华东师范大学一九九七年攻读硕士学位研究生入学量子力学试题

1997年硕士研究生入学考试试题(苏州大学)范文11997年硕士研究生入学考试试题（苏州大学）一、简答题（每题8 分，共40分）1、设ˆU为么正算符，而()()11ˆˆˆˆˆˆ,22A U U B U U i++=+=-，试证：（1）ˆA和ˆB 均为厄密算符；（2）22ˆˆ1AB +=。

2、已知)ˆ,,1L l m l m +=+，（1）写出矩阵元ˆ,,l m L l m +''的表达式；（2）若2,l =试写出ˆL +的全部不为零的矩阵元。

3、氢原子处于态()433*********1122,,333r R Y R Y R Y ψθϕ-=+-中，问（1）(),,r ψθϕ是否为能量的本征态？若是，写出其本征值。

若不是，说明理由；（2）在(),,r ψθϕ中，测角动量平方的结果有几种可能值？相应几率为多少？4、一小球在xy 平面内绕原点转动。

试写出同时确定此转子的方位角ϕ和角动量分量z L 的不准关系。

二、（15分）粒子被约束在半径为r 的圆周上运动，（1）设立路障进一步限制粒子在00ϕϕ00,0,2U ϕϕϕϕϕπ∞求粒子的能量本征值和本征函数；（2）设粒子处于（1）的基态，突然撤去路障后，粒子仍然在最低能态的几率是多少？三、（15分）一量子体系的哈密顿算符0ˆˆˆ,H H H '=+在0ˆH 表象中40ˆ0200100H ⎛⎛⎛= ⎛⎛⎛⎛，00ˆ00000k H k ⎛⎛⎛'= ⎛⎛⎛⎛其中常数1k （1）用微扰法求体系的能级，精确到二级近似；（2）求出体系能量的精确解，并与（1）式结果比较。

四、（15分）考虑微弱地相互作用着的三个玻色子组成的系统，各粒子皆处于已知的单粒子态(),iq j ψξ其中i q 表示包含空间和自旋运动的第i 个态，j ξ表示第j 个粒子的所有坐标。

试写出系统的各种可能的零级近似波函数。

五、（15分）设一带电为q ，质量为,m 在宽度为a 的一维无限深势阱中运动，在入射光照射下发生跃迁，光波长a λ>>，求跃迁选择定则。

高校量子力学研究生招生试题汇总一．复旦大学1999硕士入学量子力学试题二．天津大学1999硕士入学量子力学试题（1）三．北京大学2000年研究生入学考试试题考试科目：量子力学 考试时间：2000.1.23下午 招生专业：物理系各专业 研究方向：各研究方向 试题： 一．（20分）质量为m 的粒子，在位势V x x V '+=)()(αδ 0<a00{V V ='00><x x 00>V中运动，a. 试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本征值和相应的本征函数；b. 给出粒子处于x >0区域中的几率。

它是大于1/2，还是小于1/2，为什么？ 二．（10分）若|α>和|β>是氢原子的定态矢（电子和质子的相互作用为库仑作用，并计及电子的自旋—轨道耦合项）a. 给出|α>和|β>态的守恒量完全集；b. 若0ˆˆ)(≠⋅αβr sr f ,则|α>和|β>态的那些量子数可能是不同的，为什么？ （注：f(r)是r 的非零函数，r s ˆ,ˆ为电子的自旋和坐标算符。

）三．（16分）三个自旋为1/2的粒子，它们的哈密顿量为)ˆˆˆˆˆˆ(ˆ1332210s s s s s s C H ⋅+⋅+⋅= 求本征值和简并度。

四．（22分）两个自旋为1/2的粒子，在),(21z z s s 表象中的表示为))((2211βαβα，其中，2iα是第i 个粒子自旋向上的几率，2iβ是第i 个粒子自旋向下的几率。

a. 求哈密顿量)(ˆ21210xy y x V H σσσσ-= 的本征值和本征函数；（V 0为一常数）b. t=0时，体系处于态121==βα，012==βα，求t 时刻发现体系在态021==βα，112==βα的几率。

（注：iy ix σσ,为第i 个粒子泡利算符的x, y 分量）五．（10分）考虑一维谐振子，其哈密顿量)21(ˆ+=+a a h H ϖ，而0],[],[==++a a a a ,1],[=+a a a. 若|0〉是归一化的基态矢（a|0）=0），则第n 个激发态为)(n n a N n +=试求归一化因子n N ； c. 若外加一微扰，aa a ga H ++='ˆ，试求第n 个激发态的能量本征值（准至g 一级）。

目录1.05年北师大物理类各方向2.05年长光所3.05年东南大学4.05年中科大5.05年南京大学6.05年华中科大7.05年吉林大学（原子所）8.05年四川大学（原子与分子）9.05年北京理工10.05年河北理工11.05年长春理工北京师范大学2005年招收硕士研究生入学考试试题专业:物理类各专业科目代号:459研究方向:各方向考试科目:量子力学[注意]答案写在答题纸上，写在试题上无效。

1.(20分)一个电子被限制在一维谐振子势场中，活动范围求激发电子到第一激发态所需要的能量（用ev表示）（，，）提示：谐振子能量本征函数可以写成2.（30分）一个电子被限制在二维各向同性谐振子势场中（特征频率为）。

（1）写出其哈密顿量，利用一维谐振子能级公式找到此电子的能级公式和简并度。

（2）请推导电子的径向运动方程。

并讨论其在时的渐近解。

提示：极坐标下3．（50分）两个质量为的粒子，被禁闭在特征频率为的一维谐振子势场中，彼此无相互作用（此题中波函数无须写出具体形式）：（1）如果两个粒子无自旋可分辨，写出系统的基态（两个都在自己的基态）和第一激发能级（即一个在基态，另一个在第一激发态）的波函数和能量（注意简并情形）。

（10分）（2）如果两个粒子是不可分辨的无自旋波色子，写出系统的基态和第一激发态的能量和波函数。

如果粒子间互作用势为，计算基态能级到一级微扰项。

（15分）（3分）如果两个粒子是不可分辨的自旋1/2粒子，写出基态能级和波函数（考虑自旋）。

如果粒子间互作用能为，计算基态能量。

（15分）（4）同（3），解除势阱，两个粒子以左一右飞出。

有两个探测器分别（同时）测量它们的y方向自旋角动量。

请问测量结果为两电子自旋反向的几率是多少？（10分）4．（30分）中心力场中电子自旋与轨道角动量存在耦合能。

总角动量，是的共同本征态。

现有一电子处于态，且。

（1）在一基近似下，可用代替，请问电子的能量与态差多少？（2）请计算该电子产生的平均磁矩，并由此计算在z方向均匀磁场B中电子的能量改变多少？（），当，，当，5．（20分）一个定域（空间位置不动）的电子（自旋1/2）处于z方向强磁场中。

2021年攻读硕士学位研究生入学考试《量子力学》试题（试卷A、B）试卷A一、分析题：（1）写出玻尔-索末菲量子化条件的形式；（2）求出均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径；二、计算题：（1）若一质量为μ的粒子在势场()0,0,,0x aV x x a x <<⎧=⎨∞≥≤⎩中运动，求粒子的可能能级；（2）若某一时刻加上了形如sin ,(1)xe e aω<<的势场，求其基态能级至二级修正；（3）若势能()V x 变为()221,02,0x x V x x μω⎧>⎪=⎨⎪∞<⎩求粒子的可能能级。

三、氢原子处于基态，其波函数形如,race a ψ-=为玻尔半径， （1）利用归一化条件，求出c ；（2）设几率密度为()P r ，试求出()P r 的形式，并求出最可几半径；（3）求出基态势能及动能在基态中的平均值；（4）用何种定理可把ˆV及ˆT联系起来？四、一转子，其哈密顿量222ˆˆˆˆ222yx zx y zLL LHI I I=++，转子的轨道角动量量子数是1，（1）试在角动量表象中，求出ˆˆˆ,,x y zL L L的形式；（2）求出ˆH的本征值。

五、若基态氢原子处于平行板电场中，电场按下列形式变化00,0,0t t E e t τε-≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，τ为大于零的常数，求经过长时间后，氢原子处于2P态的几率。

（设ˆH '为微扰哈密顿，()()805100,210100,211ˆˆ;03t a e H e H τε-±''=⋅=）。

六、分析计算：（1）用玻恩近似法，求粒子处于势场()()0,0raV x V e a -=->中散射的微分截面。

（2）从该问题中讨论玻恩近似成立的条件。

试卷B一、（10分）。

（1）试求出100eV 的自由粒子及0.1eV 、质量为1克的质点的德布罗意波长。

（1eV =1.6⨯193410, 6.610J h J s --=⨯⋅）。

2019年硕士研究生统一入学考试
《量子力学》
第一部分考试说明
一、考试性质
量子力学是理学院物理系硕士生入学考试的专业基础课之一。

考试对象为参加2019年理学院物理系全国硕士研究生入学考试的准考考生。

二、考试形式与试卷结构
（一）答卷方式：闭卷，笔试
（二）答题时间：180分钟
（三）考试题型及比例
简答题20%
证明题20%
计算应用题 60%
（四）参考书目
《量子力学教程》周世勋等，高等教育出版社，2004年；《量子力学基础教程》陈鄂生，山东大学出版社，2003
年
第二部分考查要点
（一）基本概念和术语
1．基本概念；2．基本假设；3.基本结论；4.基本关系（二）计算应用
1．波函数；2．薛定谔方程；3．力学量与算符；4．算符的本征值及本征波函数；5. 角动量的性质；6．量子力学的矩阵表述；
7. 幺正变换；8．测不准关系；9．狄拉克符号；11．量子力学中近似方法（定态微扰理论）；12．自旋，泡利矩阵；13．全同性原理，玻色子与费米子的性质。

附件中国科学院-中国科技大学2000年招收攻读硕士学位研究生入学试卷 试卷名称：量子力学（理论型） 选做五题，毎题20分1、 一个质量为m 的粒子被限制在一维区域0x a ≤≤运动，0t =的波函数为(),012cos sin x x x t A a a ππψ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ A 为常数。

（1） 后来某一时刻0t t =时波函数是什么？（2） 体系在0t t =和0t =时平均能量是多少？ （3） 在0t t =时于势阱右半部（即2ax a ≤≤）发现粒子的几率是多少？ 2、3、设粒子处于(),lm Y θϕ状态，计算角动量的x 分量和y 分量的方均差22,x y l l ∆∆4、记123,,σσσ为Pauli 矩阵，定义12,i σσσ±=±（1） 计算[][][]()233,,,,,,σσσσσσσ+-+-+和()2σ-， （2） 证明（ξ为常数 ）332e e e ξσξσξσσ±±±=，证：[]3,2σσσ±±=± ()33322σσσσσσσ±±±±∴=±=±()()2233333322σσσσσσσσσσ±±±±==±=±反复利用即得()332nn σσσσ±±=± 两边同乘实数nξ得 ()332nn n nξσσσξσ±±=± 即()33322e ee e ξσξσξσξσσσ±±±±±==（3） 化简下面二式331112,e e e e ξσξσξσξσσσ--。

5、设0H 为一量子系统的能量算符，其本征态为0,1,2,⋅⋅⋅若体系受到微扰作用，微扰算符为ˆˆˆ,(H i A B λλ⎡⎤'=⎣⎦为实数），ˆA为厄密算符，ˆˆ,B C 为另外的厄密算符，且ˆˆˆ,.C i A B ⎡⎤=⎣⎦如在微扰作用前的基态0中，ˆˆˆ,,A B C 的平均值已知为000,,A B C ，试对微扰后的基态（非简并）计算厄密算符ˆB的平均值B ，精确到量级λ。

2007年硕士学位研究生入学统一考试试题量子力学B卷一、考虑一维阶梯势设粒子从右边向左入射，试求反射系数和透射系数。

二、电子处于沿+z方向、大小为B的均匀磁场中。

设t=0时刻电子自旋沿+y方向。

1．试求t=0时电子自旋波函数。

2．试分别求在t＞0时电子自旋沿+z、+y、+z方向的概率。

三、粒子在势场中运动(V0＞0) 。

试求系统能级或能级方程。

四、设系统哈密顿算符为，粒子处于归一化的束缚定态ψn中。

试证明Virial定理：五、一维谐振子系统哈密顿量为，设受到微扰的作用。

试求对第n个谐振子能级的一级微扰修正。

(已知矩阵元)2007年量子力学B卷参考答案一、解：粒子从右边向左入射，所以E＞V0。

设：入射波为，反射波为，透射波为。

其中由波函数及波函数的一阶导数在x=0处的连续条件得于是可以得到由上式可解出反射系数及透射系数|T|2=1-|R|2。

二、触：取表象，则初态为。

薛定谔方程为二、解：取表象，则初态为。

薛定谔方程为由它可以得到联立方程满足初始条件的解为其中。

于是可求得三个概率分别为三、解：阱内(|x|＜a) 能量本征值方程为在x=0处的跃变条件为在x≠0处，式(1) 可以写成其中(3) 式的两个特解为奇宇称解为(5) 偶宇称解的一般形式为利用跃变条件(2) 及边界条件可得偶宇称解的能级方程为，四、解：根据算符平均值方程及定态条件得考虑到将(2) 式代入(1) 式得Virial定理：五、解：将改写成其中，根据量子力学公式得(利用了Virial定理利用x的矩阵元公式可得将(3) 式代入(2) 式中，求得。

XXX 大学2021年《量子力学》专业攻读硕士学位研究生入学考试题（试卷二）一、简答题（40分）。

1、一量子体系的哈密顿算符30ˆ10,1,002b H b b ⎛⎫⎪=<< ⎪⎪⎝⎭用微扰论求体系能量至二级近似；2、能量为20E MeV =的中子受到力程1510a m -=的势场作用，如用分波法求散射截面，需计算几个分波相移？设忆求出相移，写出计算散射总截面的表达式。

（27341.610, 1.0510)n m kg J s --=⨯=⨯⋅。

3、有一双电子体系，其单电子基态波函数的空间部分用1sin i i i r r aπψ⎛⎫=⎪⎝⎭描述，其中i 为电子的编号。

若以()i α和()i β分别表示电子自旋向上和向下波函数，试写出描述该体系的基态波函数。

4、设氢原子处于态()()()()()200210200211213,212z r r r s r r ψψψ⎫+⎪⎪=⎪+⎪⎭问(),zr s ψ是否是能量本征态？若是，写出其本征值。

又问在该态中测量角动量2,L 角动量分量z L 及自旋磁矩的分量sz M 的平均值各为多少？5、氢原子处于态()433141104111122,,333r R Y R Y R Y ψθϕ-=+-中，问： （1）(),,r ψθϕ是否为能量的本征态？若是，写出其本征值。

若不是，说明理由；（2）在(),,r ψθϕ中，测角动量平方的结果有几种可能值？相应几率为多少？二、（20分）。

设123,,u u u 为一组正交归一基，已知在这组基张成的希尔伯特空间中ˆH 和ˆA 的矩阵为000000ˆˆ00,000000Ea H E A a E a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭。

1、ˆH和ˆA 是否存在共同的本征函数？写出这些本征函数相应的本征值 。

2、}{2ˆˆ,HA 或}{ˆˆ,H A 能否构成完全测量集合？为什么？3、若0t=时，体系处于态1 12 33ψ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭中，测量其能量的可能值、相应几率及平均值的结果是什么？是否隨时间变化？为什么？自旋磁矩为eS mμ=-的电子处于磁场()000cos ,sin ,B B t B t B ωω=中： 1、写出电子的哈密顿算符在z S 表象中的矩阵形式；2、设电子在0t =时处于2z S =-的态（用β）表示，把哈密顿算符中与时间有关的部分作为微扰，求在微扰作用下到时刻t 电子跃迁到2z S =态几率的几率表式。