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第六章 实数主要知识点6.1 平方根1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根．（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。
（3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3（4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算；0的平方根是0.（5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．（6）a x =2 <—> a x ±=a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的平方根(除0外，x 的值一正一负互为相反数)a 的平方根是x(除0外，x 的值一正一负互为相反数)2、算术平方根（1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号a”，a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式a x =2 (x≥0)中，规定a x =。
（2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。
（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小（5）a x =2 (x≥0) <—> a x =a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的算术平方根(x 的取值为非负数) a 的算术平方根是x(x 的取值为非负数)（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （a ≥0） 0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥0（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
第6章实数6.1 平方根、立方根1.什么是平方根？如果2x a=，那么x叫做a的平方根.记作“，且0a….2.什么是算术平方根？即正的平方根.记作，且0a….3.开平方公式有哪些？(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪===⎨⎪-<⎩②2(0)a a=….4.求11~20的平方值.112=121,122=144,132=169,142=196,152=225,162=256,172=289,182=324,192=361,202=4005.什么是立方根？如果3x a=，那么x叫做a的立方根，记作.6.开立方公式有哪些？a=②3a==6.2实数1.什么是无理数？无限不循环小数叫做无理数.2.无理数的三种常见类型是什么？①含根号且开不尽方的数；②化简后含π的数；③有规律但不循环的无限小数.3.实数按定义如何分类？按正负性如何分类？ ①按定义分类：⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎭⎨⎩⎪⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎭⎩⎩正有理数有限小数或有理数零无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负有理数 ②按正负性分类：⎧⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零负整数负有理数负实数负分数负无理数4.什么非负实数？正实数和0统称为非负实数，即0x ….5.什么是非正实数？负实数和0统称为非正实数，即0x ….。
实数专题—考点、重难点复习【直击考点】【考点1 实数相关概念】【例1】下列说法：①一个无理数的相反数一定是无理数；②一切实数都可以进行开立方运算，只有非负数才能进行开平方运算；③一个有理数与一个无理数的和或差一定是无理数；④实数m的倒数是1m．其中，正确的说法有()A．①②B．①②④C．①②③D．①②③④【答案】解：①一个无理数的相反数一定是无理数，正确；②一切实数都可以进行开立方运算，只有非负数才能进行开平方运算，正确；③一个有理数与一个无理数的和或差一定是无理数，正确；④0没有倒数，此结论错误；故选：C【变式1】下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③负数没有立方根；④16的平方根是4±4±；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0. 其中错误的是( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，正确； ②无理数不一定是开方开不尽的数，例如π，错误； ③负数有立方根，错误；④16的平方根是±4，用式子表示是±＝±4，错误；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0，正确， 则其中错误的是3个，故选：D 【考点2 无理数的概念】【方法点拨】 无理数有三个条件：（1）是小数；（2）是无限小数；（3）不循环. 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数：如32,7等； （2）圆周率π，或化简后含有π的数：如3π+8等； （3）特定结构的无限不循环小数：有规律但不循环，如0.1010010001…等.【例2】有下列实数：227， 3.14159-00.31，2π，其中无理数的个数是( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】解：，﹣3.14159，0，，0.是有理数，，是无理数.故选：B【变式2】在实数 1.414-π，3.14，2，3.212212221⋯，3.14中，无理数的个数是( )个． A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】解：﹣1.414是有限小数，是有理数，是无理数，π是无理数，3.无限循环小数是有理数，2+是无理数，3.212212221…是无限不循环小数是无理数，3.14有限小数是有理数．故选：D 【考点3 无理数的估算】【方法点拨】在一些题目中我们常常需要估算无理数的取值范围，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方，一般情况下从1到达20整数的平方都应牢记.【例32的值()A．在4和5之间B．在3和4之间C．在2和3之间D．在1和2之间【答案】解：∵36＜41＜49，∴，∴6＜＜7，∴4＜﹣2＜5，故选：A.【变式3】若3+a，3-b，则a b+的值为() A．0 B．1 C．1-D．2【答案】解：∵2＜＜3，∴5＜＜6，0＜＜1∴a＝3+﹣5＝﹣2．b＝3﹣，∴a+b＝﹣2+3﹣＝1，故选：B．【考点4 实数与数轴上点的对应关系】【方法点拨】数轴上的点与实数一一对应.-，，点B关于点A的对称点为【例4】如图，数轴上A，B两点表示的数分别为1点C，则点C所表示的数是()A．1B1C．2D2【答案】解：∵点A是B，C的中点．∴设点C的坐标是x，则＝﹣1，则x＝﹣2+，∴点C表示的数是﹣2+．故选：D．【变式4】如图，数轴上A，B两点表示的数分别为1-点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为()A ．2-B ．1-C ．2-+D ．1【答案】解：∵对称的两点到对称中心的距离相等， ∴CA ＝AB ，|﹣1|+||＝1+，∴OC ＝2+，而C 点在原点左侧，∴C 表示的数为：﹣2﹣．故选：A ．【考点5 实数比较大小】【方法点拨】实数大小比较的几种常用方法（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
初一数学知识点第六章 实数 知识点归纳一、实数的概念及分类 （3分）1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数整数包括正整数、零、负整数。
正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（3）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； 3. 实数与数轴上点的关系：实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。
与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大二、实数的倒数、相反数和绝对值 （3分）1、相反数从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。
2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。
零的绝对值时它本身，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4、 无限小数是有理数（×） 无限小数是无理数（×）有理数是无限小数（×） 无理数是无限小数（√）数轴上的点都可以用有理数表示（×） 有理数都可以由数轴上的点表示（√）数轴上的点都可以用无理数表示（×） 无理数都可以由数轴上的点表示（√）数轴上的点都可以用实数表示（√） 实数都可以由数轴上的点表示（√）三、平方根、算数平方根和立方根1、平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。
以下是七年级下册数学第六章实数的基础知识点：
1. 平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。
2. 算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根。
3. 立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根。
4. 无理数的定义：无限不循环小数是无理数。
5. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数。
6. 实数与数轴：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数。
7. 绝对值的定义：一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。
8. 有理数的大小比较：在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大。
9. 无理数的估算：无理数的大小无法用具体的数字表示，但可以进行估算。
10. 近似计算：在进行一些复杂的计算时，可以使用近似值进行计算，以提高计算的效率和准确性。
通过这些知识点的学习，学生可以掌握实数的概念、性质和运算方法，为后续的学习打下坚实的基础。
沪科版七年级数学第一章知识点复习以及例题讲解1、平方根（1）定义：一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也叫做a的二次方根。
a”）对于正数a负的平方根用”表示（读做“负根号a” ）如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“a称为被开方数）。
（2）平方根的性质：①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；②0只有一个平方根，它就是0本身；③负数没有平方根.（3）开平方的定义:求一个数的平方根的运算，叫做开平方.（4）算术平方根：正数a的正的平方根叫做a”。
（50有意义的条件是a≥0。
（6）公式：⑴2=a（a≥0）；2、立方根（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根)。
即X3=a,把X叫做a的立方根。
数a”表示，读作“三次根号a”。
（2）立方根的性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
（3）开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求.3、规律总结（1）平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
（2）每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
二、平方根、立方根例题。
例1、（1）下列各数是否有平方根，请说明理由 ① （-3）2 ② 0 2 ③ -0.01 2 （2） 下列说法对不对？为什么？① 4有一个平方根 ② 只有正数有平方根 ③ 任何数都有平方根④ 若 a ＞0，a 有两个平方根，它们互为相反数解：（1） （-3）2 和0 2有平方根，因为（-3）2 和0 2是非负数。
- 0.01 2没有平方根，因为-0.01 2是负数。
（2）只有④对，因为一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
沪科版七年级数学第一章知识点复习以及例题讲解
1、平方根
（1）定义：一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也叫做a的二次方根。
来表示，（读做“根号a”）
对于正数a
负的平方根用”表示（读做“负根号a” ）
如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“a称为被开方数）。
（2）平方根的性质：
①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；
②0只有一个平方根，它就是0本身；
③负数没有平方根.
（3）开平方的定义:求一个数的平方根的运算，叫做开平方.
（4）算术平方根：正数a的正的平方根叫做a”。
（50有意义的条件是a≥0。
（6）公式：⑴)2=a（a≥0）；
2、立方根
（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根)。
即X3=a,把X叫做a的立方根。
数a的立方根用符号”表示，读作“三次根号a”。
（2）立方根的性质：
正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
（3）开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求.
3、规律总结
（1）平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
（2）每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
二、平方根、立方根例题。
例1、（1）下列各数是否有平方根，请说明理由
①（-3）2②0 2③-0.01 2
（2）下列说法对不对？为什么？
①4有一个平方根②只有正数有平方根
③任何数都有平方根
④若a＞0，a有两个平方根，它们互为相反数
解：（1）（-3）2 和0 2有平方根，因为（-3）2 和0 2是非负数。
- 0.01 2没有平方根，因为-0.01 2是负数。
（2）只有④对，因为一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
例2、求下列各数的平方根：1
416 9
(1) 9 (2) (3) 0.36 (4) 例3、设，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：（估算）因为
，所以选B
举一反三： 【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2） -27立方根是__________.
3
）___________，
___________，___________.
【答案】1）；.2）-3. 3），
，
【变式2】求下列各式中的 （1）
（2）
（3）
【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4
例4、判断下列说法是否正确 （1）
的算术平方根是-3； （2）
的平方根是±15.
（3）当x=0或2时，
解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故
（2
）表示225的算术平方根，即=15.实际上，本题是求15的平方根，故
的平方
根是
.
（3）注意到，当x =0时，
=
，显然此式无意义，发生错误的原因是忽视了“负
数没有平方根”，故x ≠0，所以当x =2时，
x
=0.
例5、求下例各式的值： （1） （2） （3） （4） 三、实数知识复习。
1、实数的分类
无理数：无限不循环的小数称为无理数。
2、绝对值
(1)一个正数的绝对值是它本身，
一个负数的绝对值是它的相反数， 零的绝对值是零。
(2)一个数的绝对值表示这个数的点离开原点的距离。
（3）注意：
327364
27 327102
64
-64-300
00
a
a a a a
a >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩⎪⎩
⎪
⎨⎧<-=>==00
002a a a a a a a
例6、当a<0时，化简
的结果是( )
A 0
B -1
C 1
D ½ 例7、化简下列各式： (1) |-1.4| (2) |π-3.142| (3) |
-|
分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。
解：(1) ∵=1.414…＜ 1.4 ∴|
-1.4|=1.4-
(2) ∵π=3.14159…＜3.142 ∴|π-3.142|=3.142-π (3)
∵
＜
, ∴|
-|=
-
【变式1】化简： 3、有关实数的非负性
注意：(1)
任何非负数的和仍是非负数；(2)若几个非负数的和是0，那么这几个非负数均为0. 例8、已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z 3的值。
解：∵(x-6)2++|y+2z|=0
且(x-6)2≥0,
≥0, |y+2z|≥0,
几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0。
∴ 解这个方程组得
∴(x-y)3-z 3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65 【变式2】已知那么a+b-c 的值为___________
4、实数比较大小的方法
1、识记下列各式的值，结果保留4个有效数字：
2、方法一：差值比较法
差值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个实数，先求出a 与b 的差，再根据当a-b ﹥0时，得到a ﹥b 。
当a-b ﹤0时，得到a ﹤b 。
当a-b ＝0，得到a=b 。
3、方法二：商值比较法
a 2
0≥0 a 0(0)
a ≥
商值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数，先求出a 与b 得商。
当
b
a
＜1时，a ＜b ；当
b a ＞1时，a ＞b ；当b a
=1时，a=b 。
来比较a 与b 的大小。
4、方法三：平方法
平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a ＞0，b ＞0时，可由2a ＞2b 得到a ＞b 来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。
5、方法四：估算法
估算法的基本是思路是设a ，b 为任意两个正实数，先估算出a ，b 两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。
选择适当的方法比较下列数的大小。
（1）比较1-2与1-3的大小。
（2）比较
8
313-与8
1
的大小。
（3）比较27与33的大小 （4）当10 x 时，2x ，x ，
x
1
的大小顺序是______________。
（1）解 ∵（1-2）-（1-3）=23-＞0 ， ∴1-2＞1-3。
（2）解：∵3＜13＜4 ∴13-3＜1 ∴
8313-＜8
1
（3）解：∵27=722∙=28，33=332∙=27。
又∵28＞27， ∴27＞33。
（4）解：取x =21，则：2x =41，x
1
=2。
∵41＜21＜2，∴2x ＜x ＜x
1。
