一、多元函数、极限与连续解读

§5.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1. 二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点()p x y D ∈，，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x y ，的二元函数，记以()z f x y =，，D 称为定义域。

二元函数()z f x y =，的图形为空间一块曲面，它在xy 平面上的投影区域就是定义域D 。

例如 22: 1z D x y =+≤二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。

2. 三元函数与n 元函数。

()()u f x y z x y z =∈ΩΩ，，，，，，为空间一个点集则称()u f x y z =，，为三元函数()12n u f x x x =，，，，称为n 元函数。

它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。

条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。

【例1】 求函数arcsin 3x z =解 要求13x ≤，即33x -≤≤； 又要求0xy ≥即00x y ≥≥，或00x y ≤≤，综合上述要求得定义域300x y -≤≤⎧⎨≤⎩或030x y ≤≤⎧⎨≥⎩【例2】求函数()2ln 21z y x =-+的定义域。

解 要求2240x y --≥和2210y x -+>即 2222212x y y x⎧+≤⎪⎨+>⎪⎩ 函数定义域D 在圆2222x y +≤的内部（包括边界）和抛物线212y x +=的左侧（不包括抛物线上的点）【例3】 设()22f x y x y x y y +-=+，，求()f x y ，。

解 设x y u x y v +=-=，解出()()1122x u v y u v =+=-， 代入所给函数化简 ()()()()221184f u v u v u v u v +-+-，＝ 故 ()()()()221184f x y x y x y x y +-+-，＝ 【例4】 设()2235f x y xy x xy y ++++，＝，求()f x y ，。

多元函数的极限与连续性在微积分学中，多元函数的极限与连续性是重要的概念和理论。

本文将介绍多元函数的极限与连续性的定义、性质和相关定理，并通过实例和推导来加深理解。

一、多元函数的极限多元函数是指自变量为多个变量的函数，例如f(x, y)。

在研究多元函数的极限时，需要先定义自变量的趋近方式。

我们定义自变量(x, y)趋近于(a, b)，并记为(x, y)→(a, b)，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当(x, y)离开点(a, b)的距离小于δ时，对应的函数值f(x, y)与极限L的差的绝对值小于ε。

即满足以下条件：|f(x, y) - L| < ε，当0 < √((x-a)² + (y-b)²) < δ时。

二、多元函数的连续性多元函数在某个点上的连续性是指这个函数在该点的值与其极限相同。

具体地，函数f(x, y)在点(a, b)连续的定义如下：lim (x, y)→(a, b) f(x, y) = f(a, b)。

三、多元函数的极限运算法则多元函数的极限与一元函数类似，也遵循一些运算法则，如极限的唯一性、四则运算法则和复合函数的极限等。

其中，极限的唯一性法则指出：如果(x, y)→(a, b)时，f(x, y)存在极限L，则这个极限L唯一确定。

四、多元函数连续性的充分条件在一元函数中，连续函数的充分条件是极限存在。

但是在多元函数中，连续函数的充分条件有所不同。

根据多元函数的极限运算法则，可以得到以下结论：1. 一元函数的连续构成了多元函数的局部连续性；2. 极限与连续性的传递性：如果f(x, y)在点(a, b)连续，g(u, v)在点(f(a, b), c)连续，则复合函数g[f(x, y)]在点(a, b)也连续。

五、多元函数连续性的局部性质与一元函数连续性一样，多元函数的连续性也具有局部性质。

具体地，如果多元函数f(x, y)在点(a, b)连续，则在点(a, b)的任意邻域内，f(x, y)仍然连续。

多元函数的极限与连续性判定在数学分析中，多元函数的极限与连续性是重要的概念，在研究函数的性质和求解问题时起着关键作用。

本文将介绍多元函数的极限和连续性的概念、判定条件以及相关性质。

一、多元函数的极限1. 极限的定义对于二元函数$f(x,y)$，当自变量$(x,y)$无限接近于某一点$(a,b)$时，函数值$f(x,y)$是否趋近于某一确定的值$L$，即$\lim_{(x,y) \to(a,b)}f(x,y)=L$。

2. 多元函数的极限存在判定条件(1) 二元函数的极限存在：若对于给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} < \delta$时，有$|f(x,y)−L| < \epsilon$成立，则称函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处的二重极限存在，记作$\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y)=L$。

(2) 多元函数的极限存在：若对于给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < \sqrt{(x_1−a_1)^2+...+(x_n−a_n)^2} < \delta$时，有$|f(x_1,...,x_n)−L| < \epsilon$成立，则称函数$f(x_1,...,x_n)$在点$(a_1,...,a_n)$处的$n$重极限存在，记作$\lim_{(x_1,...,x_n) \to(a_1,...,a_n)}f(x_1,...,x_n)=L$。

二、多元函数的连续性判定1. 连续性的定义对于二元函数$f(x,y)$，若在点$(a,b)$的某个邻域内，函数$f(x,y)$在该点处的极限存在且等于函数在该点处的函数值，即$\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y)=f(a,b)$，则称函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处连续。

多元函数的极限和连续性在高等数学中，多元函数的极限和连续性是比较基础的概念，对于学习后续的微积分、偏微分方程等内容都有重要的意义，因此本文将从多元函数极限和连续性的定义、求解及其应用等方面进行探讨和阐述。

一、多元函数的极限和连续性的定义在一元函数中，极限的概念是比较容易理解和推广的，而在多元函数中，由于独立变量的个数增加，问题变得更加复杂。

因此，我们需要重新定义多元函数的极限。

1. 多元函数的极限定义设$f(\boldsymbol{x})$是定义在某点$\boldsymbol{x_0}=(x_0,y_0, z_0, ...)$的某一邻域内的多元函数，$\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)$是任一常数向量，那么当对于任意$\epsilon>0$，都存在$\delta>0$，使得当$0<\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x_0}\Vert<\delta$时，都有$\vert f(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x_0}+\boldsymbol{\alpha})\vert<\epsilon$成立，则称$\boldsymbol{x_0}$是$f(\boldsymbol{x})$的一个极限点，记作$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x_0}+\boldsym bol{\alpha})$。

可以看出，多元函数的极限与一元函数的极限相似，但是需要考虑的变量更多。

在多元函数中，只有当$\boldsymbol{x}$从任意方向趋近于$\boldsymbol{x_0}$时，$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})$才存在。

多元函数在某点极限,连续,偏微商,全微分之间的关系极限、连续、偏微分、全微分是讨论多元函数的参数。

（一）极限
极限定义为：在某一点上，函数值趋近于一定值，则此值与函数极限等值。

也就是说，函数在此点上无论怎么变化，有一个定量，恒定不变。

函数的极限可以理解为函数的分析度，也就是说，可以从更小的层次上理解函数的变化。

（二）连续
连续主要指多元函数在不同点的趋势是一致的。

一般而言，函数的连续可以用来描述函数的变化趋势，而不同的点总有一个顺序的变化，从而反映函数的变化趋势，这正是函数的连续性。

（三）偏微分
偏微分定义为：取某一点在某一变量上的偏导数，其本质就是在某一变量上求函数的变化值最大化，从而反映函数在此点的变化趋势。

它是多元函数最基本的求导方法，在很多多元函数的运算中，都有着重要的作用。

（四）全微分
全微分定义为：将函数中的每一个变量分别求偏导数，组成偏导数向量，这个向量叫做函数的全微分。

它是多元函数求导的重点，反映了函数在各个变量上的变化趋势。

可以看出，全微分可以表现函数分析度的变化，从而深入理解函数的变化趋势。

总结而言，极限、连续、偏微分、全微分是描述多元函数变化趋势的重要参数，他们之间互相协作，可以深入理解多元函数的变化。

大学四年级多元函数的极限与连续性在大学数学的学习过程中，多元函数是一个重要的概念。

多元函数的极限与连续性是其中一项重要的内容，它们对于理解和应用多元函数具有重要的意义。

一、多元函数的极限多元函数的极限是指当自变量趋向于某一特定值时，函数的取值会趋向于某一确定值。

与一元函数的极限类似，多元函数的极限同样可以通过数列的极限定义来进行讨论。

具体而言，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当自变量与目标点的距离小于δ 时，函数值与极限值的差的绝对值小于ε，那么我们就说函数在这个特定点有极限。

在研究多元函数的极限时，还需要考虑自变量趋于无穷大时的情况。

对于这种情况，我们需要更加精确地定义多元函数的收敛性。

常用的方法是使用ε-δ语言描述，即当自变量中至少有一个趋向于无穷大时，函数的极限可以通过引进新的变量来描述。

这样，当自变量趋于无穷大时，函数值的极限就可以用引进的新变量来表示。

二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指在函数定义域内，任意一点的极限与函数值是相等的。

与一元函数的连续性类似，多元函数的连续性也可以用ε-δ语言来进行描述。

具体而言，对于函数定义域内的任意一点，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当自变量与目标点的距离小于δ 时，函数值与极限值的差的绝对值小于ε，那么我们就称函数在这个特定点连续。

如果一个多元函数在其定义域内的每一个点都连续，那么我们就说这个函数是连续的。

连续函数在数学分析和应用中有着重要的地位，它们具有许多良好的性质，例如介值定理和最值定理等。

三、多元函数的极限与连续性的应用多元函数的极限与连续性在数学科学和实际问题中有着广泛的应用。

首先，在微积分中，多元函数的极限与连续性是理解和应用导数和积分的基础。

通过研究多元函数的极限，我们可以得到导数的定义和性质，并进一步研究微分方程和曲线积分等应用问题。

其次，在物理学和工程学中，多元函数的极限与连续性也具有重要的应用价值。

例如，研究物体在空气中的运动轨迹时，我们需要借助多元函数的极限与连续性来建立运动方程，并进一步求解问题。

多元函数的极限与连续性在数学中，多元函数的极限与连续性是重要的概念。

本文将介绍多元函数的极限和连续性的定义，并探讨它们的性质和应用。

一、多元函数的极限多元函数的极限可以类比于一元函数的极限，但其定义稍有不同。

对于一个二元函数，我们将自变量表示为(x,y)，则当自变量趋近于某个点(a,b)时，函数值f(x,y)的极限记为：lim (x,y)→(a,b) f(x,y) = L其中，L为实数。

我们称函数f(x,y)在点(a,b)处具有极限L，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当(x,y)满足0< √((x-a)^2+(y-b)^2) < δ时，都有 |f(x,y)-L|<ε 成立。

类似地，对于一个三元函数，自变量表示为(x,y,z)，其极限定义与二元函数类似。

多元函数的极限有以下性质：1. 极限存在且唯一：如果一个多元函数在某点具有极限，那么它的极限是唯一的。

2. 有界性：如果一个多元函数在某点具有极限，则它在该点附近是有界的。

但需要注意，多元函数在整个定义域内有界不一定代表在每个点处都具有极限。

3. 加法性、乘法性：如果两个多元函数在某点都具有极限，则它们的和、差、积仍在该点处具有极限。

4. 复合函数的极限性质：多元函数的复合函数在某点处具有极限的条件是，内部函数在该点处具有极限，且外部函数在内部函数极限处连续。

二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指函数在整个定义域内的连续性。

对于一个二元函数，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当(x,y)满足0<√((x-a)^2+(y-b)^2) < δ时，都有 |f(x,y)-f(a,b)|<ε 成立，那么我们称函数f(x,y)在点(a,b)处连续。

类似地，对于一个三元函数，连续性的定义也类似。

多元函数的连续性具有以下性质：1. 极限与连续性的关系：如果一个多元函数在某点处具有极限L，则它在该点处连续。

分析方法第十六章多元函数的极限与连续性概要第十六章多元函数的极限与连续性是数学分析中的重要概念之一、多元函数与一元函数不同，它们的自变量可以是多个变量。

因此，多元函数的极限与连续性的讨论需要引入多元的概念和方法。

本章主要分为三个部分：多元函数的极限、多元函数的连续性、多元函数的一致连续性。

接下来，将对这三个部分进行详细的概要分析。

1.多元函数的极限多元函数的极限是指当自变量自一些点无限接近于给定点时，函数值接近于一些常数。

与一元函数类似，多元函数的极限也需要满足极限存在性和极限唯一性两个条件。

首先，要讨论多元函数的极限，需要引入点列的概念。

点列是指给定一个序列$x_n$，其中每个$x_n$均为函数的自变量，如果$x_n$收敛于给定点$(a,b)$，则函数$f(x_n)$在点$(a,b)$处的极限就是函数在该点的极限。

此外，还需要讨论曲面函数在特殊方向上的极限。

当自变量沿着特定方向逼近给定点时，函数的极限是否存在，如果存在则是多少。

2.多元函数的连续性多元函数的连续性是指函数在其中一点处的极限等于函数在该点的函数值。

与一元函数类似，多元函数的连续性也需要满足三个条件：函数在该点处定义、函数在该点处极限存在、函数在该点处极限等于函数值。

如果函数在定义域的每一个点均满足连续性条件，则称函数在定义域连续。

为了判断多元函数的连续性，可以通过分量函数的连续性进行判断。

具体来说，若多元函数的每个分量函数都是连续的，则多元函数在该点连续。

此外，还可以通过间断点的分类来分析函数在特定点的连续性。

3.多元函数的一致连续性一致连续性是连续性的一种更强的条件。

在多元函数中，一致连续性要求函数在整个定义域内的每一点都连续。

为了判断多元函数的一致连续性，可以使用函数值在一个闭区域上的上确界和下确界的性质进行证明。

在具体分析中，多元函数的一致连续性还可以通过函数的偏导数和导数的连续性来判断。

若函数的偏导数和导数均连续，则函数是一致连续的。

数学分析第十六章多元函数的极限与连续数学分析第十六章介绍了多元函数的极限与连续的概念。

多元函数是指有多个自变量的函数，比如二元函数，有两个自变量，三元函数，有三个自变量，以此类推。

多元函数的极限与连续是研究多元函数性质的基础，对于优化理论、微分方程等领域都具有重要的应用价值。

本文将详细讨论多元函数的极限与连续的概念及其性质。

1.多元函数的极限：多元函数的极限与一元函数的极限类似，都是研究函数自变量趋于一些点时函数值的趋近情况。

对于二元函数f(x,y)，当点(x,y)趋于(x0,y0)时，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0<，(x,y)-(x0,y0)，<δ时，有，f(x,y)-L，<ε，那么称函数f(x,y)在点(x0,y0)处的极限为L，记为lim(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=L。

类似地，对于三元函数，有lim(x,y,z)→(x0,y0,z0)f(x,y,z)=L。

2.多元函数的极限的性质：与一元函数类似，多元函数的极限也具有唯一性、局部有界性和四则运算等性质。

具体而言，如果多元函数f(x,y)在点(x0,y0)处的极限存在，则该极限唯一；如果多元函数f(x,y)在点(x0,y0)处的极限存在，则该函数在以点(x0,y0)为中心的邻域上有界；对于两个多元函数f(x,y)和g(x,y)，如果它们在点(x0,y0)处的极限分别存在，则它们的和、差、积和商（除数不为0）的极限也存在且相等。

3.多元函数的连续：多元函数的连续是指函数在各点的极限与该点的函数值相等。

对于二元函数f(x,y)，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0<，(x,y)-(x0,y0)，<δ时，有，f(x,y)-f(x0,y0)，<ε，那么称函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续。

类似地，对于三元函数，有lim(x,y,z)→(x0,y0,z0)f(x,y,z)=f(x0,y0,z0)，则函数f(x,y,z)在点(x0,y0,z0)处连续。

§7.1多元函数的概念、极限与连续性一．多元函数的基本概念1.引例在自然科学和工程技术中常常遇到一个变量依赖于多个自变量的函数关系，比如：例1矩形面积S 与边长x ，宽y 有下列依从关系：)0,0(>>⋅=y x y x S ．其中，长x 与宽y 是独立取值的两个变量．在它们变化范围内，当x ，y 取定值后，矩形面积S 有一个确定值与之对应．例2在第7章中我们学习了曲面的方程，例如椭圆抛物面的方程为：2222b y a x z +=，双曲抛物面的方程为2222by a x z -=，这里的z 坐标既跟x 有关，又跟y 有关，它是x ，y 的二元函数.2.多元函数的概念定义1设D 是R 2的一个非空子集，映射f ：D →R 称为定义在D 上的二元函数，记为z =f (x ，y ),(x ，y )∈D (或z =f (P ),P ∈D )其中，点集D 称为该函数的定义域，x ，y 称为自变量，z 称为因变量.上述定义中，与自变量x 、y 的一对值(x ，y )相对应的因变量z 的值，也称为f 在点 (x , y ) 处的函数值，记作f (x ，y )，即z =f (x ,y ).函数f (x ，y )值域：f (D )={z |z =f (x ，y )，(x ，y )∈D }.函数的其它符号:z =z (x ，y )，z =g (x ，y )等.类似地可定义三元函数u =f (x , y , z )，(x , y , z )∈D 以及三元以上的函数.一般地，把定义1中的平面点集D 换成n 维空间R n 内的点集D , 映射f ：D →R 称为定义在D 上的n 元函数，通常记为u =f (x 1，x 2，...，x n )，(x 1，x 2，...，x n )∈D ，或简记为u =f (x )，x =(x 1，x 2，...，x n )∈D ，也可记为u =f (P )，P (x 1，x 2，...，x n )∈D .关于函数定义域的约定：在一般地讨论用算式表达的多元函数u =f (x )时，就以使这个算式有意义的变元x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域.因而，对这类函数,它的定义域不再特别标出. 例如：函数z =ln(x +y )的定义域为{(x ，y )|x +y >0}(无界开区域);函数z =arcsin(x 2+y 2)的定义域为{(x ，y )|x 2+y 2≤1}(有界闭区域).二元函数的图形:点集{(x ，y ，z )|z =f (x ，y )，(x ，y )∈D }称为二元函数z =f (x ，y )的图形，由第6章的学习知，二元函数的图形是一张曲面.例如z =ax +by +c 是一张平面，而函数z =x 2+y 2的图形是旋转抛物面.例1求二元函数229y x z --=的定义域．解 容易看出，当且仅当自变量x ，y 满足不等式922≤+y x ,函数z 才有定义．其几何表示是xOy 平面上以原点为圆心，半径为3的圆内及圆周边界上点的全体，如图7.1.1所示．即函数z 的定义域为922≤+y x ．例2求函数)ln(y x z +=的定义域． 解 函数的定义域为0>+y x ，其几何图形是xOy 平面上位于直线x y -=上方的半平面，而不包括直线的阴影部分，如图7.1.2所示．例3求函数2222arcsin arcsec()2x y z x y +=++的定义域． 解 函数z 是两个函数的和，其定义域应是这两个函数的定义域的公共部图7.1.1 图7.1.2分．函数的定义域由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+122222y x y x 构成，即2122≤+≤y x ．定义域的图形是圆环（包括边界），如图7.1.3所示．例5求函数2211y x z --=的定义域．解 函数的定义域为0)(122>+-y x ，即122<+y x .它的图形是不包括边界的单位圆，如图7.1.4所示． 二.多元函数的极限与一元函数的极限概念类似，如果在P (x ，y )→P 0(x 0，y 0)的过程中，对应的函数值f (x ，y ) 无限接近于一个确定的常数A ，则称A 是函数f (x ，y ) 当 (x ，y )→(x 0，y 0)时的极限.定义2设二元函数f (P )=f (x ,y )的定义域为D ，P 0(x 0，y 0)是D 的聚点. 如果存在常数A ，使得对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，当0(,)(,)P x y D U P δ∈⋂时，总有|f (P )-A |=|f (x ,y )-A |<ε成立，则称常数A 为函数f (x ，y )当(x ，y )→(x 0，y 0)时的极限，记为00(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →=，或f (x ，y )→A ((x ，y )→(x 0，y 0)图7.1.3 图7.1.4也可简记为0lim ()P P f P A →=或f (P )→A (P →P 0)上面定义的极限也称为二重极限. 定义用两个正数ε，δ和相关距离对极限过程做出了精确描述，这种描述通常称为ε—δ语言，该语言可以用来验证某个常数是函数在相关过程中的极限.极限概念的推广：在定义2中将P (x ，y ) 改为P (x 1，x 2，…，x n )即可得到n 元函数的极限.多元函数的极限运算法则与一元函数的运算法则类似.例5 设22221sin)(),(y x y x y x f ++=，求证0),(lim )0,0(),(=→y x f y x . 证 因为 2222222222 |1sin ||| |01sin )(||0),(|y x y x y x y x y x y x f +≤+⋅+=-++=-， 可见∀ ε>0，取εδ=，则当δ<-+-<22)0()0(0y x ,即),(),(δO U D y x P ⋂∈时，总有|f (x ,y )-0|<ε，因此0),(lim )0,0(),(=→y x f y x .例6求极限22200sin()lim .x y x y x y →→+ 解 22200sin()lim x y x y x y →→+2222200sin()lim ,x y x y x y x y x y →→=⋅+令u =x 2y ，则 2200sin()lim x y x y x y →→=0sin lim u u u →1,=而222x y x y +22122xy x x y =⋅+12x ≤00,x →−−−→ 所以22200sin()lim 0.x y x y x y →→=+ 例7证明2200lim x y xy x y →→+不存在. 证取(y kx k =为常数)，则222222000lim lim ,1x x y y kxxy x kx k x y x k x k →→→=⋅==+++ 易见，所要求的极限值随k 的变化而变化，故2200limx y xy x y →→+不存在. 例8证明36200lim x y x y x y →→+不存在. 证取3,y kx =333362626000lim lim x x y y kxx y x kx x y x k x →→→=⋅=++2,1k k =+其极限值随k 的不同而变化，故极限不存在.例9证明100lim(1)x y x y xy +→→+极限不存在.证取10,n n x y n ==(n 为自然数)，则当n →∞时，0,n y →且 1101/lim(1)lim(10) 1.n n x y n n n n n x y ++→∞→∞+=+= 取11,,1n n x y n n ==-+则当n →∞时，0,n x →0,n y →且 (1)111lim(1)lim 1,(1)n n n n x y n n n n x y n n e++→∞→∞⎡⎤+=-=⎢⎥+⎣⎦ 因为对于不同的子列，所求得的极限的值不同，故10lim(1)x y x y xy +→→+不存在.三.多元函数的连续性1.多元函数连续性概念定义3设二元函数f (P )=f (x ，y )的定义域为D ,（1）P 0(x 0，y 0)为D 的聚点,且P 0∈D . 如果0000(,)(,)lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称函数f (x ，y )在点P 0(x 0，y 0)连续.（2）设D 内的每一点都是D 的聚点，如果函数f (x ，y )在D 的每一点都连续, 则称函数f (x ，y )在D 上连续, 或称f (x ，y )是D 上的连续函数.二元函数的连续性概念可相应地推广到n 元函数f (P )上去.一元基本初等函数可看成其中一个自变量不出现的二元函数，很容易证明，把一元基本初等函数看成二元函数时它们都是连续的.例10 设f (x ，y )=cos x ，证明f (x , y )是R 2上的连续函数.证 对于任意的P 0(x 0，y 0)∈R 2，因为),(cos cos lim ),(lim 000),(),(),(),(0000y x f x x y x f y x y x y x y x ===→→,所以，函数f (x ，y )=cos x 在点P 0(x 0，y 0)连续，由P 0的任意性知, cos x 作为x , y 的二元函数在R 2上连续.类似的讨论可知, 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时，它们在各自的定义域内都是连续的.定义4设函数f (x ,y )的定义域为D , P 0(x 0,y 0)是D 的聚点.如果函数f (x ,y )在点P 0(x 0,y 0)不连续, 则称P 0(x 0，y 0)为函数f (x ,y )的间断点.注: 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点.可以证明, 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数，连续函数的商在分母不为零处的点仍连续；多元连续函数的复合函数也是连续函数.多元初等函数: 与一元初等函数类似，多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数，这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的.例如 2221x x y y +-+,cos(x +y +z ),222x y z e ++都是多元初等函数. 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的. 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.由多元连续函数的连续性, 如果要求多元连续函数f (P )在点P 0处的极限, 而该点又在此函数的定义区域内, 则00lim ()()p p f P f P →=.例11讨论二元函数3322,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩在(0,0)处的连续性.解由(,)f x y 表达式的特征，利用极坐标变换：令cos ,sin ,x y ρθρθ==则33(,)(0,0)0lim (,)lim (sin cos )x y f x y ρρθθ→→=+0(0,0),f == 所以函数在(0,0)点处连续.例12求极限01lim ln().x y y x →→⎡⎤-⎢⎣ 解01lim ln()ln(10)x y y x →→⎡⎤⎡-=-+⎢⎢⎣⎣ 1.= 例13求01lim .x x y e y x y →→++ 解 因初等函数(,)x e y f x y x y +=+在(0,1)处连续，故 0011lim 2.01x x y e y e x y →→++==++ 2.多元连续函数的性质性质1(有界性与最大值最小值定理) 在有界闭区域D 上的多元连续函数，必定在D 上有界,且在D 上取得它的最大值和最小值.性质1表明：若f (P )在有界闭区域D 上连续，则必存在常数M >0，使得对一切P ∈D ，有|f (P )|≤M ，且存在P 1、P 2∈D ，使得f (P 1)=max{f (P )|P ∈D }，f (P 2)=min{f (P )|P ∈D }性质2(介值定理) 在有界闭区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.问题讨论：1.若点(,)x y 沿着无数多条平面曲线趋向于点00(,)x y 时，函数(,)f x y 都趋向于A ，能否断定00(,)(,)lim (,)?x y x y f x y A →=2.讨论函数2222422,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩的连续性.3.你能否用ε—δ语言证明22200sin()lim 0.x y x y x y →→=+本节引入了多元函数概念，给出了多元函数极限的定义和计算方法，通过例题介绍了根据定义证明极限存在（即ε-δ语言）和不存在（沿不同方向或取不同子列得不同值）的方法，最后讨论了多元连续函数，给出了定义和它的基本性质.习题7.11.设22,,y f x y x y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭求(,).f x y 2.已知函数22cot ),(yx xy y x y x f -+=，试求f (tx ，ty ). 3.求下列各函数的定义域(1) z =ln(y 2-5xy +1); (2) 2211y x yx z -++=; (3) y x z -=; (4) 222222221rz y x z y x R u -+++---=(R >r >0); (5) 22arcsin y x zu +=.4. 求下列各极限: (1)332)3,0(),(1lim y x y x y x +-→; (2)22)1,1(),()ln(lim y x e y x y x ++→;(3)xy xy y x 42lim)0,0(),(+-→; (4)11lim )0,0(),(-+→xy xy y x ; (5)x xy y x )sin(lim)2,0(),(→; (6)22)()cos(1lim 2222)0,0(),(yx y x e y x y x ++-→. 5.证明下列极限不存在: (1)y x y x y x +-→)0,0(),(lim; (2)y x y x y x y x -+→)0,0(),(lim . 6.函数xy ax e z y 2-+=（a 为常数）在何处间断？ 7.用 ε-δ 语言证明0lim 22)0,0(),(=+→y x xy y x .。

大学数学多元函数的极限与连续性一、引言在大学数学课程中，多元函数的极限与连续性是基础且重要的概念之一。

本文将探讨多元函数的极限以及连续性的概念、性质和应用。

二、多元函数的极限多元函数的极限是指当自变量趋于某一点时，函数的取值趋于一个确定的常数。

要确定一个多元函数的极限，需要考虑不同的自变量趋近方式。

1. 非路径问题对于一般的多元函数，当自变量趋于某一点时，可以用数列方法来讨论极限的存在与求解。

可以分别取函数中的两个或多个自变量构成一个数列，并分别求出数列的极限，若这些极限都相等，则可以确定该点处的极限存在，并且该极限就是所得的值。

2. 路径问题当自变量趋近于某一点的路径是任意的，需要考虑使用极限的定义来求解。

通过逐步逼近，可以确定多元函数在该点处的极限存在，并求出极限值。

三、多元函数的连续性多元函数的连续性是指函数在定义域内的任意一点满足极限存在且与该点处函数值相等。

连续性可以用一元函数的连续性来理解，即函数在某一点处的左右极限存在且相等。

1. 连续函数的性质若一个多元函数在其定义域内每一点处都连续，则称该函数为连续函数。

连续函数具有以下性质：- 两个连续函数的和、差、积仍为连续函数；- 两个连续函数的商（分母不为零）仍为连续函数；- 连续函数经过有界闭区间上时，一定可以达到最大值和最小值。

2. 连续函数的应用连续函数在实际问题中具有广泛的应用，例如在物理学、经济学等领域中，通过建立数学模型，可以将实际问题转化为多元函数的极限与连续性问题，进而对问题进行分析和求解。

四、多元函数的极限与连续性的例题分析为加深对多元函数的极限与连续性概念的理解，我们选取几个例题进行分析。

1. 例题一求函数$f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}$在点$(0,0)$处的极限。

首先考虑非路径问题的求解方法，我们可以分别取$(x,y)$沿直线$x=y$和$x=0$的极限。

通过计算可以得到两条直线上的函数极限都为0，并且相等，因此可以确定函数在$(0,0)$处的极限为0。

数分三知识点总结数分三（Calculus III）是数学中的一个分支，主要研究多元函数的极限、连续性、偏导数、多元积分等问题。

在数学和应用数学的领域中，数分三是极为重要的一门课程，对于理解和应用很多复杂的数学问题都起着至关重要的作用。

本文将从三个方面来总结数分三的知识点，包括多元函数的极限与连续性、偏导数与全微分、多元积分与曲线曲面积分。

一、多元函数的极限与连续性1. 多元函数的极限多元函数的极限是数分三中最基础的概念之一。

多元函数的极限是在多元空间中描述函数在某一点的局部行为的重要工具。

在二元函数中，函数f(x,y)在点(x0,y0)处的极限为L，即lim(f(x,y),(x,y)→(x0,y0))=L，当且仅当对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当点(x,y)满足0<√((x−x0)^2+(y−y0)^2)<δ时有|f(x,y)−L|<ε。

在多元函数中，极限的概念也可以类似地推广。

多元函数的极限的存在性与唯一性是数分三中的一个重要定理，它为后续的连续性、偏导数等概念的研究奠定了基础。

2. 多元函数的连续性多元函数的连续性即多元函数在定义域内某一点处的连续性。

若多元函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续，则对于任意ε>0，存在δ>0，使得当点(x,y)满足0<√((x−x0)^2+(y−y0)^2)<δ时有|f(x,y)−f(x0,y0)|<ε。

多元函数的连续性与一元函数的连续性类似，但需要更精细的分析和证明。

多元函数的连续性与多元函数的极限密切相关，通常需要利用极限的性质来证明函数的连续性。

二、偏导数与全微分1. 偏导数偏导数是描述多元函数变化率的重要概念。

对于二元函数f(x,y)，在点(x0,y0)处关于变量x的偏导数定义为fx(x0,y0)=lim(f(x,y)−f(x0,y0))/(x−x0)，x→x0。

类似地，关于y的偏导数定义为fy(x0,y0)=lim(f(x,y)−f(x0,y0))/(y−y0)，y→y0。

多元函数极限与连续性例题和知识点总结在高等数学中，多元函数的极限与连续性是一个重要的概念和知识点。

理解它们对于解决许多数学问题以及在其他学科中的应用都具有关键意义。

下面我们将通过一些例题来深入探讨这一主题，并对相关知识点进行总结。

一、多元函数极限的概念多元函数的极限是指当自变量在定义域内以任意方式趋近于某个点时，函数值趋近于一个确定的常数。

设函数＄z ＝ f(x,y)＄的定义域为＄D$，＄P_0(x_0,y_0)＄是＄D$ 的聚点。

如果对于任意给定的正数＄＼epsilon$，总存在正数＄＼delta$，使得当点＄P(x,y) ＼in D$ 且满足＄0 ＜＼sqrt{（x x_0)＾2 ＋（y y_0)＾2} ＜＼delta$ 时，都有＄｜f(x,y) A| ＜＼epsilon$ 成立，那么就称常数＄A$ 为函数＄f(x,y)＄当＄（x,y) ＼to （x_0,y_0)＄时的极限，记作＄＄＼lim_{（x,y) ＼to （x_0,y_0)｝ f(x,y) ＝ A$＄二、多元函数连续性的概念若函数＄z ＝ f(x,y)＄在点＄（x_0,y_0)＄处的极限存在，且等于该点的函数值＄f(x_0,y_0)＄，则称函数＄f(x,y)＄在点＄（x_0,y_0)＄处连续。

三、例题分析例 1：求极限＄＼lim_{（x,y) ＼to （0,0)｝＼frac{x^2 ＋ y^2}｛＼sqrt{x^2 ＋ y^2 ＋ 1} 1}＄解：＼＼begin{align}＆＼lim_{（x,y) ＼to （0,0)｝＼frac{x^2 ＋ y^2}｛＼sqrt{x^2 ＋y^2 ＋ 1} 1}＼＼＝＆＼lim_{（x,y) ＼to （0,0)｝＼frac{x^2 ＋ y^2}｛＼sqrt{x^2 ＋y^2 ＋ 1} 1} ＼cdot ＼frac{＼sqrt{x^2 ＋ y^2 ＋ 1} ＋ 1}｛＼sqrt{x^2 ＋y^2 ＋ 1} ＋ 1}＼＼＝＆＼lim_{（x,y) ＼to （0,0)｝＼frac{（x^2 ＋ y^2)（＼sqrt{x^2 ＋ y^2 ＋ 1} ＋ 1)｝｛（x^2 ＋ y^2)｝＼＼＝＆＼lim_{（x,y) ＼to （0,0)｝（＼sqrt{x^2 ＋ y^2 ＋ 1} ＋ 1)＼＼＝＆2＼end{align}＼例 2：讨论函数＄f(x,y) ＝＼begin{cases} ＼frac{xy}｛x^2 ＋ y^2}，＆（x,y) ＼neq （0,0) ＼＼ 0, ＆（x,y) ＝（0,0) ＼end{cases}＄在点＄（0,0)＄处的连续性。

多元函数的极限与连续性在数学分析中，多元函数的极限与连续性是十分重要的概念，它们在研究函数性质和解决实际问题时起到了关键作用。

本文将对多元函数的极限与连续性进行详细探讨，并给出相应的定义和性质。

一、多元函数的极限对于一个函数f(x1, x2, ..., xn)，当自变量(x1, x2, ..., xn)接近某一点(a1, a2, ..., an)时，如果函数值f(x1, x2, ..., xn)趋于某个常数L，那么我们就说f(x1, x2, ..., xn)在点(a1, a2, ..., an)处收敛于L，记作：lim(f(x1, x2, ..., xn)) = L (当(x1, x2, ..., xn) → (a1, a2, ..., an))多元函数的极限与一元函数的极限类似，但需要考虑多个自变量同时趋于某个特定值。

在计算多元函数极限时，可以使用极限的定义、夹逼定理、两个变量夹逼定理等方法。

多元函数的极限性质包括唯一性、局部有界性、局部保号性、极限的四则运算等。

这些性质的证明与一元函数类似，但需要注意多个变量同时进行推导。

二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指函数在某一点处的极限与函数在该点处的函数值相等。

具体而言，对于函数f(x1, x2, ..., xn)在点(a1, a2, ..., an)处连续，需要满足以下条件：1. 函数在点(a1, a2, ..., an)存在；2. 函数在点(a1, a2, ..., an)的极限存在；3. 函数在点(a1, a2, ..., an)的极限等于函数在该点的函数值。

在多元函数中，我们可以使用分量函数的连续性来判断函数的连续性。

分量函数是将多元函数中的每个自变量固定，其他自变量视为参数得到的一元函数。

如果分量函数都连续，那么多元函数在该点处连续。

多元函数的连续性性质包括局部连续性、全局连续性、复合函数的连续性等。

这些性质的证明需要使用到一元函数连续性的基本性质，并进行适当的推导和运算。

一、多元函数、极限与连续㈠二元函数1 ．二元函数的定义：设 D 是平面上的一个点集，如果对于每个点 P （x，y）∈ D ，变量按照一定法则总有确定的值与它对应，则称是变量 x 、y 的二元函数（或点 P 的函数），记为（或），点集 D 为该函数的定义域， x 、y 为自变量，为因变量，数集为该函数值域。

由此也可定义三元函数以及三元以上的函数。

二元函数的图形通常是一张曲面。

例如是球心在原点，半径为 1 的上半球面。

㈡二元函数的极限⒈设函数 f（x,y）在开区域（或闭区域） D 内有定义，是 D 的内点或边界点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式的一切点，都有成立，则称常数 A 为函数f（x,y）当时的极限，记作或, 这里。

为了区别一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限。

⒉注意：二重极限存在是指沿任意路径趋于，函数都无限接近 A 。

因此，如果沿某一特殊路径，例如沿着一条定直线或定曲线趋于时，即使函数无限接近于某一确定值，我们也不能由此判定函数的极限存在。

㈢多元函数的连续性1 ．定义：设函数 f（x，y）在开区间（或闭区间） D 内有定义，是 D 的内点或边界点且。

如果，则称函数 f（x，y）在点连续。

如果函数 f（x，y）在开区间（或闭区间） D 内的每一点连续，那么就称函数 f（x，y）在 D 内连续，或者称 f（x，y）是 D 内的连续函数。

2 ．性质⑴一切多元初等函数在其定义域内是连续的；⑵在有界闭区域 D 上的多元连续函数，在 D 上一定有最大值和最小值；⑶在有界闭区域 D 上的多元连续函数，如果在 D 上取两个不同的函数值，则它在 D 上取得介于这两个值之间的任何值至少一次；⑷在有界闭区域 D 上的多元连续函数必定在 D 上一致连续。

二、偏导数和全微分㈠偏导数⒈偏导数定义：设函数在点的某一邻域内有定义，当固定在而在处有增量时，相应地函数有增量，如果存在，则称此极限为函数在点处对的偏导数，记作，，或类似，函数在点处对的偏导数定义为，记作，或。