指数运算及指数函数习题课.pptx

1
1 3 a2
2
__a___3 __
2
3
b a2
2 1
__a__3_b_3_
1
3 4 a2 b2 (_a_2 __b_2_);44
a2
3
__a__4 ___
4 a3 a
17
例4 计算下列各式：
21
11
15
(1) (2a3b2 )(6a2b3 ) (3a6b6 )
(2)
(m
1 3
n4 8
)
8
(3)
a2
a 3 a2
(4) (3 25 125) 4 5
18
21
11
15
(1) (2a3b2 )(6a2b3 ) (3a6b6 )
解：原式
[2
（
6）（-
3）]a
2 3
1 2
1 6
b
1Hale Waihona Puke 21 35 64ab0 4a
(m ) (n ) m n (2)
(m
1
4n
3 8
)8
1 48
3 8
( 2)3
27
81
3
315
8
例3 用分数指数幂表示下列各式：
a2 a a3 3 a2 a a
1
5
解：a2 • a a2 • a2 a2
a3 • 3
a2
2
a3 •a3
3 2
a 3
11
a3
11
31
31
3
a a (a • a2 )2 (a2 )2 a2 2 a4
16
练习：将下列根式写成分数指数幂
14
例2

。
积的乘方时，将每个因 数分别乘方，然后再相
乘。
复合指数法则的实例
$(a^m)^n = a^{mn}$
$(a^m)^n$表示$a$的$m$次方的$n$次 方，根据复合指数法则 a^m times a^n$
根据同底数幂相乘的规则，$a^{m+n}$可 以化简为$a^m times a^n$。
详细描述
指数函数在许多实际问题中都有应用，如人口增长、复利计算、放射性物质的衰变等。通过建立数学 模型，我们可以利用指数函数的性质和图像解决这些问题，从而更好地理解和预测事物的变化趋势。
CHAPTER
04
复合指数法则与运算
复合指数法则的概念
指数法则
指数法则是一种数学运算规则， 用于表示一个数的指数幂。
指数的性质
当底数相同时，指数相加 表示乘法，指数相减表示 除法。
指数的运算顺序
先乘方后乘除，先括号后 加减。
指数的起源与历史
起源
指数概念最早可以追溯到古希腊 数学家欧几里得的《几何原本》 ，其中对指数进行了初步的探讨 。
发展历程
随着数学的发展，指数概念逐渐 完善，经历了文艺复兴、牛顿和 莱布尼茨等人的贡献，最终形成 了现代数学中的指数概念。
指数运算的技巧
简化指数式
利用幂的性质，如$a^{m} times a^{n} = a^{m+n}$，$a^{m} div a^{n} = a^{m-n}$等，简化复杂的指数式。
同底数幂的乘法与除法
当底数相同时，可以直接根据指数进行乘法或除法运算。
科学记数法
将大数表示为$a times 10^{n}$的形式，便于计算和比较大小。
非零实数的0次幂为1
同底数幂的除法法则

Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
1234
1.根式的性质 (1)(n ������)n=a. (2)当 n 为奇数时, ������ ������������ = ������; 当 n 为偶数时, ������ ������������ = |������| = ���-������,������,���������≥<00,.
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题型一 题型二 题型三 题型四
Z 知识梳理 HISHI SHULI
题型二 指数函数图象的应用
【例 2】 画出函数 y=
1 2
|������|
的图象,
并根据图象写出函数的值域及单调区间.
分析:因为 y=
1 2
|������|
=
1 2
������
,������
≥ 0,
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D 典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练 1】 (1)已知函数 f(x)=2x,若 f(a)<f(2b),则3 (a-b)3 +
(a-2b)2 =
;
(2)若 2x=3,
1 2
y
=
3 2
,
解:(1)由 2x-1≠0,得 2x≠1,即 x≠0,
因此函数 f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
(2)由(1)知,函数 f(x)的定义域关于原点对称.
又
f(-x)
=
2-������ +1 2-������ -1

单调性的定义证明.
题型一 题型二 题型三
(1)解:因为函数
f(x)的定义域是
R,且
f(-x)=
10-������ -10������ 10-������ +10������
= −������
������
,
所以f(x)是奇函数.
(2)证明:f(x)=
10������ -10-������ 10������ +10-������
−
1 2
+
1 2������2 +1
=
. 2������1 -2������2
(2������1 +1)(2������2 +1)
因为 x1<x2,所以2������1 − 2������2 < 0,
所以f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2), 所以函数f(x)在区间(-∞,+∞)内是增函数.
+
������ -1 ������ -1������-1
=
1 ������ -1
+
1 ������ -1
=
������
+
������.
答案:a+b
4.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象性质
a>1
0<a<1
图象
性 质
对称 性
①定义域:R,值域:(0,+∞) ②图象都过点(0,1)
当 x>0 时,y>1;当 x<0 时,0<y<1
=
102������ -1 102������ +1
=

4
a3 4
3
12
知识点二：分数指数幂
❖ 规定： 1、正数的正分数指数幂的意义为：
m
annam(a0,m ,n N *,n1)
2、正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同
即 ： am na 1 m nn1 am(a0,m ,n N *,n1) 3、0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义。
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概念理解
做一做
练习：试根据n次方根的定义分别求出下列 各数的n次方根.
(1)25的平方根是_______;
(2)27的三次方根是_____;
(3)-32的五次方根是____;
(4)15的四次方根是_____.
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8
2.根式的概念
根指数
na
被开方数
根式
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4
复习旧知
初中时平方根、立方根是如何定义的？有哪 些规定？
若 x2 4 则 x2 若 x2 5 则 x 5
若 x3 27 则 x 3
若 x3 27 则 x3
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2叫做4的平方根； 5叫做5的平方根； 3是27的立方根； -3是-27的立方根；
5
若 x3 10 则 x 3 10 若 x3 32 则 x 3 32
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例2 求值
2
(1) 8 3 ；
(3)
1
5
；
2
1
(2) 25 2 ；
(4) 16
3 4
.
81
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运算性质
（1）arasar s(a0 ,r,s Q )

(1)n为奇数时，a的n次方根用符号n a 表示
正数的n次方根为一个正数 负数的n次方根为一个负数
如：
3
8 2,
3
8 2
(2)n为偶数时，
正数a的n次方根有两个，正的n次方根用 n a 表示， n 负的n次方根用 a表示， 负数没有偶次方根 规定：零的任何次方根都是0.
高中数学必修1同步辅导课程——指数与指数幂运算
指数与指数幂运算
骨干教师：代 兵
高中数学必修1同步辅导课程——指数与指数幂运算
知识要点：
1:根式的概念: n n次方根：一般地，若 x (其中n ＞1，且n∈Ｎ*) a的n次方根用符号
a ,则x叫做a的n次方根，
n
a
表示，其中n称为根指数，a为被开方数.
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r
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典型例题：
例1：化简： （1 ）
3 2 2 3 2 2
(1 2) 2 (1 2) 2
(1 2) ( 2 1) 2
（2）a
a
a a 1
3 2 1 a2
(((a 2 ) a) )
(a ) a
1 a
变式：
2 x a , b 已知 是方程 6 x 4 0的两个根，且 a b 0
求：
a b a b
的值。
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课堂总结：
1:根式的概念与相关的结论
2：指数幂运算的推广：
整数
有理数
实数
3：指数的运算性质： 求值与化简（整体思想）
(3) a a a a