结构动力学第二章 运动方程的建立

结构动力学运动控制方程分段解析法1. 引言1.1 概述在工程领域中，结构动力学是研究结构物体受外界力或激励下的响应和振动特性的一门学科。

结构动力学广泛应用于建筑、桥梁、飞机等领域，对于确保结构物的安全性和稳定性具有重要意义。

随着现代科技的发展，运动控制方程在结构动力学中扮演着至关重要的角色。

通过运动控制方程，我们可以深入理解和预测结构物运动的规律，并为其设计合适的控制策略。

因此，研究和解析这些方程是结构动力学研究中必不可少的一部分。

1.2 文章结构本文将按照以下顺序进行组织和阐述：首先，在第二部分中，我们将简要介绍结构动力学的定义和原理，以及涉及到的动力学方程。

接着，在第三部分中，我们将详细介绍分段解析法作为一种常见的求解方法，包括其基本原理、算法步骤以及相关应用案例。

在第四部分中，我们将描述所设计实验的参数设置，并对实验结果进行分析和讨论。

最后，在第五部分中，我们将总结本文的主要结论，并展望未来研究方向。

1.3 目的本文的主要目的是通过对结构动力学和运动控制方程的介绍，以及分段解析法的应用案例分析，进一步加深对相关理论和方法的理解。

同时，希望为研究者提供一个清晰、系统的框架，以便于更好地理解和应用这些内容。

鉴于分段解析法在结构动力学领域具有广泛应用和良好效果，本文还旨在为读者提供相关方法在实际工程问题中的指导参考。

2. 结构动力学2.1 定义和原理结构动力学是一门研究物体在受到外部力作用下的运动规律的领域。

它主要涉及质点的运动学和动力学，以及刚体与弹性体的运动特性。

在结构工程中，结构动力学用于分析和预测建筑物、桥梁、飞机等工程结构在自然环境或人为作用下的响应情况，并提供相应的设计依据。

2.2 动力学方程结构动力学理论通过牛顿定律和哈密顿原理等基本原理推导出结构系统的运动方程。

这些方程描述了结构物各个部分之间的相互关系，并包括质量、刚度、阻尼等参数。

根据实际工程问题，可以选择合适的数值解法求解这些方程，从而得到结构系统随时间变化的运动状态。

第一章概述1．动力荷载类型：根据何在是否随时间变化，或随时间变化速率的不同，荷载分为静荷载和动荷载根据荷载是否已预先确定，动荷载可以分为两类：确定性（非随机）荷载和非确定性（随机）荷载。

确定性荷载是荷载随时间的变化规律已预先确定，是完全已知的时间过程；非确定性荷载是荷载随时间变化的规律预先不可以确定，是一种随机过程。

根据荷载随时间的变化规律，动荷载可以分为两类：周期荷载和非周期荷载。

根据结构对不同荷载的反应特点或采用的动力分析方法不同，周期荷载分为简谐荷载（机器转动引起的不平衡力）和非简谐周期荷载（螺旋桨产生的推力）；非周期荷载分为冲击荷载（爆炸引起的冲击波）和一般任意荷载（地震引起的地震动）。

2．结构动力学与静力学的主要区别：惯性力的出现或者说考虑惯性力的影响3．结构动力学计算的特点：①动力反应要计算全部时间点上的一系列解，比静力问题复杂且要消耗更多的计算时间②于静力问题相比，由于动力反应中结构的位置随时间迅速变化，从而产生惯性力，惯性力对结构的反应又产生重要的影响4．结构离散化方法：将无限自由度问题转化为有限自由度问题集中质量法：是结构分析中最常用的处理方法，把连续分布的质量集中到质点，采用真实的物理量，具有直接直观的优点。

广义坐标法：广义坐标是形函数的幅值，有时没有明确的物理意义，但是比较方便快捷。

有限元法：综合了集中质量法与广义坐标法的特点，是广义坐标的一种特殊应用，形函数是针对整个结构定义的；有限元采用具有明确物理意义的参数作为广义坐标，形函数是定义在分片区域的。

①与广义坐标法相似，有限元法采用了形函数的概念，但不同于广义坐标法在全部体系(结构)上插值(即定义形函数),而是采用了分片的插值(即定义分片形函数)，因此形函数的公式(形状)可以相对简单。

②与集中质量法相比，有限元法中的广义坐标也采用了真实的物理量，具有直接直观的优点。

5．结构的动力特性：自振频率、振型、阻尼第二章分析动力学基础及运动方程的建立1．广义坐标：能决定质点系几何位置的彼此独立的量；必须是相互独立的参数2．约束：对非自由系各质点的位置和速度所加的几何或运动学的限制；(从几何或运动学方面限制质点运动的设施)3．结构动力自由度，与静力自由度的区别：结构中质量位置、运动的描述动力自由度：结构体系在任意瞬间的一切可能的变形中，决定全部质量位置所需要的独立参数的数目静力自由度：是指确定体系在空间中的位置所需要的独立参数的数目为了数学处理上的简单，人为在建立体系的简化模型时忽略了一些对惯性影响不大的因素确定结构动力自由度的方法：外加约束固定各质点，使体系所有质点均被固定所必需的最少外加约束的数目就等于其自由度4．有势力的概念与性质：有势力（保守力）：每一个力的大小和方向只决定于体系所有各质点的位置，体系从某一位置到另一位置所做的功只决定于质点的始末位置，而与各质点的运动路径无关。

船体振动基础1第章多自由度系统的振第2章多自由度系统的振动一、引言二、两自由度系统的振动三、多自由度系统的振动四、振动方程建立的其他方法2有阻尼的多自由度系统振动1、拉格朗日方程式1、拉格朗日方程式P38拉格朗日法是建立微分方程一种简单的方法：先求出系统的动能、势能，进而得出质量矩阵和刚度矩阵.优点：系统的动能和势能都是标量，无需考虑力的方向。

141、拉格朗日方程式P38拉格朗日第二类方程式适用于完整约束的系统。

完整约束完整约束：当约束方程本身或约束方程通过积分后可以下式所示的形式表示时，称为完整约束。

不完整约束：当约束方程本含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完整约束。

具有不完整约束的系统，系统的自由度不等于广义坐标数自由度数小于广义坐标数于广义坐标数，自由度数小于广义坐标数。

151、拉格朗日方程式P3811•位移方程和柔度矩阵P40对于静定结构，有时通过柔度矩阵建立位移方程比通过对于静定结构有时通过m1x1x2以准静态方式作用在梁上。

梁只产生位移（即挠度），不产生加速度。

的静平衡位置为坐标P1=1 f11 f21 f12P2=1 f22（1）P1 = 1、P2 = 0 时 m1 位移：x1 = f11 m2 位移：x2 = f 21 （3）P1、P2 同时作用 m1 位移： 位移 x1 = f11 P 1 + f12 P 2 m2 位移：x2 = f 21 P 1 + f 22 P 2（2）P1 = 0、P2 = 1 时 m1 位移：x1 = f12 m2 位移：x2 = f 22P1 m1 x1 x2 P2 m2P1=1 f11 f21 f12 P1 m1 x1P2=1 f22 P2 m2 x2P 同时作用时 1、P 2 同时作用时：x1 = f11P 1 + f12 P 2 x2 = f 21P 1 + f 22 P 2矩阵形式 X = FP 矩阵形式：⎡ x1 ⎤ X =⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦f ij 柔度影响系数f12 ⎤ f 22 ⎥ ⎦⎡ f11 F=⎢ ⎣ f 21⎡P 1⎤ P=⎢ ⎥ ⎣ P2 ⎦物理意义： 系统仅在第 j 个坐标受到 单位力作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移柔度矩阵P1 m1 x1P2 m2 x2P1(t) m1 m2P2(t)&1 m1 & x&2 m2 & xX = FP⎡ x1 ⎤ ⎡ f11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 f12 ⎤ ⎡ P 1⎤ ⎢P ⎥ f 22 ⎥ ⎦⎣ 2 ⎦当P 1、P 2 是动载荷时 集中质量上有惯性力存在⎡ x1 ⎤ ⎡ f11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 f12 ⎤ ⎡ P && 1 (t ) − m1 x1 ⎤ ⎢ P (t ) − m & ⎥ f 22 ⎥ & x 2 2⎦ ⎦⎣ 2⎡ x1 ⎤ ⎡ f 11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21位移方程:f 12 ⎤⎛ ⎡ P1 (t ) ⎤ ⎡m1 ⎜⎢ −⎢ ⎥ ⎥ ⎜ f 22 ⎦⎝ ⎣ P2 (t ) ⎦ ⎣ 0&1 ⎤ ⎞ 0 ⎤⎡ & x ⎟ ⎥ ⎢ ⎥ &2 ⎦ ⎟ m2 ⎦ ⎣ & x ⎠&& ) X = F ( P − MXP1(t) m1 m2P2(t)⎡ x1 ⎤ X =⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦⎡P 1 (t ) ⎤ P=⎢ ⎥ P ( t ) ⎣ 2 ⎦&1 m1 & x&2 m2 & x位移方程 位移方程：&& ) X = F ( P − MX也可按作用力方程建立方程：&& + KX = P MX刚度矩阵&& + X = FP FMX柔度矩阵与刚度矩阵的关系 柔度矩阵与刚度矩阵的关系：&& KX = P − MX若K非奇异F=K−1FK = I&& ) X = K −1 ( P − MX应当注意：对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统） ， 柔度矩阵不存在。

刚度法是一种用于建立结构动力学运动方程的方法，它基于力的平衡条件来建立运动微分方程。

以下是使用刚度法求解结构运动方程的基本步骤：
1. 确定自由度：需要确定结构的独立位移数目，即自由度。

每个自由度对应一个广义坐标。

2. 列出平衡方程：对于每个自由度，根据达朗贝尔原理列出力的平衡方程。

这包括惯性力、弹性恢复力和阻尼力等。

3. 计算刚度系数：刚度系数是指结构在单位位移下产生的力。

对于多自由度体系，需要计算刚度矩阵，其中每个元素代表结构在某一点单位位移引起的力的变化。

4. 建立运动方程：将刚度系数与质量、阻尼系数结合，得到运动方程。

对于单自由度体系，运动方程通常形式为( m\ddot{y}(t) + c\dot{y}(t) + ky(t) = P(t) \)，其中\( m \) 是质量，\( c \) 是阻尼系数，\( k ) 是刚度系数，( P(t) \) 是外部荷载。

5. 求解方程：最后，通过适当的数学方法求解运动方程，得到结构响应的时间历程。