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三角恒等变换综合测试题

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三角恒等变换综合测试题（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．⎝⎛⎭⎫cos π12－sin π12⎝⎛⎭⎫cos π12＋sin π12=（ ） A ．－32 B ．－12 C ．12D ．32 2．sin45°cos15°＋cos225°sin15°的值为（ ）A ．－32B ．－12C ．12D ．323．tan15°＋1tan 15°=（ ）A ．2B ．2＋ 3C ．4D ．4334．在△ABC 中，tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则C =（ ） A ．45° B ．135° C ．150° D ．30°5．已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取得的值是（ ）A ．43B ．34C ．53D ．126．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3sin ⎝⎛⎭⎫π6－x 的图象的一条对称轴方程是（ ） A ．x ＝π4 B ．x ＝π2 C ．x ＝π D ．x ＝3π27．函数y ＝2sin x （sin x ＋cos x ）的最大值为（ ） A ．2＋1 B ．2－1 C ． 2 D ．2 8．已知tan2θ＝－22，π<2θ<2π，则tan θ的值为（ ）A ． 2B ．－22C ．2D ．2或－229．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α的值是（ ） A ．－79 B ．－13 C ．13 D ．7910．已知sin （45°＋α）＝55，则sin2α=（ ）A ．－45B ．－35C ．35D ．4511．函数y ＝sin x －cos x 的图象可以看成是由函数y ＝sin x ＋cos x 的图象平移得到的．下列所述平移方法正确的是（ ）A ．向左平移π2个单位B ．向右平移π4个单位C ．向右平移π2个单位D ．向左平移π4个单位12．已知cos （α－β）＝35，sin β＝－513，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则sin α=（ ） A ．3365 B ．6365 C ．－3365 D ．－6365二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13．方程sin x ＋3cos x －a ＝0有解，则实数a 的取值范围是________． 14．3tan 15°＋13－tan 15°的值是________．15．已知α是第三象限角且sin α＝－2425，则tan α2＝________．16．设α为第四象限的角，若513sin 3sin =αα，则α2tan ＝________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17．（10分）已知tan α，tan β是方程6x 2－5x ＋1＝0的两根，且0<α<π2，π<β<3π2．求：tan （α＋β）及α＋β的值．18．（12分）求值：1sin 10°－3sin 80°．19．（12分）在△ABC 中，sin （A －B ）＝15，sin C ＝35，求证：tan A ＝2tan B ．20．（12分）求函数y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x 的最大值与最小值． 21．（12分）已知函数f （x ）＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ，g （x ）＝12sin2x －14． （1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）求函数h （x ）＝f （x ）－g （x ）的最大值，并求使h （x ）取得最大值的x 的集合． 22．（12分）已知函数f （x ）＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos2x ． （1）求f （x ）的周期和单调递增区间；（2）若关于x 的方程f （x ）－m ＝2在x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2上有解，求实数m 的取值范围．第三章 三角恒等变换综合测试题答案一、选择题1．D 2．C 3．C 4．A 5．A 6．C 7．A 8．B 9．D 10．B 11．C 12．A 提示：1．⎝⎛⎭⎫cos π12－sin π12⎝⎛⎭⎫cos π12＋sin π12＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32． 2．原式＝sin45°cos15°－cos45°sin15°＝sin30°＝12．3．原式＝sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15°＝1sin 15°cos 15°＝2sin 30°＝4．4．由题意得tan A ＋tan B ＝－1＋tan A tan B ，所以tan （A ＋B ）＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－1，所以A ＋B ＝135°，C ＝45°．5．因为0<θ<π2，所以θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，34π，所以22<sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤1，又sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，1<sin θ＋cos θ≤2． 6．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3sin ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π6－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝cos x ． 7．y ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝sin2x ＋1－cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1，所以y max ＝2＋1． 8．因为π<2θ<2π，所以π2<θ<π，则tan θ<0，tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－22，化简得2tan 2θ－tan θ－2＝0，解得tan θ＝－22或tan θ＝2（舍去），所以tan θ＝－22．9．cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π6－α＝－⎣⎡⎦⎤2cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α－1＝79． 10．sin （α＋45°）＝22（sin α＋cos α）·＝55，所以sin α＋cos α＝105，两端平方得1＋sin2α＝25，所以sin2α＝－35． 11．由于y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，y ＝sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π2＋π4，那么函数y ＝sin x －cos x的图象可以看成是由函数y ＝sin x ＋cos x 的图象向右平移π2个单位得到的．12．由于α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，因此α－β∈（0，π），又由于cos （α－β）＝35>0，因此α－β∈（0，π2），sin （α－β）＝45且cos β＝1213，sin α＝sin （α－β＋β）＝sin （α－β）cos β＋cos （α－β）sin β＝45×1213＋35×⎝⎛⎭⎫－513＝3365． 二、填空题13．[－2，2] 14．1 15．－43 16．－43提示：13．因为a ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，所以－2≤a ≤2． 14．因为3－tan 15°1＋3tan 15°＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15°＝tan45°＝1，所以3tan 15°＋13－tan 15°＝1．15．因为α是第三象限角，sin α＝－2425，所以cos α＝－725，所以tan α2＝sin α1＋cos α＝－24251－725＝－43．16．()513sin sin 2cos cos 2sin sin 2sin sin 3sin =+=+=αααααααααα， 所以2α2cos ＋α2cos ＝513，即2α2cos －1＋α2cos ＝58， 所以α2cos ＝54.因为2πk －2π<α<2πk ，k ∈Z ，所以4πk －π<2α<4πk ，又因为α2cos ＝54>0，所以2α为第四象限的角．所以αα2cos 12sin 2--=＝－53，所以α2tan ＝－43.三、解答题17．解：因为tan α、tan β为方程6x 2－5x ＋1＝0的两根，所以tan α＋tan β＝56，tan αtan β＝16，所以tan （α＋β）＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝561－16＝1，因为0<α<π2，π<β<3π2，所以π<α＋β<2π，所以α＋β＝5π4．18．解：原式＝1sin 10°－3cos 10°＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°12sin 20°＝20sin )10sin 30cos 10cos 30(sin 4-＝4sin 30°－10°sin 20°＝4sin 20°sin 20°＝4．19．解：因为A ＋B ＋C ＝π，所以C ＝π－（A ＋B ），所以sin C ＝sin （A ＋B ）＝35，所以sin A cos B ＋cos A sin B ＝35，①又sin （A －B ）＝sin A cos B －cos A sin B ＝15，②由①②联立得⎩⎨⎧sin A cos B ＝25③cos A sin B ＝15④③÷④得sin A cos Bcos A sin B＝2，所以tan A ＝2tan B ．20．解：y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x ＝7－2sin2x ＋4cos 2x （1－cos 2x ） ＝7－2sin2x ＋4cos 2x sin 2x ＝7－2sin2x ＋sin 22x ＝（1－sin2x ）2＋6， 当sin2x ＝1时，y min ＝6；当sin2x ＝－1时，y max ＝10．21．解：（1）因为f （x ）＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝⎝⎛⎭⎫12cos x －32sin x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x ＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3－3cos 2x 8＝12cos2x －14， 所以f （x ）的最小正周期为2π2＝π；（2）h （x ）＝f （x ）－g （x ）＝12cos2x －12sin2x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 当2x ＋π4＝2k π（k ∈Z ）时，h （x ）取得最大值22，此时，对应的x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝kx －π8，k ∈Z ． 22．解：（1）f （x ）＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos2x ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos2x ＝1＋sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， 周期T ＝π；2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，解得单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12（k ∈Z ）； （2）x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤12，1， 所以f （x ）的值域为[2，3]，而f （x ）＝m ＋2，所以m ＋2∈[2，3]，即m ∈[0，1]．。

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4.2 三角恒等变换(试题部分)

4.2 三角恒等变换(试题部分)

4.2三角恒等变换探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点三角恒等变换①两角和与差的三角函数公式会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式;能利用两角差的余弦公式推导出两角和、二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系②简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆)2019北京,9二倍角公式三角函数的最小正周期★★★分析解读两角和与差的三角函数公式及二倍角公式一直是高考的热点内容,主要考查两角和与差及二倍角公式的综合应用.1.以两角和与差的三角函数公式为基础,求三角函数的值或化简三角函数式;2.二倍角公式是热点和难点,要理解“倍角”的含义,注意“倍角”的相对性,并能灵活应用;3.解决与两角和与差的三角函数公式及二倍角公式有关的综合问题时,一般先把函数式化成y=Asin(ωx+φ)+b的形式,再讨论三角函数的性质.破考点练考向【考点集训】考点三角恒等变换1.(2015课标Ⅰ,2,5分)sin20°cos10°-cos160°·sin10°=()A.-√32B.√32C.-12D.12答案D2.(2015重庆,9,5分)若tanα=2tanπ5,则cos(α-3π10)sin(α-π5)=()A.1B.2C.3D.4答案C3.(2020届北师大附中期中,9)已知sin(π+α)=-13,且α是第二象限角,则sin2α=.答案-4√294.(2020届北京理工大附中月考,10)若tanα=3,则cos2α+3sin2α=.答案19105.(2018北京一六一中学期中,15)已知α为锐角,且tan(π4+α)=2.(1)求tanα的值;(2)求sin2αcosα-sinαcos2α的值.解析(1)∵tan(π4+α)=1+tanα1-tanα=2,∴1+tanα=2-2tanα,∴tanα=13.(2)sin2αcosα-sinαcos2α=2sinαcos2α-sinαcos2α=sinα(2cos 2α-1)2cos 2α-1=sin α.由(1)知tan α=13,∴cos α=3sin α.又∵sin 2α+cos 2α=1,∴sin 2α=110,∵α为锐角,∴sin α=√1010,∴sin2αcosα-sinαcos2α=√1010.思路分析 (1)通过两角和的正切公式可以求tan α的值.(2)先把原式化简,再利用tan α的值求出sin α的值.炼技法 提能力 【方法集训】方法1 三角函数式的化简与求值问题1.(2019江苏,13,5分)已知tanαtan (α+π4)=-23,则sin (2α+π4)的值是 .答案√2102.(2020届北京二中开学考试,12)已知sin α+cos α=13,则sin 2(π4-α)= .答案17183.(2020届山东夏季高考模拟,14)已知cos (α+π6)-sin α=4√35,则sin (α+11π6)= .答案 -454.(2015广东,16,12分)已知tan α=2.(1)求tan (α+π4)的值; (2)求sin2αsin 2α+sinαcosα-cos2α-1的值.解析 (1)因为tan α=2,所以tan (α+π4)=tanα+tanπ41-tanα·tan π4=2+11-2×1=-3.(2)因为tan α=2,所以sin2αsin 2α+sinαcosα-cos2α-1 =2sinαcosαsin 2α+sinαcosα-(cos 2α-sin 2α)-(sin 2α+cos 2α) =2sinαcosαsin 2α+sinαcosα-2cos 2α=2tanαtan 2α+tanα-2=2×222+2-2=1.方法2 利用辅助角公式解决问题的方法5.(2015四川,12,5分)sin 15°+sin 75°的值是 .答案√626.(2016浙江,11,6分)已知2cos 2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A= ,b= .答案 √2;17.(2019北京朝阳期末,14)如图,以正方形的各边为底边向外作四个腰长为1的等腰三角形,则阴影部分面积的最大值是 .答案 2+2√2【五年高考】A 组 自主命题·北京卷题组1.(2019北京,9,5分)函数f(x)=sin 22x 的最小正周期是 .答案 π22.(2013北京文,15,13分)已知函数f(x)=(2cos 2x-1)sin 2x+12cos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值; (2)若α★(π2,π),且f(α)=√22,求α的值.解析 (1)因为f(x)=(2cos 2x-1)sin 2x+12cos 4x =cos 2xsin 2x+12cos 4x=12(sin 4x+cos 4x) =√22sin (4x +π4), 所以f(x)的最小正周期为π2,最大值为√22. (2)因为f(α)=√22,所以sin (4α+π4)=1.因为α★(π2,π), 所以4α+π4★(9π4,17π4).所以4α+π4=5π2.故α=9π16.B 组 统一命题、省(区、市)卷题组1.(2019课标全国Ⅱ,10,5分)已知α★(0,π2),2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=( ) A.15 B.√55 C.√33 D.2√55答案B2.(2018课标全国Ⅲ,4,5分)若sinα=13,则cos2α=()A.89B.79C.-79D.-89答案B3.(2017山东,4,5分)已知cos x=34,则cos2x=()A.-14B.14C.-18D.18答案D4.(2016课标全国Ⅱ,9,5分)若cos(π4-α)=35,则sin2α=()A.725B.15C.-15D.-725答案D5.(2018课标全国Ⅱ,15,5分)已知tan(α-5π4)=15,则tanα=.答案32解析本题主要考查两角差的正切公式.tan(α-5π4)=tanα-tan5π41+tanαtan5π4=tanα-11+tanα=15,解得tanα=32.6.(2017江苏,5,5分)若tan(α-π4)=16,则tanα=.答案757.(2017课标全国Ⅰ,15,5分)已知α★(0,π2),tan α=2,则cos (α-π4)= .答案3√10108.(2016课标Ⅰ,14,5分)已知θ是第四象限角,且sin (θ+π4)=35,则tan (θ-π4)= .答案 -439.(2016四川,11,5分)cos 2π8-sin 2π8= .答案√2210.(2015江苏,8,5分)已知tan α=-2,tan(α+β)=17,则tan β的值为 . 答案 3C 组 教师专用题组1.(2013课标Ⅱ,6,5分)已知sin 2α=23,则cos 2(α+π4)=( ) A.16 B.13 C.12 D.23 答案 A2.(2014课标全国Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为 .答案 13.(2014江苏,5,5分)已知函数y=cos x 与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为π3的交点,则φ的值是 . 答案 π64.(2014广东,16,12分)已知函数f(x)=Asin (x +π4),x ★R,且f (5π12)=32.(1)求A 的值;(2)若f(θ)+f(-θ)=32,θ★(0,π2),求f (3π4-θ).解析 (1)f (5π12)=Asin (5π12+π4)=32,∴A ·√32=32,A=√3. (2)f(θ)+f(-θ)=√3sin (θ+π4)+√3sin (-θ+π4)=32, ∴√3[√22(sinθ+cosθ)+√22(-sinθ+cosθ)]=32,∴√6cos θ=32,cos θ=√64,又 θ★(0,π2),∴sin θ=√1-cos 2θ=√104,∴f (3π4-θ)=√3sin(π-θ)=√3sin θ=√304.5.(2014江西,16,12分)已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中a ★R,θ★(-π2,π2).(1)当a=√2,θ=π4时,求f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值; (2)若f (π2)=0, f(π)=1,求a,θ的值.解析 (1)当a=√2,θ=π4时, f(x)=sin (x +π4)+√2cos ·(x +π2)=√22(sin x+cos x)-√2sin x=√22cos x-√22sin x=sin (π4-x),由x ★[0,π],知π4-x ★[-3π4,π4].故f(x)在[0,π]上的最大值为√22,最小值为-1. (2)由{f (π2)=0,f(π)=1,得{cosθ(1-2asinθ)=0,2asin 2θ-sinθ-a =1,由θ★(-π2,π2)知cos θ≠0,解得{a =-1,θ=-π6.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2019北京高考考前原创冲刺卷一,1)已知α★(0,π2),√3sinα+2cosα=√142,则tan2α=()A.-√312B.±√312C.√312D.√36答案A2.(2020届北京清华大学中学生标准能力测试文,6)已知tan(α-π4)=-13,则sin(2α+π2)-2sin(π-α)cos(π+α)=()A.75B.15C.-15D.3125答案A二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2019北京东城期末,13)函数f(x)=sin(x-π6)+cos(x-π3)在区间[-π6,2π3]上的最大值为.答案√34.(2019北京朝阳二模文,9)函数f(x)=2sin xcos x+cos2x的最小正周期为. 答案π三、解答题(共40分)5.(2019北京朝阳期末文,16)已知函数f(x)=(2cos2x2-1)·tan x+cos x.(1)求f(x)的定义域及最小正周期;(2)若f(α)=1,且α★(-π,π),求α的值.解析(1)由题意可知,f(x)的定义域为{x|x≠π2+kπ,k★Z}.f(x)=(2cos2x2-1)tan x+cos x=cos xtan x+cos x=sin x+cos x=√2sin(x+π4),所以f(x)的最小正周期为2π.(2)解法一:由f(α)=1知,√2sin(α+π4)=1,则sin(α+π4)=√22,解得α=2kπ,k★Z或α=π2+2kπ,k★Z.因为α★(-π,π),且α≠π2+kπ,k★Z,所以α=0.解法二:由f(α)=1知,sinα+cosα=1,则sin2α=0,解得α=kπ2,k★Z.因为α★(-π,π),且α≠π2+kπ,k★Z,所以α=0.6.(2019北京海淀期中文,15)已知函数f(x)=cos2xcosx-sinx.(1)求f(0)的值;(2)求函数f(x)的单调递增区间.解析(1)f(0)=cos0cos0-sin0=1.(2)因为cos x-sin x≠0,所以x≠kπ+π4,k★Z,即定义域为{x|x≠kπ+π4,k★Z},f(x)=cos2xcosx-sinx =cos2x-sin2xcosx-sinx=cos x+sin x=√2sin (x +π4), 令2kπ-π2≤x+π4≤2k π+π2,k ★Z,得2k π-3π4≤x ≤2k π+π4,k ★Z, 因为x ≠k π+π4,k ★Z,所以函数的单调递增区间为(2kπ-3π4,2kπ+π4),k ★Z.7.(2020届北京理工大附中月考,15)已知函数f(x)=2sin 2x-cos (2x +π3).(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[0,π2]上的最大值.解析 (1)因为f(x)=2sin 2x-cos (2x +π3) =1-cos 2x-(cos2xcos π3-sin2xsin π3)=√32sin 2x-32cos 2x+1=√3sin (2x -π3)+1, 所以f(x)的最小正周期T=2π2=π. (2)因为0≤x ≤π2,所以-π3≤2x-π3≤2π3.当2x-π3=π2,即x=5π12时,f(x)取得最大值,最大值为√3+1.思路分析 (1)利用二倍角公式、辅助角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式,然后求f(x)的最小正周期;(2)求出相位的范围,利用正弦函数的有界性求解函数的最大值即可.8.(2020届北京八一学校开学考试,15)设函数f(x)=sin (x +π3)+sin (x -π3)+12cos 2x,x ★R.(1)求f (π3)的值; (2)求函数f(x)的最大值和最小值.解析 (1)f (π3)=sin (π3+π3)+sin (π3-π3)+12cos 23π=sin 23π+12cos 23π=√32-14=2√3-14. (2)f(x)=(12sinx +√32cosx)+(12sinx -√32cosx)+12cos 2x=sin x+12cos 2x=sin x+12(1-2sin 2x) =-sin 2x+sin x+12=-(sinx -12)2+34,故当sin x=12,即x=2kπ+π6(k ★Z)或x=2k π+5π6(k ★Z)时, f(x)取得最大值34; 当sin x=-1,即x=2kπ-π2(k ★Z)时, f(x)取得最小值-32.综上所述,函数f(x)的最大值为34,最小值为-32.。

三角恒等变换》单元测试题

三角恒等变换》单元测试题

三角恒等变换》单元测试题必修④第三章《三角恒等变换》本单元测试题共包含12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1、已知cosα=−312π，α∈[π,π]，sinβ=−2513，β是第三象限角，则cos(β−α)的值是（）A、−xxxxxxxxB、无解C、无解D、−xxxxxxxx解析：1、由题意得sinα=−35π，又sinβ=−2513，β∈Ⅲ。

cosα=−4/5，∴cosβ=−3/52、∵cosα=−4/5，∴sinα=−3/5。

又cos(α+β)=−1。

sin(α+β)=−24/5π。

sinβ=sin[(α+β)−α]。

sin(β−α)=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=−xxxxxxxx2、已知α和β都是锐角，且sinα=54，cos(α+β)=−135，求sinβ的值。

A、xxxxxxxxB、无解C、无解D、xxxxxxxx解析：依题意，∵sinα=54，∴cosα=√21/4。

又cos(α+β)=−135。

sin(α+β)=−35π。

sinβ=sin[(α+β)−α]。

sinβ=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=xxxxxxxx3、已知x∈[2kπ−3π4,2kπ+3π4]（k∈Z），且cos(−x)=−，则cos2x的值是（）A、−B、−xxxxxxxxC、无解D、无解解析：x∈[2kπ−3π4,2kπ+3π4]。

cosx−sinx>0。

即sin(−x)=−sinx=cosx<0。

sin(−x)∈(−1,0]。

x∈[2kπ−π2,2kπ]。

x∈[2kπ,2kπ+π2]。

cos2x=2cos2x−1=2cos2(x/2)−1=2cos2(−x/2)−1=2sin2(−x/2)−1=−4、设cos(x+y)sinx−sin(x+y)cosx=12，且y是第四象限角，则y的值是（）A、±2332B、±1212C、无解D、无解解析：由cos(x+y)sinx−sin(x+y)cosx=0得sin(x−y)=−cos(x+y)。

高中数学三角恒等变换精选题目(附答案)

高中数学三角恒等变换精选题目(附答案)

高中数学三角恒等变换精选题目（附答案）1、cos 24cos36cos66cos54︒︒︒︒-的值为（ ）A 0 B12 C 2 D 12-2.3cos 5α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12sin 13β=-，β是第三象限角，则=-)cos(αβ（ ） A 、3365-B 、6365C 、5665D 、1665-3. tan 20tan 4020tan 40︒︒︒︒++的值为（ ）A 1 B3C D 4. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为（ ）A 47-B 47C 18D 18-5.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4cos 5αβ+=-，则βsin 的值是（ ）A 、3365B 、1665C 、5665D 、63656.,)4,43(ππ-∈x 且3cos 45x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭则cos2x 的值是（ ）A 、725-B 、2425-C 、2425D 、7257. 函数44sin cos y x x =+的值域是（ ）A []0,1B []1,1-C 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于54,则这个三角形底角的正弦值为（ ） A1010 B 1010- C 10103 D 10103- 9.要得到函数2sin 2y x =的图像，只需将x x y 2cos 2sin 3-=的图像（ ）A 、向右平移6π个单位B 、向右平移12π个单位C 、向左平移6π个单位D 、向左平移12π个单位 10.函数sin 22x xy =+的图像的一条对称轴方程是 （ ）A 、x =113πB 、x =53π C 、53x π=- D 、3x π=- 11. 已知1cos sin 21cos sin x xx x -+=-++，则x tan 的值为 （ ）A 、34B 、34-C 、43D 、43-12.若0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0,βπ∈且()1tan 2αβ-=,1tan 7β=-,则=-βα2 （ ） A 、56π-B 、23π-C 、 712π- D 、34π- 13. .在ABC ∆中，已知tanA ,tanB 是方程23720x x -+=的两个实根，则tan C = 14. 已知tan 2x =，则3sin 22cos 2cos 23sin 2x xx x+-的值为15. 已知直线12//l l ，A 是12,l l 之间的一定点，并且A 点到12,l l 的距离分别为12,h h ，B 是直线2l 上一动点，作AC ⊥AB ，且使AC 与直线1l 交于点C ，则ABC ∆面积的最小值为 。

高中数学(人教A版)必修4第3章 三角恒等变换 测试题(含详解)

高中数学(人教A版)必修4第3章 三角恒等变换 测试题(含详解)

第三章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin105°cos105°的值为( ) A.14 B ．－14C.34D ．－34解析 原式＝12sin210°＝－12sin30°＝－14.答案 B2．若sin2α＝14，π4<α<π2，则cos α－sin α的值是( )A.32B ．－32C.34D ．－34解析 (cos α－sin α)2＝1－sin2α＝1－14＝34.又π4<α<π2， ∴cos α<sin α，cos α－sin α＝－34＝－32. 答案 B3．sin15°sin30°sin75°的值等于( ) A.14 B.34 C.18D.38解析 sin15°sin30°sin75° ＝sin15°cos15°sin30° ＝12sin30°sin30°＝12×12×12＝18. 答案 C4．在△ABC 中，∠A ＝15°，则 3sin A －cos(B ＋C )的值为( ) A. 2 B.22C.32D. 2解析 在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝π， 3sin A －cos(B ＋C ) ＝3sin A ＋cos A ＝2(32sin A ＋12cos A ) ＝2cos(60°－A )＝2cos45°＝ 2. 答案 A5．已知tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin2θ等于( )A ．－65B ．－45C.45D.65解析 原式＝cos 2θ＋sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝65.答案 D6．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析 ∵sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B ，或∠A ＋∠B ＝π2.答案 D 7．设a ＝22(sin17°＋cos17°)，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则( ) A ．c <a <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c 解析 a ＝22sin17°＋22cos17°＝cos(45°－17°)＝cos28°，b ＝2cos 213°－1＝cos26°，c ＝32＝cos30°， ∵y ＝cos x 在(0,90°)内是减函数， ∴cos26°>cos28°>cos30°，即b >a >c . 答案 A8．三角形ABC 中，若∠C >90°，则tan A ·tan B 与1的大小关系为( ) A ．tan A ·tan B >1 B. tan A ·tan B <1 C ．tan A ·tan B ＝1D ．不能确定解析 在三角形ABC 中，∵∠C >90°，∴∠A ，∠B 分别都为锐角． 则有tan A >0，tan B >0，tan C <0. 又∵∠C ＝π－(∠A ＋∠B )，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A ·tan B <0，易知1－tan A ·tan B >0， 即tan A ·tan B <1. 答案 B9．函数f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数解析 f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝sin2x . 答案 A10．y ＝cos x (cos x ＋sin x )的值域是( ) A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋22，2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22D.⎣⎡⎦⎤－12，32 解析 y ＝cos 2x ＋cos x sin x ＝1＋cos2x 2＋12sin2x＝12＋22⎝⎛⎭⎫22sin2x ＋22cos2x ＝12＋22sin(2x ＋π4)．∵x ∈R ， ∴当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝1时，y 有最大值1＋22； 当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－1时，y 有最小值1－22. ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22.答案 C11．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为( )A.335 B.45 C ．±35D ．±45解析 由sin(π－θ)＝2425，得sin θ＝2425.∵θ为第二象限的角，∴cos θ＝－725.∴cos θ2＝±1＋cos θ2＝± 1－7252＝±35. 答案 C12．若α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，则cos α的值为( )A.5665 B.1665C.5665或1665D ．以上都不对解析 ∵0<α＋β<π，cos(α＋β)＝1213>0，∴0<α＋β<π2，sin(α＋β)＝513.∵0<2α＋β<π，cos(2α＋β)＝35>0，∴0<2α＋β<π2，sin(2α＋β)＝45.∴cos α＝cos [(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665. 答案 A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上) 13．若1＋tan α1－tan α＝2012，则1cos2α＋tan2α＝______.解析1cos2α＋tan2α＝1＋sin2αcos2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝tan 2α＋1＋2tan α1－tan 2α＝(tan α＋1)21－tan 2α＝1＋tan α1－tan α＝2012.答案 201214．已知cos2α＝13，则sin 4α＋cos 4α＝________.解 ∵cos2α＝13，∴sin 22α＝89.∴sin 4α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α ＝1－12sin 22α＝1－12×89＝59.答案 5915.sin (α＋30°)＋cos (α＋60°)2cos α＝________.解析 ∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sin αcos30°＋cos αsin30°＋cos αcos60°－sin αsin60°＝cos α，∴原式＝cos α2cos α＝12.答案 1216．关于函数f (x )＝cos(2x －π3)＋cos(2x ＋π6)，则下列命题：①y ＝f (x )的最大值为2； ②y ＝f (x )最小正周期是π；③y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π24，13π24上是减函数；④将函数y ＝2cos2x 的图像向右平移π24个单位后，将与已知函数的图像重合．其中正确命题的序号是________． 解析 f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝2·⎣⎡⎦⎤22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋π4 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12， ∴y ＝f (x )的最大值为2，最小正周期为π，故①，②正确．又当x ∈⎣⎡⎦⎤π24，13π24时，2x －π12∈[0，π]，∴y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤π24，13π24上是减函数，故③正确． 由④得y ＝2cos2⎝⎛⎭⎫x －π24＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12，故④正确． 答案 ①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos α－23，－1，n ＝(sin x,1)，m 与n 为共线向量，且α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0.(1)求sin α＋cos α的值； (2)求sin2αsin α－cos α的值．解 (1)∵m 与n 为共线向量， ∴⎝⎛⎭⎫cos α－23×1－(－1)×sin α＝0， 即sin α＋cos α＝23. (2)∵1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2＝29，∴sin2α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－sin2α＝169. 又∵α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，∴sin α－cos α<0. ∴sin α－cos α＝－43.∴sin2αsin α－cos α＝712. 18．(12分)求证：2－2sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 4α－sin 4α＝1＋tan α1－tan α. 证明 左边＝2－2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α) ＝2－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α－sin 2α ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2cos 2α－sin 2α＝1＋sin2αcos 2α－sin 2α＝(sin α＋cos α)2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α. ∴原等式成立．19．(12分)已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x . (1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值；(2)求f (x )的最大值和最小值． 解 (1)f ⎝⎛⎭⎫π3＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3 ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫322－4×12 ＝－1＋34－2＝－94.(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1＝3⎝⎛⎭⎫cos x －232－73， ∵x ∈R ，cos x ∈[－1,1]，∴当cos x ＝－1时，f (x )有最大值6； 当cos x ＝23时，f (x )有最小值－73.20．(12分)已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值． 解 (1)解法1：∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， ∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， 于是sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝7210.sin x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4sin π4 ＝7210×22＋210×22＝45. 解法2：由题设得22cos x ＋22sin x ＝210， 即cos x ＋sin x ＝15.又sin 2x ＋cos 2x ＝1， 从而25sin 2x －5sin x －12＝0， 解得sin x ＝45，或sin x ＝－35，因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以sin x ＝45. (2)∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，故 cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425.cos2x ＝2cos 2x －1＝－725.∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＝－24＋7350.21．(12分)已知函数 f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 解 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin2x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6所以f (x )的最小正周期为π.(2)－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3，当2x ＋π6＝π2时，即x ＝π6，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6时，即x ＝－π6，f (x )取得最小值－1.22．(12分)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.解 (1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4＋π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45.两式相加，得2cos βcos α＝0， ∵0<α<β≤π2，∴β＝π2.∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.。