2008年高考数学理科试题汇编--概率与统计

2008年高考概率与统计试题分析王卫华湖北省黄梅县第一中学　435500 概率与统计问题,是近年来高考备考的重点和热点之一,概率与统计问题作为解答题之一出现,已经成为高考命题以及各级考试命题的共识.下面通过简析2008年高考题中有关概率统计方面的试题,来分析命题方向,透视命题信息,以便科学高效地组织好新课程的高考复习.1　考试内容随机事件的概率,等可能性事件的概率,互斥事件、相互独立事件同时发生的概率,独立重复试验;抽样方法,总体分布的估计,总体期望值和方差的估计.2　考试要求1)了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义;2)了解等可能事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率;3)了解互斥事件与相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率;4)会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率;5)了解随机抽样,了解分层抽样的意义,会对简单实际问题进行抽样;6)会用样本频率分布估计总体分布;7)会用样本平均数估计总体期望值,会用样本的方差估计总体方差.3　试题特点1)各地高考题中概率统计试题的题量大致为2道,约占全卷总分的6%-10%,试题的难度为中等或中等偏易.2)概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编,通过对基础知识的重新组合、变式和拓展,从而加工为立意高、情境新、设问巧,并赋予时代气息、贴近学生实际的问题.如有关奥运方面的试题比比皆是,也有有关人体健康方面的题目.这样的试题体现了数学试卷新的设计理念,尊重不同考生群体思维的差异,贴近考生的实际,体现了人文教育的精神.3)概率统计试题主要考查基本概念和基本公式,对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、事件在n次独立重复试验中恰发生k次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望、方差、抽样方法等内容都进行了考查.1(1-x)n<0,所以只需证ln(x-1)≤x-1.令h(x)=x-1-ln(x-1),则h′(x)=1-1x-1=x-2x-1≥0(x≥2).所以当x≥2时,h(x)=x-1-ln(x-1)单调递增.又h(2)=1>0,所以当x≥2时,恒有h(x)>0,即ln(x-1)<x-1命题成立.综上所述,结论成立.即f(x)≤x-1.在高考中,等价转化思想无处不见,特别是对于综合性较强的问题,我们要具体问题具体分析,不断培养和训练自觉的转化意识,将有利于强化解决数学问题中的应变能力,提高思维能力和技能、技巧.(收稿日期:2008210230)4)概率统计试题在试卷中的题型逐年发生变化,这几年发展逐步稳定,到2008年已成为高考卷中的主流应用题.3.1　考查五大概率基本模型随机事件的概率问题,以古典概型为基础,以互斥事件的和与相互独立事件的积为主力,以独立重复试验作策应,活跃在文科及理科试卷之中.它既是一类独立的概率问题,又是概率与统计问题的认知与求解的基础.其中,对于比较复杂的概率问题,化整为零———集零为整,无可争议地成为解题的第一战略战术.例1　(山东理)在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为1,2,3,…,18的18名火炬手,若从中任选3人,则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为( ).(A)151　(B)168　(C)1306　(D)1408分析　解答此题的关键在于正确理解公差的定义以及列举法的正确运用.解析　显然总数为C318=816,满足要求的共有12种:1,4,7;2,5,8;3,6,9;4,7,10; 5,8,11;6,9,12;7,10,13;8,11,14;9,12,15; 10,13,16;11,14,17;12,15,18.故所求的概率为12816=168.所以答案选B.小结　本题考查了排列组合、数列公差的具体用法与概率,解决本题的关键是通过列举法找出满足要求的方法数.这是一道属于等可能事件的概率题,在求解的过程中,先求出不加条件限制的所有可能性m,然后再根据条件,求出满足题目要求的可能种数n,最后要求的概率就是nm.例2　(湖南)甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约,设每人面试合格的概率都是12,且面试是否合格互不影响.求:(Ⅰ)至少有1人面试合格的概率;(Ⅱ)没有人签约的概率.分析　概率应用题应首先弄清关键词语,碰到“至少”、“至多”之类的的词语可考虑用对立事件来处理.解析　用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙面试合格,由题意知A,B,C相互独立,且P(A)=P(B)=P(C)=12.(Ⅰ)至少有1人面试合格的概率是1-P(A B C)=1-P(A)P(B)P(C)=1-123=78.(Ⅱ)没有人签约的概率为P(A B C)+P(A B C)+P(A B C)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)　+P(A)P(B)P(C)=123+123+123=38.小结　本题主要考查概率知识,要记住相互独立事件同时发生时概率的求法,会应用对立事件间的概率关系.例3　(湖北)明天上午李明要参加奥运志愿者活动,为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己,假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是.分析　对于较复杂的概率问题,应分清事件的构成以及概率的转化,熟悉“至少有一个发生”、“至多有—个发生”、“恰有一个发生”等语句的真实含义,如果从正面直接求解上面的高考题,计算比较繁琐.若注意运用集合的观点(补集的思想),利用事物的内在联系,促成复杂事件的概率问题向简单事件的概率问题的转化,这样解答题目就容易得到答案.解析　1-(1-0.80)(1-0.90)=0.98.小结　本题是考查学生分类讨论的能力和对基本概率题型的熟练掌握程度.例4　(天津卷)甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为1 2与p,且乙投球2次均未命中的概率为116.(Ⅰ)求乙投球的命中率p;(Ⅱ)求甲投球2次,至少命中1次的概率;(Ⅲ)若甲、乙两人各投球2次,求两人共命中2次的概率.分析　本题的亮点是知道事件最后的概率而求一次发生的概率,是逆向思维,本题并不复杂,从正面和反面突破都可以.(Ⅰ)解法1　设“甲投球一次命中”为事件A,“乙投球一次命中”为事件B.由题意得(1-P(B))2=(1-p)2=1 16,解得　p=34或54(舍去).所以乙投球的命中率为34.解法2　设“甲投球一次命中”为事件A,“乙投球一次命中”为事件B.由题意得P(B)P(B)=1 16,于是P(B)=14或P(B)=-14(舍去),故　p=1-P(B)=34.所以乙投球的命中率为34.(Ⅱ)解法1　由题设和(Ⅰ)知P(A)=12,P(A)=12.故甲投球2次至少命中1次的概率为1-P(A・A)=3 4 .解法2　由题设和(Ⅰ)知P(A)=12,P(A)=12.故甲投球2次至少命中1次的概率为C12P(A)P(A)+P(A)P(A)=3 4 .(Ⅲ)由题设和(Ⅰ)知,P(A)=12,P(A)=12,P(B)=34,P(B)=14.甲、乙两人各投球2次,共命中2次有3种情况:甲、乙两人各中一次;甲中两次,乙两次均不中;甲两次均不中,乙中2次.概率分别为C12P(A)P(A)・C12P(B)P(B)=316, P(A・A)P(B・B)=164,P(A・A)P(B・B)=964.所以甲、乙两人各投两次,共命中2次的概率为316+164+964=1132.小结　本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力.例5　(安徽)在某次普通话测试中,为测试汉字发音水平,设置了10张卡片,每张卡片印有一个汉字的拼音,其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g”.(Ⅰ)现对3位被测试者先后进行测试,第1位被测试者从这10张卡片中随机抽取1张,测试后放回,余下2位的测试,也按同样的方法进行.求这3位被测试者抽取的卡片上,拼音都带有后鼻音“g”的概率.(Ⅱ)若某位被测试者从10张卡片中一次随机抽取3张,求这3张卡片上,拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于2张的概率.分析　本题显然是按相互独立事件来处理,第Ⅱ问可按分类的思想,用互斥事件的理论来处理.解　(Ⅰ)每次测试中,被测试者从10张卡片中随机抽取1张卡片,拼音带有后鼻音“g”的概率为310,因为3位被测试者分别随机抽取1张卡片的事件是相互独立的,因而所求的概率为310×310×310=271000.(Ⅱ)设A i (i =1,2,3)表示所抽取的3张卡片中,恰有i 张卡片带有后鼻音“g ”的事件,且其相应的概率为P (A i ),则P (A 2)=C 17C 23C 310=740,P (A 3)=C 33C 310=1120.因而所求概率为P (A 2+A 3)=P (A 2)+P (A 3)=740+1120=1160.小结　本题主要考查排列、组合知识与等可能事件互斥事件概率的计算,运用概率知识分析问题和解决实际问题的能力.3.2　考查概率与其它知识的综合问题随着课改的进一步实施,概率问题出现了综合化的新趋势,求解概率综合问题应特别注意将所求问题转化为纯概率问题求解.例6　(江苏)在平面直角坐标系x Oy 中,设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向D 中随意投一点,则落入E 中的概率为.分析　概率与几何体的交汇问题,实际可归结为几何概型问题.要解此问题需把握:总体事件和有利事件如何表示?需通过什么来确定所求的概率?怎样求?图1解析　如图1,区域D 表示边长为4的正方形A B CD 的内部(含边界),区域E 表示单位圆及其内部,因此P =π×124×4=π16.答案π16.小结　本小题是概率与几何交汇的题,它考查几何概型,解决此题的关键是正确的图形,分清哪些是总样本,哪些是有利事件.3.3　考查随机变量分布列和数学期望、方差求解离散型随机变量分布列必须解决好两个问题,一是求出ξ的所有取值,二是求出ξ取每一个值时的概率.大致可分为3个步骤进行:①明确随机变量的所有可能取值,以及取每一个值时所表示的意义;②利用概率知识,求出随机变量每个取值的概率;③按规范形式写出分布列,并用分布列的性质验证.例7　(江西理)因冰雪灾害,某柑桔基地果林严重受损,为此有关专家提出两种拯救果树的方案,每种方案都需分2年实施.若实施方案1,预计第1年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3,0.3,0.4;第2年可以使柑桔产量为第1年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5,0.5.若实施方案2,预计第1年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2,0.3,0.5;第2年可以使柑桔产量为第1年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4,0.6.实施每种方案第1年与第2年相互独立,令ξi (i =1,2)表示方案i 实施2年后柑桔产量达到灾前产量的倍数.(Ⅰ)写出ξ1,ξ2的分布列;(Ⅱ)实施哪种方案,2年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大?(Ⅲ)不管哪种方案,如果实施2年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量,预计利润分别为10万元、15万元、20万元.问实施哪种方案的平均利润更大?分析　解答比较大小问题一般的都是先求出相关的表达式,然后再比较它们的大小,本题的两小问尽管均是与概率有关,但是方法依旧.解析　(Ⅰ)ξ1,ξ2的分布列如表1、表2所示.表1ξ10.80.911.1251.25P 10.20.150.350.150.15表2ξ20.80.9611.21.44P 20.30.20.180.240.08 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得P 1>1的概率P (P 1>1)=0.15+0.15=0.3,P2>1的概率P(P2>1)=0.24+0.08=0.32.可见,P(P2>1)>P(P1>1),所以实施方案2,2年后产量超过灾前概率更大.(Ⅲ)设实施方案1,2的平均利润分别为利润1、利润2,根据题意利润1=(0.2+0.15)×10+0.35×15　+(0.15+0.15)×20=14.75(万元),利润2=(0.3+0.2)×10+0.18×15　+(0.24+0.08)×20=14.1(万元).即利润1>利润2,所以实施方案1平均利润更大.小结　本题主要考查随机变量分布列与概率,考查随机变量期望及概率在实际生产或生活中的应用以及不等式的具体应用,关键是把实际问题转化为概率数学问题.例8　(安徽)为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳,各株沙柳成活与否是相互独立的,成活率为p,设ξ为成活沙柳的株数,数学期望Eξ=3,标准差σξ为62.(Ⅰ)求n,p的值并写出ξ的分布列;(Ⅱ)若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率.分析　做好本题的关键在于记住公式Eξ=n p,Dξ=(σξ)2=n p(1-p),当然也可以按数学期望和方差的定义进行推导,不过比较麻繁.解　(Ⅰ)由Eξ=n p=3,(σξ)2=n p(1-p)=32,得1-p=12,从而n=6,p=12,ξ的分布列如表3所示.表3ξ0123456P 164664156420641564664164 (Ⅱ)记“需要补种沙柳”为事件A,则P(A)=P(ξ≤3),得P(A)=1+6+15+2064=2132,或　P(A)=1-P(ξ>3)=1-15+6+164=2132.小结　本题主要考查二项分布的分布列、数学期望以及标准差的概念和计算,考查分析问题及解决实际问题的能力.例9　(宁夏)A,B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2,根据市场分析,X1和X2的分布列如表4、表5所示.表4X15%10%P0.80.2表5X22%8%12%P0.20.50.3 (Ⅰ)在A,B两个项目上各投资100万元,Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差D Y1,D Y2;(Ⅱ)将x(0≤x≤100)万元投资A项目,100-x万元投资B项目,f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求f(x)的最小值,并指出x为何值时,f(x)取到最小值.(注:D(a X+b)=a2D X)分析　解答本题第Ⅰ小题的关键在于熟练运用方差的定义,解答第Ⅱ小题的关键在于运用有关方差的公式D(a X+b)=a2D X 以及二次函数求最值的重要方法———配方法.解析　(Ⅰ)由题设可知Y1和Y2的分布列分别见表6、表7.表6Y1510P0.80.2表7Y22812P0.20.50.3 E Y1=5×0.8+10×0.2=6,D Y 1=(5-6)2×0.8+(10-6)2×0.2=4,E Y 2=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8,D Y 2=(2-8)2×0.2+(8-8)2×0.5　+(12-8)2×0.3=12.(Ⅱ)f (x )=D x 100Y 1+D 100-x100Y 2=x 1002D Y 1+100-x 1002D Y 2=41002[x 2+3(100-x )2]=41002(4x 2-600x +3×1002),当x =6002×4=75时,f (x )=3为最小值.小结　本题考查分布列、期望、方差的有关概念、二次函数求最值以及利用所学知识解决实际问题的能力.3.4　考查抽样方法、总体分布本部分主要考查应用概率统计知识解决实际问题的能力,其难度大致与教材持平,已经形成新热点,学习时应引起重视.例10　(安徽)设2个正态分布N (μ1,σ21)(σ1>0)和N (μ2,σ22)(σ2>0)的密度函数图2图像如图2所示.则有( ).(A )μ1<μ2,σ1<σ2(B )μ1<μ2,σ1>σ2(C )μ1>μ2,σ1<σ2(D )μ1>μ2,σ1>σ2分析　解决此题的关键在于记住正态分布的图形形状,明确各参数的几何意义. 解析　根据正态分布N (μ,σ2)函数的性质:正态分布曲线是一条关于x =μ对称,在x =μ处取得最大值的连续钟形曲线;σ越大,曲线的最高点越低且弯曲较平缓;反过来,σ越小,曲线的最高点越高且弯曲较陡峭,选A .小结　本题主要考查正态分布知识,关键是要搞清字母的代表意义.例11　(湖北)一个公司共有1000名员工,下设一些部门,要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为50的样本,已知某部门有200名员工,那么从该部门抽取的员工人数是.分析　求解本题的关键在于掌握分层抽样的定义,对分层抽样,简单地说就是比例相等,即每一层抽取的个体数与该层总体数的比值相等,所以解决这一类问题时,只要列出一个比例式即可解决.解析　设从该部门抽取的员工人数是y ,则1000÷50=200÷y ,则y =10,故从该部门抽取的员工人数是10.小结　本题是考查分层抽样的有关知识.在学习中要掌握3种抽样方法的定义及各自特点,才能做到以不变应万变.由上面可以看出:各地高考题多数把概率与统计作为应用大题出现,符合高考命题支持课程改革的原则,而且试题取材根植于课本,学习时应扎扎实实抓好基本模型的运用,学会将实际问题转化为概率模型或统计模型求解,发挥工具的作用.(收稿日期:2008210228)。

08届高考数学概率与统计训练题班级 姓名 学号 成绩一、选择题:1．下列说法错误的是A ．在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体B ．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C ．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D ．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大2． 某个班级内有40名学生，抽10名同学去参加某项活动，每个同学被抽到的概率是41，其中解释正确的是A ．4个人中必有一个被抽到 B. 每个人被抽到的可能性是41 C ．由于抽到与不被抽到有两种情况，不被抽到的概率为41D ．以上说话都不正确 3．从甲、乙两班分别任意抽出10名学生进行英语口语测验，其测验成绩的方差分别为S 12= 13.2，S 22=26．26，则A ．甲班10名学生的成绩比乙班10名学生的成绩整齐B ．乙班10名学生的成绩比甲班10名学生的成绩整齐C ．甲、乙两班10名学生的成绩一样整齐D ．不能比较甲、乙两班10名学生成绩的整齐程度4．从{a,b,c,d,e}的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{a,b,c}的子集的概率是 A ．53 B. 52 C. 41 D. 81 5．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输人为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是 A ．3.5 B ．-3 C ．3 D ．-0.56．在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点D ，则AD 的长小于AC 的长的概率为A ．21 B. 221 C. 22 D. 27．某题的得分情况如下：其中众数是A ．37.0％B ．20.2％C ．4分D ．0分8．根据多年气象统计资料，某地6月1日下雨的概率为0.45，阴天的概率为0.20，则该日晴天的概率为 A ．0.65 B ．0.55 C ．0.35 D ．0.75 二、填空题：9.一个公司共有240名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为20的样本．已知某部门有60名员工，那么从这一部门抽取的员工人数是 。

参考答案1．(1)由233,()(1),E np np p ξσξ===-=得11p -=,从而16,n p ==ξ的分布列为(2)记”需要补种沙柳”为事件A, 则()(3),P A P ξ=≤得16152021(),6432P A +++==或156121()1(3)16432P A P ξ++=->=-=2．解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p ，记投保的10 000人中出险的人数为ξ，则4~(10)B p ξ，．（Ⅰ）记A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A 发生当且仅当0ξ=，()1()P A P A =-1(0)P ξ=-=4101(1)p =--，又410()10.999P A =-，故0.001p =．（Ⅱ）该险种总收入为10000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和． 支出 1000050000ξ+，盈利 10000(1000050000)a ηξ=-+， 盈利的期望为 100001000050E a E ηξ=--，由43~(1010)B ξ-，知，31000010E ξ-=⨯，4441010510E a E ηξ=--⨯4443410101010510a -=-⨯⨯-⨯．0E η≥4441010105100a ⇔-⨯-⨯≥1050a ⇔--≥15a ⇔≥（元）．故每位投保人应交纳的最低保费为15元．3．解：令,,k k k A B C 分别表示甲、乙、丙在第k 局中获胜.（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为12312333111()().224P A C B P B C A +=+=（Ⅱ）ξ的所有可能值为2，3，4，5，6，且121222111(2)()(),222P P A A P B B ξ==+=+=12312333111(3)()().224P P A C C P B C C ξ==+=+=1234123444111(4)()().228P P A C B B P B C A A ξ==+=+=123451234555111(5)()(),2216P P A C B A A P B C A B B ξ==+=+=123451234555111(6)()(),2216P P A C B A C P B C A B C ξ==+=+=故有分布列从而111114723456248161616E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（局）.4．解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ，那么3324541()40A A P E C A==，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140．（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么4424541()10A P E C A==，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10P E P E =-=．（Ⅲ）随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“2ξ=”是指有两人同时参加A 岗位服务，则235334541(2)4C A P C A ξ===．所以3(1)1(2)P P ξξ==-==，ξ的分布列是5．解:设“科目A 第一次考试合格”为事件A 1 ，“科目A 补考合格”为事件A 2；“科目B 第一次考试合格”为事件B 1 ，“科目B 补考合格”为事件B 2.(Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为A 1·B 1,注意到A 1与B 1相互独立，则1111211()()()323P A B P A P B =⨯=⨯=g . 答：该考生不需要补考就获得证书的概率为13.(Ⅱ)由已知得，ξ＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得1112(2)()()P P A B P A A ξ==+g g2111114.3233399=⨯+⨯=+=112112122(3)()()()P P A B B P A B B P A A B ξ==++g g g g g g 2112111211114,3223223326699=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=12221212(4)()()P P A A B B P A A B B ξ==+g g g g g g 12111211111,3322332218189=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+= 故4418234.9993E ξ=⨯+⨯+⨯=答：该考生参加考试次数的数学期望为83.6．解：（1）ξ的所有可能取值有6，2，1，-2；126(6)0.63200P ξ===，50(2)0.25200P ξ===20(1)0.1P ξ===，4(2)0.02P ξ=-==，故ξ的分布列为：（2）60.6320.2510.1(2)0.02 4.34E ξ=⨯+⨯+⨯+-⨯= （3）设技术革新后的三等品率为x ，则此时1件产品的平均利润为()60.72(10.70.01)(2)0.01 4.76(00.29)E x x x x =⨯+⨯---+-⨯=-≤≤依题意，() 4.73E x ≥，即4.764x -≥，解得0.03x ≤所以三等品率最多为3%7．解：（Ⅰ）ξ的分布列为：∴1113101234 1.5.22010205E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= D 2222211131(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)(4 1.5) 2.75.22010205ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=（Ⅱ）由D a D η=ξ2，得a 2×2.75＝11，即 2.a =±又,E aE b η=ξ+所以，当a =2时，由1＝2×1.5+b ,得b =－2;当a =－2时，由1＝－2×1.5+b ，得b =4. ∴2,2a b =⎧⎨=-⎩或2,4a b =-⎧⎨=⎩即为所求.8．解用A ，B ，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格。

08--14 福建理科高考 概率与统计08年（5）某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是 A ．16625 B ．96625 C ．192625 D ．256625【标准答案】B 【试题解析】独立重复实验4(4,)5B ，22244196(2)55625P k C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（7）要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为A ．14B ． 24C ．28D ．48【试题解析】 6人中选4人的方案4615C =种，没有女生的方案只有一种，所以满足要求的方案总数有14种。

（13）若55432543210(2)x a x a x a x a x a x a -=+++++，则12345a a a a a ++++= 。

（用数字作答）。

31【试题解析】令1x =得5432101a a a a a a +++++=-；令0x =得032a =-。

所以 1234531a a a a a ++++=。

（20）（本小题满分12分） 某项考试按科目A 、科目B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科目B 的考试。

已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书。

现某人参加这项考试，科目A 每次考试成绩合格的概率均为23，科目B 每次考试成绩合格的概率均为12.假设各次考试成绩合格与否均互不影响. （Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望E ξ. 解：设“科目A 第一次考试合格”为事件1A ，“科目A 补考合格”为事件2A ；“科目B 第一次考试合格”为事件1B ，“科目B 补考合格”为事件2B .(Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为11A B ,注意到1A 与1B 相互独立， 则1111211()()()323P A B P A P B =⨯=⨯=. 答：该考生不需要补考就获得证书的概率为13. (Ⅱ)由已知得，2,3,4ξ=，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得1112(2)()()P P A B P A A ξ==+2111114.3233399=⨯+⨯=+= 112112122(3)()()()P P A B B P A B B P A A B ξ==++ 2112111211114,3223223326693=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++= 12221212(4)()()P P A A B B P A A B B ξ==+ 故 12111211111,3322332218189=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+= 4418234.9993E ξ=⨯+⨯+⨯=答：该考生参加考试次数的数学期望为83. 09年8.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%。

2008年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理）第Ⅰ卷（共60分）参考公式：球的表面积公式：S ＝4πr 2，其中R 是球的半径. 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率：P n （k ）＝C kn p k (1-p )n-k （k ＝0，1，2，…，n ）.如果事件A 、B 互斥，那么P （A +B ）＝P （A ）+P （B ）. 如果事件A 、B 相互独立，那么P （AB ）＝P （A ）·P （B ）.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）满足M ⊆{}1234,,,a a a a 且{}{}12312,,,M a a a a a ⋂=的集合M 的个数是 （A ）1 (B)2 (C)3 (D)4 解析：本题考查集合子集的概念及交集运算。

集合M 中必含有12,a a 则{}{}12124,,,M a a M a a a ==或 （2）设z 的共轭复数是z ，或z +z =4,z ·z ＝8，则zz等于 （A ）1 （B ）-i (C)±1 (D) ±i 解析：本题考查共轭复数的概念、复数的运算。

可设2z bi =+，由8z z ⋅=得248, 2.b b +==±()2222.88i z z i z ±===±（3）函数ln cos ()22y x x ππ=-<<的图象是解析：本题考查复合函数的图象。

l n c o s 22y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭是偶函数，可排除B,D;由cos x 的值域可以确定。

（4）设函数()1f x x x a =++-的图象关于直线x ＝1对称，则a 的值为(A) 3 (B)2 (C)1 (D)-1 解析：本题考查分段函数的图象。

2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至9页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意： 1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k k n kn n P k C P P k n -=-=，，，一、选择题1．函数y =）A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）3．在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ） A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b cD ．1233+b c 4．设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（ ） A ．2B ．1C ．0D ．1-5．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138B ．135C ．95D ．236．若函数(1)y f x =-的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ ）A ．e 2x-1B ．e 2xC ．e 2x+1D ． e 2x+27．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2B ．12C ．12- D ．2-8．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位9．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-+∞，，B ．(1)(01)-∞-，，C ．(1)(1)-∞-+∞，， D ．(10)(01)-，，10．若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b+≥ 11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为A ．B ．C ．D ．ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）A ．13BCD ．2312．如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A ．96 B ．84 C ．60 D ．482008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 13．13．若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 ．14．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．15．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．16．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为，M 、N 分别是AC 、BC 的中点，则EM 、AN 所成角的余弦值等于 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a 、b 、c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=． （Ⅰ）求tan cot A B 的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值． 18．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，CD =AB AC =．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45，求二面角C AD E --的大小．19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围． 20．（本小题满分12分）CDE AB（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望． 21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=．（Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数； （Ⅱ）证明：11n n a a +<<； （Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥．证明：1k a b +>．参考答案一、选择题 1、C 2、A 3、A 4、D 5、C 6、B 7、D 8、A 9.D 10.D ． 11.B ． 12.B. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13.答案：9．14. 答案：2.15.答案：38. 16.答案：16. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解析：（Ⅰ）由正弦定理得a=CBc b C A c sin sin ,sin sin = acosB-bcosA=(A CBB C A cos sin sin cos sin sin ⋅-⋅)c =c B A AB B A ⋅+-)sin(cos sin cos sin=c B A B A BA B A ⋅+-sin cos cos sin sin cos cos sin=1cot tan )1cot (tan +-B A cB A依题设得c B A c B A 531cot tan )1cot (tan =+- 解得tanAcotB=4(II)由（I ）得tanA=4tanB ，故A 、B 都是锐角，于是tanB>0 tan(A-B)=B A BA tan tan 1tan tan +-=B B 2tan 41tan 3+ ≤43， 且当tanB=21时，上式取等号，因此tan(A-B)的最大值为4318．解：(I)作AO ⊥BC ，垂足为O ，连接OD ，由题设知，AO ⊥底面BCDE ，且O 为BC 中点， 由21==DE CD CD OC 知，Rt △OCD ∽Rt △CDE ， 从而∠ODC=∠CED ，于是CE ⊥OD ，由三垂线定理知，AD ⊥CE（II ）由题意，BE ⊥BC ，所以BE ⊥侧面ABC ，又BE ⊂侧面ABE ，所以侧面ABE ⊥侧面ABC 。

2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）第Ⅰ卷参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k kn k n n P k C P P k n -=-=，，，一、选择题 1．函数y ）A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）3．在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ） A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b cD ．1233+b c 4．设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（ ） A ．2B ．1C ．0D ．1-5．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138B ．135C ．95D ．236．若函数(1)y f x =-的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =A ．B ．C ．D ．年级 班别： 姓名： 考场； 考号（ ） A ．21x e-B ．2xeC ．21x e+D ．22x e+7．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2B ．12C ．12- D ．2-8．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位 9．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ） A ．(10)(1)-+∞，， B ．(1)(01)-∞-，，C ．(1)(1)-∞-+∞，，D ．(10)(01)-，，10．若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b+≥ 11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）A ．13B．3C．3D ．2312．如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A ．96 B ．84 C ．60 D ．48第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．13．若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 ．14．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．15．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．16．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=． （Ⅰ）求tan cot A B 的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值． 18．（本小题满分12分）四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，CD =AB AC =．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45，求二面角C AD E --的大小．19．（本小题满分12分）已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围．20．（本小题满分12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3C DE AB只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； （Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望． 21．（本小题满分12分）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 22．（本小题满分12分） 设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=． （Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数； （Ⅱ）证明：11n n a a +<<；（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥．证明：1k a b +>． 2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）答案与解析：1.C. 由(1)x x x -≥≥0,0得0x x =≥1,或；2.A.根据汽车加速行驶212s at =，匀速行驶s vt =，减速行驶212s at =-结合函数图象可知. 3. A.2(),322AD AB AC AD AD AB AC -=-=+=c +b ,1233AD =c +b4. D 222()(21)2(1)0,1a i i a ai i a a i a +=+-=-+->=-5.C ．243511014,104,3,10454013595a a a a a d S a d +=+==-==+=-+=由得6. B.2(1)2(1)2ln 1,(1),()y x x y x e f x e f x e --=⇒=-==7. D.3212211,,11(1)2x x y y y x x x =+''==+=-=----,2,2a a -==- 8.A ． π55cos 2sin(2)sin 2()3612y x x x ππ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，只需将函数sin 2y x =的图像向左平移5π12个单位得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像.9.D ．由奇函数()f x 可知()()2()0f x f x f x x x--=<，而(1)0f =，则(1)(1)0f f -=-=，当0x >时，()0(1)f x f <=；当0x <时，()0(1)f x f >=-，又()f x 在(0)+∞，上为增函数，则奇函数()f x 在(,0)-∞上为增函数，01,10x x <<-<<或.10.D ．由题意知直线1x ya b+=与圆221x y +=22111a b +1,≥. 另解：设向量11(cos ,sin ),(,)a bααm =n =，由题意知cos sin 1a bαα+= 由⋅≤m n m n可得cos sin 1a b αα=+≤11.C ．由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a，则1AB =，棱柱的高13AO a ===（即点1B 到底面ABC 的距离），故1AB 与底面ABC所成角的正弦值为113AO AB =. 另解：设1,,AB AC AA 为空间向量的一组基底，1,,AB AC AA 的两两间的夹角为060 长度均为a ，平面ABC 的法向量为111133OA AA AB AC =--,11AB AB AA =+ 2111126,,33OA AB a OA AB ⋅=== 则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为111123OA AB AO AB ⋅=. 12.B.分三类：种两种花有24A 种种法；种三种花有342A 种种法；种四种花有44A 种种法.共有234444284A A A ++=.另解：按A B C D ---顺序种花，可分A C 、同色与不同色有43(1322)84⨯⨯⨯+⨯= 13.答案：9．如图，作出可行域，作出直线0:20l x y -=，将0l 平移至过点A 处时，函数2z x y =-有最大值9.14. 答案：2.由抛物线21y ax =-的焦点坐标为1(0,1)4a -为坐标原点得，14a =，则2114y x =- 与坐标轴的交点为(0,1),(2,0),(2,0)--，则以这三点围成的三角形的面积为14122⨯⨯= 15.答案：38.设1AB BC ==，7cos 18B =-则222252cos 9AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=53AC =，582321,21,3328c a c e a =+====. 16.答案：16.设2AB =，作CO ABDE ⊥面， OH AB ⊥，则CH AB ⊥，CHO ∠为二面角C AB D --cos 1CH OH CH CHO ==⋅∠=，结合等边三角形ABC与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则AN EM CH ==11(),22AN AC AB EM AC AE =+=-,1()()22AN EM AB AC AC AE ⋅=+⋅-=2故EM AN ，所成角的余弦值16AN EM AN EM⋅=另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),A B E C ----,1111(,(,2222M N ---,则3121321(,,),(,,),,32222222AN EM AN EM AN EM ==-⋅===, 故EM AN ，所成角的余弦值16AN EM AN EM⋅=. 17.解析：（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a Bb Ac -= 可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B -==+=+ 即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =； （Ⅱ）由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>2tan tan 3tan 3tan()1tan tan 14tan cot 4tan A B B A B A B B B B --===+++≤34当且仅当14tan cot ,tan ,tan 22B B B A ===时，等号成立，故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34.18．解：（1）取BC 中点F ，连接DF 交CE 于点O ，AB AC =，∴AF BC ⊥，又面ABC ⊥面BCDE ，∴AF ⊥面BCDE ，∴AF CE ⊥．tan tan CED FDC ∠=∠=， ∴90OED ODE ∠+∠=，90DOE ∴∠=，即CE DF ⊥，CE ∴⊥面ADF ，CE AD ∴⊥．（2）在面ACD 内过C 点作AD 的垂线，垂足为G ．CG AD ⊥，CE AD ⊥，AD ∴⊥面CEG ，EG AD ∴⊥， 则CGE ∠即为所求二面角的平面角．233AC CD CG AD==，3DG =，3EG==，CE =222cos 2CG GE CE CGE CG GE +-∠==，πarccos CGE ∴∠=-⎝⎭，即二面角C ADE --的大小πarccos 10⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．19. 解：（1）32()1f x x ax x =+++求导：2()321f x x ax '=++当23a≤时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在R 上递增当23a >，()0f x '=求得两根为3a x -±=即()f x 在⎛-∞⎝⎭递增，⎝⎭递减，3a ⎛⎫-++∞⎪ ⎪⎝⎭递增（2）233133a a ⎧---⎪⎪⎨-+⎪-⎪⎩，且23a >解得：74a ≥20．解：对于乙：0.20.4⨯+．（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，ξ的期望为20.430.440.2 2.8E ξ=⨯+⨯+⨯=． 21. 解：（Ⅰ）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+ 由勾股定理可得：222()()m d m m d -+=+ 得：14d m =，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠== 由倍角公式∴22431ba ba =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a =,则离心率e = （Ⅱ）过F 直线方程为()ay x cb=--,与双曲线方程22221x y a b -=联立将2a b =，c =代入，化简有22152104x x b b-+=124x =-= 将数值代入，有4=解得3b = 故所求得双曲线方程为：221369x y -=． 22. 设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=．（Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数；（Ⅱ）证明：11n n a a +<<；（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥．证明：1k a b +>． 22.解析：（Ⅰ）证明：()ln f x x x x =-,()ln f x x '=-,当(01)x ∈，时，()ln 0f x x '=-> 故函数()f x 在区间(01)，是增函数；（Ⅱ）证明：（数学归纳法证明）（ⅰ）当1n =时，101a <<，11ln 0a a <211111()ln a f a a a a a ==->由函数()f x 在区间(01)，是增函数，且函数()f x 在1x =处连续，则()f x 在区间(01]，是增函数，21111()ln 1a f a a a a ==-<，即121a a <<成立；（ⅱ）假设当(*)x k k N =∈时，11k k a a +<<成立，即1101k k a a a +<<<≤ 那么当1n k =+时，由()f x 在区间(01]，是增函数，1101k k a a a +<<<≤得1()()(1)k k f a f a f +<<.而1()n n a f a +=，则121(),()k k k k a f a a f a +++==，121k k a a ++<<，也就是说当1n k =+时，11n n a a +<<也成立；根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n ，11n n a a +<<恒成立. （Ⅲ）证明：由()ln f x x x x =-．1()n n a f a +=可得kk k k a a b a b a ln 1--=-+11ln ki i i a b a a ==--∑ 1， 若存在某i k ≤满足i a b ≤，则由⑵知：1k i a b a b +-<-≥02， 若对任意i k ≤都有b a i >，则kk k k a a b a b a ln 1--=-+ 11ln ki i i a b a a ==--∑11ln ki i a b a b ==--∑11()ln ki i a b a b ==--∑b ka b a ln 11--> b ka b a ln 11--≥)(11b a b a --->0=，即1k a b +>成立.。

2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至9页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意： 1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k k n kn n P k C P P k n -=-= ，，，一、选择题1．函数y =）A ．{}|0x x ≥B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）3．在ABC △中，AB = c ，AC = b ．若点D 满足2BD DC = ，则AD =（ ）A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b cD ．1233+b c 4．设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（ ） A ．2B ．1C ．0D ．1-5．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138B ．135C ．95D ．236．若函数(1)y f x =-的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ ） A ．21x e-B ．2xeC ．21x e+D ．22x e+7．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2B ．12C ．12- D ．2-8．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位9．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-+∞ ，， B ．(1)(01)-∞- ，， C ．(1)(1)-∞-+∞ ，，D ．(10)(01)- ，， 10．若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b+≥ 11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为A ．B ．C ．D ．ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）A ．13BCD ．2312．如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A ．96 B ．84 C ．60 D ．482008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 13．若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 ．14．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．15．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．16．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为3，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=． （Ⅰ）求tan cot A B 的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值． 18．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，CD =AB AC =．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45，求二面角C AD E --的大小．19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围． 20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．CDE AB方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； （Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望． 21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=．（Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数； （Ⅱ）证明：11n n a a +<<； （Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥．证明：1k a b +>．2008年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修+选修Ⅰ）参考答案1. C. 由()10,0,1,0;x x x x x -≥≥≥=得或2. A ．根据汽车加速行驶212s at =，匀速行驶s vt =，减速行驶212s at =-结合函数图像可知；3. A. 由()2AD AB AC AD -=-，322AD AB AC c b =+=+ ，1233AD c b =+ ；4. D. ()()()22221210,1a i i a ai i a a i a +=+-=-+->=-；5. C. 由243511014,104,3,104595a a a a a d S a d +=+=⇒=-==+=；6. B.由()()()()212121,1,y x x y x e f x e f x e --=⇒=-==；7.D.由()3212211,','|,2,21121x x y y y a a x x x =+==+=-=--==----； 8.A.55cos 2sin 2sin 2,3612y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭只需将函数sin 2y x =的图像向左平移5π12个单位得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像. 9.D ．由奇函数()f x 可知()()2()0f x f x f x x x--=<，而(1)0f =，则(1)(1)0f f -=-=，当0x >时，()0(1)f x f <=；当0x <时，()0(1)f x f >=-，又()f x 在(0)+∞，上为增函数，则奇函数()f x 在(,0)-∞上为增函数，01,10x x <<-<<或.10.D ．由题意知直线1x ya b+=与圆221x y +=22111a b+1,≥. 另解：设向量11(cos ,sin ),(,)a bααm =n =，由题意知cos sin 1a bαα+= 由⋅≤m n m n可得cos sin 1a b αα=+11.C ．由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a，则1AB =，棱柱的高13AO===（即点1B到底面ABC的距离），故1AB与底面ABC所成角的正弦值为113AOAB=另解：设1,,AB AC AA为空间向量的一组基底，1,,AB AC AA的两两间的夹角为060长度均为a，平面ABC的法向量为111133OA AA AB AC=--,11AB AB AA=+211112,33OA AB a OA AB⋅===则1AB与底面ABC所成角的正弦值为11113OA ABAO AB⋅=.12.B.分三类：种两种花有24A种种法；种三种花有342A种种法；种四种花有44A种种法.共有234444284A A A++=.另解：按A B C D---顺序种花，可分A C、同色与不同色有43(1322)84⨯⨯⨯+⨯=13.答案：9．如图，作出可行域，作出直线:20l x y-=，将l平移至过点A处时，函数2z x y=-有最大值9.14. 答案：2.由抛物线21y ax=-的焦点坐标为1(0,1)4a-为坐标原点得，14a=，则2114y x=-与坐标轴的交点为(0,1),(2,0),(2,0)--，则以这三点围成的三角形的面积为14122⨯⨯= 15.答案：38.设1AB BC==，7cos18B=-则222252cos9AC AB BC AB BC B=+-⋅⋅= 53AC=，582321,21,3328ca c ea=+====.16.答案：16.设2AB=，作CO ABDE⊥面，OH AB⊥，则CH AB⊥，CHO∠为二面角C AB D--cos1CH OH CH CHO=⋅∠=，结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，则AN EM CH==11(),22AN AC AB EM AC AE =+=- ,11()()22AN EM AB AC AC AE ⋅=+⋅-= 12故EM AN ，所成角的余弦值16AN EM AN EM ⋅=另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),A B E C ----,1111(,(,2222M N ---,则31131(,(,,22222AN EM AN EM ==-⋅= 故EM AN ，所成角的余弦值16AN EM ANEM ⋅= .17.解析：（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a Bb Ac -= 可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B -==+=+ 即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =； （Ⅱ）由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>2tan tan 3tan 3tan()1tan tan 14tan cot 4tan A B B A B A B B B B --===+++≤34当且仅当14tan cot ,tan ,tan 22B B B A ===时，等号成立，故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34.18．解：（1）取BC 中点F ，连接DF 交CE 于点O ，AB AC =，∴AF BC ⊥，又面ABC ⊥面BCDE ，∴AF ⊥面BCDE ，∴AF CE ⊥． tan tan CED FDC ∠=∠=， ∴90OED ODE ∠+∠= ，90DOE ∴∠= ，即CE DF ⊥，CE ∴⊥面ADF ，CE AD ∴⊥．（2）在面ACD 内过C 点作AD 的垂线，垂足为G ．CG AD ⊥，CE AD ⊥，AD ∴⊥面CEG ，EG AD ∴⊥， 则CGE ∠即为所求二面角的平面角．3AC CD CG AD ==，3DG =，3EG ==，CE =222cos 210CG GE CE CGE CG GE +-∠==- ，πarccos 10CGE ⎛∴∠=- ⎝⎭，即二面角C AD E --的大小πarccos 10⎛- ⎝⎭．19. 解：（1）32()1f x x ax x =+++求导：2()321f x x ax '=++ 当23a≤时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在R 上递增当23a >，()0f x '=求得两根为3a x -=即()f x在⎛-∞ ⎝⎭递增，⎝⎭递减，⎫+∞⎪⎪⎝⎭递增 （2）23133a -⎨-+⎪-⎪⎩，且23a>解得：74a ≥20．解：对于乙：0.20.4⨯+．（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，ξ的期望为20.430.440.2 2.8E ξ=⨯+⨯+⨯=． 21. 解：（Ⅰ）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+ 由勾股定理可得：222()()m d m m d -+=+ 得：14d m =，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠==由倍角公式∴22431ba b a =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a =,则离心率e = （Ⅱ）过F 直线方程为()a y x c b =--,与双曲线方程22221x y a b-=联立将2a b =，c =代入，化简有22152104x x b b-+=124x =-=将数值代入，有4=解得3b = 故所求的双曲线方程为221369x y -=。

第一章 随机事件和概率一. 填空题1. 设A, B, C 为三个事件, 且=−=∪∪=∪)(,97.0)(,9.0)(C AB P C B A P B A P 则____. 解.)(1)(1)()()()(ABC P AB P ABC P AB P ABC AB P C AB P +−−=−=−=−=)(C B A P ∪∪－)(B A P ∪= 0.97－0.9 = 0.072. 设10件产品中有4件不合格品, 从中任取两件, 已知所取两件产品中有一件是不合格品, 另一件也是不合格品的概率为_______.解. , }{合格品二件产品中有一件是不=A }{二件都是不合格品=B 511)()()()()|(2102621024=−===c c c c A P B P A P AB P A B P 注意: = }{合格品二件产品中有一件是不}{不合格品二件产品中恰有一件是 + }{二件都是不合格品所以; B AB B A =⊃,}{二件都是合格品=A 3. 随机地向半圆a x ax y (202−<<为正常数)内掷一点, 点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比, 则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为______.解. 假设落点(X, Y)为二维随机变量, D 为半圆. 则 121)),((2==∈a kD Y X P π, k 为比例系数. 所以22ak π= 假设D 1 = {D 中落点和原点连线与x 轴夹角小于4π的区域}πππ121)2141(2)),((22211+=+=×=∈a a a D k D Y X P 的面积. 4. 设随机事件A, B 及其和事件A ∪B 的概率分别是0.4, 0.3, 0.6, 若B 表示B 的对立事件, 则积事件B A 的概率)(B A P = ______.解. =+−+=)()()()(B A P B P A P AB P 0.4 + 0.3－0.6 = 0.1 3.01.04.0)()()(=−=−=AB P A P B A P .5. 某市有50%住户订日报, 有65%住户订晚报, 有85%住户至少订这两种报纸中的一种, 则同时订这两种报纸的住户的百分比是________. 解. 假设A = {订日报}, B = {订晚报}, C = A + B. 由已知 P(A) = 0.5, P(B) = 0.65, P(C) = 0.85.所以 P(AB) = P(A) + P(B)－P(A + B) = 0.5 + 0.65－0.85 = 0.3.6. 三台机器相互独立运转, 设第一, 第二, 第三台机器不发生故障的概率依次为0.9, 0.8, 0.7, 则这三台机器中至少有一台发生故障的概率________. 解. 设A i 事件表示第i 台机器运转不发生故障(i = 1, 2, 3). 则 P(A 1) = 0.9, P(A 2) = 0.8, P(A 3) = 0.7,)()()(1)(1)()(321321321321A P A P A P A A A P A A A P A A A P −=−==++ =1－0.9×0.8×0.7=0.496.7. 电路由元件A 与两个并联元件B, C 串联而成, 若A, B, C 损坏与否相互独立, 且它们损坏的概率依次为0.3, 0.2, 0.1, 则电路断路的概率是________. 解. 假设事件A, B, C 表示元件A, B, C 完好.P(A) = 0.7, P(B) = 0.8, P(C) = 0.9. 事件线路完好 = A(B + C) = AB + AC.P(A(B + C) ) = P(AB + AC) = P(AB)+P(AC)－P(ABC) = P(A)P(B) + P(A)P(C)－P(A)P(B)P(C) = 0.7×0.8 +0.7×0.9－0.7×0.8×0.9 = 0.686. 所以 P(电路断路) = 1－0.686 = 0.314.8. 甲乙两人投篮, 命中率分别为0.7, 0.6, 每人投三次, 则甲比乙进球多的概率______. 解. 设X 表示甲进球数, Y 表示乙进球数.P(甲比乙进球多) = P(X = 3, Y = 2) +P(X = 3, Y = 1) + P(X = 3, Y = 0) + P(X = 2, Y = 1) +P(X = 2, Y = 0) + P(X = 1, Y = 0) = P(X = 3)P(Y = 2) +P(X = 3)P(Y = 1) + P(X = 3)P(Y = 0) + P(X = 2)P(Y = 1) +P(X = 2)P(Y = 0) + P(X = 1)P(Y = 0)=+⋅⋅⋅21336.04.07.0c +⋅⋅⋅6.04.07.02233c 334.07.0⋅++⋅⋅⋅⋅⋅2132134.06.07.03.0c c +⋅⋅⋅32134.07.03.0c 32134.03.07.0⋅⋅⋅c = 0.148176 + 0.098784 +0.021952 + 0.127008 + 0.028224 + 0.012096= 0.43624.9. 三人独立破译一密码, 他们能单独译出的概率分别为41,31,51, 则此密码被译出的概率_____.解. 设A, B, C 表示事件甲, 乙, 丙单独译出密码., 则41)(,31)(,51)(===C P B P A P . P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC) + P(ABC)= P(A) + P(B) + P(C)－P(A)P(B)－P(A)P(C)－P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) =53413151413141513151413151=⋅⋅+⋅−⋅−⋅−++.二．单项选择题.1. 以A 表示“甲种产品畅销, 乙种产品滞销”, 则对立事件A 为(A) “甲种产品滞销, 乙种产品畅销” (B) “甲、乙产品均畅销”(C) “甲种产品滞销” (D) “甲产品滞销或乙产品畅销” 解. (D)是答案.2. 设A, B, C 是三个事件, 与事件A 互斥的事件是(A) C A B A + (B) )(C B A + (C) ABC (D) C B A ++ 解. ==++C B A A )C B A A(φ, 所以(D)是答案. 3. 设A, B 是任意二个事件, 则(A) P(A ∪B)P(AB)≥P(A)P(B) (B) P(A ∪B)P(AB)≤P(A)P(B) (C) P(A －B)P(B －A)≤P(A)P(B)－P(AB) (D)41)()(≥−−A B P B A P . 解. P(A + B)P(AB)－P(A)P(B) = (P(A) + P(B)－P(AB))P(AB)－P(A)P(B) =－P(A)(P(B)－P(AB)) + P(AB)(P(B)－P(AB) =－(P(B)－P(AB))(P(A)－P(AB)) =－P(B －A)P(A －B) ≤ 0 所以(B)是答案 .4. 事件A 与B 相互独立的充要条件为(A) A + B = Ω (B) P(AB) = P(A)P(B) (C) AB = φ (D) P(A + B) = P(A) + P(B) 解. (B)是答案.5. 设A, B 为二个事件, 且P(AB) = 0, 则 (A) A, B 互斥 (B) AB 是不可能事件 (C) AB 未必是不可能事件 (D) P(A) = 0或P(B) = 0. 解. 概率理论中 P(A) = 0不能推出A 为不可能事件(证明超出大纲要求). 所以(C)是答案.6. 设A, B 为任意二个事件, 且A ⊂B, P(B) > 0, 则下列选项必然成立的是 (A) P(A) < P(A|B) (B) P(A) ≤ P(A|B) (C) P(A) > P(A|B) (C) P(A) ≥ P(A|B) 解. )()()()()()|(A P B P A P B P AB P B A P ≥==(当B = Ω时等式成立). (B)是答案.7. 已知 0 < P(B) < 1, 且P[(A 1 + A 2)|B] = P(A 1|B) + P(A 2|B), 则下列选项必然成立的是 (A))B |P(A )B |P(A ]B |)A P[(A 2121+=+ (B) P(A 1B +A 2B) = P(A 1B) +P(A 2B)(C) P(A 1 +A 2) = P(A 1|B) +P(A 2|B)(D) P(B) = P(A 1)P(B|A 1) + P(A 2)P(B|A 2)解. 由P[(A 1 + A 2)|B] = P(A 1|B) + P(A 2|B)得到)()()()()(])[(2121B P B A P B P B A P B P B A A P +=+, 所以P(A 1B +A 2B) = P(A 1B) +P(A 2B). (B)是答案.三. 计算题1. 某厂生产的产品次品率为0.05, 每100个产品为一批, 抽查产品质量时, 在每批中任取一半来检查, 如果发现次品不多于1个, 则这批产品可以认为合格的, 求一批产品被认为是合格的概率.解. P(该批产品合格) = P(全部正品) + P(恰有1个次品)=2794.050100154995*********=+c cc c c2. 书架上按任意次序摆着15本教科书, 其中有5本是数学书, 从中随机地抽取3本, 至少有一本是数学书的概率.解. 假设A={至少有一本数学书}. A ={没有数学书}P(A ) =9124315310=c c , P(A) = 1－P(A ) = 91673. 全年级100名学生中有男生80名, 来自北京的20名中有男生12名. 免修英语的40名学生中有男生32名, 求出下列概率: i. 碰到男生情况不是北京男生的概率;ii. 碰到北京来的学生情况下是一名男生的概率; iii. 碰到北京男生的概率;iv. 碰到非北京学生情况下是一名女生的概率; v. 碰到免修英语的男生的概率.解. 学生情况: 男生 女生 北京 12 8 免修英语 32 8 总数 80 20i. P(不是北京|男生) =20178068=ii. P(男生|北京学生) =532012=iii. P(北京男生) =10012iv. P(女生|非北京学生) =8012v. P(免修英语男生) =100324． 袋中有12个球, 其中9个是新的, 第一次比赛时从中取3个, 比赛后任放回袋中, 第二次比赛再从袋中任取3个球, 求: i. 第二次取出的球都是新球的概率;ii. 又已知第二次取出的球都是新球, 第一次取到的都是新球的概率.解. i. 设B i 表示第一次比赛抽到i 个新球(i = 0, 1, 2, 3). A 表示第二次比赛都是新球. 于是312339)(c c c B P i i i −=, 31239)|(c c B A P i i −=)()(1)()|()()(3603393713293823193933092312323123933930c c c c c c c c c c c c c c c c c B A P B P A P i i i i i i i +++===∑∑=−−=146.0484007056)201843533656398411()220(12==××+××+××+××=ii. 215484007056)220(20184)()()|()|(2333=××==A P B P B A P A B P5. 设甲、乙两袋, 甲袋中有n 个白球, m 个红球, 乙袋中有N 个白球, M 个红球, 今从甲袋中任取一只放入乙袋, 再从乙袋中任取一球, 问取到白球的概率. 解. 球的情况: 白球 红球 甲袋 n m 乙袋 N M 假设 A = {先从甲袋中任取一球为白球} B = {先从甲袋中任取一球为红球} C = {再从乙袋中任取一球为白球} P(C) = P(C|A)P(A) + P(C|B)P(B)nm mM N N m n n M N N +⋅++++⋅+++=111 ))(1()1(n m M N NmN n +++++=第二章 随机变量及其分布一. 填空题1. 设随机变量X ～B(2, p), Y ～B(3, p), 若P(X ≥ 1) =95, 则P(Y ≥ 1) = _________. 解. 94951)1(1)0(=−=≥−==X P X P 94)1(2=−p , 31=p 2719321)0(1)1(3=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==−=≥Y P Y P2. 已知随机变量X 只能取－1, 0, 1, 2四个数值, 其相应的概率依次为cc c c 162,85,43,21, 则c = ______. 解. 2,16321628543211==+++=c cc c c c 3. 用随机变量X 的分布函数F(x)表示下述概率:P(X ≤ a) = ________. P(X = a) = ________. P(X > a) = ________. P(x 1 < X ≤ x 2) = ________.解. P(X ≤ a) = F(a) P(X = a) = P(X ≤ a)－P(X < a) = F(a)－F(a －0) P(X >a)=1－F(a) P(x 1 < X ≤ x 2) = F(x 2)－F(x 1)4. 设k 在(0, 5)上服从均匀分布, 则有实根的概率为_____.02442=+++k kx x 解. k 的分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧=051)(k f其它50≤≤k P{有实根} = P{} 02442=+++k kx x 03216162≥−−k k = P{k ≤－1或k ≥ 2} =535152=∫dk 5. 已知2}{,}{kbk Y P k a k X P =−===(k = 1, 2, 3), X 与Y 独立, 则a = ____, b = ____, 联合概率分布_____, Z = X + Y 的概率分布为_____. 解. 116,132==++a a a a . 4936,194==++b b b b(X, Y)的联合分布为Z = X + Y －2 －1 0 1 2 P24α 66α 251α 126α 72αab = 216α, 5391=α α249)3()1()3,1()2(==−===−===−=abY P X P Y X P Z P α66)2,1()3,2()1(=−==+−===−=Y X P Y X P Z Pα251)1,1()2,2()3,3()0(=−==+−==+−====Y X P Y X P Y X P Z P α126)2,3()1,2()1(=−==+−====Y X P Y X P Z P α723)1()3()1,3()2(==−===−====abY P X P Y X P Z P6. 已知(X, Y)联合密度为 ⎩⎨⎧+=0)sin(),(y x c y x ϕ其它4,0π≤≤y x , 则c = ______, Y 的边缘概率密度=)(y Y ϕ______.解.12,1)sin(4/04/0+==+∫∫c dxdy y x c ππ所以⎩⎨⎧++=0)sin()12(),(y x y x ϕ 其它4,0π≤≤y x当 40π≤≤y 时))4cos()(cos 12()sin()12(),()(4y y dx y x dx y x y Y +−+=++==∫∫∞+∞−πϕϕπ所以⎪⎩⎪⎨⎧+−+=0))4cos()(cos 12()(y y y Y πϕ 其它40π≤≤y7. 设平面区域D 由曲线2,1,01e x x y xy ====及直线围成, 二维随机变量(X, Y)在D 上服从均匀分布, 则(X, Y)关于X 的边缘密度在x = 2处的值为_______. 解. D 的面积 =2121=∫e dx x. 所以二维随机变量(X, Y)的密度为: ⎪⎩⎪⎨⎧=021),(y x ϕ其它D y x ∈),(下面求X 的边沿密度:当x < 1或x > e 2时0)(=x X ϕ当1 ≤ x ≤ e 2时∫∫===∞+∞−x X x dy dy y x x 102121),()(ϕϕ, 所以41)2(=X ϕ. 8. 若X 1, X 2, …, X n 是正态总体N(μ, σ2)的一组简单随机样本, 则)(121n X X X nX +++="服从______. 解. 独立正态分布随机变量的线性函数服从正态分布.μ==⎟⎠⎞⎜⎝⎛∑∑==n i i n i i X E n X n E 11)(11, nX D nX n D ni in i i 2121)(11σ==⎟⎠⎞⎜⎝⎛∑∑==所以 ),(~2nN X σμ9. 如果(X, Y)的联合分布用下列表格给出,且X解.213161)1(,181)3(,91)2(,31)2(=+==+==+==++==Y P Y P Y P X P βαβα 132)3()2()1(=++==+=+=βαY P Y P Y P⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=======+++=======)181)(31()3()2()3,2()91)(31()2()2()2,2(ββαβαβααY P X P Y X P Y P X P Y X P两式相除得βαβα=++18191, 解得 βα2=, 92,91==αβ.10. 设(X, Y)的联合分布律为则 i. Z = X + Y 的分布律 ______. ii. V = X －Y 的分布律______. iii. U= X 2 + Y －2的分布律_______. 解.X + Y －3 －2 －1 －3/2 －1/2 1 3 P1/12 1/12 3/12 2/12 1/12 2/12 2/12X －Y－1 0 1 3/2 5/2 3 5P 3/12 1/12 1/12 1/12 2/12 2/12 2/12X 2 + Y －2 －15/4 －3 －11/4 －2 －1 5 7P2/12 1/12 1/12 1/12 3/12 2/12 2/12二. 单项选择题1. 如下四个函数哪个是随机变量X 的分布函数(A)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=221)(x F , (B) 0022≥<≤−−<x x x ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F ππ≥<≤<x x x 00(C) , (D) ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F 2/2/00ππ≥<≤<x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=1310)(x x F 212100≥<≤<x x x解. (A)不满足F(+∞) = 1, 排除(A); (B)不满足单增, 排除(B); (D)不满足F(1/2 + 0) = F(1/2), 排除(D); (C)是答案. 2. 是随机变量X 的概率分布, 则λ, c 一定满足),4,2,0(!/)("===−k k ec k X P k λλ(A) λ > 0 (B) c > 0 (C) c λ > 0 (D) c > 0, 且 λ > 0 解. 因为, 所以c > 0. 而k 为偶数, 所以λ可以为负.所以(B)是答案.),4,2,0(!/)("===−k k ec k X P k λλ3. X ～N(1, 1), 概率密度为ϕ(x), 则(A) (B)5.0)0()0(=≥=≤X P X p ),(),()(+∞−∞∈−=x x x ϕϕ (C) (D) 5.0)1()1(=≥=≤X P X p ),(),(1)(+∞−∞∈−−=x x F x F 解. 因为E(X) = μ = 1, 所以5.0)1()1(=≥=≤X P X p . (C)是答案.4. X, Y 相互独立, 且都服从区间[0, 1]上的均匀分布, 则服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是 (A) (X, Y) (B) X + Y (C) X 2 (D) X －Y解. X ～⎩⎨⎧=01)(x ϕ其它10≤≤x , Y ～ ⎩⎨⎧=01)(y ϕ其它10≤≤y . 所以 (X, Y)～⎩⎨⎧=01),(y x ϕ其它1,0≤≤y x .所以(A)是答案.5. 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=120)(xx F 则1100>≤<≤x x x (A) F(x)是随机变量X 的分布函数. (B) 不是分布函数.(C) 离散型分布函数. (D)连续型分布函数.解. 因为不满足F(1 + 0) = F(1), 所以F(x)不是分布函数, (B)是答案.6. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 它们的分布函数为, 则Z = max(X, Y)的分布函数是)(),(y F x F Y X (A) = max{} (B) = max{} )(z F Z )(),(z F z F Y X )(z F Z |)(||,)(|z F z F Y X (C) = (D) 都不是)(z F Z )()(z F z F Y X解. }{}),{max()()(z Y z X P z Y X P z Z P z F Z ≤≤=≤=≤=且 )()()()(z F z F z Y P z X P Y X =≤≤因为独立. (C)是答案.7. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 其分布函数分别为, 则Z = min(X, Y)的分布函数是)(),(y F x F Y X (A) = (B) =)(z F Z )(z F X )(z F Z )(z F Y (C) = min{} (D) = 1－[1－][1－] )(z F Z )(),(z F z F Y X )(z F Z )(z F X )(z F Y 解. }{1}),{min(1)(1)()(z Y z X P z Y X P z Z P z Z P z F Z >>−=>−=>−=≤=且 )](1)][(1[1)](1)][(1[1z F z F z Y P z X P Y X −−−=≤−≤−−因为独立 (D)是答案.8. 设X 的密度函数为)(x ϕ, 而,)1(1)(2x x +=πϕ 则Y = 2X 的概率密度是(A))41(12y +π (B) )4(22y +π (C) )1(12y +π (D) y arctan 1π解. 2()2(}2{)()(yF y X P y X P y Y P y F X Y =≤=≤=≤= )4(2)2(112121)2()2()]([)(22''y y y y F y F y X X Y Y +=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⋅=⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛==ππϕϕ (B)是答案.9. 设随机变量(X, Y)的联合分布函数为⎩⎨⎧=+−0),()(y x e y x ϕ其它0,0>>y x , 则2YX Z +=的分布密度是(A) ⎪⎩⎪⎨⎧=+−021)()(y x Z e Z ϕ 其它0,0>>y x (B) ⎪⎩⎪⎨⎧=+−0)(2y x Z e z ϕ 其它0,0>>y x(C) (D) ⎩⎨⎧=−04)(2z Z ze Z ϕ00≤>z z ⎪⎩⎪⎨⎧=−021)(zZ eZ ϕ 00≤>z z 解. 2YX Z +=是一维随机变量, 密度函数是一元函数, 排除(A), (B).21210=∫∞+−dz e z , 所以(D)不是答案. (C)是答案. 注: 排除法做单项选择题是经常使用而且很有效的方法. 该题也可直接计算Z 的密度:当z < 0时0)(=z F Z当z ≥ 0时∫∫≤+=≤+=≤+=≤=zy x Z dxdy y x z Y X P z YX P z Z P z F 2),()2()2()()(ϕ=12222020+−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−−∫∫z z z xz y x e ze dx dy e e , (C)是答案.==)()('z F z ZZ ϕ⎩⎨⎧−042z ze 00≤>z z 10. 设两个相互独立的随机变量X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 则下列结论正确的是(A) P{X + Y ≤ 0} = 1/2 (B) P{X + Y ≤ 1} = 1/2 (C) P{X －Y ≤ 0} = 1/2 (D) P{X －Y ≤ 1} = 1/2解. 因为X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 且X 和 Y 相互独立, 所以 X + Y ～ N(1, 2), X －Y ～ N(－1, 2) 于是P{X + Y ≤ 1} = 1/2, (B)是答案.11. 设随机变量X 服从指数分布, 则Y = min{X, 2}的分布函数是(A) 是连续函数 (B) 至少有两个间断点 (C) 是阶梯函数 (D) 恰好有一个间断点 解. 分布函数:))2,(min(1))2,(min()()(y X P y X P y Y P y F Y >−=≤=≤= 当y ≥ 2时101))2,(min(1)(=−=>−=y X P y F Y 当0 ≤ y < 2时)2,(1))2,(min(1)(y y X y X P y F Y >>−=>−=ye y X P y X P λ−−=≤=>−=1)()(1当y < 0时)2,(1))2,(min(1)(y y X y X P y F Y >>−=>−= 0)()(1=≤=>−=y X P y X P于是 只有y = 2一个间断点, (D)是答案.⎪⎩⎪⎨⎧−=−011)(y Y e y F λ0202<<≤≥y y y三. 计算题1. 某射手有5发子弹, 射击一次的命中率为0.9, 如果他命中目标就停止射击, 不命中就一直到用完5发子弹, 求所用子弹数X 的分布密度. 解. 假设X 表示所用子弹数. X = 1, 2, 3, 4, 5.P(X = i) = P(前i －1次不中, 第i 次命中) = , i = 1, 2, 3, 4.9.0)1.0(1⋅−i 当i = 5时, 只要前四次不中, 无论第五次中与不中, 都要结束射击(因为只有五发子弹). 所以 P(X = 5) = . 于是分布律为 4)1.0(X1 2 3 4 5p 0.9 0.09 0.009 0.0009 0.00012. 设一批产品中有10件正品, 3件次品, 现一件一件地随机取出, 分别求出在下列各情形中直到取得正品为止所需次数X 的分布密度.i. 每次取出的产品不放回; ii. 每次取出的产品经检验后放回, 再抽取; iii. 每次取出一件产品后总以一件正品放回, 再抽取.解. 假设A i 表示第i 次取出正品(i = 1, 2, 3, …) i.13)()1(1===A P X P 1331210)()|()()2(11212⋅====A P A A P A A P X P1331221110)()|()|()()3(11223321⋅⋅====A P A A P A A P A A A P X P1331221111)()|()|()|()4(1122334⋅⋅⋅===A P A A P A A P A A P XPii. 每次抽取后将原产品放回1310133)()()()()(11111−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛====k k k k k A P A P A P A A A p k X P "", (k = 1, 2, …)iii. 每次抽取后总以一个正品放回X 1 2 3 4p1310 1311133⋅ 1312132133⋅⋅ 1331321311⋅⋅⋅ 1310)()1(1===A P X P 1331311)()|()()2(11212⋅====A P A A P A A P X P1331321312)()|()|()()3(112123321⋅⋅====A P A A P A A A P A A A P X P 1331321311)()|()|()|()4(1121231234⋅⋅⋅===A P A A P A A A P A A A A P X P3. 随机变量X 的密度为⎪⎩⎪⎨⎧−=01)(2x cx ϕ其它1||<x , 求: i. 常数c; ii. X 落在21,21(−内的概率. 解. πππϕ1,22|arcsin 21)(110112====−==∫∫−∞+∞−c c c x c dx xc dx x3162|arcsin 211))2/1,2/1((2/102/12/12=⋅==−=−∈∫−ππππx x dx X P 4. 随机变量X 分布密度为i. 2102)(x x −⎪⎩⎪⎨⎧=πϕ , ii. 其它1||<x ⎪⎩⎪⎨⎧−=02)(x x x ϕ其它2110≤≤<≤x x求i., ii 的分布函数F(x).解. i. 当x ≤ 1时∫∫∞−∞−===x xdt dt t x F 00)()(ϕ当－1< x < 1时 ∫∫∞−−++−=−==x x x x xdt t dt t x F 21arcsin 1112)()(212πππϕ 当x ≥ 1时 ∫∫∞−−=−==x dt t dt t x F 112)()(112πϕ所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++−=121arcsin 110)(2x x xx F ππ 1111≥<<−−≤x x xii. 当x < 0时∫∫∞−∞−===x xdt dt t x F 00)()(ϕ当0 ≤ x < 1时 ∫∫∞−===x xx tdt dt t x F 2)()(2ϕ当1 ≤ x < 2时 122)2()()(2110−+−=−+==∫∫∫∞−x x dt t tdt dt t x F x xϕ当2 ≤ x 时1)2()()(211∫∫∫∞−=−+==x dt t tdt dt t x F ϕ所以 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−+−=112220)(22x x x x F 221100≥<≤<≤<x x x x5. 设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差X 具有分布密度函数⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, －∞ < x < +∞ 试求: i. 测量误差的绝对值不超过30的概率;ii. 接连独立测量三次, 至少有一次误差的绝对值不超过30的概率.解. 因为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, －∞ < x < +∞, 所以X ～N(20, 402). i. {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−<−=<<−=<25.0402025.13030)30|(|X P X P X P )25.1()25.0(−Φ−Φ=1)25.1()25.0()25.1(1()25.0(−Φ+Φ=Φ−−Φ= = 0.4931.18944.05987.0−+=(其中Φ(x)为N(0, 1)的分布函数)ii. P(至少有一次误差的绝对值不超过30) = 1－P(三次误差的绝对值都超过30) = 88.012.01)4931.0(13=−=−6. 设电子元件的寿命X 具有密度为⎪⎩⎪⎨⎧=0100)(2x x ϕ100100≤<x x 问在150小时内, i. 三只元件中没有一只损坏的概率是多少? ii. 三只电子元件全损坏的概率是多少? iii. 只有一个电子元件损坏的概率是多少?解. X 的密度⎪⎩⎪⎨⎧=0100)(2x x ϕ100100≤<x x . 所以 31100)150(1501002==<∫dx x X P . 令p = P(X ≥ 150) = 1－31= 32.i. P(150小时内三只元件没有一只损坏) =2783=p ii. P(150小时内三只元件全部损坏) =271)1(3=−piii. P(150小时内三只元件只有一只损坏) =943231213=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛c7. 对圆片直径进行测量, 其值在[5, 6]上服从均匀分布, 求圆片面积的概率分布. 解. 直径D 的分布密度为⎩⎨⎧=01)(d ϕ其它65≤≤d假设42D X π=, X 的分布函数为F(x).)()()(2x D P x X P x F ≤=≤=π当x ≤ 0时, F(x) = 0 当x > 0时⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤−=≤=≤=πππx D xP x D P x X P x F 44)()()(2 当时即425,54ππ<<x xF(x) = 0 当时即πππ925,645≤≤≤≤x x⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤−=≤=≤=πππx D xP x D P x X P x F 44)()()(2=54145−=∫ππxdt x当 x > 9π时1)()(65===∫∫∞−dt dt t x F x ϕ所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=1540)(πxx F ππππ99425425>≤≤<x x x 密度⎪⎩⎪⎨⎧==01)(')(x x F x πϕ 其它ππ9425≤≤x 8. 已知X 服从参数 p = 0.6的0－1分布在X = 0, X = 1下, 关于Y 的条件分布分别为表1、表2所示表1 表2Y 1 2 3 Y 1 2 3 P(Y|X = 0)41 21 41 P(Y|X = 1) 21 61 31求(X, Y)的联合概率分布, 以及在Y ≠ 1时, 关于X 的条件分布.解. X 的分布律为X 0 1 p 0.4 0.6(X, Y)3.05321)1()1|1()1,1(=⋅=======X P X Y P Y X P 1.05361)1()1|2()2,1(=⋅=======X P X Y P Y X P2.05331)1()1|3()3,1(=⋅=======X P X Y P Y X P1.05241)0()0|1()1,0(=⋅=======X P X Y P Y X P2.05221)0()0|2()2,0(=⋅=======X P X Y P Y X P1.05241)0()0|3()3,0(=⋅=======X P X Y P Y X P所以Y 的分布律为Y1 2 3 p0.4 0.3 0.35.06.03.0)1()1,0()1|0(==≠≠==≠=Y P Y X P Y X P5.06.03.0)1()1,1()1|1(==≠≠==≠=Y P Y X P Y X P所以X|Y ≠ 1 0 1 p0.5 0.59. 设随机变量X 与Y 相互独立, 并在区间[0, 9]上服从均匀分布, 求随机变量YXZ =的分布密度.解. X ～⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x X ϕ其它90≤≤x , Y ～⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x Y ϕ 其它90≤≤y 因为X, Y 相互独立, 所以(X, Y)联合密度为(X, Y)～⎪⎩⎪⎨⎧=0811),(y x ϕ 其它9,0≤≤y x , )()()(z X Y P z Z P z F Z ≤=≤=当 z ≤ 0时当 0 < z < 1时0)(=z F Z z z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F D Z 219928181)()()()(1=⋅⋅==≤=≤=≤=∫∫当z ≥ 1时∫∫=≤=≤=≤=2811)()()()(D Z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F zz 211)992181(811−=⋅−⋅=所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2'21210)()(zz F z Z Z ϕ 1100≥<<≤z z z 10. 设(X, Y)的密度为⎩⎨⎧−−=0)1(24),(y x y y x ϕ其它1,0,0<+>>y x y x 求: i.21|(),|(),(=x y x y x X ϕϕϕ, ii. )21|(),|(),(=y x y x y Y ϕϕϕ 解.i.∫∞+∞−=dy y x x X ),()(ϕϕ当x ≤ 0 或 x ≥ 1时0),()(==∫∞+∞−dy y x x X ϕϕ当0 < x < 1时310)1(4)1(24),()(x dy y x y dy y x x x X −=−−==∫∫−∞+∞−ϕϕ所以 ⎩⎨⎧−=0)1(4)(3x x X ϕ其它10<<x所以 ⎪⎩⎪⎨⎧−−−==0)1()1(6)(),()|(3x y x y x y x x y X ϕϕϕ 其它1,0,0<+>>y x y x 所以 ⎩⎨⎧−==0)21(24)21|(y y x y ϕ 其它210<<yii.∫∞+∞−=dx y x y Y ),()(ϕϕ当y ≤ 0 或 y ≥ 1时0),()(==∫∞+∞−dx y x y Y ϕϕ当0 < y < 1时210)1(12)1(24),()(y y dx y x y dx y x y y Y −=−−==∫∫−∞+∞−ϕϕ所以 ⎩⎨⎧−=0)1(12)(2y y y Y ϕ其它10<<y所以 ⎪⎩⎪⎨⎧−−−==0)1()1(2)(),()|(2y y x y y x y x Y ϕϕϕ其它1,0,0<+>>y x y x 所以 ⎩⎨⎧−==0)21(4)21|(x y x ϕ 其它210<<x第三章 随机变量的数字特征一. 填空题1. 设随机变量X 与Y 相互独立, D(X) = 2, D(Y) = 4, D(2X －Y) = _______. 解. D(2X －Y) = 4D(X) + D(Y) = 122. 已知随机变量X ～N(－3, 1), Y ～N(2, 1 ), 且X 与Y 相互独立, Z = X －2Y + 7, 则Z ～____. 解. 因为Z = X －2Y + 7, 所以Z 服从正态分布. E(Z) = E(X)－2E(Y) + 7 = 0. D(Z) = D(X －2Y + 7) = D(X) + 4D(Y) = 1+4 = 5. 所以Z ～N(0, 5)3. 投掷n 枚骰子, 则出现点数之和的数学期望______. 解. 假设X i 表示第i 颗骰子的点数(i = 1, 2, …, n). 则 E(X i ) = 27616612611=⋅++⋅+⋅" (i= 1, 2, …, n) 又设, 则∑==ni iXX 127)()()(11nX E X E X E ni in i i===∑∑== 4. 设离散型随机变量X 的取值是在两次独立试验中事件A 发生的次数, 如果在这些试验中事件发生的概率相同, 并且已知E(X) = 0.9, 则D(X) = ______. 解. , 所以E(X) = 0.9 = 2p. p = 0.45, q = 0.55 ),2(~p B X D(X) = 2pq = 2×0.45×0.55 = 0.495.5. 设随机变量X 在区间[－1, 2]上服从均匀分布, 随机变量 , 则方差D(Y) = _______.⎪⎩⎪⎨⎧−=101Y 000<=>X X X 解. X ～⎪⎩⎪⎨⎧=031)(x ϕ 其它21≤≤−xY 的分布律为Y 1 0 －1 p2/3 0 1/3因为 3231)0()1(20==>==∫dx X P Y P0)0()0(====X P Y P 3131)0()1(01==<=−=∫−dx X P Y P 于是 313132)(=−=Y E , 13132)(2=+=Y E , 98)]([)()(22=−=Y E Y E Y D6. 若随机变量X 1, X 2, X 3相互独立, 且服从相同的两点分布, 则服从⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛2.08.010∑==31i i X X_______分布, E(X) = _______, D(X) = ________.解. X 服从B(3, 0.2). 所以E(X) = 3p = 3×0.2= 0.6, D(X) = 3pq = 3×0.2×0.8 = 0.487. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 且X ～N(0, 1), Y 在[－1, 1]上服从均匀分布, 则= _______.),cov(Y X 解. 因为X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 所以= 0.),cov(Y X 8. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 其概率密度分别为:⎩⎨⎧=02)(x x ϕ其它10≤≤x ,, 则E(XY) = ________.⎩⎨⎧=−−0)()5(y e y ϕ其它5>y 解. 322)()(10=⋅==∫∫∞+∞−xdx x dx x x X E ϕ 6)()(5)5(=⋅==∫∫∞+−−∞+∞−dy e y dy y y Y E y ϕ因为X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 所以E(XY) = E(X)E(Y) = 49. 若随机变量X 1, X 2, X 3相互独立, 其中X 1在[0, 6]服从均匀分布, X 2服从正态分布N(0, 22), X 3服从参数λ = 3的泊松分布, 记Y = X 1－2X 2 + 3X 3, 则D(Y) = ______. 解. )(9)(4)()32()(321321X D X D X D X X X D Y D ++=+−==4639441262=×+×+二. 单项选择题1. 设随机变量X 和Y 独立同分布, 记U = X －Y , V = X + Y , 则U 和V 必然 (A) 不独立 (B) 独立 (C) 相关系数不为零 (D) 相关系数为零 解. 因为X 和Y 同分布, 所以E(U) = E(X)－E(Y) = 0, E(U)E(V) = 0. .0)()()(22=−=Y E X E UV E 所以 cov(X,Y) = E(UV)－E(U)E(V) = 0. (D)是答案. 2. 已知X 和Y 的联合分布如下表所示, 则有(A) X 与Y 不独立 (B) X 与Y 独立 (C) X 与Y 不相关 (D) X 与Y 彼此独立且相关 解. P(X = 0) = 0.4, P(Y = 0) = 0.3.0.1 = P(X = 0, Y= 0) ≠ P(X = 0)×P(Y = 0). (A)是答案.3. 设离散型随机变量X 可能取值为: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3, 且E(X) = 2.3, E(X 2) = 5.9, 则x 1, x 2,x 3所对应的概率为(A) p 1 = 0.1, p 2 = 0.2, p 3 = 0.7 (B) p 1 = 0.2, p 2 = 0.3, p 3 = 0.5 (C) p 1 = 0.3, p 2 = 0.5, p 3 = 0.2 (D) p 1 = 0.2, p 2 = 0.5, p 3 = 0.3解. 3.223)1(32)(212121332211=−−=−−++=++=p p p p p p p x p x p x X E7.0221=+p p 9.5)1(94)(21213232221212=−−++=++=p p p p p x p x p x X E1.35821=+p p 解得 p 1= 0.2, p 2 = 0.3, p 3 = 0.5. (B)是答案. 4. 现有10张奖券, 其中8张为2元, 2张为5元, 今每人从中随机地无放回地抽取3张, 则此人抽得奖券的金额的数学期望 (A) 6 (B) 12 (C) 7.8 (D) 9解. 假设X 表示随机地无放回地抽取3张, 抽得奖券的金额. X 的分布律为X 6 9 12 p7/15 7/15 1/15157)()6(31038====c c P X P 三张都是二元157),()9(3101228====c c c P X P 一张五元二张二元151),()9(3102218====c c c P X P 二张五元一张二元8.71511215791576)(=⋅+⋅+⋅=X E . (C)是答案. 5. 设随机变量X 和Y 服从正态分布, X ～N(μ, 42), Y ～N(μ, 52), 记P 1 =P{X ≤ μ－4}, P 2 = P{Y ≥μ + 5}, 则(A) 对任何μ, 都有P 1 = P 2 (B) 对任何实数μ, 都有P 1 < P 2(C) 只有μ的个别值, 才有P 1 = P 2 (D) 对任何实数μ, 都有P 1 > P 2解. P 1 = {X ≤ μ－4} =)1(1)1(14Φ−=−Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤−μX PP 2 = {Y ≥ μ + 5} =)1(115115Φ−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤−−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−μμY P Y P(其中Φ(x)为N(0, 1)的分布函数). 所以(A)是答案.6. 随机变量ξ = X + Y 与η = X －Y 不相关的充分必要条件为(A) E(X) = E(Y) (B) E(X 2)－E 2(X) = E(Y 2)－E 2(Y) (C) E(X 2) = E(Y 2) (D) E(X 2) + E 2(X) = E(Y 2) + E 2(Y) 解. cov(ξ, η) = E(ξη)－E(ξ)E(η)E(ξη) = )()()])([(22Y E X E Y X Y X E −=−+ E(ξ)E(η) = [E(X)+E(Y)][E(X)－E(Y)] = )()(22Y E X E −所以(B)是答案.三. 计算题1. 设X 的分布律为1)1()(++==k ka a k X P , k = 0, 1, 2, …, a > 0, 试求E(X), D(X).解. ∑∑∑∞=+∞=+∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=+===1111011)1()()(k k k k k k a a k a a ka k X kP X E令 22'2'1211201)1(1)(x x x x x x x kx x kxx f k k k k k k −=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛===∑∑∑∞=∞=−∞=+ 2222)11()1(1(a aa a a a a f =+−+=+, 所以a a a X E =⋅=21)(.∑∑∑∞=+∞=+∞=+−+=+===11112022)1()11()1()()(k k kk k k k a a k k a a k k X P k X E ∑∑∑∞=∞=+∞=+−+++=+−++=11111)1()1(11)1()1()1(k k kk k k k k k a a a k k a a a k a a k k 令 3''2''1111)1(21)1()1()(x x x x x x x kx k x kxk x f k k k k k k−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=+=+=∑∑∑∞=+∞=−∞= 23)1(2)11(121(a a a a a aa a f +=+−+=+,所以2222)1(211)(a a a a a a X E +=−+⋅+=.222222)]([)()(a a a a a X E X E X D +=−+=−=.2. 设随机变量X 具有概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧=0cos 2)(2x x πϕ 其它2||π≤x , 求E(X), D(X).解. 0cos 2)()(222===∫∫−∞+∞−πππϕxdx xdx x x X E∫−=−=222222cos 2)]([)()(πππxdx x X E X E X D211222cos 1222202−=+=∫πππdx x x 3. 设随机变量X 和Y 的联合概率分布为(X, Y)(0, 0)(0, 1)(1, 0)(1, 1)(2, 0)(2, 1)P(X=x, Y=y) 0.10 0.15 0.25 0.20 0.15 0.15求⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2)(sin Y X E π. 解. 2)(sinY X +π的分布律为 sin π(X + Y)/20 1 －1 p0.45 0.40 0.1525.015.0)1(40.0145.002)(sin =×−+×+×=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+Y X E π 4. 一汽车沿一街道行驶需要通过三个设有红绿信号灯路口, 每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立, 且红绿两种信号显示的时间相等, 以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数, 求: i. X 的概率分布, ii. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+XE 11 解. 假设X 为该汽车首次遇到红灯已通过的路口数X 0 1 2 3 p1/2 1/22 1/23 1/23P(X = 0) = P{第一个路口为红灯} =21P(X = 1) = P{第一个路口为绿灯, 第二个路口为红灯} =2212121=⋅ P(X = 0) = P{第一,二路口为绿灯, 第三个路口为红灯} =321P(X = 0) = P{第一, 二, 三路口为绿灯} =3219667214121312121211111332=⋅+⋅+⋅+⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+X E 5. 设(X, Y)的分布密度⎩⎨⎧=+−04),()(22y xxye y x ϕ其它,0>>y x求)(22Y X E +.解. ∫∫∫∫>>+−∞+∞−∞+∞−+=+=+00)(222222224),()(y x y xdxdy xye y x dxdy y x y x Y X E ϕ434sin cos 02202πθθθπ=⋅⋅⋅⋅=∫∫∞+−rdr e r r d r 6. 在长为l 的线段上任选两点, 求两点间距离的数学期望与方差.解. 假设X, Y 为线段上的两点. 则它们都服从[0, l ]上的均匀分布, 且它们相互独立.X ～⎪⎩⎪⎨⎧=01)(l x ϕ, Y ～其它l x ≤≤0⎪⎩⎪⎨⎧=01)(l y ϕ 其它l y ≤≤0 (X, Y)的联合分布为⎪⎩⎪⎨⎧=01)(2l x ϕ其它l y x ≤≤,0. 又设Z = |X －Y|, D 1={(x, y): x > y, 0 ≤x, y ≤ l }, D 2={(x, y): x ≤ y, 0 ≤ x, y ≤ l } ∫∫∫∫∫∫−+−=−=∞+∞−∞+∞−21221)(1)(),(||)(D D dxdy l x y dxdy l y x dxdy y x y x Z E ϕ ∫∫∫∫−+−=l ylxdy dx x y l dx dy y x l 02002])([1])([13212122022ldy y ldx x ll l =+=∫∫6)(1),()()(2002222l dxdy y x ldxdy y x y x Z E ly lx =−=−=∫∫∫∫∞+∞−∞+∞−≤≤≤≤ϕ 1896)]([)()(22222l l l Z E Z E Z D =−=−=7. 设随机变量X 的分布密度为)(,21)(||+∞<<−∞=−−x e x x μϕ, 求E(X), D(X). 解. ∫∫∫∞+∞−−∞+∞−−−∞+∞−+−===dt e t x t dx e x dx x x X E t x ||||)(2121)()(μμϕμ=∫∞+∞−−dt te t ||21+μμμ==∫∫∞+−∞+∞−−0||21dt e dt e t t∫∫∫∞+∞−−∞+∞−−−∞+∞−+−===dt e t x t dx e x dx x x X E t x ||2||222)(2121)()(μμϕμ=∫+∞+−02dt e t t 2022μμμ+==∫∫∞+−∞+−dt e dt e t t 所以22)]([)()(2222=−+=−=μμX E X E X D8. 设(X, Y)的联合密度为⎪⎩⎪⎨⎧=01),(πϕy x , 求E(X), D(Y), ρ(X, Y).其它122≤+y x 解. 01),()(122===∫∫∫∫+∞∞−+∞∞−≤+y x xdxdy dxdy y x x X E πϕ01),()(122===∫∫∫∫+∞∞−+∞∞−≤+y x ydxdy dxdy y x y Y E πϕ41cos 11),()(20132122222====∫∫∫∫∫∫∞+∞−∞+∞−≤+πθθππϕdr r d dxdy x dxdy y x x X E y x 41sin 11),()(20132122222====∫∫∫∫∫∫∞+∞−∞+∞−≤+πθθππϕdr r d dxdy y dxdy y x y Y E y x 01),()(122===∫∫∫∫∞+∞−∞+∞−≤+y x xydxdy dxdy y x xy XY E πϕ41)]([)()(22=−=X E X E X D , 41)]([)()(22=−=Y E Y E Y D0)()()()()(=−=Y D X D Y E X E XY E XY ρ.9. 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2, 机器发生故障时全天停止工作. 若一周5个工作日里无故障, 可获利润10万元, 发生一次故障仍可获利润5万元; 发生二次故障所获利润0元; 发生三次或三次以上故障就要亏损2万元. 求一周内期望利润是多少? 解. 假设X 表示一周内发生故障的天数. 则X ～B(5, 0.8),33.0)8.0()0(5===X P 41.0)8.0(2.05)1(4=××==X P , 20.0)8.0(2.0)2(3225=××==c X P 06.020.041.033.01)3(=−−−=≥X P又设Y 为该企业的利润, Y 的分布律为Y 10 5 0 －2p 0.33 0.41 0.20 0.06E(Y) = 10×0.33 + 5×0.41 + 0×0.20 + (－2)×0.06 = 5.23(万元)10. 两台相互独立的自动记录仪, 每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布; 若先开动其中的一台, 当其发生故障时停用而另一台自行开动. 试求两台记录仪无故障工作的总时间T 的概率密度、数学期望和方差.)(t f 解. 假设X 、Y 分别表示第一、二台记录仪的无故障工作时间, 则X 、Y 的密度函数如下:⎩⎨⎧<≥=−05)(~,5x x e x f Y X xX 、Y 相互独立, 且 T = X + Y .X 、Y 的联合密度:⎩⎨⎧≥≥=+−,00,0,25),()(5y x e y x f y x 关于T 的分布函数:∫∫≤+=≤+=≤=ty x T dxdy y x f t Y X P t T P t F ),(}{}{)( 当 时0<t∫∫∫∫≤+≤+===≤+=≤=ty x ty x T dxdy dxdy y x f t Y X P t T P t F 00),(}{}{)( 当 时0≥t∫∫∫∫≥≥≤++−≤+==≤+=≤=0,0)(525),(}{}{)(y x t y x y x ty x T dxdy edxdy y x f t Y X P t T P t Ft t tx t y x xt y tx te e dx e e dy e dx e 550055050551|)(525−−−−−−−−−−=−==∫∫∫所以 ⎩⎨⎧<≥−−=−−0,00,51)(55t t te e t F t t T 所以T 的概率密度: ⎩⎨⎧<≥==−0,00,25)]'([)(5t t e t t F t f t T T 所以 ∫∫∞+∞−∞+−===5225)()(052dt e t dt t f t T E t T 所以∫∫∞+∞−∞+−=−=−=−=25225425)52()()]([)()(0532222dt e t dt t f t T E T E T D tT。

2008-2020高考理数全国1卷分类汇编--统计概率一 选择填空题1(2008)．如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A ．96 B ．84 C ．60 D ．482(2009)甲组有5名同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。

若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有 （A ）150种 （B ）180种 （C ）300种 (D)345种3(2009)(13) 10()x y 的展开式中，73x y 的系数与37x y 的系数之和等于 .4(2010)(5) (1+2x )3(1-3x )5的展开式中x 的系数是(A) -4(B) -2(C) 2(D) 45(2010)(6) 某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门。

若要求两类课程中各至少一门，则不同的选法共有（A ）30种 （B ）35种 （C ）42种 （D ）48种6(2011)（3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（ ） （A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040D BC A7(2011)（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ） （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）348(2011)（8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ） （A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）409（2012）（11）将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）36种10（2012）15）若1()n x x +的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x 的系数为_________。

名火炬手 . 若从中任选 3 人，则选出的火炬手的编号能组成 3 为公差的等差数列
的概率为 B
（ A） 1 51
（ C） 1 306
（B） 1 68
（D） 1 408
3.（山东卷 8) 右图是根据 《山东统计年整 2007》中的资料作成的 1997 年至 2006
年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图 . 图中左边的数字从左到右分别表示城
2008 年高考数学试题分类汇编 概率与统计
一． 选择题：
1. （安徽卷
10）．设两个正态分布
N(
1，
2 1
)(
1
0) 和 N (
2，
2 2
)(
2
0) 的密度
函数图像如图所示。则有（ A ）
A． 1
2, 1
2
B． 1
2, 1
2
C． 1
2, 1
2
D． 1
2, 1
2
2. （山东卷 7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为 1，2，3，…， 18 的 18
(A) 1 5
(B) 1 4
7. （福建卷 5) 某一批花生种子，如果每
(C) 1 3
(D) 1 2
1 粒发牙的概率为 4 , 那么播下 4 粒种子 5
恰有 2 粒发芽的概率是 B
A. 16 625
B. 96 625
C. 192 625
D. 256 625
8（. 广东卷 2）记等差数列 { an} 的前 n 项和为 Sn ，若 a1 1 ，S4 20 ，则 S6 （ D ） 2
方案乙：先任取 3 只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这
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2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至9页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意： 1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k kn k n n P k C P P k n -=-=，，，一、选择题1．函数y =）A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）3．在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ） A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b cD ．1233+b c 4．设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（ ） A ．2B ．1C ．0D ．1-5．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138B ．135C ．95D ．236．若函数(1)y f x =-的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ ）A ．e 2x-1B ．e 2xC ．e 2x+1D ． e 2x+27．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2B ．12C ．12- D ．2-8．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位9．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-+∞，，B ．(1)(01)-∞-，，C ．(1)(1)-∞-+∞，， D ．(10)(01)-，，10．若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b +≥ 11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为A ．B ．C ．D ．ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）A ．13B．3CD ．2312．如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A ．96 B ．84 C ．60 D ．482008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 13．13．若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 ．14．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．15．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．16．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为3，M 、N 分别是AC 、BC 的中点，则EM 、AN 所成角的余弦值等于 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a 、b 、c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=． （Ⅰ）求tan cot A B 的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值． 18．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，CD =AB AC =．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45，求二面角C AD E --的大小．19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围． 20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．CDE AB方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望． 21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=． （Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数； （Ⅱ）证明：11n n a a +<<；（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥．证明：1k a b +>．参考答案一、选择题 1、C 2、A 3、A 4、D 5、C 6、B 7、D 8、A 9.D 10.D ． 11.B ． 12.B. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13.答案：9．14. 答案：2.15.答案：38. 16.答案：16. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解析：（Ⅰ）由正弦定理得a=CBc b C A c sin sin ,sin sin =acosB-bcosA=(A CBB C A cos sin sin cos sin sin ⋅-⋅)c=c B A AB B A ⋅+-)sin(cos sin cos sin=c B A B A BA B A ⋅+-sin cos cos sin sin cos cos sin=1cot tan )1cot (tan +-B A cB A依题设得c B A c B A 531cot tan )1cot (tan =+-解得tanAcotB=4(II)由（I ）得tanA=4tanB ，故A 、B 都是锐角，于是tanB>0 tan(A-B)=B A BA tan tan 1tan tan +-=B B 2tan 41tan 3+ ≤43， 且当tanB=21时，上式取等号，因此tan(A-B)的最大值为4318．解：(I)作AO ⊥BC ，垂足为O ，连接OD ，由题设知，AO ⊥底面BCDE ，且O 为BC 中点， 由21==DE CD CD OC 知，Rt △OCD ∽Rt △CDE ， 从而∠ODC=∠CED ，于是CE ⊥OD ， 由三垂线定理知，AD ⊥CE（II ）由题意，BE ⊥BC ，所以BE ⊥侧面ABC ，又BE ⊂侧面ABE ，所以侧面ABE ⊥侧面ABC 。

2008年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）函数的定义域为（ ）A．{x|x≥0}B．{x|x≥1}C．{x|x≥1}∪{0}D．{x|0≤x≤1} 2．（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（ ）A．B．C．D．3．（5分）在△ABC中，=，=．若点D满足=2，则=（ ）A．B．C．D．4．（5分）设a∈R，且（a+i）2i为正实数，则a=（ ）A．2B．1C．0D．﹣15．（5分）已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（ ）A．138B．135C．95D．236．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称，则f（x）=（ ）A．e2x﹣2B．e2x C．e2x+1D．e2x+27．（5分）已知曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a 的值为（ ）A．2B．C．﹣D．﹣28．（5分）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（ ）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位9．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式＜0的解集为（ ）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，1）10．（5分）若直线=1与圆x2+y2=1有公共点，则（ ）A．a2+b2≤1B．a2+b2≥1C．D．11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC 内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（ ）A．B．C．D．12．（5分）如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）A．96B．84C．60D．48二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为 ．14．（5分）已知抛物线y=ax2﹣1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．15．（5分）在△ABC中，AB=BC，．若以A，B为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e= ．16．（5分）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D 的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于 ．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA=c．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．18．（12分）四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，，AB=AC．（Ⅰ）证明：AD⊥CE；（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C﹣AD﹣E的大小．19．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a的取值范围．20．（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．21．（12分）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知||、||、||成等差数列，且与同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．22．（12分）设函数f（x）=x﹣xlnx．数列{a n}满足0＜a1＜1，a n+1=f（a n）．（Ⅰ）证明：函数f（x）在区间（0，1）是增函数；（Ⅱ）证明：a n＜a n+1＜1；（Ⅲ）设b∈（a1，1），整数．证明：a k+1＞b．2008年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）函数的定义域为（ ）A．{x|x≥0}B．{x|x≥1}C．{x|x≥1}∪{0}D．{x|0≤x≤1}【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】偶次开方的被开方数一定非负．x（x﹣1）≥0，x≥0，解关于x的不等式组，即为函数的定义域．【解答】解：由x（x﹣1）≥0，得x≥1，或x≤0．又因为x≥0，所以x≥1，或x=0；所以函数的定义域为{x|x≥1}∪{0}故选：C．【点评】定义域是高考必考题通常以选择填空的形式出现，通常注意偶次开方一定非负，分式中分母不能为0，对数函数的真数一定要大于0，指数和对数的底数大于0且不等于1．另外还要注意正切函数的定义域．2．（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（ ）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】16：压轴题；31：数形结合．【分析】由已知中汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，汽车的行驶路程s看作时间t的函数，我们可以根据实际分析函数值S（路程）与自变量t（时间）之间变化趋势，分析四个答案即可得到结论．【解答】解：由汽车经过启动后的加速行驶阶段，路程随时间上升的速度越来越快，故图象的前边部分为凹升的形状；在汽车的匀速行驶阶段，路程随时间上升的速度保持不变故图象的中间部分为平升的形状；在汽车减速行驶之后停车阶段，路程随时间上升的速度越来越慢，故图象的前边部分为凸升的形状；分析四个答案中的图象，只有A答案满足要求，故选：A．【点评】从左向右看图象，如果图象是凸起上升的，表明相应的量增长速度越来越慢；如果图象是凹陷上升的，表明相应的量增长速度越来越快；如果图象是直线上升的，表明相应的量增长速度保持不变；如果图象是水平直线，表明相应的量保持不变，即不增长也不降低；如果图象是凸起下降的，表明相应的量降低速度越来越快；如果图象是凹陷下降的，表明相应的量降低速度越来越慢；如果图象是直线下降的，表明相应的量降低速度保持不变．3．（5分）在△ABC中，=，=．若点D满足=2，则=（ ）A．B．C．D．【考点】9B：向量加减混合运算．【分析】把向量用一组向量来表示，做法是从要求向量的起点出发，尽量沿着已知向量，走到要求向量的终点，把整个过程写下来，即为所求．本题也可以根据D点把BC分成一比二的两部分入手．【解答】解：∵由，∴，∴．故选：A．【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的4．（5分）设a∈R，且（a+i）2i为正实数，则a=（ ）A．2B．1C．0D．﹣1【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】注意到a+bi（a，b∈R）为正实数的充要条件是a＞0，b=0【解答】解：（a+i）2i=（a2+2ai﹣1）i=﹣2a+（a2﹣1）i＞0，a=﹣1．故选D．【点评】本题的计算中，要注意到相应变量的范围．5．（5分）已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（ ）A．138B．135C．95D．23【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题．【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前n项和，根据a2+a4=4，a3+a5=10我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出基本量（首项及公差），进而代入前n项和公式，即可求解．【解答】解：∵（a3+a5）﹣（a2+a4）=2d=6，∴d=3，a1=﹣4，∴S10=10a1+=95．故选：C．【点评】在求一个数列的通项公式或前n项和时，如果可以证明这个数列为等差数列，或等比数列，则可以求出其基本项（首项与公差或公比）进而根据等差或等比数列的通项公式，写出该数列的通项公式，如果未知这个数列的类型，则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关，间接求其通项公式．6．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称，则f（x）=（ ）A．e2x﹣2B．e2x C．e2x+1D．e2x+2【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】由函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称知这两个函数互为反函数，故只要求出函数y=f（x）的反函数即可，欲求原函数的反函数，即从原函数y=ln中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．【解答】解：∵，∴，∴x=（e y﹣1）2=e2y﹣2，改写为：y=e2x﹣2∴答案为A．【点评】本题主要考查了互为反函数图象间的关系及反函数的求法．7．（5分）已知曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a 的值为（ ）A．2B．C．﹣D．﹣2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】53：导数的综合应用．【分析】求出函数的导数，切线的斜率，由两直线垂直的条件，即可得到a的值．【解答】解：∵y=，∴y′==，∴曲线y=在点（3，2）处的切线的斜率k=﹣，∵曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，∴直线ax+y+1=0的斜率k′=﹣a×=﹣1，即a=﹣2．故选：D．【点评】本题考查导数的几何意义的求法，考查导数的运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与直线垂直的性质的灵活运用．8．（5分）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（ ）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题．【分析】先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．【解答】解：∵，只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象．故选：A．【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．9．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式＜0的解集为（ ）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，1）【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】16：压轴题．【分析】首先利用奇函数定义与得出x与f（x）异号，然后由奇函数定义求出f（﹣1）=﹣f（1）=0，最后结合f（x）的单调性解出答案．【解答】解：由奇函数f（x）可知，即x与f（x）异号，而f（1）=0，则f（﹣1）=﹣f（1）=0，又f（x）在（0，+∞）上为增函数，则奇函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，当0＜x＜1时，f（x）＜f（1）=0，得＜0，满足；当x＞1时，f（x）＞f（1）=0，得＞0，不满足，舍去；当﹣1＜x＜0时，f（x）＞f（﹣1）=0，得＜0，满足；当x＜﹣1时，f（x）＜f（﹣1）=0，得＞0，不满足，舍去；所以x的取值范围是﹣1＜x＜0或0＜x＜1．故选：D．【点评】本题综合考查奇函数定义与它的单调性．10．（5分）若直线=1与圆x2+y2=1有公共点，则（ ）A．a2+b2≤1B．a2+b2≥1C．D．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】用圆心到直线的距离小于或等于半径，可以得到结果．【解答】解：直线与圆有公共点，即直线与圆相切或相交得：d≤r，∴，故选：D．【点评】本题考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，是基础题．11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC 内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（ ）A．B．C．D．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；31：数形结合；4R：转化法；5G：空间角．【分析】法一：由题意可知三棱锥A1﹣ABC为正四面体，设棱长为2，求出AB1及三棱锥的高，由线面角的定义可求出答案；法二：先求出点A1到底面的距离A1D的长度，即知点B1到底面的距离B1E的长度，再求出AE的长度，在直角三角形AEB1中求AB1与底面ABC所成角的正切，再由同角三角函数的关系求出其正弦．【解答】解：（法一）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，设为D，所以三棱锥A1﹣ABC为正四面体，设棱长为2，则△AA1B1是顶角为120°等腰三角形，所以AB1=2×2×sin60°=2，A1D==，所以AB1与底面ABC所成角的正弦值为==；（法二）由题意不妨令棱长为2，点B1到底面的距离是B1E，如图，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，设为D，故DA=，由勾股定理得A1D==故B1E=，如图作A1S⊥AB于中点S，过B1作AB的垂线段，垂足为F，F=A1S=，AF=3，BF=1，B在直角三角形B1AF中用勾股定理得：AB1=2，所以AB1与底面ABC所成角的正弦值sin∠B1AE==．故选：B．【点评】本题考查了几何体的结构特征及线面角的定义，还有点面距与线面距的转化，考查了转化思想和空间想象能力．12．（5分）如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）A．96B．84C．60D．48【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．【专题】16：压轴题．【分析】这道题比起前几年出的高考题要简单些，只要分类清楚没有问题，分为三类：分别种两种花、三种花、四种花，分这三类来列出结果．【解答】解：分三类：种两种花有A42种种法；种三种花有2A43种种法；种四种花有A44种种法．共有A42+2A43+A44=84．故选：B．【点评】本题也可以这样解：按A﹣B﹣C﹣D顺序种花，可分A、C同色与不同色有4×3×（1×3+2×2）=84．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为　9　．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；13：作图题．【分析】首先作出可行域，再作出直线l0：y=2x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=2x﹣z在y轴上的截距最小时，z有最大值，求出此时直线y=2x﹣z经过的可行域内的点的坐标，代入z=2x﹣y中即可．【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=2x，将l0平移至过点A处时，函数z=2x﹣y有最大值9．【点评】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想．14．（5分）已知抛物线y=ax2﹣1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为　2　．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题．【分析】先根据抛物线y=ax2﹣1的焦点坐标为坐标原点，求得a，得到抛物线方程，进而可知与坐标轴的交点的坐标，进而可得答案．【解答】解：由抛物线y=ax2﹣1的焦点坐标为坐标原点得，，则与坐标轴的交点为（0，﹣1），（﹣2，0），（2，0），则以这三点围成的三角形的面积为故答案为2【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生综合运用所学知识，解决实际问题的能力．15．（5分）在△ABC中，AB=BC，．若以A，B为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e= ．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设AB=BC=1，，则，由此可知，从而求出该椭圆的离心率．【解答】解：设AB=BC=1，，则，∴，．答案：．【点评】本题考查椭圆的性质及应用，解题时要注意的正确计算．16．（5分）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D 的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于 ．【考点】LM：异面直线及其所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先找出二面角的平面角，建立边之间的等量关系，再利用向量法将所求异面直线用基底表示，然后利用向量的所成角公式求出所成角即可．【解答】解：设AB=2，作CO⊥面ABDE，OH⊥AB，则CH⊥AB，∠CHO为二面角C﹣AB﹣D的平面角，结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，则，=故EM，AN所成角的余弦值故答案为：【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA=c．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HP：正弦定理．【分析】本题考查的知识点是正弦定理及两角和与差的正切函数，（Ⅰ）由正弦定理的边角互化，我们可将已知中，进行转化得到sinAcosB=4cosAsinB，再利用弦化切的方法即可求的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，结合角A，B，C为△ABC的内角，我们易得tanA=4tanB ＞0，则tan（A﹣B）可化为，再结合基本不等式即可得到tan（A﹣B）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，，由正弦定理得即sinAcosB=4cosAsinB，则；（Ⅱ）由得tanA=4tanB＞0当且仅当时，等号成立，故当时，tan（A﹣B）的最大值为．【点评】在解三角形时，正弦定理和余弦定理是最常用的方法，正弦定理多用于边角互化，使用时要注意一般是等式两边是关于三边的齐次式．18．（12分）四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，，AB=AC．（Ⅰ）证明：AD⊥CE；（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C﹣AD﹣E的大小．【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）取BC中点F，证明CE⊥面ADF，通过证明线面垂直来达到证明线线垂直的目的．（2）在面AED内过点E作AD的垂线，垂足为G，由（1）知，CE⊥AD，则∠CGE 即为所求二面角的平面角，△CGE中，使用余弦定理求出此角的大小．【解答】解：（1）取BC中点F，连接DF交CE于点O，∵AB=AC，∴AF⊥BC．又面ABC⊥面BCDE，∴AF⊥面BCDE，∴AF⊥CE．再根据，可得∠CED=∠FDC．又∠CDE=90°，∴∠OED+∠ODE=90°，∴∠DOE=90°，即CE⊥DF，∴CE⊥面ADF，∴CE⊥AD．（2）在面ACD内过C点作AD的垂线，垂足为G．∵CG⊥AD，CE⊥AD，∴AD⊥面CEG，∴EG⊥AD，则∠CGE即为所求二面角的平面角．作CH⊥AB，H为垂足．∵平面ABC⊥平面BCDE，矩形BCDE中，BE⊥BC，故BE⊥平面ABC，CH⊂平面ABC ，故BE⊥CH，而AB∩BE=B，故CH⊥平面ABE，∴∠CEH=45°为CE与平面ABE所成的角．∵CE=，∴CH=EH=．直角三角形CBH中，利用勾股定理求得BH===1，∴AH=AB﹣BH=AC﹣1；直角三角形ACH中，由勾股定理求得AC2=CH2+AH2=3+（AC﹣1）2，∴AB=AC=2．由面ABC⊥面BCDE，矩形BCDE中CD⊥CB，可得CD⊥面ABC，故△ACD为直角三角形，AD===，故CG===，DG==，，又，则，∴，即二面角C﹣AD﹣E的大小．【点评】本题主要考查通过证明线面垂直来证明线线垂直的方法，以及求二面角的大小的方法，属于中档题．19．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a的取值范围．【考点】3D：函数的单调性及单调区间；3E：函数单调性的性质与判断．【专题】16：压轴题．【分析】（1）求单调区间，先求导，令导函数大于等于0即可．（2）已知f（x）在区间（0，）上是减函数，即f′（x）≤0在区间（0，）上恒成立，然后用分离参数求最值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=﹣x2+3x+1﹣lnx∴解f′（x）＞0，即：2x2﹣3x+1＜0函数f（x）的单调递增区间是．（Ⅱ）f′（x）=﹣2x+a﹣，∵f（x）在上为减函数，∴x∈时﹣2x+a﹣≤0恒成立．即a≤2x+恒成立．设，则∵x∈时，＞4，∴g′（x）＜0，∴g（x）在上递减，∴g（x）＞g（）=3，∴a≤3．【点评】本题考查函数单调性的判断和已知函数单调性求参数的范围，此类问题一般用导数解决，综合性较强．20．（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）由题意得到这两种方案的化验次数，算出在各个次数下的概率，写出化验次数的分布列，求出方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．（2）根据上一问乙的化验次数的分布列，利用期望计算公式得到结果．【解答】解：（Ⅰ）若乙验两次时，有两种可能：①先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：②先验三只结果为阴性，再从其它两只中验出阳性（无论第二次试验中有没有，均可以在第二次结束），∴乙只用两次的概率为．若乙验三次时，只有一种可能：先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好二次验中概率为在三次验出时概率为∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为：（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，∴ξ的期望为Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4．【点评】期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫．同时，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响．21．（12分）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知||、||、||成等差数列，且与同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．【考点】KB：双曲线的标准方程；KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】（1）由2个向量同向，得到渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，再用勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．（2）利用第（1）的结论，设出双曲线的方程，将AB方程代入，运用根与系数的关系及弦长公式，求出待定系数，即可求出双曲线方程．【解答】解：（1）设双曲线方程为，由，同向，∴渐近线的倾斜角范围为（0，），∴渐近线斜率为：，∴．∵||、||、||成等差数列，∴|OB|+|OA|=2|AB|，∴|AB|2=（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|﹣|OA|）•2|AB|，∴，∴，可得：，而在直角三角形OAB中，注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB=，而由对称性可知：OA的斜率为k=tan，∴，∴2k2+3k﹣2=0，∴；∴，∴，∴．（2）由第（1）知，a=2b，可设双曲线方程为﹣=1，∴c=b．由于AB的倾斜角为+∠AOB，故AB的斜率为tan（+∠AOB ）=﹣cot（∠AOB）=﹣2，∴AB的直线方程为y=﹣2（x﹣b），代入双曲线方程得：15x2﹣32bx+84b2=0，∴x1+x2=，x1•x2=，∴4=•=•，即16=﹣112b2，∴b2=9，所求双曲线方程为：﹣=1．【点评】做到边做边看，从而发现题中的巧妙，如据，联想到对应的是2渐近线的夹角的正切值，属于中档题．22．（12分）设函数f（x）=x﹣xlnx．数列{a n}满足0＜a1＜1，a n+1=f（a n）．（Ⅰ）证明：函数f（x）在区间（0，1）是增函数；（Ⅱ）证明：a n＜a n+1＜1；（Ⅲ）设b∈（a1，1），整数．证明：a k+1＞b．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；RG：数学归纳法．【专题】16：压轴题．【分析】（1）首先求出函数的导数，然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数在区间（0，1）上的单调性，从而进行证明．（2）由题意数列{a n}满足0＜a1＜1，a n+1=f（a n），求出a n+1=a n﹣a n lna n，然后利用归纳法进行证明；（3）由题意f（x）=x﹣xlnx，a n+1=f（a n）可得a k+1=a k﹣b﹣a k，然后进行讨论求解．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵f（x）=x﹣xlnx，∴f′（x）=﹣lnx，当x∈（0，1）时，f′（x）=﹣lnx＞0故函数f（x）在区间（0，1）上是增函数；（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，0＜a1＜1，a1lna1＜0，a2=f（a1）=a1﹣a1lna1＞a1，∵函数f（x）在区间（0，1）是增函数且函数f（x）在x=1处连续，∴f（x）在区间（0，1]是增函数，a2=f（a1）=a1﹣a1lna1＜1，即a1＜a2＜1成立，（ⅱ）假设当x=k（k∈N+）时，a k＜a k+1＜1成立，即0＜a1≤a k＜a k+1＜1，那么当n=k+1时，由f（x）在区间（0，1]是增函数，0＜a1≤a k＜a k+1＜1，得f（a k）＜f（a k+1）＜f（1），而a n+1=f（a n），则a k+1=f（a k），a k+2=f（a k+1），a k+1＜a k+2＜1，也就是说当n=k+1时，a n＜a n+1＜1也成立，根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n，a n＜a n+1＜1恒成立．（Ⅲ）证明：由f（x）=x﹣xlnx，a n+1=f（a n）可得a k+1=a k﹣a k lna k=，1）若存在某i≤k，满足a i≤b，则由（Ⅱ）知：a k+1﹣b＞a i﹣b≥0，2）若对任意i≤k，都有a i＞b，则a k+1=a k﹣a k lna k==≥a1﹣b1﹣ka1lnb=0，即a k+1＞b成立．【点评】此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程与不等式等基础知识及数学归纳法的应用，一般出题者喜欢考查学生的运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，要出学生会用数形结合的思想、分类与整合思想，化归与转化思想、有限与无限的思想来解决问题．。

绝密★启用前 【考试时间：6月7日 15:00—17:00】2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k n P k (1－P)n －k本卷12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一．选择题（1）设集合}23{<<-∈=m Z m M ,}31{≤≤-∈=n Z n N ,则=⋂N MA ．}1,0{ B. }1,0,1{- C. }2,1,0{ D }2,1,0,1{- (2)设a ，b ∈R 且b ≠0，若复数3bi)(a +是实数，则A ． 223a b = B. 223b a = C. 229a b = D.229b a = (3)函数x xx f -=1)(的图像关于 A ． y 轴对称 B.直线y=-x C.坐标原点对称 D.直线y=x (4)若)1,(1-∈e x ，x ln =a ,x ln 2=b ,x 3ln =c ,则A ．c b a << B. b a c << C. c a b << D. a c b <<（5）设变量x,y 满足约束条件：2,22,-≥≤+≥x y x x y 则y x z 3-=的最小值为：A ．-2 B.-4 C. -6 D.-8（6）从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π， 其中R 表示球的半径概率为A ．299 B. 2910 C. 2919 D. 2920 （7）()()4611x x +-的展开式中x 的系数是A ．-4 B.-3 C.3 D.4（8）若动直线a x =与函数x x f sin )(=和x x g cos )(=的图像分别交于M 、N 两点，则MN 的最大值为 A ．1 B. 2 C.3 D.2（9）设1>a ，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是 A ．)2,2( B. )5,2( C. )5,2( D. )5,2(（10）已知正四棱锥S-ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE 、SD 所成的角的余弦值为A ．31 B. 32 C. 33 D. 32（11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为02=-+y x 和047=--y x ，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为A ．3 B. 2 C. 31-D. 21- （12）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于A ．1 B. 2 C. 3 D. 2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二．填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

2008年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学第Ⅰ卷（共60分）参考公式：球的表面积公式：S ＝4πr 2，其中R 是球的半径.如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率：P n （k ）＝C k n p k (1-p )n-k（k ＝0，1，2，…，n ）.如果事件A 、B 互斥，那么P （A +B ）＝P （A ）+P （B ）. 如果事件A 、B 相互独立，那么P （AB ）＝P （A ）·P （B ）.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）满足M ⊆｛a 1, a 2, a 3, a 4｝,且M ∩｛a 1 ,a 2, a 3｝={ a 1·a 2}的集合M 的个数是 （A ）1 (B)2 (C)3 (D)4 （2）设z 的共轭复数是z ，或z +z =4,z ·z ＝8，则zz等于 （A ）1 （B ）-i (C)±1 (D) ±i （3）函数y ＝lncos x (-2π＜x ＜)2π的图象是（4）设函数f (x )＝｜x +1｜+｜x -a ｜的图象关于直线x ＝1对称，则a 的值为 (A) 3 (B)2 (C)1 (D)-1 （5）已知cos （α-6π）+sin α=的值是则)67sin(,354πα （A ）-532 （B ）532 (C)-54 (D) 54（6）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 (A)9π （B ）10π (C)11π (D)12π（7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为 （A ）511（B ）681 （C ）3061（D ）4081 (8)右图是根据《山东统计年整2007》中的资料作成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图.图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为 （A ）304.6（B ）303.6 (C)302.6 (D)301.6（9）（X -31x）12展开式中的常数项为（A ）-1320（B ）1320（C ）-220 (D)220(10)设椭圆C 1的离心率为135，焦点在X 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为（A ）1342222=-y x (B)15132222=-y x(C)1432222=-y x (D)112132222=-y x（11）已知圆的方程为X 2+Y 2-6X -8Y ＝0.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 （A ）106（B ）206（C ）306（D ）406（12）设二元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-+0142,080192y x y x y x ，所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x (a＞0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是（A ）[1,3] (B)[2,10] (C)[2,9] (D)[10,9]第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. （13）执行右边的程序框图，若p ＝0.8，则输出的n ＝ 4 .（14）设函数f (x )=ax 2+c (a ≠0).若)()(010x f dx x f =⎰，0≤x 0≤1,则x 0的值为33. （15）已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m⊥n ，且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝6π. （16）若不等式｜3x -b ｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围为（5，7）.三、解答题：本大题共6小题，共74分. （17）（本小题满分12分）已知函数f (x )＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ωϕϕωϕωπx x 为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为.2π（Ⅰ）美洲f （8π）的值； （Ⅱ）将函数y ＝f (x )的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.解：（Ⅰ）f (x )＝)cos()sin(3ϕωϕω+-+x x＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+)cos(21)sin(232ϕωϕωx x＝2sin(ϕω+x -6π) 因为 f (x )为偶函数，所以 对x ∈R ,f (-x )=f (x )恒成立， 因此 sin （-ϕω+x -6π）＝sin(ϕω+x -6π). 即-sin x ωcos(ϕ-6π)+cos x ωsin(ϕ-6π)=sin x ωcos(ϕ-6π)+cos x ωsin(ϕ-6π), 整理得 sin x ωcos(ϕ-6π)=0.因为 ω＞0，且x ∈R ,所以 cos （ϕ-6π）＝0. 又因为 0＜ϕ＜π，故 ϕ-6π＝2π.所以 f (x )＝2sin(x ω+2π)=2cos x ω. 由题意得 .2,222　＝ 所以 ωπωπ⋅=故 f (x )=2cos2x . 因为 .24cos 2)8(==ππf（Ⅱ）将f (x )的图象向右平移个6π个单位后，得到)6(π-x f 的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到)64(ππ-f 的图象.).32(cos 2)64(2cos 2)64()(ππππππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=f f x g 所以 当 2k π≤32ππ-≤2 k π+ π (k ∈Z),即 4k π＋≤32π≤x ≤4k π+38π(k ∈Z)时，g (x )单调递减. 因此g (x )的单调递减区间为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++384,324ππππk k (k ∈Z) （18）（本小题满分12分）甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。

改变．
年年岁 岁卷 相似 ， 岁年 年题不 同． ０ ８年 的全 国各 岁 ２０
地 ３ 高考 试题 精彩登 场 ， 中广东 省 、 ７份 其 山东 省 、 海南 （ 宁
夏 ） 江苏省为新课程卷 ， 、 其他 省份 ２ ０ 起将陆续 踏进新 ０９年
课程． 文仅就 ２０ 本 ０ ８年高考概率统计部分 试题作 一简单剖
例 ２ 一个 袋 中有 若干 个大 小相 同 的黑球 、 白球 和红
１
球． 已知从袋中任意摸出 １ 个球， 得到黑球的概率是÷ ； 从
Ｊ
１
袋中 任意 摸出２ 个球， 少得到１ 球的概率是．． 至 个白 六 一
７
（） １ 若袋 中共有 １ Ｏ个球 ， ①求 白球 的个数 ； ②从袋 中任 意摸 出 ３个球 ， 记得到 白球 的个数 为 ， 随机变 量 的数 求
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２０ ０ ８年 第 ８期
中学教研 （ 数学 ）
・ ３・ ４
２０ ８年 高 考 概 率 与 统 计 试 题 的 分 析 及 启 示 ０
●沈虎跃 （ 镇海中学 浙江宁波 ３５０ ） １２０
球类 （ 摸球、 奖、 卡片 ） 摸 取 问题 等仍 然 会作 为概率 统计 试 题 的背景 ， 但此时 问题 的设 问形式 、 造方式都会 出现重大 构
质是考 查期 望 、 差的性质． 方
１３ 解 决 方 法新 ．
以获得 １ ０ 的赔 偿金． 定在 一年 度 内有 １０ ０人购 ０ ０元 假 ０
买了这种保险 ， 且各投保人是否 出险相互独 立． 已知保险公 司在 一 年 度 内 至 少 支 付 赔 偿 金 １０ ０ 元 的 概 率 为 ０
ห้องสมุดไป่ตู้