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第九章 压杆稳定
一、什么是压杆稳定？
二、临界压力的计算方法？
三、压杆的稳定性条件？
四、一根两端铰支钢杆，所受最大压力KN P 8.47=。
其直径mm d 45=，长度mm l 703=。
钢材的E =210GPa ，p σ=280MPa ，2.432=λ。
计算临界压力的公式有：(a) 欧拉公式；(b) 直线公式cr σ=461-2.568λ(MPa)。
试：（1）判断此压杆的类型；（2）求此杆的临界压力。
解：（1） 1=μ 86
21==P E σπλ 5.624
===d l i
l μμλ 由于12λλλ<<，是中柔度杆。
（2）MPa cr 301568.2461=-=λσ
kN A P cr cr 478==σ
四、图示四根压杆的材料、截面均相同，它们在纸面内失稳的先后次序为？
六、图示托架各杆均以圆柱形铰链
联接和支承，BC 杆直径d =40mm ，
材料为A 3钢，压杆的大柔度限值
λ1=100，λ2=60。
试判定压杆BC 的类型和该杆临界应力的计算公式。
（14分）
解 惯性半径为 104
===d A I i z mm （4分）
柔度为 83.80==i
l μλ （4分） 属于中长杆，用经验公式计算临界应力，即 λσb a cr -= （6分）。
第九章 压杆稳定 习题解[习题9-1] 在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a 所示坐标系及挠度曲线形状，导出了临界应力公式22lEIP cr π=。
试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形状时，压杆在cr F 作用下的挠曲线微分方程是否与图a 情况下的相同，由此所得cr F 公式又是否相同。
解： 挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。
因为（b ）图与（a ）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是)("x M EIw -=。
（c ）、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程：)("x M EIw =，显然，这微分方程与（a ）的微分方程不同。
临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。
因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即：22l EIP cr π=。
[习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f 所示杆在中间支承处不能转动）？解：压杆能承受的临界压力为：22).(l EIP cr μπ=。
由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆，它们能承受的压力与 原压相的相当长度l μ的平方成反比，其中，μ为与约束情况有关的长度系数。
（a ）m l 551=⨯=μ （b ）m l 9.477.0=⨯=μ （c ）m l 5.495.0=⨯=μ（d ）m l 422=⨯=μ （e ）m l 881=⨯=μ（f ）m l 5.357.0=⨯=μ（下段）；m l 5.255.0=⨯=μ（上段） 故图e 所示杆cr F 最小，图f 所示杆cr F 最大。
[习题9-3] 图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a ）的基础放在弹性地基上，第二根杆（图b ）的基础放在刚性地基上。
试问两杆的临界力是否均为2min2).2(l EI P cr π=？为什么？并由此判断压杆长因数μ是否可能大于2。
作者：非成败作品编号：92032155GZ5702241547853215475102时间：2020.12.13第九章压杆稳定一、选择题1、一理想均匀直杆受轴向压力P=P Q时处于直线平衡状态。
在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ A ）。
A、弯曲变形消失，恢复直线形状；B、弯曲变形减少，不能恢复直线形状；C、微弯状态不变；D、弯曲变形继续增大。
2、一细长压杆当轴向力P=P Q时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力P，则压杆的微弯变形（ C ）A、完全消失B、有所缓和C、保持不变D、继续增大3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ D ）来判断的。
A、长度B、横截面尺寸C、临界应力D、柔度4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（ A ）对临界应力的影响。
A、长度，约束条件，截面尺寸和形状；B、材料，长度和约束条件；C、材料，约束条件，截面尺寸和形状；D、材料，长度，截面尺寸和形状；5、图示四根压杆的材料与横截面均相同，试判断哪一根最容易失稳。
答案：（ a ）6、两端铰支的圆截面压杆，长1m，直径50mm。
其柔度为 ( C )A.60；B.66.7；C.80；D.507、在横截面积等其它条件均相同的条件下，压杆采用图（ D ）所示截面形状，其稳定性最好。
8、细长压杆的（ A ），则其临界应力σ越大。
A 、弹性模量E 越大或柔度λ越小；B 、弹性模量E 越大或柔度λ越大；C 、弹性模量E 越小或柔度λ越大；D 、弹性模量E 越小或柔度λ越小； 9、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（ C ）A 、λ≤、λ≤C 、λ≥π D、λ≥10、在材料相同的条件下，随着柔度的增大（ C ）A 、细长杆的临界应力是减小的，中长杆不是；B 、中长杆的临界应力是减小的，细长杆不是；C 、细长杆和中长杆的临界应力均是减小的；D 、细长杆和中长杆的临界应力均不是减小的； 11、两根材料和柔度都相同的压杆（ A ）A. 临界应力一定相等，临界压力不一定相等；B. 临界应力不一定相等，临界压力一定相等；C. 临界应力和临界压力一定相等；D. 临界应力和临界压力不一定相等；12、在下列有关压杆临界应力σe 的结论中，（ D ）是正确的。
第 九 章 压 杆 稳 定 【2 】一.选择题1.一幻想平均直杆受轴向压力P=P Q 时处于直线均衡状况.在其受到一渺小横向干扰力后产生渺小曲折变形,若此时解除干扰力,则压杆<A ）.A.曲折变形消掉,恢复直线外形; B.曲折变形削减,不能恢复直线外形; C.微弯状况不变;D.曲折变形持续增大.2.一修长压杆当轴向力P=P Q 时产生掉稳而处于微弯均衡状况,此时若解除压力P,则压杆的微弯变形<C ）A.完整消掉 B.有所缓和 C.保持不变 D.持续增大3.压杆属于修长杆,中长杆照样短粗杆,是依据压杆的<D ）来断定的.A.长度B.横截面尺寸C.临界应力D.柔度 4.压杆的柔度分散地反应了压杆的< A ）对临界应力的影响.A .长度,束缚前提,截面尺寸和外形; B.材料,长度和束缚前提;C.材料,束缚前提,截面尺寸和外形;D.材料,长度,截面尺寸和外形; 5.图示四根压杆的材料与横截面均雷同, 试断定哪一根最轻易掉稳.答案：< a ）6.两头铰支的圆截面压杆,长1m ,直径50mm .其柔度为 ( C >A.60;B.66.7; C .80; D.507.在横截面积等其它前提均雷同的前提下,压杆采用图<D ）所示截面外形,其稳固性最好.8.修长压杆的<A ）,则其临界应力σ越大.A.弹性模量E 越大或柔度λ越小;B.弹性模量E 越大或柔度λ越大;C.弹性模量E 越小或柔度λ越大;D.弹性模量E 越小或柔度λ越小; 9.欧拉公式实用的前提是,压杆的柔度<C ）A.λ≤PEπσ B.λ≤sEπσC .λ≥λ≥10.在材料雷同的前提下,跟着柔度的增大<C ）A.修长杆的临界应力是减小的,中长杆不是;B.中长杆的临界应力是减小的,修长杆不是;C.修长杆和中长杆的临界应力均是减小的;D.修长杆和中长杆的临界应力均不是减小的; 11.两根材料和柔度都雷同的压杆<A ）A. 临界应力必定相等,临界压力不必定相等;B. 临界应力不必定相等,临界压力必定相等;C. 临界应力和临界压力必定相等;D. 临界应力和临界压力不必定相等;12.鄙人列有关压杆临界应力σe 的结论中,<D ）是准确的.A.修长杆的σe 值与杆的材料无关;B.中长杆的σe 值与杆的柔度无关;C.中长杆的σe 值与杆的材料无关;D.粗短杆的σe 值与杆的柔度无关; 13.修长杆推却轴向压力P 的感化,其临界压力与<C ）无关.A.杆的材质B.杆的长度C.杆推却压力的大小D.杆的横截面外形和尺寸二.盘算题1. 有一长l =300 mm,截面宽b =6 mm.高h =10 mm 的压杆.两头铰接,压杆材料为Q235钢,E =200 GPa,试盘算压杆的临界应力和临界力.解：<1）求惯性半径i对于矩形截面,假如掉稳必在刚度较小的平面内产生,故应求最小惯性半径mm732.1126121123minmin ===⨯==b bhhb AI i<2）求柔度λλ=μl /i ,μ=1,故λ=1×300/1.732=519>λp =100 <3）用欧拉公式盘算临界应力()MPa8.652.1731020ππ24222cr =⨯==λσE<4）盘算临界力F cr =σcr ×A =65.8×6×10=3948 N=3.95 kN2.一根两头铰支钢杆,所受最大压力KN P 8.47=.其直径mm d 45=,长度mm l 703=.钢材的E =210GPa,pσ=280MPa,2.432=λ.盘算临界压力的公式有：(a> 欧拉公式;(b>直线公式cr σ=461-2.568λ(MPa>.试 <1）断定此压杆的类型;<2）求此杆的临界压力;解：<1） 1=μ8621==PE σπλ5.624===d lilμμλ因为12λλλ<<,是中柔度杆. <2）cr σ=461-2.568λMPaKNA P cr cr 478==σ3.活塞杆<可算作是一端固定.一端自由）,用硅钢制成,其直径d=40mm ,外伸部分的最大长度l =1m ,弹性模量E=210Gpa,1001=λ.试<1）断定此压杆的类型;<2）肯定活塞杆的临界载荷. 解：算作是一端固定.一端自由.此时2=μ,而,所以,.故属于大柔度杆-用大柔度杆临界应力公式盘算.4.托架如图所示,在横杆端点D 处受到P=30kN 的力感化.已知斜撑杆AB 两头柱形束缚<柱形较销钉垂直于托架平面）,为空心圆截面,外径D=50mm .内径d=36mm ,材料为A3钢,E=210GPa.pσ=200MPa.s σ=235MPa.a=304MPa.b=1.12MPa .若稳固安全系数n w =2,试校杆AB 的稳固性.1.5m0.5mC ABD第第第第30o解 运用均衡前提可有∑=0A M ,107N 5.05.11040230sin 5.123=⨯⨯⨯==P NBDkN2cm 837.32=A ,4cm 144=y I ,cm 04.2=y i ,4cm 1910=x Icm 64.7=x iA3钢的4.99=P λ,1.57=S λ压杆BA 的柔度Sx x i lλμλ<=⨯==7.220764.030cos 5.11Pyy i lλμλ<=⨯==9.820209.030cos 5.11 因x λ.yλ均小于P λ,所以应该用经验公式盘算临界载荷()[]N109.8212.130400329.0)(6⨯⨯-⨯=-==y cr cr b a A A P λσ695=kN压杆的工作安全系数55.6107695=>==st n nBA 压杆的工作安全系数小于划定的稳固安全系数,故可以安全工作.5. 如图所示的构造中,梁AB 为No.14通俗热轧工字钢,CD 为圆截面直杆,其直径为d =20mm,二者材料均为Q235钢.构造受力如图所示,A.C.D 三处均为球铰束缚.若已知pF=25kN,1l =1.25m,2l =0.55m,s σ=235MPa.强度安全因数s n =1.45,稳固安全因数st []n =1.8.试校核此构造是否安全.解：在给定的构造中共有两个构件：梁AB ,推却拉伸与曲折的组合感化,属于强度问题;杆CD ,推却紧缩荷载,属稳固问题.现分离校核如下.(1> 大梁AB 的强度校核.大梁AB 在截面C 处的弯矩最大,该处横截面为安全截面,其上的弯矩和轴力分离为3max p 1(sin 30)(25100.5) 1.25M F l ==⨯⨯⨯°315.6310(N m)15.63(kN m)=⨯⋅=⋅3N p cos302510cos30F F ==⨯⨯°°321.6510(N)21.65(kN)=⨯= 由型钢表查得14号通俗热轧工字钢的333222102cm 10210mm 21.5cm 21.510mm z W A ==⨯==⨯由此得到33max N max 392415.631021.6510102101021.51010z M F W A σ--⨯⨯=+=+⨯⨯⨯⨯6163.210(Pa)163.2(MPa)=⨯= Q235钢的许用应力为s s 235[]162(MPa)1.45n σσ===max σ略大于[]σ,但max([])100%[]0.7%5%σσσ-⨯=<,工程上仍以为是安全的.(2> 校核压杆CD 的稳固性.由均衡方程求得压杆CD 的轴向压力为 N p p 2sin 3025(kN)CD F F F ===°因为是圆截面杆,故惯性半径为 5(mm)4I di A ===又因为两头为球铰束缚 1.0μ=,所以p 31.00.55110101510liμλλ-⨯===>=⨯这表明,压杆CD 为修长杆,故需采用式(9-7>盘算其临界应力,有222932Pcrcr 2220610(2010)41104Ed F A σλ-πππ⨯⨯π⨯⨯==⨯=⨯352.810(N)52.8(kN)=⨯=于是,压杆的工作安全因数为 cr Pcr w st w N 52.8 2.11[] 1.825CD F n n F σσ====>=这一成果解释,压杆的稳固性是安全的.上述两项盘算成果表明,全部构造的强度和稳固性都是安全的.6.一强度等级为TC13的圆松木,长6m,中径为300mm,其强度许用应力为10MPa.现将圆木用来当作起重机用的扒杆,试盘算圆木所能推却的允许压力值.解：在图示平面内,若扒杆在轴向压力的感化下掉稳,则杆的轴线将弯成半个正弦波,长度系数可取为1μ=.于是,其柔度为168010.34liμλ⨯===⨯依据80λ=,求得木压杆的稳固因数为22110.39880116565ϕλ===⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从而可得圆木所能推却的允许压力为62[][]0.398(1010)(0.3)281.34F A ϕσπ==⨯⨯⨯⨯=(kN>假如扒杆的上端在垂直于纸面的偏向并无任何束缚,则杆在垂直于纸面的平面内掉稳时,只能视为下端固定而上端自由,即2μ=.于是有2616010.34liμλ⨯===⨯求得22280028000.109160ϕλ===62[][]0.109(1010)(0.3)774F A ϕσπ==⨯⨯⨯⨯=(kN>显然,圆木作为扒杆运用时,所能推却的允许压力应为77 kN,而不是281.3 kN.7. 如图所示,一端固定另一端自由的修长压杆,其杆长l = 2m,截面外形为矩形,b = 20 mm.h = 45 mm,材料的弹性模量 E = 200GPa .试盘算该压杆的临界力.若把截面改为 b = h =30 mm,而保持长度不变,则该压杆的临界力又为多大？解：<一）.当b=20mm.h=45mm 时 <1）盘算压杆的柔度22000692.82012liμλ⨯===＞123cλ=(所所以大柔度杆,可运用欧拉公式>(2>盘算截面的惯性矩由前述可知,该压杆必在xy 平面内掉稳,故盘算惯性矩4433100.312204512mm hb I y ⨯=⨯==<3）盘算临界力μ = 2,是以临界力为()()kN N l EI Fcr 70.337012210310200289222==⨯⨯⨯⨯⨯==-πμπ<二）.当截面改为b = h = 30mm 时 <1）盘算压杆的柔度22000461.93012liμλ⨯===＞123cλ=(所所以大柔度杆,可运用欧拉公式>(2>盘算截面的惯性矩44431075.6123012mm bh I I z y ⨯====代入欧拉公式,可得()()Nl EI F cr 8330221075.610200289222=⨯⨯⨯⨯⨯==-πμπ从以上两种情形剖析,其横截面面积相等,支承前提也雷同,但是,盘算得到的临界力后者大于前者.可见在材料用量雷同的前提下,选择适当的截面情势可以进步修长压杆的临界力.8. 图所示为两头铰支的圆形截面受压杆,用Q235钢制成,材料的弹性模量E=200Gpa,屈从点应力σs =240MPa,123c λ=,直径d=40mm,试分离盘算下面二种情形下压杆的临界力：<1）杆长l =1.5m;<2）杆长l =0.5m. 解：<1）盘算杆长l =1.2m 时的临界力 两头铰支是以 μ=1惯性半径42406410444d I d i mm d Aππ=====柔度：1150015010liμλ⨯===＞123c λ=(所所以大柔度杆,可运用欧拉公式>225223.1421087.64150cr aE MP πσλ⨯⨯===2233.144087.64110.081011044cr cr cr d F A N KNπσσ⨯==⨯=⨯=⨯≈<2）盘算杆长l =0.5m 时的临界力μ=1,i =10mm柔度：15005010liμλ⨯===＜123c λ=压杆为中粗杆,其临界力为222400.006822400.0068250222.95cr aMP σλ=-=-⨯=2233.1440222.95280.021028044cr cr cr d F A N kNπσσ⨯==⨯=⨯=⨯≈感激土木0906班王锦涛.刘元章同窗！声名：所有材料为本人收集整顿,仅限小我进修运用,勿做贸易用处. 声名：所有材料为本人收集整顿,仅限小我进修运用,勿做贸易用处.。
第九章 压杆稳定 习题解[习题9-1] 在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a 所示坐标系及挠度曲线形状，导出了临界应力公式22lEIP cr π=。
试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形状时，压杆在cr F 作用下的挠曲线微分方程是否与图a 情况下的相同，由此所得cr F 公式又是否相同。
解： 挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。
因为（b ）图与（a ）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是)("x M EIw -=。
（c ）、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程：)("x M EIw =，显然，这微分方程与（a ）的微分方程不同。
临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。
因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即：22l EIP cr π=。
[习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f 所示杆在中间支承处不能转动）？解：压杆能承受的临界压力为：22).(l EIP cr μπ=。
由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆，它们能承受的压力与 原压相的相当长度l μ的平方成反比，其中，μ为与约束情况有关的长度系数。
（a ）m l 551=⨯=μ （b ）m l 9.477.0=⨯=μ （c ）m l 5.495.0=⨯=μ（d ）m l 422=⨯=μ （e ）m l 881=⨯=μ（f ）m l 5.357.0=⨯=μ（下段）；m l 5.255.0=⨯=μ（上段） 故图e 所示杆cr F 最小，图f 所示杆cr F 最大。
[习题9-3] 图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a ）的基础放在弹性地基上，第二根杆（图b ）的基础放在刚性地基上。
试问两杆的临界力是否均为2min2).2(l EI P cr π=？为什么？并由此判断压杆长因数μ是否可能大于2。
螺旋千斤顶（图c ）的底座对丝杆（起顶杆）的稳定性有无影响？校核丝杆稳定性时，把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为l 的压杆是否偏于安全？解：临界力与压杆两端的支承情况有关。
因为(a)的下支座不同于(b)的下支座，所以它们的临界力计算公式不同。
(b)为一端固定，一端自由的情况，它的长度因素2=μ，其临界力为：2min2).2(l EI P cr π=。
但是，(a) 为一端弹簧支座，一端自由的情况，它的长度因素2≠μ，因此，不能用2min2).2(l EI P cr π=来计算临界力。
为了考察（a ）情况下的临界力，我们不妨设下支座（B ）的转动刚度lEIMC 20==ϕ，且无侧向位移，则：)()("w F x M EIw cr -=-=δ令2k EIF cr=，得： δ22"k w k w =+ 微分方程的通解为：δ++=kx B kx A w cos sin kx Bk kx Ak w sin cos '-=由边界条件：0=x ，0=w ，CF C M w cr δϕ==='；l x =，δ=w 解得： Ck F A cr δ=，δ-=B ，δδδδ+-=kl kl CkF cr cos sin 整理后得到稳定方程：20/tan ==lEI Ckl kl 用试算法得： 496.1=kl故得到压杆的临界力：222)1.2()496.1(l EIl EI F cr π==。
因此，长度因素μ可以大于2。
这与弹性支座的转动刚度C 有关，C 越小，则μ值越大。
当0→C 时，∞→μ。
螺旋千斤顶的底座与地面不是刚性连接，即不是固定的。
它们之间是靠摩擦力来维持相对的静止。
当轴向压力不是很大，或地面较滑时，底座与地面之间有相对滑动，此时，不能看作固定端；当轴向压力很大，或地面很粗糙时，底座与地面之间无相对滑动，此时，可以看作是固定端。
因此，校核丝杆稳定性时，把它看作上端自由，下端为具有一定转动刚度的弹性支座较合适。
这种情况，2>μ，算出来的临界力比“把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为l 的压杆”算出来的临界力要小。
譬如，设转动刚度lEIMC 20==ϕ，则：1025.121.222==弹簧固端cr cr P P ，弹簧固端,1025.1cr cr P P =。
因此，校核丝杆稳定性时，把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为l 的压杆不是偏于安全，而是偏于危险。
[习题9-4] 试推导两端固定、弯曲刚度为EI ，长度为l 的等截面中心受压直杆的临界应力cr P 的欧拉公式。
[解]：设压杆向右弯曲。
压杆处于临界状态时，两端的竖向反力为cr P ，水平反力为0，约束反力偶矩两端相等，用e M 表示，下标e 表示端部end 的意思。
若取下截离体为研究对象，则e M 的转向为逆转。
e cr M x v P x M -=)()()()("x v P M x M EIv cr e -=-= e cr M x v P EIv =+)("EI M x v EI P v e cr =+)("，令EI P k cr =2，则 EIP k cr 12=creP M k v k v 22"=+ 上述微分方程的通解为：creP M kx B kx A v ++=cos sin …………………………….(a) kx Bk kx Ak v sin cos '-=边界条件：① 0=x ；0=v ： cr e P M B A ++=0cos 0sin 0；cre P MB -=。
② 0=x 0'=v ：0sin 0cos 0Bk Ak -=；0=A 。
把A 、B 的值代入（a ）得： )cos 1(kx P M v cr e -=kx k P Mv cre sin '⋅=边界条件：③ L x =；0=v ：)cos 1(0kL P M cre-=， 0cos 1=-kL ④ 0=x 0'=v ：kL k P M cresin 0⋅=0sin =kL 以上两式均要求：πn kL 2=，,......)3,1,0(=n其最小解是：π2=kL ，或L k π2=。
故有：EI P L k cr ==222)5.0(π，因此： 22)5.0(L EIP cr π=。
[习题9-5] 长m 5的10号工字钢，在温度为C 00时安装在两个固定支座之间，这时杆不受力。
已知钢的线膨胀系数107)(10125--⨯=C l α，GPa E 210=。
试问当温度升高至多少度时，杆将丧失稳定性？ 解：[习题9-6] 两根直径为d的立柱，上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接，如图所示。
试根据杆端的约束条件，分析在总压力F作用下，立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线形状，分别写出对应的总压力F之临界值的算式（按细长杆考虑），确定最小临界力P的cr 算式。
解：在总压力F作用下，立柱微弯时可能有下列三种情况：（a）每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳：（b）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在自身平面失稳失稳时整体在面弯曲，则1，2两杆组成一组合截面。
（c ）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在面外失稳故面外失稳时cr P 最小：243128lEd P cr π=。
[习题9-7] 图示结构ABCD 由三根直径均为d 的圆截面钢杆组成，在B 点铰支，而在A 点和C 点固定，D 为铰接点，π10=dl。
若结构由于杆件在平面ABCD 弹性失稳而丧失承载能力，试确定作用于结点D 处的荷载F 的临界值。
解：杆DB 为两端铰支 ，杆DA 及DC 为一端铰支一端固定，选取。
此结构为超静定结构，当杆DB 失稳时结构仍能继续承载，直到杆AD 及DC 也失稳时整个结构才丧失承载能力，故2024.36l EI =[习题9-8] 图示铰接杆系ABC 由两根具有相同截面和同样材料的细长杆所组成。
若由于杆件在平面ABC 失稳而引起毁坏，试确定荷载F 为最大时的θ角（假设20πθ<<）。
解：要使设计合理，必使AB 杆与BC 杆同时失稳，即：θπcos 22,F l EIP ABAB cr ==θπsin 22,F l EIP BCBC cr ==βθθθ22cot )(tan cos sin ===BCAB l l F F)arctan(cot 2βθ=[习题9-9] 下端固定、上端铰支、长m l 4=的压杆，由两根10号槽钢焊接而成，如图所示，并符合钢结构设计规中实腹式b 类截面中心受压杆的要求。
已知杆的材料为Q235钢，强度许用应力MPa 170][=σ，试求压杆的许可荷载。
解：查型钢表得：m[习题9-10] 如果杆分别由下列材料制成：（1）比例极限MPa P 220=σ，弹性模量GPa E 190=的钢； （2）MPa P 490=σ，GPa E 215=，含镍3.5%的镍钢； （3）MPa P 20=σ，GPa E 11=的松木。
试求可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔度。
解：（1）（2）（3）[习题9-11] 两端铰支、强度等级为TC13的木柱，截面为150mm ×150mm 的形，长度m l 5.3= ，强度许用应力MPa 10][=σ。
试求木柱的许可荷载。
解：由公式（9-12a ）：[习题9-12] 图示结构由钢曲杆AB 和强度等级为TC13的木杆BC 组成。
已知结构所有的连接均为铰连接，在B 点处承受竖直荷载kN F 3.1=，木材的强度许用应力MPa 10][=σ。
试校核BC 杆的稳定性。
解：把BC 杆切断，代之以轴力N ，则0=∑AM01sin 1cos 13.1=⨯-⨯-⨯C N C NACC N cos sin 3.1+=8.05.122sin 22=+=C6.05.125.1cos 22=+=C)(929.06.08.03.1kN N =+=)(213333404012112433mm bh I =⨯⨯==)(547.114040213333mm AI i =⨯==915.216547.11105.213>=⨯⨯==i lμλ由公式（9—12b ）得：0597.05.2162800280022===λϕMPa st 597.0100597.0][][=⨯==σϕσMPa mm N A N 581.040409292=⨯==σ 因为st ][σσ<，所以压杆BC 稳定。
[习题9-13] 一支柱由4根mm mm mm 68080⨯⨯的角钢组成（如图），并符合钢结构设计规中实腹式b 类截面中心受压杆的要求。
