第二学段常见的数量关系

小学一至六年级数学关系式及公式数量关系式每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率数的加、减、乘、除关系加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数数学图形计算公式正方形C周长S面积a边长周长＝边长×4C=4a面积=边长×边长S=a×a正方体V:体积a:棱长表面积=棱长×棱长×6S表=a×a×6体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a长方形C周长S面积a边长周长=(长+宽)×2C=2(a+b)面积=长×宽S=ab长方体V:体积s:面积a:长b: 宽h:高(1)表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2S=2(ab+ah+bh)(2)体积=长×宽×高V=abh三角形s面积a底h高面积=底×高÷2s=ah÷2三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高平行四边形s面积a底h高面积=底×高s=ah梯形s面积a上底b下底h高面积=(上底+下底)×高÷2s=(a+b)× h÷2圆形S面积C周长∏ d=直径r=半径(1)周长=直径×∏=2×∏×半径C=∏d=2∏r(2)面积=半径×半径×∏圆柱体v:体积h:高s;底面积r:底面半径c:底面周长(1)侧面积=底面周长×高(2)表面积=侧面积+底面积×2(3)体积=底面积×高(4)体积＝侧面积÷2×半径圆锥体v:体积h:高s;底面积r:底面半径体积=底面积×高÷3和差问题总数÷总份数＝平均数(和＋差)÷2＝大数(和－差)÷2＝小数和倍问题和÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数(或者和－小数＝大数)差倍问题差÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数(或小数＋差＝大数)植树问题非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:株数＝段数＋1＝全长÷株距+1全长＝株距×(株数－1)株距＝全长÷(株数－1)⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:株数＝段数＝全长÷株距全长＝株距×株数株距＝全长÷株数⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:株数＝段数－1＝全长÷株距－1全长＝株距×(株数＋1)株距＝全长÷(株数＋1)封闭线路上的植树问题的数量关系如下株数＝段数＝全长÷株距全长＝株距×株数株距＝全长÷株数盈亏问题(盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数(大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数(大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数相遇问题相遇路程＝速度和×相遇时间相遇时间＝相遇路程÷速度和速度和＝相遇路程÷相遇时间追及问题追及距离＝速度差×追及时间追及时间＝追及距离÷速度差速度差＝追及距离÷追及时间流水问题顺流速度＝静水速度＋水流速度逆流速度＝静水速度－水流速度静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2浓度问题溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度溶液的重量×浓度＝溶质的重量溶质的重量÷浓度＝溶液的重量利润与折扣问题利润＝售出价－成本利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100% 涨跌金额＝本金×涨跌百分比折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1)利息＝本金×利率×时间税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)。

An li yu xu shi“常见的数屋天茶汀教学设计♦成都市建设路小学校王莉《数学课程标准（2011年版）》中提到“在具体情境中,学生要了解常见的数量关系：总价=单价x数量、路程=速度x时间，并能解决简单的实际问题。

”新课标重提”数量关系”这一关键信息，具有什么样的价值,值得教师深思。

我以四年级上册”常见的数量关系”一课进行实践与探索。

一、链接生活，深化核心概念理解数量关系的教学，教师首先应立足“速度”“单价”这两个核心概念，根据学生的认知特点，以实际例子来说明数量之间的关系,帮助学生在解决问题时，建构数量关系模型。

案例：在教学中，教师在黑板上贴出汽车上的仪表盘（图略），提问：“你们能具体说说图中仪表盘上的"100”是表达的什么意思吗？”学生要说清楚一个数字的含义，离不开单位。

教师接着引导学生观察仪表盘上显示的"km/h”，告知学生“km/h”读作"千米每小时”。

其意思就是，汽车每小时行驶多少千米。

接着，教师要引导学生知道"速度=路程*时间”“单价=总价一数量”这一概念，提问：“现在你们知道为什么速度和单价要用复合单位表示？'/'表示什么意思？”教师通过问题引出"复合单位”的概念。

反思:复合单位的表现形式和所表示的意义对学生来说是比较陌生的。

在教学中，教师需要借助丰富的素材，结合具体的问题情境，引导学生逐步认识、理解。

上述片断中，教师创设了富有挑战性的问题：“都是100千米，表示的含义一样吗？”“为什么速度和单价要用复合单位表示？”既有含义比较，又有回顾反思。

教师要引导学生在冲突和思辨中提升对速度和单价这两个核心概念的本质认识。

二、经历过程，感悟数学思维方式如果教师把数量关系的概念直白地说给学生听,学生并不能感受到它的意义，印象也不深刻。

教师要创设富有特色的教学情境,让学生去经历知识形成的过程,去遭遇困惑，把他们的思维引向深入。

小学应用题常用关系及公式一、应用题常见的数量关系及计算公式（一）部总关系：部分和总数的关系。

一部分＋另一部分＝总数总数－一部分＝另一部分总数－另一部分＝一部分例：六（1）班共有45人，其中男生24人，女生有多少人？题中哪个数量是总数？这个总数分成哪几个部分？能用关系式表示女生人数吗？（二）相差关系：表示两数相差多少的关系。

较小数＋差＝较大数较大数－差＝较小数较大数－较小数＝差注意：相差关系的表述方式：如多与少、大与小、长与短、宽与窄、厚与薄、深与浅、重与轻、高与矮、贵与便宜，还有增长（提高）与减少（降低）、增产与减产等。

（三）倍数关系：表示两数量间倍数的关系。

一倍数×倍数＝几倍数几倍数÷倍数＝一倍数几倍数÷一倍数＝倍数二、公式（倍数关系的变化形式）1、平均数问题：每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数（总数÷总份数＝平均数）2、行程问题速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度3、买卖问题单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价4、工程问题工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率5、产量问题单产×数量（面积）=总产总产÷数量（面积）=单产总产÷单产=数量（面积）三、混合计算应用题应用数量关系分析应用题（列树状图法分析）分析方法：从问题出发进行分析，为了解题需要知道哪些条件，而这些条件哪些是已知的，哪些是未知的，直到未知条件都能在题目中找到为止。

例：甲车一次运煤300千克，乙车比甲车多运50千克，两车一次共运煤多少千克？解题思路：题目求什么？属于哪一种数量关系？求什么量？根据题意必须知道哪两个条件？题中列出的条件哪个是已知的？哪个是未知的？未知条件属于哪一种数量关系？求什么量？整道题应先求什么？然后再求什么？请用树状思路图的形式分析，再列式计算。

小学常用的数量关系式1、平均数关系式：总数÷总份数＝平均数2、总数、份数、每份数关系式：每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数3、行程关系式：速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度4、购物问题关系式：单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价5、工程问题关系式：工作效率×工作时间＝工作量工作量÷工作效率＝工作时间工作量÷工作时间＝工作效率6、相遇问题关系式：速度和×相遇时间＝相遇路程相遇路程÷速度和＝相遇时间相遇路程÷相遇时间＝速度和7、加法关系式：加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数8、减法关系式：被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数9、乘法关系式：因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数10、除法关系式：被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数小学常用的数量关系式1、平均数关系式：总数÷总份数＝平均数2、总数、份数、每份数关系式：每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数3、行程关系式：速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度4、购物问题关系式：单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价5、工程问题关系式：工作效率×工作时间＝工作量工作量÷工作效率＝工作时间工作量÷工作时间＝工作效率6、相遇问题关系式：速度和×相遇时间＝相遇路程相遇路程÷速度和＝相遇时间相遇路程÷相遇时间＝速度和7、加法关系式：加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数8、减法关系式：被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数9、乘法关系式：因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数10、除法关系式：被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数。

小学阶段常用的数量关系式小学数学常用的数量关系式一、加法：一个加数+另一个加数=和，和—一个加数=另一个加数。

二、减法：被减数—减数=差，被减数—差=减数，差+减数=被减数。

三、乘法：一个因数×另一个因数=积，积÷一个因数=另一个因数。

四、除法：被除数÷除数=商，被除数÷商=除数，商×除数=被除数。

五、比多少：较大数—较小数=相差数，较大数—相差数=较小数，较小数+相差数=较大数。

六、倍数关系：几倍数÷1倍数=倍数，几倍数÷倍数=1倍数，1倍数×倍数=几倍数。

七、平均分：总数÷总份数=平均数，总数÷平均数=总份数，平均数×总份数=总数。

八、行程：1、一般行程：路程÷速度=时间，路程÷时间=速度，速度×时间=路程。

2、相遇问题：路程÷速度和=相遇时间，路程÷相遇时间=速度和，速度和×相遇时间=路程。

3、追及问题：路程差÷速度差=追及时间，路程差÷追及时间=速度差，速度差×追及时间=路程差。

4、列车过桥（或隧道）：（列车长度+桥的长度）÷过桥速度=过桥时间，（列车长度+桥的长度）÷过桥时间=过桥速度，过桥速度×过桥时间－列车长度=桥的长度，过桥速度×过桥时间－桥的长度=列车长度。

九、工作（或工程）：1、工总÷工效=工时，工总÷工时=工效，工效×工时=工总；2、工总÷工效和=工时，工总÷工时=工效和，工效和×工时=工总。

十、“化”与“聚”：1、化（高级改写成低级）：高级单位的数×进率=低级单位的数，2、聚（低级改写成高级）：低级单位的数÷进率=高级单位的数。

十一、植树：1、不封闭植树：路长÷棵距 + 1=棵数，（棵数－1）×棵距=路长。

八年级数学探究数量关系八年级数学中的数量关系探究是一个重要的部分，涉及到许多不同的概念和公式。

以下是一些常见的数量关系和如何探究它们的步骤：1. 正比例与反比例：- 正比例：当两个量成正比时，一个量增加，另一个量也按相同的比率增加。

例如，速度与时间的关系，当速度一定时，时间与距离成正比。

- 反比例：当两个量成反比时，一个量增加，另一个量则减少，但它们的乘积保持不变。

例如，工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比。

2. 线性关系：- 当一个变量增加或减少，另一个变量也按固定比率增加或减少时，这两个变量之间存在线性关系。

线性关系可以用直线表示，通过点斜式或截距式来描述。

3. 二次函数关系：- 二次函数描述了一个变量与另一个变量的二次关系。

最典型的二次函数是 y = ax^2 + bx + c。

这种关系可以用来描述抛物线、圆或更复杂的形状。

探究数量关系的步骤：1. 确定变量：首先确定问题中有哪些变量，这些变量是如何变化的。

2. 收集数据：收集相关的数据点或信息，以理解这些变量之间的关系。

3. 观察模式：通过观察数据，尝试找出变量之间的关系模式。

这可能涉及到计算比率、比例或使用图表来可视化数据。

4. 建立模型：根据观察到的模式，选择适当的数学模型来描述这种关系。

这可能是一个方程、一个图表或一个更复杂的数学结构。

5. 验证模型：使用新的数据点或情境来验证模型的准确性。

如果模型不能准确预测新数据，可能需要调整或重新考虑模型。

6. 应用与解释：一旦建立了有效的模型，就可以用它来解决实际问题或做出预测。

通过这些步骤，学生可以更好地理解数量关系，并学会如何用数学来描述和预测现实世界中的各种情况。

3.2 两种常见的数量关系
1.本节课既关注了学生的学习过程,体现了学生的自主探究能力,又使学生的情感、态度、价值观等方面在交流评价的过程中获得了丰富的体验,较好地体现了事先的教学设想。

学生从不同的角度描述,经过合作和谈话的过程,自觉地运用了比较的方法,不仅使学生初步感知了什么是速度,加深了对知识的理解,而且能使学生在解题时学会运用转化的思想,提高解决问题的能力。

2.鼓励学生仔细观察,动脑思考,发现规律,让他们把发现的规律说给同伴听,然后全班交流,总结常见数量之间的关系,为今后学生应用这些关系式解决实际问题做准备。