高等数学第十节 二元函数及其极限与连续

§2.3 二元函数的极限与连续定义设二元函数在点的某邻域内有意义, 若存在常数A,,当（即）时，都有则称A是函数当点趋于点时的极限,记作或或或。

必须注意这个极限值与点趋于点的方式无关,即不论P以什么方向和路径（也可是跳跃式地，忽上忽下地）趋向。

只要P与充分接近, 就能使与A接近到预先任意指定的程度。

注意：点P趋于点点方式可有无穷多种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多（图8-7）。

图8-7同样我们可用归结原则,若发现点P按两个特殊的路径趋于点时,极限存在,但不相等, 则可以判定在该点极限不存在。

这是判断多元函数极限不存在的重要方法之一。

一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论,在二元函数极限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。

例如若有, 其中求多元函数的极限, 一般都是转化为一元函数的极限来求, 或利用夹逼定理来计算。

例4 求。

解由于而,根据夹逼定理知 ,所以例5求（a≠0)。

解。

例6求。

解由于且,所以根据夹逼定理知.例7研究函数在点处极限是否存在。

解当x2+y2≠0时，我们研究函数，沿x→0,y=kx→0这一方式趋于（0，0）的极限，有,。

很显然，对于不同的k 值，可得到不同的极限值,所以极限不存在,但。

注意：的区别, 前面两个求极限方式的本质是两次求一元函数的极限, 我们称为累次极限, 而最后一个是求二元函数的极限,我们称为求二重极限。

例8 设函数。

它关于原点的两个累次极限都不存在,因为对任何,当时,的第二项不存在极限；同理对任何时,的第一项也不存在极限,但是, 由于, 因此由例7知, 两次累次极限存在, 但二重极限不存在。

由例8可知,二重极限存在,但二个累次极限不存在。

我们有下面的结果:定理1若累次极限和二重极限都存在,则三者相等（证明略）。

推论若存在但不相等,则二重极限不存在。

定义设在点的某邻域内有意义,且,则称函数在点处连续,记上式称为函数(值)的全增量。

§2.3 二元函数的极限与连续定义设二元函数在点的某邻域内有意义, 若存在常数A,,当（即）时，都有则称A是函数当点趋于点时的极限,记作或或或。

必须注意这个极限值与点趋于点的方式无关,即不论P 以什么方向和路径（也可是跳跃式地，忽上忽下地）趋向。

只要P与充分接近, 就能使与A 接近到预先任意指定的程度。

注意：点P趋于点点方式可有无穷多种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多（图8-7）。

图8-7同样我们可用归结原则,若发现点P按两个特殊的路径趋于点时,极限存在,但不相等, 则可以判定在该点极限不存在。

这是判断多元函数极限不存在的重要方法之一。

一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论, 在二元函数极限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。

例如若有, 其中求多元函数的极限, 一般都是转化为一元函数的极限来求, 或利用夹逼定理来计算。

例4 求。

解由于而,根据夹逼定理知 ,所以例5求（a≠0)。

解。

例6求。

解由于且,所以根据夹逼定理知. 例7 研究函数在点处极限是否存在。

解当x2+y2≠0时，我们研究函数，沿x→0,y=kx→0这一方式趋于（0，0）的极限，有,。

很显然，对于不同的k值，可得到不同的极限值,所以极限不存在,但。

注意：的区别, 前面两个求极限方式的本质是两次求一元函数的极限, 我们称为累次极限, 而最后一个是求二元函数的极限,我们称为求二重极限。

例8 设函数。

它关于原点的两个累次极限都不存在,因为对任何,当时,的第二项不存在极限；同理对任何时,的第一项也不存在极限,但是, 由于, 因此由例7知, 两次累次极限存在, 但二重极限不存在。

由例8可知,二重极限存在,但二个累次极限不存在。

我们有下面的结果:定理1若累次极限和二重极限都存在,则三者相等（证明略）。

推论若存在但不相等,则二重极限不存在。

定义设在点的某邻域内有意义,且,则称函数在点处连续,记上式称为函数(值)的全增量。

二元函数极限存在与连续的重要关系
二元函数极限是数学分析中的基本概念之一。

在计算二元函数极限时，往往需要先判断函数值在极限点处是否存在。

如果函数值在极限点处存在，并且极限值等于函数值，那么函数在此点处连续。

进一步地，若一个二元函数在某个点处连续，那么在这个点的一个领域内，其函数值和极限值的距离可以尽量小地变小，也就是说，这个领域内函数值和极限值十分接近。

这个概念叫做“函数的ε-δ连续性”。

换言之，二元函数极限的存在与连续是密不可分的，有了二元函数极限存在，才能推导出连续的性质。

在实际中，我们可以通过计算二元函数化简，利用极限的四则运算法则计算极限，进而判断函数值在极限点处是否存在，然后验算连续性。

总之，对于任何一道二元函数极限的计算题，正确判断函数值是否存在于极限点，判断函数是否连续，都是非常关键的。

只有确保二元函数极限存在，函数连续才能够更好地发挥其重要作用。

二元函数极限的连续性与间断性分析在数学中，函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数值的趋近情况。

而对于二元函数，也可以进行极限的研究。

本文将重点讨论二元函数的极限的连续性与间断性。

一、极限的连续性1.1 连续性的定义在介绍极限的连续性之前，我们先回顾一下函数连续的概念。

对于函数f(x)，若其在某一点x₀的附近，当自变量x趋近于x₀时，函数值f(x)也趋近于f(x₀)，则称函数f(x)在点x₀处连续。

1.2 二元函数的连续性定义对于二元函数f(x, y)，若其在某一点P(x₀, y₀)的某邻域内，当自变量(x, y)趋近于P时，函数值f(x, y)也趋近于f(x₀, y₀)，则称函数f(x, y)在点P处连续。

1.3 连续函数的性质连续函数具有以下性质：- 连续函数在定义域的任意一点都连续。

- 两个连续函数的和、差、积以及商（除去分母为零的点）仍然是连续函数。

- 连续函数的复合函数也是连续函数。

二、极限的间断性2.1 第一类间断点对于二元函数，第一类间断点是指函数在该点处的极限存在，但函数值与极限值不相等的点。

可以继续分为左极限和右极限不等的间断点和左、右极限均等的间断点。

2.2 第二类间断点第二类间断点是指函数在该点处的极限不存在的点。

也可以分为左极限和右极限均不存在的间断点和只有左或右极限不存在的间断点。

2.3 间断点的分类对于二元函数，间断点可以进一步分类为：- 可去间断点：函数在该点的极限存在，但函数值与极限值不相等。

这种间断点可以通过修改函数在该点的定义，让函数在这个点处连续。

- 跳跃间断点：函数在该点的左右极限存在，但左右极限值不相等。

- 无穷间断点：函数在该点的极限不存在。

三、举例分析假设有一个二元函数f(x, y)=xy/(x^2+y^2)，我们来分析它的连续性与间断性。

3.1 连续性分析任意取P(x₀, y₀)，对于该点处的函数值f(x₀, y₀)，我们需要证明当(x, y)趋近于P时，函数f(x, y)的极限也趋近于f(x₀, y₀)。

二元函数求极限的连续性理论应用在数学中，二元函数是指以两个自变量为输入、将其映射到一个数域的实函数。

在分析数学中，研究二元函数的性质与极限是一个重要的课题。

本文将探讨二元函数求极限的连续性理论应用。

一、二元函数的极限定义在讨论二元函数的极限时，我们首先需要明确其极限的定义。

设有二元函数 f(x,y)，当 (x,y) 趋近于某一点 (x₀, y₀) 时，如果对于任意给定的正实数ε，总存在另一正实数δ，使得当满足条件0 < √((x - x₀)² + (y - y₀)²) < δ 时，都有 |f(x, y) - L| < ε 成立，则称数 L 是函数 f 在点 (x₀, y₀) 处的极限。

二、二元函数求极限的基本思路在计算二元函数的极限时，通常可以通过代入法、夹逼准则和极限运算法则来进行分析。

接下来，我们将分别讨论这三种方法的具体应用。

1. 代入法代入法是二元函数求极限中最基本的方法。

当二元函数在某一点(x₀, y₀) 处连续时，可以通过代入点的方法直接求出该点处的极限值。

例如，对于函数 f(x, y) = x² + y²，在点 (1, 2) 处的极限可以直接代入得到 f(1, 2) = 1² + 2² = 5。

2. 夹逼准则夹逼准则在二元函数求极限中经常用到。

当我们难以直接代入点进行计算时，可以通过构造夹逼函数来确定极限的存在性。

夹逼准则主要基于以下原理：若存在两个二元函数 g(x, y) 和 h(x, y)，使得对于所有点 (x, y) 来说，g(x, y) ≤ f(x, y) ≤ h(x, y) 成立，且 g(x, y) 和 h(x, y) 在点 (x₀, y₀) 处的极限都存在且相等，则函数 f(x, y) 在点 (x₀, y₀) 处的极限也存在且等于 g(x₀, y₀) = h(x₀, y₀)。

3. 极限运算法则极限运算法则是二元函数求极限中的重要工具。