二次函数与几何综合压轴题题型归纳

一 基本构图：

y=322xx（以下几种分类的函数解析式就是这个）

★和最小,差最大 在对称轴上找一点P,使得PB+PC的和最小,求出P点坐标

在对称轴上找一点P,使得PB-PC的差最大,求出P点坐标

★求面积最大 衔接AC,在第四象限找一点P,使得ACP面积最大,求出P坐标

★ 评论辩论直角三角 衔接AC,在对称轴上找一点P,使得ACP为直角三角形,

求出P坐标或者在抛物线上求点P,使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．

★ 评论辩论等腰三角 衔接AC,在对称轴上找一点P,使得ACP为等腰三角形,

求出P坐标

★ 评论辩论平行四边形 1.点E在抛物线的对称轴上,点F在抛物线上,

且以B,A,F,E四点为极点的四边形为平行四边形,求点F的坐标

二 分解题型

例1 (中考变式）如图,抛物线cbxxy2与x轴交与A(1,0),B(-3,0)两点,极点为D.交Y轴于C

(1)求该抛物线的解析式与△ABC的面积.

(2)在抛物线第二象限图象上是否消失一点M,使△MBC是以∠BCM为直O x y

A B

C

D

O x y

A B

C

D O x y

A B

C

D O x y

A B

C

D 角的直角三角形,若消失,求出点P的坐标.若没有,请解释来由

(3)若E为抛物线B.C两点间图象上的一个动点(不与A.B重合),过E作EF与X轴垂直,交BC于F,设E点横坐标为x.EF的长度为L,

求L关于X的函数关系式？关写出X的取值规模？

当E点活动到什么地位时,线段EF的值最大,并求此时E点的坐标？

(4)在（5）的情形下直线BC与抛物线的对称轴交于点H.当E点活动到什么地位时,以点E.F.H.D为极点的四边形为平行四边形？

(5)在（5）的情形下点E活动到什么地位时,使三角形BCE的面积最大？

例2 考点：

关于面积最值

如图,在平面直角坐标系中,点A.C的坐标分离为(－1,0).(0,3－),点B在x轴上．已知某二次函数的图象经由A.B.C三点,且它的对称轴为直线x＝1,点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B.C不重合）,过点P作y轴的平行线交BC于点F．

（1）求该二次函数的解析式;

（2）若设点P的横坐标为m,试用含m的代数式暗示线段PF的长;

（3）求△PBC面积的最大值,并求此时点P的坐标．

例3 考点：评论辩论等腰

如图,已知抛物线y＝21x2＋bx＋c与y轴订交于C,与x轴订交于A.B,点A的坐标为（2,0）,点C的坐标为（0,－1）．

（1）求抛物线的解析式;

（2）点E是线段AC上一动点,过点E作DE⊥x轴于点D,贯穿连接DC,当△DCE的面积最大时,求点D的坐标;

（3）在直线BC上是否消失一点P,使△ACP为等腰三角形,若消失,求点P的坐标,若不消失,解释来由．

例4考点：评论辩论直角三角

⑴ 如图,已知点A（一1,0）和点B（1,2）,在坐标轴上

肯定点P,使得△ABP为直角三角形,则知足如许前提的点P共有（ ）．

(A）2个 （B）4个 （C） 6个（D）7个 D

B

C O A y

x E B

C O A

备用图 y

x

y

x B A F

P

x＝1 C O ⑵已知：如图一次函数y＝21x＋1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B;二次函数y＝21x2＋bx＋c的图象与一次函数y＝21x＋1的图象交于B.C两点,与x轴交于D.E两点且D点坐标为（1,0）

（1）求二次函数的解析式;

（2）求四边形BDEC的面积S;

（3）在x轴上是否消失点P,使得△PBC是以P为直角极点的直角三角形？若消失,求出所有的点P,若不消失,请解释来由．

例5 考点：评论辩论四边形

已知：如图所示,关于x的抛物线y＝ax2＋x＋c（a≠0）与x轴交于点A（－2,0）,点B（6,0）,与y轴交于点C．

（1）求出此抛物线的解析式,并写出极点坐标;

（2）在抛物线上有一点D,使四边形ABDC为等腰梯形,写出点D的坐标,并求出直线AD的解析式;

（3）在（2）中的直线AD交抛物线的对称轴于点M,抛物线上有一动点P,x轴上有一动点Q．是否消失以A.M.P.Q为极点的平行四边形？假如消失,请直接写出点Q的坐标;假如不消失,请解释来由．

分解演习：

1.平面直角坐标系xOy中,抛物线244yaxaxac与x轴交于点A.点B,与y轴的正半轴交于点C,点A的坐标为(1, 0),OB＝OC,抛物线的极点为D.

(1) 求此抛物线的解析式;

(2) 若此抛物线的对称轴上的点P知足∠APB＝∠ACB,求点P的坐标;

(3)Q为线段BD上一点,点A关于∠AQB的等分线的对称点为A,若2QBQA,求点Q的坐标和此时△QAA的面积.

2.在平面直角坐标系xOy中,已知二次函数2+2yaxaxc的图像与y轴交于点3 0，C,与x轴交于A.B两点,点B的坐标为0 3，.

（1） 求二次函数的解析式及极点D的坐标;

（2） 点M是第二象限内抛物线上的一动点,若直线OM把四边形O A B y

C

x

D E 2

B A y

O C

x ACDB分成面积为1 ：2的两部分,求出此时点M的坐标;

（3） 点P是第二象限内抛物线上的一动点,问：点P在何处时△CPB的面积最大？最大面积是若干？并求出此时点P的坐标.

3.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线xxmy222与x轴负半轴交于点A,极点为B,且对称轴与x轴交于点C.

（1）求点B的坐标（用含m的代数式暗示）;

（2）D为OB中点,直线AD交y轴于E,若E（0,2）,求抛物线的解析式;

（3）在（2）的前提下,点M在直线OB上,且使得AMC的周长最小,P在抛物线上,Q在直线BC上,若认为QPMA、、、极点的四边形是平行四边形,求点P的坐标.

4.已知关于x的方程2(1)(4)30mxmx.

（1） 若方程有两个不相等的实数根,求m的取值规模;

（2） 若正整数m知足822m,设二次函数2(1)(4)3ymxmx的图象与x轴交于AB、两点,将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象;请你联合这个新的图象答复：当直线3ykx与此图象正好有三个公共点时,求出k的值（只须请求出两个知足题意的k值即可）.

5如图,抛物线y=ax2+2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0,4）,与x轴交于点A（﹣4,0）和B．

（1）求该抛物线的解析式;

（2）点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E,衔接CQ．当△CEQ的面积最大时,求点Q的坐标; （3）平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为（﹣2,0）．问是否有直线l,使△ODF是等腰三角形？若消失,请求出点F的坐标;若不消失,请解释来由．

三.中考二次函数代数型分解题

题型一.抛物线与x轴的两个交点分离位于某定点的两侧

例1．已知二次函数y＝x2＋(m－1)x＋m－2的图象与x轴订交于A（x1,0）,B（x2,0）两点,且x1＜x2．

（1）若x1x2＜0,且m为正整数,求该二次函数的表达式;

（2）若x1＜1,x2＞1,求m的取值规模;

（3）是否消失实数m,使得过A.B两点的圆与y轴相切于点C（0,2）,若消失,求出m的值;若不消失,请解释来由;

（4）若过点D（0,12）的直线与（1）中的二次函数图象订交于M.N两点,且MDDN＝13,求该直线的表达式．

题型二.抛物线与x轴两交点之间的距离问题

例2 已知二次函数y= x2+mx+m-5,

（1）求证：不管m取何值时,抛物线总与x轴有两个交点;

（2）求当m取何值时,抛物线与x轴两交点之间的距离最短．

题型三.抛物线方程的整数解问题

例1． 已知抛物线222(1)0yxmxm与x轴的两个交点的横坐标均为整数,且m＜5,则整数m的值为_____________

例2．已知二次函数y＝x2－2mx＋4m－8．

（1）当x≤2时,函数值y随x的增大而减小,求m的取值规模;

（2）以抛物线y＝x2－2mx＋4m－8的极点A为一个极点作该抛物线的内y 接正AMN（M,N两点在拋物线上）,请问：△AMN的面积是与m无关的定值吗？若是,请求出这个定值;若不是,请解释来由;

（3）若抛物线y＝x2－2mx＋4m－8与x轴交点的横坐标均为整数,

求整数．．m的值．

题型四.抛物线与对称,包含：点与点关于原点对称.抛物线的对称性.数形联合

例1．已知抛物线2yxbxc（个中b>0,c≠0）与y轴的交点为A,点A关于抛物线对称轴的对称点为B(m,n),且AB=2.

(1)求m,b的值

(2)假如抛物线的极点位于x轴的下方,且BO=20.求抛物线所对应的函数关系式（友谊提示：请绘图思虑）

题型五.抛物线中韦达定理的普遍运用（线段长.定点两侧.点点关于原点对称.等等）

例1．已知：二次函数2y4xxm的图象与x轴交于不合的两点A（1x,0）.B（2x,0）（1x＜2x）,其极点是点C,对称轴与x轴的交于点D．

（1）求实数m的取值规模;

（2）假如（1x+1）（2x+1）=8,求二次函数的解析式;

（3）把（2）中所得的二次函数的图象沿y轴高低平移,假如平移后的函数图象与x轴交于点1A.1B,极点为点C1,且△111ABC是等边三角形,求平移后所得图象的函数解析式．

分解晋升

1．已知二次函数的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C（0,4）,且|AB|＝23,图象的对称轴为x＝1．