中科院矩阵分析与应用大作业

矩阵分析方法及应用论文矩阵分析方法是一种应用矩阵论和线性代数的数学工具，用于研究和解决与矩阵相关的问题。

矩阵可以用于描述线性变换、矢量空间和方程组等数学对象。

矩阵分析方法可以应用于多个领域，包括数学、物理、工程、计算机科学等。

在以下回答中，我将简要介绍矩阵分析方法的基本原理和一些应用，并提供一些相关论文的例子。

首先，让我们来了解一下矩阵分析的基本原理。

矩阵是一个由数值排列成的矩形数组，可以表示为一个m×n的矩阵，其中m表示行数，n表示列数。

矩阵的元素可以是实数或复数。

通过矩阵分析，我们可以研究矩阵的性质、运算规则和应用。

矩阵乘法是矩阵分析中最基本的操作之一。

当两个矩阵相乘时，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。

矩阵乘法的结果是一个新的矩阵，其行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。

矩阵乘法可以表示线性变换和矢量的线性组合等概念。

另一个重要的矩阵分析方法是特征值和特征向量的计算。

矩阵的特征值是矩阵与一个非零向量之间的一个简单乘法关系。

特征向量是与特征值对应的非零向量。

特征值和特征向量在物理、工程和计算机科学等领域中有广泛的应用，例如图像处理、机器学习和数据压缩等。

矩阵分析方法在多个领域有着广泛的应用。

下面是一些矩阵分析方法的应用领域及相应的论文例子：1. 图像处理：矩阵分析方法在图像处理中被广泛应用，例如图像压缩和恢复。

论文例子：《基于矩阵分解的图像压缩算法研究》、《基于矩阵分析方法的图像恢复技术研究》。

2. 数据处理：矩阵分析方法在数据挖掘和机器学习中起着重要作用，例如矩阵分解和矩阵推荐系统。

论文例子：《基于矩阵分解的矩阵推荐系统研究》、《基于矩阵分析的数据挖掘技术研究》。

3. 信号处理：矩阵分析方法在信号处理中具有广泛的应用，例如语音信号处理和音频编码。

论文例子：《基于矩阵分析方法的语音信号处理技术研究》、《基于矩阵分解的音频编码算法研究》。

4. 控制系统：矩阵分析方法在控制系统设计和分析中具有重要作用，例如状态空间表示和线性二次型控制器设计。

中科院矩阵分析与应用大作业1. 研究背景矩阵是数学领域中的重要概念之一，它在各个领域中都有广泛的应用。

在计算机科学中，矩阵常常用于图像处理、计算机视觉等领域；在数据分析中，矩阵则被用来描述数据之间的关系。

因此，深入研究矩阵的相关算法和应用，对于提高计算机科学和数据分析领域的研究水平具有重要意义。

2. 研究目的本次研究的主要目的是掌握矩阵分析的基本概念和相关算法，并将其应用于实际问题中，进一步提高对于矩阵分析的理解和应用能力。

3. 研究内容3.1 矩阵分解矩阵分解是矩阵分析中的一项重要任务，它将一个矩阵分解成为多个小的矩阵，从而更方便的进行处理。

常见的矩阵分解算法有：1.奇异值分解（SVD）2.QR分解3.LU分解4.特征值分解3.2 矩阵重构矩阵重构是指将矩阵进行转换、组合等操作，旨在从不同的角度探索和发现矩阵的内在规律。

常见的矩阵重构算法有：1.矩阵乘法2.矩阵转置3.矩阵拼接4.矩阵切片3.3 矩阵应用矩阵在各个领域的应用非常广泛，下面列举几个常见的应用场景：1.图像处理：将图像转化成为矩阵，对其进行矩阵分解、矩阵重构等操作，从而实现图像降噪、图像识别等功能。

2.推荐系统：利用矩阵分解的方法将原始数据转化为矩阵，再对其进行推荐系统的处理，从而为用户提供更好的推荐服务。

3.聚类分析：将大量数据转化为矩阵，从而利用聚类算法对其进行分析，发现数据之间的关系，进一步深入研究数据的内在规律。

4. 研究通过对于矩阵分解、矩阵重构、矩阵应用等领域的研究，我们可以得到以下：1.奇异值分解、QR分解、LU分解、特征值分解等矩阵分解算法各有优缺点，在实际应用中应该根据具体情况选用不同的算法。

2.矩阵乘法、矩阵转置、矩阵拼接、矩阵切片等矩阵重构算法可以帮助我们从不同的角度分析和处理矩阵，从而深入研究矩阵的内在规律。

3.矩阵在图像处理、推荐系统、聚类分析等领域有着广泛的应用，掌握矩阵分析算法可以帮助我们更好地解决实际问题。

矩阵的代数性质1.矩阵是线性映射的表示：线性映射的相加表示为矩阵的相加线性映射的复合表示为矩阵的相乘2.矩阵是一种语言，它是表示复杂系统的有力工具。

学习矩阵理论的重要用途之一就是学会用矩阵表示复杂系统的关系，培养根据矩阵推演公式的能力是学习矩阵论的目的之一。

定义一个矩阵有几种方式：可以通过定义矩阵的每一个元素来定义一个矩阵，也可以通过矩阵具有的性质来定义一个矩阵。

如：对称矩阵可以定义为：a ij=a ji也可以定义为: (x, Ay)=(Ax,y),还可以定义为：Ax= f(x), 其中f(x)=x T Ax/2,即它对向量x 的作用相当于函数f(x)在x处的梯度。

3. 矩阵可以表示为图像矩阵的大小可以表示为图像。

反之，一幅灰度图像本身就是矩阵。

图像压缩就是矩阵的表示问题. 这时矩阵相邻元素间有局部连续性，既相邻的元素的值大都差别不大。

4. 矩阵是二维的(几何性质)矩阵能够在二维的纸张和屏幕等平面媒体上表示，使得用矩阵表示的问题显得简单清楚，直观，易于理解和交流。

很多二元关系很直观的就表示为矩阵，如关系数据库中的属性和属性值，随机马尔科夫链的状态转移概率矩阵，图论中的有向图或无向图的矩阵表示等。

第一章：线性空间和线性变换1.线性空间集合与映射集合是现代数学最重要的概念，但没有严格的定义。

集合与其说是一个数学概念，还不如说是一种思维方式，即用集合(整体)的观点思考问题。

整个数学发展的历史就是从特殊到一般，从个体到整体的发展历程。

集合的运算及规则，两个集合的并、交运算以及一个集合的补；集合中元素没有重合，子集，元素设S，S'为集合映射：为一个规则σ：S → S', 使得S中元素a和S'中元素对应，记为a'=σ(a),或σ：a→a'.映射最本质的特征在于对于S中的任意一个元素在S'中仅有唯一的一个元素和它对应。

映射的原象，象；映射的复合。

满射,单射,一一映射。

第五章特征值的估计及对称矩阵的极性本章主要讨论数值代数中的三个特殊理论，即特征值的估计广义特征值问题实对称矩阵(一般是Hermite矩阵)特征值的极小极大原理，其次也涉及到一些特征值和奇异值的扰动问题，最后简要地介绍矩阵直积的一些性质及其在线性矩阵方程求解方面的应用。

这几方面的内容，在矩阵的理论研究与实际应用当中都有着相当重要的作用。

5.1特征值的估计一、特征值的界首先给出直接估计矩阵特征值模的上界的一些方法定理 5.1 设A=(a rs) R n X1,令1 , ,M= ma彷总a sr|若表示A任一特征值，则的虚部Im()满足不等式|Im( )| M n(n21)|Im( )| ||A A T||2 / 2|Im( )| ||A A T||1n /2.证明：设x+i y为对应于的A的特征向量, 则A(x+i y)=( + i)(x+i y)其中=+ i.显然x,y为实向量，且x,y为线性无关的向量。

经整理A(x,y)=(x,y)B,其中B= 从而(x,y) T A(x,y)=(x,y) T(x,y)B展开有i 1 j iTT X y X X T T y yy X (求等式两边矩阵的对角元之和，可得 (x T x+y T y)=x T Ax+y T Ay(1) 等式两边矩阵的左上角单元减去右下角单元 可得：(x T x+y T y)=x T (A A T )y1) . 记 B=A A T ,则 |x T By| ||x||2||B||2||y||2 从而 1 1 1凶|2||B||2||y||2 /((||x||2)2 +(||y|2)2)利用 ab/(a 2+b 2) 1/2 可得 | | ||B||2 /2.2) .由于 |x T By| ||B X ||I ||y|| ||B||i ||X ||I ||y||从而 | | ||B||i ||x||i ||y|| /((||X |2)2 +(||y||2)2)易证明 ||x||i ||y|| /((||X ||2)2 +(||y||2) 2)n /2.(显然，不妨假设(||X ||2)2 +(||y||2)2=1,设HyH =t=cos ()，则y 必为t e 的形式(为什么？) 从而极值转化为求解如下最大值问题：max ||X ||1,满足约束(||X ||2)2=1 t 2这样有均值不等式 ||x|h i n ||X ||2= 、、n (1 t 2)1/2,从而我们需要求解t(1 t 2)1/2的最大值，设t=cos() 可得t(1 t 2)1/2的最大值为1/2.从而得证。

矩阵分析在通信中的应用•在过去的15年左右，矩阵分析这一工具在通信理论与系统中得到了广泛应用•为什么？“传统”通信（~before 2000）“现代”通信(~after 2000)•本质上，现代通信系统必须处理高维信号侧重于单点对单点强调多用户单载波多载波单天线多天线多维线性参数估计应用：信道估计与符号估值•考虑如上图所示的一个多径信道•首先发送长度为N的已知训练序列：{s(1),…,s(N)}；接收端收到{y(1),…, y(N)}•如何对收到的长度为N的接收向量进行线性矩阵运算，获得对信道向量c的“最优”估值？•在获得信道向量c的估值后，发送端继续发送长度为M的未知数据序列：{x(1),…,x(M)}；接收端收到{y(1),…,y(M)}•如何对收到的长度为M的接收向量进行线性矩阵运算，获得对数据向量x 的“最优”估值？多维线性参数估计应用：线性均衡•继续考虑上一页提到的数据估值问题，但是…•加入一个限制：接收端必须符合上图所示的“线性均衡器”•如何决定线性均衡器各个“分支”的系数，获得对数据向量x的“最优”估值？多天线系统（MIMO）•从单天线系统（SISO）演进到多天线系统（MIMO），是过去20多年通信领域的最重要技术发明之一•对MIMO系统的研究，使得矩阵分析理论在通信界成为“必备”的知识•下面的这个信号模型是“无数”MIMO论文的基础Y=HX+Z多天线系统（MIMO）：单用户信道容量Y=HX+Z•考虑一个单用户MIMO信道–发送端M根天线，接收端N根天线–信道矩阵H的维数是N*M–发送端总功率受限或各根天线功率受限•若信道矩阵H给定，信道容量如何获得？–收端精确知道H，发端不知道H–收发端均精确知道H–收发端均不知道H•若信道矩阵H服从某一分布，信道容量如何定义，如何获得？多天线系统（MIMO）：多用户信道容量Y=[H1, H2] [X1;X2]+Z•上行多用户MIMO信道–2个用户–每个用户发送端M根天线–基站接收端N根天线–发送端总功率受限[Y1;Y2]=[H1;H2] X+Z•下行多用户MIMO信道–2个用户–基站发送端M根天线–每个用户接受端N根天线–发送端总功率受限多天线系统（MIMO）：接收机设计Y=HX+Z•考虑一个单用户MIMO信道–发送端M根天线，接收端N根天线–信道矩阵H的维数是N*M–发送端总功率受限或各根天线功率受限–接收端精确知道信道矩阵H•接收端如何获得对X的“最佳”估值？•接收端如何获得对X的“最佳”线性估值？•什么样的接收机估值处理能够做到不损失信道容量？多天线系统（MIMO）：ZF与ZF-SIC接收机Y=HX+Z•ZF接收机–在对每个符号估值的时候，确保其它符号对其的干扰为零（zero-forcing）–通过对矩阵H做QR分解Y=HX+Z=QRX+ZQ H Y=RX+Q H ZR-1Q H Y=X+R-1Q H Z–X的每个符号可以独立做估值•ZF-SIC接收机–也叫作V-BLAST–对每一个符号做ZF–随后将此符号在Y中的贡献减掉，再对下一个符号做ZF多天线系统（MIMO）：MMSE与MMSE-SIC接收机Y=HX+Z•（线性）MMSE接收机–寻找一个M*N维的矩阵G，使得GY最小化均方误差–推导过程需要利用到正交准则•MMSE-SIC接收机–对每一个符号做MMSE–随后将此符号在Y中的贡献减掉，再对下一个符号做MMSE–MMSE-SIC接收机与信道容量的关系多天线系统（MIMO）：码间串扰信道Revisit•接收端符号表示•在发端做一个cyclic prefix处理（增加的长度为L-1）•在收端，将前L-1个符号丢掉，只保留随后的N个符号•可以证明，对于这个系统，发端的傅里叶逆变换与收端的傅里叶变换一起，可以对角化任何信道，从而达到完全消除码间串扰的目的–OFDM系统•不需要做时域均衡多天线系统（MIMO）：预编码矩阵设计Y=HX+Z•发送端知道信道H•如何设计一个线性矩阵F，来“预编码”需要发送的符号向量s？•随着优化目标的不同，对应的预编码矩阵也不同–保留信道容量–对角化信道–优化成对出错概率–单用户vs多用户•向量信道的最大比（MRT）发送预编码•ZF预编码•其它预编码多天线系统（MIMO）：最优空时分组码设计Y=HX+Z•发送端不知道信道H•如何设计一个线性矩阵X，来“预编码”需要发送的符号向量s？–X必须与H无关，仅与s有关•最早的空时分组码：Alamouti Code(1998)•随后出现了多种基于矩阵代数的空时分组码•着重讨论最优设计准则与在有反馈情况下的分组码设计。

LU分解说明文档
1.概述
在附件中的LU.rar文件中包含3份.m文件分别为LUfactor.m、LUFull.m、LUPart.m。

其中LUfactor为执行文件，其余为自己编写的函数。

用matlab打开LUfactor.m即可进行LU分解。

LUFull.m为完全主元法实现函数。

测试矩阵可为：[222;477;61822]。

LUPart.m为部分主元法实现函数。

测试矩阵：[12-34;4812-8;2321;-3-11 -4]和[234;467;825]
2.实现过程
（1）要求使用者从外部输入需要LU分解的方阵A；
（2）判断A是否为方阵；
（3）判断A是否奇异；
（4）判断A顺序主子式是否全部非0；
（5）若顺序主子式全部非0，调用函数LUFull使用完全主元法进行LU分解。

LUFull函数主要使用Dolittle公式实现算法。

详见源码。

（6）若顺序主子式含0，调用函数LUPart使用部分主元法进行LU分解。

算法实现的是基本的完全主元法计算过程。

详见源码。

矩阵奇异值分解在图像压缩上的应用摘要矩阵的奇异值理论提出至今己经有很长的一段时间。

奇异值分解理论由Beltrami和Jordan于十九世纪七十年代提出至今，由于其内在的一些良好特性，奇异值分解正成为应用数学和数学模型领域的一个极有价值的工具。

奇异值分解在很多领域得到了应用，它在数据挖掘及搜索引擎中被用来对数据库文件进行规类，近年来，它在图像压缩方面的应用也越来越受到相关学者的重视。

关键字：图像压缩；奇异值分解第一章总论数字图像处理技术中的数字图像压缩，或者叫图像编码。

二维形式呈现的数字图像，其信息量很大，给传输、处理、储存、显示等都带来了不少的问题。

另一方面，图像中又有很多冗余信息，根据香农(Shannon)的率失真理论。

无论在传输或者储存时，都可对数字图像进行一定方式编码，删除其中冗余信息，实现不失真压缩，或在容许失真限度内进行有失真压缩，以换取更大的压缩率。

对于供人观看的图像，如电视信号，这时人是通信系统中的一环，人的视觉特征，如掩盖效应，对灰度分辨率和空间分辨率的有限性等，也可以用来为压缩服务。

数字图像以数据矩阵形式储存在存储器中，这就使得通过操作数据矩阵的方式压缩图像成为可能。

事实上矩阵的奇异值本身具有可降维的特性，若能合理的利用矩阵奇异值的这一特性，SVD方法在图像压缩领域必将会有广阔的应用前景。

矩阵的奇异值分解(SVD)目前在信号处理、模式分析等领域得到了较为广泛的应用。

由于数字图像矩阵通常是由数据量较大的阵列矩阵所构成，这就给基于SVD变换的算法构造添加了很大的难度，所以SVD变换目前在数据压缩领域得到的应用还不是很多，从SVD变换算法的研究着手，研究大矩阵奇异值的分布情况以及他们在图像恢复时所起到的作用，并在此基础上展开对SVD变换算法在数据压缩领域应用的研究，构造能将SVD变换实际应用到数据压缩领域的快速、高效的算法是十分必要的。

第二章 矩阵奇异值分解理论2.1奇异值分解及其解释2.1.1奇异值分解奇异值分解最早由Beltrami 在1873年针对实正方矩阵提出来的。

矩阵分析及其应用 3.1矩阵序列定义3.1设矩阵序列｛A (k )｝,其中A(k)=( a (k )) C m n ,当k a j" a u 时，称矩阵序列｛A (k)｝收敛，并称矩阵 A=( a ij )为矩 阵序列｛A (k)｝的极限，或称｛A (k)｝收敛于A,记为lim A (k)A 或 A (k) Ak不收敛的矩阵序列称为发散的。

由定义，矩阵序列 A (k )发散的充要条件为存在 j 使得数列a (k)发散。

类似地，我们可以定义矩阵收敛的 Cauchy 定义 定义3.1'矩阵序列｛A (k)｝收敛的充要条件为 对任给>0存在N()，当k, l N()时有 ||A (k) A (l)|| <其中||.|为任意的广义矩阵范数。

sin 』)n nsin(k)如果直接按定义我们因为求不出 A (n)的极限从而从而只要I 充分大，则当m, n > l 时就有sin(k)k 2这样A (l)收敛。

定理3.1 A (k) A 的充要条件为||A (k) A|| 0证明：利用广义矩阵范数的等价性定理，仅对 范数可以证明。

即c 1ILA (k) A||||A (k) AII C 2 ||A (k) AII 性质 0 若 A (k)A ，则 ||A (k) II IIAII 成立。

性质 1. 设 A (k)A m n ，B (k) B m n , 则A (k)+ B(k) A+ B ， ,C 性质 2. 设 A (k)A m n ，B (k )B n l ,贝UA (k)B (k)A B证明：由于矩阵范数地等价性，我们可以只讨论相容的 矩阵范数。

||A (k )B (k) A B|| || A (k) B (k) A B (k)||+||AB (k)A B|||| A (k) A|| ||B (k)||+||A||||B (k) B||例 1 A (n)k m 1k(k 1)相反，由于注意||B(k)|| ||B||，则结论可得。

重庆邮电大学 级研究生(矩阵分析)考卷( A 卷)参考答案及评分细则一 、 已知 1(1,2,1,0)T α=, 2(1,1,1,1)T α=-, 1(2,1,0,1)T β=-, 2(1,1,3,7)T β=-求12{,}span αα与12{,}span ββ的和与交的基和维数。

( 10分) 解: 因为12{,}span αα+12{,}span ββ=1212{,,,}span ααββ (2分)由于秩1212{,,,}ααββ=3, 且121,,ααβ是向量组1212,,,ααββ的一个极大相信无关组, 因此和空间的维数是3, 基为121,,ααβ。

(2分) 设{}1212{,},span span ξααββ∈于是由交空间定义可知11221122k k l l ξααββ=+=+ 此即121211212111011030117k k l l -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解之得1122122,4,3(k l k l l l l =-==-为任意数） (2分) 于是11222[5,2,3,4]T k k l ξαα=+=-, 1122l l ξββ=+（很显然）因此交空间的维数为1, 基为T [-5,2，3，4] (2分)二、 证明: Jordan 块 10()0100a J a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似于矩阵 0000a a a εε⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 这里0ε≠为任意实数。

( 10分) 证明: 由于容易求出两个λ-矩阵的不变因子均为31,1,()a λ-, 从而这两个λ-矩阵相似,于是矩阵10()0100a J a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与0000a a a εε⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似.三、 求矩阵101120403A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的(1)Jordan 标准型; ( 2) 变换矩阵P ; ( 3) 计算100A 。

P25⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∴+-=-=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-=-=∈∈∀+=-+-=--+=+-+=+∈∀11-11-11-00011-11-11-000),,(),,()()(0110101111011011100110011101)()3(0100,0010,10012)()()()()(,)()()()()(,)1.(1421121121121121122121121221121121121111211211212211212121212121该基下的对应的矩阵为同理：变换的像分别求上一组基的线性以取这样的一组基这是一个三维空间，可可以写为）对于空间（的线性变换是根据定义可知，设设E E E E E E T E E E T E E E T E E E T E E E a a a a W W W T X T B X X B BX X B X T FW X X T X T B X X B B X X B B X B X X B X B BX X X X B X X T WX X T T T T TT TT TTT T T T λλλλλλ()()()()()()()()()()()()()()123123123123-1123123123123123123123123-1123-1123115.,,,,,,,,101110-121,,=,,,,,=,,,,,,,,,,,,,,=,T A T B A P P T T P T P AP P AP B P APηηηηηηεεεεεεεεεηηηηηηεεεεεεηηηηηηηηηεεεεεεηη==⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=⎡⎤⎣⎦=⎡⎤⎣⎦===解：由题意知：其中，设则则由()()()23-1123123-11-1,=,,,,-110100010100010=100010=110010=1101-1100110100110101010101001110110110101-12111P P B P AP ηηηηεεε-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得到-111132⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1.16(1)证明：()()()()()()()221223131212122T f t T f t x x x x t t x x t t +=+++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ Q ()()()22123231312T x x t x t x x x x t x x t ⎡⎤++=+++++⎣⎦()()2123011,,1011,,110Tx x x t t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∴()()22121213112232T f t f t T x x t x t x x t x t ⎡⎤+=+++++⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2212123122T x x t t x t t ⎡⎤=++++⎣⎦()()221231212,,2,,TT x x x t t t t ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦()()221231212011,,1012,,110Tx x x t t t t ⎡⎤⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()()()()2223131212122x x x x t t x x t t =+++++++∴()()12T f t f t +=⎡⎤⎣⎦()()12T f t T f t +⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()2123T f t T x x t x t λλλλ=++⎡⎤⎣⎦()()2123,,,,T T x x x t t λλλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦()()2123011,,101,,110Tx x x t t λλλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()()2231312x x x x t x x t λλλ=+++++()T f t λ=⎡⎤⎣⎦ ∴T 是[]3F x 的线性变换 （2）解： ()()2123T f t T xx tx t=++⎡⎤⎣⎦ ()()()21231x T x T t x T t =++()()()()2212311T f t x t t x t x t =+++++⎡⎤⎣⎦∴()21T t t =+；()21T t t =+；()21T t t =+∴()()220111,,1011,,110T t t t t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∴T 在基21,,t t 下的矩阵A 为011101110⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（3）解：()()211112111E A λλλλλλ---=--=-+--1232;1λλλ===-()112=1,1,1Tλξ=时，可以求得特征向量()()2323==1,1,0=1,0,1TTλλξξ=---1时，可以求得特征向量，故111=110101P ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦()()21231,,t t P ∂∂∂=令，，()()2221111,,1101011,1,1t t t t t t ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=++--则T 在基1∂=21t t ++，2∂=1t -，3∂=21t -下的矩阵为对角矩阵.P45第二章 内积空间练习题1.解：（1）Q ()11221x y x y αβ,=++，∴()11221x y x y λαβλλ,=++。