中科院矩阵分析课件.doc
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矩阵分析及其应用3.1矩阵序列定义3.1设矩阵序列｛应)｝,其中A«)=(#))£Cms,当k—oo, 佝时，称矩阵序列｛A00｝收敛，并称矩阵A=(佝)为矩阵序列｛A00｝的极限,或称｛A00｝收敛于A,记为lim A a)= A或A,k)-> A ks不收敛的矩阵序列称为发散的。
由定义，矩阵序列A(k)发散的充要条件为存在ij使得数列站发散。
类似地，我们可以定义矩阵收敛的Cauchy定义定义31矩阵序列｛A00｝收敛的充要条件为对任给£>0存在N(E),当k,l> N(E)时有IIA(k)-A(/)ll < £其中11.11为任意的广义矩阵范数。
例 1 A(n)e~nsin(-)n y，sin(R) k=l K 7如果直接按定义我们因为求不出A㈤的极限从而很难应用定义3.1证明收敛。
相反，由于t^< t^<v 1/m从而只要/充分大，则当m, n > /时就有nz sin(A)这样A")收定理3.1 A(k)->A的充要条件为HA'10-AII T O证明：利用广义矩阵范数的等价性定理，仅对co范数可以证明。
即ci IIA(k) -AIL < IIA(k) -All< c2 IIA(k) -AIL性质 1.设A(k,—> A mxn, B,k,—> B mxn>则a- A(k)+P • B(k) -> a- A+P B, V a,PeC性质2.设A(k)—> A mxn, B,k)—> B nx/,则A(k)由如一A B证明：由于矩阵范数地等价性，我们E以只讨论相容的矩阵范数。
IIA(k).B(k)-A-BII < II A(k) -B(k) -A-B(k)ll+IIAB(k)- A-BII<IIA(k)-AII-IIB(k)ll+IIAIMIB(k)-BII注意IIB(k)||_||BII,则结论可得。
特别地有性质2，. A(k U A的充要条件为A(k) x—Ax,对任意x成立或者y H A fk) x-> yH Ax,对任意x,y成立.(在无穷维空间中称为弱收敛，但在有限维空间中和一般收敛性定义是等价的)对于Hermite(对称)矩阵我们有如下的定理:设A«), k=l,2,・..,和A都为Hermite矩阵，那么A(k»A的充要条件为x”A时X—>x”Ax,对任意x成立推论：设A如，k=l,2,...,为半正定的Hermite矩阵，且单调减少，即状和4J")为半正定Hermite矩阵，那么4的有极限.性质3设泌幻和A都为可逆矩阵，且成则(4伏证明：因为Af(A如)所以存在K,当必K时有III-AT・(A(*))II V]/2我们有(A u))-,= A%( I- A-1- (A(k)» (A(k)r l从而ll(A(k))-,ll<IIA_,ll+ll( I- A-1- (A(k)))H-ll (Air'll当k>K时，有ll(A(k))_,ll<IIA~l ll+l/2-ll(A(k))_,ll即ll(A(k))-1ll<2-IIA_,ll因为A—、(A00)% A—】(A<k)- A) (A(k))-1从而II A-1- (A(k))~,ll<IIA_,ll-IIA tk)-AIMI(A(k))_,ll(当k>K 时) <IIA-,IMIA(k)-AII-2IIA_,ll(当krec 时) T O由定理3.1有(A W A-I定义3.2矩阵序列｛A00｝称为有界的，如果存在常数M>0,使得对一切k都有Il<M 或等价的IIA闵llvM，定理：有界的矩阵序列(A<k)｝-定有收敛的子列。
定义3.3设A为方阵，且当k->oo时有A k-»0,则称A为收敛矩阵。
定理3.2(迭代法基本定理)AkrO的充要条件为谱半径P(A)<1.证明：必要性：设A*T O,证明p(A)<l.对4的任意特征值%和相应的特征向量x有这样我们有4=4从而<IXI k-llxll=IIA k xll<IIA k IMIxll从而有IA.I k<IIA k ll->0这样有IRvl,由于尢为A的任意特征值，所以p(A)<l，即必要性得证。
充分性。
已知p(A)<l,证明A k->0.取£=(l-p(A))/2 >0,由定理2.10有，存在某种相容的矩阵范数II.II M使得IIAII M< p(A)+ £<1从而IIA k llM<(IIAII M)k<(P(A)+ e)k所以当k—8有IIAK|I MT O,从而A5定理3.3 AJ0的充分条件为存在矩阵范数II.II M使得IIAII M vl3.2矩阵级数定义3.4设矩阵序列｛A%,其中A(k)=(t/^)eC nxn,由它们形成的无穷和A%A⑴+...+A(k)+...称为矩阵级数,记为£"),即有k=000£/')=A%A“)+...+A(k)+...N oo定义3.5记S性，称其为矩阵级数Z A"')的部分和. Jt=() Jt=() 如果矩阵序列｛S(N)｝收敛，且有极限S,即有S(N)->s00那么称矩阵级数闵收敛，且和为s,记为*=0S=N A"）k=0不收敛的矩阵级数称为发散的。
显然^A（k） =S 是指£#）二%•，V/J 虹0 虹0即矩阵级数收敛是指它的每个分量所构成的数项级数收敛。
00性质：矩阵级数闵收敛的充要条件为对任意向量X,k=000向量级数Z A“少收敛。
虹0定义3.6设矩阵级数£人°）的每个分量。
"所构成的数项k=000 S级数绝对收敛，则称矩阵级数£ A⑴绝对收敛。
k=Q k=0关于绝对收敛，我们有如下的定理：性质1.绝对收敛的£A以）交换求和次序不改变其绝对*=0收敛性和极限值。
性质2.矩阵级数£ 幻绝对收敛的充要条件为正项级数k=0£11人⑴II收敛。
k=0性质3.如果矩阵级数£人伏）（绝对）收敛，那么k=0 /t=（）也是（绝对）收敛,且有k=i）k=0性质4.设C"11的两个矩阵级数Si：A ⑴+A ⑵+..裁幻+...S2： B⑴+B⑵+...+B（k）+...都绝对收敛，其和分别为A和B.则矩阵级数S3： A⑴B⑴+ [A⑴B⑵+ A⑵B⑴]+...+[ A⑴ B很)+ A⑵ B(k-I) +.. .+A°° B⑴]+...绝对收敛且和为AB.证明：由于S「A⑴+A⑵+...+A°°+...绝对收敛的充要条件为正项级数IIA⑴II+IIA⑵ll+・..+IIA(k)||+...收敛且与排列无关。
我们证明的思路是证明正项级数：IIA ⑴ B ⑴ 11+ IIA ⑴ B ⑵+ A ⑵ B ⑴ II+...+IIA⑴ B(k)+ A⑵ B(k-1)+...+犬)B⑴II+...收敛。
引用魏氏定理，我们仅需验证下列正项级数：IIA⑴ll・IIB⑴ 11+ { IIA⑴ II.IIB⑵ 11+ IIA⑵ IIJIB⑴ 11}+...+ {IIA⑴ IMIB(k)ll+ IIA⑵ 11・1 旧(k-1)ll+...+IIA(k) IIJIB⑴ 11}+...收敛。
这由题设正项级数IIA⑴II+IIA⑵II+.. .+1山唧+...和正项级数IIB⑴11+1旧⑵II+.. .+IIB唧+...的收敛性可得。
定理3.4幕级数I+A+A2+...+A k+...ifc敛的充要条件为A的谱半径p(A)<l,收敛时其和为(I-A)T。
若有矩阵范数11.11使得IIAIIvl,则ll(I-A)-1- (I+A+A2+.. .+A k)ll<IIAII k+7( 1 -IIAII)证明：必要性.由于I+A+A2+...+AL...收敛，从而S(k)= I+A+A2+...+A k收敛。
记T(k)= I+A+A2+...+A k+1, Ak+l=T(k)_ S(k)收敛,且T、S(k)TO,这样我们有A k^0,从而p(A)<l.充分性：设p(A)<l, (I-A)-1存在，由于I+A+A2+...+A k=(I-A)_1 -(I-A)-1 A k+1因A J O,所以I+A+A~+.. .+人杞+...—(I—A) I又因为(I-A)-1 - (I+A+A2+...+A k)= (I-A)-1 A k+1从而-(I+A+A2+...+A k)ll=ll (I-A)-1 A k+,ll设B=(I-A)-1A k+1,Affi(I-A)B=A k+,即B=AB+ A” 从而IIBII< IIAII-IIBII+ IIA k+I ll< IIAII-IIBII+ IIAII k+1因为矩阵范数ll.ll使得IIAIIvl,所以IIBII<IIAII k+1/(l-IIAII)成立。
定理3.6设帛级数f (z) = £c盘的收敛半径为尸，如果方阵A满足p(A)< r,则矩阵界级数00/（A） = Z Q A*是绝对收敛的；如果p（A）>尸，k=000是发散的。
A=0证明：利用绝对收敛的性质。
反之，设A的特征值人满足UI=/?（A）, x为入相应的特征l'*J量£以（A七）=£以（#尤）=（£ c k分）尤，k=0 A=0 A=0由于p（A） >r，那么（£c、/）x发散（注意x为非零仙景）k=0〃s从而Z Q（A%）发散，这样Z G**发散。
A=0 k=0矩阵函数定义：设一元函数Az）能展开为Z的蓦级数3/'(Z)= »N、zlvr) k=0其中r>0表示该帛级数的收敛半径。
当〃阶矩阵A的S谱半径p(A)<r时，把收敛的矩阵界级数的和k=000为f(A),即f(A)= .k=0性质1(代入规则)：若/Xz)能展开为z的蒂级数，且f (z)=g(z), 对Izl < r成立，则当p(A)< r时，f(A)=g(A).矩阵函数举例：sin⑵=々一//3!+广/5! -...则sin(A)=Z-A3/3!+A5/5!-...cos⑵=1 一『/2!+z'/4! -...cos(A)= I-A2/2!+A4/4!-...e:-1 +Z+Z2/2 ! +//3!+.../=I+A+A2/2!+A3/3!+...sir?⑵ + cos2U)= 1可得：sin2(A)+cos2(A)= I性质2二元函数f(x,y)能展开为x,.y的蓦级数J\x,y)=g(x,y).若AB=BA^\ f(A,B)=^A,B)(二元函数的代入规则).矩阵函数值的求法1.待定系数法设〃阶矩阵4的特征多项式(p(2)=det(27M).如果首1 多项式w(A)=/+b|/l T+...+b m_n+bm满足:⑴\|/(A)=0;(2)侦人)整除板人)(矩阵A的最小多项式与特征多项式均满足这些条件).那么,wQ)的零点都是A的特征值.记w(人)的互异零点为入],人焉,相应的重数为「1,...小(1"1+「2+...+板=01),则伯W(“Q)=O (/=o,l,..s・l;i=l,2,...,s)这里,表示wQ)的I阶导数(下同).00设、人沪= W(z)g(z)+r(z).其中r⑵是次数低于刀的k=0多项式，于是可由产(入i) = r(/)( 确定r(z).利用f(A)= w(A)g(A)+r(A)=r(A).因此我们的问题就是给定函数,/k),由约束条件r (z )( Ai )=fXk) /=0,l,...,r 「l;i=l,2,...,s确定r ⑵。
