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矩阵分析及其应用 3.1矩阵序列定义3.1设矩阵序列｛A (k )｝,其中A(k)=( a (k )) C m n ,当k a j" a u 时，称矩阵序列｛A (k)｝收敛，并称矩阵 A=( a ij )为矩 阵序列｛A (k)｝的极限，或称｛A (k)｝收敛于A,记为lim A (k)A 或 A (k) Ak不收敛的矩阵序列称为发散的。
由定义，矩阵序列 A (k )发散的充要条件为存在 j 使得数列a (k)发散。
类似地，我们可以定义矩阵收敛的 Cauchy 定义 定义3.1'矩阵序列｛A (k)｝收敛的充要条件为 对任给>0存在N()，当k, l N()时有 ||A (k) A (l)|| <其中||.|为任意的广义矩阵范数。
sin 』)n nsin(k)如果直接按定义我们因为求不出 A (n)的极限从而从而只要I 充分大，则当m, n > l 时就有sin(k)k 2这样A (l)收敛。
定理3.1 A (k) A 的充要条件为 ||A (k) A|| 0证明：利用广义矩阵范数的等价性定理，仅对 范数可以证明。
即c 1ILA (k) A||||A (k) AII C 2 ||A (k) AII 性质 0 若 A (k)A ，则 ||A (k) II IIAII 成立。
性质 1. 设 A (k)A m n ，B (k) B m n , 则A (k)+ B(k) A+ B ， ,C 性质 2. 设 A (k)A m n ，B (k )B n l ,贝UA (k)B (k)A B证明：由于矩阵范数地等价性，我们可以只讨论相容的 矩阵范数。
||A (k )B (k) A B|| || A (k) B (k) A B (k)||+||AB (k)A B|||| A (k) A|| ||B (k)||+||A||||B (k) B||例 1 A (n)k m 1k(k 1)相反，由于注意||B(k)|| ||B||，则结论可得。
中科院矩阵分析与应用大作业1. 研究背景矩阵是数学领域中的重要概念之一，它在各个领域中都有广泛的应用。
在计算机科学中，矩阵常常用于图像处理、计算机视觉等领域；在数据分析中，矩阵则被用来描述数据之间的关系。
因此，深入研究矩阵的相关算法和应用，对于提高计算机科学和数据分析领域的研究水平具有重要意义。
2. 研究目的本次研究的主要目的是掌握矩阵分析的基本概念和相关算法，并将其应用于实际问题中，进一步提高对于矩阵分析的理解和应用能力。
3. 研究内容3.1 矩阵分解矩阵分解是矩阵分析中的一项重要任务，它将一个矩阵分解成为多个小的矩阵，从而更方便的进行处理。
常见的矩阵分解算法有：1.奇异值分解（SVD）2.QR分解3.LU分解4.特征值分解3.2 矩阵重构矩阵重构是指将矩阵进行转换、组合等操作，旨在从不同的角度探索和发现矩阵的内在规律。
常见的矩阵重构算法有：1.矩阵乘法2.矩阵转置3.矩阵拼接4.矩阵切片3.3 矩阵应用矩阵在各个领域的应用非常广泛，下面列举几个常见的应用场景：1.图像处理：将图像转化成为矩阵，对其进行矩阵分解、矩阵重构等操作，从而实现图像降噪、图像识别等功能。
2.推荐系统：利用矩阵分解的方法将原始数据转化为矩阵，再对其进行推荐系统的处理，从而为用户提供更好的推荐服务。
3.聚类分析：将大量数据转化为矩阵，从而利用聚类算法对其进行分析，发现数据之间的关系，进一步深入研究数据的内在规律。
4. 研究通过对于矩阵分解、矩阵重构、矩阵应用等领域的研究，我们可以得到以下：1.奇异值分解、QR分解、LU分解、特征值分解等矩阵分解算法各有优缺点，在实际应用中应该根据具体情况选用不同的算法。
2.矩阵乘法、矩阵转置、矩阵拼接、矩阵切片等矩阵重构算法可以帮助我们从不同的角度分析和处理矩阵，从而深入研究矩阵的内在规律。
3.矩阵在图像处理、推荐系统、聚类分析等领域有着广泛的应用，掌握矩阵分析算法可以帮助我们更好地解决实际问题。
矩阵分析及其应用3.1矩阵序列定义3.1设矩阵序列｛应)｝,其中A«)=(#))£Cms,当k—oo, 佝时，称矩阵序列｛A00｝收敛，并称矩阵A=(佝)为矩阵序列｛A00｝的极限,或称｛A00｝收敛于A,记为lim A a)= A或A,k)-> A ks不收敛的矩阵序列称为发散的。
由定义，矩阵序列A(k)发散的充要条件为存在ij使得数列站发散。
类似地，我们可以定义矩阵收敛的Cauchy定义定义31矩阵序列｛A00｝收敛的充要条件为对任给£>0存在N(E),当k,l> N(E)时有IIA(k)-A(/)ll < £其中11.11为任意的广义矩阵范数。
例 1 A(n)e~nsin(-)n y，sin(R) k=l K 7如果直接按定义我们因为求不出A㈤的极限从而很难应用定义3.1证明收敛。
相反，由于t^< t^<v 1/m从而只要/充分大，则当m, n > /时就有nz sin(A)这样A")收定理3.1 A(k)->A的充要条件为HA'10-AII T O证明：利用广义矩阵范数的等价性定理，仅对co范数可以证明。
即ci IIA(k) -AIL < IIA(k) -All< c2 IIA(k) -AIL性质 1.设A(k,—> A mxn, B,k,—> B mxn>则a- A(k)+P • B(k) -> a- A+P B, V a,PeC性质2.设A(k)—> A mxn, B,k)—> B nx/,则A(k)由如一A B证明：由于矩阵范数地等价性，我们E以只讨论相容的矩阵范数。
IIA(k).B(k)-A-BII < II A(k) -B(k) -A-B(k)ll+IIAB(k)- A-BII<IIA(k)-AII-IIB(k)ll+IIAIMIB(k)-BII注意IIB(k)||_||BII,则结论可得。
第 2 章范数理论及其应用2.1向量范数及I p范数定义：如果V 是数域K 上的线性空间，且对于V的任一向量x，对应一个实数值ixil,它满足以下三个条件：1）非负性：||x|| 0,且||x||=0 x=0; 2）齐次性：iikxii=iki iixii，k K；3）三角不等式：||x+y|| ||x||+||y||.则称||x|为V上向量x的范数，简称为向量范数。
可以看出范数||||为将V映射为非负数的函数。
注意：2）中|k|当K为实数时为绝对值，当K 为复数域时为复数的模。
虽然向量范数是定义在一般的线性空间上的，但是由于前面的讨论，我们知道任何n 维线性空间在一个基下都代数同构于常用的n维复（或实）列向量空间, 因此下面我们仅仅讨论n 维复（或实）列向量空间就足够了下面讨论如下：1•设||||为线性空间V n的范数，任取它的一个基X i,X2,…,X n,则对于任意向量X,它可以表示为x= 1X1+ 2X2+ …+ n X n其中，（1, 2,…,n）T为X的坐标。
由此定义C n（或R n）中的范数如下：|| ||C = （） = || 1X1+ 2X2+ …+ n X n||则容易验证|| ||C确实为C n中的范数.2•反之，若|| |C为C n中的范数，定义V n的范数如下：||X||= （X）=|| ||c其中X= 1X1+ 2X2+ …+ n X n。
则容易验证（X）确实为V n的范数。
这个例子充分说明了一般线性空间的范数和n维复（或实）列向量空间的范数之间的关系。
这也是为我们只讨论n 维复（或实）列向量空间的范数的理由.范数首先是一个函数，它将线性空间的任意向量映射为非负实数。
范数与函数性质 1. 范数是凸函数，即|| （1 ）X+ y|| （1 ）||X||+ ||y||其中0向量的范数类似于向量长度。
性质 2. (范数的乘法) 若|| ||为线性空间V 上的向量范数，则k|||| 仍然为向量范数, 其中k > 0.性质3.设||||comp为R m上的范数，且对x (R+)m为单调增加的(即，若x,y (R+)m, 且X i y那么IXI Comp lyil comp 成立•),那么，对于给定的m个n维线性空间V上的范数||||i,i=1,2,…,m，我们可以定义一个复合范数为llxll=llU(x)ll comp , 其中，U(X)=( ||X||1,||X|2,…,||x||m)T. 证明：非负性和齐次性是显然的，仅需证明三角不等式。
第五章特征值的估计及对称矩阵的极性本章主要讨论数值代数中的三个特殊理论，即特征值的估计广义特征值问题实对称矩阵(一般是Hermite矩阵)特征值的极小极大原理，其次也涉及到一些特征值和奇异值的扰动问题，最后简要地介绍矩阵直积的一些性质及其在线性矩阵方程求解方面的应用。
这几方面的内容，在矩阵的理论研究与实际应用当中都有着相当重要的作用。
5.1特征值的估计一、特征值的界首先给出直接估计矩阵特征值模的上界的一些方法定理 5.1 设A=(a rs) R n X1,令1 , ,M= ma彷总a sr|若表示A任一特征值，则的虚部Im()满足不等式|Im( )| M n(n21)|Im( )| ||A A T||2 / 2|Im( )| ||A A T||1n /2.证明：设x+i y为对应于的A的特征向量, 则A(x+i y)=( + i)(x+i y)其中=+ i.显然x,y为实向量，且x,y为线性无关的向量。
经整理A(x,y)=(x,y)B,其中B= 从而(x,y) T A(x,y)=(x,y) T(x,y)B展开有i 1 j iTT X y X X T T y yy X (求等式两边矩阵的对角元之和，可得 (x T x+y T y)=x T Ax+y T Ay(1) 等式两边矩阵的左上角单元减去右下角单元 可得：(x T x+y T y)=x T (A A T )y1) . 记 B=A A T ,则 |x T By| ||x||2||B||2||y||2 从而 1 1 1凶|2||B||2||y||2 /((||x||2)2 +(||y|2)2)利用 ab/(a 2+b 2) 1/2 可得 | | ||B||2 /2.2) .由于 |x T By| ||B X ||I ||y|| ||B||i ||X ||I ||y||从而 | | ||B||i ||x||i ||y|| /((||X |2)2 +(||y||2)2)易证明 ||x||i ||y|| /((||X ||2)2 +(||y||2) 2)n /2.(显然，不妨假设(||X ||2)2 +(||y||2)2=1,设HyH =t=cos ()，则y 必为t e 的形式(为什么？) 从而极值转化为求解如下最大值问题：max ||X ||1,满足约束(||X ||2)2=1 t 2这样有均值不等式 ||x|h i n ||X ||2= 、、n (1 t 2)1/2,从而我们需要求解t(1 t 2)1/2的最大值，设t=cos() 可得t(1 t 2)1/2的最大值为1/2.从而得证。
矩阵分析在通信中的应用•在过去的15年左右，矩阵分析这一工具在通信理论与系统中得到了广泛应用•为什么？“传统”通信（~before 2000）“现代”通信(~after 2000)•本质上，现代通信系统必须处理高维信号侧重于单点对单点强调多用户单载波多载波单天线多天线多维线性参数估计应用：信道估计与符号估值•考虑如上图所示的一个多径信道•首先发送长度为N的已知训练序列：{s(1),…,s(N)}；接收端收到{y(1),…, y(N)}•如何对收到的长度为N的接收向量进行线性矩阵运算，获得对信道向量c的“最优”估值？•在获得信道向量c的估值后，发送端继续发送长度为M的未知数据序列：{x(1),…,x(M)}；接收端收到{y(1),…,y(M)}•如何对收到的长度为M的接收向量进行线性矩阵运算，获得对数据向量x 的“最优”估值？多维线性参数估计应用：线性均衡•继续考虑上一页提到的数据估值问题，但是…•加入一个限制：接收端必须符合上图所示的“线性均衡器”•如何决定线性均衡器各个“分支”的系数，获得对数据向量x的“最优”估值？多天线系统（MIMO）•从单天线系统（SISO）演进到多天线系统（MIMO），是过去20多年通信领域的最重要技术发明之一•对MIMO系统的研究，使得矩阵分析理论在通信界成为“必备”的知识•下面的这个信号模型是“无数”MIMO论文的基础Y=HX+Z多天线系统（MIMO）：单用户信道容量Y=HX+Z•考虑一个单用户MIMO信道–发送端M根天线，接收端N根天线–信道矩阵H的维数是N*M–发送端总功率受限或各根天线功率受限•若信道矩阵H给定，信道容量如何获得？–收端精确知道H，发端不知道H–收发端均精确知道H–收发端均不知道H•若信道矩阵H服从某一分布，信道容量如何定义，如何获得？多天线系统（MIMO）：多用户信道容量Y=[H1, H2] [X1;X2]+Z•上行多用户MIMO信道–2个用户–每个用户发送端M根天线–基站接收端N根天线–发送端总功率受限[Y1;Y2]=[H1;H2] X+Z•下行多用户MIMO信道–2个用户–基站发送端M根天线–每个用户接受端N根天线–发送端总功率受限多天线系统（MIMO）：接收机设计Y=HX+Z•考虑一个单用户MIMO信道–发送端M根天线，接收端N根天线–信道矩阵H的维数是N*M–发送端总功率受限或各根天线功率受限–接收端精确知道信道矩阵H•接收端如何获得对X的“最佳”估值？•接收端如何获得对X的“最佳”线性估值？•什么样的接收机估值处理能够做到不损失信道容量？多天线系统（MIMO）：ZF与ZF-SIC接收机Y=HX+Z•ZF接收机–在对每个符号估值的时候，确保其它符号对其的干扰为零（zero-forcing）–通过对矩阵H做QR分解Y=HX+Z=QRX+ZQ H Y=RX+Q H ZR-1Q H Y=X+R-1Q H Z–X的每个符号可以独立做估值•ZF-SIC接收机–也叫作V-BLAST–对每一个符号做ZF–随后将此符号在Y中的贡献减掉，再对下一个符号做ZF多天线系统（MIMO）：MMSE与MMSE-SIC接收机Y=HX+Z•（线性）MMSE接收机–寻找一个M*N维的矩阵G，使得GY最小化均方误差–推导过程需要利用到正交准则•MMSE-SIC接收机–对每一个符号做MMSE–随后将此符号在Y中的贡献减掉，再对下一个符号做MMSE–MMSE-SIC接收机与信道容量的关系多天线系统（MIMO）：码间串扰信道Revisit•接收端符号表示•在发端做一个cyclic prefix处理（增加的长度为L-1）•在收端，将前L-1个符号丢掉，只保留随后的N个符号•可以证明，对于这个系统，发端的傅里叶逆变换与收端的傅里叶变换一起，可以对角化任何信道，从而达到完全消除码间串扰的目的–OFDM系统•不需要做时域均衡多天线系统（MIMO）：预编码矩阵设计Y=HX+Z•发送端知道信道H•如何设计一个线性矩阵F，来“预编码”需要发送的符号向量s？•随着优化目标的不同，对应的预编码矩阵也不同–保留信道容量–对角化信道–优化成对出错概率–单用户vs多用户•向量信道的最大比（MRT）发送预编码•ZF预编码•其它预编码多天线系统（MIMO）：最优空时分组码设计Y=HX+Z•发送端不知道信道H•如何设计一个线性矩阵X，来“预编码”需要发送的符号向量s？–X必须与H无关，仅与s有关•最早的空时分组码：Alamouti Code(1998)•随后出现了多种基于矩阵代数的空时分组码•着重讨论最优设计准则与在有反馈情况下的分组码设计。
第4章 矩阵分解与表示(I)高斯消去法假设矩阵A 的顺序主子式i D ≠0 (i=1,…,n-1),则我们可以进行以下的顺序消元过程1．消元过程n k k i b m b b nk k j i a m a a k k ik k i k i k kj ik k ij k ij ,,2,1,,,2,1,,)()()1()()()1( ++=-=++=-=++等价于用初等矩阵T k k k e l I L -=分别左乘)(k A 和)(k b ，即)()1(k k k A L A =+ (1)其中，T k n k k k k k m m m l ),,,,0,,0(,,2,1 ++=,n k i a a m k kk k ik ik ,,1,/)()( +==我们称ik m 为消元因子，)(k kk a 为主元素；消元过程的一个重要性质是：消元过程不改变矩阵的顺序主子矩阵的行列式(顺序主子式)的值。
例⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=012131121A ,顺序主子式为，1，5，-10 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−−−−→−++250050121)1*(2)3(),1()2(,顺序主子式为，1，5，-10 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−→−-200050121)2()3(，顺序主子式为，1，5，-10 引理：约化的主元素)(i ii a ≠0的充要条件是矩阵A 的顺序主子式i D ≠0 (i=1,…,k);推论：若矩阵A 的顺序主子式i D ≠0(i=1,…,k)，则 1)1(11D a =，k i D D a i i i ii,,2,1,/1)( ==-； 由此有若A 对称正定或严格对角占优，而它们的顺序主子矩阵也是对称正定或严格对角占优，从而顺序主子式不为0，顺序高斯消去过程可进行；2.回代过程：()()()()()1/()/,1,2,,1n n n n nnn k k k k k kj kk j k x b a x b a a k n n =+⎧=⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎩∑设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=012131121A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=311b , 用高斯消去法解线性方程Ax=b.增广矩阵为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----301211311121 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−−−→−++125000501121)1*(2)3(),1()2(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−-120000501121)2()3(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−-2/1100005011212/)3( ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−2/1100001011215/)2(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−−−→−-+2/110000102/3001)2*(2)3()1(， 因此，问题的解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=2/102/3x 3. 数值稳定性1)选列主元；2)选全主元；3)高斯若当(Gauss-Jordan)消去法，求矩阵的逆;⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=012131121A , 求A -1.增广矩阵为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---100012010********* ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−−−−→−++102250011050001121)1*(2)3(),1()2(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−−→−-11120005/15/10100011215/)2(),2()3( ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−−→−+-2/12/12/110005/15/10102/12/12/1021)3()1(,2/)3( ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−-2/12/12/110005/15/10102/110/110/10012)*2()1( 从而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-5550225111011A 4．高斯顺序消元法解方程的计算量1)乘除次数：3/3/23n n n -+2)加减次数：6/52/3/23n n n -+3)求矩阵的逆的计算量为o(4n )(II) 顺序消元过程与矩阵的三角分解(1) T k k T k k k e l I e l I L +=-=--11)((2) 若 ,j i ≤则有0=j T i l e ，从而T j j T i i T j j T i i e l e l I e l I e l I ++=++))((，L e l e l e l I L L L T n n T T n =++++=------112211111211(3) 由)()1(k k k A L A =+ 有)(111211)1(n n A L L L A A ----==故有 A =LU ，其中)(n A U =，T n n T T e l e l e l I L 112211--++++= .这时L 为单位下三角矩阵。
矩阵的三角分解A =(a 1,a 2,…,a n )T =PR =(p 1,p 2,…,p n )R(a) LU 分解(Doolittle 分解)(1) 存在唯一的条件;(顺序主子式不为0)(2) 公式推导;(矩阵乘法)定义4.1 如果方阵A 可分解成一个下三角矩阵L 和一个上三角矩阵U 的乘积，则称A 可作三角分解. 如果方阵A 可分解成A=LDU,其中L 为一个单位下三角矩阵，D 为对角矩阵，U 是一个单位上三角矩阵,则称A 可作LDU 分解。
推论：若矩阵A 的顺序主子式∆k ≠0(k=1,…,n)，则A 可唯一分解为A=LDU, 其中L 为一个单位下三角矩阵，D 为对角矩阵，U 是一个单位上三角矩阵。
d k =∆k /∆k -1 (∆0=1)。
定理4.2 设A 是n 阶非奇异矩阵，则存在置换矩阵P 使得PA=LDU, 其中L 为一个单位下三角矩阵，D 为对角矩阵，U 是一个单位上三角矩阵。
定义4.2 设A 存在唯一的LDU 分解.若把A=LDU 中的D 和U 结合起来，并且用U ’表示，则得到唯一的LU 分解A=LU ’称为Doolittle 分解；若把A=LDU 中的L 和D结合成L ’，就得到A=L ’U称为Crout 分解。
LU 分解的公式：l ik =a ik -(l i1u 1k +…+l i,k-1u k-1,k )u kj = [a kj -(l k1u 1j +…+l k,k-1u k-1,j )]/l kkCrout 分解类似。
(b)平方根法(1)对称矩阵的三角分解定理；T LDL A =(2)对称正定矩阵的三角分解(Cholesky 分解)T LL A =递推公式g ii =(a ii -∑-=112i k ik g)1/2g ij =[a ij -(g i 1g j 1+g i 2g j 2+…+g i,j -1g j,j -1)]/g ii , i>jg ij =0 i<j四、分块矩阵的拟LU 分解和拟LDU 分解⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22211211A A A A A 若A 11可逆，作⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21112110n n I A A I L则 11121222111120A A LA A A A A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦从而det(A)=det(A 11)⋅det(121112122A A A A --) 同样若A 22可逆，可得类似结果。
推论：设A ∈R m ⨯n ,B ∈R n ⨯m .则det(I m +AB )= det(I n +BA )矩阵求逆引理(Woodbury 公式)(A +BC )-1=A -1- A -1B (I +CA -1B )-1CA -1证明: 求方程(A +BC )x = b,令y =Cx, 则有 Ax +By =b-Cx +y =0写成矩阵为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0b y x I C B A ，利用高斯消去法有⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0I C b B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−−−→−--+-b CA B CA I b B A CA 11)1*()2(01 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−−−−→−---+--b CA B CA I I b B A B CA I 111)2*()()(011 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-−−−→−-------b CA B CA I Ib CA B CA I B I A B 111111)2*()1()(0))((0 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-−−→−---------b CA B CA I I b CA B CA I B A A I A 11111111)1*()(0))((01 因此可得x = (A -1- A -1B (I +CA -1B )-1CA -1)b,而由(A +BC )x = b 可得x = (A +BC )-1b由于b 的任意性可得(A +BC )-1=A -1- A -1B (I +CA -1B )-1CA -1从而命题得证。
推论：(A +BD -1C )-1=A -1- A -1B (D +CA -1B )-1CA -1例⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=321151120A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-121121121200030001 =[]121111200030001-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-由于[]611112000300011211=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---利用矩阵求逆引理有 []11111100030002100110010301112103060021002-----⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦A []2/13/212/13/11762/10003/10001--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-= []2/13/212/13/11762/10003/10001--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=Schur 补设矩阵A ∈C n ⨯n 为非奇异，I,J ⊂{1,2,…,n}为有序的指标集，I ≠∅, I ≠{1,2,…,n}。
令R={1,2,…,n}/I, S={1,2,…,n}/J 。
假定A I , A I,J 非奇异，则Schur 补A/A I 定义为：A/A I =A R -A R,I (A I )-1A I,RA/A I,J =A R,S -A R,J (A I,J )-1A I,S(当A I,J 不可逆时，使用广义逆(A I,J )+)其中，A I 表示由矩阵A 的元素其行数和列数在I 中组成主子矩阵，其余类似。
定理：假设A I 非奇异，那么 A 非奇异的充要条件为A/A I 非奇异，此时我们有：(A -1)R =(A/A I ) -1 (1)(A -1)R,I = -(A/A I ) -1A R,I (A I )-1 (2)(A -1)I,R = - (A I )-1A I,R (A/A I ) -1 (3)(A -1)I = (A I )-1- (A I )-1A I,R (A/A I ) -1 A R,I (A I )-1 (4)从定理的条件看我们发现I 和Ｒ的位置可以完全互换，因此交换I 和R 时等式一定成立。
