中考数学压轴题：二次函数与几何图形综合题型
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1 中考数学压轴题：二次函数与几何图形综合题型
类型1 探究图形面积数量关系及最值等问题
1．如图甲，四边形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A，D，交y轴于点C.已知A(3，0)，D(－1，0)，C(0，3)．
(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标；
(2)设△AOC沿x轴正方向平移t个单位长度(0＜t≤3)时，△AOC与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围；
(3)当0＜t≤32时，求S的最大值．
2 2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)经过点A(－1，0)和点B(3，0)．
(1)求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
(2)若点P在直线x＝2上运动，当点P到直线AD的距离d等于点P到x轴的距离时，求d的值；
(3)如图2，直线AC：y＝－x＋m经过点A，交y轴于点C.探究：在x轴上方的抛物线上是否存在点M，使得S△CDA＝2S△ACM？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
3 3．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA，OC的长(OA＜OC)是方程x2－5x＋4＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝1.
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)求此抛物线的解析式；
(3)若点D是线段AB上的一个动点(与点A，B不重合)，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由．
4 类型2 探究线段的数量关系及最值问题
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3的顶点为M(2，－1)，交x轴于A，B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为(3，0)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D，且直线CD和直线CA关于直线BC对称，求直线CD的解析式；
(3)在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM2＋PB2＋PC2＝35，求点P的坐标；并直接写出此时直线OP与该抛物线交点的个数．
5 2．已知点M是二次函数y＝ax2(a＞0)图象上的一点，点F的坐标为(0，14a)，直角坐标系中的坐标原点O与点M，F在同一个圆上，圆心Q的纵坐标为18.
(1)求a的值；
(2)当O，Q，M三点在同一条直线上时，求点M和点Q的坐标；
(3)当点M在第一象限时，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，求证：MF＝MN＋OF.
6 3．如图1，已知▱ABCD顶点A的坐标为(2，6)，点B在y轴上，且AD∥BC∥x轴，过B，C，D三点的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(2，2)，点F(m，6)是线段AD上一动点，直线OF交BC于点E.
(1)求抛物线的表达式；
(2)设四边形ABEF的面积为S，请求出S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
(3)如图2，过点F作FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，连接MN，直线AC分别交x轴，y轴于点H，G，试求线段MN的最小值，并直接写出此时m的值．
7 类型3 探究特殊四边形的存在性问题
1．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴交于A(－2，0)，B两点，与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝1.
(1)直接写出抛物线的解析式y＝－12x2＋x＋4；
(2)把线段AC沿x轴向右平移，设平移后A，C的对应点分别为A′，C′，当C`落在抛物线上时，求A′，C′的坐标；
(3)除(2)中的点A′，C′外，在x轴和抛物线上是否还分别存在点E，F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出E，F的坐标；若不存在，请说明理由．
2．抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(0，2)，B(3，2)两点，若两动点D，E同时从原点O分别沿着x轴，y轴正方 8 向运动，点E的速度是每秒1个单位长度，点D的速度是每秒2个单位长度．
(1)求抛物线与x轴的交点坐标；
(2)若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D，使A，B，C，D四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；
(3)问几秒钟时，B，D，E在同一条直线上？
3．(贵港模拟)如图，直线y＝－3x＋3与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝a(x－2)2＋k经过点A，B， 9 并与x轴交于另一点C，其顶点为P.
(1)求a，k的值；
(2)抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；
(3)在抛物线及其对称轴上分别取点M，N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(2，9)，与y轴交于点A(0，5)，与x 10 轴交于点E，B.
(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式；
(2)过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点(点P在AC上方)，作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；
(3)若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A，E，N，M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M，N的坐标．
类型4_探究全等三角形的存在性问题试题 11
1．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为D，与y轴交于点C，直线CD的解析式为y＝3x＋23.
(1)求b，c的值；
(2)过C作CE∥x轴交抛物线于点E，直线DE交x轴于点F，且F(4，0)，求抛物线的解析式；
(3)在(2)条件下，抛物线上是否存在点M，使得△CDM≌△CEM？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线y＝ax2＋c(a≠0)与y轴交于点A，与x轴交于点B，C两点(点C在x轴正半轴上)，△ABC
