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法向量求法及应用方法法向量是指与一些曲面上的每一点的切平面垂直的向量。
在三维空间中，法向量可以方便地描述曲面的几何特征和方向。
一、法向量的求法：1.平面的法向量：平面的法向量可以通过两个不平行的向量叉积得到。
设平面上两个向量为a和b，法向量n=a×b。
2.曲面的法向量：曲面的法向量可以通过曲面的方程求得。
常见的曲面方程包括参数方程、隐函数方程和显函数方程。
对于参数方程和隐函数方程，可以通过求偏导数来得到曲面的切向量，然后再将切向量进行标准化得到法向量。
例如，对于参数方程x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，法向量可以通过求∂(x,y,z)/∂(u,v)的叉积来得到。
而对于隐函数方程F(x,y,z)=0，可以通过对F(x,y,z)进行偏导数得到一个方程组，然后解这个方程组来得到法向量。
二、法向量的应用方法：1.曲面法向量的判定：通过计算曲面的法向量可以判断曲面的朝向和几何特征。
例如，在渲染图形时，可以通过曲面的法向量来决定光线对曲面的照射效果，以实现更真实的光影效果。
2.曲面法向量的插值和平滑：在计算机图形学中，通常需要对曲面进行插值和平滑处理。
曲面的法向量可以帮助我们在曲面上进行平滑采样。
例如，在曲面细分中，通过计算曲面的法向量来过滤掉尖锐的细分结果，使得细分结果更加平滑自然。
3.曲面的切平面和法向量的切线：对于空间曲线上的点，可以通过曲线的参数方程求得曲线的切线向量。
而对于空间曲面上的点，可以通过曲面的法向量和曲面上其中一点的切平面求得曲线的切向量。
切平面上的切向量和曲面的法向量垂直，并且与曲线相切。
4.计算曲面的面积和体积：曲面的法向量可以用来计算曲面的面积和体积。
对于平面，面积等于法向量的模长；对于曲面，可以通过对曲面分割成小区域然后计算每个小区域的法向量，并对法向量进行积分得到曲面的面积或体积。
5.平面和曲面的方程：法向量可以帮助我们确定平面和曲面的方程。
对于平面，通过平面上一点和法向量，可以得到平面的方程；对于曲面，通过曲面上一点和法向量，可以得到曲面的方程。
平面的法向量怎么求
1、建立恰当的直角坐标系。
2、设平面法向量n=（x，y，z）
3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2,a3）b=（b1，b2，b3）
4、根据法向量的定义建立方程组：①n·a=0；②n·b=0
5、解方程组，取其中一组解即可。
3、求斜线与平面所成的角：求出平面法向量和斜线的夹角,这个角和斜线与平面所成的角互余.利用这个原理也可以证明线面平行。
4、求二面角：求出两个平面的法向量所成的角,这个角与二面角相等或互补。
5、点到面的距离：任一斜线(平面为一点与平面内的连线)在法向量方向的射影。
6、如点B到平面α的距离d=|BD·n|/|n|（等式右边全为向量,D为平面内任意一点,向量n为平面α的法向量）。
7、利用这个原理也可以求异面直线的距离。
高中平面法向量的求法高中物理中，平面法向量是一个十分重要的概念。
在日常物理学习中，无论是解析几何还是向量的求解，都会涉及到平面法向量的计算。
平面法向量的求法有多种，下面将会对其进行归纳总结，供大家参考学习。
一、什么是平面法向量在空间中，一个平面的正面和反面是分别存在的，通过平面法向量就可以确定平面的朝向。
平面法向量是一个与平面垂直的向量，其长度可以为任意值，但方向必须与平面法线一致。
平面法向量的两端点可以位于平面上的任意两个不同点，因此平面法向量不唯一。
二、平面法向量的求法1.已知平面方程式求平面法向量如果已知平面方程式Ax+By+Cz+D=0，则平面法向量可以由系数A、B、C直接读出，即法向量的坐标为(A,B,C)。
2.已知平面上的三点求平面法向量如果已知平面上的三点P1(x1,y1,z1)、P2(x2,y2,z2)、P3(x3,y3,z3)，则可以通过叉乘运算得到平面法向量。
具体步骤如下：1）连接P1和P2两点，得到向量v1=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)；2）连接P1和P3两点，得到向量v2=(x3-x1,y3-y1,z3-z1)；3）通过叉乘得到平面法向量n=v1×v2。
需要注意的是，如果向量v1和v2所在的直线平行，则无法通过叉乘求得平面法向量。
3.已知平面上一点和平面法向量求平面方程式如果已知平面上的一点P(x0,y0,z0)和平面法向量n，平面方程式可以通过点法式直接得到：Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C为平面法向量n 的坐标，D为-Ax0-By0-Cz0。
本文列举了平面法向量的三种求法，希望能够对广大高中生以及学习物理的同学有所帮助。
在平面法向量的学习过程中，重要的是理解其概念以及如何进行计算，而不是死记硬背公式。
只有通过深入理解，我们才能够在学习中游刃有余，事半功倍。
法向量简便求法
在三维空间中，我们经常需要求解一个平面的法向量。
平面的法向量是指垂直于该平面的向量，它的方向和大小都可以用来描述该平面的特征。
在计算机图形学、物理学、机器人学等领域中，求解平面的法向量是一个非常常见的问题。
本文将介绍一种简便的方法——以法向量简便求法。
以法向量简便求法的基本思想是：通过平面上的三个点，计算出两个向量，然后求出这两个向量的叉积，即可得到平面的法向量。
这个方法的优点是简单易懂，计算量小，适用于大多数情况。
具体来说，以法向量简便求法的步骤如下：
1. 选取平面上的三个点A、B、C。
2. 计算向量AB和向量AC。
3. 求出向量AB和向量AC的叉积，即：
N = AB × AC
其中，N就是平面的法向量。
需要注意的是，向量的叉积满足右手法则，即如果将右手的四指从向量AB转向向量AC，那么大拇指所指的方向就是向量的叉积N的方向。
以法向量简便求法的优点在于，它不需要求解平面的方程，也不需要进行矩阵运算，计算量非常小。
同时，这个方法也非常容易理解，即使没有深厚的数学基础，也可以轻松掌握。
需要注意的是，如果三个点A、B、C共线，那么向量AB和向量AC就会共线，此时无法求解平面的法向量。
因此，在使用以法向量简便求法时，需要确保所选取的三个点不共线。
以法向量简便求法是一种简单易懂、计算量小的方法，适用于大多数情况。
在实际应用中，我们可以通过这个方法快速求解平面的法向量，从而更好地描述和分析三维空间中的各种问题。
求二面角的方法求二面角的方法二面角是一个非常重要的概念，在数学、物理、化学等领域都有广泛的应用。
它是指两个平面或曲面之间的夹角，也可以理解为一个三维图形中相邻两个面之间的夹角。
在这里，我们将介绍几种求二面角的方法。
方法一：向量法向量法是一种比较简单易懂的方法。
首先，我们需要找到两个平面或曲面上的法向量，然后计算它们之间的夹角即可得到二面角。
具体步骤如下：1. 找到两个平面或曲面上的法向量。
2. 计算这两个法向量之间的夹角，可以使用余弦定理或内积公式进行计算。
3. 将得到的结果转换为度数制即可得到二面角。
例如，假设我们要求一个正四棱锥中底面和侧棱所在平面之间的二面角。
首先，我们需要找到底面和侧棱所在平面上的法向量。
底面上任意一点处垂直于底面且指向外部的单位法向量为(0,0,-1)，而侧棱所在平面上任意一点处垂直于该平面且指向内部的单位法向量为(1/√2,0,-1/√2)。
然后，我们可以使用余弦定理计算它们之间的夹角，即cosθ=（0×1/√2+0×0+（-1）×（-1/√2））÷（√（0²+0²+1²）×√（（1/√2）²+0²+（-1/√2）²）），得到cosθ=1/3。
将其转换为度数制，即θ≈70.53°，即可得到二面角。
方法二：三角形面积法三角形面积法是另一种求解二面角的方法。
它需要先求出相邻两个面所在平面上的三个顶点，然后计算这三个顶点构成的三角形面积，最后根据正弦定理求出二面角。
具体步骤如下：1. 找到相邻两个面所在平面上的三个顶点。
2. 计算这三个顶点构成的三角形的面积。
3. 根据正弦定理计算出二面角。
例如，假设我们要求一个立方体中相邻两个正方形所在平面之间的二面角。
首先，我们需要找到这两个正方形所在平面上的三个顶点。
可以选择其中一个正方形上任意一点作为第一个顶点，然后在该正方形上选择任意两个相邻的点作为第二和第三个顶点。
平面法向量的快速求解方法
咱先得知道啥是平面法向量。
简单说呢，平面法向量就是跟这个平面垂直的向量。
那咋求它呢？
有一种挺好用的方法哦。
假如说咱们有一个平面，这个平面是由两个不共线的向量确定的，比如说向量a和向量b。
那这个平面的法向量n就可以设成（x，y，z）。
然后呢，根据法向量和这两个向量都垂直的性质来列方程。
啥叫垂直呢？就是它们的点积为0呀。
那就是n·a = 0，n·b = 0。
这就得到了两个方程，像如果向量a =（a1，a2，a3），向量b =（b1，b2，b3），那就有a1x + a2y+ a3z = 0和b1x + b2y + b3z = 0。
这时候咋解呢？宝子们可别慌。
咱们可以给x或者y或者z先随便赋个值。
比如说，咱令x = 1，然后把这个值代入到那两个方程里，就变成了关于y和z的方程组啦。
解这个方程组就能求出y和z的值啦，这样法向量n就求出来了。
还有一种特殊情况呢。
要是这个平面在坐标轴上有特殊的关系，那求法向量就更简单了。
比如说平面平行于某一个坐标轴，那法向量在这个坐标轴方向上的分量就为0。
就像平面平行于x轴，那法向量就是（0，y，z）这种形式，再根据平面上的向量关系求出y和z就好啦。
宝子们，求解平面法向量其实没那么可怕，只要掌握了这些小技巧，就像找到了小捷径一样。
多做几道题，熟练了之后，一看到求平面法向量，心里就有底了，再也不会抓耳挠腮啦。
加油哦，宝子们，数学的小怪兽咱一个个打败！。
法向量的快速求解方法引言法向量是计算机图形学中一个重要的概念，用于描述曲面或平面在某一点上的方向。
在许多图形渲染和计算机视觉任务中，需要准确、高效地求解法向量。
本文将介绍几种常用的快速求解法向量的方法，并对其进行比较和评价。
1. 离散法向量求解离散法向量求解是最直接、最简单的方法之一。
它通过对曲面或平面上的离散点进行采样，然后根据采样点周围的几何信息来估计法向量。
1.1 三角网格法三角网格法是离散法向量求解中最常用的方法之一。
它将曲面或平面离散化成一系列三角形，并在每个三角形上计算法向量。
具体步骤如下：1.将曲面或平面离散化成三角网格；2.对每个三角形，计算其顶点坐标；3.根据顶点坐标计算三角形的边长和角度；4.根据边长和角度计算每个顶点处的法向量。
1.2 体素法体素法是另一种常用的离散法向量求解方法。
它将曲面或平面划分成一系列体素（三维像素），并在每个体素上计算法向量。
具体步骤如下：1.将曲面或平面划分成体素；2.对每个体素，计算其顶点坐标；3.根据顶点坐标计算体素的边长和角度；4.根据边长和角度计算每个顶点处的法向量。
2. 近似法向量求解近似法向量求解是一种通过近似计算来快速求解法向量的方法。
它通过对曲面或平面进行简化，减少计算量，从而提高求解速度。
2.1 PCA方法PCA（Principal Component Analysis）方法是一种常用的近似法向量求解方法。
它通过对曲面或平面上的点云进行主成分分析，找到主要方向，并将其作为法向量。
具体步骤如下：1.对曲面或平面上的点云进行采样；2.对采样点云进行主成分分析，得到主要方向；3.将主要方向作为每个采样点处的法向量。
2.2 局部拟合方法局部拟合方法是另一种常用的近似法向量求解方法。
它通过对曲面或平面上的邻域进行拟合，得到局部的法向量。
具体步骤如下：1.对曲面或平面上每个点的邻域进行采样；2.对采样点进行拟合，得到局部法向量；3.将局部法向量作为每个点处的法向量。
平面的法向量公式在我们学习空间几何的时候，平面的法向量公式可是个相当重要的“家伙”。
它就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多几何难题的大门。
先来说说啥是平面的法向量。
想象一下，有一个平平的面，就像一张超级大的纸铺在那里。
而法向量呢，就是垂直于这个面的向量，它就像一根直直站立在纸上的针，和纸面完全垂直。
平面的法向量公式是：设平面的方程为 Ax + By + Cz + D = 0 ，（A、B、C 不同时为 0），那么这个平面的法向量就是 n = (A, B, C) 。
这个公式看起来好像挺简单，可真要用起来，还得好好琢磨琢磨。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生一脸迷茫地问我：“老师，这法向量到底有啥用啊？”我笑了笑，拿起一支笔在黑板上画了一个立方体。
“同学们，咱们假设这立方体的一个面是由平面方程表示的，那如果我们知道了这个面的法向量，是不是就能很容易地求出这个面和其他面的夹角啦？这在解决很多空间几何问题时，可是超级有用的哦！”我一边说，一边在立方体上比划着。
那堂课上，我带着学生们做了好多练习题，通过实际的操作让他们更深刻地理解平面的法向量公式。
比如说，有这样一道题：已知平面方程 2x - 3y + 4z - 5 = 0 ，求它的法向量。
这时候，直接根据公式就能得出法向量是 (2, -3, 4) 。
再复杂一点，让求两个平面的夹角。
这时候，先分别求出两个平面的法向量，然后利用向量的夹角公式，就能算出平面的夹角啦。
学习平面的法向量公式，就像是在探索一个神秘的宝藏，每一次运用它解决问题，都像是找到了一颗璀璨的宝石。
而且呀，这个公式在实际生活中也有不少用处呢。
比如建筑设计中，工程师们要确定建筑物各个面的朝向和角度，就得用到平面的法向量知识；在计算机图形学里，制作逼真的 3D 模型，也离不开对平面法向量的准确计算。
总之，平面的法向量公式虽然看起来有点小复杂，但只要咱们多练习、多思考，就能把它运用得得心应手，让它成为我们解决空间几何问题的有力武器！希望同学们都能和这个公式成为好朋友，在数学的海洋里畅游无阻！。
三点求平面法向量在三维空间中，平面是由无数个点组成的。
平面有许多重要的性质，其中之一就是法向量。
法向量是与平面垂直的向量，它是平面的重要特征之一。
本文将从三个不同的角度来讨论如何求平面的法向量。
一、已知三个点求平面法向量如果我们已知平面上的三个不共线的点A、B和C，那么我们可以通过这三个点来求平面的法向量。
我们可以先求出两个向量AB和AC，然后通过向量的叉乘来求得平面的法向量。
具体步骤如下：1. 求向量AB：将点B的坐标减去点A的坐标，得到向量AB。
2. 求向量AC：将点C的坐标减去点A的坐标，得到向量AC。
3. 求法向量：将向量AB和向量AC进行叉乘运算，得到平面的法向量。
二、已知平面上一点和法向量求平面方程如果我们已知平面上的一点P和该平面的法向量n，那么我们可以通过这个点和法向量来求平面的方程。
平面的方程通常使用点法式表示，即`(x-x0)*A + (y-y0)*B + (z-z0)*C = 0`，其中`(x0, y0, z0)`是平面上的一点，`(A, B, C)`是平面的法向量。
具体步骤如下：1. 根据已知的法向量n，得到平面的法向量`(A, B, C)`。
2. 根据已知的点P的坐标`(x0, y0, z0)`，将这些值代入点法式中，得到平面的方程。
三、已知平面上一点和平面的法向量求点到平面的距离如果我们已知平面上的一点P和该平面的法向量n，那么我们可以通过这个点和法向量来求点到平面的距离。
点到平面的距离可以通过将点P到平面上的任意一点Q的向量投影到法向量上来计算。
具体步骤如下：1. 根据已知的法向量n，得到平面的法向量`(A, B, C)`。
2. 根据已知的点P的坐标`(x0, y0, z0)`，将这些值代入平面的方程，得到平面上的一点Q的坐标`(x1, y1, z1)`。
3. 求向量PQ：将点Q的坐标减去点P的坐标，得到向量PQ。
4. 求点P到平面的距离：将向量PQ投影到法向量`(A, B, C)`上，得到向量PQ的法向量分量，即点P到平面的距离。
利用平面向量求角度问题【基础知识】一般地，异面直线AC ，BD 的夹角β的余弦值为cos β＝|AC →·BD →||AC →||BD →|.利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．【规律技巧】注意线线、线面和二面角的平面角的角度的取值范围【典例讲解】 求异面直线所成的角【例1】 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．已知AB ＝2，AD ＝22，P A ＝2.求：(1)△PCD 的面积．(2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小． 解 (1)因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD .【变式探究】 如右图所示正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，已知点H 在A ′B ′C ′D ′的对角线B ′D ′上，∠HDA ＝60°.求DH与CC′所成的角的大小．利用空间向量求直线与平面所成的角【例2】如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点．在五棱锥P－ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.(1)求证：AB∥FG；(2)若P A⊥底面ABCDE，且P A＝AE.求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．【变式探究】(2014·福建卷)在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．(1)求证：AB⊥CD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．利用空间向量求二面角【例3】如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.(1)证明：CF ⊥平面ADF ； (2)求二面角D －AF －E 的余弦值．设平面AEF 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则n 1⊥EF →，n 1⊥F A →，因此⎩⎨⎧y 1＝0，－3x 1－3y 1＋4z 1＝0，取x 1＝4，则n 1＝(4，0，3)为平面AEF 的一个法向量．[来源:学+科+网] 由于CF ⊥平面ADF ，故平面ADF 的一个法向量n 2＝(3，－1，0)． 由图可见所求二面角θ的余弦值为cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝4316＋3×（3）2＋（－1）2＝25719.【变式探究】如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F 分别为AC ，DC 的中点．(1)求证：EF⊥BC；(2)求二面角E－BF－C的正弦值．【针对训练】1、已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为__________．2、如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E 为棱PC的中点．(1)证明：BE⊥DC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值．【练习巩固】1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A.12B.23C.33D.22答案 B2．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于__________． 答案 233.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是__________．4．已知向量a ＝(1，0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1，1，0) B ．(1，－1，0) C ．(0，－1，1)D ．(－1，0，1)5．在直三棱柱 ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( ) A.110B.25C.3010D.22答案 C。
立体几何中平面法向量的求法
高考中理科立体几何解答题的方法大多用空间向量法，其中求平面法向量是常见的量，下面是求平面法向量的一种方法。
为了学生，许多老师在求法向量上下了很大的功夫，并用向量外积的方法给出了比较简单的求法向量的方法，公式如下：
设a =(a 1,a 2,a 3)，b =(b 1,b 2,b 3)，且a,b 不平行，a,b 确定平面法向量n ,则
n =233112233112,,a a a a a a b b b b b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭
=（a 2b 3-a 3b 2,a 3b 1-a 1b 3,a 1b 2-a 2b 1）。
此公式计算起来简单有效，但是记忆不是太方便，容易让学生记乱。
通过多次实际应用此公式，我发现其实计算过程就是一个很好的记忆公式，现总结如下：
设a =(a 1,a 2,a 3)，b =(b 1,b 2,b 3)，且a ,b 不平行，a ,b 确定平面法向量n =（x,y,z ）,
列表 如图 1231231a a a a b b b b
利用十字相乘作差得到
233231131221x a b a b y a b a b z a b a b =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩
由此计算出法向量。
例如：
a=(1,2,3)，b=(1,1,4)。
列表1231
1141
X=2⨯4-3⨯1=5，y=3⨯1-1⨯4=-1，z=1⨯1-2⨯1=-1
所以法向量是（5，-1，-1）。
整理：郭新毅
2013-3-25。
法向量求法及应用方法法向量是指与平面或曲面相切且垂直于切平面或切曲面的向量。
在数学和物理领域中，法向量的求法和应用非常广泛。
本文将介绍法向量的求法以及在几何学、物理学和计算机图形学中的应用方法。
一、法向量的求法1.平面的法向量：给定平面方程Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C是平面的法向量的分量，可以直接读取得到。
这是最常见也是最简单的求法。
2.曲面的法向量：对于一般的曲面方程F(x,y,z)=0，其中F是曲面方程的函数，可以使用梯度算子求解法向量：-计算曲面方程在其中一点(x0,y0,z0)处的梯度矢量：∇F(x0,y0,z0)=(∂F/∂x,∂F/∂y,∂F/∂z)，其中∂F/∂x、∂F/∂y、∂F/∂z是偏导数。
-梯度矢量就是曲面在该点处的法向量。
3.曲线的法向量：对于曲线方程F(t)=(x(t),y(t),z(t))，其中t是曲线的参数，可以使用导数求解法向量：-对曲线方程求导得到F'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))，其中x'(t)、y'(t)、z'(t)是曲线的导数。
-导数矢量就是曲线在该点处法向量的方向。
二、法向量的应用方法1.几何学中的应用：法向量是几何学中一个重要的概念，它可以用来判断两个平面或曲面的关系，如判断两个平面是否相交、平行或垂直。
在几何图形的旋转、平移和投影中，法向量也起到了重要的作用。
此外，法向量还可以用来计算曲面的面积和曲线的弯曲性等几何属性。
2.物理学中的应用：在物理学中，法向量有广泛的应用。
例如在力学中，力的方向可以通过物体表面的法向量来表示。
在光学中，光线的传播也可以通过曲面上的法向量来描述。
在电磁学中，电场和磁场的变化也可以通过法向量来表示。
法向量还可以用来计算曲面的斜率、曲率和高斯曲率等物理量。
3.计算机图形学中的应用：在计算机图形学中，法向量通常用于表达物体表面的方向，以便进行光照和着色计算。
平面法向量的 求法及其应用四川省华蓥中学 叶超本专题是我编写的一套书中的一篇，更多精彩，请参见我编写的那套书。
1、平面法向量的求法： 先来看看比较笨的方法。
(1)利用待定系数（参数）法，根据“平面的法向量⇔与平面内不共线的两向量均垂直的非零向量”及“两向量垂直⇔两向量的内积为0”确定待定参数。
例：已知四棱锥P —ABCD 的底面为直角梯形，AB//DC ，∠DAB ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝DC ＝21AB ＝1，M 是PB 的中点。
求面AMC 的一个法向量。
析：建系：以A 为原点，如图建立空间直角坐标系，则： 标点：A （0，0，0），C （1，1，0），P （0，0，1） B （0，2，0），M （0，1，1/2）列向量：AC ＝（1，1，0）， AM ＝（0，1，1/2）待定参数法：设面AMC 的法向量为n ＝（x ，y ，z ）于是n ＝（x ，－x ，2x ）＝x （1，－1，2） 其中，x 决定长度（和方向），可取n ＝（1，－1，2），它是图中的1n 还是2n 呢？ 可用观察法确定：n ＝（1，－1，2）是以原点为起点、（1，－1，2）为终点的向量，是图中的1n 。
说明：这种方法虽能求解，但是：①要根据“两向量垂直⇔两向量的内积为0”列方程组并求解，计算量较大； ②利用观察法确定法向量的具体方向也不太方便。
综上，在高考的宝贵时间里，时间和精力都是很重要的，如果有一种方法可以很简便地求出平面的法向量，不仅可以节约时间，还可以节省精力，甚至提高准确度，那该多好啊！还真的有这种方法！这种方法不是我总结的，但如何用它来简便地求法向量却是我在半年前总结的，请看——A BPM D y ＝－x z ＝2x ⇒021=+=•z y AM n 0=+=•y x AC n(2)利用向量的矢量积求平面的法向量：（请重点看下面第②点中的第2个例题）①向量的矢量积的定义：向量a ＝（x 1，y 1，z 1）和b ＝（x 2，y 2，z 2）的矢量积=⨯b a （2211z y z y ，2211x z x z ，2211y x y x ）=（y 1z 2-z 1y 2，z 1x 2-x 1z 2，x 1y 2-y 1x 2） 说明：2211z y z y 是二阶行列式，其值等于交叉相乘再相减（即：y 1z 2-z 1y 2），其余同理。
法向量求法及应用方法平面法向量的求法及其应用一、平面的法向量1、定义：如果al：，那么向量a叫做平面：的法向量。
平面:-的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
2、平面法向量的求法方法一（内积法）：在给定的空间直角坐标系中，设平面:的法向量；=（X, y,1）［或*=（x,1,z），或： = （1,y,z）］，在平面:内任找两个不共线的向量a,b。
由二，，得n a=o 且nb=o，由此得到关于x,y的方程组，解此方程组即可得到n。
方法二：任何一个X,y,z的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x,y,z的一次方程。
Ax By Cz 0 （A,B,C不同时为0），称为平面的一般方程。
其法向量n> = （AB,C）；若平面与3个坐标轴的交点为R（a,0,0）,P2（0,b,0）,P3（0,0,c）,如图所示，则平面方程为:{ b 亍1,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。
方法三（外积法）：设必&为空间中两个不平行的非零向量，其外积a b为一长度等于|a||b|si n =，（9为.,两者交角，且0":::二），而与, 皆垂直的向量。
通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由…的方向转为■的方向时，大拇指所指的方向规定为a b的方向，a b a。
、J -1 |tT TJX 1 乙 X 1 y 1设a ugyszjb 二凶卩乙),则 a 汉 b = |y 2 Z2J —X 2 Z 2 JX 2 y 2(注：1、二阶行列式：M=a: =ad_cb ； 2、适合右c d‘手定则。
)例 1、 已知，a'(21,0),bl( — 1,2,1), 试求(i ): ( 2): b 爲.Key:⑴ a 汉 b=(1,—2,5) ； (2)b3=(-1,2,5)例2、如图1-1,在棱长为2的正方体ABCD —ABCP 中， 求平面 AEF 的一y 个法量向二AF AE =(1,2,2) 量n 。
平面法向量的一种简单求法和在求角、距离中的应用
云南李学元
一、法向量的定义：
与平面垂直的向量叫平面的法向量
（根据定义可知：平面的法向量有多个，方向有两种：向上或向下）二、向量的数量积
a·b=∣a︳︳b∣ｃｏｓ<a,b>
ｃｏｓ<a,b>=
若a=(x1,y1,z1)b=(x2,y2,z2),则a·b=
∣a︳=
三、向量积：a×b
a×b的结果仍然是一个向量（使两个向量的起点相同）
方向：右手手指指向a的方向，自然弯向b，则大拇指所指的方向就是向量a×b的方向（即：a×b垂直平面）
大小：等于a,b为邻边的平行四边形的面积。
如图所示：
a×b
b
α a
（由此我们可以通过求两个向量的向量积求平面的法向量）
a×b的坐标计算
设a=(x1, y1, z1)
b=(x2 , y2, z2)
则：a×b =（︳y1y z1z︱,-︱x1x z1z︱,︱x1x y1y︱）其中：二阶行列式︱a b c d︱=ad-bc
习惯上：作a×b时，把a写在上，把b写在下
作b×a时，把b写在上，把a写在下
练习：已知a=（2，1，0）
b =（-1，2，1）
（1）求a×b。
（2）求b×a
解：a×b=
b×a=
注：根据上述分析要求一个平面的法向量，只要在平面内找出两个同起点的向量作向量积即可。
例：如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E、F分别是DD1、DC的中点。
求平面AEF的一个法向量
解：以D为坐标原点建立坐标系
∴A（）D1C1
E（）A1 B1
F（）E
∴AF=（）
AE=（） D F C
A B
∴平面AEF的法向量n=( )
四、法向量在求角中的应用。
1、用法向量求线面角。
如图
n a a ΘΘ n
Θ=1
2
π-<a,n> Θ=<a,n>- 1
2
π
两种情况下都有：sinΘ=︱cos<a,n>︱因为
2、用法向量求二面角
n1
Θ
（1）
n2
Θ
n1 (2)
n2
如果两个平面的法向量选取合适，则二面角就等于两个平面的法向量的夹角（如第一种情况）。
因此可以用向量的数量积公式的变形直接求出二面角。
例：如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E、F分别是DD1、DC的中点。
求平面AEF和平面ABCD所成的二面角。
解：以D为坐标原点建立坐标系
∴A（）D1C1
E（）A1 B1
F（）E
∴AF=（）
AE=（） D F C
A B
∴平面AEF的法向量n1=( )
∴A（）
B（）
AB=（）
∴平面ABCD的法向量n2=（）
cos< n1,n2>=
平面AEF和平面ABCD所成的二面角是
五、法向量在求距离中的应用。
1、利用法向量求点到面的距离。
如图所示：
A
Θ
B C
设点A到平面α的距离为d=AC=
因为AC垂直于平面α，所以AC可以看作平面α的一个法向
量n，但需注意AC与n的方向相同或相反，
所以〈AB，n〉=Θ（或=π-Θ），故cosΘ= 所以d= = （其中B是平面内的任意一点，n是已知平面的法向量）
2、利用法向量求两异面直线之间的距离
如图所示：
A C a
Θ
b B O
α D
a,b是两条异面直线，AB是两异面直线的公垂线，过直线a 上任意一点C做平面α的垂线于点O，连接BO，所以BO平行于直线a，且AB=CO，在直线b上任意取一点D，连接OD。
设〈CD，CO〉=Θ，因为CO垂直于平面α，所以CO可以看作平面的一个法向量n。
但需注意CO与n的方向相同或相反。
所以〈，n〉=Θ（或=π-Θ），故cosΘ= 所以两异面直线的距离d=AB=CO=
= = （其中C，D分别是两异面直线a,b上的任意一点，n是由直线a的平行线BO与直线b所确定的平面的法向量）
例：如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E、F 分别是DD1、DC的中点。
（1）点G是A1B1上的一点，且B1G =1
4A1B1。
求点G到平
面AEF的距离。
（2）求异面直线A1D与AC的距离
D1C1
A1G B1
E
D F C
A B。
