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第一章实验数据处理的基本方法我们每做一个物理实验，都是先对这个实验中的物理现象进行观察，然后通过相应的测量获得一些实验数据，最后经过对这些数据的处理得到最终的实验结果。
除了通过正确的原理和方法进行实验外，用正确的方法对实验数据进行处理，是获得合理的实验结果的关键。
本章主要介绍实验数据处理的基本方法。
其内容由以下两部分组成：第一部的主要内容是有效数字及其运算、实验误差的特点及克服方法、不确定度概念及其初步评定方法等。
第二部的主要内容是列表法、作图法、逐差法等常用的实验数据处理方法。
§1 有效数字及其运算一、直接测量和间接测量我们知道，量度物质的属性或描述物质的运动状态所用的各种量值叫做物理量，如长度、速度、热量、功、电流强度等。
测量是用实验方法获得物理量量值（测量值）的过程。
按照测量值获得方法的不同，测量分为直接测量和间接测量两种。
1.直接测量：是指不需要对被测量与其它实测量进行函数关系的辅助计算，直接从仪器或量具上得到被测量值的测量。
例如：用直尺测量长度；以秒表计时间；用天平称质量；用电流表测电流等。
这些用直接测量得到量值的物理量叫做直接测得量。
2.间接测量是指从一个或几个直接测量结果按一定的函数关系计算出来的的过程。
而用间接测量得到量值的物理量叫做间接测得量。
例如：在伏安法测电阻的实验中，用电流表直接测量流过待测电阻的电流I，用电压表直接测量待测电阻两端的电压U，然后欧姆定律R=U/I计算电阻的阻值R的过程，就是间接测量。
在这里，电流I和电压U是直接测得量，而电阻R是间接间接测得量。
二、有效数字的定义由于种种原因，用任何实验仪器直接测量的数值都不可避免地含有一定的误差，因此，测得的数据都只能是近似数。
由这些近似数通过计算而得到的间接测量值也一定是近似数。
显然，几个近似数的运算不可能使运算结果更加准确，而只会使其误差增大。
因此近似数的表示和计算都必须遵循一些规则，以便确切地表示和记录运算结果的近似性。
测量误差与不确定度评定一、测量误差1、测量误差和相对误差（1）、测量误差测量结果减去被测量的真值所得的差，称为测量误差，简称误差。
这个定义从 20 世纪 70 年代以来没有发生过变化，以公式可表示为：测量误差＝测量结果－真值。
测量结果是由测量所得到的赋予被测量的值，是客观存在的量的实验表现，仅是对测量所得被测量之值的近似或估计，显然它是人们认识的结果，不仅与量的本身有关，而且与测量程序、测量仪器、测量环境以及测量人员等有关。
真值是量的定义的完整体现，是与给定的特定量的定义完全一致的值，它是通过完善的或完美无缺的测量，才能获得的值。
所以，真值反映了人们力求接近的理想目标或客观真理，本质上是不能确定的，量子效应排除了唯一真值的存在，实际上用的是约定真值，须以测量不确定度来表征其所处的范围。
因而，作为测量结果与真值之差的测量误差，也是无法准确得到或确切获知的。
过去人们有时会误用误差一词，即通过误差分析给出的往往是被测量值不能确定的范围，而不是真正的误差值。
误差与测量结果有关，即不同的测量结果有不同的误差，合理赋予的被测量之值各有其误差并不存在一个共同的误差。
一个测量结果的误差，若不是正值（正误差）就是负值（负误差），它取决于这个结果是大于还是小于真值。
实际上，误差可表示为：误差＝测量结果－真值＝（测量结果－总体均值）＋（总体均值－真值）＝随机误差＋系统误差（2）、相对误差测量误差除以被测量的真值所得的商，称为相对误差。
2、随机误差和系统误差（1）、随机误差测量结果与重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差，称为随机误差。
随机误差＝测量结果－多次测量的算术平均值（总体均值）重复性条件是指在尽量相同的条件下，包括测量程序、人员、仪器、环境等，以及尽量短的时间间隔内完成重复测量任务。
此前，随机误差曾被定义为：在同一量的多次测量过程中，以不可预知方式变化的测量误差的分量。
随机误差的统计规律性：○1对称性：绝对值相等而符号相反的误差，出现的次数大致相等，也即测得值是以它们的算术平均值为中心而对称分布的。
(二) 测量不确定度、误差与最佳测量能力1 测量和测量不确定度的含义测量给出关于某物的属性，它可以告诉我们某物体有多重、或多长、或多热，即告诉我们量值有多大。
测量总是通过某种仪器或设备来实现的，尺子、秒表、衡器、温度计等都是测量仪器。
被测量的测量结果通常由两部分组成（一个数和一个测量单位），他们构成了量值。
例如：人体温度37.2℃是量值，人体温度是被测量，37.2是数，℃是单位。
对于比较复杂的测量，通过实际测量获得被测量的测量数据后，通常需要对这些数据进行计算、分析、整理，有时还要将数据归纳成相应的表示式或绘制成表格、曲线等等，亦即要进行数据处理，然后给出测量结果。
检测/校准工作的核心是测量。
在给出测量结果的同时，必须给出其测量不确定度。
测量不确定度表明了测量结果的质量：质量愈高，不确定度愈小，测量结果的使用价值愈高；质量愈差，不确定度愈大，使用价值愈低。
在检测/校准工作中，不知道不确定度的测量结果，实际上不具备完整的使用价值。
测量不确定度是对测量结果存有怀疑的程度。
测量不确定度亦需要用两个数来表示：一个是测量不确定度的大小，即置信区间的半宽；另一个是对其相信的程度，即置信概率（或称置信水准、置信水平、包含概率），表明测量结果落在该区间有多大把握。
例如：上述测量人体温度为37.2℃，或加或减0.1℃，置信水准为95％。
则该结果可以表示为37.2℃±0.1℃，置信概率为95％。
这个表述是说，我们测量的人体温度处在37.1℃到37.3℃之间，有95％的把握。
当然，还有一些其他不确定度的方式。
这里表述的是最终的扩展不确定度，它是确定测量结果区间的量，合理赋予被测量之值分布的大部分可望包含于此区间。
2 测量结果及其误差和准确度2.1 测量结果测量结果被定义为“由测量所得到的赋予被测量的值。
”它是被测量的最佳估计值，而不是真值。
完整表述测量结果时，必须同时给出其测量不确定度。
必要时还应说明测量所处的条件，或影响量的取值范围。
测量不确定度评定培训讲义目录测量不确定度评定培训讲义目录第一篇第一章第二章不确定度发展概述 01一、测量不确定度发展简介 01二、测量不确定度最新发展 04测量不确定度评定预备知识 08第一节随机变量的基本概念 08第二节测量误差 11第三节离散型随机变量的数字特征 14第四节连续型随机变量的数字特征 20第五节测量结果 24第六节测量不确定度 27第七节相关名词术语 30第三章标准不确定度A类评定 32一、通用标准不确定度A类评定 32二、平均测量值的标准偏差 32三、实际的标准不确定度A类评定 33四、不确定度A类评定的独立性 34五、合并样本标准差 35六、用极差法求标准差 35七、用最大残差法求标准差 35八、 A类评定不确定度的自由度 36九、组合类似影响因素进行A类评定 36第四章标准不确定度B类评定 36一、已知扩展不确定度U和包含因子k二、正态分布 38三、 t分布(学生分布) 38四、矩形分布(均匀分布) 39五、三角分布 40六、反正弦分布(U分布) 41七、无法估计的分布 41八、 B类评定中包含因子数值选取原则 41九、界限不对称的考虑 42十、重复性限r 42 十一、复现性限R十二、以“等”使用的仪器的不确定度 43 十三、以“级”使用的仪器的不确定度43 十四、 B类评定的自由度及其意义 44第五章合成标准不确定度评定 44一、不确定度传播率 45二、输入量不相关时的合成 45三、灵敏系数和输出量的不确定度分量ui(y) 45四、合成标准不确定度的简化形式1 46五、合成标准不确定度的简化形式2 46六、关于相关性 47七、合成标准不确定度的自由度 49第 1 页，共 2 页3742第六章第七章第八章第九章第十章第十一章第二篇第三篇扩展不确定度评定 50为什么要报道扩展不确定度 50蒙特卡洛方法(MCM)简介 50测量结果及其不确定度报告 51测量结果及不确定度报告的有效位 52对校准和测量能力(CMC)的要求及示例 52测量不确定度评定步骤 53第一节测量过程数学模型的建立 53第二节测量不确定度评定步骤 58直接测量不确定度评定实例 60不确定度评定实例1：电子天平称量不确定的评定 61不确定度评定实例2：1000mL容量瓶电容不确定的评定 62不确定度评定实例3：烟气中二氧化硫测定不确定的评定 63不确定度评定实例4：耐热(球压)试验不确定度评定 65不确定度评定实例5：洛氏硬度试验不确定度评定 67间接测量不确定度评定实例 69不确定度评定实例6：金属材料抗拉强度测定不确定度评定 69不确定度评定实例7：标准溶液制备不确定度评定 72不能采用简化方法的不确定度评定实例 76不确定度评定实例8：大豆水分含量测量结果不确定度评定 76不确定度评定实例9：圆柱体体积测量不确定度评定 81 一、概述 81 二、不修正测量结果的常规评定方法82 三、修正测量结果的常规评定方法 84 四、直径d和高度h重复性测量不相关时的评定方法 85 五、直径d和高度h重复性测量相关时的评定方法 87 六、采用简化方式进行评定 87 七、圆柱体体积测量结果不确定度评定小结 89 八、圆柱体体积测量结果不确定度的应用 89测量不确定度验证(测量结果的质量保证) 90第一节测量结果质量保证的概念 90第二节有参考量值的实验室间比对/测量审核(盲样测试) 92第三节不能提供参考量值的实验室间比对 93第三节实验室内部质量监控(监视)方法 94直线回归分析及其测量不确定度评定 98一、直线回归方程和相关系数计算 98二、斜率b和截距a的不确定度评定 99三、由标准曲线求得的分析结果的不确定度评定 101测量不确定度评定附录 103附录1 t分布临界值tp(v)表 104附录2 2019年元素相对原子质量表(ATOMIC WEIGHTS OF THE ELEMENTS 2019) 105附录3 容量计量器具允许误差 109附录4 微分基本运算 110附录5 CNAS-CL07:2019《测量不确定度的要求》(2019年第二次修订) 112感谢中国计量科学研究院标准电池权威专家胡衍瑞研究员的指正、修改和补充第 2 页，共 2 页。
测量误差与不确定度评定一、测量误差1、测量误差和相对误差（1）、测量误差测量结果减去被测量的真值所得的差，称为测量误差，简称误差。
这个定义从20世纪70年代以来没有发生过变化，以公式可表示为：测量误差＝测量结果－真值。
测量结果是由测量所得到的赋予被测量的值，是客观存在的量的实验表现，仅是对测量所得被测量之值的近似或估计，显然它是人们认识的结果，不仅与量的本身有关，而且与测量程序、测量仪器、测量环境以及测量人员等有关。
真值是量的定义的完整体现，是与给定的特定量的定义完全一致的值，它是通过完善的或完美无缺的测量，才能获得的值。
所以，真值反映了人们力求接近的理想目标或客观真理，本质上是不能确定的，量子效应排除了唯一真值的存在，实际上用的是约定真值，须以测量不确定度来表征其所处的范围。
因而，作为测量结果与真值之差的测量误差，也是无法准确得到或确切获知的。
过去人们有时会误用误差一词，即通过误差分析给出的往往是被测量值不能确定的范围，而不是真正的误差值。
误差与测量结果有关，即不同的测量结果有不同的误差，合理赋予的被测量之值各有其误差并不存在一个共同的误差。
一个测量结果的误差，若不是正值（正误差）就是负值（负误差），它取决于这个结果是大于还是小于真值。
实际上，误差可表示为：误差＝测量结果－真值＝（测量结果－总体均值）＋（总体均值－真值）＝随机误差＋系统误差（2）、相对误差测量误差除以被测量的真值所得的商，称为相对误差。
2、随机误差和系统误差（1）、随机误差测量结果与重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差，称为随机误差。
随机误差＝测量结果－多次测量的算术平均值（总体均值）重复性条件是指在尽量相同的条件下，包括测量程序、人员、仪器、环境等，以及尽量短的时间间隔内完成重复测量任务。
此前，随机误差曾被定义为：在同一量的多次测量过程中，以不可预知方式变化的测量误差的分量。
随机误差的统计规律性：○1对称性：绝对值相等而符号相反的误差，出现的次数大致相等，也即测得值是以它们的算术平均值为中心而对称分布的。
由于所有误差的代数和趋于零，故随机误差又具有低偿性，这个统计特性是最为本质的；换言之，凡具有低偿性的误差，原则上均可按随机误差处理。
○2有界性：测得值误差的绝对值不会超过一定的界限，也即不会出现绝对值很大的误差。
○3单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差数目多，也即测得值是以它们的算术平均值为中心而相对集中地分布的。
（2）、系统误差在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差，称为系统误差。
它是测量结果中期望不为零的误差分量。
系统误差＝多次测量的算术平均值－被测量真值由于只能进行有限次数的重复测量，真值也只能用约定真值代替，因此可能确定的系统误差只是其估计值，并具有一定的不确定度。
系统误差大抵来源于影响量，它对测量结果的影响若已识别并可定量表述，则称之为“系统效应”。
该效应的大小若是显著的，则可通过估计的修正值予以补偿。
但是，用以估计的修正值均由测量获得，本身就是不确定的。
至于误差限、最大允许误差、可能误差、引用误差等，它们的前面带有正负（±）号，因而是一种可能误差区间，并不是某个测量结果的误差。
对于测量仪器而言，其示值的系统误差称为测量仪器的“偏移”，通常用适当次数重复测量示值误差的均值来估计。
过去所谓的误差传播定律，所传播的其实并不是误差而是不确定度，故现已改称为不确定度传播定律。
还要指出的是：误差一词应按其定义使用，不宜用它来定量表明测量结果的可靠程度。
3、修正值和偏差（1）、修正值和修正因子用代数方法与未修正测量结果相加，以补偿其系统误差的值，称为修正值。
含有误差的测量结果，加上修正值后就可能补偿或减少误差的影响。
由于系统误差不能完全获知，因此这种补偿并不完全。
修正值等于负的系统误差，这就是说加上某个修正值就像扣掉某个系统误差，其效果是一样的，只是人们考虑问题的出发点不同而已，即真值＝测量结果＋修正值＝测量结果－误差在量值溯源和量值传递中，常常采用这种加修正值的直观的办法。
用高一个等级的计量标准来校准或检定测量仪器，其主要内容之一就是要获得准确的修正值。
换言之，系统误差可以用适当的修正值来估计并予以补偿。
但应强调指出：这种补偿是不完全的，也即修正值本身就含有不确定度。
当测量结果以代数和方式与修正值相加后，其系统误差之模会比修正前的小，但不可能为零，也即修正值只能对系统误差进行有限程度的补偿。
修正因子：为补偿系统误差而与未修正测量结果相乘的数字因子，称为修正因子。
含有系统误差的测量结果，乘以修正因子后就可以补偿或减少误差的影响。
但是，由于系统误差并不能完全获知，因而这种补偿是不完全的，也即修正因子本身仍含有不确定度。
通过修正因子或修正值已进行了修正的测量结果，即使具有较大的不确定度，但可能仍然十分接近被测量的真值（即误差甚小）。
因此，不应把测量不确定度与已修正测量结果的误差相混淆。
（2）、偏差：一个值减去其参考值，称为偏差。
这里的值或一个值是指测量得到的值，参考值是指设定值、应有值或标称值。
例如：尺寸偏差＝实际尺寸－应有参考尺寸偏差＝实际值－标称值在此可见，偏差与修正值相等，或与误差等值而反向。
应强调指出的是：偏差相对于实际值而言，修正值与误差则相对于标称值而言，它们所指的对象不同。
所以在分析时，首先要分清所研究的对象是什么。
常见的概念还有上偏差（最大极限尺寸与参考尺寸之差）、下偏差（最小极限尺寸与参考尺寸之差），它们统称为极限偏差。
由代表上、下偏差的两条直线所确定的区域，即限制尺寸变动量的区域，统称为尺寸公差带。
二、测量不确定度的评定与表示1、测量不确定度表征合理地赋予被测量之值的分散性、与测量结果相联系的参数，称为测量不确定度。
“合理”意指应考虑到各种因素对测量的影响所做的修正，特别是测量应处于统计控制的状态下，即处于随机控制过程中。
“相联系”意指测量不确定度是一个与测量结果“在一起”的参数，在测量结果的完整表示中应包括测量不确定度。
此参数可以是诸如标准[偏]差或其倍数，或说明了置信水准的区间的半宽度。
测量不确定度从词意上理解，意味着对测量结果可信性、有效性的怀疑程度或不肯定程度，是定量说明测量结果的质量的一个参数。
实际上由于测量不完善和人们的认识不足，所得的被测量值具有分散性，即每次测得的结果不是同一值，而是以一定的概率分散在某个区域内的许多个值。
虽然客观存在的系统误差是一个不变值，但由于我们不能完全认知或掌握，只能认为它是以某种概率分布存在于某个区域内，而这种概率分布本身也具有分散性。
测量不确定度就是说明被测量之值分散性的参数，它不说明测量结果是否接近真值。
为了表征者种分散性，测量不确定度用标准[偏]差表示。
在实际使用中，往往希望知道测量结果的置信区间，因此规定测量不确定度也可用标准[偏]差的倍数或说明了置信水准的区间的半宽度表示。
为了区分这两种不同的表示方法，分别称它们为标准不确定度和扩展不确定度。
（1）测量不确定度来源在实践中，测量不确定度可能来源于以下十个方面：○1对被测量的定义不完整或不完善；○2实现被测量的定义的方法不理想；○3取样的代表性不够，即被测量的样本不能代表所定义的被测量；○4对测量过程受环境影响的认识不周全，或对环境条件的测量与控制不完善；○5对模拟仪器的读数存在人为偏移；○6测量仪器的分辩力或鉴别力不够；○7赋予计量标准的值或标准物质的值不准；○8引用于数据计算的常量和其它参量不准；○9测量方法和测量程序的近似性和假定性；10在表面上看来完全相同的条件下，被测量重复观测值的变化。
○由此可见，测量不确定度一般来源于随机性和模糊性，前者归因于条件不充分，后者归因于事物本身概念不明确。
这就使测量不确定度一般由许多分量组成，其中一些分量可以用测量列结果（观测值）的统计分布来进行评价，并且以实验标准[偏]差表征；而另一些分量可以用其它方法（根据经验或其它信息的假定概率分布）来进行评价，并且也以标准[偏]差表征。
所有这些分量，应理解为都贡献给了分散性。
若需要表示某分量是由某原因导致时，可以用随机效应导致的不确定度和系统效应导致的不确定度。
（2）标准不确定度和标准[偏]差以标准[偏]差表示的测量不确定度，称为标准不确定度。
标准不确定度用符号u 表示，它不是由测量标准引起的不确定度，而是指不确定度以标准[偏]差表示，来表征被测量之值的分散性。
这种分散性可以有不同的表示方式，例如：用()n xi x n i -=∑1表示时，由于正残差与负残差可能相消，反映不出分散程度；用n x i x n i -=∑1表示时，则不便于进行解析运算。
只有用标准[偏]差表示的测量结果的不确定度，才称为标准不确定度。
当对同一被测量作n 次测量，表征测量结果分散性的量s 按下式算出时，称它为实验标准[偏]差：S =()121--∑=n x x n i式中：x i 为第i 次测量的结果；x 为所考虑的n 次测量结果的算术平均值。
对同一被测量作有限的n 次测量，其中任何一次的测量结果或观测值，都可视作无穷多次测量结果或总体的一个样本。
数理统计方法就是要通过这个样本所获得的信息（例如算术平均值x 和实验标准[偏]差s 等），来推断总体的性质（例如期望µ 和方差σ2等）。
期望是通过无穷多次测量所得的观测值的算术平均值或加权平均值，又称为总体均值µ ，显然它只是在理论上存在并表示为µ ＝∞→n lim n 1i x n i ∑=1方差σ2则是无穷多次测量所得观测值x i 与期望µ之差的平方的算术平均值，它也只是在理论上存在并可表示为σ2＝∞→n lim ［n 1()21μ-=∑i x n i ］方差的正平方根σ，通常被称为标准[偏]差，又称为总体标准[偏]差或理论标准[偏]差；而通过有限多次测量得的实验标准[偏]差s ，又称为样本标准[偏]差。
这个计算公式即为贝赛尔公式，算得的s 是σ的估计值。
s 是单次观测值x i 的实验标准[偏]差，s /n 才是n 次测量所得算术平均值x 的实验标准[偏]差，它是x 分布的标准[偏]差的估计值。
为易于区别，前者用s (x )表示，后者用s (x )表示，故有s (x )=s (x )/n 。
通常用s (x )表征测量仪器的重复性，而用s (x )评价以此仪器进行n 次测量所得测量结果的分散性。
随着测量次数n 的增加，测量结果的分散性s (x )即与n 成反比地减小，这是由于对多次观测值取平均后，正、负误差相互抵偿所致。
所以，当测量要求较高或希望测量结果的标准[偏]差较小时，应适当增加n；但当n＞20时，随着n的增加，s(x)的减小速率减慢。
