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第三章 运动方程的积分

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第3章 振动系统的运动微分方程题解

第3章 振动系统的运动微分方程题解

45 / 2045习 题3-1 复摆重P ，对质心的回转半径为C ρ，质心距转动轴的距离为a ，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。

解:系统具有一个自由度，选复摆转角ϕ为广义坐标，原点及正方向如如题4-1图所示。

复摆在任意位置下，根据刚体绕定轴转动微分方程O O M J =ϕ其中)(22a gP J C O +=ρ 得到复摆运动微分方程为ϕϕρcos )(22Pa a gP C =+ 或0cos )(22=-+ϕϕρga a C3-2均质半圆柱体，质心为C ，与圆心O 1的距离为e ，柱体半径为固定R ，质量为m ，对质心的回转半径为C ρ，在平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。

解：系统具有一个自由度，选θ为广义坐标。

半圆柱体在任意位置的动能为：222121ωC C J mv T +=题3-1图题3-2图46 / 2046用瞬心法求C v ：2222*2)cos 2()(θθθ Re R e CC v C -+== θω = 2CC m J ρ= 故2222221)cos 2(21θρθθ Cm Re R e m T +-+=系统具有理想约束，重力的元功为 θθδd mge W sin -=应用动能定理的微分形式W dT δ=θθθρθθd mge m Re R e m d C sin 21)cos 2(2122222-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+ θθθθθθθθθθρd mge d mRe d mRe d R e m C sin sin cos 2)(2222-=+-++ 等式两边同除dt ，θθθθθθθθθθρ sin sin cos 2)(2222mge mRe mRe R e m C -=+-++ 0≠θ ，等式两边同除θ故微分方程为0sin sin )cos 2(2222=+++-+θθθθρθmge mRe Re R e m C ① 若为小摆动θθ≈sin ，1cos ≈θ，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为0])[(22=++-θθρge r R C要点及讨论（1）本题也可以用平面运动微分方程求解。

流体力学基本方程组

流体力学基本方程组

（7）
du ρ − ρ f − divP δτ = 0 ∫∫∫ dt τ 其中P是应力张量，则， du ρ = ρ f + divP dt
∂ Pij du i ρ = ρfi + dt ∂x j
2011-12-1
（8） （9） （10）
----------微分形式的动量方程。
13
2 微分形式的连续方程 据输运公式， d Φ dτ
dt
∫∫∫ τ
=
∫∫∫ τ
∂Φ + div (Φ u ) d τ ∂t
（1）式变为：
∂ρ + div(ρu )dτ = 0 ∫∫∫ ∂t τ
（3）
假设被积函数连续,
τ 任意,则被积函数一定为0,于是
（4a）
控制体
τ
d 1 ∫∫∫ Φdτ = lim ∫∫∫ [Φ(r , t + ∆t ) − Φ(r , t )]dτ + ∫∫∫ Φ(r , t + ∆t )dτ dt τ ∆t →0 ∆t τ (t ) ∆τ
4)式的意义: 体积分(1)的变化由两部分组成,右边第一 项表明 Φ 随 t 变化而引起,第二项代表由于流体体积改 变了 ∆τ 后所引起的参量变化,显然4)式右边第一项为: ∂Φ ∫∫∫ ∂t dτ （5） τ 再看4）式右边第二项： 因为： 于是：
d 1 ρ e + 2 u i u i = ρ dt
( )
i
∫∫ qi ni ds = ∫∫∫
s
∂ qi
τ ∂ xi
dτ
f u
+ i
∂ ∂
x
(u

第3章流体力学连续性方程微分形式

第3章流体力学连续性方程微分形式

第四节 欧拉运动微分方程的积分
du p p p du d y x 1 z ( Xdx Y Zdz dy ) ( dx dy dz ) dx dy d x y z dt dt d
<I> <II> <III>
p 2、均匀不可压缩流体，即=Const； <II>= d ( )
中心的微元六面体为控制体，边 长为dx,dy,dz，中心点压强为 p(x,y,z) 。 受力分析(x方向为例)： 1.表面力
z
A'
D' M p(x,y,z) B' N
C'
p dx p x 2
dz dx D dy A
O
o’
p dx p Cx 2
B
x
∵理想流体，∴=0
左表面
y
p dx P p A ( p ) dydz M M 2 x p dx 右表面 P p A ( p ) dydz N N 2 x
2 2 2 2 2 2 ，例： 拉普拉斯算符 x y z 2
2 2 2 u u u x x x u x 2 2 2 x y z 2

第三节 流体动力学基本方程式
第四节 欧拉运动微分方程的积分
由于欧拉运动微分方程是一个一阶非线性偏微分方程组（迁移加速度的三 项中包含了未知数与其偏导数的乘积），因而至今还无法在一般情况下积分， 只能在一定条件下积分。 欧拉运动微分方程组各式分别乘以dx，dy，dz（流场任意相邻两点间距ds 的坐标分量），然而相加得：
du p p p du du y x 1 z ( Xdx Y Zdz dy ) ( dx dy dz ) dx dy d x y z dt dt dt

流体力学-第三讲,流体力学基本方程组

流体力学-第三讲,流体力学基本方程组
23
--------式(5) 为积分形式的动量方程
dui d
pn
dt
n
fid n j jids
(6)
s
ji为应力张量,是对称张量
ji — —i为作用面方向，j 为面力方向
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13
d ui dt
d
f i d
s
n j
jids
(6)
pn n
为应力张量
ji — —i为作用面方向，j 为面力方向
s
pn
则：作用在τ和s上的总质量力和面积力为:
F
fd
(1)
pnds
(2)
s
体积τ内流体的动量为：
ud
(3)
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于是动量定理可以写成：
d dt
ud
f d
s
pnds
（4）
把雷诺第二输运方程
d dt
F d
dFd
dt
应用于式(4)
du d
dt
f d
s
pnds
(5)
也可表达为
第三章 流体力学基本方程组
➢ 雷诺输运方程 ➢ 连续性方程 ➢ 运动方程(动量方程) ➢ 能量方程
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1
第一节 雷诺输运方程
一、 随体导数
dF dt
F t
ui
F xi
F t
u
F
以欧拉空间坐标所表示的流体质 点的运动属性对时间的全导数.
二、 雅可比行列式的时间导数 :
dJ ui J uJ
ui
0
(3b)
7
d ivu
u
u

大学物理 第1-3章 经典力学部分归纳总结

大学物理 第1-3章 经典力学部分归纳总结
t r r r v − v0 = ∫ a ⋅ dt t0 t r r r r − r0 = ∫ v ⋅ dt t0
运用
分
和
dv dv dx dv a= = ⋅ =v dt dx dt dx
3
知识点回顾
第二章 质点动力学
2、牛顿三定律？ 、牛顿三定律？
r ∑Fi = ma
i →
—— 为什么动？ 为什么动？ 力？
功是能量交换或转换的一种度量
v v 2、变力作功 、 元功： 元功： dW = F ⋅ dr = Fds cosθ b b v v b W = ∫ F cosθ ds = ∫ F ⋅ dr = ∫ (Fxdx + Fy dy + Fz dz)
a( L) a( L) a( L)
3、功率 、
v v dW F ⋅ dr v v P= = = F ⋅ v = Fv cosθ dt dt
隔离木块a在水平方向绳子张力t和木块b施于的摩擦力?根据牛顿第二定律列出木块a的运动方程?同样隔离木块b分析它在水平方向受力情况列出它的运动方程为17一个质量为m的梯形物体块置于水平面上另一质量为m的小物块自斜面顶端由静止开始下滑接触面间的摩擦系数均忽略不计图中hh均为已知试求m与m分离时m相对水平面的速度及此时m相对于m的速度
15
•解：以地面为参考系。隔离木块A，在水平方向 解 以地面为参考系。隔离木块 ， 绳子张力T 和木块B施于的摩擦力 绳子张力 和木块 施于的摩擦力
v t2 v v v v v 动量定理： 动量定理： I = ∫ ∑ F dt = ∑ p2 − ∑ p1 = ∑ mv2 − ∑ mv1
t1
v v v v 角动量定理： 角动量定理： M ⋅ dt = dL = d ( r × mv )

欧拉运动方程及其积分详解

欧拉运动方程及其积分详解
傅里叶变换法
将欧拉运动方程中的时间和空间变量进行傅里叶变换，通过求解变换后的常微分方程得到解析解。
近似积分方法
泰勒级数法
将欧拉运动方程中的非线性项进行泰勒级数展开，通过求解近似线性化的常微分方程得 到近似解。
多项式拟合法
利用已知的初值条件和时间步长，通过多项式拟合的方法逼近物体的运动轨迹，得到近 似解。
发展历程
随着科学技术的不断进步，欧拉运动方程在理论和应用方面得到了不断发展和完 善，对于推动力学和其他学科的发展起到了重要作用。
02
欧拉运动方程的数学表达
位置和速度的表示
位置表示
在二维平面中，物体的位置可以用二维向量表示，例如$r = (x, y)$。在三维空间中，物体的位置可以用三维向量表示， 例如$r = (x, y, z)$。
速度表示
速度是位置对时间的导数，可以用向量表示为$vec{v} = frac{dvec{r}}{dt}$。在二维平面中，速度向量可以表示为 $vec{v} = (v_x, v_y)$；在三维空间中，速度向量可以表示为 $vec{v} = (v_x, v_y, v_z)$。
力和加速度的表示
力表示
力是作用在物体上的外力，可以用向量表示为$vec{F}$。在二维平面中，力向量可以表示为$vec{F} = (F_x, F_y)$；在三维空间中，力向量可以表示为$vec{F} = (F_x, F_y, F_z)$。
04
欧拉运动方程的应用实例
在物理中的应用
01
02
03
刚体动力学
欧拉运动方程可以描述刚 体的旋转和直线运动，是 刚体动力学的基本方程之 一。
陀螺仪
欧拉运动方程在陀螺仪的 应用中非常重要，用于描 述陀螺仪的旋转运动和进 动。

2.4欧拉运动方程及其积分概述


z
中心点处沿三个方向的单位质量彻体力： fx , fy , fz
2.4.1 欧拉运动方程
x方向的表面力为：
p dx p dx p p dydz p dydz dxdydz x 2 x 2 x
x 方向的彻体力为：
f x dxdydz
的围线 L的环量仍等于 S 面上各点的二倍角速度与面积 dS
点积：
§ 2.5.2 环量与涡量的关系
V ds 2 dS rot V dS
L S S
展开即：
(udx vdy wdz)
L
w v u w v u ( ) cos(n, x) ( ) cos(n, y ) ( ) cos(n, z )dS y z z x x y s
z
γ
dS
2
S
z
dS
dS
S
平面问题的涡通量
空间问题的涡通量
在三维空间问题中，涡通量就是：
2 dS 2 cos dS
S S
式中的S 是任意形状空间曲面，γ是曲面上微面积 dS 的法 线和ω的轴线之间的夹角。
§ 2.5.2 环量与涡量的关系
在有旋流动中，速度环量与涡量存在着十分密切的联系。 为说明这个联系，首先考察二维流场。
说明在无旋流动中，沿着任意一条封闭曲线的速度环量均等于 零。但是对有旋流动，上述结论并不成立，绕任意一条封闭曲 线的速度环量一般不等于零。
§ 速度之二倍，如平面问题中
的2ωz ， 称为涡量，涡量是个纯运动学的概念。
在三维流里，流体微团可以有三个方向的角速度 ωx ,ωy ,ωz ,三者合为一个合角速度是：

机械系统动力学 第三章 机械系统运动微分方程的求解2


3-3机械系统的运动方程求解方法-半解析数值法
解： 2）求 与 t之间的关系
图3-3-9 等效力矩与时间的关系 图3-3-8 等效转动惯量的导数的变化规律
3-3机械系统的运动方程求解方法-半解析数值法
图3-3-10 曲柄角速度与时间的关系
3-3机械系统的运动方程求解方法-半解析数值法
二、等效力矩是等效构件和角速度的函数 Me Me ,
3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法
3-2-1 欧拉法
对于常微分方程的定解问题，形如
y f (x, y)
y(x0 )
y0
3-2-1
所谓数值解法, 就是寻求解 y(x) 在一系列离散节点
x1 x2 xn xn1 上的近似值 y1, y2 , , yn , yn1 。
相邻两个节点的间距 hn xn1 xn
一、等效力矩是等效构件转角的函数时，即 M e M e
对上式积分：
ห้องสมุดไป่ตู้ 1
2
J e
2
1 2
J e0 02
0
Me
d
W
J e0 0 2 2W Je
3-3机械系统的运动方程求解方法-半解析数值法
由 d dt d
dt
t t0
d 0
例3-3-1：对于3-2-1所示的偏置曲柄滑块机构，若已
2!
3! t
3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法
3-2-2 Newmark- 法
x(t t) x(t) x(t)t x(t) t2 x (t) t3 o(t4)
2!
3!
线性加速度法的迭代公式 1
大致具有3阶精度，将上式的最后一项中
即为Newmark- 法。其迭代公式为

大学物理(上册)_运动的描述(3)

t
a(m s-2 )
15 1 0 0 20 50
t( s )
1 1 2 v 1 v 0 tdt t 0 2 4 t t 1 1 3 2 h1 h0 v1dt t dt t 0 0 4 12
t 20s :
v 100m s-1
h 666.7 m
t 2 20t 200 h2 h v 2dt 666.7 ( )dt 20 20 12 3 3 8916 .7 m
50 50
[例3]已知：x-t 曲线为如图所示抛物线
求：
x m
a-t，v-t 图，运动方程 解： 1）质点作何种运动？
x-t 曲线为抛物线（二次曲线）
求： v ( t ) ,
x( t )
解：
dv a dt d v ad t
dx v dt dx vdt

v
v0
dv

0
t
0
ad t

x
x0
dx

t
0 t
vdt vdt *
v v0
t
adt
x x0
0 t
v v 0 adt *
0
t
x x0 vdt
50
初始条件：v0 0; h0 0;
v v0
0
50 1 1 tdt 10 ( t 20 )dt 475 m s -1 20 2 6
或从曲线下的面积求出
v v0

t
0
adt
高度分两段算：
前阶段的末状态即后阶段 的初状态。
0 20s : 1 a1 t 2 初始条件：v 0 0; h0 0讲

1.5运动积分

s s 1 n 1 n ri ri ri ri ) ( ) T mi vi vi mi ( q q 2 i 1 2 i 1 t t 1 q 1 q
展开上式并交换求和:
s n 1 s n ri ri ri ri 1 n ri 2 q ( mi mi ( ) T ( mi )q )q 2 1 i 1 q q q t 2 i 1 t 1 i 1
E p E p x E p x 2 x1 E p x 2 x1
在这样的条件下，坐标1和2所受的力分别为
E p x E p F1 x1 x x1 x E p E p x E p F2 x 2 x x 2 x
ri 当 0, H T2 T0 V E t ri 当 0, T0 0, T T2 , H T2 V T V E ; t
对于完整的有势系，若L不显含t，且体系受定常约束时， 系统的H(即系统的机械能)能量积分表明系统的机械能守恒; 而L不显含t，但体系受非定常约束时,系统的H广义能量积分.
对于保守系统，动量守恒的条件简化为合外力为零。 若整个力学系统所受合力为零，则其动量守恒。如碰撞过程。
动量守恒实例
• 一质量为m的质点在重力场中运动,取直角坐标x、y、z为广义坐标 拉氏函数为
T 1 2 y 2 z 2 ), m( x 2 L T U 1 2 y 2 z 2 ) mgz m( x 2
参考：运动积分实例
例：圆锥面上质点，质量为m，约束在半顶角为α的圆锥
面上运动，求其运动积分。
解 ： 自 由 度 为 2， 约 束 方 程 为 z rctg 取柱坐标 ( r , , z )中 的r ,为 广 义 坐 标 ，
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周期运动:振动 x1->x2->x2, 时间可逆
Now：逆问题，类比于傅立叶变换等 已知周期关于能量函数，如何反推势能曲线？ 寻找投影算符
X1,x2相同势能点而中间皆有动能＝>非唯一函数 =>分段处理，且只有1个势能最小点
U(x)的不确定性，附加空间反演对称性要求
二体问题：
对称性＝>能量、动量、角动量守恒
Note：不变量关系和约束的区别 前者不能用来简化L，后者可以。 原因：前者在虚位移小变，不变的只是真实位移下的 时间的依赖关系，后者在虚位移下不变。
一维体系：
1 .2 L m x U ( x) 2
.2 1 L a (q ) q U (q ) 2
运动积分：能量守恒条件
. L m .2 H E . . r L x U ( x) 2 r
VS 动力学方程
.. L d L U ( ) 0 m x F ( x) => 求解麻烦 q dt q x
由能量这个运动积分表达式可得
这里虽然没有明显求解出路径，但是求出了其反函数关系，这是重点。
性质：
U ( x) E
动能大于0＝> 可能的运动区间 ＝> 动能为0的位置；周期运动；运动的定域相关性
更具体些：椭圆、双曲线性质
计算椭圆运动周期：
运动径向长度时间关系
积分技巧同上一样 定义
进一步
Problem: 库仑斥力情况
运动轨道等性质。。。。
更多其他势下的性质，可作为研究起点。。。 (最重要的2个基本势：库仑势(1/r)、谐振子势r^2)
应用动量守恒，选取参照系，使得该参照系下总动量为0 =>总动量相应的质心不动，并平移至原点。 r r1 r 2 R m1 r 1 m2 r 2 0
得到新的坐标（广义坐标，物理意义不直观）
新坐标下的L
其中定义
折合质量、质心的概念是一个层次上，退耦合
由此，通过动量守恒，等价到单质点问题； 进一步，应用其他守恒关系来化间广义坐 标
q f (C1 ,......, C2 s , t ) q2,3,.....,n f 2,3....., n (C1 ,......, C2 s , q1 )
Now： 可以设想，对自由度比较少的体系，不需要 考虑运动方程而只需要应用不变量关系，就可求解其 运动关系 ，或者，对多自由度体系，即使运动积分不 能完全确定体系的运动解，也可以至少给出一部分内 容。自由度：1，2，3。。。。。 有趣的具体体系：一维运动(周期)、有心立场
封闭曲线运动条件
m，n 整数
Problem1：
Problem2：
r=0?
补充：守恒量和运动积分关系 (1) 运动积分是独立守恒量，2s-1个，广义坐标速度的函数. (2) 上面7个是有物理意义的守恒量，部分情况下，并不独立. 题: 写出三维自由质点的运动积分 2s-1=5个，
x x0 t x vx x x0 vxt y v y v y0 (常数) x x x0 (既角动量) y y0 v y t y y0 v y z z x z (常数) vx y 0 z z0 v z t vx x x0 z z0 z y vx 本身3动量or速度也是独立常数 故5个运动积分，7个守恒量并不独立！
第三章：运动方程的积分 (体系的不变量)
1：运动方程： Euler-Lagraingian 方程: 2s个
L T V L(q , q , t ) L d L q dt ( q ) 0
2：体系的几种不变性：
时间平移不变 空间平移不变 空间转动不变
取x0 0
15. 应用至万有引力情况：
0
先讨论轨道： 积分
积分公式：

1/ r dr
2
2
ab/r c/r a b / r c / r2 dx d arccos x 1 x2

d1/ r
性质讨论：
定义 轨道
பைடு நூலகம்
E 0 e 1: 椭圆 E 0 e 1: 双曲线，抛物线
＝> 给定初始角动量后，“质点”只在垂直于该角动量的平面内运动！
平面运动，由此平移到该平面，应用极坐标
x r sin y r cos
＝>
x r sin r cos y r cos r sin
. . .
.
.
.
z0
角动量守恒：
几何意义
书上解释欠妥(or 书上P30页的解释不够清晰)
. . L(r , r , t ) L(r , r , t 1 ) . . L(r , r ) L(r 2 , r ) . . . L(r , r ) L(r r , r r )
能量守恒
2个一阶微分方程，可解
（1）
（2）
注意性质: （唯象工作、应用工作时候特别注意的地方）
（2）反应了整体轨道；（1）反应了长度随时间关系
进一步，r方向运动等效于一维运动
Vs. 一维运动特点 周期运动等
具体点，r方向周期运动时，角度方向是否一起也周期运动
(r0 , 0 ) (r0 , 0 ') (r0 ', 0 )
相应地有运动积分(不变量)
. L H E . . r L r n n L P . p 1 r 1 L M r . r p r
注意：对特定的s个自由度体系，状态量为2s个，运动积分有 2s-1个，而上面几个则是普遍的，联系着时空的对称性。