋10＋501 000＝611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝⎛⎭⎪⎫11 000＋1100＝9891 000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.2．解析： (1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，∴用频率估计相应的概率为0.44.(2)选择L 1的有60人，选择L 2的有40人， 故由调查结果得频率为：所用时间(分钟)10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 L 1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 L 2的频率0.10.40.40.1121212择L 1和L 2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P (A 1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P (A 2)＝0.1＋0.4＝0.5，P (A 1)>P (A 2)，∴甲应选择L 1.P (B 1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8， P (B 2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P (B 1)<P (B 2)，∴乙应选择L 2.。

课时规范练58随机事件的概率基础巩固组1.从16个同类产品(其中有14个正品,2个次品)中任意抽取3个,下列事件中概率为1的是()A.三个都是正品B.三个都是次品C.三个中至少有一个是正品D.三个中至少有一个是次品2.(2017江苏南通模拟)从1,2,…,9中任取两个数,其中:①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个数都是奇数;③至少有一个奇数和两个数都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述事件中,是对立事件的是()A.①B.②④C.③D.①③3.用随机数表法从1 000名学生(男生250人)中抽取200人进行评教,某男生被抽到的概率是()A.0.1B.0.2C.0.25D.0.84.把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人,则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”()A.是对立事件B.是不可能事件C.是互斥事件但不是对立事件D.不是互斥事件5.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A{抽到一等品},事件B{抽到二等品},事件C{抽到三等品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为()A.0.7B.0.65C.0.35D.0.5 〚导学号21500776〛6.(2017江苏淮安二调)某用人单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人,若每名应聘者被录用的机会均等,则甲、乙两人中至少有1人被录用的概率为.7.(2017云南昆明质检)中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为,乙夺得冠军的概率为,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为.8.某班选派5人,参加学校举行的数学竞赛,获奖的人数及其概率如下:(1)若获奖人数不超过2人的概率为0.56,求x的值;(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96,最少3人的概率为0.44,求y,z的值.9.一盒中装有各色球共12个,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.从中随机取出1个球,求:(1)取出1个球是红球或黑球的概率;(2)取出1个球是红球、黑球或白球的概率.〚导学号21500777〛综合提升组10.(2017江苏南京模拟)有两张卡片,一张的正反面分别写着数字0与1,另一张的正反面分别写着数字2与3,将两张卡片排在一起组成两位数,则所组成的两位数为奇数的概率是()A. B. C. D.11.(2017云南质检)在2,0,1,5这组数据中,随机取出三个不同的数,则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为()A. B. C. D.12.(2017湖南长沙一模)空气质量指数(Air Quality Index,简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照AQI大小分为六级,0~50为优;51~100为良;101~150为轻度污染;151~200为中度污染;201~300为重度污染;大于300为严重污染.一环保人士从当地某年的AQI记录数据中随机抽取10个,用茎叶图记录如图.根据该统计数据,估计此地该年AQI大于100的天数为.(该年为365天)〚导学号21500778〛13.某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近” 作物株数X之间的关系如下表所示.这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.(1)完成下表,并求所种作物的平均年收获量;(2)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48 kg的概率.14.假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,结果统计如图:甲品牌乙品牌(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率;(2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200小时,试估计该产品是甲品牌的概率.〚导学号21500779〛创新应用组15.(2017辽宁大连一模,理8)将一枚硬币连续抛掷n次,若使得至少有一次正面向上的概率不小于,则n的最小值为()A.4B.5C.6D.716.某公司生产产品A,产品质量按测试指标分为:大于或等于90为一等品,大于或等于80小于90为二等品,小于80为三等品,生产一件一等品可盈利50元,生产一件二等品可盈利30元,生产一件三等品亏损10元.现随机抽查熟练工人甲和新工人乙生产的这种产品各100件进行检测,检测结果统计如下表:根据上表统计结果得到甲、乙两人生产产品A为一等品、二等品、三等品的频率,用频率去估计他们生产产品A为一等品、二等品、三等品的概率.(1)计算甲生产一件产品A,给工厂带来盈利不小于30元的概率;(2)若甲一天能生产20件产品A,乙一天能生产15件产品A,估计甲、乙两人一天生产的35件产品A 中三等品的件数.〚导学号21500780〛参考答案课时规范练58随机事件的概率1.C在16个同类产品中,只有2个次品,抽取3个产品,A是随机事件,B是不可能事件,C是必然事件,D是随机事件,又必然事件的概率为1,故C正确.2.C从9个数字中取两个数有三种情况:一奇一偶,两奇,两偶,故只有③中两事件是对立事件.3.B该男生被抽到的概率是=0.2,故选B.4.C显然两个事件不可能同时发生,但两者可能同时不发生,因为红牌可以分给乙、丙两人,综上,这两个事件为互斥但不对立事件.5.C∵“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件,∴所求概率P=1-P(A)=0.35.6.某单位从4名应聘者甲、乙、丙、丁中招聘2人,这4名应聘者被录用的机会均等,被录用的2人有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁,共6种情况,甲、乙两人中至少有1人被录用有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁,共5种情况,所以甲、乙两人中至少有1人被录用的概率P=.7.因为事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算,即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为.8.解记事件“在竞赛中,有k人获奖”为A k(k∈N,k≤5),则事件A k彼此互斥.(1)∵获奖人数不超过2人的概率为0.56,∴P(A0)+P(A1)+P(A2)=0.1+0.16+x=0.56.解得x=0.3.(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96,得P(A5)=1-0.96=0.04,即z=0.04.由获奖人数最少3人的概率为0.44,得P(A3)+P(A4)+P(A5)=0.44,即y+0.2+0.04=0.44,解得y=0.2.9.解记事件A1={任取1个球为红球},A2={任取1个球为黑球},A3={任取1个球为白球},A4={任取1个球为绿球},则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(A4)=.(方法一)(利用互斥事件的概率公式求概率)根据题意,知事件A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥事件的概率公式,可知,(1)取出1个球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=.(2)取出1个球为红球、黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=.(方法二)(利用对立事件求概率的方法)(1)由解法一知,取出1个球为红球或黑球的对立事件为取出1个球为白球或绿球,即A1∪A2的对立事件为A3∪A4.所以取出1个球是红球或黑球的概率为P(A1∪A2)=1-P(A3∪A4)=1-P(A3)-P(A4)=1-.(2)A1∪A2∪A3的对立事件为A4,所以P(A1∪A2∪A3)=1-P(A4)=1-.10.C将两张卡片排在一起组成两位数,则所组成的两位数有12,13,20,21,30,31,共6个,两位数为奇数的有13,21,31,共3个,故所组成的两位数为奇数的概率为.11.C分析题意可知,共有(0,1,2),(0,2,5),(1,2,5),(0,1,5)4种取法,符合题意的取法有2种,故所求概率P=.12.146该样本中AQI大于100的频数是4,频率为,由此估计此地该年AQI大于100的概率为,故估计此地该年AQI大于100的天数为365×=146(天).13.解 (1)所种作物的总株数为1+2+3+4+5=15,其中“相近”作物株数为1的作物有2株,“相近”作物株数为2的作物有4株,“相近”作物株数为3的作物有6株,“相近”作物株数为4的作物有3株,列表如下:所种作物的平均年收获量为=46(kg).(2)由(1)知,P(Y=51)=,P(Y=48)=.故在所种作物中随机选取一株,它的年收获量至少为48 kg的概率为P(Y≥48)=P(Y=51)+P(Y=48)=.14.解 (1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为,用频率估计概率,可得甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.(2)根据频数分布图可得寿命不低于200小时的两种品牌产品共有75+70=145(个),其中甲品牌产品有75个,所以在样本中,寿命不低于200小时的产品是甲品牌的频率是.据此估计已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为.15.A由题意,得1-,∴n≥4,∴n的最小值为4,故选A.16.解 (1)甲生产一件产品A,给工厂带来盈利不小于30元的概率P=1-.(2)估计甲一天生产的20件产品A中有20×=2(件)三等品,估计乙一天生产的15件产品A中有15×=3(件)三等品,所以估计甲、乙两人一天生产的35件产品A中共有5件三等品.。

课时过关检测(五十八) 随机事件的概率与古典概型A 级——夯基保分练1．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )A ．0.95B ．0.97C ．0.92D ．0.08解析：选C 记抽检的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－5%－3%＝92%＝0.92.2．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B 发生的概率为( )A.13B.12C.23D.56解析：选C 掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P (A )＝26＝13，P (B )＝46＝23，所以P (B )＝1－P (B )＝1－23＝13，因为B 表示“出现5点或6点”的事件，所以事件A 与B 互斥，从而P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝13＋13＝23.3.(2019·江西九江统考)洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图，若从4个阴数中随机抽取2个数，则能使这两数与居中阳数之和等于15的概率是( )A.12B.23C.14D.13解析：选D 从4个阴数中随机抽取2个数，共有6种取法，其中满足题意的取法有两种：4,6和2,8，∴能使这2个数与居中阳数之和等于15的概率P ＝26＝13.故选D.4．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为( )A.110B.15C.310D.25解析：选C 将5张奖票不放回地依次取出共有A 55＝120(种)不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票，共有C 23C 12A 33＝36(种)取法，所以P ＝36120＝310.5．(多选)某展会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能的随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计了两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P 1，P 2，则( )A ．P 1·P 2＝16B ．P 1＝P 2＝12C ．P 1＋P 2＝56D ．P 1＞P 2解析：选ACD 三辆车的出车顺序可能为123,132,213,231,312,321，共6种．方案一坐到“3号”车可能为132,213,231，共3种，所以P 1＝36＝12；方案二坐到“3号”车可能为312,321，共2种，所以P 2＝26＝13.所以P 1＞P 2，P 1·P 2＝16，P 1＋P 2＝56，故选A 、C 、D.6．(多选)(2019·山东烟台期中)某学校共有6个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐(选择每个餐厅的概率相同)，则下列结论正确的是( )A ．四人去了四个不同餐厅就餐的概率为518B ．四人去了同一餐厅就餐的概率为11 296C ．四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为25216D ．四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为23解析：选ACD 四人去餐厅就餐的情况共有64种，其中四人去了四个不同餐厅就餐的情况有A 46种，则四人去了四个不同餐厅就餐的概率为A 4664＝518，故A 正确；同理，四人去了同一餐厅就餐的概率为664＝1216，故B 错误；四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为C 24×5264＝25216，故C 正确；设四人中去第一餐厅就餐的人数为ξ，则ξ＝0,1,2,3,4.则P (ξ＝0)＝5464，P (ξ＝1)＝C 145364，P (ξ＝2)＝C 245264，P (ξ＝3)＝C 34×564，P (ξ＝4)＝164，则四人中去第一餐厅就餐的人数的分布列为ξ 0 123 4 P5464C 145364C 245264C 34×564164则四人中去一餐厅就餐的人数的期望E (ξ)＝0×5464＋1×C 145364＋2×C 245264＋3×C 34×564＋4×164＝23，故D 正确． 7．(2019·南昌市第一次模拟测试)2021年广东新高考将实行3＋1＋2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率为________．解析：由题意，从政治、地理、化学、生物中四选二，共有C 24＝6(种)方法，所以他们选课相同的概率为16.答案：168．(一题两空)一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为715，取得两个绿玻璃球的概率为115，则取得两个同色玻璃球的概率为________；至少取得一个红玻璃球的概率为________．解析：由于“取得两个红玻璃球”与“取得两个绿玻璃球”是互斥事件，取得两个同色玻璃球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色玻璃球的概率为P ＝715＋115＝815. 由于事件A “至少取得一个红玻璃球”与事件B “取得两个绿玻璃球”是对立事件，则至少取得一个红玻璃球的概率为P (A )＝1－P (B )＝1－115＝1415. 答案：815 14159．(2019·唐山市摸底考试)在边长为1的正五边形的五个顶点中，任取两个顶点，则两顶点间距离大于1的概率为________．解析：如图，正五边形ABCDE 的边长为1，任取两个顶点，有AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE ，共10种可能，其中两顶点间距离为1的情况有AB ，BC ，CD ，DE ，EA ，余下的情况两顶点间距离均大于1，各有5种可能，所以任取两顶点，两顶点间距离大于1的概率P ＝510＝12.答案：1210．(2019·昆明市诊断测试)现分配3名师范大学生参加教学实习，有4所学校可供选择，每名学生随机选择一所学校，则恰有2名学生选择同一所学校的概率为________．解析：3名大学生各从4所学校中任选一所共有43种选法，恰有2名学生选择同一所学校共有C 23A 24种选法，所以所求的概率P ＝C 23A 2443＝916.答案：91611．在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； (3)求五名志愿者中仅有一人参加A 岗位服务的概率．解：(1)记“甲、乙两人同时参加A 岗位服务”为事件E A ，那么P (E A )＝A 33C 25A 44＝140，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140.(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E ，那么P (E )＝A 44C 25A 44＝110，所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P (E )＝1－P (E )＝910.(3)因为有两人同时参加A 岗位服务的概率P 2＝C 25A 33C 25A 44＝14，所以仅有一人参加A 岗位服务的概率P 1＝1－P 2＝34.12．(2020·陕西咸阳模拟)交强险是车主须为机动车购买的险种．若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基本保费)是a 元，在下一年续保时，实行费率浮动制，其保费与上一年度车辆发生道路交通事故情况相联系，具体浮动情况如下表：据统计，某地使用某一品牌6座以下的车大约有5 000辆，随机抽取了100辆车龄满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保情况，统计得到如下表格：以这100辆该品牌汽车的投保类型的频率视为概率，按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格为a ＝950元．(1)求m 的值，并估计该地本年度使用这一品牌6座以下汽车交强险费大于950元的车辆数；(2)试估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的交强险保费不超过950元的概率． 解：(1)m ＝100－50－15－10－3－2＝20.估计该地本年度使用这一品牌6座以下汽车交强险费大于950元的车辆数为5 000×3＋2100＝250.(2)法一：保费不超过950元的类型为A 1，A 2，A 3，A 4， 所求概率为50＋15＋10＋20100＝0.95.法二：保费超过950元的类型为A 5，A 6，概率为3＋2100＝0.05，因此保费不超过950元的概率为1－0.05＝0.95.B 级——提能综合练13．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，其中a ∈{1,2,3,4}，b ∈{1,2,3,4}，且a ，b 取到其中每个数都是等可能的，则直线l ：y ＝x 与双曲线C 的左、右支各有一个交点的概率为( )A.14B.38C.12D.58解析：选B 直线l ：y ＝x 与双曲线C 的左、右支各有一个交点，则ba >1，总基本事件数为4×4＝16，满足条件的(a ，b )的情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个，故概率为38.14．(一题两空)某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如下表．现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下车的可能性是相同的.(1)若甲、乙两人共付费2元，则甲、乙下车方案共有________种； (2)若甲、乙两人共付费4元，则甲比乙先到达目的地的概率为________． 解析：(1)由题意知甲、乙乘坐地铁均不超过3站，前3站设为A 1，B 1，C 1，甲、乙两人共有(A 1，A 1)，(A 1，B 1)，(A 1，C 1)，(B 1，A 1)，(B 1，B 1)，(B 1，C 1)，(C 1，A 1)，(C 1，B 1)，(C 1，C 1)，9种下车方案．(2)设9站分别为A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2，A 3，B 3，C 3，因为甲、乙两人共付费4元，共有甲付1元，乙付3元；甲付3元，乙付1元；甲付2元，乙付2元三类情况．由(1)可知每类情况中有9种方案，所以甲、乙两人共付费4元共有27种方案． 而甲比乙先到达目的地的方案有(A 1，A 3)，(A 1，B 3)，(A 1，C 3)，(B 1，A 3)，(B 1，B 3)，(B 1，C 3)，(C 1，A 3)，(C 1，B 3)，(C 1，C 3)，(A 2，B 2)，(A 2，C 2)，(B 2，C 2)，共12种，故所求概率为1227＝49.所以甲比乙先到达目的地的概率为49.答案：(1)9 (2)4915．(2019·天津高考)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F .享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访.②设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率．解：(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人．(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，E }，{D ，F }，{E ，F }，共15种．②由表格知，符合题意的所有结果为{A ，B }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，F }，{E ，F }，共11种．所以事件M 发生的概率P (M )＝1115.C 级——拔高创新练16．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17.现有甲、乙两人从袋中轮流取球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有1人取到白球时终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的．(1)求袋中原有白球的个数； (2)求取球2次即终止的概率；(3)求甲取到白球的概率．解：(1)设袋中原有n 个白球，从袋中任取2个球都是白球有C 2n ＝n (n －1)2(种)结果，从袋中任取2个球共有C 27＝21(种)结果．由题意知17＝n (n －1)221＝n (n －1)42，所以n (n －1)＝6，解得n ＝3或n ＝－2(舍去)， 即袋中原有3个白球．(2)记“取球2次即终止”为事件A .则P (A )＝C 14C 13A 27＝27.(3)记“甲取到白球”为事件B .“第i 次取到白球”为事件A i ，i ＝1,2,3,4,5.因为甲先取，所以甲只能在第1次，第3次和第5次取球．所以P (B )＝P (A 1∪A 3∪A 5)＝P (A 1)＋P (A 3)＋P (A 5)＝C 13C 17＋A 24C 13A 37＋A 44C 13A 57＝37＋635＋135＝2235.。

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课时达标58 随机事件的概率理[解密考纲]考查随机事件、频率、概率等概念，考查概率的性质和加法公式,常以选择题、填空题的形式出现．一、选择题1．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( D ）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有24种情况，而4位同学都选周六有1种情况,4位同学都选周日有1种情况，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率P＝错误!＝错误!＝错误!，故选D．2．(2017·福建厦门模拟）口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个,从口袋中摸出一个球,摸出白球的概率为0。

23,则摸出黑球的概率为( D ）A．0.45 B．0.67C．0。

64 D．0。

32解析：摸出红球的概率为0.45，摸出白球的概率为0。

23,故摸出黑球的概率P＝1－0。

45－0。

23＝0.32。

3．已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为错误!，乙胜的概率为错误!，则甲胜的概率和甲不输的概率分别为（ C ）A．错误!，错误!B．错误!,错误!C．16，错误!D．错误!,错误!解析：“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲胜”的概率为1－错误!－错误!＝错误!.设“甲不输”为事件A，可看做是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以P(A）＝错误!＋错误!＝错误!错误!.4．分别写有数字1，2,3，4的4张卡片,从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是( D ）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：从写有数字1，2,3，4的4张卡片中随机抽取2张，有12,13,14，23，24,34共6种，取出的2张卡片上的数字之和为奇数的取法有12,14,23，34共4种，取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是错误!＝错误!。

课时规范练58 随机事件的概率一、基础巩固组1.从16个同类产品(其中有14个正品,2个次品)中任意抽取3个,下列事件中概率为1的是()A.三个都是正品B.三个都是次品C.三个中至少有一个是正品D.三个中至少有一个是次品2.(2017江苏南通模拟)从1,2,…,9中任取两个数,其中:①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个数都是奇数;③至少有一个奇数和两个数都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述事件中,是对立事件的是()A.①B.②④C.③D.①③3.用随机数表法从1 000名学生(男生250人)中抽取200人进行评教,某男生被抽到的概率是()A.0.1B.0.2C.0.25D.0.84.把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人,则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”()A.是对立事件B.是不可能事件C.是互斥事件但不是对立事件D.不是互斥事件5.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A{抽到一等品},事件B{抽到二等品},事件C{抽到三等品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为()A.0.7B.0.65C.0.35D.0.5 〚导学号21500776〛6.(2017江苏淮安二调)某用人单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人,若每名应聘者被录用的机会均等,则甲、乙两人中至少有1人被录用的概率为.7.(2017云南昆明质检)中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为,乙夺得冠军的概率为,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为.8.某班选派5人,获奖人数/人0 1 2 3 4 5概率0.1 0.16 x y0.2 z(1)若获奖人数不超过2人的概率为0.56,求x的值;(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96,最少3人的概率为0.44,求y,z的值.9.一盒中装有各色球共12个,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.从中随机取出1个球,求:(1)取出1个球是红球或黑球的概率;(2)取出1个球是红球、黑球或白球的概率.〚导学号21500777〛二、综合提升组10.(2017江苏南京模拟)有两张卡片,一张的正反面分别写着数字0与1,另一张的正反面分别写着数字2与3,将两张卡片排在一起组成两位数,则所组成的两位数为奇数的概率是()A. B. C. D.11.(2017云南质检)在2,0,1,5这组数据中,随机取出三个不同的数,则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为()A. B. C. D.12.(2017湖南长沙一模)空气质量指数(Air Quality Index,简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照AQI大小分为六级,0~50为优;51~100为良;101~150为轻度污染;151~200为中度污染;201~300为重度污染;大于300为严重污染.一环保人士从当地某年的AQI记录数据中随机抽取10个,用茎叶图记录如图.根据该统计数据,估计此地该年AQI大于100的天数为.(该年为365天)〚导学号21500778〛13.某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近” 作物株数X之间的关系如下表所示.这里,1米.X 1 2 3 4Y51 48 45 42(1)完成下表,Y51 48 45 42频数 4(2)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48 kg的概率.14.假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,结果统计如图:甲品牌乙品牌(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率;(2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200小时,试估计该产品是甲品牌的概率.〚导学号21500779〛三、创新应用组15.(2017辽宁大连一模,理8)将一枚硬币连续抛掷n次,若使得至少有一次正面向上的概率不小于,则n的最小值为()A.4B.5C.6D.716.某公司生产产品A,产品质量按测试指标分为:大于或等于90为一等品,大于或等于80小于90为二等品,小于80为三等品,生产一件一等品可盈利50元,生产一件二等品可盈利30元,生产一件三等品亏损10元.现随机抽查熟练工人甲和新工人乙生产的这种产品各100件进行检测,检测结果测试指标[70,75) [75,80) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100)甲 3 7 20 40 20 10乙 5 15 35 35 7 3根据上表统计结果得到甲、乙两人生产产品A为一等品、二等品、三等品的频率,用频率去估计他们生产产品A为一等品、二等品、三等品的概率.(1)计算甲生产一件产品A,给工厂带来盈利不小于30元的概率;(2)若甲一天能生产20件产品A,乙一天能生产15件产品A,估计甲、乙两人一天生产的35件产品A中三等品的件数.〚导学号21500780〛课时规范练58随机事件的概率1.C在16个同类产品中,只有2个次品,抽取3个产品,A是随机事件,B是不可能事件,C是必然事件,D是随机事件,又必然事件的概率为1,故C正确.2.C从9个数字中取两个数有三种情况:一奇一偶,两奇,两偶,故只有③中两事件是对立事件.3.B该男生被抽到的概率是=0.2,故选B.4.C显然两个事件不可能同时发生,但两者可能同时不发生,因为红牌可以分给乙、丙两人,综上,这两个事件为互斥但不对立事件.5.C∵“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件,∴所求概率P=1-P(A)=0.35.6某单位从4名应聘者甲、乙、丙、丁中招聘2人,这4名应聘者被录用的机会均等,被录用的2人有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁,共6种情况,甲、乙两人中至少有1人被录用有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁,共5种情况,所以甲、乙两人中至少有1人被录用的概率P=7因为事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算,即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为8.解记事件“在竞赛中,有k人获奖”为A k(k∈N,k≤5),则事件A k彼此互斥.(1)∵获奖人数不超过2人的概率为0.56,∴P(A0)+P(A1)+P(A2)=0.1+0.16+x=0.56.解得x=0.3.(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96,得P(A5)=1-0.96=0.04,即z=0.04.由获奖人数最少3人的概率为0.44,得P(A3)+P(A4)+P(A5)=0.44,即y+0.2+0.04=0.44,解得y=0.2.9.解记事件A1={任取1个球为红球},A2={任取1个球为黑球},A3={任取1个球为白球},A4={任取1个球为绿球},则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(A4)=(方法一)(利用互斥事件的概率公式求概率)根据题意,知事件A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥事件的概率公式,可知,(1)取出1个球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=(2)取出1个球为红球、黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=(方法二)(利用对立事件求概率的方法)(1)由解法一知,取出1个球为红球或黑球的对立事件为取出1个球为白球或绿球,即A1∪A2的对立事件为A3∪A4.所以取出1个球是红球或黑球的概率为P(A1∪A2)=1-P(A3∪A4)=1-P(A3)-P(A4)=1-(2)A1∪A2∪A3的对立事件为A4,所以P(A1∪A2∪A3)=1-P(A4)=1-10.C将两张卡片排在一起组成两位数,则所组成的两位数有12,13,20,21,30,31,共6个,两位数为奇数的有13,21,31,共3个,故所组成的两位数为奇数的概率为11.C分析题意可知,共有(0,1,2),(0,2,5),(1,2,5),(0,1,5)4种取法,符合题意的取法有2种,故所求概率P=12.146该样本中AQI大于100的频数是4,频率为,由此估计此地该年AQI大于100的概率为,故估计此地该年AQI大于100的天数为365=146(天).13.解 (1)所种作物的总株数为1+2+3+4+5=15,其中“相近”作物株数为1的作物有2株,“相近”作物株数为2的作物有4株,“相近”作物株数为3的作物有6株,“相近”作物株数为4的作物有3株,列表如下:Y51 48 45 42频数 2 4 6 3所种作物的平均年收获量为=46(kg).(2)由(1)知,P(Y=51)=,P(Y=48)=故在所种作物中随机选取一株,它的年收获量至少为48 kg的概率为P(Y≥48)=P(Y=51)+P(Y=48)=14.解 (1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为,用频率估计概率,可得甲品牌产品寿命小于200小时的概率为(2)根据频数分布图可得寿命不低于200小时的两种品牌产品共有75+70=145(个),其中甲品牌产品有75个,所以在样本中,寿命不低于200小时的产品是甲品牌的频率是据此估计已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为15.A由题意,得1-,∴n≥4,∴n的最小值为4,故选A.16.解 (1)甲生产一件产品A,给工厂带来盈利不小于30元的概率P=1-(2)估计甲一天生产的20件产品A中有20=2(件)三等品,估计乙一天生产的15件产品A中有15=3(件)三等品,所以估计甲、乙两人一天生产的35件产品A中共有5件三等品.。