【满分之路】第6讲指数运算与指数函数(习题)

第五节指数与指数函数1．根式(1)如果x n ＝a ，那么01x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *.(2)式子na 叫做02根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(3)(na )n ＝03a．当n 为奇数时，na n ＝04a ；当n 为偶数时，na n ＝|a |，a ≥0，a ，a <0.2．分数指数幂正数的正分数指数幂，a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．正数的负分数指数幂，a－m n ＝1a m n＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)．0的正分数指数幂等于050，0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质a r a s ＝06a r ＋s ；(a r )s ＝07a rs ；(ab )r ＝08a r b r (a >0，b >0，r ，s ∈R )．4．指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R ，a 是底数．(2)指数函数的图象与性质a>10<a <1图象定义域R 值域09(0，＋∞)性质图象过定点10(0，1)，即当x＝0时，y ＝1当x >0时，11y >1；当x <0时，120<y <1当x <0时，13y >1；当x >0时，140<y <1在(－∞，＋∞)上是15增函数在(－∞，＋∞)上是16减函数(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数．(2)画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)1(3)如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b ＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象越高，底数越大．(4)指数函数y ＝a x 与y (a >0，且a ≠1)的图象关于y 轴对称．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)4(－4)4＝－4.()(2)2a·2b＝2ab.()(3)na n＝(na)n＝a.()(4)6(－3)2＝(－3)13.()(5)函数y＝2x－1是指数函数．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2．小题热身(1)(人教A必修第一册习题4.1T1改编)下列运算中正确的是()A.(2－π)2＝2－πB．a－1a＝－aC．(m 14n-38)8＝m2n3D．(x3－2)3＋2＝x9答案C解析对于A，因为2－π<0，所以(2－π)2＝π－2，故A错误；对于B，因为－1a>0，所以a<0，则a－1a＝－(－a)·1－a＝－－a，故B错误；对于C，因为(m14n-38)8＝(m14)8·(n-38)8＝m2n3，故C正确；对于D，因为(x3－2)3＋2＝x9－2＝x7，故D错误．(2)已知指数函数y＝f(x)的图象经过点(－1，2)，那么这个函数也必定经过点()21C．(1，2)答案D(3)函数y＝2x＋1的图象是()答案A(4)若函数y＝a x(a>0，且a≠1)在区间[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a的值为________．答案2考点探究——提素养考点一指数幂的运算例1(1)(2024·湖北宜昌高三模拟)已知x，y>03x-34y12－14x14y－1y__________．答案－10y解析原式＝3x -34y12－3 10 x -34y-12＝－10y.(2)－0.752＋6－2－23＝________．答案1解析＋136×－23＝32－＋136×2＝32－916＋136×94＝1.【通性通法】【巩固迁移】－12·(4ab－1)3(0.1)－1·(a3·b－3)12(a>0，b>0)＝________．答案85解析原式＝2·432a 32b -3210a 32b-32＝85.2．若x 12＋x -12＝3，则x 2＋x －2＝________．答案47解析由x 12＋x -12＝3，得x ＋x －1＝7，再平方得x 2＋x －2＝47.考点二指数函数的图象及其应用例2(1)(2024·安徽合肥八中月考)函数①y ＝a x ；②y ＝b x ；③y ＝c x ；④y ＝d x 的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，3，13，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是()A.54，3，13，12 B.3，54，13，12C.12，13，3，54 D.13，12，54，3答案C解析由题图，直线x ＝1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而3>54>12>13，故选C.(2)(2024·江苏南京金陵高三期末)若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －1|(a >0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围为________．答案解析当0<a <1时，y ＝|a x －1|的图象如图1所示，由已知得0<3a <1，∴0<a <13；当a >1时，y ＝|a x －1|的图象如图2所示，由已知可得0<3a <1，∴0<a <13，结合a >1可得a 无解．综上可知，a【通性通法】(1)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．【巩固迁移】3．(2024·广东深圳中学高三摸底)函数y ＝e －|x |(e 是自然对数的底数)的大致图象是()答案C解析y ＝e －|x |，x ≥0，x <0，易得函数y ＝e －|x |为偶函数，且图象过(0，1)，y ＝e －|x |>0，函数在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，故C 符合题意．故选C.4．(多选)若实数x ，y 满足4x ＋5x ＝5y ＋4y ，则下列关系式中可能成立的是()A ．1<x <yB ．x ＝yC ．0<x <y <1D ．y <x <0答案BCD解析设f (x )＝4x ＋5x ，g (x )＝5x ＋4x ，则f (x )，g (x )都是增函数，画出函数f (x )，g (x )的图象，如图所示，根据图象可知，当x ＝0时，f (0)＝g (0)＝1；当x ＝1时，f (1)＝g (1)＝9，依题意，不妨设f (x )＝g (y )＝t ，则x ，y 分别是直线y ＝t 与函数y ＝f (x )，y ＝g (x )图象的交点的横坐标．当t >9时，若f (x )＝g (y )，则x >y >1，故A 不正确；当t ＝9或t ＝1时，若f (x )＝g (y )，则x ＝y ＝1或x ＝y ＝0，故B 正确；当1<t <9时，若f (x )＝g (y )，则0<x <y <1，故C 正确；当t <1时，若f (x )＝g (y )，则y <x <0，故D 正确．故选BCD.考点三指数函数的性质及其应用(多考向探究)考向1比较指数式的大小例3(2023·天津高考)若a ＝1.010.5，b ＝1.010.6，c ＝0.60.5，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >b >cD ．b >a >c答案D解析解法一：因为函数f (x )＝1.01x 是增函数，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b >a >1.因为函数φ(x )＝0.6x 是减函数，且0.5>0，所以0.60.5<0.60＝1，即c <1.综上，b >a >c .故选D.解法二：因为函数f (x )＝1.01x 是增函数，且0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，即b >a .因为函数h (x )＝x 0.5在(0，＋∞)上单调递增，且1.01>0.6>0，所以1.010.5>0.60.5，即a >c .综上，b >a >c .故选D.【通性通法】比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指．(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小．(2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小；或构造同一幂函数，然后利用幂函数的性质比较大小．(3)当底数不同，指数也不同时，常借助1，0等中间量进行比较．【巩固迁移】5．(2023·福建泉州高三质检)已知a －13，b －23，c ()A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．b >a >c答案C解析－13－23，y 在R 上是增函数，－13－23，即c >a >b .考向2解简单的指数方程或不等式例4(1)(多选)若4x －4y <5－x －5－y ，则下列关系式正确的是()A ．x <yB ．y －3>x －3C.x >y <3－x答案AD解析由4x －4y <5－x －5－y ，得4x －5－x <4y －5－y ，令f (x )＝4x －5－x ，则f (x )<f (y )．因为g (x )＝4x ，h (x )＝－5－x 在R 上都是增函数，所以f (x )在R 上是增函数，所以x <y ，故A 正确；因为G (x )＝x －3在(0，＋∞)和(－∞，0)上都单调递减，所以当x <y <0时，x －3>y －3，故B 错误；当x <0，y <0时，x ，y 无意义，故C 错误；因为y 在R 上是减函数，且x <y ，，<3－x ，故D 正确．故选AD.(2)已知实数a ≠1，函数f (x )x ，x ≥0，a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．答案12解析当a <1时，41－a ＝21，解得a ＝12；当a >1时，2a －(1－a )＝4a －1，无解．故a 的值为12.【通性通法】(1)解指数方程的依据：a f (x )＝a g (x )(a >0，且a ≠1)⇔f (x )＝g (x )．(2)解指数不等式的思路方法：对于形如a x >a b (a >0，且a ≠1)的不等式，需借助函数y ＝a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，则需分a >1与0<a <1两种情况讨论；而对于形如a x >b 的不等式，需先将b 转化为以a 为底的指数幂的形式，再借助函数y ＝a x 的单调性求解．【巩固迁移】6．函数y ＝(0.5x－8)-12的定义域为________．答案(－∞，－3)解析因为y ＝(0.5x －8)-12＝10.5x －8，所以0.5x －8>0，则2－x >23，即－x >3，解得x <－3，故函数y ＝(0.5x－8)-12的定义域为(－∞，－3)．7．当0<x <12时，方程a x ＝1x (a >0，且a ≠1)有解，则实数a 的取值范围是________．答案(4，＋∞)解析依题意，当x ，y ＝a x 与y ＝1x 的图象有交点，作出y ＝1x的部分图象，如图所示，>1，12>2，解得a>4.考向3与指数函数有关的复合函数问题例5(1)函数f(x)＝3－x2＋1的值域为________．答案(0，3]解析设t＝－x2＋1，则t≤1，所以0<3t≤3，故函数f(x)的值域为(0，3]．(2)函数yx－＋17的单调递增区间为________．答案[－2，＋∞)解析设t>0，又y＝t2－8t＋17＝(t－4)2＋1在(0，4]上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增．≤4，得x≥－2，>4，得x<－2，而函数t在R上单调递减，所以函数yx－＋17的单调递增区间为[－2，＋∞)．【通性通法】涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．【巩固迁移】8．(多选)已知定义在[－1，1]上的函数f(x)＝－2·9x＋4·3x，则下列结论中正确的是() A．f(x)的单调递减区间是[0，1]B．f(x)的单调递增区间是[－1，1]C．f(x)的最大值是f(0)＝2D．f(x)的最小值是f(1)＝－6答案ACD解析设t＝3x，x∈[－1，1]，则t＝3x是增函数，且t∈13，3，又函数y＝－2t2＋4t＝－2(t－1)2＋2在13，1上单调递增，在[1，3]上单调递减，因此f(x)在[－1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，故A正确，B错误；f(x)max＝f(0)＝2，故C正确；f(－1)＝109，f(1)＝－6，因此f (x )的最小值是f (1)＝－6，故D 正确．故选ACD.9．若函数f (x )2＋2x ＋3，19，则f (x )的单调递增区间是________．答案(－∞，－1]解析∵y 是减函数，且f (x )，19，∴t ＝ax 2＋2x ＋3有最小值2，则a >0且12a －224a ＝2，解得a ＝1，因此t ＝x 2＋2x ＋3的单调递减区间是(－∞，－1]，故f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]．课时作业一、单项选择题1．(2024·内蒙古阿拉善盟第一中学高三期末)已知集合A ＝{x |32x －1≥1}，B ＝{x |6x 2－x －2<0}，则A ∪B ＝()A.12，－12，12－12，＋∞答案D解析集合A ＝{x |32x －1≥1}＝12，＋B ＝{x |6x 2－x －2<0}＝{x |(3x －2)(2x ＋1)<0}＝－12，所以A ∪B －12，＋故选D.2.(2024·山东枣庄高三模拟)已知指数函数y ＝a x 的图象如图所示，则y ＝ax 2＋x 的图象顶点横坐标的取值范围是()－12，－12，＋∞答案A解析由图可知，a ∈(0，1)，而y ＝ax 2＋x ＝－14a (a ≠0)，其顶点横坐标为x ＝－12a，所以－12a∈∞，故选A.3．已知函数f (x )＝11＋2x ，则对任意实数x ，有()A ．f (－x )＋f (x )＝0B ．f (－x )－f (x )＝0C ．f (－x )＋f (x )＝1D ．f (－x )－f (x )＝13答案C解析f (－x )＋f (x )＝11＋2－x ＋11＋2x ＝2x 1＋2x ＋11＋2x ＝1，故A 错误，C 正确；f (－x )－f (x )＝11＋2－x－11＋2x ＝2x 1＋2x －11＋2x ＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，不是常数，故B ，D 错误．故选C.4．已知a ＝243，b ＝425，c ＝513，则()A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <a <cD ．c <a <b答案A 解析因为a ＝243＝423，b ＝425，所以a ＝423>425＝b ，因为b ＝425＝(46)115＝4096115，c ＝513＝(55)115＝3125115，所以b >c .综上所述，a >b >c .故选A.5．(2024·江苏连云港海滨中学高三学情检测)若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，则实数m 的值为()A.12B.1142C.116D.12或116答案D解析当a >1时，f (x )＝a x 在[－1，2]上单调递增，则f (x )max ＝f (2)＝a 2＝4，解得a ＝2，此时f (x )＝2x ，m ＝f (x )min ＝2－1＝12；当0<a <1时，f (x )＝a x 在[－1，2]上单调递减，所以f (x )max ＝f (－1)＝a －1＝4，解得a ＝14，此时f (x )，m ＝f (x )min ＝f (2)＝116.综上所述，实数m 的值为12或116.故选D.6．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f (x )＝2x (x －a )在区间(0，1)上单调递减，则a 的取值范围是()A ．(－∞，－2]B ．[－2，0)C ．(0，2]D ．[2，＋∞)答案D解析函数y ＝2x 在R 上单调递增，而函数f (x )＝2x (x －a )在区间(0，1)上单调递减，则函数y ＝x (x －a )－a 24在区间(0，1)上单调递减，因此a2≥1，解得a ≥2，所以a 的取值范围是[2，＋∞)．故选D.7．(2023·辽宁名校联盟联考)已知函数f (x )满足f (x )x －2，x >0，－2－x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是()A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)答案B解析当x >0时，－x <0，f (－x )＝2－2x ＝－(2x －2)＝－f (x )；当x <0时，－x >0，f (－x )＝2－x－2＝－(2－2－x )＝－f (x )，则函数f (x )为奇函数，所以f (a )>f (－a )＝－f (a )，即f (a )>0，作出函数f (x )的图象，如图所示，由图象可得，实数a 的取值范围为(－1，0)∪(1，＋∞)．故选B.8．(2024·福建漳州四校期末)已知正数a ，b ，c 满足2a －1＝4，3b －1＝6，4c －1＝8，则下列判断正确的是()A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <b <aD ．c <a <b答案A解析由已知可得a ＝2，b ＝2，c ＝2，则a ，b ，c 可分别看作直线y ＝2－x 和y ，y ，y 的图象的交点的横坐标，画出直线y ＝2－x 和y ，y ，y 的大致图象，如图所示，由图象可知a <b <c .故选A.二、多项选择题9．下列各式中成立的是()＝n 7m 17(n >0，m >0)B ．－1234＝3－3C.39＝33D ．[(a 3)2(b 2)3]－13＝a －2b －2(a >0，b >0)答案BCD解析＝n 7m7＝n 7m －7(n >0，m >0)，故A 错误；－1234＝－3412＝－313＝3－3，故B 正确；39＝332＝332＝33，故C 正确；[(a 3)2(b 2)3]-13＝(a 6b 6)-13＝a －2b －2(a >0，b >0)，故D 正确．故选BCD.10．已知函数f (x )＝3x －13x ＋1，下列说法正确的是()A ．f (x )的图象关于原点对称B ．f (x )的图象关于直线x ＝1对称C ．f (x )的值域为(－1，1)D ．∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0答案AC解析由f (－x )＝3－x －13－x ＋1＝－3x －13x ＋1＝－f (x )，可得函数f (x )为奇函数，所以A 正确；因为f (0)＝0，f (2)＝45，f (0)≠f (2)，所以B 错误；设y ＝3x －13x ＋1，可得3x ＝1＋y 1－y ，所以1＋y 1－y >0，即1＋y y －1<0，解得－1<y <1，即函数f (x )的值域为(－1，1)，所以C 正确；f (x )＝3x －13x ＋1＝1－23x ＋1为增函数，所以D 错误．故选AC.三、填空题11．0.25-12－(－2×160)2×(2-23)3＋32×(4-13)－1＝________．答案3解析原式＝[(0.5)2]-12－(－2×1)2×2－2＋213×2231－4×14＋2＝2－1＋2＝3.12．不等式10x －6x －3x ≥1的解集为________．答案[1，＋∞)解析由10x －6x －3x ≥1，≤1.令f (x )，因为y ＝，y ，y 均为R 上的减函数，则f (x )在R 上单调递减，且f (1)＝1，所以f (x )≤f (1)，所以x ≥1，故不等式10x －6x －3x ≥1的解集为[1，＋∞)．13．若函数f (x )＝|2x －a |－1的值域为[－1，＋∞)，则实数a 的取值范围为________．答案(0，＋∞)解析令g (x )＝|2x －a |，由题意得g (x )的值域为[0，＋∞)，又y ＝2x 的值域为(0，＋∞)，所以－a <0，解得a >0.14．已知函数f (x )x －a ，x ≤0，x ＋a ，x >0，关于x 的不等式f (x )≤f (2)的解集为I ，若I(－∞，2]，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，－1)解析当a ≥0时，结合图象可得f (x )≤f (2)的解集是(－∞，2]，不符合题意．当a <0时，2－a>2a ，由于f (x )在区间(－∞，0]和(0，2]上单调递增，所以要使f (x )≤f (2)的解集I 满足I(－∞，2]，则2－a >f (2)＝22＋a ，解得a <－1.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－1)．四、解答题15．(2024·辽宁沈阳东北育才学校高三月考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且函数g (x )＝f (x )＋e x 是定义在R 上的偶函数．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求不等式f (x )≥34的解集．解(1)∵g (x )＝f (x )＋e x 是定义在R 上的偶函数，∴g (－x )＝g (x )，即f (－x )＋e －x ＝f (x )＋e x ，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＋e －x ＝f (x )＋e x ，∴f (x )＝e －x －e x2.(2)由(1)，知e －x －e x 2≥34，得2e －x －2e x －3≥0，即2(e x )2＋3e x －2≤0，令t ＝e x ，t >0，则2t 2＋3t －2≤0，解得0<t ≤12，∴0<e x ≤12，∴x ≤－ln 2，∴不等式f (x )≥34的解集为(－∞，－ln 2]．16．(2024·山东菏泽高三期中)已知函数f (x )3＋x.(1)解关于x 的不等式f (x 3＋ax ＋1，a ∈R ；(2)若∃x ∈(1，3)，∀m ∈(1，2)，f (2mnx －4)－f (x 2＋nx )＋x 2＋nx －2mnx ＋4≤0，求实数n 的取值范围．解(1)3＋x3＋ax ＋1，得x 3＋x <x 3＋ax ＋1，即(1－a )x <1.当1－a ＝0，即a ＝1时，不等式恒成立，则f (x 3＋ax ＋1的解集为R ；当1－a >0，即a <1时，x <11－a，则f (x 3＋ax ＋1|x 当1－a <0，即a >1时，x >11－a，则f (x 3＋ax ＋1|x 综上所述，当a ＝1时，不等式的解集是R ；当a <1时，|x当a >1时，|x (2)因为y ＝x 3和y ＝x 均为增函数，所以y ＝x 3＋x 是增函数，因为y 是减函数，所以f (x )是减函数，则g (x )＝f (x )－x 是减函数．由f (2mnx －4)－f (x 2＋nx )＋x 2＋nx －2mnx ＋4≤0可得，g (2mnx －4)＝f (2mnx －4)－(2mnx －4)≤f (x 2＋nx )－(x 2＋nx )＝g (x 2＋nx )，所以2mnx －4≥x 2＋nx ，所以2mn －n ≥x ＋4x ，又x ＋4x≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时，不等式取等号，即∀m ∈(1，2)，2mn －n ≥4恒成立，由一次函数性质可知n －n ≥4，n －n ≥4，解得n ≥4，所以实数n 的取值范围是[4，＋∞)．17．(多选)已知函数f (x )＝a |＋b 的图象经过原点，且无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是()A ．a ＋b ＝0B ．若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＋y ＝0C ．若x <y <0，则f (x )<f (y )D ．f (x )的值域为[0，2)答案ABD解析∵函数f (x )＝a |＋b 的图象过原点，∴a ＋b ＝0，即b ＝－a ，则f (x )＝a |－a ，又f (x )的图象无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，∴b ＝2，a ＝－2，f (x )＝－|＋2，故A 正确；由于f (x )为偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上单调递增，故若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＝－y ，即x ＋y ＝0，故B 正确；由于f (x )＝2－|在(－∞，0)上单调递减，故若x <y <0，则f (x )>f (y )，故C 错误；|∈(0，1]，∴f (x )＝－|＋2∈[0，2)，故D 正确．故选ABD.18．(多选)已知实数a ，b 满足3a ＝6b ，则下列关系式可能成立的是()A ．a ＝bB ．0<b <aC ．a <b <0D ．1<a <b答案ABC解析由题意，在同一坐标系内分别画出函数y ＝3x 和y ＝6x 的图象，如图所示，由图象知，当a ＝b ＝0时，3a ＝6b ＝1，所以A 可能成立；作出直线y ＝k ，当k >1时，若3a ＝6b ＝k ，则0<b <a ，所以B 可能成立；当0<k <1时，若3a ＝6b ＝k ，则a <b <0，所以C 可能成立．故选ABC.19．(2023·广东珠海一中阶段考试)对于函数f (x )，若其定义域内存在实数x 满足f (－x )＝－f (x )，则称f (x )为“准奇函数”．若函数f (x )＝e x －2e x ＋1，则f (x )________(是，不是)“准奇函数”；若g (x )＝2x ＋m 为定义在[－1，1]上的“准奇函数”，则实数m 的取值范围为________．答案不是－54，－1解析假设f (x )为“准奇函数”，则存在x 满足f (－x )＝－f (x )，∴e －x －2e －x ＋1＝－e x －2e x ＋1有解，整理得e x ＝－1，显然无解，∴f (x )不是“准奇函数”．∵g (x )＝2x ＋m 为定义在[－1，1]上的“准奇函数”，∴2－x＋m ＝－2x －m 在[－1，1]上有解，∴2m ＝－(2x ＋2－x)在[－1，1]上有解，令2x ＝t ∈12，2，∴2m t ∈12，2上有解，又函数y ＝t ＋1t在12，，在(1，2]上单调递增，且t ＝12时，y ＝52，t ＝2时，y ＝52，∴y min ＝1＋1＝2，y max ＝52，∴y ＝t ＋1t 的值域为2，52，∴2m ∈－52，－2，解得m ∈－54，－1.。

考点06指数与指数函数1．了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算.2．理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用3．了解指数函数的变化特征.4．能将一些简单的实际问题转化为指数函数问题，并给予解决.一、指数与指数幂的运算1．根式（1）n次方根的概念与性质（2）根式的概念与性质【注】速记口诀：正数开方要分清，根指奇偶大不同， 根指为奇根一个，根指为偶双胞生． 负数只有奇次根，算术方根零或正， 正数若求偶次根，符号相反值相同． 负数开方要慎重，根指为奇才可行， 根指为偶无意义，零取方根仍为零．2．实数指数幂 （1）分数指数幂①我们规定正数的正分数指数幂的意义是*0,,,1)m na a m n n =>∈>N 且. 于是，在条件*0,,,1a m n n >∈>N 且下，根式都可以写成分数指数幂的形式. ②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定*1(0,,,m nm naa m n a-=>∈N 且1)n >.③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （2）有理数指数幂规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数,r s ，均有下面的运算性质： ①(0,,)rsr sa a aa r s +=>∈Q ；②()(0,,)r s rsa a a r s =>∈Q ； ③()(0,0,)rr rab a b a b r =>>∈Q . 二、指数函数的图象与性质 1．指数函数的概念一般地，函数(0,1)xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 【注】指数函数(0,1)x y a a a =>≠且的结构特征： (1)底数：大于零且不等于1的常数； (2)指数：仅有自变量x ；(3)系数：a x的系数是1.2．指数函数(0,1)xy a a a =>≠且的图象与性质指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中0<c <d <1<a <b .①在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； ②在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.【注】速记口诀：指数增减要看清，抓住底数不放松； 反正底数大于0，不等于1已表明；底数若是大于1，图象从下往上增； 底数0到1之间，图象从上往下减； 无论函数增和减，图象都过(0，1)点．3．有关指数型函数的性质 (1)求复合函数的定义域与值域形如()xf y a =的函数的定义域就是()f x 的定义域．求形如()x f y a =的函数的值域，应先求出()f x 的值域，再由单调性求出()xf y a =的值域．若a 的X围不确定，则需对a 进行讨论． 求形如()xy f a =的函数的值域，要先求出xu a=的值域，再结合()y f u =的性质确定出()xy f a=的值域．(2)判断复合函数()xy f a=的单调性令u =f (x )，x ∈[m ，n ]，如果复合的两个函数uy a =与()u f x =的单调性相同，那么复合后的函数()x f y a =在[m ，n ]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么复合函数()x f y a =在[m ，n ]上是减函数．(3)研究函数的奇偶性一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子()f x 与f (−x )的关系，最后确定函数的奇偶性．二是图象法，作出函数的图象或从已知函数图象观察，若图象关于坐标原点或y 轴对称，则函数具有奇偶性．考向一实数指数幂的化简与求值指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．(5)有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．(6)将根式化为指数运算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示．如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.典例1 化简并求值：（1）)2934-⨯； （211113342a b a b -⎛⎫⎪⎝⎭【答案】（1）12；（2）ab. 【解析】（1）)92292334310343221255252----⎛⎫⎛⎫⨯=⨯⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2112232335433111271111233333342a b a b a b a ab b ab a b a b a b a b---⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭====⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭. 【名师点睛】把根式化为分数指数幂，再按照幂的运算法则进行运算即可．1．121121332a b a b ---⎛⎫⎪=___________________．考向二指数函数的图象及应用（1）变换作图指数函数y =a x (a ＞0，且a ≠1)的图象变换如下：【注】可概括为：函数y =f (x )沿x 轴、y 轴的变换为“上加下减，左加右减”． （2）数形结合一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数函数图象数形结合求解.典例2 函数y =a x－a (a ＞0，且a ≠1)的图象可能是【答案】C【解析】当x =1时，y =a 1－a =0，所以y =a x－a 的图象必过定点(1，0)，结合选项可知选C.2．函数()(01)x x f x a a x=<<的大致图象是A ．B ．C ．D ．考向三指数函数单调性的应用1．比较幂的大小的常用方法：(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； (2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断； (3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较． 2．解指数方程或不等式简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值X 围，并在必要时进行分类讨论．典例3 设232555322,,555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是 A ．a c b >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．b c a >> 【答案】A【解析】对于函数2()5x y =，在其定义域上是减函数，3255>，32552255⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即b c <. 在同一平面直角坐标系中画出函数3()5x y =和函数2()5x y =的图象，a c >.从而bc a <<.故A 正确.【名师点睛】不管是比较指数式的大小还是解含指数式的不等式，若底数含有参数，需注意对参数的值分1a >与01a <<两种情况讨论.3．设0.61.50.60.6,0.6, 1.5a b c === ，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a <<典例4 设函数11()7,0()22,0xx x f x x -⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，若()1f a <，则实数a 的取值X 围是A ．(,1)-∞B ．(3,)-+∞C ．(3,1)-D ．(,3)(1,)-∞-+∞【答案】C【解析】当0a <时，不等式()1f a <可化为1()712a -<，即1()82a <，解得30a -<<； 当0a ≥时，不等式()1f a <可化为121a -<，所以01a ≤<．故a 的取值X 围是(3,1)-，故选C ．【名师点睛】利用指数函数的单调性，分别讨论当0a <及0a ≥时，a 的取值X 围，最后综合即可得出结果．4．若221m n>>，则 A ．11m n >B ．1122log log m n > C ．()ln 0m n ->D ．π1m n->考向四指数型函数的性质及其应用1．指数型函数中参数的取值或X 围问题应利用指数函数的单调性进行合理转化求解，同时要特别注意底数a 的取值X围，并当底数不确定时进行分类讨论． 2．指数函数的综合问题要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论.典例5 函数()2e 1ex xf x +=的图象 A ．关于原点对称 B ．关于直线y =x 对称 C ．关于x 轴对称 D ．关于y 轴对称【答案】D【解析】∵()2e 11e e e x x x x f x +==+，∴()11e e ()e ex xx xf x f x ---=+=+=，∴f (x )是偶函数，∴函数f (x )的图象关于y 轴对称．5．若函数()2(0x mf x a n a +=⨯->，且1)a ≠的图象恒过点()1,4-，则m n +=A ．3B ．1C ．1-D ．2-典例6 2221()2x x y -+=的值域是A ．1(,)2-∞ B ．(0,)+∞C ．1(0,]2D ．[4,)+∞【答案】C【解析】易知函数2221()2x x y -+=的定义域为R .令t =x 2－2x ＋2，则y =1()2t.又t =x 2－2x ＋2=(x －1)2＋1，x ∈R ，∴当x =1时，t min =1，无最大值． ∴t ≥1， ∴0＜y ≤(12)1， 故所求函数的值域为1(0,]2．6．若关于x 的不等式1220x x a +--->的解集包含区间()0,1，则a 的取值X 围为 A ．7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],1-∞C ．7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞1．计算：114333122x x x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．3B ．2C ．2x +D ．12x +2．若函数()22,1log ,1x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩，则函数()f x 的值域是A ．(),2-∞B ．[)0,+∞ C ．()(),00,2-∞D ．(],2-∞ 3．函数()2ex x f x -=的图象是A ．B ．C ．D ．4．已知实数a ，b 满足等式2017a ＝2018b，下列关系式不可能成立的是 A ．0＜a ＜b B ．a ＜b ＜0 C ．o ＜b ＜a D ．a ＝b5．已知函数()2(0)xf x x =<，其值域为D ，在区间()1,2-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是A ．12B ．13 C ．14D ．236．已知)(x f 是定义域为R 的偶函数，且0x ≥时，x x f )21()(=，则不等式21)(>x f 的解集为 A ．)41,41(-B ．)21,21(- C ．)2,2(-D ．)1,1(- 7．设函数()2af x x-=与()(1xg x a a =>且2a ≠)在区间()0+∞，上具有不同的单调性，则()0.21M a =-与0.11N a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的大小关系是A ．M N =B ．M N ≤C ．M N <D ．M N >8．设函数()21,25,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数,,a b c 满足()()()f a f b f c ==，则222a b c++的取值X 围是A ．()16,32B ．()18,34C ．()17,35D ．()6,79．已知)(x f 是定义域为R 的偶函数，且0x ≥时，x x f )21()(=，则不等式21)(>x f 的解集为 A ．)41,41(-B ．)21,21(- C ．)2,2(-D ．)1,1(-10．已知14742a b c ===，则111a b c-+=__________． 11．已知函数()sin cos f x a x b x =-，若ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数13ax b y ++=的图象恒过定点__________．12．已知函数()x f x a b =+()0,1a a >≠的定义域和值域都是[]1,0-，则b a =__________．13．已知函数1()934x x f x m +=-⋅-.（1）若1m =，求方程()0f x =的根；（2）若对任意[]1,1x ∈-，()8f x ≥-恒成立，求m 的取值X 围.14．设函数()42,xa xf x a a +=--∈R ．（1）当2a =时，解不等式：()30f x >；（2）当()1,1x ∈-时，()f x 存在最小值2-，求a 的值．1．（2019年高考某某）在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1(2log )a y x =+(a >0，且a ≠1)的图象可能是2．（2019年高考全国Ⅰ卷文、理数）已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b <<D ．b c a <<3．（2019年高考某某理数）已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<4．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）若a >b ，则A ．ln(a −b )>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │5．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）6．（2019年高考某某文数）已知0.223log 7,log 8,0.3a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．（2016年高考某某卷文科）已知函数()f x 满足：()f x x ≥且()2,xf x x ≥∈R .A ．若()f a b ≤，则a b ≤B ．若()2bf a ≤，则a b ≤ C ．若()f a b ≥，则a b ≥D ．若()2bf a ≥，则a b ≥8．（2018年高考新课标I 卷文科）设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值X 围是A ．(]1-∞-， B ．()0+∞， C ．()10-，D ．()0-∞，9．（2017年高考新课标Ⅰ卷理科）已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则A ．{|0}AB x x =<B ．A B =RC ．{|1}AB x x =>D ．A B =∅10．（2017年高考卷理科）已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数11．(2016年高考新课标Ⅲ卷文、理科)已知432a =，254b =，1325c =，则A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<12．(2016年高考某某卷文科)已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间)0,(-∞上单调递增，若实数a 满足)2()2(|1|->-f f a ，则a 的取值X 围是A ．)21,(-∞B ．),23()21,(+∞-∞C ．)23,21(D ．),23(+∞13．（2015年高考某某卷文科）若函数21()2x x f x a+=-是奇函数，则使()3f x >成立的x 的取值X 围为A ．( −∞,−1)B ．( −1，0)C ．(0,1)D ．(1,)+∞14．（2017年高考新课标Ⅲ卷文、理科）设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值X围是.15．（2015年高考某某卷理科）已知函数()(01)xf x a b a a =+>≠,的定义域和值域都是]0,1[-，则b a +=.1．【答案】1a【解析】1211212133211111551151323322366221661515156666661a b a b a b a b a b a b a a a a b a b a b ---⎛⎫⨯---+-- ⎪⎝⎭---⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅======⋅⋅⋅. 故填1a. 【名师点睛】本题考查指数幂的运算，属于基础题. 2．【答案】A【解析】当x ＞0时，y ＝a x ，因为01a <<，所以函数y ＝a x单调递减， 当x ＜0时，y ＝﹣a x，因为01a <<，所以函数y ＝﹣a x单调递增， 故选：A ．【名师点睛】本题考查了函数图象和识别，关键掌握函数的单调性，属于基础题. 3．【答案】B【解析】由0.6xy =的单调性可知： 1.50.600.60.60.61<<= 又0.601.5 1.51>=，c a b ∴>>，故选B.【名师点睛】本题考查与指数函数有关的大小比较问题，关键是利用指数函数单调性来确定所求数字的大致X 围，从而可判断出结果. 4．【答案】D【解析】因为221m n>>，所以由指数函数的单调性可得m n >， 因为,m n 的符号不确定，所以0,0m n <<时可排除选项A 、B ；3,12m n ==时，可排除选项C ， 由指数函数的性质可判断π1m n ->正确，故选D ．【名师点睛】用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而作出正确的判断，这种方法叫做特殊法.若结果为定值，则可采用此法.特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法既可以提高做题速度和效率，又能提高准确性. 5．【答案】C【解析】由题意，函数()2(0x mf x an a +=⨯->，且1)a ≠的图象恒过点()1,4-，所以10m -=，且124m a n -⋅-=， 解得1m =，2n =-，1m n ∴+=-， 故选：C ．【名师点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数的图象与性质，合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 6．【答案】B【解析】由题得1222x x a <⋅-在（0,1）上恒成立，设()2,1,2xt t =∈，所以()121,2a t t t<-∈，，由于函数()1()2,1,2f t t t t=-∈是增函数，所以()12111a f ≤=⨯-=，故选B ．1．【答案】D【解析】原式11143333122122x x x x x --=⋅+⋅=+.2．【答案】A【解析】因为1x <时，22x <；1x ≥时，2log 0x -≤，所以函数()f x 的值域是(),2-∞. 故选A ． 3．【答案】A【解析】由()2ex x f x -=，可得()01f =，排除选项C,D ；由指数函数图象的性质可得()0f x >恒成立，排除选项B ， 故选A.【名师点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． （2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 4．【答案】A【解析】分别画出2017xy =，2018xy =，实数a ，b 满足等式20172018a b =， 可得：0a b >>，0a b <<，0a b ==，而0a b <<不成立，故选A ．【名师点睛】本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．【答案】B【解析】函数()2(0)xf x x =<的值域为01（，），即01D =（，）， 则在区间()1,2-上随机取一个数x x D ∈，的概率()101.213P -=--＝故选B ． 6．【答案】D【解析】由题意得，当0x ≥时，x x f )21()(=，则不等式21)(>x f ，即11()22x >，解得01x ≤<； 又因为函数)(x f 是定义域为R 的偶函数，当0x <时，()2xf x =，则不等式21)(>x f ，即122x >，解得10x -<<，所以不等式21)(>x f 的解集为{}|11x x -<<，故选D ．7．【答案】D【解析】由题意，因为()2af x x -=与()xg x a =在区间()0,+∞上具有不同的单调性，则2a >，所以()0.211M a =->，0.111N a ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以M N >，故选D ．8．【答案】B【解析】画出函数()f x 的大致图象如图所示．不妨令a b c <<，则1221a b -=-，则222a b +=． 结合图象可得45c <<，故16232c <<． ∴1822234a b c <++<．故选B ．【名师点睛】解答本题时利用函数图象进行求解，使得解题过程变得直观形象．解题中有两个关键：一是结合图象得到222a b +=；二是根据图象判断出c 的取值X 围，进而得到16232c <<的结果，然后根据不等式的性质可得所求的X 围． 9．【答案】D【解析】由题意得，当0x ≥时，x x f )21()(=，则不等式21)(>x f ，即11()22x >，解得01x ≤<； 又因为函数)(x f 是定义域为R 的偶函数，当0x <时，()2xf x =，则不等式21)(>x f ，即122x >，解得10x -<<， 所以不等式21)(>x f 的解集为{}|11x x -<<. 故选D ． 10．【答案】3【解析】由题设可得111214,27,24abc===，则1121472a b -=÷=，即111113222422a b a b c --+=⇒=⨯=，即1113a b c-+=，故答案为3. 11．【答案】()1,3【解析】∵ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴函数()f x 图象的对称轴为π4x =，∴()π02f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即b a -=，∴0a b +=．在13ax b y ++=中，令1x =，则133a b y ++==．∴函数13ax b y ++=的图象恒过定点()1,3．故答案为()1,3． 12．【答案】4【解析】当1a >时，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 的图象过点(−1, −1)和点(0,0)，所以1010a b a b -⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩，该方程组无解；当01a <<时，函数()f x 单调递减，所以函数()f x 的图象过点(−1,0)和点(0, −1)，所以1001a b a b -⎧+=⎪⎨+=-⎪⎩，所以4b a =．13．【答案】（1）3log 4x =；（2）4(,]3-∞.【解析】（1）1m =时，12()934(3)3340xx x x f x +=--=-⋅-=，可得(34)(31)0xx-+=，30x >，34x ∴=，解得3log 4x =.（2）令3x t =，[]1,1x ∈-，1[,3]3t ∴∈.由()8f x ≥-，可得2348t mt --≥-，43m t t ≤+对1[,3]3t ∈恒成立，44t t +≥=，当且仅当4t t=，即2t =时，4t t +取得最小值为4，34m ∴≤，故43m ≤，m ∴的取值X 围为4(,]3-∞.14．【答案】（1）{}|3x x >；（2）1.【解析】设2x=t （t ＞0），则22ay t t a =--，（1）当2a =时，2()304320f x y t t >⇔=-->，即4t <-或8t ， ∵t ＞0，∴2x ＞8，即x ＞3， ∴不等式的解集是：{x |x ＞3}． （2）当(1,1)x ∈-时，必有对称轴101222a t -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，即0＜a ＜2， 最小值为()24(2)24a a m ---==-，化简得2222a a -+=，由于关于a 的函数222a a -+单调递增，故最多有一个实根，而当1a =时2222a a -+=，所以a 的值为1．1．【答案】D【解析】当01a <<时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合； 当1a >时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合. 综上，选D.【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值X 围，认识函数的单调性. 2．【答案】B【解析】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,c <=<=即01,c <<则a c b <<． 故选B ．【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小． 3．【答案】A【解析】因为551log 2log 2a =<=， 0.50.5log 0.2log 0.252b =>=， 10.20.50.50.5c <=<，即112c <<， 所以a c b <<. 故选A.【名师点睛】本题考查比较大小问题，关键是选择中间量和利用函数的单调性进行比较. 4．【答案】C【解析】取2,1a b ==，满足a b >，但ln()0a b -=，则A 错，排除A ； 由219333=>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，但|1||2|<-，则D 错，排除D ；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，即a 3−b 3>0，C 正确.故选C ．【名师点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的性质、幂函数的性质及绝对值的意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断． 5．【答案】C 【解析】()f x 是定义域为R 的偶函数，331(log )(log 4)4f f ∴=．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)上单调递减，∴23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案． 6．【答案】A【解析】∵0.200.30.31c =<=，22log 7log 42a =>=， 331log 8log 92b <=<=，∴c b a <<. 故选A.【名师点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时，要根据底数与1的大小进行判断. 7．【答案】B【解析】由已知可设2(0)()2(0)x x x f x x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则2(0)()2(0)aa a f a a -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，因为()f x 为偶函数，所以只考虑0a ≥的情况即可．若()2bf a ≤，则22a b ≤，所以a b ≤．故选B ．【思路点睛】先由已知条件可得()f x 的解析式，再由()f x 的解析式判断()f x 的奇偶性，进而对选项逐个进行排除． 8．【答案】D【解析】将函数()f x 的图象画出来，观察图象可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值X 围是()0-∞，，故选D ．【思路分析】首先根据题中所给的函数解析式，将函数图象画出来，从图中可以发现：若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果. 【名师点睛】该题考查的是通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图象，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，最后求得结果. 9．【答案】A【解析】由31x <可得033x <，则0x <，即{|0}B x x =<，所以{|1}{|0}AB x x x x =<<{|0}x x =<，{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=<，故选A.10．【答案】A【解析】()()113333xxxx f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该函数是奇函数，并且3xy =是增函数，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选A. 【名师点睛】本题属于基础题型，根据()f x -与()f x 的关系就可以判断出函数的奇偶性，利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数−减函数=增函数. 11．【答案】A【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ．【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构，联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及对数，则联系对数的单调性来解决． 12．【答案】C【解析】由题意得1|1||1||1|2113(2)(222|1|222a a a f f a a ---->⇒-><⇒-<⇒<<，故选C 【名师点睛】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：(1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效． (2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化． 13．【答案】C【解析】由题意()()f x f x =--，即2121,22x x x x a a --++=---所以(1)(21)0,1xa a -+==，21(),21x x f x +=-由21()321x x f x +=>-得122,01,x x <<<<故选C.14．【答案】1(,)4-+∞ 【解析】由题意得：当12x >时，12221x x -+>恒成立，即12x >；当102x <≤时，12112x x +-+>恒成立，即102x <≤；当0x ≤时，1111124x x x ++-+>⇒>-，即104x -<≤.综上，x 的取值X 围是1(,)4-+∞. 15．【答案】23-【解析】当01a <<时，函数()(01)xf x a b a a =+>≠,是减函数，在定义域]0,1[-上，值域为11,b b a ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，所以1110b b a +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，则()13=2=22a b ++--；当1a >时，函数()(01)x f x a b a a =+>≠,是增函数，在定义域]0,1[-上，值域为11b b a ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，，所以1011b b a+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，此方程组无解.综上，得3=2a b +-.。

2021年高考数学 第二章 第6课时 指数与指数函数知能演练轻松闯关新人教A 版1．函数y ＝3x 与y ＝－3－x 的图象关于________对称( )A ．x 轴B ．y 轴C ．直线y ＝xD ．原点解析：选D ．由y ＝－3－x ，得－y ＝3－x ，(x ，y )→(－x ，－y )，即关于原点中心对称．2．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2的值域是( ) A ．(0，＋∞) B ．(0，1)C ．(0，1]D ．[1，＋∞)解析：选C ．∵x 2≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2≤1，即值域是(0，1]． 3．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2（x ＜0）2x －1（x ≥0）的图象大致是( ) 解析：选B ．当x ＜0时，函数的图象是抛物线，当x ≥0时，只需把y ＝2x 的图象在y轴右侧部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B ． 4．(xx·东北三校联考)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞c ＞b B ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a解析：选A ．构造指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x (x ∈R)，由该函数在定义域内单调递减可得b ＜c ；又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x (x ∈R)与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x (x ∈R)之间有如下结论：当x ＞0时，有⎝ ⎛⎭⎪⎫35x ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫3525＞⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，∴a ＞c ，故a ＞c ＞B ．5．方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋a ＝0有正数解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，－2)C ．(－3，－2)D ．(－3，0) 解析：选D ．令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，因为方程有正根，所以t ∈(0，1)，则方程可转化为t 2＋2t ＋a ＝0，所以a ＝1－(t ＋1)2.因为t ∈(0，1)，所以a ∈(－3，0)．6.⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝________． 解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2. 答案：27．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )＞f (n )，则m 、n 的大小关系为________．解析：∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)．函数f (x )＝a x 在R 上递增，由f (m )＞f (n )，得m ＞n .答案：m ＞n8．已知函数f (x )＝2x －12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ≥0f （－x ），x ＜0，则函数g (x )的最小值是________．解析：当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x ＜0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x 为单调减函数，所以g (x )＞g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.答案：09．已知f (x )＝|2x －1|，求函数f (x )的单调区间．解：由f (x )＝|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥01－2x ，x ＜0. 可作出函数的图象如图．因此函数f (x )在(－∞，0)上递减；函数f (x )在[0，＋∞)上递增．10．求下列函数的定义域和值域．(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2；(2)y ＝ 32x －1－19. 解：(1)显然定义域为R.∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1， 且y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x为减函数． ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝12. 故函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. (2)由32x －1－19≥0，得32x －1≥19＝3－2， ∵y ＝3x 为增函数，∴2x －1≥－2，即x ≥－12， 此函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，由上可知32x －1－19≥0，∴y ≥0. 即函数的值域为[0，＋∞)． [能力提升]1．(xx·浙江绍兴一中月考)函数f (x )＝a |x ＋1|(a ＞0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( )A ．f (－4)＞f (1)B ．f (－4)＝f (1)C ．f (－4)＜f (1)D ．不能确定解析：选A ．由题意知a ＞1，∴f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2，由单调性知a 3＞a 2，∴f (－4)＞f (1)．2．已知实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，下列五个关系式： ①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝B ．其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B ．函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图象如图所示． 由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b 得a ＜b ＜0或0＜b ＜a 或a ＝b ＝0. 故①②⑤可能成立，③④不可能成立．3．已知函数f (x )＝ln(1－a 2x )的定义域是(1，＋∞)，则实数a 的值为________． 解析：由题意得，不等式1－a 2x ＞0的解集是(1，＋∞)，由1－a 2x ＞0，可得2x＞a ，故x ＞log 2a ，由log 2a ＝1，得a ＝2.答案：24．(xx·皖南八校联考)对于给定的函数f (x )＝a x －a －x (x ∈R ，a ＞0，a ≠1)，下面给出五个命题，其中真命题是________．(只需写出所有真命题的编号)①函数f (x )的图象关于原点对称；②函数f (x )在R 上不具有单调性；③函数f (|x |)的图象关于y 轴对称；④当0＜a ＜1时，函数f (|x |)的最大值是0；⑤当a ＞1时，函数f (|x |)的最大值是0.解析：∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，f (x )的图象关于原点对称，①对；当a ＞1时，f (x )在R 上为增函数，当0＜a ＜1时，f (x )在R 上为减函数，②错；y ＝f (|x |)是偶函数，其图象关于y 轴对称，③对；当0＜a ＜1时，y ＝f (|x |)在(－∞，0)上为增函数，在[0，＋∞)上为减函数，∴当x ＝0时，y ＝f (|x |)的最大值为0，④对；当a ＞1时，f (x )在(－∞，0)上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，∴当x ＝0时，y ＝f (x )的最小值为0，⑤错．综上，真命题是①③④.答案：①③④5．已知f (x )＝a a 2－1(a x －a －x)(a ＞0且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性；(2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1，1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称． 又因为f (－x )＝a a 2－1(a －x －a x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．(2)当a ＞1时，a 2－1＞0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x 为增函数．所以f (x )为增函数．当0＜a ＜1时，a 2－1＜0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x 为减函数．所以f (x )为增函数．故当a ＞0且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增．(3)由(2)知f (x )在R 上是增函数，所以在区间[－1，1]上为增函数．所以f (－1)≤f (x )≤f (1)．所以f (x )min ＝f (－1)＝a a 2－1(a －1－a )＝a a 2－1·1－a 2a＝－1. 所以要使f (x )≥b 在[－1，1]上恒成立，则只需b ≤－1.故b 的取值范围是(－∞，－1]．6．(选做题)设函数f (x )＝ka x －a －x (a ＞0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数．(1)若f (1)＞0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)＞0的解集；(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值． 解：∵f (x )是定义域为R 的奇函数，∴f (0)＝0，∴k －1＝0，即k ＝1.(1)∵f (1)＞0，∴a －1a＞0， 又a ＞0且a ≠1，∴a ＞1，f (x )＝a x －a －x，∵f ′(x )＝a x ln a ＋a －x ln a ＝(a x ＋a －x )ln a ＞0，∴f (x )在R 上为增函数．原不等式可化为f (x 2＋2x )＞f (4－x )，∴x 2＋2x ＞4－x ，即x 2＋3x －4＞0，∴x ＞1或x ＜－4，∴不等式的解集为{x |x ＞1或x ＜－4}．(2)∵f (1)＝32，∴a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0， ∴a ＝2或a ＝－12(舍去)， ∴g (x )＝22x ＋2－2x －4(2x －2－x )＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x )＋2.令t (x )＝2x －2－x (x ≥1)，则t (x )在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，即t (x )≥t (1)＝32，∴原函数变为w(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2，∴当t＝2时，w(t)min＝－2，此时x＝log2(1＋2)．即g(x)在x＝log2(1＋2)时取得最小值－ 2.C36130 8D22 财.24521 5FC9 忉36492 8E8C 躌39171 9903 餃20865 5181 冁27562 6BAA 殪30688 77E0 矠37916 941C 鐜。

2019高考数学一轮复习第2章函数与基本初等函数第6课时指数函数练习理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019高考数学一轮复习第2章函数与基本初等函数第6课时指数函数练习理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019高考数学一轮复习第2章函数与基本初等函数第6课时指数函数练习理的全部内容。

第6课时指数函数1．给出下列结论：①当a〈0时,（a2)错误!＝a3;②错误!＝|a｜（n>1，n∈N＊，n为偶数);③函数f(x）＝(x－2)错误!－(3x－7）0的定义域是｛x|x≥2且x≠错误!}；④若5a＝0。

3,0。

7b＝0。

8，则ab〉0.其中正确的是（)A．①②B．②③C．③④D．②④答案B解析(a2)错误!>0，a3<0，故①错，∵a〈0,b〉0,∴ab〈0.故④错．2．（2017·北京）已知函数f（x）＝3x－(13）x，则f(x)( ）A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数答案A解析∵f（－x)＝3－x－(错误!）－x＝(错误!）x－3x＝－[3x－(错误!）x］＝－f(x）,∴f(x)为奇函数．又函数y1＝3x在R上为增函数，y2＝（错误!）x在R上为减函数，∴y＝3x－(错误!）x在R上为增函数．故选A。

3．（2018·北京大兴区期末)下列函数中值域为正实数的是( ）A．y＝－5x B．y＝（错误!）1－xC．y＝错误!D．y＝3|x｜答案B解析∵1－x∈R，y＝(错误!）x的值域是正实数，∴y＝（错误!）1－x的值域是正实数．4．若函数f（x)＝(a＋错误!）cosx是奇函数,则常数a的值等于（)A．－1 B．1C．－错误! D.错误!答案D5．当x〉0时,函数f（x)＝(a2－1)x的值总大于1，则实数a的取值范围是（)A．1<|a|<2 B．｜a｜〈1C．｜a|〉错误!D．|a|<错误!答案C6．在同一直角坐标系中，函数f（x)＝2x＋1与g(x)＝21－x的图像关于( ）A．y轴对称B．x轴对称C．原点对称D．直线y＝x对称答案A解析g(x）＝（错误!）x－1，分别画出f（x)，g（x)的图像知，选A。

教学过程④负分数指数幂：a n m-＝a n m1＝1na m(a＞0，m，n∈N，且n＞1)；⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．(2)有理数指数幂的性质①a r a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质y＝a x a＞10＜a＜1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数辨析感悟1．指数幂的应用辨析(1)(4－2)4＝－2.( )(2)(教材探究改编)(na n)＝a.( )2．对指数函数的理解(3)函数y＝3·2x是指数函数．( )(4)y＝⎝⎛⎭⎪⎫1ax是R上的减函数．( )教学效果分析教学过程(5)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图，无论在y轴的左侧还是右侧图象从上到下相应的底数由大变小．( )(6)(2013·金华调研)已知函数f(x)＝4＋a x－1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是(1,5)．( )[感悟·提升]1．“na n”与“⎝⎛⎭⎫na n”的区别当n为奇数时，或当n为偶数且a≥0时，na n＝a，当n为偶数，且a＜0时，na n＝－a，而(na)n＝a恒成立．如(1)中4－2不成立，(2)中6－22＝32≠3－2. 2．两点注意一是指数函数的单调性是底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论，如(4)；二是指数函数在同一直角坐标系中的图象与底数的大小关系，在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大．如(5)．考点一指数幂的运算【例1】(1)计算：＋(－2)2；(2)若＝3，求的值．规律方法进行指数幂运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．需注意下列问题：(1)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示；(2)应用平方差、完全平方公式及a p a－p＝1(a≠0)简化运算．(2)教学效果分析教学过程考点二指数函数的图象及其应用【例2】(1)(2014·泰安一模)函数f(x)＝a x－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是________．①a＞1，b＜0；②a＞1，b＞0；③0＜a＜1，b＞0；④0＜a＜1，b＜0.(2)比较下列各式大小．①1.72.5______1.73；②0.6－1______0.62；③0.8－0.1______1.250.2；④1.70.3______0.93.1.规律方法(1)对指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解．(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解．【训练2】已知实数a，b满足等式2 011a＝2 012b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有________．教学效果分析教学过程1．判断指数函数图象的底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．2．对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成．3．画指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a.4．熟记指数函数y＝10x，y＝2x，y＝⎝⎛⎭⎪⎫110x，y＝⎝⎛⎭⎪⎫12x在同一坐标系中图象的相对位置，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系．易错辨析2——忽略讨论及验证致误【典例】(2012·山东卷)若函数f(x)＝a x(a＞0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.[防范错施] (1)指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论．(2)根据函数的单调性求最值是求函数最值的常用方法之一，熟练掌握基本初等函数的单调性及复合函数的单调性是求解的基础．【自主体验】当x∈[－2,2]时，a x<2(a>0，且a≠1)，则实数a的范围是________．教学效果分析课堂巩固一、填空题1．(2014·郑州模拟)在函数①f (x )＝1x ；②f (x )＝x 2－4x ＋4；③f (x )＝2x ；④f (x )＝中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)”的是________．2．函数y ＝a x －1a (a ＞0，a ≠1)的图象可能是________．3.a 3a ·5a 4(a ＞0)的值是________．4．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于________．5．函数y ＝a x －b (a ＞0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b 的取值范围为________．6．(2014·济南一模)若a ＝30.6，b ＝log 30.2，c ＝0.63，则a 、b 、c 的大小关系为________．7．(2014·盐城模拟)已知函数f (x )＝a －x (a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________．8．函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．9．函数f (x )＝a x －3＋m (a ＞1)恒过点(3,10)，则m ＝________. 10．(2014·杭州质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x >7是定义域上的递减函数，则实数a 的取值范围是________． 11．(2014·惠州质检)设f (x )＝|3x －1|，c ＜b ＜a 且f (c )＞f (a )＞f (b )，则关系式3c ＋3a ________2(比较大小)．二、解答题12．设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．。

3.3 指数运算及指数函数（精讲）（提升版）思维导图考点一 指数运算【例1-1】（2022·江西）化简()()()146230.2534162232242820229-=⎛⎫⨯⨯+-⨯-⨯+- ⎪⎝⎭___.【答案】214【解析】原式＝4611111332332244432232242212234⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯-⨯-⨯+=⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋2－3－2＋1＝214.故答案为：214.【例1-2】（2022·江苏）化简：3216824111111111111222222=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________．【答案】63122-【解析】原式32168421111111111111122222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⨯-⨯ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭321246821111111111112222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++⨯-⨯ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 43218461111111111222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⨯-⨯ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 3216881111111122222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⨯-⨯ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 3216161111112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⨯-⨯ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 32321111222⎛⎫⎛⎫=+⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭考点呈现例题剖析641122⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭ 63122=-故答案为：63122-﹒ 【一隅三反】1．（2022·河南） 2103ln 23341985()16π125log 32lg 4lg e 278--++++_____．【答案】194【解析】原式=ln log lg lg lg e ⎛⎫⨯- ⎪⨯⎝⎭⎛⎫=-+--++-+ ⎪⎝⎭82313432584321215432()lg lg lg lg =-+--+++-+29121532532842 =-+--++=911921518424. 故答案为：194. 2．（2022·全国·高三专题练习）131.5-×76⎛⎫- ⎪⎝⎭0＋80.254232362323⎛⎫⎪⎝⎭=____________ 【答案】110【解析】原式＝113132334422()2223210811033⎛⎫+⨯+⨯=+= ⎪⎝⎭－.故答案为：1103．（2021·江苏省）已知4log 3x =，则332222x xx x--++的值为___________．【答案】73【解析】因为4log 3x =，所以43,23x x ==所以3322222222(222222)(212)17212(2)1(2)3133x x x x xx x x x x x x x x --------+-+++==++=-+=-+=. 故答案为：73考点二 单调性【例2-1】（2021·安徽）函数242()e 2e x x f x --=-的单调递增区间为（ ） A ．[2,)+∞B ．[1,)+∞C ．[0,)+∞D ．[2,)-+∞【答案】A【解析】令2e (0)x t t -=>，则原函数可化为22y t t =-，该函数在[1,)t ∈+∞上单调递增， 又2e x t -=在R 上单调递增，当2x =时，1t =，故242()e 2e x x f x --=-在[2,)x ∈+∞上单调递增，故选：A. 【例2-2】（2021·北京市）已知函数()1x f x e -＝|在区间[),a +∞上是增函数，则实数a 的取值范围是_____. 【答案】[)1,+∞【解析】由x y e =的图象向右平移1个单位，可得()1x f x e =﹣的图象，因为xy e =是偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，所以函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，因为函数()1x f x e-＝|在区间[),a +∞上是增函数，所以[)[),1,a +∞⊆+∞，解得1a ≥，所以实数a 的取值范围是[)1,+∞.故答案为：[)1,+∞.【例2-3】（2022·河南省）已知函数()()23,1,111,1248x xa x x f x a x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫⎛⎫-⋅+-<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩满足对任意的实数12,x x ，且12x x ≠，都有()()21120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[)1,+∞B ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】因为对任意的实数12,x x ，且12x x ≠，都有()()21120f x f x x x ->-成立，所以，对任意的实数12,x x ，且12x x ≠，()()12120f x f x x x -<-，即函数()f x 是R 上的减函数．因为()()23,1,111,1248x xa x x f x a x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫⎛⎫-⋅+-<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩， 令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12t >，要使()118142xxf x a ⎛⎫=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭⋅- ⎪⎝⎭在(),1-∞上单调递减，所以，218y t at =--在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．另一方面，函数()23,1y a x x =-≥为减函数，所以，230122112328a a a a ⎧⎪-<⎪⎪≤⎨⎪⎪-≤-+⎪⎩，解得314a ≤≤，所以实数a 的取值范围是3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选：D ． 【一隅三反】1．（2022·辽宁沈阳）已知函数||||()x x f x e e -=-，则函数()f x （ ） A ．是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增 B ．是奇函数，且在(0,)+∞上单调递减 C ．是奇函数，且在(0,)+∞上单调递增 D ．是偶函数，且在(0,)+∞上单调递减 【答案】A【解析】∵ ||||()x x f x e e -=-∴||||||||()()x x x x f x e e e e f x -----=-=-=，∴ 函数||||()x x f x e e -=-为偶函数，当(0,)x ∈+∞时，1()=x x x xf x e e e e -=--， ∵ 函数x y e =在(0,)+∞上单调递增，函数1xy e =在(0,)+∞上单调递减， ∴()x x f x e e -=-在(0,)+∞上单调递增，即函数||||()x x f x e e -=-在(0,)+∞上单调递增.故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数,0()(3)4,0x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩满足对任意x 1≠x 2，都有(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0成立，则a 的取值范围为（ ） A ．1(0,]4B ．(0，1)C ．1[,1)4D ．(0，3)【答案】A【解析】因对任意x 1≠x 2，都有(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0成立，不妨令x 1<x 2，则f (x 1)>f (x 2)，于是可得f (x )为R 上的减函数，则函数x y a =在(,0)-∞上是减函数，有01a <<， 函数(3)4y a x a =-+在[0,)+∞上是减函数，有30a -<，即3a <， 并且满足：0(0)a f ≥，即41a ≤，解和14a ≤，综上得104a <≤， 所以a 的取值范围为1(0,]4.故选：A3．（2022·上海奉贤区致远高级中学高三开学考试）函数331xx ay =++在()0+∞，内单调递增，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】(],4-∞【解析】当0a <时，在0,上，()3x f x =单调递增，()31x a g x =+单调递增，即331xx a y =++单调递增，符合题意； 当0a =时，3x y =在0,内单调递增，符合题意；当0a >时，311(31)1213131x xx x a a y a =++-≥+⋅=++， 11a ≤，04a <≤时，等号不成立，此时y 在0,内单调递增，符合题意；11a >，4a >时，若当且仅当3log (1)x a =时等号成立，此时y 在()3og (),l 1a ∞+内单调递增，不符合题意.综上，有(],4a ∈-∞时，函数331xx ay =++在0,内单调递增.故答案为：(],4-∞.考点三 最值（值域）【例3-1】（2022·北京·高三专题练习）已知函数()1424x x f x +=-+，[]1,1x ∈-，则函数()y f x =的值域为（ ）．A ．[)3,+∞B ．[]3,4C ．133,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】依题意，函数()2)(2224x xf x =-⨯+，[]1,1x ∈-，令2x t =，则2x t =在[]1,1x ∈-上单调递增，即122t ≤≤，于是有2224(1)3y t t t =-+=-+，当1t =时，min 3y =，此时0x =，min ()3f x =， 当2t =时，max 4y =，此时1x =，max ()4f x =，所以函数()y f x =的值域为[]3,4.故选：B【例3-2】（2022·北京）已知函数()1,0,2,0x x f x x a x ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0a < B ．0a >C ．1a ≤D ．1a ≥【答案】D【解析】函数()1,0,2,0x x f x x a x ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩，当0x <时，由反比例函数的性质得：()(),0f x ∈-∞； 当0x ≥时，由指数函数的性质得：()[1,)f x a ∈-∞因为函数()1,0,2,0x x f x xa x ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩的值域为R ，所以10a -≤，解得 1a ≥，故选；D 【一隅三反】1．（2022·宁夏）已知()242,01,0x x m x f x x x x +⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩的最小值为2，则m 的取值范围为（ ） A ．(],3-∞ B ．(],5-∞ C ．[)3,+∞ D ．[)5,+∞【答案】D【解析】当0x >时，11()2f x x x x x=+≥⋅， 又因为()242,01,0x x m x f x x x x +⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩的最小值为2，所以需要当0x ≤时，()2f x ≥ 恒成立， 所以2422x x m +-+≥在(],0x ∈-∞恒成立，所以2422+x x m +≥-+在(],0x ∈-∞恒成立， 即()2+4222x x m ⨯≥-+在(],0x ∈-∞恒成立，令2x t = ，则01t <≤，原式转化为2+42m t t ≥-⨯+在(]0,1t ∈恒成立， 2()2+4g t t t =-⨯+是二次函数，开口向下，对称轴为直线2t =，所以在(]0,1t ∈上()g t 最大值为(1)5g =，所以5m ≥，故选：D.2．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数211(0)()2(0)x x f x x x x ⎧-++≤=⎨->⎩，则函数()12f x y -=在区间[](),220t t t +-≤≤上的最小值的取值范围是（ ） A ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．11,42⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】作出()f x 的图象，如图，结合函数图象可知：当21t -≤<-时，2min ()(2)2f x f t t t =+=+，当10t -≤≤时，min ()(1)1f x f ==-. 所以函数221min2,211,104t t t y t +-⎧-≤<-⎪=⎨-≤≤⎪⎩，而21t -≤<-时，22211t t -<+-≤-，所以22111242t t +-<≤， 综上，11,42y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故选：D3．（2021·河南）若函数12()42x x f x a -=-+[0,)+∞，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．[0,)+∞【答案】C 【解析】因为()1221114221222x x x a a a --+=-+-≥-，且()f x 的值域为[0,)+∞，所以102a -≤，解得12a ≤.故选：C. 4．（2022·全国·高三专题练习）已知1a >，则函数2||||1()22x x g x a a =++的值域为（ ） A ．7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．[2,)+∞C ．72,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．72,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】函数2||||1()22x x g x a a =++是R 上偶函数，因1a >，即函数x y a =在R 上单调递增， 而R x ∈，||0x ≥，令||x a t =，则1t ≥，因此，原函数化为：2122y t t =++，显然2122y t t =++在[1,)t ∈+∞上单调递增，则当1t =时，2min 1711222y =⨯++=，所以函数2||||1()22x x g x a a =++的值域为7[,)2+∞.故选：A 5．（2022·河南焦作·二模（理））已知函数121()()2x x f x a a ++=∈+R 为奇函数，且()y f x =的图象和函数()2x g x m =+的图象交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点M 在直线14y =上，则()g x 的值域为（ ） A ．(2,)-+∞ B ．(1,)-+∞ C ．(1,)+∞ D ．(2,)+∞【答案】B【解析】因为()f x 为奇函数，所以(1)(1)f f -=-，即111111212122a a--++++=-++，解得2a =-， 经检验121()22x x f x ++=-为奇函数，定义域为(,0)(0,)-∞+∞，符合题意.联立121222x x x y y m +⎧+=⎪-⎨⎪=+⎩，消去2x 得到关于y 的二次方程22(23)10y m y m -++-=，()()22212384444144002m m m m m ⎛⎫∆=+--=++=++> ⎪⎝⎭，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1232y y m +=+，因为AB 的中点M 的纵坐标为14，所以3122m +=，解得1m =-.所以()12x g x =-+，所以()g x 的值域为(1,)-+∞.故选：B考点四 指数式比较大小【例4-1】（2022·河南焦作）若32a =，26b=，38c =，a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】A【解析】因为32a =，所以33273282a ==， 因为26b=，所以22log 6log 42b =>=，因为38c =，所以33log 8log 92c =<=，同时333log 8log 272>=，所以a c b <<.故选：A ．【例4-2】（2022·江西·二模（理））设 1.3e 7,4 1.14,2ln1.1a b c =-==，则( ) A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c << D ．c a b <<【答案】B【解析】∵()21.32.633e e e 3=<<，23(27)283=>， 1.3e 7∴<0a ∴<； ()4 1.142ln1.122 1.12ln1.1b c -=-=-，令()22ln f x x x =-，∴()11x f x x x -==' ∴当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；∴()min ()10f x f ==，∴()1.10f >，即 1.12ln1.10->，c b ∴<， 又2ln1.12ln10c =>=，∴a c b <<．故选：B ． 【一隅三反】1．（2022·河南洛阳）已知108a =，99b =，810c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b c a >> B ．b a c >> C ．a c b >> D ．a b c >>【答案】D【解析】构造()()18ln f x x x =-，8x ≥，()18ln 1f x x x+'=--， ()18ln 1f x x x+'=--在[)8,+∞时为减函数，且()295558ln81ln8ln e 204444f =-+-=-<-=-<'， 所以()18ln 10f x x x=-+-<'在[)8,+∞恒成立，故()()18ln f x x x =-在[)8,+∞上单调递减， 所以()()()8910f f f >>，即10ln89ln98ln10>>，所以10988910>>，即a b c >>.故选：D 2．（2022·河南）已知20212022a =，20222021b =，ln 2c =，则（ ） A ．log log a b c c > B ．log log c c a b > C ．c c a b < D ．a b c c <【答案】D【解析】20212021log 2022log 20211a =>=，2022202220220log 1log 2021log 20221b =<=<=， 0ln1ln 2lne 1c =<=<=，即01c <<，所以，log log 10a a c <=，log log 10b b c >=，则log log a b c c <，即A 错误；a b >，01c <<，所以，log log c c a b <，c c a b >，a b c c <，即BC 都错误，D 正确.故选：D.3．（2022·江苏苏州）已知11e 2,e ,x y z ππ===，则,,x y z 的大小关系为（ ） A ．x y z >> B ．x z y >> C ．y x z >> D ．y z x >>【答案】D【解析】由11e 2,e ,x y z ππ===，得111ln ln 2,ln e,ln 2e x y z ππ===，令()()ln 0x f x x x =>，则()()21ln 0xf x x x-'=>，当0e x <<时，()0f x '>，当e x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,e 上递增，在[)e,+∞上递减， 又因11ln ln 2ln 424x ==，e 34,<<且[)e,3,4e,∈+∞，所以()()()e 34f f f >>，即ln ln ln y z x >>，所以y z x >>.故选：D.考点五 解不等式【例5-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()22x xf x -=-，则不等式()()220f x f x x +->的解集为（ ）A ．()0,1B ．()3,0-C ．()(),10,-∞-⋃+∞D ．()(),03,-∞+∞【答案】C【解析】函数()22x x f x -=-定义域为R ，()22()x x f x f x --=-=-，则函数()f x 是奇函数，是R 上增函数，()()()222)0(2f x f x x f f x x x +->-⇔->，于是得22x x x ->-，解得1x <-或0x >，所以所求不等式的解集是()(),10,-∞-⋃+∞.故选：C【例5-2】（2022·浙江·舟山中学）已知函数()()()2101102x x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-+<⎪ ⎪⎝⎭⎩，若[]2,2x t t ∀∈-+都有()()220f x f t x +-≥成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．1t ≥或2t ≤-B ．1t ≥C ．2t ≥或1t ≤-D ．2t ≥【答案】D【解析】当0x >时，则0x -<，()()11212-⎛⎫-=-+=-+=- ⎪⎝⎭xx f x f x ，当0x <时，则0x ->，()()12112-⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭xx f x f x ，()00210=-=f ，所以()f x 为奇函数，因为0x >时()21xf x =-为增函数，又()f x 为奇函数，()f x 为x ∈R 上单调递增函数， ()f x 的图象如下，由()()220f x f t x +-≥得()()()2222≥--=-+f x f t x f t x ，所以22≥-+x t x ，即2≤x t 在[]2,2x t t ∀∈-+都成立，即2222⎧+≤⎨-<+⎩t t t t ，解得2t ≥.故选：D.【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）已知()231xf x a =-+（a 为常数）为奇函数，则满足()()1f x f >的实数x 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．(),1-∞C ．()1,-+∞D ．(),1-∞-【答案】A【解析】因为函数()31x f x a =+为奇函数，所以22()()03131x x f x f x a a -+-=-+-=++，223203113xx xa ⋅--=++，得1a =所以()2131x f x =-+， 任取12x x >，则1233x x >，则()()()()()12122112121233222211031331313131x x x x x x x x f x f x +-⎛⎫⎛⎫-=---=-=> ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭， 所以，()()12f x f x >，则函数()f x 为R 上的增函数，由()()1f x f >，解得1x >.故选：A. 2．（2021·山东）已知函数()22121x f x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，若对任意的[]3,3m ∈-，都有()()10f ma f a m +-+≥恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ B ．(][),11,-∞-+∞C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]1,2【答案】C【解析】对任意的x ∈R ，210x +>，所以，函数()f x 的定义域为R ，由()22212()12121-⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭xx x x f x x ， 可得()()()()2221112212122111222x x xx x x x x x x x f x f x -⎛⎫- ⎪-⎝⎭-====-+++， 可知函数()f x 为奇函数，又由()00f =，当0x ≥时，函数()2g x x =和()22112121x x x h x -=-=++单调递增， 任取120x x >≥，则()()120g x g x >≥，()()120h x h x >≥，可得()()()()11220g x h x g x h x >≥，即()()12f x f x >，所以，函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，则函数()f x 在(],0-∞上单调递增， 由于函数()f x 在R 上连续，则函数()f x 在R 上的增函数，由()()10f ma f a m +-+≥，有()()()11f ma f a m f m a ≥--+=--， 有1≥--ma m a ，可得()110m a a -++≥，由题意可知，不等式()110m a a -++≥对任意的[]3,3m ∈-恒成立， 有()()31103110a a a a ⎧-++≥⎪⎨--++≥⎪⎩，解得122a ≤≤．故选：C.3．（2022·全国·高三专题练习）设()22021120211x x f x x -=++，则()231124a f a f a a⎛⎫+>+++ ⎪⎝⎭的解集为（ ） A ．4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()4,0,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．(),0-∞【答案】B【解析】()22021120211x x f x x -=++的定义域为R. 因为()112211202112021111212021120211a a a a f a a a a ++++--+=++=+++++， 112212222111122202110211420211202121aa a aa f a a a ++++--⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪++⎭+⎝⎝⎭+所以()231124a f a f a a ⎛⎫+>+++ ⎪⎝⎭可化为：11121220211202112021120211a a a a ++++-->++ 令()2021120211x x g x -=+，即()112a g a g ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭. 下面判断()2021120211x x g x -=+的单调性和奇偶性.因为()()20211120212021120211x xx x g x g x -----===-++，所以()2021120211x x g x -=+为奇函数；而()2021120212212021120211211021x x x x x g x --===-++++，因为2021x y =在R 上为增函数， 所以()g x 在R 上单调递增.所以()112a g a g ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭可化为：112a a +>+，即112a a +>+或112a a ⎛⎫+<-+ ⎪⎝⎭， 解得：0a >或43a <-.所以原不等式的解集为()4,0,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭.故选：B考点六 定点【例6】（2022·新疆阿勒泰）函数11x y a -=+图象过定点A ，点A 在直线()31,0mx ny m n +=>>上，则121m n+-最小值为___________. 【答案】92【解析】当1x =时，012y a =+=，11x y a -∴=+过定点()1,2A ， 又点A 在直线3mx ny +=上，23∴+=m n ，即()122m n -+=， 1m >，0n >，10m ∴->，()()()21121121212512121m n m n m n m n m n -⎛⎫⎛⎫∴+=+-+=++≥ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭()2112952212m n m n ⎛- +⋅= -⎝（当且仅当()2121m n m n -=-，即53m =，23n =时取等号），121m n∴+-的最小值为92.故答案为：92.【一隅三反】1．（2022·内蒙古）函数log (3)1(01)a y x a a =-+>≠且的图象恒过定点P ，若点P 在直线10mx ny +-=上，其中0mn >，则11+m n的最小值为___________. 【答案】9【解析】∵log a y x =恒过定点()1,0， ∴log (3)1a y x =-+过定点()4,1P ∴410m n +-=，即41m n +=， ∴11m n +=()114m n m n ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭45n m m n=++≥9， 当且仅当414m n n m m n +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1613m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立，∴所以11+m n的最小值为9， 故答案为：9.2．（2022·云南）函数11(0,1)x y a a a -=+>≠恒过定点P ，则()2ln f x mx x x =+在P 点处的切线方程为_____. 【答案】530x y --=【解析】∵函数11(0,1)x y a a a -=+>≠， 令10x -=，得1,2x y ==，即定点()1,2P ，又()2ln f x mx x x =+，∴2m =，()22ln f x x x x =+，∴()4ln 1f x x x '=++，()1415f '=+=，∴()2ln f x mx x x =+在P 点处的切线方程为()251y x -=-，即530x y --=.故答案为：530x y --=.3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线方程1(0,0)x ya b a b+=>>经过指数函数11x y e -=+的定点，则2ab a b ++的最小值______________. 【答案】16【解析】指数函数11x y e -=+的定点为(1,2)， 因为直线方程1(0,0)x ya b a b +=>>定点(1,2)，所以121a b+=，即2a b ab +=则()1222(2)22ab a b a b a b a b ⎛⎫++=⨯+=⨯+⋅+ ⎪⎝⎭442422416b a b a a b a b ⎛⎫⎛⎫⨯++≥⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当4b aa b=即2,4a b ==时取得最小值. 故答案为：16。

高一数学上册指数函数知识点及练习题含答案YKK standardization office【 YKK5AB- YKK08- YKK2C- YKK18】课时4指数函数一. 指数与指数幂的运算（1）根式的概念 ①如果,,,1nxa a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的nn 是偶数时，正数a 的正的n n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,mnaa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rs r s aa a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈二.指数函数及其性质（4）指数函数定义域R值域（0,+∞）过定点图象过定点（0,1），即当x=0时，y=1．奇偶性非奇非偶单调性在R上是增函数在R上是减函数函数值的变化情况y＞1(x＞0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＜0)y＞1(x＜0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＞0)a变化对图象影响在第一象限内，a越大图象越高，越靠近y轴；在第二象限内，a越大图象越低，越靠近x轴．在第一象限内，a越小图象越高，越靠近y轴；在第二象限内，a越小图象越低，越靠近x轴．三.例题分析1.设a、b满足0<a<b<1,下列不等式中正确的是( C )<a b <b b <b a <a b解析：A、B不符合底数在(0,1)之间的单调性; C、D指数相同,底小值小.故选C.2.若0<a<1,则函数y=a x与y=(a-1)x2的图象可能是( D )解析：当0<a<1时,y=a x为减函数,a-1<0,所以y=(a-1)x2开口向下,故选D.3.设指数函数f(x)=a x(a>0且a≠1),则下列等式中不正确的是( D )(x+y)=f(x)f(y) (x-y)=)()(yfxf(nx)=［f(x)］n ［(xy)n］=［f(x)］n［f(y)］n(n∈N*)解析：易知A、B、C都正确.对于D,f［(xy)n］=a(xy)n,而［f(x)］n·［f(y)］n=(a x)n·(a y)n=a nx+ny,一般情况下D不成立.4.设a=31)43(-,b=41)34(-,c=43)23(-,则a、b、c的大小关系是( B )<a<b <b<a <a<c <c<a解析：a=413131)34()34()43(>=-=b, b=434141)23()278()34(-=>=c. ∴a>b>c.5.设f(x)=4x -2x+1,则f -1(0)=______1____________. 解析：令f -1(0)=a,则f(a)=0即有4a -2·2a=0. 2a ·(2a -2)=0,而2a >0, ∴2a=2得a=1.6.函数y=a x-3+4(a>0且a ≠1)的反函数的图象恒过定点______(5,3)____________.解析：因y=a x 的图象恒过定点(0,1),向右平移3个单位,向上平移4个单位得到y=a x-3+4的图象,易知恒过定点(3,5). 故其反函数过定点(5,3).7.已知函数f(x)=xx xx --+-10101010.证明f(x)在R 上是增函数. 证明：∵f(x)=1101101010101022+-=+---x x xx x x , 设x 1<x 2∈R ,则f(x 1)-f(x 2)=)110)(110()1010(21101101101101010101010101010212122112222111122222222++-=+--+-=+--+-----x x x x x x x x x x x x x x x x . ∵y=10x是增函数, ∴21221010x x -<0.而1210x +1>0,2210x +1>0,故当x 1<x 2时,f(x 1)-f(x 2)<0,即f(x 1)<f(x 2). 所以f(x)是增函数.8.若定义运算a ⊗b=⎩⎨⎧<≥,,,,b a a b a b 则函数f(x)=3x ⊗3-x 的值域为( A )A.(0,1]B.［1,+∞)C.(0,+∞)D.(-∞,+∞)解析：当3x ≥3-x ,即x ≥0时,f(x)=3-x∈(0,1］;当3x<3-x,即x<0时,f(x)=3x∈(0,1). ∴f(x)=⎩⎨⎧<≥-,0,3,0,3x x x x 值域为(0,1).9.函数y=a x 与y=-a -x (a>0,a ≠1)的图象( C ) A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称C.关于原点对称D.关于直线y=-x 对称解析：可利用函数图象的对称性来判断两图象的关系. 10.当x ∈［-1,1］时,函数f(x)=3x -2的值域为_______［-35,1］___________. 解析：f(x)在［-1,1］上单调递增.11.设有两个命题:(1)关于x 的不等式x 2+2ax+4>0对一切x ∈R 恒成立;(2)函数f(x)=-(5-2a)x 是减函数.若命题(1)和(2)中有且仅有一个是真命题,则实数a 的取值范围是_______(-∞,-2) __________.解析：(1)为真命题⇔Δ=(2a)2-16<0⇔-2<a<2. (2)为真命题⇔5-2a>1⇔a<2. 若(1)假(2)真,则a ∈(-∞,-2]. 若(1)真(2)假,则a ∈(-2,2)∩［2,+∞］=∅. 故a 的取值范围为(-∞,-2).12.求函数y=4-x -2-x +1,x ∈［-3,2］的最大值和最小值.解：设2-x=t,由x ∈［-3,2］得t ∈［41,8］,于是y=t 2-t+1=(t-21)2+43.当t=21时,y 有最小值43. 这时x=1. 当t=8时,y 有最大值57. 这时x=-3. 13.已知关于x 的方程2a 2x-2-7a x-1+3=0有一个根是2,求a 的值和方程其余的根. 解：∵2是方程2a 2x-2-9a x-1+4=0的根,将x=2代入方程解得a=21或a=4. (1)当a=21时,原方程化为2·(21)2x-2-9(21)x-1+4=0. ① 令y=(21)x-1,方程①变为2y 2-9y+4=0, 解得y 1=4,y 2=21.∴(21)x-1=4⇒x=-1,(21)x-1=21⇒x=2. (2)当a=4时,原方程化为2·42x-2-9·4x-1+4=0.②令t=4x-1,则方程②变为2t 2-9t+4=0. 解得t 1=4,t 2=21. ∴4x-1=4⇒x=2, 4x-1=21⇒x=-21. 故方程另外两根是当a=21时,x=-1; 当a=4时,x=-21. 14.函数y=243)31(x x -+-的单调递增区间是( D )A.［1,2］B.［2,3］C.(-∞,2]D.［2,+∞)解析：因为y=3x2-4x+3,又y=3t 单调递增,t=x 2-4x+3在x∈［2,+∞)上递增,故所求的递增区间为［2,+∞).15.已知f(x)=3x-b (2≤x ≤4,b 为常数)的图象经过点(2,1),则F(x)=f 2(x)-2f(x)的值域为( B ) A.［-1,+∞) B.［-1,63) C.［0,+∞) D.(0,63］解析：由f(2)=1,得32-b =1,b=2,f(x)=3x-2.∴F(x)=［f(x)-1］2-1=(3x-2-1)2-1.令t=3x-2,2≤x≤4.∴g(t)=(t -1)2-1,t∈［1,9］. ∴所求值域为［-1,63］.指数函数练习1．下列各式中成立的一项（ ）A ．7177)(m n mn=B ．31243)3(-=-C ．43433)(y x y x +=+D ．3339=2．化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果（ ） A ．a 6 B ．a - C ．a 9-D ．29a3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是（ ）A ．f (x +y )=f(x )·f (y )B ．)()(y f x f y x f =-）（ C ．)()]([)(Q n x f nx f n∈=D ．)()]([·)]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n4．函数210)2()5(--+-=x x y（ ）A ．}2,5|{≠≠x x xB ．}2|{>x xC ．}5|{>x xD ．}552|{><<x x x 或5．若指数函数x a y =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于（ ） A ．251+B ．251+- C ．251± D ．215± 6．当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax =的图象只可能是（ ）7．函数||2)(x x f -=的值域是（ ） A ．]1,0(B ．)1,0(C ．),0(+∞D ．R8．函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ，满足1)(>x f 的x 的取值范围（ ）A ．)1,1(-B ． ),1(+∞-C ．}20|{-<>x x x 或D ．}11|{-<>x x x 或9．函数22)21(++-=x x y 得单调递增区间是（ ）A ．]21,1[-B ．]1,(--∞C ．),2[+∞D ．]2,21[10．已知2)(xx e e x f --=，则下列正确的是（ ）A ．奇函数，在R 上为增函数B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数11．已知函数f (x )的定义域是（1，2），则函数)2(x f 的定义域是 . 12．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点 . 三、解答题：13．求函数y x x =--1511的定义域.14．若a ＞0，b ＞0，且a +b =c ，求证：(1)当r ＞1时，a r +b r ＜c r ；(2)当r ＜1时，a r +b r ＞c r .15．已知函数11)(+-=x x a a x f (a ＞1).（1）判断函数f (x )的奇偶性；（2）证明f (x )在(－∞，+∞)上是增函数.16．函数f(x)＝a x(a>0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2，求a 的值．参考答案一、DCDDD AAD D A二、11．(0,1)； 12．(2，－2)； 三、13． 解：要使函数有意义必须：x xx x x -≠-≠⎧⎨⎪⎩⎪⇒≠≠⎧⎨⎩101010∴定义域为：{}x x R x x ∈≠≠且01,14． 解：rrrrr c b c a c b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+，其中10,10<<<<cbc a . 当r ＞1时，1=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a rr，所以a r +b r ＜c r； 当r ＜1时，1=+>⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a rr ，所以a r +b r ＞c r .15．解：(1)是奇函数.(2)设x 1＜x 2，则1111)()(221121+--+-=-x x x x a a a a x f x f 。

指数与指数函数典型题解及练习例题分析第一阶梯[例1]求下列各式的值；分析：根式可化为分数指数幂形式，利用分数指数幂运算性质计算。

解：说明：既含有分数指数幂，又有根式，一般把根式统一化成分数指数幂的形式，便于计算，如果根式中根指数不同，也应化成分数指数幂的形式。

例2、指出下列函数中哪些是指数函数；(1)y=4x; (2)y=x4; (3)y=-4x; (4)y=(-4)x; (5)y=πx;(7)y=x x;分析：根据指数函数定义进行判断。

解：（1）、（5）为指数函数；（2）不是指数函数；（3）是-1与指数函数4x的乘积；（4）中底数-4<0，∴不是指数函数；（6）中指数不是自变量x，而是x的函数x2;（7）中底数x不是常数。

它们都不符合指数函数的定义。

说明：指数函数严格限定在y=a x(a>0且a≠1)这一结构，（2）（3）（4）（6）（7）均不是指数函数，不具备指数函数的基本性质。

第二阶梯例3、A、1B、2a-1C、1或2a-1D、0思路分析:根据根式的意义直接进行判断.解:(2)取a=0,b=1,A不成立;取a=0,b=-1,C不成立;取a=-1,b=-1,D不成立;因为a2+b2≥0,所以B正确,故选B.答案:(1)C (2)B例4、函数f(x)=x2-bx+c满足f(1+x)=f(1-x),且f(0)=3,则f(b x)与f(c x)的大小关系是_______。

思路分析：利用二次函数、指数函数的单调性，结合函数的有关知识进行解答。

解答：∵f(1+x)=f(1-x),∴f(x)的对称轴为x=1,由此得b=2,又∵f(0)=3,∴c=3.∴f(x)=x2-2x+3在（-∞，1）内递减，在（1，+∞）内递增。

若x≥0,则3x≥2x≥1,∴f（3x)≥f(2x).若x＜0，则3x＜2x＜1, ∴f(3x)＞f(2x).即总有f（3x)≥f(2x)，故应填f（c x)≥f(b x).第三阶梯例5、计算下列各式；解：说明：一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的。

【名师点睛】高中数学必修一指数及指数函数知识点+例题+课堂练习+课后练习题(含答案)指数与指数函数1.指数及其相关概念:n, (1)n次方根:如果存在实数x，使得x=a(a?R,n>1,n?N)，那么x叫做a的n 次方根.(2)求a的n次方根，叫做a开n次方，称作开方运算;当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.表示为: ;当n是偶数时，正数的n次方根有个，表示为 ; 2.分数指数:mn 正分数指数幂:a= ;(a>0,m,n?N*,且n>1)m,n 负分数指数幂:a= = ;(a>0,m,n?N*,且n>1) 3.指数幂的运算性质:nnnnnn = ;= (当n为奇数时);= = (当n为偶数时); aa(a)rs (1)a?a= ;(a>0,r,s?Q)sr (2)(a)= = ;(a>0,b>0,r,s?Q)3)(ab)r= ;(a>0,b>0,r,s?Q) (4.指数函数:x(1)一般地，函数y=a(a>0且a?1,x?R)叫做指数函数.(2)图象性质:0<a<1 a>1图象定义域值域过定点单调性在R上 ; 在R上 ;x (3)结合函数图象总结出a、x、a三者之间的一种大小关系:x 当x>0时，若a>1，则a 1;若0<a<1，则 ;x 当x<0时，若a>1，则 ;若0<a<1，则a 1.第 1 页共 1 页2233【例1】(1)填空:?= ;?= ;?= (x<1); x,2x，1(,5)(,3)213,,164334324 ?= ;?= ;?= ;7= . 825()(3,,),(3,,)811y32【例2】(1)已知，则的值为 . x3x,2,(4,6x),(x，y,1)623 (2)若，则实数a的取值范围是( ) 4a,4a，1,1,2aA.a?RB.a=0.5C.a>0.5D.a?0.52,3 (3)若x,2，则x= .x【例3】(1)函数f(x)=a与g(x)=ax-a的图象大致是( )xxxx (2)曲线C，C，C，C分别是指数函数y=a，y=b，y=c，y=d的图象，判断a，b，c，d， 12341234. 1的大小关系是x (3)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值，设f(x)=min{2,x+2,10-x}(x?0),则f(x)的最大值为( )A.4B.5C.6D.7函数图象过定点问题x【例4】(1)指数函数y=a(a>0,且a?1)的图象恒过定点 .x+2 (2)函数f(x)=a+2(a>0,且a?1)的图象恒过定点 . 【例5】(1)比较下来各题中两个值的大小:2.53-0.1-0.20.33.1-0.3-3.1 ?1.7,1.7; ?0.8,0.8; ?1.7,0.9; ?1.7,0.9..232322555()()() (2)设a=，b=，c=，则a、b、c的大小关系是( ) 555A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>c>a【例6】求下列函数的定义域、值域:12,x1，2x,xx,1 (1)y,2; (2); (3). y,3y,2第 2 页共 2 页.21x,2x【例7】(1)函数f(x)=的单调增区间为，值域为 . f(x),()3xx，1(2)已知. f(x),4,2，3?当f(x)的定义域为(-?,0]时，函数的值域为 ;?当f(x)的值域为[2,11]时，x的取值范围是 .课堂练习: x1.如果函数f(x)=(1-2a)在实数集R上是减函数,那么实数a的取值范围是( )A.(0,0.5)B.(0.5,，?)C.(-?,0.5)D.(-0.5,0.5)112a，13,2a2.若()<()，则实数a的取值范围是( ) 4411()1，，?A.(,+?) B. C.(,?，1) D.(-?,) 2210.90.48,1.53.设y=4，y=8，y=()，则( ) 1232A.y>y>yB.y>y>yC.y>y>yD.y>y>y 312213 123132x-14..若函数y=3?2的反函数的图像经过P点，则P点坐标是( )A.(2，5)B.(1，3)C.(5，2)D.(3，1) x5.设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x=1对称，且当x?1时，f(x)=3,1，则有( )xyx-y6.若10=3,10=4,则10= .22,3x7.函数y=3的单调递减区间是 .8.下列空格中填“>、<或,”(2.53.2,1.2,1.5(1)1.5______1.5，(2)0.5______0.5.9.填空:x (1)已知函数f(x)=2,?当x?1时，函数值域为 ;?当x>0时，函数值域为 ;x(2)已知函数g(x)=(0.5),1当x?0时，函数值域为 ;2当x<1时，函数值域为 .11,2x10.根据下列条件确定实数x的取值范围:( a,()(a,0且a,1)a第 3 页共 3 页222x,3x，1x，2x,511.设0<a<1,解关于x的不等式a>a.212.已知a>0且a?1，讨论f(x)=a-x，3x，2的单调性(x,x13.已知函数 f(x),3，3.(1)判断函数的奇偶性;(2)求函数的单调增区间，并证明(11xxf(x),(),()，114.求函数(x?[-3,2])的单调区间及其值域. 42 第 4 页共 4 页x,x10,1015.已知. (),fxx,x10，10(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)证明:f(x)是定义域内的增函数;(3)求f(x)的值域.课后练习题第 5 页共 5 页参考答案例1.例2.例3.例4.例5.第 6 页共 6 页例6.例7.课堂练习参考答案 1.A.2.A.第 7 页共 7 页3.D.4.B.x5.B.因为f(x)的图象关于直线x=1对称，所以f(1/3)=f(5/3)，f(2/3)=f(4/3)，因为函数f(x)=3,1在[1，，?)上是增函数，所以f(5/3)>f(3/2)>f(4/3)，即f(2/3)<f(3/2)<f(1/3)(故选B.6.答案为:0.75;7.答案为:(0,+?);2.53.2,1.2,1.58.答案为:(1)1.5<1.5.(2)0.5<0.5.9.答案为:(1)(0,2];(1，+?);(2)(0,1],(0.5,+?). 2x,10.5x10.解:原不等式可以化为a>a，因为函数y=a(a>0且a?1)当底数a大于1时在R上是增函数;当底数a大于0小于1时在R上是减函数，所以当a>1时，由2x,1>0.5，解得x>0.75;当0<a<1时，由2x,1<0.5，解得x<0.75.综上可知:当a>1时，x>0.75;当0<a<1时，x<0.75.x11.解:?0<a<2,? y=a在(-，+)上为减函数， ,,22222x,3x，1x，2x,5? a>a, ?2x-3x+1<x+2x-5,解得2<x<3,22=-x，3x，2=-(x-1.5)，4.25， 12.解:设u则当x?1.5时，u是减函数，当x?1.5时，u是增函数(uu又当a>1时，y=a是增函数，当0<a<1时，y=a是减函数，2所以当a>1时，原函数f(x)=a-x，3x，2在[1.5,+?)上是减函数，在(-?,1.5]上是增函数(2当0<a<1时，原函数f(x)=a-x，3x，2在[1.5,+?)是增函数，在(-?,1.5]上是减函数(,x,(,x),xxx,x13.解:(1)f(-x)=3，3=3，3=f(x)且x?R，?函数f(x)=3，3是偶函数((2)由(1)知，函数的单调区间为(-?，0]及[0，，?)，且[0，，?)是单调增区间(现证明如下:x1-x1x2-x2设0?x<x，则f(x)-f(x)=3，3-3-3 1212,3x，x113x1,3x2112=3x-3x，-=3x,3x，=(3x,3x)?. 1212213x3x3x3x3x，x121212?0?x<x，?3x>3x，3x，x>1，?f(x),f(x)<0，即f(x)<f(x)， 1221121212?函数在[0，，?)上单调递增，即函数的单调增区间为[0，，?)( 14.第 8 页共 8 页15.第 9 页共 9 页课后练习参考答案 1.2.B3.第 10 页共 10 页4.5.第 11 页共 11 页。

指数与指数函数练习一、选择题： 1、若R a ∈,*1N n n ∈>且则下列各式中正确的是（ ）A 、25a =B 、10=a C 、22a a n n = D 、321213)()(a a =2、下列各式中错误的是（ ）A 、2552222⨯=B 、131()327-= C = D 、2311()84-=3．下列各式中成立的一项（ ）A ．7177)(m n m n = B ．31243)3(-=- C ．43433)(y x y x +=+ D ．3339=4．化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果（ ）A ．a 6B ．a -C ．a 9-D ．29a5．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x，则下列等式中不正确的是（ ）A ．f (x +y )=f(x )·f (y )B ．)()(y f x f y x f =-）（ C ． )()]([)(Q n x f nx f n∈= D ．)()]([·)]([)(+∈=N n y f x f xy f nn n6．函数21)2()5(--+-=x x y 的定义城是（ ）A ．}2,5|{≠≠x x xB ．}2|{>x xC ．}5|{>x xD ．}552|{><<x x x 或 7．下列函数中是指数函数的是( )12+=x y A 、 2x y B =、 x y C -=3、 x y D 23⋅=、8．当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax=的图象只可能是（ ）9、若指数函数xa y =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于（ ）A ．251+ B ． 251+-C ．251± D ． 215± 10、已知1()3x f x a+=-的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为（ ）A 、（0,3）B 、(-1,2)C 、(-1,3)D 、(3,-1)11、如果指数函数xa x f )1()(2-=在R x ∈上是减函数,则a 的取值范围是( )A. |a|>1B. |a|<2C. |a|>2D. 1<|a|<212、已知函数11()2xy =，22xy =，31()10xy =,410x y =则下列函数图象正确的是（13、下列关系式中正确的是 （ ）3231312121.21232.5.1⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-B AC .3231313221212.212125.15.1⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<--D 14、已知1)21()21(21<<<a b ，则（ ）A 、1>>b aB 、10<<<a bC 、1>>a bD 、10<<<b a 15．当[]1,1-∈x 时函数23)(-=xx f 的值域是（ ）[][]1,0.35,1.1,1.1,35.D C B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-16．函数xa y =在[]1,0上的最大值与最小值的和为3，则a =( ) A.21 B.2 C.4 D.41 17．已知2)(xx e e x f --=，则下列正确的（ ）A ．奇函数B 非奇非偶函数C 既是奇函数又是偶函数D ．偶函数二、解答题：15、求下列函数的定义域①23-=x y ②xy 121⎪⎭⎫ ⎝⎛=③123+=x y ④x y 21-=16、比较下列各题中两个数的大小①35.27.1,7.1②2.01.08.0,8.0--③1.33.09.0,7.1④21323143,2,34⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛ 17、证明函数110110)(-+=xx x f 在),0(+∞上是减函数.。

人教版专题一指数运算与指数函数一、单选题1. 函数y＝a|x|(a>1)的图像是（）A. B. C. D.2. 设（），对于任意的正实数x，y，都有A. B.C. D.3. 函数f(x)=2x, g(x)=x+2，使f(x)=g(x)成立的x的值的集合()A.是⌀B.有且只有一个元素C.有两个元素D.有无数个元素4. 函数y=2x+1+m的图象在第二象限内无点的实数m的范围是()A.m≤−1B.m>−1C.m≤−2D.m>−25. 函数y=−e x的图像()A.与y=e x的图像关于y轴对称B.与y=e x的图像关于坐标原点对称C.与y=e−x的图像关于y轴对称D.与y=e−x的图像关于坐标原点对称参考答案与试题解析人教版专题一指数运算与指数函数一、单选题1.【答案】B【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域指数函数的图象【解析】因为|x|≥0，所以a k≥1，且在(0,+∞)上曲线向下弯曲的单调递增函数，应选答案B．【解答】此题暂无解答2.【答案】B【考点】指数式、对数式的综合比较函数与方程的综合运用二次函数的应用【解析】由对数运算法则f(x)=loga (x)=logax+logay，所以f(x)=f(x)+f(y)，故选B．【解答】此题暂无解答3.【答案】C【考点】函数恒成立问题函数零点的判定定理元素与集合关系的判断【解析】1因为f(x)=2x,g(x)=x+2，所以构造函数F(x)=2x−x−2，由于F(−2)=14+2−2>0,F(1)=26−2=−1⟨0,F(3)=8−3−2>0，因此函数F(x)=2x−x−2在(−2,1)(1,3)上各有一个零点，应选答案C．【解答】此题暂无解答4.【答案】C【考点】指数函数的图象指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】因为函数y=2x+1+m是单调递增函数，所以由题设可知20+1+m≤0⇒m≤−2，应选答案C．【解答】此题暂无解答5.【答案】D【考点】函数的对称性【解析】因为函数y=−e x与函数y=e x的图像关于∼轴对称，与函数y=e−x关于坐标原点对称，所以A、B、C都不正确，应选答案D．【解答】此题暂无解答。