3.2 二重积分的计算

f ( x, y)dxdy f (r cosθ, r sinθ)rdrdθ.
D
D
选择积分次序
选择积分限
化为累次积分
作业：P153 3.2 12(1)(2) 13(2)(3)
下次课内容
3.3 二重积分的应用
复习
二重积分的计算
一、二重积分在直角坐标系下的计算
f (x, y)dxdy
2
y
x2 y2dxdy r rdrd
D
D
π
2 dθ
2sinθ r 2dr
1
π
2 r3
2sinθ
dθ
8
π
2 sin3 θdθ
0
0
30 0
30
πo
x
8
π
2 (1 cos2 θ)d cosθ
8 1 cos3 θ cosθ 2
30
33
0
16 . 9
x2 y2dxdy
D
sin(
x
x2 2
y2
y2
)
dxdy
D
sin(r
r
)
rdrd
r2 r 1
2
0
d
2
1
sinrdr
4.
二重积分在极坐标下的计算
例5 计算二重积分 x2 y2dxdy，其中区域D为由
x=0及 x2+y2=2y 围成的第D 一象限内的区域.
解 D的边界曲线为x2+y2=2y，其极坐标表达式
r 2sinθ, 此时D可以表示为 0 θ π , 0 r 2sinθ，
则平面上任意一点的极坐标(r, )与直角坐标( x, y)之间
的变换公式为

D
∫ ∫ b
d
= a ( f1( x) ⋅ c f2( y)dy )dx
∫ ⋅∫ 得 =
b
a f1( x)dx
d
c f2( y)dy
即等于两个定积分的乘积.
7
二重积分的计算法
X型区域的特点: 穿过区域且平行于y轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点: 穿过区域且平行于x轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点.
0
0
0
y
∫ ∫ =
a 0
f
( y)⋅
x
a y
dy
=
a
O
(a − y) f ( y)dy
0
•(a,a)
a
x
∫a
= (a − x) f ( x)dx 0
证毕.
21
二重积分的计算法
立体顶部 x2 + z2 = R2
例 求两个底圆半径为立R体,且底这部两x个2 圆+ 柱y2面= 的R2方程
分别为 x2 + y2 = R2及 x2 + z2 = R2 .求所围成的
x2
y +
y
2
⎟⎞ ⎠
=
f ( x, y),
∫ ∫ 故
1
f ( x, y)dy =
0
1 ∂ ⎜⎛ 0 ∂y ⎝
x2
y +
y2
⎞⎟ dy ⎠
=
x2
y +
y2
1 0
=
x
1 2+
; 1
∫ ∫ ∫ 所以 I1 =
1
1
dx f ( x, y)dy =
0
0

1 4 1 2 1 2
1 2
y x
y x
y
解 e dx 不能用初等函数表示
y x
先改变积分次序.
原式 I 1dx
2
y x

1
x
2
x
e dy
y x
y x2

1
1 2
3 1 x(e e )dx e e. 8 2
x
例 7 计算 y x 2 dxdy ，其中 D {( x , y ) 1 x 1,
2
1
x
D
1 33 4 [ x ( x x ) ( x x )]dx . 0 2 140
1 2 2
例5
求 x e
D
2 y2
dxdy ，其中 D 是以(0,0), (1,1),
(0,1) 为顶点的三角形.
解 e
y2
dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
解
2a
y 2ax
y 2ax x 2 x a a 2 y 2
a
2a
a
原式 = dy 2 y 0
a
a a2 y2
f ( x , y )dx
2a 2a
0 dy a
a
2a
2a
a y
2 2
f ( x , y )dx a dyy 2 f ( x , y)dx.
从而
y
2
y x
D
D1
dxdy
2
1
y x dxdy y x dxdy
2 D2
D1
y x2
D2
1

二重积分通俗理解一、什么是二重积分？1.1 定义二重积分是微积分中的重要概念之一，用于求解二元函数在有界闭区域上的积分。

它是对一个区域上的函数进行“求和”的操作，可以用来计算该函数在该区域上的平均值、总体积、质心等。

1.2 符号表示一般来说，用符号∬来表示二重积分。

对于一个函数f(x,y)，其在区域D上的二重积分可以表示为：∬fD(x,y) dx dy,其中D表示一个有界闭区域，dx dy表示在该区域内按照矩形的面积进行积分。

二、二重积分的计算方法2.1 直角坐标系中的二重积分计算在直角坐标系中，我们可以通过将区域D分割成许多小矩形来进行计算。

对于一个小矩形R i，其面积可以表示为ΔA i=Δx iΔy i，其中Δx i和Δy i分别为矩形的宽度和高度。

然后，我们选取矩形R i中点(x i∗,y i∗)，计算函数在该点的值f(x i∗,y i∗)，并乘以该矩形的面积ΔA i。

将所有小矩形的贡献相加，即可得到二重积分的近似值。

当矩形的宽度和高度趋近于零时，即Δx i和Δy i趋近于零，这时我们可以得到准确的二重积分。

用极限的形式表示为：∬f D (x,y) dx dy=limΔx i→0Δy i→0∑fni=1(x i∗,y i∗)ΔA i.2.2 极坐标系中的二重积分计算在极坐标系中，二重积分的计算可以更加简化。

对于一个区域D，我们可以使用极坐标的面积元素r dr dθ来进行积分。

其中r表示极径，θ表示极角，dr和dθ分别表示极径和极角的微小增量。

则二重积分的计算公式为：$$\iint_D f(x, y) \,dx\,dy = \iint_D f(r\cosθ, r\sinθ)r\,dr\,d\theta.$$这种方法适用于具有旋转对称性的问题，通过转换到极坐标系可以简化计算过程。

三、二重积分的应用3.1 几何意义二重积分的一个重要应用是求解曲面面积或体积。

对于一个曲面z=f(x,y)在区域D上的投影曲域为D′的情况，可以通过以下公式计算曲面的面积S：S=∬√1+(∂z∂x)2+(∂z∂y)2D dx dy.3.2 质心的计算另一个常见的应用是计算一个区域D上物体的质心位置。