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(完整版)第二节二重积分的计算

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第十章第二节_二重积分的计算法

第十章第二节_二重积分的计算法
(3) 改写D为: 0 y 1, 0 x y o
(1,1)
y x
x
y
0
1
dx sin y 2dy
x
1
(1,1)
0 dy 0 sin y dx
2
1
y
y x
(sin y ) x dy
2
1
y
x D : 0 y 1, 0 x y
o
y sin y 2dy
第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
二、极坐标系下二重积分的计算 三、小结 思考题
【复习与回顾】
回顾一元函数定积分的应用
平行截面面积为已知的立体的体积的求法
在点x处的平行截面的面积为 A( x ) 体积元素 dV A( x )dx 体积为
V A( x )dx
a b
一、利用直角坐标系计算二重积分
(( xx )0 ) 11
ff (x (x ,0 y,)dy y )dy
b
V A( x )dx
a
2 ( x )
1( x)
f ( x, y )d [
D a
f ( x , y )dy]dx.
公式1
上式称为先对 y后对x的二次积分
注意:
1）上式说明: 二重积分可化为二次定积分计算; 2）积分次序: X-型域 先Y后X; 3）积分限确定法: 后积先定限，域中做穿线； 先过为下限，后过未上线。
f ( x, y )d 的值等于以D 为底，以曲面z
D
f ( x , y ) 为顶的曲顶柱体的体积 ．
【方法】根据二重积分的几何意义以及计算“平 行截面面积为已知的立体求体积”的方法来求.

二重积分的计算法2

二重积分的计算法2


D
D
及坐标轴所围成的在第一象限内的区域. 2. ( x 2 y 2 )d 其中 D 是由直线

D
y x , y x a, y a, y 3a(a 0)所围成的区域. 3. R2 x 2 y 2 d ,其中 D 是由圆周

D
x 2 y 2 Rx 所围成的区域. 2 2 2 2 4. , 其中 D : x y 3. x y 2 d

三、设平面薄片所占的闭区域 D 是由螺线 r 2 上一段
弧( 0 )与直线 所围成,它的面密度为 2 2
( x , y ) x 2 y 2 ,求这薄片的质量.
四、 计算以 xOy 面上的圆周 x 2 y 2 ax 围成的闭区域为底， 而以曲面 z x 2 y 2 为顶的曲顶柱体的体积.
D1
(1 x y )
R
D1
(1 r )
r 2 1 (1 R ) 1 d d r 2 1 0 (1 r ) 0
I lim I ( R) lim
R
2 1 (1 R ) R 1
2

, 当 1 1 1 当 1 ,
d e r rdr
2
2 0
a
a x
0
D

2
0
1 r2 a ( e ) 0 d 2

2
0
1 a2 a2 (1 e )d (1 e ). 2
通常当积分区域的边界由圆弧、射线组成且被积函数 y 含有x y ， 等形式时，用极坐标计算较为简单. x
2 2
例 2 计算 ( x 2 y 2 )dxdy，其 D 为由圆 x 2 y 2 2 y ，

第二节 二重积分的计算

第二节 二重积分的计算
2
a
O
a
a
0
2a
x
原式= dy
a a2 y2 f ( x, y2 2a
2 2
y ) dx
2a 2a y2 f 2a
dy
0
a
2a
a a y
f ( x , y )dx dy
a
( x , y ) dx
19
二重积分的计算法
交换积分次序的步骤
(1) 将已给的二次积分的积分限得出相
计算结果一样. 但可作出适当选择.
a
b
x
11
二重积分的计算法
(4) 若区域如图, 则必须分割.
y
D1
在分割后的三个区域上分别 使用积分公式.
(用积分区域的可加性质)
O
D3
D2
x
D

D
1

D2 D3
D1、D2、D3都是X型区域
12
二重积分的计算法
例 求 ( x 2 y )dxdy , 其中D是抛物线 y x 2和

R
R
dy
R2 y2
R 2 x 2 y 2 dx
8
二重积分的计算法
注 特殊地 D为矩形域: a≤x≤b,c≤y≤d
则
f ( x , y )d dx f ( x , y )dy a c D dy f ( x, y ) d x
d b c a
b
d
如D是上述矩形域, 且f ( x , y ) f1 ( x ) f 2 ( y ) 则
立体的体积.
D
曲顶z R 2 x 2
z
解 V1 f ( x , y ) d

第二节二重积分计算

第二节二重积分计算

y1(x) y y2 (x) a x b.
(1)
在[a,b]上取定一点x，过该点作垂直于x轴的平
面截曲顶柱体，截面为一曲边梯形.将这曲边梯形投
影到Oyz坐标面，它是区间[y1 (x),y2 (x)]上，以z=f(x,y) 为曲边的曲边梯形(将x认定为不变)，因此这个截面
的面积可以由对变元y的定积分来表示.
得
x y
2, 1. 2
x轴上的积分区间为[1,2].
D
x2 y2
dxdy
12
x 2 dx 1x
x
1 y2
dy
12
x2
1x
y 1
x
dx
12
x
2
x
1 x
dx
1 4
x4
2x2
2 1
9. 4
解法2 化为先对x积分后对y积分的二次积分. 作平行于x轴的直线与积分区域D相交，可知入 口曲线不唯一，这需要将积分区域分为两个子 区域.
为了便于确定积分区域D的不等式表达式，通常 可以采用下述步骤： (1) 画出积分区域D的图形. (2) 若先对y积分，且平行于y轴的直线与区域D的边界
线的交点不多于两点，那么确定关于y积分限的方 法是： 作平行于y轴的直线与区域D相交，所作出的直线 与区域D先相交的边界曲线y=y1(x)，称之为入口曲线， 作为积分下限.该直线离开区域D的边界线y=y2(x),称 之为出口曲线，作为积分上限.
x2 y2
dxdy
，其中D由不等式
y
x，1
xy
及 x 2所确定.
解法1 化为先对y积分后对x积分的二次积分.
作平行于y轴的直线与区域D相交，沿y轴正方 向看，入口曲线为y 1 ，出口曲线为y=x，

0902二重积分的计算法-1

0902二重积分的计算法-1
D
b ϕ2( x) f ( x , y )dy ; = dx a ϕ1 ( x )
∫
∫∫ f ( x , y )dσ ∫
D
d ϕ2 ( y) f ( x , y )dx . = dy c ϕ1 ( y )
∫
［混合型］ 混合型］ （在积分过程中要正确选择积分次序） 在积分过程中要正确选择积分次序） 积分次序
y
A(x)
a
x
y = ϕ2 ( x)
b
x
D
y = ϕ1( x)
b ϕ ( x) ∴ ∫∫ f ( x , y )dσ =∫a dx ∫ϕ 2( x ) f ( x , y )dy . ……二次积分公式 ? 1 二次积分公式
D
◆如果积分区域为：c ≤ y ≤ d , ϕ1 ( y ) ≤ x ≤ ϕ 2 ( y ). 如果积分区域为：
π
练习1 练习 改变下列积分的积分次 序
∫
1 2 x− x2 2 2− x dx f ( x , y )dy + dx f ( x , y )dy . 0 0 1 0
∫
∫
∫
解 积分区域如图： 积分区域如图：
y = 2− x
原式 = ∫0 dy ∫
1
2− y
2
y = 2x − x2
1− 1− y
f ( x , y )dx.
1
o
1
x
2.设f ( x , y )在D上连续 , 其中 D是由直线 y = x , y = a及x = b (b > a )所围成的闭区域 , 证明 :
(1)∫
b x dx a a
∫ f ( x , y )dy = ∫
b b dy y a

第二节 二重积分的计算

第二节 二重积分的计算

D
α ≤ϕ ≤ β,
ρ = ρ2 (θ )
ρ 1 (ϕ ) ≤ ρ ≤ ρ 2 (ϕ ).
β
o
α
A
∫∫ f ( ρ cos ϕ , ρ sin ϕ ) ρdρdϕ
D
= ∫α dθ ∫ρ12(ϕ ) f ( ρ cos ϕ , ρ sin ϕ ) ρdρ .
β
ρ (ϕ )
二重积分化为二次积分的公式（ 二重积分化为二次积分的公式（２）
π
a cos ϕ
I = ∫ dϕ ∫0
2 π − 2
f ( ρ ,ϕ )dρ
(a ≥ 0).
思考题解答
π π − ≤ϕ ≤ D: 2 2 , 0 ≤ ρ ≤ a cos ϕ
I = ∫0 dρ ∫
a a ρ − arccos a arccos
y
ϕ = arccos
D
ρ
a ρ = a cosϕ
D
例 1 写出积分∫∫ f ( x , y )dxdy的极坐标二次积分形
D
式，其中积分区域
D = {( x, y ) | 1 − x ≤ y ≤ 1 − x 2 , 0 ≤ x ≤ 1}.
x = ρ cos ϕ 解 在极坐标系下 y = ρ sin ϕ 所以圆方程为 ρ = 1, 1 直线方程为 ρ = , sin ϕ + cosϕ
所求面积σ =
∫∫ dxdy = 4∫∫ dxdy
D
D1
= 4 ∫0 dϕ ∫a
6
π
a 2 cos 2ϕ
ρ dρ
π = a ( 3 − ). 3
2
三、小结
二重积分在极坐标下的计算公式
∫∫ f ( ρ cosϕ , ρ sin ϕ ) ρdρdϕ D β ρ (ϕ ) = ∫α dϕ ∫ρ (ϕ ) f ( ρ cosϕ , ρ sinϕ ) ρ dρ .

第二节_二重积分的计算法


作业 P153 1 (4); 2 (3); 4; 6 (2), (3); 11; 12 (1), (3); 13 (4); 18
x 2 + y 2 = 4 y 及直线 x − 3 y = 0, y − 3x = 0 所围成的 平面闭区域. y 4
∫∫ (x
D
2
+ y ) d x d y = ∫π dθ
2
3 6
π
∫
4 sinθ 2 r ⋅rdr 2 sinθ
2
= 15( − 3) 2
π
o
x
内容小结
二重积分化为累次积分的方法 X – 型区域 直角坐标系情形 Y – 型区域 极坐标系情形: 积分区域 极坐标系情形
例7. 计算
其中D : x 2 + y 2 ≤ a 2 .
−a 2
= π (1 − e
)
∫
+∞ − x 2 e 0
dx =
π
2
例8. 求球体
x2 + y 2 = 2 ax 被圆柱面
z
所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
o
2a
y
x
( x 2 + y 2 ) d x d y, 其中D 为由圆 x 2 + y 2 = 2 y, 例9. 计算∫∫ D
第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
三、利用极坐标计算二重积分
一、曲顶柱体体积的计算
y = ϕ2 ( x)
设曲顶柱的底为
z
y
ϕ1 ( x) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x) D = ( x, y) a≤ x≤b
曲顶柱体体积为
D
o
a x0 b x y = ϕ1 (x) (x

第二节_二重积分的计算法

第二节_二重积分的计算法二重积分：在平面上规定一个有界闭合区域D，对于D上的每一点P(x,y)，都有一个标量函数f(x,y)与之对应。

则二重积分的数值就是由函数f(x,y)在区域D上所有点处的函数值决定的。

二重积分一般可以表示为∬Df(x,y)dA。

计算二重积分的方法主要有以下几种：直角坐标法、极坐标法、换元积分法和累次积分法。

1.直角坐标法：针对矩形、直角三角形、抛物线和折线边界的区域，可以直接使用直角坐标法来计算二重积分。

具体步骤如下：(1)写出二重积分的累加和形式：I=ΣΣf(x,y)ΔA。

(2)将区域D分成若干小矩形，计算每个小矩形的面积ΔA。

(3)在每个小矩形上选择代表点(x,y)，计算f(x,y)的函数值。

(4)将函数值与相应小矩形的面积相乘，加和求和即可得到二重积分的数值。

2.极坐标法：当具有极坐标对称性的区域时，采用极坐标法可以简化计算。

具体步骤如下：(1) 确定极坐标变换：x=r*cosθ，y=r*sinθ。

(2) 根据变换的雅可比矩阵计算面积元素dA的极坐标形式：dA=rdrdθ。

(3) 将二重积分转化为极坐标下的累次积分：I=∫∫Df(x,y)dxdy=∫∫Df(r*cosθ,r*sinθ)rdrdθ。

(4)将极坐标下的积分区域和积分限进行变换，然后按照累次积分进行计算。

3.换元积分法：当二重积分区域D的边界方程比较复杂时，可以使用换元积分法来简化计算。

具体步骤如下：(1)根据边界方程对二重积分区域D进行变换，将原来的二重积分区域映射到一个新的坐标系中的区域G。

(2)根据变换的雅可比矩阵，计算新坐标系下的面积元素dA'。

(3) 将二重积分转化为新坐标系下的累次积分：I=∫∫Df(x,y)dxdy=∫∫Gf(x(u,v),y(u,v))，J(u,v)，dudv，其中J(u,v)为雅可比行列式。

(4)对新坐标系下的累次积分按照直角坐标法或极坐标法进行计算。

4.累次积分法：当二重积分区域D可以通过垂直于坐标轴的直线进行划分时，可以使用累次积分法进行计算。

第二节二重积分的计算方法


D
ϕ 1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ).
o
βα
A
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
= ∫ dθ ∫
α
β
ϕ2 (θ )
ϕ1 (θ )
f (r cosθ , r sinθ )rdr.
区域特征如图
r = ϕ1(θ )
D
α ≤θ ≤ β,
r = ϕ2 (θ )
ϕ 1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ).
第二节 二重积分的计算方法
二重积分的计算可以按照定义来进行， 二重积分的计算可以按照定义来进行， 同定积分按照定义进行计算一样， 同定积分按照定义进行计算一样，能够按照 定义进行计算的二重积分很少， 定义进行计算的二重积分很少，对少数特别 简单的被积函数和积分区域来说是可行的， 简单的被积函数和积分区域来说是可行的， 但对于一般的函数和积分区域却不可行。 但对于一般的函数和积分区域却不可行。 本节介绍一种计算二重积分的方法—— 本节介绍一种计算二重积分的方法 二重积分化为二次单积分（定积分） 把 二重积分化为二次单积分（定积分）来 计算。 计算。
z = f (x, y)
o
a
x
x + dx
b
x
a
o
已知平行截面面积 A ( x ) 的立体的体积
α
y
x
b
x
V = ∫a A(x)dx.
b
y
o
x
a
b
x
∵ 当 f ( x , y ) > 0时 , ∫∫ f ( x , y )dxdy 的值等于以 D 为底，以 为底，
D
为曲顶柱体的体积． 曲面 z = f ( x , y ) 为曲顶柱体的体积．

2二重积分的计算方法


也可记为 :
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx
c D
1 ( y)
第10页
4、运用直系计算二重积分旳环节
（1）画出积分区域旳图形,求出边界曲线交点坐标； （2）根据积分域类型, 拟定积分顺序； （3）拟定积分限，化为二次定积分； （4）计算两次定积分，即可得出成果.
注意：二重积分转化为二次定积分时，核心 在于对的拟定积分限,一定要做到纯熟、精确。
解 由对称性，所求体积 V为第一卦
限部分立体体积的 4倍，（如图
）
V 4 4a2 x2 y2 dxdy
D
D : x2 y2 2ax ( x, y 0)
在极系下 ： D：0 ，0 r 2acos , .
2
第36页
从而V 4 4a2 x2 y2 dxdy
D
2a cos
［Y－型］
Y型区域旳特点：a、穿过区域且平行于x轴旳直
线与区域边界旳交点不多于两个。b、 1( y) 2 ( y).
第5页
2、X-型域下二重积分旳 z
计算:
由几何意义，若 f (x, y) 0
y
z f (x, y)
A( x)
则 f (x, y)dxdy V
D
(曲顶柱体旳体积)
ax
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
a
b
［X－型］
X型区域旳特点：a、平行于y轴且穿过区域旳直线
与区域边界旳交点不多于两个； b、 1(x) 2 (x).
第4页
（2）Y-型域： c y d , 1( y) x 2 ( y).
d
x 1( y) c
D x 2( y)
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即等于两个定积分的乘积.
例2 求 x2e y2dxdy, 其中D 是以 (0,0),(1,1),(0,1)
D
为顶点的三角形.
解 因 e y2dy 无法用初等函数表示,
所以, 积分时必须考虑次序.
x2e y2dxdy
1
dy
y x 2e y2 dx
0
0
D
e1 y2
y3 dy
1
1 y2e y2dy2 1 1 2
Oa
b x Oa
bx
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
a
1 ( x)
D
3. 若区域如图, 则必须分割. 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式. (利用积分区域的可加性)
y
D3
D1 D2
O
x
D
D1
D2
D3
例1 求 ( x2 y)dxdy,其中D是抛物线y x2和
0
3
60
6 e
例3 交换积分次序:
1
2 x x2
2
2 x
0 dx0
f ( x, y)dy 1 dx0 f ( x, y)dy
y
解 积分区域:
y2 x
y 2x x2
O
1
2x
原式=
1
dy
2 y
f ( x, y)dx
0
1 1 y2
例4 计算积分 I
1
2 1
dy
1
y
y e x dx
(
x,
y)dx)dy
D
即
f y)dx.
D
c
1( y)
2. 积分区域为: a x b, 1( x) y 2( x). 其中函数1( x)、2( x)在区间 [a,b]上连续.
y y 2(x) D
y
y 2(x)
D
y 1(x)
y 1(x)
1. 极点在区域D 的外面 D : , 1( ) r 2( ).
r 1( )
r 2( )
D
r 1( )
D
θ
O
θ
x
O
f (r cos , r sin )rdrd
D
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr
1 ( )
r 2( )
x
2. 极点在区域D 的边界上 (曲边扇形)
D
D: (y) x (y)
cyd
z
c
0
z=f (x,y)
y
x=(y)
d
y
D
x=(y) x
I f ( x, y)dxdy
D
D: (y) x (y)
cyd
z
z f (x, y)
y y
.
z=f (x,y)
Q( y ) =
ψ( y)
f ( x, y)dx
φ( y)
d
I = c Q( y)dy
而且又是能否进行计算的问题.
凡遇如下形式积分:
sin xdx, x
sinx2dx, cosx2dx, ex2dx,
y e x2dx, e xdx,
dx , 等,
ln x
一定要放在后面积分.
例5 求证
a
dx
x
f ( y)dy
a
(a x) f ( x)dx(a 0)
0
0
0
证 对于左边的累次积分, 先交换积分次序.
d 1 (r dr)2 d 1 r 2 d
2
2
r r dr
1 (2r dr)dr d
2
rr
d rdrd
D
极坐标系中的面积元素
O
二重积分在极坐标下的表达式为
d
d
A
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd
D
D
在极坐标系下, 一般化成先对r再对 积分
c
0 Q( y)
x=(y) x
y
x=(y)
D
d
y
I f ( x, y)dxdy
D
D: (y) x (y)
cyd
ψ( y)
Q( y ) = f ( x, y)dx φ( y)
I=
d
c Q( y)dy
d
ψ( y)
dy f ( x, y)dx
c
φ( y)
x
z
0 x=(y)
z=f (x,y)
10.2 二重积分的计算
二重积分的计算方法是: 将二重积分化为二次 积分(累次积分)来计算.
10.2.1 在直角坐标系下计算二重积分
现根椐二重积分的几何意义:
f (x, y)dxdy 的值等于以区域D为底, 曲面
D
z= f ( x, y )为顶的曲顶柱体的体积,考虑二重积分 的计算.
I f ( x, y)dxdy
积分区域: 0 x a, 0 y x
y
可表为: 0 y a, y x a
a
a dx
x
f ( y)dy
a
dy
a
f ( y)dx
0
0
0
y
a
0
f
(
a
y)dyy dx
a
O
(a y) f ( y)dy
0
a
0 (a x) f ( x)dx
•(a,a)
a
x
10.2.2 在极坐标系下计算二重积分
则
f
( x,
y)d
bd
a dxc
f
( x,
y)dy
D
db
c dya f ( x, y)dx
如D是上述矩形域, 且 f ( x, y) f1( x) f2( y)
则
bd
f1( x)
f2(
y)dxdy
(
a
c
f1( x) f2( y)dy )dx
D
b
d
a f1( x)dx c f2( y)dy
y
1
1 dy
y e x dx.
y
y
4
2
2
解 因 e x dx 不能用初等函数表示,
所以, 先交换积分次序. y
y
I
1
1 dx
x
e
x
dy
x2
1
1
2
2
y x y x2
1 1
x(e
e
x
)dx
2
1
4
O
1
1
x
2
3e1 e 82
计算二重积分时,恰当的选取积分次序
十分重要, 它不仅涉及到计算繁简问题,
D : , 0 r ( ).
r ( )
D
O
r ( )
D
xO
x
f (r cos , r sin )rdrd
D
( )
d 0 f (r cos , r sin )rdr
3. 极点在区域D 的内部
D : 0 2 , 0 r ( ).
r ( )
D
x y2 所围平面闭区域.
解 两曲线的交点
y
y
x2
•
x (1,1)
y2
(0,0),(1,1).
O
x
( x2 y)dxdy
D
1
dx
x( x2 y)dy
0
x2
01 x2 y
y2 2
x
dx
x2
1
[
x
2
(
0
x x2 ) 1 ( x x4 )]dx 2
33 140
特殊地, D为矩形域: a≤ x ≤b, c≤ y ≤d.
d
y
二重积分的计算有两种积分顺序
1. 积分区域为: c y d , 1( y) x 2( y)
其中函数1( y)、 2( y) 在区间[c, d]上连续.
y
y
d
d
x 1( y) D
x 2( y) x 1( y) D x 2( y)
c
c
O
x
O
x
f ( x, y)d
d(
c
2
(
y
)
f
1( y)