华东师范大学 一九九八年攻读硕士学位研究生入学量子力学试题

浙江大学1998 年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目量子力学第一题：（10 分）（1）写出玻尔-索末菲量子化条件的形式。

（2）求出均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。

（利用玻尔-索末菲量子化条件r 求，设外磁场强度为B ）第二题：（20 分）（1）若一质量为? 的粒子在一维势场V ( x) = ? 级。

（2）若某一时刻加上了形如e sin 为一已知常数）。

? 0, 0 ≤x ≤ a 中运动，求粒子的可能能? ∞, x > a , x < 0 ωx a ，e （1 ）的势场，求其基态能级至二级修正（ω?1 2 2 ? ?ωx , x > 0 ，求粒子（质量为? ）的可能的能级。

（3）若势能V ( x ) 变成V ( x ) = ? 2 ? ∞, x<0 ? 第三题：（20 分）氢原子处于基态，其波函数形如ψ= ce ? r a ，a 为玻尔半径，c 为归一化系数。

（1）利用归一化条件，求出c 的形式。

（2）设几率密度为P ( r ) ，试求出P ( r ) 的形式，并求出最可几半径r 。

（3）求出势能及动能在基态时的平均值。

? ? （4）用何种定理可把< V > 及< T > 联系起来？第四题：（15 分）?2 ?2 ?2 ? = Lx + Ly + Lz ，转子的轨道角动量量子数是 1 ，一转子，其哈密顿量H 2I x 2I y 2I z ? ? ? （1）试在角动量表象中求出角动量分量Lx ，Ly ，Lz 的形式；? （2）求出H 的本征值。

第五题：（20 分）若基态氢原子处于平行板电场中，电场是按下列形式变化E = ? r ? 0, ? ?ε0 e ? ?t t≤0 η, t >0 ，η为大于零? 的常数，求经过长时间后，氢原子处于2P 态的几率。

设H ′为微扰哈密顿，（( ) ? H′100,210 = 28 aε0 e ?ηt ? ? 5 ?e ；t > 0）H′（当3 2 ( ) 100,21±1 = 0）。

南京大学1998年量子力学专业课考研真题试卷
（一)20分有半壁无限高势垒的一维阱
在的情形下，该系统是否总存在一个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中至少有一个束缚态的存在的充要条件是什么？
（二）20分一个取向用角坐标和确定的转子，作受碍转动，用下
述哈密顿量描述式中和均为常数，且，是角动量平方算符，试用
一级微扰论计算系统的能级（）的分裂，并标出微扰后的零级近
似波函数。

（三）20分求在一维无限深势阱中，处于态时的粒子的动量分布
几率。

（四）20分试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成立，试写
出正确的结果：
（1）？式中和分别是和方向的单位矢量。

（2）？式中，
（3）系统的哈密顿算符为，设是归一化的束缚态波函数，则有？
（五）20分碱金属原子处在方向的外磁场B中，微扰哈密顿为，
其中，当外磁场很弱时，那些力学量算符是运动积分（守恒量），应取什么样的零级近似波函数，能使微扰计算比较简单，为什么？。

浙江大学1998年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目 量子力学第一题：（10分）（1） 写出玻尔-索末菲量子化条件的形式。

（2） 求出均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。

（利用玻尔-索末菲量子化条件求，设外磁场强度为B）第二题：（20分）（1） 若一质量为μ的粒子在一维势场0,0(),,0x aV x x a x ≤≤⎧=⎨∞><⎩中运动，求粒子的可能能级。

（2） 若某一时刻加上了形如sinxe aω，（1e ）的势场，求其基态能级至二级修正（ω为一已知常数）。

（3） 若势能()V x 变成221,0()2,0x x V x x μω⎧>⎪=⎨⎪∞<⎩，求粒子（质量为μ）的可能的能级。

第三题：（20分）氢原子处于基态，其波函数形如raceψ-=，a 为玻尔半径，c 为归一化系数。

（1） 利用归一化条件，求出c 的形式。

（2） 设几率密度为()P r ，试求出()P r 的形式，并求出最可几半径r 。

（3） 求出势能及动能在基态时的平均值。

（4） 用何种定理可把ˆV<>及ˆT <>联系起来？第四题：（15分）一转子，其哈密顿量222ˆˆˆˆ222y x z x y zL L L H I I I =++，转子的轨道角动量量子数是1， （1） 试在角动量表象中求出角动量分量ˆx L ，ˆy L ，ˆzL 的形式； （2） 求出ˆH的本征值。

第五题：（20分）若基态氢原子处于平行板电场中，电场是按下列形式变化00,0,0t t E e t τε-≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ ，τ为大于零的常数，求经过长时间后，氢原子处于2P 态的几率。

（设ˆH'为微扰哈密顿，()805100,210ˆ3ta e He τε-'=⋅；（当0t >）()100,211ˆ0H±'=）。

第六题：（15分）（1） 用玻恩近似法，求粒子处于势场0()r aV x V e-=-，（0a >）中散射的微分散射截面。

高校量子力学研究生招生试题汇总一．复旦大学1999硕士入学量子力学试题二．天津大学1999硕士入学量子力学试题（1）三．北京大学2000年研究生入学考试试题考试科目：量子力学 考试时间：2000.1.23下午 招生专业：物理系各专业 研究方向：各研究方向 试题： 一．（20分）质量为m 的粒子，在位势V x x V '+=)()(αδ 0<a00{V V ='00><x x 00>V中运动，a. 试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本征值和相应的本征函数；b. 给出粒子处于x >0区域中的几率。

它是大于1/2，还是小于1/2，为什么？ 二．（10分）若|α>和|β>是氢原子的定态矢（电子和质子的相互作用为库仑作用，并计及电子的自旋—轨道耦合项）a. 给出|α>和|β>态的守恒量完全集；b. 若0ˆˆ)(≠⋅αβr sr f ,则|α>和|β>态的那些量子数可能是不同的，为什么？ （注：f(r)是r 的非零函数，r s ˆ,ˆ为电子的自旋和坐标算符。

）三．（16分）三个自旋为1/2的粒子，它们的哈密顿量为)ˆˆˆˆˆˆ(ˆ1332210s s s s s s C H ⋅+⋅+⋅= 求本征值和简并度。

四．（22分）两个自旋为1/2的粒子，在),(21z z s s 表象中的表示为))((2211βαβα，其中，2iα是第i 个粒子自旋向上的几率，2iβ是第i 个粒子自旋向下的几率。

a. 求哈密顿量)(ˆ21210xy y x V H σσσσ-= 的本征值和本征函数；（V 0为一常数）b. t=0时，体系处于态121==βα，012==βα，求t 时刻发现体系在态021==βα，112==βα的几率。

（注：iy ix σσ,为第i 个粒子泡利算符的x, y 分量）五．（10分）考虑一维谐振子，其哈密顿量)21(ˆ+=+a a h H ϖ，而0],[],[==++a a a a ,1],[=+a a a. 若|0〉是归一化的基态矢（a|0）=0），则第n 个激发态为)(n n a N n +=试求归一化因子n N ； c. 若外加一微扰，aa a ga H ++='ˆ，试求第n 个激发态的能量本征值（准至g 一级）。

1998年华东师范大学一九九八年攻读硕士研究生入学题库考试科目：普通心理学（含西方近代心理学史）专业：心理学学科一、简释下列名词（每小题3分，共30分）1、有意后注意2、最小可觉差3、空间知觉4、创造性思维5、理智感6、再造想象7、场独立性8、动机9、性格特质10、谁知技能二、问答题（每小题10分，共70分）1、试述人类意识与动物心理的本质区别。

2、试述长时记忆中的信息的编码形式。

3、举例说明了解学生的气质特征对教育工作的意义。

4、试述能力的个别差异。

5、试述心理学发展过程中（从19世纪末到20世纪后期）的主要学派和思潮。

6、试述华生的行为主义心理学的基本观点。

7、试述皮亚杰关于儿童发展阶段及其标志这些阶段的行为特征。

华东师范大学一九九八年攻读硕士研究生题库考试科目：实验心理学招生专业：基础心理学、教育与发展心理学、应用心理学一、选择题，请你在正确的答案前打上圈（每题4分，共40分）1、实验的基本进程是A、从函数型实验到因素型实验B、从因素型实验到函数型实验C、因素实验和函数实验同时进行D、视情况而定，有时先作函数型实验，有时先作因素型实验2、一般地说A、温度反应比较快，冷觉反应比较慢B、痛觉反应比较快，触觉反应比较慢C、视觉和听觉比较快，触觉和嗅觉比较慢D、听觉和触觉比较快，味觉和嗅觉比较慢3、阈限必须反复加以测量，因它是一个统计值。

这是因为阈限A、是一个截然的分界点B、有绝对阈限我差别阈限两种，需要加以区别C、是刺激维上的一个逐渐的过渡区D、反复测量可以消除偶然错误4、在知觉中，封闭阈限一般呈现的周长必须有完整形的A、88%左右B、78%左右C、68左右D、58%左右5、用螺旋图形装在色轮上A、当色轮顺时针转动时，则见到螺旋扩大，当色轮突然停止，可看到相反的运动。

B、当色轮顺时针转动时，则见到螺旋缩小，当色轮突然停止，可看到相反的运动。

C、当色轮逆时针转动时，则见到螺旋扩大，当色轮突然停止，可看到同向的运动。

《量子力学》题库一、简答题1 试写了德布罗意公式或德布罗意关系式，简述其物理意义 答：微观粒子的能量和动量分别表示为：ων ==h Ek nhp ==ˆλ其物理意义是把微观粒子的波动性和粒子性联系起来。

等式左边的能量和动量是描述粒子性的；而等式右边的频率和波长则是描述波的特性的量。

2 简述玻恩关于波函数的统计解释，按这种解释，描写粒子的波是什么波？答：波函数的统计解释是：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。

按这种解释，描写粒子的波是几率波。

3 根据量子力学中波函数的几率解释，说明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其它波动过程的波函数的区别。

答：根据量子力学中波函数的几率解释，因为粒子必定要在空间某一点出现，所以粒子在空间各点出现的几率总和为1，因而粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度而不决定于强度的绝对大小；因而将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，这是其他波动过程所没有的。

4 设描写粒子状态的函数ψ可以写成2211ϕϕψc c +=，其中1c 和2c 为复数，1ϕ和2ϕ为粒子的分别属于能量1E 和2E 的构成完备系的能量本征态。

试说明式子2211ϕϕψc c +=的含义，并指出在状态ψ中测量体系的能量的可能值及其几率。

答：2211ϕϕψc c +=的含义是：当粒子处于1ϕ和2ϕ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于1ϕ态，又处于2ϕ态。

或者说，当1ϕ和2ϕ是体系可能的状态时，它们的线性叠加态ψ也是体系一个可能的状态；或者说，当体系处在态ψ时，体系部分地处于态1ϕ、2ϕ中。

在状态ψ中测量体系的能量的可能值为1E 和2E ，各自出现的几率为21c 和22c 。

5 什么是定态？定态有什么性质？答：定态是指体系的能量有确定值的态。

在定态中，所有不显含时间的力学量的几率密度及向率流密度都不随时间变化。

6 什么是全同性原理和泡利不相容原理？两者的关系是什么？ 答：全同性原理是指由全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。

附件中国科学院-中国科技大学2000年招收攻读硕士学位研究生入学试卷 试卷名称：量子力学（理论型） 选做五题，毎题20分1、 一个质量为m 的粒子被限制在一维区域0x a ≤≤运动，0t =的波函数为(),012cos sin x x x t A a a ππψ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ A 为常数。

（1） 后来某一时刻0t t =时波函数是什么？（2） 体系在0t t =和0t =时平均能量是多少？ （3） 在0t t =时于势阱右半部（即2ax a ≤≤）发现粒子的几率是多少？ 2、3、设粒子处于(),lm Y θϕ状态，计算角动量的x 分量和y 分量的方均差22,x y l l ∆∆4、记123,,σσσ为Pauli 矩阵，定义12,i σσσ±=±（1） 计算[][][]()233,,,,,,σσσσσσσ+-+-+和()2σ-， （2） 证明（ξ为常数 ）332e e e ξσξσξσσ±±±=，证：[]3,2σσσ±±=± ()33322σσσσσσσ±±±±∴=±=±()()2233333322σσσσσσσσσσ±±±±==±=±反复利用即得()332nn σσσσ±±=± 两边同乘实数nξ得 ()332nn n nξσσσξσ±±=± 即()33322e ee e ξσξσξσξσσσ±±±±±==（3） 化简下面二式331112,e e e e ξσξσξσξσσσ--。

5、设0H 为一量子系统的能量算符，其本征态为0,1,2,⋅⋅⋅若体系受到微扰作用，微扰算符为ˆˆˆ,(H i A B λλ⎡⎤'=⎣⎦为实数），ˆA为厄密算符，ˆˆ,B C 为另外的厄密算符，且ˆˆˆ,.C i A B ⎡⎤=⎣⎦如在微扰作用前的基态0中，ˆˆˆ,,A B C 的平均值已知为000,,A B C ，试对微扰后的基态（非简并）计算厄密算符ˆB的平均值B ，精确到量级λ。