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青岛版数学七年级上册《7.2 一元一次方程》教学设计一. 教材分析《7.2 一元一次方程》是青岛版数学七年级上册的一个重要内容。
本节内容主要让学生了解一元一次方程的概念、性质和解法，培养学生解决实际问题的能力。
教材通过引入实际问题，引导学生认识一元一次方程，并通过对方程的变形和求解，使学生掌握一元一次方程的解法。
二. 学情分析七年级的学生已具备了一定的数学基础，对代数知识有一定的了解。
但部分学生对代数式的运算和方程的解法还不够熟练。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，引导学生逐步掌握一元一次方程的解法，并能够运用到实际问题中。
三. 教学目标1.理解一元一次方程的概念，掌握一元一次方程的解法。
2.能够运用一元一次方程解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重难点：一元一次方程的概念、性质和解法。
2.难点：一元一次方程的解法和实际问题的运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂。
2.讲授法：教师讲解一元一次方程的概念、性质和解法，引导学生理解和掌握。
3.实践操作法：让学生通过实际操作，巩固一元一次方程的解法。
4.小组合作学习：学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.课件：制作课件，展示一元一次方程的相关概念、性质和解法。
2.练习题：准备一些一元一次方程的实际问题，用于巩固所学知识。
3.教学工具：黑板、粉笔、投影仪等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些实际问题，引导学生思考如何用数学方法解决问题。
例如，某商场举行打折活动，原价100元的商品现价80元，问打几折？2.呈现（10分钟）介绍一元一次方程的概念、性质和解法。
通过示例，讲解一元一次方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，解决一些实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
初识一元一次方程用方程的方法来解决比较复杂的数量问题比算术的方法思路更清晰，解法也会更简便。
现在我们一起来认识方程和一元一次方程。
一、初识方程：1．方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。
解读：方程的概念，包含两层意思：一是方程必须是等式，即用等号连接而成的式子；二是方程中至少含有一个未知数，二者缺一不可。
2．方程的解与解的检验：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
解读：检验一个数〔或一组数〕是不是某个方程的解只需看两点：〔1〕它〔或它们〕是不是方程中未知数的值〔也即是否符合题意〕；〔2〕将它〔或它们〕代入方程的左右两边，假设左边等于右边，那么它们是方程的解，否那么不是。
二者缺一不可。
3．一元一次方程的概念：在一个方程中，只含有一个未知数〔也称元〕，未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程。
解读：认识一元一次方程必须注意：①将方程化成最简形式后是形如(,,0)ax b a b a =≠为常数的形式。
②一元一次方程的分母中不含未知数；③一元一次方程只含有一个未知数，而且未知数的次数是1。
二、学会一元一次方程的解法一元一次方程是最简单、最根本的方程，是以后学习其它方程或方程组的根底，其解法十分重要。
1．解方程的理论依据—方程的同解原理：同解原理1：方程的两边都加上或减去同一个数或同一个整式，方程的解不变。
同解原理2：方程的两边都乘或除以同一个不为0的数，方程的解不变。
解读：⑴方程的同解原理可以表示为：a b =，那么;,(0)a ba cbc ad bd d d d±=±==≠⑵在运用方程的同解原理1时，一定注意方程两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，才能保证方程的解不变，这里要注意“都〞和“同一个〞。
运用方程的同解原理2时，除了要注意方程两边都乘以或除以同一个数外，还要保证这个数不为0。
2．解一元一次方程的两种变形方式：〔1〕移项：将方程中的一项改变符号后从一边移到另一边叫做移项。
学习目标一、考点突破正确理解方程和一元一次方程的概念，会判断一个方程是不是一元一次方程，能根据等式的基本性质解简单的一元一次方程。
二、重难点提示重点：一元一次方程的定义和一般形式。
难点：解答与一元一次方程定义有关的问题。
考点精讲一元一次方程（1）如果一个方程只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程。
任何一个一元一次方程变形后都可以化为ax＋b＝0（其中a≠0，a、b为常数）的形式，我们就把ax＋b＝0（其中a≠0，a、b为常数）叫做一元一次方程的标准形式，其中ax叫一次项，a叫一次项系数，b叫常数项。
（2）识别一元一次方程时，应注意以下三点：①分母中不含未知数；②方程中只能含有一个未知数；③未知数的次数是1。
如3m－6，3m－n＝5，6x2－34＝0，1－＝5＋x等都不是一元一次方程。
（3）一元一次方程的解也叫一元一次方程的根。
典例精析例题1若方程（m2－1）x2－mx－x＋2＝0是关于x的一元一次方程，则代数式|m－1|的值为（）A. 0B. 2C. 0或2D. －2思路分析：根据一元一次方程的定义知m2－1＝0，且－m－1≠0，据此可以求得代数式|m－1|的值。
答案：由已知方程，得（m2－1）x2－（m＋1）x＋2＝0。
因为方程（m2－1）x2－mx－x＋2＝0是关于x的一元一次方程，所以m2－1＝0，且－（m＋1）≠0，解得m＝1，则|m－1|＝0。
故选A。
技巧点拨：本题考查了一元一次方程的概念和解法。
解题关键是一元一次方程的未知数的指数为1。
例题2已知关于x的方程mx＋2＝2x的解满足︱x－︱＝0，求m的值。
思路分析：先由︱x－︱＝0求出x的值，再代入mx＋2＝2x，求得m的值。
答案：由︱x－︱＝0得x－＝0，解得x＝。
把x＝代入mx＋2＝2x得m＋2＝1，两边减2得m＝－1，两边乘2得m＝－2。
所以m的值为－2。
技巧点拨：本题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值。
《认识一元一次方程》典型例题
例1一群由医生和律师组成的人的平均（算术平均）年龄是40岁，若医生的平均年龄是35岁，律师的平均年龄是50岁，那么医生和律师的人数比是（）
A．3：2 B．2：3 C．2：1 D．1：2
例2 某施工队上午施工时，由于天气不好，每小时比原计划少挖土3立方米，只挖了51立方米；下午天气好，并且采用了新的操作方法，每小时比原计划多挖6立方米，所以在同样的时间内，比上午多挖了27立方米．问原计划每小时挖土多少立方米？
例3某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元．
当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行．受季节等条件限制，公司必须在15天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案．
方案一：将蔬菜全部进行粗加工．
方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没有来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售．
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．
你认为选择哪种方案获利最多？为什么？
参考答案
例1 解 设医生有m 人，律师有n 人，依题意
,
105,40405035),
(405035n m n m n m n m n m -=-+=++=+
∴.1:2:=n m
说明：解题中，若把)(n m 看成未知数，而把)(m n 看成已知数，这也是解一元一次方程的问题．
例2 解 设该施工队原计划每小时挖土x 立方米，上、下午均挖了t 小时（0>t ），依题意得 51)3(=-t x ， ①
.2751)6(+=+t x ②
①÷②得 27
5151)6()3(+=+-t x t x ， 即.26
1763=+-x x 由比例的性质得 )6(17)3(26+=-x x ，
解得.20=x
答：原计划每小时挖土20立方米．
说明： 此例是通过设辅助未知量来列出方程并化简成一元一次方程的．题设中没有给出上、下午的工作时间，题目中也不要求出这个量，解题中却假设了上、下午的工作时间t ，这样便于找出等量关系，列出方程．在解题过程中又把这个未知数t 消去，像这样的未知量，叫做辅助未知量．
例3 分析 分三种情况进行讨论．
解 方案一：获利为4 500×140＝630 000（元）．
方案二：15天可精加16×15＝90（吨），说明还有50吨需要在市场直接销售，故可获利7 500×90＋1000×50＝725 000（元）．
方案三：可设将x 吨蔬菜进行精加工，将（140－x ）吨进行粗加工，依题意得 1516
1406=-+x x ， 解得 60=x ．
故获利7 500×60＋4 500×80＝810 000（元）．
综上，选择方案三获利最多．
说明：如何获取最大的利润，是生产经营者一直思考的问题，学习数学的目的是为了应用，故应多一些实践常识，遇到问题应多方位思考，多制定几条方案供自己选择．这里是方案开放，探究最佳方案．。
