二次函数与几何综合题

二次函数与几何图形综合题

类型 1 二次函数与相似三角形的存在性问题

1． (2015 ·明西山区一模昆 )如图，已知抛物线 y＝ ax2＋bx＋ c(a≠0)经过 A(－ 1， 0)， B(4， 0)， C(0 ，2)

三点．

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)P 为线段 BC 上的一个动点，过 P 作 PE 垂直于 x 轴与抛物线交于点 E，设 P 点横坐标为 m， PE 长

度为 y，请写出 y 与 m 的函数关系式，并求出 PE 的最大值；

(3)D 为抛物线上一动点，是否存在点 D 使以 A、B、D 为顶点的三角形与△ COB 相似？若存在，试求

出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．

- 1 -

2． (2013 ·靖曲 )如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝ x＋ 4 与坐标轴分别交于 A， B 两点，过 A，

B 两点的抛物线为 y＝－ x2＋ bx＋ c.点 D 为线段 AB 上一动点，过点 D 作 CD⊥ x 轴于点 C，交抛物线于点

E.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当 DE＝ 4 时，求四边形 CAEB 的面积；

(3)连接 BE，是否存在点 D ，使得△ DBE 和△ DAC 相似？若存在，求出 D 点坐标；若不存在，说明理

由．

- 2 -

3．(2015 襄·阳 )边长为 2 的正方形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示， 点 D 是边 OA 的中点，

连接 CD ，点 E 在第一象限，且 DE⊥ DC ， DE ＝DC.以直线 AB 为对称轴的抛物线过 C， E 两点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点 P 从点 C 出发，沿射线 CB 以每秒 1 个单位长度的速度运动， 运动时间为 t 秒．过点 P 作 PF ⊥ CD

二次函数与几何图形综合 专题练习题

1．如图，直线l过A(3，0)和B(0，3)两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，若△AOP的面积为3，求二次函数的解析式．

答案：解：易求直线AB的解析式为y＝－x＋3，

设P(t，－t＋3)(0＜t＜3)，∵△AOP的面积为3，

∴12·3·(－t＋3)＝3，解得t＝1，∴P点坐标为(1，2)，

把P(1，2)代入y＝ax2得a＝2，∴二次函数解析式为y＝2x2

2．如图，在直角坐标系中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A(1，0)，B(0，2)，抛物线y＝12x2＋bx－2的图象过C点．求抛物线的解析式．

答案：解：过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD＋∠ACD＝90°.

∵∠OBA＋∠OAB＝90°，∠OAB＋∠CAD＝90°，

∴∠OAB＝∠ACD，∠OBA＝∠CAD，由ASA可证△AOB≌△CDA，

∴CD＝OA＝1，AD＝OB＝2，∴OD＝OA＋AD＝3，∴C(3，1)．

∵点C(3，1)在抛物线上，∴1＝12×9＋3b－2，解得b＝－12，

∴抛物线的解析式为y＝12x2－12x－2

3．如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0)．

(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；

(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA＋PC的值最小时，求点P的坐标．

答案：解：(1)把点B的坐标(3，0)代入y＝－x2＋mx＋3得0＝－32＋3m＋3，解得m＝2，∴y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴顶点坐标为(1，4) (2)连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA＋PC的值最小，由点C(0，3)，B(3，0)，可求直线BC的解析式为y＝－x＋3，当x＝1时，y＝－1＋3＝2，∴当PA＋PC的值最小时，点P的坐标为(1，2)

4．二次函数y＝－x2＋mx＋n的图象经过点A(－1，4)，B(1，0), 直线y＝－x＋b经过点B，且与二次函数y＝－x2＋mx＋n交于点D，过点D作DC⊥x轴于点C.

试卷第1页，共28页 二次函数与几何综合压轴题

几乎所有的地方都把二次函数与几何综合压轴题作为中考压轴题。

1．（2023·青海·中考真题）如图，二次函数2

yxbxc=−++的图象与x

轴相交于点

A和点()

1,0C

，交y

轴

于点()

0,3B

．

(1)求此二次函数的解析式；

(2)设二次函数图象的顶点为

P，对称轴与x

轴交于点Q

，求四边形AOBP

的面积（请在图1中探索）；

(3)二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满

足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．

试卷第2页，共28页 2．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2

yxbxc=−++与x

轴的交点分别为

A

和()

10B,

（点

A在点

B的左侧），与y

轴交于点()

0,3C

，点

P是直线AC

上方抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，过点

P作x

轴平行线交AC

于点E，过点

P作y

轴平行线交x

轴于点D，求PEPD+的最大值及

点

P的坐标；

(3)如图2，设点M为抛物线对称轴上一动点，当点

P，点M运动时，在坐标轴上确定点N，使四边形PMCN

为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标．

试卷第3页，共28页 3．（2023·海南·中考真题）如图1，抛物线2

yxbxc=++交x

轴于A

，()

3,0B

两点，交y

轴于点()

0,3C−

．点

P

是抛物线上一动点．

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)当点P

的坐标为()

1,4−

时，求四边形BACP的面积；

(3)当动点P

在直线BC

上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q

，使得以B

，C

，P

，Q

为顶点的四边形是矩

形？若存在，请求出点Q

的坐标；若不存在，请说明理由；

(4)如图2，点D

是抛物线的顶点，过点D

作直线DHy∥

轴，交x

轴于点H

，当点P

在第二象限时，作直线

PA，

PB分别与直线DH交于点G

和点I

，求证：点D

是线段IG

的中点．

试卷第4页，共28页 4．（2023·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线2

二次函数与三角形

一 、填空题（本大题共2小题）

1.已知二次函数交轴于,两点，交轴于点，且是等腰三角形，请写出一个符合要求的二次函数的解析式 ．

2.二次函数的图象的顶点为，与轴正方向从左至右依次交于,两点，与轴正方向交于点，若和均为等腰直角三角形（为坐标原点），则 ．

二 、解答题（本大题共9小题）

3.如图，抛物线与轴交与，两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交轴与点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点，使的面积最大？，若存在，求出点的坐标及的面积最大值.若没有，请说明理由.

4.如图，已知二次函数的图象经过点、和原点．为二次函数图象上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，并与直线交于点． 2yaxbxcxAByCABC△2yxbxcDxAByCABD△OBC△O2bc2yxbxcx10A，30B，yCQQAC△QPPBC△PPBC△CyxABOQCyxABOEPCyxABO33A，40B，OPPx0Dm，OAC（1）求出二次函数的解析式；

（2）当点在直线的上方时，求线段的最大值；

（3）当时，探索是否存在点，使得为等腰三角形，如果存在，求出的坐标；如果不存在，请说明理由．

5.已知二次函数22(2)4ymxmxn的图象的对称轴是直线2x，且它的最高点在直线 112yx上．

⑴ 求此二次函数的解析式；

⑵ 若此二次函数的图象开口方向不变，定点在直线112yx上移动到M点时，图象与x轴恰好交于A、B两点，且8ABMS，求这时的二次函数的解析式．

6.已知二次函数212yxbxc的图象经过点(36)A，并且与x轴相交于点(10)B，和点C，顶点为P

（1）求二次函数的解析式；