二次函数与几何图形综合压轴题(原卷版)

22.4二次函数与几何图形综合压轴题

1．（2021·江苏中考真题）如图，点,AB在函数214yx的图像上．已知,AB的横坐标分别为－2、4，直线AB与y轴交于点C，连接,OAOB．

（1）求直线AB的函数表达式；

（2）求AOB的面积； （3）若函数214yx的图像上存在点P，使得PAB的面积等于AOB的面积的一半，则这样的点P共有___________个．

2．（2021·湖北中考真题）如图，抛物线2yaxbxc交x轴于(1,0)A，(3,0)B两点，交y轴于点(0,3)C，点Q为线段BC上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求||||QOQA的最小值；

（3）过点Q作//PQAC交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，记PAQ△与PBQ△的面积分别为1S，2S，设12SSS，求点P坐标，使得S最大，并求此最大值．

3．（2021·黑龙江中考真题）抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点A（﹣3，0）和点C（0，3）．

（1）求此抛物线所对应的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标； （2）若过顶点D的直线将△ACD的面积分为1：2两部分，并与x轴交于点Q，则点Q的坐标为 ．

注：抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标（24,24bacbaa）

4．（2021·湖南中考真题）如图，一次函数333yx图象与坐标轴交于点A、B，二次函数233yxbxc图象过A、B两点．

（1）求二次函数解析式；

（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

5．（2021·河北九年级二模）如图，抛物线21:42Gyxkx（k为常数）与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，直线:6Ly，L交y轴于点C，交G于点M，N（M在N的左侧）．

（1）当1k时，

△直接写出抛物线G的对称轴和顶点坐标，并求AB的长；

△当05x时，求2142yxkx的最大值和最小值的差．

（2）是否存在k，使1CM？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；

（3）当12xk时，抛物线G的最高点到L的距离为1，请直接写出此时k的值．

6．（2020·江西赣州市·九年级期末）我们知道，二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象是一条抛物线，现定义一种变换，先作这条抛物线关于原点对称的抛物线y′，再将抛物线y′向上平移m（m＞0）个单位，得到新的抛物线ym，我们称ym叫做二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的m阶变换．

（1）已知：二次函数y＝2（x+2）2+1，它的顶点关于原点的对称点为 ，这个抛物线的2阶变换的表达式为 ．

（2）若二次函数M的6阶变换的关系式为y6＝（x﹣1）2+5．

△二次函数M的函数表达式为 ．

△若二次函数M的顶点为点A，与x轴相交的两个交点中左侧交点为点B，动点P在抛物线y6上，作PD△直线AB，请求出PD最小时P点的坐标．

7．（2021·湖南娄底市·九年级期末）如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣2x＋3经过点C，与x轴交于点D．

（1）求二次函数的解析式；

（2）点P是（1）中的抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t（0＜t＜3），求△PCD的面积的最大值及此时点P的坐标．

8．（2021·广西九年级期中）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A(﹣3，0)和B(1，0)，交y轴于点C(0，﹣3)．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接BC，若点E在抛物线上且S△BOC＝14S△AOE，求点E的坐标；

（3）如图2，设点F是线段AC上的一动点，作DF△x轴，交抛物线于点D，求线段DF的最大值．

9．（2021·吉林真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2yxbxc的图象经过点70,4A，点11,4B．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）当22x时，求二次函数2yxbxc的最大值和最小值；

（3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作//PQx轴，点Q的横坐标为21m．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．

△求m的取值范围；

△当7PQ时，直接写出线段PQ与二次函数2123yxbxcx的图象交点个数及对应的m的取值范围．

10．（2021·湖南中考真题）如图，已知抛物线24yaxbx经过(1,0)A，(4,0)B两点，交y轴于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接BC，求直线BC的解析式；

（3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使APPC的值最小，求点P的坐标，并求出此时APPC的最小值；

（4）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

11．（2021·广西中考真题）如图，已知抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣1，5）和点B（﹣5，m）与x轴的正半轴交于点C．

（1）求a，m的值和点C的坐标；

（2）若点P是x轴上的点，连接PB，PA，当25PBPA时，求点P的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横坐标；若不存在，请说明理由．

12．（2021·内蒙古中考真题）如图，抛物线2yxbxc与x轴交于3,0、1,0B两点，对称轴l与x轴交于点F，直线m//AC，过点E作EH△m，垂足为H，连接AE、EC、CH、AH．

（1）抛物线的解析式为 ；

（2）当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接EF，点P在x轴上，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；若不存在请说明理由．

13．（2021·长沙麓山国际实验学校九年级其他模拟）如图，已知二次函数20yxbxcc的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为点Q，若OQ=m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；

（3）探索：线段BM上是否存在点P，使PMC为等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

14．（2021·上海中考真题）已知抛物线2(0)yaxca过点(3,0),(1,4)PQ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点A在直线PQ上且在第一象限内，过A作ABx轴于B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角ABC．

△若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；

△若C落在抛物线上，求C的坐标．

15．（2021·长沙市长郡双语实验中学八年级期末）如图，已知抛物线y＝14x2+bx+c与y轴交于点B（0，1），顶点为A．点F（2，1）在抛物线的对称轴上，点C（0，3）是y轴上一点．点P在抛物线上运动，过点P作PM△x轴于点M，连接PF和CF．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：在点P运动的过程中，总有PF＝PM+1；

（3）若将“使△PCF面积为2”的点P记作“巧点”，则存在多个“巧点”，请求出所有“巧点”的坐标．是否存在使△PCF的周长最小的“巧点”，若有，请直接写出“巧点”的坐标；若无，请说明理由．

16．（2021·苏州吴中区木渎实验中学九年级月考）如图，已知抛物线213yxbxc（b，c是常数，且0c）与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(1,0)．

（1）b________，点B的横坐标为________（上述结果均用含c的代数式表示）；

（2）连接BC，过点A作直线//AEBC，与抛物线213yxbxc交于点E．点D是x轴上一点，其坐标为(2,0)，当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式．

17．（2020·湖北十堰市·九年级期末）如图，已知抛物线y＝21322xx﹣n（n＞0）与x轴交于A，B两点（A点在B点的左边），与y轴交于点C．

（1）若△ABC为直角三角形，求n的值；

（2）在（1）的条件下，点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，若以BC为边，以点B，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求点D，E的坐标．

18．（2019·内蒙古九年级二模）如图，抛物线2yaxbxc0a与y轴交于点0,4C，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为2,0，抛物线的对称轴1x与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．

（1）求抛物线的解析式； （2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．

19．（2021·四川九年级期末）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（0，﹣4），D（3，﹣4）三点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）直线AD交y轴于点G，M是线段GD上动点，MN//x轴与抛物线CD段交于点N．MF△x轴于F，NH△x轴于H，当四边形MFHN是正方形时，求点M的坐标．

（3）探究在抛物线上是否存在点P，使S△PBC＝2S△DBC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

20．（2021·江苏九年级二模）定义：如果二次函数2111yaxbxc（10a，1a，1b，1c是常数）与2222yaxbxc（20a，2a，2b，2c是常数）满足120aa，12bb，120cc，则这两个函数互为“N”函数．

（1）写出21yxx的“N”函数的表达式；

（2）若题（1）中的两个“N”函数与正比例函数(0)ykxk的图像只有两个交点，求k的值；

（3）如图，二次函数y1与y2互为“N”函数，A、B分别是“N”函数y1与y2图象的顶点，C是“N”函数2y与y轴正半轴的交点，连接AB、AC、BC，若点(2,1)A且ABC为直角三角形，求点C的坐标．