(结构动力学讲义)运动方程的建立

h—框架结构的高度 E—弹性模量 Ib和Ic—梁和柱的截面惯性矩
ρ→∞：
k
24EIc h3
ρ→0
：
k
6EIc h3
2.1 基本动力体系
3. 阻尼力（Damping Force）
阻尼：引起结构能量的耗散，使结构振幅逐渐变小的一种作用 阻尼来源（物理机制）： (1)固体材料变形时的内摩擦，或材料快速应变引起的热耗散； (2)结构连接部位的摩擦，结构构件与非结构构件之间的摩擦； (3)结构周围外部介质引起的阻尼。例如，空气、流体等。
非保守力做功的变分等于0。
t2 (T V )dt t2 Wncdt 0
t1
t1
Wnc Pncju j
j
其中：
T —— 体系的总动能； V —— 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能； Wnc—— 作用于体系上非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）所做的功； δ —— 指（在指定时间段内）所取的变分。
p(t) fI fD fs 0 fI mu fD cu fs ku
mu cu ku p(t)
图2.8 单质点体系的受力分析
2.2 运动方程的建立
3. 虚位移原理
虚位移原理的优点：虚位移原理是建立在对虚功分析的基础之 上，而虚功是一个标量，可以按代数方式运算，因 而比Newton第二定律，或D’Alembert原理中需要采 用的矢量运算更简便。
对如下图所示结构体系，用虚位移原理建立方程更简便一些
2.2 运动方程的建立
4. Hamilton原理
应用变分法来建立结构体系的运动方程。 动力学中广泛应用的变分法是Hamilton原理 体系的平衡位置是体系的稳定位置，在稳定位置，体系的能量取得极值, 一般是极小值。

结构动力学运动控制方程分段解析法1. 引言1.1 概述在工程领域中，结构动力学是研究结构物体受外界力或激励下的响应和振动特性的一门学科。

结构动力学广泛应用于建筑、桥梁、飞机等领域，对于确保结构物的安全性和稳定性具有重要意义。

随着现代科技的发展，运动控制方程在结构动力学中扮演着至关重要的角色。

通过运动控制方程，我们可以深入理解和预测结构物运动的规律，并为其设计合适的控制策略。

因此，研究和解析这些方程是结构动力学研究中必不可少的一部分。

1.2 文章结构本文将按照以下顺序进行组织和阐述：首先，在第二部分中，我们将简要介绍结构动力学的定义和原理，以及涉及到的动力学方程。

接着，在第三部分中，我们将详细介绍分段解析法作为一种常见的求解方法，包括其基本原理、算法步骤以及相关应用案例。

在第四部分中，我们将描述所设计实验的参数设置，并对实验结果进行分析和讨论。

最后，在第五部分中，我们将总结本文的主要结论，并展望未来研究方向。

1.3 目的本文的主要目的是通过对结构动力学和运动控制方程的介绍，以及分段解析法的应用案例分析，进一步加深对相关理论和方法的理解。

同时，希望为研究者提供一个清晰、系统的框架，以便于更好地理解和应用这些内容。

鉴于分段解析法在结构动力学领域具有广泛应用和良好效果，本文还旨在为读者提供相关方法在实际工程问题中的指导参考。

2. 结构动力学2.1 定义和原理结构动力学是一门研究物体在受到外部力作用下的运动规律的领域。

它主要涉及质点的运动学和动力学，以及刚体与弹性体的运动特性。

在结构工程中，结构动力学用于分析和预测建筑物、桥梁、飞机等工程结构在自然环境或人为作用下的响应情况，并提供相应的设计依据。

2.2 动力学方程结构动力学理论通过牛顿定律和哈密顿原理等基本原理推导出结构系统的运动方程。

这些方程描述了结构物各个部分之间的相互关系，并包括质量、刚度、阻尼等参数。

根据实际工程问题，可以选择合适的数值解法求解这些方程，从而得到结构系统随时间变化的运动状态。

∂T ∂V d ∂T ( )− + = Pncj (t ), & dt ∂u j ∂u j ∂u j
其中： T —— 体系的动能；
j = 1,2,L , N
V —— 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能； Pncj ——与 uj 相应的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）。
– 红色部分为引入动力自由度概念的目的，蓝色部分为实 现此目的的手段。 – 概念中的“全部”、“独立”两个条件非常关键。
• 严格来说，所以结构体系质量都是连续分布的，为无限自 由度体系，研究比较困难。但许多情况下，可以作一定的 简化，变为有限自由度体系。 • 简化并确定结构动力自由度最典型的方法：集中质量法
动能
1 & mu 2 转动质量 2
T =
1 &2 Jθ 2
1 2 V = ku 转动弹簧 2
1 &2 V = kθ θ 2
位能
1 1 & & &j T = ∑ ∑ mij u i u j = ∑ m j u 2 2 i j 2 j
V =
1 ∑ ∑ kij ui u j 2 i j
∫
1 体系的动能：T = mu 2 & 2
粘滞(性)阻尼力可表示为：
& f D = -cu
D — 表示阻尼（damping） c — 阻尼系数（Damping coefficient）
k c
u m
f S(t) m f D(t) f I (t)
& u — 质点的运动速度
阻尼系数 c 的确定：
• 不能像结构刚度 k 那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸等 来获得，因为 c 是反映了多种耗能因素综合影响的系数， 阻尼系数一般是通过结构原型振动试验的方法得到。 • 粘性（滞）阻尼理论仅是多种阻尼中最为简单的一种。 • 其它常用的阻尼：

线弹性体系：由线性弹簧(或线性构件)组成的体 系。
—最简单的理想化力学模型。
阻尼弹性体系：当线弹性系统中进一步考虑阻尼 影响时
15/45
2.1 基本概念
阻尼系数 c 的确定： 不能像结构刚度k那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸和
材料的力学性质等来获得，因为c是反映了多种耗能因 素综合影响的系数，阻尼系数一般是通过结构原型振 动试验的方法得到。 粘性(滞)阻尼理论仅是多种阻尼中最为简单的一种。 其它常用的阻尼： 摩擦阻尼：阻尼力大小与速度大小无关，一般为常数； 滞变阻尼：阻尼力大小与位移成正比(相位与速度相同)； 流体阻尼：阻尼力与质点速度的平方成正比。
方向指向体系的平衡位置。
fs ku
fs
k
1
a
d
-u0
O
b
u u0
fs k
1
u
s— 表示弹簧(Spring)
c
(a)
k— 弹簧的刚度(Spring Stiffness)
u— 质点位移
(b)
11/45
2.1 基本概念
2.1.5 惯性力（Inertial Force）
惯性：保持物体运动状态的能力。 惯性力：大小等于物体的质量与加速度的乘积，
动力自由度的定义：结构体系在任意瞬时的一切可能的 变形中，决定全部质量位置所需的独立参数的数目称 为结构的动力自由度(数)。
4/45
2.1.1 广义坐标与动力自由度
静力自由度：确定结构体系在空间中位置所需的独立参 数的数目称为结构的自由度。
动力自由度：决定结构体系质量位置所需的独立参数的 数目称为结构的动力自由度(数)。
结构动力学
教师：刘晶波 助教：王东洋
清华大学土木工程系 2015年秋

12
承受动力荷载的任何线性结构体系的主要物理特性是体系的质量、弹 性特性（刚度或柔度）、能量耗散机理或阻尼、以及外部扰力或荷载
单自由度
c
体系模型
k
y (t )
F(t) m
▪ 质量块m，用来表示结构的质量和惯性特性 ▪ 自由度只有一个：水平位移 y(t) ▪ 无重弹簧，刚度为 k，提供结构的弹性恢复力 ▪ 无重阻尼器，阻尼系数c，表示结构的能量耗散，提供结
y P (FI FD )
改写成：
FI
FD
1
y
P
28
位移方程：
FI
FD

1
y
P
其中：
p为动荷载 q(t) 引起的质量沿y方向的位移：
q (t)y(t )
P
5l 4 384 EI
q(t )
惯性力： FI my 阻尼力： FD cy
为自由度方向加单位力所引起的位移，即柔度： 由此得到体系的运动方程：
my cy ky F(t) (2-3)
y(t )
EI l 1
my
cy
12EI
l13
12EI l23
y
FP (t)
12EI 12EI
令： k FS1 FS 2 l13 l23
；k 为（等效）刚度系数。
由此得到体系的运动方程： my cy ky FP (t)
运动方程与(2-3)的形式是一样的！
my cy ky F(t)
（2-3）
14
直接平衡法(达朗贝尔原理)
直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任 一时刻的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性 力作为附加的虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作 用在结构上的外荷载，使体系处于动力平衡条件， 按照静力学中建立平衡方程的思路，直接写出运动 方程。

p(t)

m
d
2u(t) dt 2

mu(t)
3.2.1.1-2
式中： mu(t) 称为抵抗质量加速度的惯性力。
直接平衡法
通过动力体系各质点的力矢量平衡关系建立运动方程 的方法。质量所产生的惯性力与它的加速度成正比，但方 向相反。这一概念称为达兰贝尔原理。借助该原理可以把 运动方程表示为动力平衡方程。方程中的力包括多种作用 于质量上的力，如抵抗位移的弹性恢复力、抵抗速度的粘 滞阻尼力以及其它独立确定的外荷载。因此，运动方程的 表达式仅仅是作用于质量上所有力（包含惯性力）的平衡 表达式。在许多简单问题中，直接平衡法是建立运动方程 的最直接而且方便的方法。
当结构体系相当复杂，且包含许多彼此联系的质量点 或有限尺寸的质量块时，直接写出作用于体系上的所有力 的平衡方程可能是困难的；尽管作用于体系的力可以容易 地用位移自由度来表示，但它们的平衡关系则可能十分复 杂。此时，利用虚位移原理建立运动方程更为方便。
例：假设给图 3.2.1.1（b）所示体系一个虚位移u （仅仅 是体系约束所允许的微小位移），则作用于体系的全部力都将做 功，体系所作的总功可写作
t2 [muδu cuδu kuδu p(t)δu]dt 0 t1
3.2.1.3-2
利用关系 δu d(δu) / dt ，上式中的第一项可表示为如下的分部积分：
t2 muδudt muδu t2 t2 muδudt
t1
t1
t1Biblioteka 3.2.1.3-3哈密尔顿原理假定变分 u 在积分限 t1 和 t2 时为零，故方程 3.2.1.3-3 右边第一项为
牛顿第二运动定律
任何质量 m 的动量变化率等于作用在这个质量上的力。这一关系在

结构的动力自由度
结构动力学和静力学的一个本质区别：考虑惯性力的影响 结构产生动力反应的内因（本质因素）：惯性力 惯性力的产生是由结构的质量引起的 动力自由度（数目）：动力分析中为确定体系任一时刻全部质量的几何位置 所需要的独立参数的数目。
独立参数也称为体系的广义坐标，可以是位移、转角或其它广义量。
第5章 单自由度体系对任意荷载的反应
5.1 时域分析方法―Duhamel积分（脉冲荷载作为Duhamel积分法的应用） 5.2 频域分析方法―Fourier变换 5.3 数值积分法―时域逐步积分：中心差分法、Newmark-β法、Wilson-θ法 5.4非线性结构反应：非线性、增量平衡方程、逐步积分 5.5 结构地震反应初步：运动方程、反应谱
(a)与广义坐标法相似，有限元法采用了 形函数的概念，但不同于广义坐标法在全 部体系(结构)上插值(即定义形函数),而是 采用了分片的插值(即定义分片形函数)， 因此形函数的公式(形状)可以相对简单。 (b) 与集中质量法相比，有限元法中的 广义坐标也采用了真实的物理量，具有直 接、直观的优点，这与集中质量法相同。
nx u ( x, t ) bn sin L n 1



n 1

bn (t ) sin
nx L
sin(.)— 形函数（形状函数），给定函数，满足边界条件 bn(t)— 广义坐标，是一组待定参数，对动力问题是作为时间的函数
u ( x, t )

n 1
N
bn (t ) sin
nx L
结构动力学
第一章 概 述
1.1 动力问题的基本特征
动力问题：地震作用下建筑结构的震动； 风荷载作用下大型桥梁、高层结构的振动； 机器转动产生的不平衡力引起的大型机器基础的振动； 车辆运行中由于路面不平顺引起的车辆振动及车辆引起的路面振动； 爆炸荷载作用下防护工事的冲击动力反应； 海洋工程结构在波浪、冰激、台风等动力荷载作用下的反应； 等等，量大而面广 。

M MD Q 0 EIy(4) cb y (4)I q(x,t) ca y my
EIy(4) cb y (4)I q(x,t) ca y my
2.滞变阻尼 不计阻尼时 计阻尼时
EIy(4) q(x,t) my(x,t)
(1 i )EIy(4) q(x,t) my(x,t)
二.考虑轴力对弯曲的影响时的弯曲振动方程
Fy 0
dQ q(x) dx
M 0
dM Q N dy
dx
dx
y
Q dM N dy dx dx
dQ M (x) Ny(x)
N
dx
M (x) Ny(x) q(x)
q( x, t )
N
m
x
y( x, t )
dx
y
M
dy N
M dM
M (x) EIy(x) [EI (x) y(x)] q(x) Ny
习题：1.求剪切杆的运动方程。 2.求拉压杆的运动方程。
x
x
q( x, t )
ml GA
y
q( x, t )
m EA
l
A
m/A
mI
m
A
I
mr 2
dA A
zdA1
3.运动方程
Fy 0
（x, t)mr 2
M
my(x,t) q( x, t )
dQ q(x,t) my(x,Q
dM Q mr2(x,t)
dx
4.物理方程
M EI Q kGA
5.方程整理 几何方程： dy
dx
物理方程： M EI Q kGA
运动方程： dQ q(x,t) my(x,t) dx dM Q mr2(x,t)

k 2k
y1 y2
0 0
m
M
0
0
k
m, K k
k
2k
解：①由频率方程求固有频率
K 2M 0 k m2
k 0
k 2k m2
展开上式得：(k m2 )(2k m2 ) k 2 0
2 1, 2
3k m
9k 2m2 4k 2m2 2m2
1 0.62
k, m
2 1.62
M20 0
M 21
y2 0
M1y1
M11
列力平衡方程为：M11 M1y1 0 M11 M1 M 21 0, M 31 0
同样的分析可以求得：M12 0, M 22 M 2 , M 23 0; M13 0, M 23 0, M 33 M 3;
所以，得到质量矩阵为： M1 0 0
k2
k3
P
p1 (t) p2 (t)
二、柔度矩阵法 用柔度矩阵法或者刚度矩阵建立方程本质上也是基于力的 动平衡来建立方程，关键在于求柔度系数或刚度系数。
例题 3-2 梁的跨长为 l ,梁上有两个集中质量 M1 和 M 2 ，分别受 到集中力 p1 (t) 和 p2 (t) 的作用。不计梁自身的质量和阻尼，建立 系统的垂向振动方程.
上面的方程为惯性解耦，刚度耦合方程。
kij 的物理意义：j 坐标发生单位位移，其余坐标位移全部为
零时, i 坐标引起的恢复力。
mij 的物理意义：仅在 j 坐标发生单位加速度时,在第 i 坐标所产生 的惯性力.
用柔度矩阵法建立的一般方程：
Y (P MY)
两边同乘以 1
1Y 1(P MY)
例题:针对下图给出的系统，建立振动微分方程。

2014-04-19
第二章 结构动力方程的建立
结构动力学
第一节 达朗贝尔原理 第二节 虚位移原理及应用
结构动力方程的建立
第三节 拉格朗日方程及应用
第四节 哈密顿原理及其应用
汪梦甫
退出
第一节
达朗贝尔原理
1.一个自由度的质点运动 设在质量m上沿y的正向作用一个力P(t)(称为主动
在动力计算中需要列出运动方程，通常应用得 较多的一种方法是直接平衡法。它是根据达朗贝尔 原理将惯性力假想地加在质量上，然后当作平衡状 态去建立动力平衡方程，故该法又有“惯性力学” 之称。 下面扼要阐述达朗贝尔原理。
U W
或写成：
We W Wd U qi qi i qi qi (i 1,2,, k ) qi qi qi qi
在上式中惯性力所作虚功可改用质量的动能来表示。
U W qi qi qi qi
退出 退出
7
2014-04-19
设以 T表示质量的动能，则有：
0
l
u udx
0
l
m* m 2 ( x)dx M 2 (l )
0
l
c* c( x) 2 ( x)dx
0 l
l
u( x, t ) ( x)q(t )
( Mg 2 ( x)dx)q q
0
l
kG q q
q W阻尼 c*q
kG Mg ( x)dx
2 0
* U弯曲 kE q q
l
* kE EI ( )2 dx 0
l
kG Mg 2 ( x)dx
0
p* p( x) ( x)dx
0

my cy ky FP (t)
§2-5 广义单自由度体系：刚体集合
➢刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性 元件中）
➢分布弹性（弹性变形在整个结构或某些 元件上连续形成）
➢只要可假定只有单一形式的位移，使得 结构按照单自由度体系运动，就可以按 照单自由度体系进行分析。
E2-1
x
p( x,t
)
=p
x a
作用时间： 恒载 活载 作用位置： 固定荷载 移动荷载 对结构产生的动力效应： 静荷载 动荷载
静荷载： 动荷载：
大小、方向和作用点不随时间变 化或变化很缓慢的荷载。
大小、方向或作用点随时间变化 很快的荷载。
快慢标准： 是否会使结构产生显著的加速度
显著标准： 质量运动加速度所引起的惯性力 与荷载相比是否可以忽略
FP (t ) FI FD FS1 FS2 0
其中各力的大小：
惯性力： FI my 弹性力Fs=Fs1+Fs2： 位移法：柱子一端产生单位平移时的杆端剪力
1
12i
l2
柱端发生平移 y 时产生的梁-柱间剪力：
EI
12 EI FS1 l13 y
12EI
FS 2
l
3 2
y
l
等效粘滞阻尼力： FD cy
大型桥梁结构 的有限元模型
第二章 运动方程的建立
定义
在结构动力分析中，描述体系质量运动规律的数学 方程，称为体系的运动微分方程，简称运动方程。
▪ 运动方程的解揭示了体系在各自由度方向的位移 随时间变化的规律。
▪ 建立运动方程是求解结构振动问题的重要基础。 ▪ 常用方法：直接平衡法、虚功法、变分法。
8
比较：
c k

对如下图所示结构体系，用虚位移原理建立方程更简便一些
2.2 运动方程的建立 4. Hamilton原理
可以应用变分法（原理）建立结构体系的运动方程。 体系的平衡位置是体系的稳定位置，在稳定位置，体系 的能量取得极值,一般是极小值。 Hamilton原理是动力学中的变分法（原理）。
2.2 运动方程的建立 4. Hamilton原理(积分形式的动力问题的变分方法)
∫
t2 t1
用 Hamilton 原理推导 Lagrange 方程 对于有 N 个自由度的结构体系，体系的动能和位能分别为:
& & & T = T ( u1 , u 2 , L u N , u1 , u 2 , L u N ) V = V ( u1 , u 2 ,L u N )
(a) (b)
因此动能和位能的变分为：
∫
∫
t2 t1
t2
t1
& & & [ muδu − cuδu − kuδu + p(t )δu]dt = 0
对上式中的第一项进行分部积分
& & & muδudt = ∫ mu(δ
t2 t1 t t t t d d & & & && && u )dt = ∫ mu (δu )dt = ∫ mud (δu ) = muδu tt − ∫ δu ⋅ mudt = − ∫ muδudt t t t t dt dt
结构动力学
（2004秋）
结构动力学
第二章
运动方程的建立
运动方程： 描述结构中力与位移关系的数学表达式 （有时称动力方程） 运动方程是进行结构动力分析的基础 运动方程的建立是结构动力学的重点和难点

结构动力学填空简答一、填空题1、消能减震技术包括：速度相关型消能减震装置，位移相关型消能减震装置，其他相关型消能减震装置2、调频减震技术包括：有调谐质量阻尼器(TMD)和调谐液体阻尼器（TLD) 、调谐液柱式阻尼器（TLCD) 振动控制系统3、地震动三要素：振幅、频谱、持时4、结构的固有特性：频率、振型，阻尼5、实验测量阻尼比的方法：对数衰减率法、共振放大法、半功率法6、逐步积分法的四个标准：收敛性、计算精度、稳定性、计算效率7、结构离散化方法：集中质量法、广义坐标法、有限元法8、基本力学原理及运动方程的建立：D’Alembert原理、虚功原理、哈密顿原理、拉格朗日方程、牛顿定理9、结构抗震试验方法：伪静力试验方法或低周反复加载、地震模拟振动台试验方法、伪动力试验方法或计算机联机试验10、等效阻尼比用在：等效线性化分析过程中11、常用的阻尼有：粘性阻尼、摩擦阻尼、滞变阻尼、流体阻尼12、测量振动量的仪器：加速度计、位移计、速度计13、单自由度体系对任意荷载的反应分析方法：时域分析法（杜哈梅积分计算）、频域分析法（傅里叶变换法计算）——适用于处理线弹性结构的动力反应问题14、常用的时域逐步积分法有：分段解析法、中心差分法、平均常加速度法、线性加速度法、Newmark-β法、Wilson-θ法15、常用的恢复力模型：当伯格-奥斯左德模型、克拉夫退化双线性模型、武田模型16、振型的归一化方法：特定坐标的归一化方法、最大位移的归一化方法、正交归一法17、恢复力曲线模型三个组成部分：骨架曲线、滞回特性、刚度退化规律18、确定恢复力曲线的方法：试验拟合法、系统识别法、理论计算法二、简答题1.结构动力学的广义研究内容、目的是什么？内容：结构动力学是研究结构体系的动力特性几起在动力荷载作用下的动力反应分析原理和方法的一门理论和技术学科目的：是确定动力荷载作用下结构的内力和变形，并通过动力分析确定结构的动力特性，为改善工程结构体系在动力环境中的安全性和可靠性提供坚实的理论基础。

刚度法是一种用于建立结构动力学运动方程的方法，它基于力的平衡条件来建立运动微分方程。

以下是使用刚度法求解结构运动方程的基本步骤：
1. 确定自由度：需要确定结构的独立位移数目，即自由度。

每个自由度对应一个广义坐标。

2. 列出平衡方程：对于每个自由度，根据达朗贝尔原理列出力的平衡方程。

这包括惯性力、弹性恢复力和阻尼力等。

3. 计算刚度系数：刚度系数是指结构在单位位移下产生的力。

对于多自由度体系，需要计算刚度矩阵，其中每个元素代表结构在某一点单位位移引起的力的变化。

4. 建立运动方程：将刚度系数与质量、阻尼系数结合，得到运动方程。

对于单自由度体系，运动方程通常形式为( m\ddot{y}(t) + c\dot{y}(t) + ky(t) = P(t) \)，其中\( m \) 是质量，\( c \) 是阻尼系数，\( k ) 是刚度系数，( P(t) \) 是外部荷载。

5. 求解方程：最后，通过适当的数学方法求解运动方程，得到结构响应的时间历程。

f S 1 k11 f k S 2 = 21 f SN kN1 k12 k22 kN 2 k1 j k2 j k Nj fS = ku k1N u1 k2 N u2 k NN u N
20/78
第2章 运动方程的建立
2.5.2 Lagrange方程法
21/78
例 如图所示一复合摆，摆的杆长分别为l1和l2，摆的质量 分别为 m1 和 m2 ，忽略杆的分布质量，建立体系无阻尼 自由运动方程，并讨论。 广义坐标q1和q2取为 杆1和杆2的转角。
为方便计算体系的动 能，也给出了直角坐 标系，在直角坐标系 中更容易建立体系的 势能和动能公式。
V j= c j ∆ j
阻尼力
1 + c2 ( u 1 − u 2 ) f D1 = c1u
f D1 fD2
2 − u 1 ) fD2 = c2 ( u
1 u c1 + c2 −c2 = or f D cu −c 2 c2 2 u
m1 0
u
1 0 u f D1 f S1 p1 ( t ) + + = 2 m2 u fD2 fS 2 p2 ( t )
m1 u1 = m 0 u2 0 fD = m2 f D1 = fS fD2 f S1 = p fS 2 p1 p2 Biblioteka （例子见后）8/78
第2章 运动方程的建立
2.4 地基运动的影响
9/78
地基运动问题： 结构的动力反应不是由直接作用到结构 上的动力引起的，而是由于结构基础的运动引起的。

2)任意时刻,各质点位移的比 值保持不变
几点说明： 1.按振型作自由振动时，各质点的 速度的比值也为常数，且与位移 比值相同。
1 (t ) Y111 cos(1t 1 ) Y11 y 2 (t ) Y211 cos(1t 1 ) Y21 y
2.发生按振型的自由振动是有条件的.
2 2
I 2 m
若为自由振动则有
Fp (t ) 0 ,于是:
1 (t ) k11 y1 (t ) k12 y2 (t ) 0 m1 y 2 (t ) k21 y1 (t ) k22 y2 (t ) 0 m2 y
或记作
k y 0 m y
k11 k12 m1 0 k 22 [ ] m22 [ ] k 21 k 22 0 m2 1 y 0 y1 21 [ ] y y 21 [ ] 021 [ ] 2 y2 0 y
y1 (0) Y11 , y2 (0) Y21
1 (0) Y11 y 2 (0) Y21 y
y1 (t ) Y11 sin( 1t 1 ) Y11 y2 (t ) Y21 sin( 1t 1 ) Y21
3.振型与频率是体系本身固有的属性, 与外界因素无关.
定义:体系上所有质量按相同频率作自由振动时 的振动形状称作体系的主振型。
(k11 m1 )
2
k12 (k22 m2 )
2
2
k21
0 ---频率方程
展开上式可得到一个关于 的二次方程
(k11 m1 2 ) k21
展开 整理后有：
k12 (k22 m2 )
2
0
---频率方程
2
(k11 m1 )(k22 m2 ) k12 k21 0